TDR — Planètes et piles

 

Ex-TDR.1 Pile [ESIM
+
2003]
À p𝐻 = − log[𝐻3 𝑂 ] = 0, à la température de 298 𝐾 et à la pression atmosphérique, les valeurs
des potentiels de référence (potentiels standard) sont :

Couple 𝐹 𝑒3+ /𝐹 𝑒2+ 𝐶𝑟2 𝑂72− /𝐶𝑟 𝐶𝑟3+ /𝐶𝑟

𝐸 ∘ (en 𝑉 ) 0, 77 0, 31 −0, 71

• On considère trois solutions aqueuses :

- une solution (A) contenant des ions 𝐹 𝑒3+ et 𝐹 𝑒2+ de concentrations égales et qui ont pour
valeur 10−2 𝑚𝑜𝑙.𝐿−1
- une solution (B) contenant des ions 𝐹 𝑒3+ de concentration égale à 10−2 𝑚𝑜𝑙.𝐿−1 et des ions
𝐹 𝑒2+ de concentration inconnue 𝑥 ;
- une solution (C) acidifiée contenant des ions 𝐶𝑟2 𝑂72− et 𝐶𝑟3+ de concentrations égales chacune
à 10−2 𝑚𝑜𝑙.𝐿−1 , le p𝐻 de cette solution étant égal à zéro.
𝑅𝑇
• On prendra . ln 𝑋 = 0, 06. log 𝑋 et 𝑅 = 8, 314 𝐽..𝑚𝑜𝑙−1 .𝐾 −1
ℱ
1) On constitue à l’aide de la solution (A)
et de la solution (B) la pile schématisée ci-
dessous ; les électrodes sont en platine. On
néglige toute surtension aux électrodes.
Initialement, lorsque la pile ne débite pas en-
core, la tension 𝑈12 = 𝑉1 −𝑉2 mesurée est égale
à 18 𝑚𝑉 .
1.a) Déterminer la valeur de 𝑥 pour laquelle
on peut avoir cette tension.
1.b) Préciser :

TDR2
- la polarité des électrodes ;
- la nature des réactions qui se produisent au niveau des électrodes (préciser la position de
l’anode et de la cathode) ;
- l’équation bilan de la réaction.
2) On remplace la solution (B) par la solution
• M7/SA4
(C) et le voltmètre par une résistance 𝑅.
2.a) Quelle est la valeur de la tension 𝑈12 =
𝑉1 − 𝑉2 aux bornes de la pile lorsque l’inter-
rupteur 𝐾 est ouvert ?
2.b) On ferme l’interrupteur 𝐾.
Écrire les réactions d’oxydo-réduction qui se
passent aux électrodes.
Donner l’équation-bilan des transformations
chimiques.
2.c) Calculer la constante 𝐾 ∘ de cette réaction d’oxydo-réduction.
2.d) Déterminer la concentration des différentes espèces dans la solution lorsque la pile est
« usée ». On fera certaines hypothèses que l’on pourra préciser ; en particulier, on néglige toutes
surtensions aux électrodes.
 Planètes / Piles 2010-2011
 

Ex-TDR.2 Attraction gravitationnelle [CCP TSI 2010]
On considère dans ce problème que la Terre possède une répartition de masse à symétrie sphérique,
de centre 𝑂, de masse 𝑀𝑇 et de rayon 𝑅𝑇 . On pourra donc considérer que le champ gravitationnel
créé par la Terre en un point 𝑀 , est identique à celui créé par une masse ponctuelle 𝑀𝑇 placée
en 𝑂.
Préliminaire :
1) On se place en un point 𝑀 de l’espace, extérieur à la Terre et situé à une distance 𝑟 du centre
de celle-ci.
On notera 𝒢 la constante de gravitation universelle.
−→
Rappeler l’expression du champ gravitationnel 𝐺𝑇 (𝑀 ) créé par la Terre en un point 𝑀 de
l’espace.
−→
On exprimera 𝐺𝑇 (𝑀 ) en fonction de 𝒢, 𝑀𝑇 , 𝑟 et d’un vecteur unitaire que l’on précisera.
−→
Représenter le vecteur 𝐺𝑇 (𝑀 ) sur un schéma.
Première partie :. Satellite en mouvement autour de la Terre
On étudie le mouvement autour de la Terre d’un satellite 𝑆 de masse 𝑚 placé dans le champ
gravitationnel terrestre. On néglige les frottements.
Caractéristique du mouvement du satellite autour de la Terre
2) On se place dans le référentiel, considéré comme galiléen, qui a pour origine le centre de la
Terre et ses trois axes vers trois « étoiles fixes ». Quel est le nom de ce référentiel ?
→
− −
→
Déterminer l’expression de la force 𝑓 à laquelle le satellite 𝑆 est soumis. On exprimera 𝑓 en
fonction de 𝑚, 𝒢, 𝑀𝑇 , 𝑟 et d’un vecteur unitaire que l’on précisera.
−
→
Déterminer de même l’expression de la force 𝑓 ′ à laquelle la Terre est soumise de la part du
satellite. Justifier.
3) En appliquant le théorème du moment cinétique, montrer que le mouvement du satellite 𝑆
est nécessairement plan.
Sachant qu’à l’instant 𝑡 = 0 le satellite se trouve au point 𝑀0 et a une vitesse 𝑣0 , préciser le plan
dans lequel se fait le mouvement.

Dans la suite de cette partie , on se placera dans le cas d’une trajectoire

circulaire de rayon 𝑟 et d’altitude ℎ autour de la Terre (avec 𝑟 = ℎ + 𝑅𝑇 )
TDR2• M7/SA4

et on utilisera les coordonnées cylindriques.

L’espace est rapporté à la base cylindrique (− →

𝑒𝑟 , −
→
𝑒𝜃 , −
→
𝑒𝑧 ), un point quelconque de l’espace étant
repéré par ses coordonnées (𝑟, 𝜃, 𝑧).
Le plan dans lequel se fait le mouvement du satellite est le plan du repère cylindrique contenant
l’origine 𝑂 du repère (le point 𝑂 étant le centre de la Terre) et les vecteurs (− →
𝑒𝑟 , −
→𝑒𝜃 ).
On rappelle que le vecteur position, le vecteur vitesse et le vecteur accélération dans la base
cylindrique (−
→
𝑒𝑟 , −
→
𝑒𝜃 , −
→
𝑒𝑧 ) sont donnés par les expression suivantes :
−−→
𝑂𝑀 = 𝑟 − →
𝑒 + 𝑧 𝑣𝑒𝑧
𝑟
−
→𝑣 = 𝑟˙ −
→
𝑒 + 𝑟𝜃˙ −
𝑟
→
𝑒 + 𝑧˙ −
𝜃
→
𝑒 𝑧
→
− 𝑟 − 𝑟𝜃˙2 ) −
𝑎 = (¨ →
𝑒 + (2𝑟˙ 𝜃˙ + 𝑟𝜃)
𝑟
¨ −
𝜃
→
𝑒 + 𝑧¨ −
𝑧
→
𝑒
4) En appliquant le principe fondamental de la dynamique, montrer que le module 𝑣 de la vitesse
du satellite 𝑆 est nécessairement constant au cours du mouvement et déterminer son expression
en fonction de 𝒢, 𝑀𝑇 et 𝑟.
Deuxième loi de Képler et conséquences
5) Déterminer l’expression de la période 𝑇 du mouvement de rotation de 𝑆 autour de la Terre
en fonction de 𝑣 et de 𝑟 puis en fonction de 𝒢, 𝑀𝑇 et 𝑟. En déduire la troisième loi de Képler.
6) Indiquer une méthode pour déterminer la masse de la Terre.
Donner sans justification l’ordre de grandeur de la masse de la Terre.
7) Un autre satellite 𝑆 ′ , de masse 𝑚′ , en orbite circulaire autour de la Terre a une trajectoire
de rayon 𝑟 égal au rayon de la trajectoire de 𝑆. Les deux satellites tournent dans le même plan.
𝑆 et 𝑆 ′ risquent-ils de se heurter au cours de leur mouvement ? On justifiera la réponse apportée.

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Deuxième partie : Étude énergétique

La force à laquelle le satellite 𝑆 est soumis dérive d’une énergie potentielle ℰ𝑝 telle que ℰ𝑝 peut
𝛼
s’écrire sous la forme ℰ𝑝 = − avec 𝛼 constante positive. On prendra par convetion une énergie
𝑟
potentielle nulle à l’infini.

On ne se limitera pas dans cette partie à un mouvement circulaire, mais on

se placera dans le cas d’un mouvement quelconque du satellite 𝒮 autour de
la Terre.

˙
On notera 𝐶 la constante des aires donnée par 𝐶 = 𝑟2 𝜃.
8) Déterminer l’expression de 𝛼 en fonction des données du problème.
9) Déterminer l’expression de l’énergie mécanique ℰ𝑚 du satellite 𝑆 en fonction de 𝑚, 𝑟, 𝑟, ˙ 𝜃˙ et
𝛼.
En déduire l’expression de l’énergie potentielle effective du satellite en fonction de 𝑚, 𝐶, 𝑟 et 𝛼.
Donner l’allure de la représentation graphique de l’énergie potentielle effective en fonction de 𝑟.
En exploitant cette courbe, indiquer en fonction de la valeur de l’énergie mécanique le type de
trajectoire suivie par le satellite et préciser dans chaque cas s’il s’agit d’un état de diffusion ou
d’un état lié.
10) Déterminer l’énergie mécanique ℰ𝑚𝑐 associée à une trajectoire circulaire de rayon 𝑟𝑐 en
fonction de 𝑟𝑐 , 𝑚, ℛ et 𝑀𝑇 .
Déterminer la première vitesse cosmique 𝑣1 , vitesse du satellite sur une orbite basse de rayon 𝑅𝑇
autour de la Terre en fonction de 𝑅𝑇 , 𝒢 et 𝑀𝑇 .

 
Ex-TDR.3 Planètes [ENSTIM 2007]
Nous voulons étudier le mouvement d’une planète 𝑃 , assimilée à un point matériel dans le champ
de gravitation d’une étoile de masse 𝑀𝑒 de centre 𝑂, considérée comme ponctuelle et fixe. La
planète de masse 𝑀𝑝 est située à une distance 𝑟 = 𝑂𝑃 de 𝑂. Nous considérerons un référentiel
lié à l’étoile comme un référentiel galiléen.

TDR2• M7/SA4
1) Exprimer la force exercée par l’étoile sur la planète en fonction des masses 𝑀𝑝 et 𝑀𝑒 , 𝑟 = 𝑂𝑃 ,
−−→
−
→ 𝑂𝑃
𝒢, la constante universelle de gravitation et le vecteur unitaire 𝑒𝑟 = .
𝑟
2) Justifier précisément que le mouvement est plan. Préciser ce plan. On notera (− →
𝑒𝑟 , −
→
𝑒𝜃 ) la base
−
→
de projection dans ce plan et 𝑒𝑧 , un vecteur unitaire suivant la direction du moment cinétique en
→
−
𝑂, 𝐿 = 𝐿− →
𝑒𝑧 . Rappeler l’expression de la vitesse en coordonnées polaires. Préciser l’expression
d𝜃
de 𝐿 en fonction de 𝑀𝑝 , 𝑟 et .
d𝑡
3) On suppose dans cette question que la planète décrit un mouvement circulaire de rayon 𝑅
et de période 𝑇 . On notera 𝑣𝑐 , le module de la vitesse pour un mouvement circulaire.
3.a) Établir l’expression de la vitesse de la planète, 𝑣𝑐 en fonction de 𝑅, 𝒢 et 𝑀𝑒 .
3.b) En déduire une relation entre 𝑅, 𝑇 , 𝒢 et 𝑀𝑒 (3ème loi de Képler).
3.c) Exprimer alors la vitesse 𝑣𝑐 en fonction de 𝒢, 𝑇 et 𝑀𝑒 .
3.d) En déduire l’énergie cinétique et l’énergie mécanique en fonction de 𝒢, 𝑇 , 𝑀𝑝 et 𝑀𝑒 .
𝑝
4) On rappelle que l’équation polaire d’une ellipse est 𝑟(𝜃) = où 𝑝 est une distance
1 + 𝑒.𝑐𝑜𝑠(𝜃)
appelée paramètre et 𝑒, un coefficient positif sans dimension appelé l’excentricité compris entre
0 et 1. On se propose d’étudier le mouvement de la planète à l’aide du vecteur excentricité,
→
− 𝐿
𝑒 =− .−
→
𝑣 +− →
𝑒𝜃 où −→
𝑣 est la vitesse de la planète, −
→
𝑒 est un vecteur orthogonal au 1/2
𝒢.𝑀𝑒 .𝑀𝑝
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 Planètes / Piles 2010-2011

grand axe de l’ellipse voir figure ci-après). Aucune connaissance sur ce vecteur n’est nécessaire
pour répondre aux questions suivantes.
4.a) Montrer que ce vecteur est constant. Il
suffira de montrer que la dérivée de ce vecteur
est nulle.
4.b) En faisant le produit scalaire −
→
𝑒 .−
→
𝑒 et en
𝜃
s’aidant du dessin, montrer que
𝑝
𝑟(𝜃) =
1 + 𝑒 cos(𝜃)

et en déduire que le module de − →

𝑒 vaut l’excen-
tricité 𝑒 de la trajectoire. Préciser 𝑝 en fonction
de 𝒢, 𝑀𝑒 , 𝑀𝑝 et 𝐿.
4.c) Préciser la valeur de l’excentricité pour un mouvement circulaire.
4.d) Dans le cas d’un mouvement circulaire, préciser la valeur de 𝐿 en fonction de 𝑅, 𝑣𝑐 et 𝑀𝑝 .
Retrouver à l’aide du vecteur excentricité, l’expression de la vitesse de la planète, 𝑣𝑐 en fonction
de 𝑅, 𝒢 et 𝑀𝑒 .

 

Ex-TDR.4 Lune et satellite artificiel terrestres [ENSTIM 2003]
Pour cette partie, vous aurez à compléter, et à rendre avec la copie, la feuille annexe se trouvant
en fin de sujet.
La Terre possède un seul satellite naturel : la Lune. De nombreux satellites artificiels sont par
ailleurs placés en orbite autour de la Terre, dans des buts variés tels que les télécommunications,
la météorologie, la défense. . .
Cette partie se propose d’étudier quelques caractéristiques du mouvement des satellites terrestres.
On désignera par 𝑀𝑇 et 𝑅𝑇 respectivement la masse et le rayon de la Terre.
On donne 𝑅𝑇 = 6370 𝑘𝑚 et 𝑀𝑇 = 5, 98.1024 𝑘𝑔.
On rappelle que la constante de gravitation universelle a pour valeur 𝒢 = 6, 67.10−11 𝑁.𝑚2 .𝑘𝑔 −2 .
TDR2• M7/SA4

I. Mouvement de la Lune autour de la Terre

On précise que cette question ne nécessite aucune connaissance préalable d’astronomie.
I.1) Le centre 𝐿 de la Lune décrit, de manière uniforme, autour de la Terre, une orbite circulaire
de centre 𝑇 telle qu’en un jour le segment [𝑇 𝐿] balaie un angle de 0,230 radian.
I.1.a) Déterminer, en jours, la période 𝑇𝐿 de ce mouvement circulaire de la Lune autour de la
Terre.
I.1.b) Sachant que le rayon 𝑅𝑇 𝐿 de l’orbite circulaire décrite par la Lune est de 3, 84.105 𝑘𝑚,
en déduire la valeur de la masse de la Terre (on justifiera la réponse). Le résultat est-il cohérent
avec les données ?
I.2) On sait que la Lune, dans son mouvement autour de la Terre, nous présente toujours la
même face. En déduire les caractéristiques du mouvement propre de la Lune.
I.3.a) Le schéma (I) de la feuille annexe représente les différentes phases de la Lune. On dit
que la Lune est nouvelle lorsque la face qu’elle présente à la Terre n’est pas éclairée. Identifier la
nouvelle Lune sur ce schéma, et préciser comment elle est alors vue depuis la Terre.
I.3.b) Le cycle des phases de la Lune, appelé lunaison, dure 𝑇𝑁 = 29, 5 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠. Pour expliquer
la différence entre cette durée, et la période du mouvement circulaire de la Lune autour de la
Terre, on doit prendre en compte le mouvement de la Terre autour du Soleil.
Sur le schéma (II) de la feuille annexe, dessiner les positions de la Lune lors des nouvelles lunes
successives à 𝑡 et 𝑡 + 𝑇𝑁 . Dessiner aussi la position de la lune à la date 𝑡 + 𝑇𝐿 .

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2010-2011 Planètes / Piles

Sachant que la Terre est en orbite circulaire de période 𝑇𝑇 = 365 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠 autour du Soleil, retrouver
la valeur de 𝑇𝑁 = 29, 5 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠 pour la lunaison.

II. Quelques aspects de la satellisation

En l’absence de précision explicite, on négligera tout frottement dû à l’atmosphère sur le satellite.
II.1) On s’intéresse à un satellite artificiel, de masse 𝑚, en orbite circulaire de rayon 𝑅 autour
de la Terre.
II.1.a) Montrer que le mouvement du satellite autour de la Terre est uniforme, et exprimer
littéralement la vitesse 𝑣0 . On exprimera d’abord 𝑣0 en fonction de 𝒢, 𝑀𝑇 et 𝑅, puis en fonction
de 𝑔0 , 𝑅𝑇 et 𝑅, où 𝑔0 désigne l’intensité du champ de pesanteur terrestre à la surface de la Terre.
II.1.b) Le satellite SPOT (Satellite sPécialisé dans l’Observation de la Terre) est en orbite
circulaire à l’altitude ℎ = 832 𝑘𝑚 au-dessus de la Terre. Calculer numériquement la vitesse 𝑣0
de SPOT sur son orbite.
II.2) La vitesse de libération 𝑣1 d’un satellite est la plus petite vitesse qu’il faut lui communiquer
à la surface de la Terre pour qu’il aille à l’infini (en « se libérant » de l’attraction terrestre).
Exprimer 𝑣1 en fonction de 𝒢, 𝑀𝑇 et 𝑅𝑇 et calculer sa valeur.
II.3) Dans le cas d’une orbite circulaire du satellite autour de la Terre, montrer que l’énergie
mécanique ℰ𝑚 du satellite est liée à son énergie cinétique ℰ𝑐 par : ℰ𝑚 = −ℰ𝑐 .
Si l’on tient à présent compte de la force de frottement de l’atmosphère sur le satellite, en déduire,
en le justifiant, son effet sur la vitesse du satellite.
II.4) Pour un satellite de masse 𝑚 en mou-
vement (quelconque) autour de la Terre, et
uniquement soumis à la force gravitationnelle
terrestre, l’énergie mécanique peut s’écrire de
la même façon que celle d’un point matériel
en mouvement rectiligne placé dans un poten-
tiel effectif 𝑈eff (𝑟) dont la courbe représenta-
tive est donnée sur la figure ci-contre :
( )2
1 d𝑟

TDR2• M7/SA4
ℰ𝑚 = 𝑚 + 𝑈eff (𝑟)
2 d𝑡

avec 𝑟 la distance du satellite au centre de la

Terre.
Après avoir justifié que l’énergie mécanique
ℰ𝑚 du satellite est une constante de son mou-
vement, préciser, pour chacune des valeurs de
ℰ𝑚 (notées de (1) à (5)) représentées sur la
figure, la nature de la trajectoire du satellite
et celle de son état, lié ou de diffusion.

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 Planètes / Piles 2010-2011
TDR2• M7/SA4

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2010-2011 Planètes / Piles

Solution Ex-TDR.1
1.a) Les couples mis en jeu dans les deux compartiments de la pile sont identiques (𝐹 𝑒3+ /𝐹 𝑒2+ ) :
il s’agit d’une « pile de concentration ». Les demi-équations électroniques et la formule de Nernst,
pour chaque demi-pile sont donc :
( )
[𝐹 𝑒3+ ]
𝐹 𝑒3+ + 𝑒− ⇌ 𝐹 𝑒2+ ∘
𝐸 = 𝐸(𝐹 𝑒3+ /𝐹 𝑒2+ ) + 0, 06. log
[𝐹 𝑒2+ ]

• Pour la demi-pile (1) : [𝐹 𝑒3+ ],

1 = [𝐹 𝑒
2+ ] . Son potentiel est donc : 𝐸 = 𝐸 ∘
,
1 ,
1 (𝐹 𝑒3+ /𝐹 𝑒2+ )

• Pour la demi-pile (2) : [𝐹 𝑒3+ ],

2 = 𝑐 = 10
−2 𝑚𝑜𝑙.𝐿−1 et [𝐹 𝑒2+ ] = 𝑥.
(𝑐) ,
2

Son potentiel est donc : 𝐸, ∘

2 = 𝐸(𝐹 𝑒3+ /𝐹 𝑒2+ ) + 0, 06. log
𝑥
• La tension 𝑈12 s’écrit :
(𝑐) (𝑥)
∘ ∘
𝑈12 = 𝑉1 − 𝑉2 = 𝐸,
1 − 𝐸,
2 = 𝐸(𝐹 𝑒3+ /𝐹 𝑒2+ ) − 𝐸(𝐹 𝑒3+ /𝐹 𝑒2+ ) − 0, 06. log = 0, 06. log
𝑥 𝑐
𝑈12
On en déduit, pour 𝑈12 = 18 𝑚𝑉 : 𝑥 = 𝑐.10 0,06 = 2.10−2 𝑚𝑜𝑙.𝐿−1
1.b) De la polarité des électrodes (𝑈12 = 𝐸, 1 − 𝐸, 2 > 0), on déduit :
• que la demi-pile 1 est le pôle ⊕ tandis que la demi-pile 2 est le pôle ⊖.
• lorsque la pile débite, le courant circule, dans le circuit électrique, de la borne ⊕ vers la borne
⊖. Par conséquent, les électrons circulent en sens inverse. Ils sont donc émis par la borne ⊖
(qui est donc le siège d’une oxydation) et consommés à la borne ⊕ (qui est donc le siège d’une
réduction). Finalement :
{
demi-pile 1 : borne ⊕ réduction à la cathode : 𝐹 𝑒3+ + 𝑒− → 𝐹 𝑒2+
demi-pile 2 : borne ⊖ oxydation à l’anode : 𝐹 𝑒2+ → 𝐹 𝑒3+ + 𝑒−

• La bilan de la réaction, en indiçant les espèces pas le numéro de la demi-pile dans laquelle elles
se trouvent :
3+ 2+ 2+ 3+

TDR2• M7/SA4
𝐹 𝑒,
1
+ 𝐹 𝑒,
2
→ 𝐹 𝑒, 1
+ 𝐹 𝑒,
2

2.a) Lorsque l’interrupteur est ouvert, la différence de potentiel entre les électrode est donnée
par la formule de Nernst.
• Pour la solution (A), la demi-équation électronique s’écrit :
( )
3+ − 2+ ∘ [𝐹 𝑒3+ ] ∘
𝐹𝑒 + 𝑒 ⇌ 𝐹𝑒 ⇒ 𝐸,
1 = 𝐸(𝐹 𝑒3+ /𝐹 𝑒2+ ) + 0, 06. log = 𝐸(𝐹 𝑒3+ /𝐹 𝑒2+ ) = 0, 77 𝑉
[𝐹 𝑒2+ ]

• Pour la solution (C), la demi-équation électronique s’écrit : 𝐶𝑟2 𝑂72− + 14𝐻 + +6𝑒− ⇌ 2𝐶𝑟3+ +
7𝐻2 𝑂 ou encore : 𝐶𝑟2 𝑂72− + 14𝐻3 𝑂+ + 6𝑒− ⇌ 2𝐶𝑟3+ + 21𝐻2 𝑂
La formule de Nernst fournit :
( )
∘ 0, 06 [𝐶𝑟2 𝑂72− ].ℎ1 4
𝐸,2 = 𝐸(𝐶𝑟 𝑂 2− /𝐶𝑟 3+ ) + . log
2 7 6 [𝐶𝑟3+ ]

• Toutefois, le potentiel standard du couple 𝐶𝑟2 𝑂72− /𝐶𝑟3+ n’est pas donné. On écrit alors :

𝐶𝑟2 𝑂72− + 14𝐻 + + 12𝑒− ⇌ 2𝐶𝑟 + 7𝐻2 𝑂 (×1) 𝐸𝑎

𝐶𝑟 ⇌ 𝐶𝑟3+ + 3𝑒− (×2) 𝐸𝑏
2− + − 3+
𝐶𝑟2 𝑂7 + 14𝐻 + 6𝑒 ⇌ 2𝐶𝑟 + 7𝐻2 𝑂 𝐸𝑐

On a, pour ces trois couples dans une même solution : 𝐸𝑎 = 𝐸𝑏 = 𝐸𝑐 , avec :

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 Planètes / Piles 2010-2011
⎫
12𝐸𝑎 = 12𝐸𝑎∘ + 0, 06. log([𝐶𝑟2 𝑂72− ].ℎ14 ) 


⎬ ( )
6𝐸𝑏 = 6𝐸𝑏∘ + 0, 06. log[𝐶𝑟3+ ]2 2− 14
( ) ⇒ 12𝐸 −6𝐸 = 12𝐸 ∘ −6𝐸 ∘ +0, 06. log [𝐶𝑟2 𝑂7 ].ℎ
𝑎 𝑏
[𝐶𝑟2 𝑂72− ].ℎ14 
𝑎 𝑏
[𝐶𝑟3+ ]2
6𝐸𝑐 = 6𝐸𝑐∘ + 0, 06. log 3+ 2

⎭
[𝐶𝑟 ]
(((
Soit : (12𝐸 ( ∘ ∘
(𝑎 − 6𝐸𝑏 = 12𝐸𝑎 − 6𝐸𝑏 +  6𝐸𝑐 − 6𝐸𝑐∘
Donc : 𝐸(𝐶𝑟 𝑂2− /𝐶𝑟3+ ) = 𝐸𝑐 = 2𝐸𝑎 − 𝐸𝑏∘ = 2 × 0, 31 − (−0, 71) = 1, 33𝑉
∘ ∘ ∘
2 7

• Finalement, le potentiel de la demi-pile 2 vaut :

( −2 )
10 × 114
𝐸,2 = 1, 33 + 0, 01. log = 1, 33 + 0, 02 = 1, 35 𝑉
(10−2 )2

où l’on a utilisé le fait que [𝐻 + ] = 1, 0 𝑚𝑜𝑙.𝐿−1 (p𝐻 = 0).

• La tension aux bornes de la cellule électrochimique vaut donc :

𝑈12 = 𝐸,
1 − 𝐸,
2 = 0, 77 − 1, 35 = −0, 58 𝑉 < 0

Cl : La borne ⊕ est la demi-pile 2, la borne ⊖ la demi-pile 1.

2.b) Lorsque la pile débite, le courant circule à travers la résistance, de la borne ⊕ (demi-pile
2) vers la borne ⊖ (demi-pile 1). On en déduit que la demi-pile 1 est l’anode (le courant y entre)
tandis que la demi-pile 2 est la cathode (le courant en sort).

Anode/oxydation : 𝐹 𝑒2+ → 𝐹 𝑒3+ + 𝑒− (×6)

Cathode/réduction : 𝐶𝑟2 𝑂72− + 14𝐻 + + 6𝑒− → 2𝐶𝑟3 + +7𝐻2𝑂 (×1)
Bilan : 𝐶𝑟2 𝑂72− + 6𝐹 𝑒2+ + 14𝐻 + −
↽−
⇀
−− 2𝐶𝑟3+ + 6𝐹 𝑒3+ + 7𝐻2 𝑂

2.c) La constante de la réaction s’obtient en égalant les potentiels de Nernst. D’après le cours,
on a ∘ ∘
6.(𝐸 2− /𝐶𝑟 3+ ) −𝐸(𝐹 𝑒3+ /𝐹 𝑒2+ ) )
(𝐶𝑟2 𝑂7 1,33−0,77
∘
𝐾 = 10 0.06 = 10 0,01 ⇒ 𝐾 ∘ = 1056 ≫ 1
Cl : La réaction peut-être considérée comme totale.
TDR2• M7/SA4

2.d) Ne possédant que des informations sur les concentrations dans les demi-piles, pour faire
un tableau d’avancement, on doit supposer que leurs volumes sont identiques et faire un tableau
d’avancement en termes de concentration.
𝐹 𝑒2+ est le réactif limitant.

[𝐶𝑟2 𝑂72− ] = 0, 83.10−2 𝑚𝑜𝑙.𝐿−1 [𝐶𝑟3+ ] = 1, 3.10−2 𝑚𝑜𝑙.𝐿−1 [𝐹 𝑒3+ ] = 2.10−2 𝑚𝑜𝑙.𝐿−1

• Pour trouver [𝐹 𝑒2+ ], on utilise la constante d’équilibre en tenant compte qu’on travaille à
p𝐻 = 0.
( ) 16
2+ 3+ [𝑐𝑟3+ ]2
[𝐹 𝑒 ] = [𝐹 𝑒 ]. ⇒ [𝐹 𝑒2+ ] = 4, 9.10−2 𝑚𝑜𝑙.𝐿−1
𝐾 ∘ .[𝐶𝑟2 𝑂72− ].ℎ14

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2010-2011 Planètes / Piles

Solution Ex-TDR.2
−→ 𝒢𝑀𝑇 →
1) 𝐺𝑇 (𝑀 ) = − 2 .−
𝑒𝑟 F
GMT.m
=- er
𝑟 O M r2
(RG)
2) le référentiel ℛ qui a pour ori- G (M)=-
GMT
er
T r2
gine le centre de la Terre et trois axes e
dirigés vers trois étoiles fixes est le ré- r M (m) r = eO M
férentiel géocentrique ℛ𝐺 . O
Le satellite est soumis à la force : MT

−
→ −→ 𝒢𝑀𝑇 .𝑚 −
→
𝑓 = 𝑚.𝐺𝑇 (𝑀 ) = − 2
𝑒𝑟
𝑟
−
→ −
→ 𝒢𝑀𝑇 .𝑚 −
→
D’après le principe de l’action et de la réaction : 𝑓 ′ = − 𝑓 = 𝑒𝑟
𝑟2
3) D’après le théorème du moment cinétique en 𝑂 dans ℛ galiléen :
( −→ )
d 𝐿 𝑂/ℛ (𝑀 ) −→ −−→ − → − →
= ℳ𝑂 ( 𝑓 ) = 𝑂𝑀 × 𝑓 = 0
d𝑡
ℛ
{ −→
→
− −−→ = Cte
Donc 𝐿 𝑂/ℛ (𝑀 ) = 𝑂𝑀 × −
𝑣−−→
−−→ −−→
⊥ (𝑂𝑀 , −
𝑀/ℛ
𝑣𝑀/ℛ ) ∀𝑡
−−→
Donc 𝑂𝑀 et − 𝑣− −→
𝑀/ℛ (qui définissent le mouvement) sont perpendiculaires à une direction constante
−
→
de l’espace : le mouvement est donc contenu dans le plan perpendiculaire à 𝐿 𝑂/ℛ
−−→ −−→ −−−→ →
Le plan du mouvement est donc le plan (𝑂𝑀 , − 𝑣 ) = (𝑂𝑀 , −𝑣 )
𝑀/ℛ 0 0

4) Principe fondamental de la dynamique appliqué dans ℛ galiléen au satellite 𝑆 :

−→ − → 𝒢𝑀𝑇 𝑚 𝑣2 𝒢𝑀𝑇 𝑚
𝑚.−
𝑎−
𝑀/ℛ = 𝑓 ⇔ 𝑚 𝑟¨ − 𝑟𝜃˙2 = − ⇔ 𝑚 − = −
𝑟2 𝑟 𝑟2
d𝑣
𝑟𝜃¨ + 2𝑟˙ 𝜃˙ 0 0
d𝑡

TDR2• M7/SA4
(−
→
𝑒𝑟 , −
→
𝑒𝜃 ,−
→
𝑒𝑧 ) 𝑧¨ 0 0 0

d𝑣
• D’où en projection selon −
→
𝑒𝜃 : 𝑚 = 0, soit : 𝑣 = Cte (le module de la vitesse est constant)
d𝑡 √
𝑣2 𝒢𝑀𝑇 𝑚 𝒢𝑀𝑇
• D’où en projection selon −
→
𝑒𝑟 : −𝑚 = − , soit : 𝑣=
𝑟 𝑟2 𝑟
√
2𝜋.𝑟 𝑟3 𝑇2 4𝜋 2
5) 𝑇 = = 2𝜋 d’où la 3ème loi de Képler : =
𝑣 𝒢𝑀𝑇 𝑟3 𝒢𝑀𝑇
6) On peut à partir de la trajectoire d’un satellite naturel (la Lune) ou artificiel connaitre 𝑟 et
𝑇 et en déduire la masse de la Terre : 𝑀𝑇 = 6.1024 𝑘𝑔 .
7) Les deux satellites 𝑆 et 𝑆 ′ étant sur la même orbite, tournent à la même vitesse constante
(indépendante de leurs masses 𝑚 et 𝑚′ !) : ils ne peuvent donc pas se heurter.
−
→ 𝒢𝑀𝑇 .𝑚 −
→ dℰ𝑝 −
→
8) 𝑓 = − 2
𝑒𝑟 = − 𝑒𝑟 soit :
𝑟 d𝑟
𝒢𝑀𝑇 .𝑚  (pour avoir ℰ𝑝 (∞) = 0)
ℰ𝑝 = − +
Cte
𝑟
𝛼
Donc : ℰ𝑝 = − avec 𝛼 = 𝒢𝑀𝑇 .𝑚 > 0
𝑟
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 Planètes / Piles 2010-2011

9) 1 𝛼 1 𝛼
ℰ𝑚 = ℰ𝑘 + ℰ𝑝 = 𝑚𝑣 2 − = 𝑚.(𝑟˙ 2 + 𝑟2 𝜃˙2 ) −
2 𝑟 2 𝑟
1 1 𝐶 2 𝛼
= 𝑚.𝑟˙ 2 + 𝑚. 2 −
2
| {z } 2 𝑟
| {z } 𝑟
ℰ𝑘,radiale ℰ𝑘,orthoradiale

1 1 𝑚𝐶 2 𝛼
⇒ ℰ𝑚 = 𝑚𝑟˙ + ℰ𝑝,eff avec : ℰ𝑝,eff = −
2 2 𝑟2 𝑟

• lim ℰ𝑝,eff = +∞ et lim ℰ𝑝,eff = 0−

𝑥→0+ 𝑥→+∞
( )
dℰ𝑝,eff 𝑚𝐶 2
• ℰ𝑝,eff est minimale soit : = 0 en 𝑟𝑚 =
d𝑟 𝛼
𝑟𝑚
• ℰ𝑝,eff = 0 pour 𝑟 =
2
• Plusieurs cas possibles à condition d’avoir ℰ𝑚 ≥
ℰ𝑝,𝑒𝑓 𝑓 :
- cas (5), ℰ𝑚 > 0 : mvt hyperbolique (état de diffusion)
- cas (4), ℰ𝑚 = 0 : mvt parabolique (état de diffusion)
- cas (3), ℰ𝑚 < 0 : mouvement elliptique (état lié)
- cas (2), ℰ𝑚,min < 0 : mouvement circulaire (état lié)
- cas (1) : situation impossible.
10) • En remplaçant la vitesse par son expression sur une trajectoire circulaire (cf. 4)) dans la
définition de ℰ𝑚 :

1 𝛼 1 𝒢𝑀𝑇 𝒢𝑀𝑇 .𝑚 1 𝒢𝑀𝑇 .𝑚 ℰ𝑝

ℰ𝑚 = 𝑚𝑣 2 − = 𝑚. − ⇒ ℰ𝑚 = − = −ℰ𝑘 =
2 𝑟 2 𝑟𝑐 𝑟𝑐 2 𝑟𝑐 2
√
𝒢𝑀𝑇
• Première vitesse cosmique : 𝑣1 = (vitesse sur le cercle de rayon 𝑅𝑇 ).
𝑅𝑇
TDR2• M7/SA4

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