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Electrostatique

1) Etude de lignes de champ :

On considère la carte de lignes de champs suivante : on note 𝑞 la valeur absolue de la
plus petite des charges. Les charges sont situées dans ce plan et elles sont tous multiples entiers
de q. Pour chaque charge, au moins une ligne de champ lui correspondant est tracée. Dans le
plan que l’on munit d’un repère, on note : 𝐴: (24𝑎, 75𝑎); 𝐵: (0,0); 𝐶: (24𝑎, −8𝑎); 𝐷: (75𝑎, 0)
où 𝑎 est une unité arbitraire de longueur.

Donner
1) Les points du plan où sont situées les charges.
2) Le signe des charges et leurs valeurs.

2) Peut-on piéger une charge avec quatre charges ponctuelles :

Les pièges à ions sont des dispositifs permettant de stocker des particules chargées
pendant une longue durée, notamment dans le but de mesurer y

leurs propriétés avec précision. On se propose de voir s’il est A

possible de piéger une charge ponctuelle 𝑞’ avec quatre charges D B

ponctuelles 𝑞 > 0 disposées aux sommets d’un carré de côté 𝑎.

O x

C
Les quatre charges identiques sont situées dans le plan 𝑧 = 0,
aux sommets d'un carré, aux points ( 𝑎, 0, 0 ),
( −𝑎, 0, 0 ), ( 0, 𝑎, 0 ) et (0, −𝑎 , 0 ). La charge 𝑞’ de masse 𝑚 se déplace au voisinage de O.
1) Exprimer le potentiel électrostatique 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) au voisinage de O.
2) En déduire le champ électrostatique au voisinage de O.
3) Montrer qu’il n’existe pas de position d’équilibre si la charge 𝑞’ peut se mouvoir dans
tout l’espace.
4) Quelle est le mouvement de la charge 𝑞’ si elle est contrainte à se déplacer dans le
plan 𝑥𝑂𝑦 uniquement ?
On donne la formule de Taylor pour une fonction à trois variables au voisinage de zéro :
𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝑥2 𝜕2 𝑉 𝑦2 𝜕2 𝑉
𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑉 (0,0,0) + 𝑥 (𝜕𝑥 ) + 𝑦 (𝜕𝑦) + 𝑧 ( 𝜕𝑧 ) + (𝜕𝑥2 ) + (𝜕𝑦 2 ) +
0 0 0 2 0 2 0
𝑧2 𝜕2 𝑉 𝜕2 𝑉 𝜕2 𝑉 𝜕2 𝑉
(𝜕𝑧 2 ) + 𝑥𝑦 (𝜕𝑦𝜕𝑥) + 𝑥𝑧 (𝜕𝑧𝜕𝑥) + 𝑧𝑦 (𝜕𝑦𝜕𝑧)
2 0 0 0 0

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Pour piéger une particule chargée il faut donc modifier le dispositif soit en ajoutant un champ
magnétique (piège de Penning) soit en mettant un champ électrique variable (piège de Paul )

3) Distribution de charges à symétrie sphérique :

Soit la distribution de charge de densité volumique :
𝑟2
𝜌(𝑟) = 𝜌𝑜 (1 − 𝑎2 ) pour 𝑟 ≤ 𝑎 ;
𝜌(𝑟) = 0 pour 𝑟 > 𝑎 .
Déterminer le champ et le potentiel dans tout l’espace.

4) Sources du champ :
On considère un champ électrostatique qui a pour expression en coordonnées cylindriques :
𝐸⃗ = 𝐴𝑟𝑢 ⃗ 𝑟 pour 𝑟 ≤ 𝑎 ;
𝐵
𝐸⃗ = 𝑟 𝑢
⃗ 𝑟 pour 𝑟 > 𝑎 .
Déterminer la répartition de charges et le potentiel associé à ce champ.

5) Poussière dans une galaxie :

On considère une galaxie comme l’espace compris entre les plans 𝑧 = −𝑎 et 𝑧 = +𝑎,
de masse volumique 𝜇.
Une poussière de masse 𝑚 pénètre dans cette galaxie ; elle est en 𝑧 = 𝑑 > 𝑎, au temps
𝑡 = 0, sans vitesse initiale. Décrire son mouvement.

6) Anomalie gravitationnelle :
On considère une météorite de rayon R, de masse volumique 𝜌1 = 4500 𝑘𝑔. 𝑚−3
enfouie sous une couche de sédiments d’épaisseur 𝑑 avec 𝑟 𝑀
𝑑 > 𝑅 de masse volumique 𝜌2 = 2100 𝑘𝑔. 𝑚−3 . On 𝑂
souhaite déterminer la variation de champ gravitationnelle 𝑑
produite par la présence de la météorite.
Déterminer la projection verticale de ∆𝑔(𝑀) =
𝑔(𝑀) − 𝑔𝑜 , où le point M est situé à la surface de la Terre
à
une distance 𝑟 de 𝑂.

7) Etude de différents modèles de l’atome :

Le modèle de Thomson de l’atome d’hydrogène.
Dans ce modèle on considère une boule uniformément chargée de rayon 𝑎, de charge totale +𝑒.
1) Calculer le champ électrique à l’intérieur et à l’extérieur de la boule.
2) On considère un électron dans le champ de cette boule. Y-a-t-il une position
d’équilibre ? Etudier sa stabilité.
3) On ajoute un champ uniforme constant 𝐸⃗𝑜 . L’électron a-t-il une position d’équilibre
stable ?
4) Calculer la valeur minimale de 𝐸𝑜 pour arracher l’électron à l’atome et calculer le
travail fourni pour ioniser l’atome.
On considère maintenant le modèle de Bohr de l’atome d’hydrogène. Le noyau est en 𝑂
et l’électron tourne autour du noyau avec une trajectoire circulaire de rayon 𝑎𝑜 .
5) Soit 𝐿⃗𝑜 le moment cinétique de l’électron par rapport à 𝑂 et on pose 𝐿⃗𝑜 . 𝑢⃗ 𝑧 = ℏ.
Exprimer le rayon de la trajectoire en fonction des données et en déduire l’énergie nécessaire
pour arracher l’électron à l’atome.

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6) On ajoute dans un plan un champ uniforme constant 𝐸⃗𝑜 et on considère que l’électron
a toujours une trajectoire circulaire mais de centre 𝑂’ ≠ 𝑂 avec ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑂′ ∥ 𝐸⃗𝑜 . La trajectoire est
dans un plan perpendiculaire à 𝐸⃗𝑜 . On appelle 𝑢⃗ 𝑧 le vecteur unitaire de la direction ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑂′ et on a
𝐿⃗𝑜′ . 𝑢
⃗ 𝑧 = ℏ.
𝑎
Si 𝑎 est le rayon de la trajectoire, montrer que 𝑎𝑜 = 2 3/2
(1+𝑘(𝑎)𝐸𝑜 )
8) Oscillations de plasma :
On considère un volume de plasma compris entre deux plans perpendiculaire à 𝑂𝑥 et
distants de ℎ. On désigne par 𝑛𝑜 la densité particulaire à l’équilibre des électrons et des ions.
On suppose les ions fixes et les électrons ne se déplaçant que selon 𝑂𝑥. On perturbe la
distribution d’équilibre en déplaçant tous les électrons d’une distance 𝑥 petite devant ℎ.
1) La distribution de charge dans le plasma est assimilable quand 𝑥 ≠ 0 à deux plans
portant des densités surfaciques de charges uniformes 𝜎 et −𝜎. Déterminer 𝜎 et en déduire
l’expression de la force qui agit sur un électron par suite de cette perturbation.
2) Etablir l’équation différentielle du mouvement des électrons de masse 𝑚𝑒 . Montrer
qu’ils effectuent des oscillations de pulsation 𝜔𝑝 . Exprimer 𝜔𝑝 en fonction de 𝑛𝑜 , 𝑒, 𝑚𝑒 et 𝜀𝑜 .

9) Oscillations de plasma, autre démonstration :

On considère un plasma constitué d’ions fixes (charge +𝑒, densité volumique 𝑛𝑜 ) et
d’électrons mobiles (charge – 𝑒 , densité volumique 𝑛𝑜 , masse 𝑚𝑒 ).
Le plasma initialement neutre subit une perturbation qui le met en vibration. A l’instant
𝑡 les électrons situés à l’équilibre en 𝑧 se retrouvent en 𝑧 + 𝜉 (𝑧, 𝑡).
Etablir l’équation différentielle vérifiée par la variable 𝜉 (𝑧, 𝑡) et en déduire la pulsation
d’oscillation p (pulsation de plasma).

10) Potentiel dans une cuve d'électrolyse :

Entre les plaques d'un condensateur plan, on introduit un électrolyte contenant par unité
de volume 𝑛𝑜 ions de charge +𝑞 et 𝑛𝑜 ions de charges −𝑞. On impose à la plaque inférieure du
condensateur (𝑥 = −𝑒/2) un potentiel −𝑉𝑜 et à la plaque supérieure (𝑥 = +𝑒/2) un potentiel
+𝑉𝑜 . La répartition de charge dans l’électrolyte n’est plus homogène mais dépend de la
température de l’électrolyte et de la valeur du potentiel au point considéré . On donne la
𝑞𝑉(𝑥)
répartition des charges positives est 𝜌 + = 𝑞𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑘 𝑇 ) et celle des charges négatives est
𝐵
− 𝑞𝑉(𝑥)
𝜌 = −𝑞𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑝 (+ ).
𝑘𝐵 𝑇
Déterminer, en fonction de la température T, le potentiel 𝑉(𝑥) entre les armatures. On
négligera les effets de bord et on supposera que |𝑞𝑉𝑜 | << 𝑘𝐵 𝑇.

11) L’empire contre-attaque :

La Terre (𝑀 = 6.1024 𝑘𝑔, 𝑅 = 6400 𝑘𝑚) est attaquée par l’Empire avec une arme
de destruction massive (étoile de la mort) qui la brise en
huit petites boules de même taille.
Quelle est l’ordre de grandeur de l’énergie
minimale 𝐸 de l’arme employée ? Les Terriens possèdent-
ils une telle arme ? L’énergie délivrée par une bombe H
est de l’ordre de 1019 𝐽.

12) Interaction de Keesom :

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Une molécule, de moment dipolaire 𝑝1, est situé en O et est dirigé selon 𝑂𝑥. Une seconde
molécule, de moment dipolaire 𝑝2, est situé en P. On note  l’angle (𝑂𝑥, 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) et  l’angle
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑝2 ).
(𝑂𝑃
1) Dans cette question, la distance 𝑟 = 𝑂𝑃 entre les deux molécules est supposée
constante. Calculer l’énergie potentielle du dipôle 𝑝2 dans le champ créé par le dipôle 𝑝1 : 𝐸𝑝 =
−𝑝2 . 𝐸⃗1(𝑃).
2) Quelles sont les positions d’équilibre ? Lesquelles sont stables ?

13) Interaction de Debye :

A l’origine 𝑂 est placée une molécule d’eau 𝐻2 𝑂 de moment dipolaire 𝑝𝑜 = 𝑝𝑜 𝑢 ⃗ 𝑥 et au
point M de coordonnées (𝑟, 0,0) une molécule non polaire par exemple de dioxygène 𝑂2 . Cette
molécule a une polarisibilité 𝛼 ce qui signifie qu’en présence d’un champ électrique 𝐸⃗ elle
acquiert un moment dipolaire induit : 𝑝𝑖𝑛𝑑 = 𝜀𝑜 𝛼𝐸⃗ .
Déterminer sans calcul le caractère attractif ou répulsif de la force qui s’exerce entre les
molécules ; calculer la force subie par la molécule polarisable.

14) Mouvement d’une charge ponctuelle dans le champ d’un dipôle :

On se propose d’étudier le mouvement d’une particule de masse m, de charge 𝑄 dans
 
le champ électrostatique d’un dipôle électrostatique de moment dipolaire p = p.u x , placé en O.
On donne les conditions initiales suivantes :
r (0) = ro ;  (0) = 0; r(0) = 0;(0) = vo  0 et 𝜑(0) = 0; 𝜑̇ (0) = 0
1) Trouver une équation du mouvement ne contenant que r et ses dérivées. On notera E
l’énergie mécanique de la particule. Discuter des différents mouvements possibles selon le
signe de E.
2) On se place dans le cas particulier où la trajectoire est circulaire. Quelle est la valeur
de E ? Calculer la période du mouvement en fonction des différentes données et de

d
I = 2 .
0
cos

15) Etude de la molécule de 𝑪𝑶𝟐 :

On considère la molécule de 𝐶𝑂2 : 𝑂 = 𝐶 = 𝑂, modélisée par la distribution de charges
suivantes :
1) Sans calcul, dessinez l’allure des équipotentielles et des -q 2q -q

a a

lignes de champ pour l’ensemble de la molécule. Les équipotentielles peuvent-elles se couper ?

2) Sans calcul quels sont les expressions possibles pour le potentiel si 𝑎 << 𝑟?
2𝐴 2𝐴 2𝐴 2𝐴 𝐴
a)− 𝑟 3 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 ; b) + 𝑟 3 (1 − 3𝑐𝑜𝑠𝜃) ; c) − 𝑟 3 𝑐𝑜𝑠𝜃 ; d) + 𝑟 3 (1 − 3𝑐𝑜𝑠 2 𝜃) ; e) − 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 ; f)
𝐴 𝐴 𝐴
+ 𝑟 2 (1 − 3𝑐𝑜𝑠𝜃) ; g) + 𝑟 2 (1 − 3𝑐𝑜𝑠 2 𝜃) ; h) − 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 .
Par le calcul déterminer A.
3) Quelle est le champ électrostatique créé par ce quadripôle ?
4) En déduire le flux de ce champ à travers une sphère de rayon 𝑟. Commenter le résultat.

Indications
1) Etude de lignes de champ :

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L’étude des lignes de champ montre que point 𝐶 est un point de champ nul ; il n’y a que trois
charges : en 𝐵 et en 𝐷 une charge positive et en 𝐴 une charge négative ; exploiter le champ nul
en 𝐶.
2) Peut-on piéger une charge avec quatre charges ponctuelles :
1) Il faut remarquer que le champ électrostatique est nul en 𝑂 ; plusieurs méthodes pour calculer
le potentiel, soit par un calcul direct puis des DL en considérant 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≪ 𝑎, soit en faisant
directement un DL de 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) et en exploitant les symétries du problème et l’équation de
Laplace ; 3) on ne peut pas avoir à la fois une position d’équilibre stable dans le plan 𝑥𝑂𝑦 et
sur l’axe des 𝑧 ; 4) montrer que si 𝑞’ est de même signe que 𝑞 elle a un mouvement elliptique.
3) Distribution de charges à symétrie sphérique :
Par symétrie 𝐸⃗ = 𝐸(𝑟)𝑢 ⃗ 𝑟 ; appliquer le théorème de Gauss ; puis pour le potentiel 𝑉(𝑟), faire
circuler le champ de r à l’infini. On pose 𝑉(𝑟 → ∞) = 0 car il n’y a pas de charges à l’infini.
4) Sources du champ :
Appliquer le théorème de Gauss à un cylindre, puis différencier pour obtenir la charge contenue
dans un manchon cylindrique ; pour le potentiel, on ne peut pas poser 𝑉(𝑟 → ∞) = 0 car il y a
des charges à l’infini. Poser 𝑉(𝑟 = 𝑎) = 0.
5) Poussière dans une galaxie :
Calculer le champ gravitationnel créé par la galaxie en appliquant le théorème de Gauss puis
distinguer deux cas : si 𝑑 < 𝑎, la particule va avoir un mouvement harmonique et si 𝑑 > 𝑎, elle
a un mouvment uniformément accéléré à l’extérieur de la galaxie et harmonique à l’intérieur.
6) Anomalie gravitationnelle :
Calculer le champ gravitationnel créé par une boule de masse volumique 𝜌 ; dans cet exercice
on remplace une boule de masse volumique 𝜌2 par une boule de masse volumique 𝜌1
7) Etude de différents modèles de l’atome :
𝑑𝐹 𝑑𝐹𝑦
2) Travailler en coordonnées cartésiennes ; projeter la force et étudier le signe de 𝑑𝑥𝑥 et 𝑑𝑦 au
voisinage de la position d’équilibre ; 3) il suffit de rajouter à la force exercée par le noyau la
force exercée par le champ électrique 𝐸⃗𝑜 ; 4) Pour arracher l’électron à l’atome il faut que la
position d’équilibre soit plus grande que 𝑎 ; on calcule alors le travail pour passer de 𝑟 = 0 à
𝑟 = 𝑎 ; 5) Utiliser le PFD pour trouver une relation entre la vitesse et le rayon de la trajectoire,
puis exprimer le rayon en fonction de 𝐿𝑜 ; retrouver l’expression de l’énergie mécanique en
fonction du rayon de la trajectoire ; pour l’application numérique, donner le résultat en 𝑒𝑉 ; 6)
Faire une figure correcte, puis projeter le PFD sur 𝑢⃗ 𝑧 et sur 𝑢
⃗ 𝑟.
8) Oscillations de plasma :
1) Faire un bilan des charges pour un élément de volume 𝑑𝜏 quand les électrons se déplacent
de 𝑥 ; en déduire que le champ est celui de deux nappes surfaciques et en déduire la force
exercée sur un électron ; 2) Les électrons vont osciller.
9) Oscillations de plasma, autre démonstration :
Il faut travailler avec le système : tranche de plasma entre 𝑧 et 𝑧 + 𝑑𝑧 à l’instant 𝑡 ; écrire la
conservation de la charge entre 𝑡 et 𝑡 + 𝑑𝑡 pour en déduire 𝜌 ; puis à l’aide de l’équation de
Maxwell-Gauss, en déduire le champ électrique ; puis appliquer le PDF au système.
10) Potentiel dans une cuve d'électrolyse :
Introduire la densité de charge 𝜌(𝑥). L'équation de Poisson fournit une relation entre 𝑉(𝑥) et
𝜌(𝑥). Faire un DL pour pouvoir l’intégrer.
11) L’empire contre-attaque :
Calculer le champ gravitationnel créé par une planète de masse M et de rayon R, puis calculer
son énergie ; calculer la masse et la rayon de chaque petite sphère.
12) Interaction de Keesom :
𝑑𝐸𝑝 𝑑𝐸𝑝 𝑑2 𝐸𝑝 𝑑2 𝐸𝑝 𝑑2 𝐸𝑝
2) Les positions d’équilibre doivent vérifier : = 0; = 0; > 0; > 0; 𝑑𝜃𝑑𝜑 > 0.
𝑑𝜃 𝑑𝜑 𝑑𝜃2 𝑑𝜑2

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13) Polarisation d’un atome d’hydrogène :

Exprimer le champ électrique créé par le dipôle permanent placé en O sur le dipôle induit placé
en M ; en déduire le moment dipolaire induit et l’énergie potentielle du dipôle induit.
14) Mouvement d’une charge ponctuelle dans le champ d’un dipôle :
Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la charge q et le théorème de l’énergie
cinétique ; se servir de ce dernier pour éliminer le terme r 2 dans la composante radiale de
l’accélération. Intégrer l’équation différentielle et discuter selon le signe de E des différents
mouvements possibles. 2) D’après la question précédente, si E = 0, le mouvement est circulaire.
A l’aide d’une des expressions du 1), exprimer  2 en fonction de  et intégrer pour trouver la
période.
15) Etude de la molécule de CO2 :
1) Les lignes de champs sont dirigées vers les charges négatives et s’éloignent de la charge
positive ; 2) il ne faut faire aucun calcul mais s’aider du tracé des équipotentielles de la question
précédentes ; comme le champ du dipôle est en 1/𝑟 2, on peut prévoir que le champ du
quadripôle sera en 1/𝑟 3 ; 3) appliquer le théorème de Gauss à une sphère centrée en 𝑂, de rayon
𝑅.

Solutions
1) Etude de lignes de champ :
𝑞(𝐴) = 5𝑞(𝐵) et 𝑞(𝐷 ) = 4𝑞(𝐵).
2) Peut-on piéger une charge avec quatre charges ponctuelles :
𝑞 𝑥2 𝑦2 2𝑧 2 𝑞 𝑥 𝑦 𝑧
1) 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1 + 2 + 2 − 2 ) ; 2) 𝐸⃗ = (−2 2 𝑢 ⃗𝑥 −2 𝑢
⃗ 𝑦 + 4 𝑎2 𝑢
⃗ 𝑧) ;
4𝜋𝜀𝑜 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 4𝜋𝜀𝑜 𝑎 𝑎 𝑎2
𝑞𝑞′ 𝑥2 𝑦2 2𝑧 2
l’énergie potentielle de la charge q’ est : 𝐸𝑝 = 4𝜋𝜀 (1 + 𝑎2 + 𝑎2 − ) ; on ne peut jamais
𝑜 𝑎 𝑎2
𝜕𝐸𝑝 𝑞𝑞′
avoir > 0 ∀𝑥𝑖 ;4) dans le plan 𝑥𝑂𝑦 les équations du mouvements sont : 𝑚𝑥̈ = − 2𝜋𝜀 3 𝑥;
𝜕𝑥𝑖 𝑜𝑎
𝑞𝑞′ 𝑞𝑞′
𝑚𝑦̈ = − 2𝜋𝜀 3 𝑦 ; si 𝑞𝑞’ > 0 les solutions sont 𝑥 (𝑡) = 𝐴𝑥 𝑐𝑜𝑠 (√2𝜋𝜀 3 𝑡 + 𝜑𝑥 ) et 𝑦(𝑡) =
𝑜𝑎 𝑜 𝑚𝑎

𝑞𝑞′
𝐴𝑦 𝑐𝑜𝑠 (√2𝜋𝜀 3 𝑡 + 𝜑𝑦 ) ; la trajectoire est une ellipse dans le plan 𝑥𝑂𝑦.
𝑜 𝑚𝑎

3) Distribution de charges à symétrie sphérique :

2𝜌 𝑎3 2𝜌 𝑎3
Pour 𝑟 > 𝑎 𝐸⃗ = 𝑜 2 𝑢 ⃗ 𝑟 et 𝑉(𝑟) = 𝑜
15𝜀𝑜 𝑟 15𝜀𝑜 𝑟
𝜌𝑜 𝑟 𝑟3 𝜌𝑜 𝑎2 1 𝑟2 𝑟4
Pour 𝑟 ≤ 𝑎 𝐸⃗ = ( − )𝑢
⃗ 𝑟 et 𝑉(𝑟) = ( − + )
𝜀𝑜 3 5𝑎2 𝜀𝑜 4 6𝑎2 20𝑎4
4) Sources du champ :
𝑟
Pour 𝑟 ≤ 𝑎; = 2𝜀𝑜 𝐴 , 𝑉 = 𝐴(𝑎2 − 𝑟 2 ) ; pour 𝑟 > 𝑎, 𝜌 = 0, 𝑉 = −𝐵𝐿𝑛 (𝑎)
5) Poussière dans une galaxie :
1)Le champ gravitationnel de la galaxie est 𝑧 < −𝑎: 𝐺 (𝑧) = +4𝜋𝐺𝜇𝑎𝑢 ⃗ 𝑧 ; +𝑎 > 𝑧 >
−𝑎: 𝐺 (𝑧) = −4𝜋𝐺𝜇𝑧𝑢 ⃗ 𝑧 ; 𝑧 > +𝑎: 𝐺 (𝑧) = −4𝜋𝐺𝜇𝑎𝑢 ⃗ 𝑧 ; si 𝑑 < 𝑎, dans la galaxie l’abscisse
𝑧(𝑡) de la particule 𝛽 vérifie : 𝑚𝑧̈ + 4𝜋𝑚𝐺𝑧(𝑡) = 0 ; 𝑧(𝑡) = −𝑎𝑐𝑜𝑠(√4𝜋𝐺𝜇𝑡) ; elle ne sortira
jamais du nuage ; si 𝑑 > 𝑎 son mouvement est d’abord 𝑧(𝑡) = −4𝜋𝜇𝐺𝑎𝑡 2 + 𝑑, puis la
(𝑑−𝑎)𝑎
poussière pénètre dans la galaxie : 𝑧(𝑡) = 𝑎𝑐𝑜𝑠(√4𝜋𝐺(𝑡 − 𝑡1 ) − √ 𝑠𝑖𝑛(√𝜇4𝜋𝐺(𝑡 −
4𝜋
𝑡1 ), ce mouvement sera périodique, la poussière ressort de la galaxie pour 𝑧 = −𝑎, puis atteint
𝑧 = −𝑑 etc.

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6) Anomalie gravitationnelle :
4𝜋𝑅3 𝐺(𝜌1 −𝜌2)𝑑
∆𝑔𝑧 = 3(𝑑2 +𝑟 2 )3/2
7) Etude de différents modèles de l’atome :
𝑒 𝑒
1) 𝐸⃗ (𝑟 > 𝑎) = 4𝜋𝜀 𝑟 2 𝑢
⃗ 𝑟 ; 𝐸⃗ (𝑟 < 𝑎) = 4𝜋𝜀 𝑎3 𝑟𝑢
⃗ 𝑟 ; 2) La position 𝑟 = 0 est une position
𝑜 𝑜
4𝜋𝜀𝑜 𝑎3
d’équilibre stable ; 3) Nouvelle position d’équilibre stable : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑂é𝑞 = − 𝐸⃗𝑜 ; 4) 𝐸𝑜𝑚𝑖𝑛 =
𝑒
𝑒 𝑒2 ℏ2 4𝜋𝜀 𝑜 𝑒2 𝑚𝑒 4
; 𝑊𝑚𝑖𝑛 = 8𝜋𝜀 ; 5) 𝑎𝑜 = ; 𝐸𝑚𝑖𝑛 = 8𝜋𝜀 = 2ℏ2 (4𝜋𝜀 = 13,6 𝑒𝑉 ; 6) 𝑎𝑜 =
4𝜋𝜀𝑜 𝑎2 𝑜𝑎 𝑚𝑒 2 𝑜 𝑎𝑜 𝑜)
2
𝑎
3/2
𝑎6 𝑚2 𝑒2 2
(1+ 𝐸𝑜 )
ℏ4
8) Oscillations de plasma :
𝑛 𝑒2 𝑥 𝑛 𝑒2
1) 𝜎 = 𝑛𝑜 𝑒𝑥 ; 𝐹 = −𝑒𝐸⃗ = 𝑜𝜀 𝑢 ⃗ 𝑥 ; 2) 𝜔𝑝2 = 𝑚𝑜 𝜀
𝑜 𝑒 𝑜
9) Oscillations de plasma, autre démonstration :
𝑛 𝑒2
𝜉̈ + 𝑜 𝜉 = 0
𝑚𝑒 𝜀𝑜
10) Potentiel dans une cuve d'électrolyse :
𝑠𝑖𝑛ℎ√(𝜀𝑜 𝑘𝐵 𝑇/2𝑛𝑜 𝑞2 )𝑥
𝑉(𝑥) = 𝑉𝑜
𝑠𝑖𝑛ℎ√(𝜀𝑜 𝑘𝐵 𝑇/2𝑛𝑜 𝑞2 )𝑒/2
11) La Terre pulvérisée :
9𝐺𝑀 2
∆𝐸 = 5𝑅 𝑇 = 17. 1031 𝐽 ; l’énergie d’une bombe H a une énergie de l’ordre de 1012 𝐽 ; une
hypothèse émise par les physiciens fans de Star Wars est d’utiliser l’énergie d’un trou noir.
12) Interaction de Keesom :
𝑝 𝑝
1) 𝐸𝑝 = − 4𝜋𝜀1 2𝑟3 (2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑) ; 2) les positions d’équilibres stables sont :
𝑜
𝜋 𝜋 𝜋 𝜋
(0,0), (𝜋, 𝜋), (− , + ) , (+ , − ) ; les positions d’équilibres instables sont (0, 𝜋), (𝜋, 0) ; on
2 2 2 2
remarque que dans les positions stables, le dipôle 2 est aligné sur les lignes de champs du dipôle
𝑝 𝑝
1 et réciproquement ; 3) Pour la position stable (0,0), 𝐸𝑝 = − 2𝜋𝜀1 2𝑟3.
𝑜
13) Interaction de Debye :
3𝛼𝑝𝑜2
La force est attractive ; 𝐹 = − 2𝜋𝜀 7 𝑢
⃗ 𝑥.
𝑜𝑟
14) Mouvement d’une charge ponctuelle dans le champ d’un dipôle :
2E 2 Et 2
1) r.r + r 2 = ; r 2 − ro2 = ; si E > 0, r est une fonction croissante de t, si E < 0, r est
m m
une fonction décroissante de r et si E = 0, r est une constante donc le mouvement est circulaire.
4𝐼𝑟
2)𝑇 = 𝑜
𝑣𝑜
15) Etude de la molécule de 𝑪𝑶𝟐 :
2𝐴(1−3𝑐𝑜𝑠 2𝜃) 𝑞𝑎 2
2) par déduction le potentiel est du type : 𝑉(𝑟, 𝜃 ) = ; 𝐴 = 8𝜋𝜀 ; 3) 𝐸⃗ =
𝑟3 𝑜
3𝑞𝑎2 𝜋 3𝑞𝑎2
((1 − 3𝑐𝑜𝑠 𝜃 )𝑢 2
⃗ 𝜃 ) ; ∯ 𝐸⃗𝑛⃗𝑑𝑆 =
⃗ 𝑟 − 2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝑢 ∫0 8𝜋𝜀 𝑅2 (1 2
− 3𝑐𝑜𝑠 𝜃 )𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 = 0.
8𝜋𝜀𝑜 𝑟4 𝑜

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