Statique du Solide

I. Objectifs
Ce cours étudie le comportement de mécanismes en équilibres soumis aux actions externes.
Nous partirons d’actions connues (Pesanteur, Ressort…) pour déterminer les autres actions
inconnues exercées sur les mécanismes dans le but de dimensionner les éléments le constituant,
puis de les concevoir. Pourquoi ?

Pour éviter des catastrophes (un pont qui cède, une chaise qui rompt sous le poids de son
occupant…)

Pour se faire nous allons émettre quelques postulats.

Postulats :
- Les solides sont considérés indéformables (Les déformations restants faibles)
- Les liaisons sont supposées parfaites (pas de frottement, géométrie de surface de contact
parfaite…)
- Equilibre strict.

II. Actions mécaniques

1. Définition
- Une action mécanique est une cause capable :
- De modifier ou d’interdire le mouvement d’un corps,
- De déformer un corps.

2. Torseurs
Le torseur d’une action mécanique est composé d’une résultante de forces R⃗ et d’un moment
résultant M⃗ qui s’exprime au point d’application de ladite action.

𝑅⃗ 𝑋 𝐿
𝜏⃗ / = 𝑜𝑢 𝑌 𝑀
𝑀⃗ 𝑍 𝑁
Où R⃗ 𝑒𝑛 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 (𝑁) 𝑒𝑡 M⃗ 𝑒𝑛 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 𝑚è𝑡𝑟𝑒 (𝑁. 𝑚)

- Un torseur dont le moment est nul ( M⃗ = 0) est appelé glisseur

- Un torseur dont la résultante est nul R⃗ = 0 est appelé torseur couple
- Un torseur dont la résultante et le moment sont nul est appelé torseur nul.

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NB : Il faudra écrire un torseur chaque fois qu’on est en présence d’une action mécanique
qu’exerce le milieu environnant sur le solide isolé. On parle alors de torseur d’action mécanique
Extérieur.

Il existe deux types d’actions mécaniques :

 Les actions mécaniques dites de distance (Pesanteur, Force électromagnétique…)

 Les actions mécaniques dites de contact.
Celles-ci sont soit ponctuelles, linéique, ou
surfacique.

Contacts ponctuels
 L’action passe par le point de contact A.
 La direction de l’action de S1 sur S2 notée
𝐴 ⁄ ⃗ est perpendiculaire au plan tangent
commun si on néglige les frottements.
 Le sens est du solide S1 vers le solide S2.
 Le module 𝐴 ⁄ ⃗ est défini par la longueur du vecteur 𝐴 ⁄ ⃗, l’unité est le newton
(N)

Contacts linéiques
 On supposera l’action répartie uniformément sur toute la ligne du contact.
 Dans le cas d’une répartition uniforme, on peut remplacer cette charge linéique par une
action concentrée en C au milieu du contact [AB] telle que : 𝐶 / ⃗ = 𝑞. 𝑙 avec 𝑙 la
longueur du segment [AB].

Contacts Surfaciques
Dans le cas d’une répartition uniforme d’une pression sur une surface, entre deux solides
ou entre un solide et un fluide, on modélisera l’ensemble des micro-actions mécaniques par une
résultante globale au centre de la surface qui vaudra

𝐹 /
⃗ = 𝑝. 𝑆

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 - p : pression du fluide en pascal (Pa=N/m2).
- S : surface de contact en m2.
- 𝐹 ⃗
/ : Résultante des forces de pression en N.

Les liaisons cinématiques

Les actions mécaniques sont transmises par des liaisons cinématiques d’un système à un
autre. Aussi, il est nécessaire dans notre étude de connaitre les liaisons cinématiques et les efforts
qui sont transmis au travers de celles-ci.

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Remarque :

- Les liaisons sont supposées parfaites.

- Le torseur d’action mécanique est opposé au torseur de mouvement.

III. Repère galiléen

On appelle repère galiléen :

- Tout repère fixe par rapport à la terre

- Ou tout repère en mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport à la
terre

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 IV. Principe Fondamentale de la Statique (PFS)
Traduction torsorielle du PFS (=1 équation torsorielle)
La condition nécessaire pour qu’un système matériel S soit en équilibre par rapport à un
repère galiléen est que la somme des torseurs des actions mécaniques extérieures à S soit nulle :

∑{𝜏 ̅→ ⃗} = {0} Exemple : {𝜏 → ⃗} + {𝜏 → ⃗} + {𝜏 → ⃗} = {0}

La loi de BABAR
Afin d’appliquer le PFS, les différents torseurs d’AM doivent être exprimés au même
point. Pour se faire, il faut transporter les torseurs au point désiré. La résultante d’un torseur est
invariable c’est-à-dire qu’en tout point il est de même direction, sens et norme. Par contre le
moment est variable, il faut donc appliquer la loi de BABAR :

𝑅⃗
𝜏⃗ / =
𝑀 ⃗ = 𝑀 ⃗ + 𝐵𝐴⃗ ∧ 𝑅⃗
Traduction vectorielle du PFS (= 2 équations vectorielle)
Il est indispensable d’exprimer les torseurs au même point.

Théorème de la résultante statique : ∑ 𝑅 ̅→ ⃗ = 0⃗, exemple : 𝑅 →

⃗+𝑅 →
⃗+𝑅 →
⃗ = 0⃗

Théorème du moment statique : ∑ 𝑀 , ̅→

⃗ = 0⃗, exemple : 𝑀 , →
⃗+𝑀 , →
⃗+𝑀 , →
⃗ = 0⃗

Traduction scalaire du PFS pour un système spatial (= 6 équations scalaires)

Il faut exprimer les composantes algébriques des torseurs dans la même base (x, y, z)

∑ 𝑋 ̅→ = 0 𝑋 → +𝑋 → +𝑋 → =0
∑ 𝑌 ̅→ = 0 𝑌→ +𝑌 → +𝑌→ =0
∑ 𝑍 ̅→ = 0 𝑍 → +𝑍 → +𝑍 → =0
Exemple : 𝐿
∑ 𝐿 , ̅→ = 0 , → +𝐿 , → +𝐿 , → =0
∑ 𝑀 , ̅→ = 0 𝑀 , → +𝑀 , → +𝑀 , → =0
∑ 𝑁 , ̅→ = 0 𝑁 , → +𝑁 , → +𝑁 , → =0

Traduction scalaire du PFS pour un système plan (=3 équations scalaires)

On peut admettre qu’un mécanisme est « plan », si :

 La géométrie des liaisons d’un système matériel présente un plan de symétrie,

 Les AM extérieures exercées sur ce système sont symétriques par rapport à ce plan,
c’est-à-dire :
 Les résultantes des AM extérieures sont parallèles au plan de symétrie,
 Les moments des AM extérieures sont perpendiculaires au plan de
symétrie.

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Pour un système plan parallèle au plan (𝑂, 𝑥⃗, 𝑦⃗), tous les torseurs ont leurs composantes Z, L et
𝑋→ −
M nulles : {𝜏 → }∀ ∈( , ⃗, ⃗) = 𝑌 → −
− 𝑁 , → ( ⃗, ⃗, ⃗)

Le PFS ne fournira qu’un maximum de 3 équations significatives, à savoir le théorème :

𝑋 → +𝑋 → +𝑋 → =0
 De la résultante statique :
𝑌→ +𝑌 → +𝑌→ =0
 Du moment statique : 𝑁 , → + 𝑁 , → +𝑁 , → =0

On aurait le même raisonnement pour les systèmes plan (𝑂, 𝑥⃗, 𝑧⃗) et (𝑂, 𝑦⃗, 𝑧⃗)

V. Particularités des solides soumis qu’à des glisseurs

Soit un solide soumis à des AM modélisées par des torseurs glisseurs.

1. Solide soumis à 2 glisseurs.

Soit un solide S en équilibre sous l’action de 2 glisseurs 𝐴 →
⃗ 𝑒𝑡 𝐵 →
⃗ passant respectivement
par A et B, l’application du PFS se traduit par :
Le théorème de la résultante statique Le théorème du moment statique en A
𝐴 → ⃗ + 𝐵 → ⃗ = 0⃗ 𝑀 , → ⃗ + 𝑀 , → ⃗ = 0⃗
⟹ 𝐴 →⃗ = − 𝐵 →⃗ ⇒ 𝑀 , → ⃗ + 𝑀 , → ⃗ + 𝐴𝐵⃗ ∧ 𝐵 →
⃗ = 0⃗
⟹Les 2 glisseurs sont opposés (même norme, même direction, sens ⇒ 𝐴𝐵⃗ 𝑒𝑡 𝐵 → ⃗ colinéaires
contraire)
Or 𝐵 → ⃗ passe par B
⇒ la droite d’action de 𝐵 → ⃗ est (AB)
(même démonstration pour 𝐴 → ⃗)

Bilan :

Si un système est en équilibre sous l’action de 2 glisseurs alors ces 2 glisseurs :

- Sont opposés
- Et ont même droite d’action (passant par les points d’application)

2. Solide soumis à 3 glisseurs

Soit un solide S en équilibre sous l’action de 2 glisseurs 𝐴 →
⃗, 𝐵 →
⃗ 𝑒𝑡 𝐶 →
⃗ passant
respectivement par A, B et C.
L’application du PFS se traduit par :
Le théorème de la résultante statique

A →
⃗+B →
⃗+C →
⃗ = 0⃗

⟹La somme vectorielle des 3 glisseurs est nulle

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Le théorème du moment statique en A

𝑀 , →
⃗+𝑀 , →
⃗+ 𝑀 , →
⃗ = 0⃗

⇒𝑀 , →
⃗+𝑀 , →
⃗ + 𝐴𝐵⃗ ∧ 𝐵 →
⃗+𝑀 , →
⃗ + 𝐴𝐶⃗ ∧ 𝐶 →
⃗ = 0⃗

⇒ 𝐴𝐵⃗ ∧ 𝐵 →
⃗ + 𝐴𝐶⃗ ∧ 𝐶 →
⃗ = 0⃗

⇒ 𝐴𝐵⃗ ∧ 𝐵 →
⃗ = −𝐴𝐶⃗ ∧ 𝐶 →
⃗ (Les 2 vecteurs sont opposés)

Or le vecteur 𝐴𝐵⃗ ∧ 𝐵 →
⃗ est perpendiculaire au plan (𝐴𝐵⃗, 𝐵 →
⃗)

Et le vecteur 𝐴𝐶⃗ ∧ 𝐶 →
⃗ est perpendiculaire au plan (𝐴𝐶⃗ , 𝐶 →
⃗)

⇒ Les glisseurs 𝐵 →
⃗ et 𝐶 →
⃗ sont dans le plan (ABC)

(même démonstration pour 𝐴 →

⃗)

⇒ 𝐿𝑒𝑠 𝑔𝑙𝑖𝑠𝑠𝑒𝑢𝑟𝑠 𝐴 →
⃗, 𝐵 →
⃗ 𝑒𝑡 𝐶 →
⃗ sont coplanaires.

Bilan :

Si un système est en équilibre sous l’action de 3 glisseurs alors ces 3 glisseurs sont :

- Coplanaires
- Concourants ou parallèles
- De somme vectorielle nulle.

VI. Démarche de résolution.

Etape 1 : Isoler
Isoler un système matériel rendant extérieure(s) la(les) action(s) mécanique(s) connue(s) tout en
choisissant un isolement qui peut être résolu.

Etape 2 : BAME
Réaliser le bilan des actions mécaniques extérieures appliquées à ce système.

Le tableau suivant peut être utilisé pour répertorier les AM.

Force Point
Direction Sens Intensité Type de force
extérieure d’application

Etape 3 : Résoudre en appliquant le PFS et/ou le théorème des actions réciproques

La somme des AM extérieures est nulle :

{𝜏 ̅→ ⃗} = {0}

Qui se décompose encore comme suit :

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 ∑ 𝑋 ̅→ = 0
∑ 𝑌 ̅→ = 0
∑ 𝑍 ̅→ = 0
∑ 𝐿 , ̅→ = 0
∑ 𝑀 , ̅→ = 0
∑ 𝑁 , ̅→ = 0

Afin de faire ressortir les inconnues.

Remarque : pour la résolution d’un système à x inconnues il est nécessaire de disposer de x

équations. Dans le cas où nous ne disposons pas d’assez d’équations, on peut appliquer le
principe de la réciprocité.

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