Maths: Méthodes - Exercices - Problèmes
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MÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES
MATHS MPSI
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A. Bechata
N. de Granrut
Table des matières
III
Table des matières
IV
Table des matières
V
M
ÉT
H
O
11
D
E
Chapitre
Structures algébriques
1. Loi de composition interne
Définition 11.1.
Soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne sur E toute applica-
tion ∗ : E × E → E , c’est-à-dire que :
∀ x , y ∈ E 2, x ∗ y ∈ E .
Exemple
L’addition sur N est une loi de composition interne, elle est associative et 0 est
l’élément neutre pour ∗. Par contre, aucun élément de N\ {0} ne possède d’inverse
par +, car, si n ¾ 1, alors ∀m ∈ N, n + m ¾ 1 ⇒ n + m 6= 0.
2. Groupes
Définition 11.2.
On appelle groupe tout couple (G , ∗) où G est un ensemble non vide et ∗ une loi
de composition interne sur G . Cette loi ∗ doit être associative, posséder un élément
neutre e G et tout élément de G est inversible. Pour tout x ∈ G , on note x −1 son
unique inverse et, pour tout n ∈ Z, on définit x n par :
x · · · ∗ x} si n ∈ N∗
| ∗ {z
x = eG , x =
0 n
n fois .
...
(x −n )−1 si n ∈ Z∗−
205
Maths MPSI
On dit que le groupe (G , ∗) est commutatif si ∗ est une loi commutative. Dans ce
cas, on note plutôt « + » la loi ∗ (sauf si cela prête à confusion). L’élément neutre se
note 0G , l’inverse de tout élément x ∈ G se note −x et, pour tout entier n ∈ Z, on
définit nx par :
x + ··· +x si n ∈ N∗
0x = 0G , nx =
| {z }
n fois .
− ((−n ) x ) si n ∈ Z∗−
Exemple
Soit n ∈ N, on note nZ = {n a , a ∈ Z}. Montrons que (nZ, +) est un groupe en
prouvant qu’il s’agit d’un sous-groupe de (Z, +) . On a évidemment nZ ⊂ Z et (Z, +)
est un groupe. 0Z = 0 = n0 ∈ nZ . Si x , y ∈ nZ, alors il existe (a ,b ) ∈ Z2 tel que
x = n a et y = nb , donc :
∈Z ∈Z
z }| { z}|{
x + y = n (a + b ) ∈ nZ et − x = n (−a ) ∈ nZ.
206
M
ÉT
CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
H
O
D
Théorème : Groupe des permutations
E
L’ensemble (S X , ◦) (ensemble des permutations de X muni de la composition)
est un groupe (non commutatif sauf si X possède un seul élément).
3. Anneaux
Définition 11.5.
On appelle anneau tout triplet (A, +, ×) où A est un ensemble non vide, + et ×
deux lois de compositions internes telles que :
• (A, +) est un groupe (d’élément neutre 0A ) ;
• × est associative sur A, admet un élément neutre noté 1A et est distributive
par rapport à « + », c’est-à-dire que :
∈ A 3 , x × y + z = x × y + (x × z ) ,
∀ x,y,z
y +z ×x = y × x + (z × x ) .
Exemple
a
§ ª
On note D = , (a , n) ∈ Z × N (ensemble des nombres décimaux). Montrons
10n
que (D, +, ×) est un anneau commutatif. Si x , y ∈ D, il existe (a ,b ) ∈ Z2 et (n, m ) ∈
a b
N2 tels que x = n et y = m , donc :
10 10
∈Z ∈Z
z }| { z}|{
a 10m − b 10n ab
x −y = n+m
∈ D et x y = n +m ∈ D.
10 10
Par conséquent, + et × sont des lois de compositions internes de D. Les lois +
et × sont associatives et commutatives sur R, donc sur D. La distributivité de la
multiplication sur l’addition étant vraie sur R, elle est encore vraie sur D. En outre,
on a :
0 1
0R = 0 = 0 ∈ D, 1R = 0 ∈ D.
10 10
Puisque + et × admettent comme éléments neutres respectifs 0R et 1R dans R, et
que ces deux éléments sont dans D, on en déduit de + et × admettent des éléments
neutres dans D. Par conséquent, (D, +, ×) est un anneau commutatif.
207
Maths MPSI
4. Corps
Définition 11.7.
On appelle corps tout anneau (K , +, ×) commutatif dont tous les éléments diffé-
rents de 0A sont inversibles pour la loi ×.
multiplication usuelle).
208
Exercices
Structures algébriques
Exercices guidés
Exercices
Exercice 1 (5 min.)
Soit (G , ∗) un groupe tel que ∀x ∈ G , x 2 = e G . Montrer que ∗ est commutative.
2
Indication : On pourra considérer x ∗ y avec x , y ∈ G .
209
EX
Maths MPSI
position.
Montrer que (FG , ◦) n’est pas un groupe.
Indication : On pourra utiliser les fonctions :
f 1 : x 7→ −x et f 2 : x 7→ 1 − x .
1) Justifier que H ⊂ R∗ .
2) Établir que (H , ×) est un sous-groupe de (R∗ , ×) .
Exercice 8 (20
min.)
2πi
Soit j = exp , on rappelle que 1 + j + j 2 = 0. On note :
3
¦ ©
Z j = a + b j , (a ,b ) ∈ Z2 .
Montrer que Z j , +, × est un anneau commutatif.
210
CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
211
EX
Maths MPSI
212
Corrigés
Structures algébriques
Exercice A
Montrons qu’il s’agit d’un sous-groupe de (G , ∗) . Il est immédiat que Z (G ) ⊂ G et que
(G , ∗) est un groupe. e G ∈ Z (G ), car :
∀y ∈ G , e G ∗ y = y = y ∗ e G .
Soit x , x 0 ∈ Z (G ) , on a :
G, x ∗x0 ∗y = x ∗ x0 ∗y 0 = x ∗ y ∗x0
∀y ∈
x ∈Z (G )
⇔ y ∗x −1
=x −1
∗ y ⇒ x −1 ∈ Z (G ) ,
ce qui démontre que Z (G ) est un sous-groupe de (G , ∗), donc (Z (G ) , ∗) est un groupe.
Exercice B
a a0
1) Soit x , y ∈ Z2 , il existe (a , a 0 ) ∈ Z2 , (b,b 0 ) ∈ (Z∗ )2 tels x = , y = 0 et b,b 0 sont
b b
des entiers impairs. On a :
∈Z ∈Z
z }| { z}|{
a b 0 − a 0b aa0
x −y = 0 ∈ Z2 , x y = ∈ Z.
bb
|{z} bb 0
|{z}
impair impair
Par conséquent, + et × sont des lois de compositions internes de Z2 . Les lois + et × sont
associatives et commutatives sur R, donc sur Z2 . La distributivité de la multiplication
sur l’addition étant vraie sur R, elle est encore vraie sur Z2 . En outre, on a :
0 1
0R =
∈ Z2 , 1R = ∈ Z2 .
1 1
Puisque + et × admettent comme éléments neutres respectifs 0R et 1R dans R, et que
ces deux éléments sont dans Z2 , on en déduit de + et × admettent des éléments neutres
ÉS
IG
RR
213
CO
Maths MPSI
dans Z2 . Ainsi, (Z2 , +, ×) est un anneau. Par contre, ce n’est pas un corps. En effet, le
2 a
nombre 2 = ∈ Z2 , mais il n’existe aucun élément x = ∈ Z2 ((a ,b ) ∈ Z × Z∗ avec b
1 b
impair) tel que :
a
2x = 1 ⇔ 2 = 1 ⇔ |{z}
b = |{z}2a
b
impair pair
Exercice C
¨ est un sous-groupe de (C , ×) , pour tout b ∈ G , z g ∈ G . On peut, donc
1) Puisque G ∗
G → G
considérer f : . Elle est injective, car :
g 7→ z g
∀ g , g 0 ∈ G 2, f g = f g 0 ⇔ z g = z g 0 ⇔ g = g 0.
×z −1
L’application f étant injective entre deux ensembles finis de même cardinal, elle est
bijective. On peut alors effectuer le changement de variable h = f g ⇔ g = f −1 (h), ce
Y
(en divisant par g qui est non nul). Ceci fournit l’inclusion G ⊂ Un . Comme G et Un
g ∈G
sont deux ensembles finis de même cardinal, on en déduit que G = Un .
214
CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
Exercice 1
Pour tout x , y ∈ G 2 , on a :
2
xy = eG ⇔ x ∗ y ∗ x ∗ y = eG
⇒x ∗y ∗x ∗y =x ⇔ y ∗x ∗y =x
2
x∗ x 2 =e G
⇒ y ∗x ∗y = x ∗y ⇔ y ∗x = x ∗y.
2
∗y y 2 =e G
Exercice 2
1) Montrons que FG est un sous-groupe de (G , ∗) . On a évidemment FG ⊂ G et (G , ∗)
est un groupe. e G ∈ FG , car (e G )1 = e G . Si x , y ∈ FG , il existe n x , n y ∈ (N∗ )2 tel que :
¨
x n x = eG n n n
⇒ x ∗y x y = x n x n y ∗ y n x n y = (x n x )n y ∗ y n y x
y n y = eG ∗ est commutative
= (e G )n y ∗ (e G )n x = e G ∗ e G = e G ,
donc x ∗ y ∈ FG . En outre, on a :
n x
= x −n x = (x n x )−1 = (e G )−1 = e G ,
x −1
donc x −1 ∈ FG . Par conséquent, FG est un sous-groupe de (G , ∗), donc (F, ∗) est un groupe.
2) Il est immédiat que les f 1 et f 2 sont des bijections de R sur R, donc appartiennent
à SR . Un calcul direct montre que :
2
∀x ∈ R, f 1 (x ) = f 1 f 1 (x ) = f 1 (−x ) = − (−x ) = x
2
⇒ f 1 = IdR ⇒ f 1 ∈ FG .
2
∀x ∈ R, f 2 (x ) = f 2 f 2 (x ) = f 2 (1 − x ) = 1 − (1 − x ) = x
2
⇒ f 2 = IdR ⇒ f 2 ∈ FG .
Si l’on pose f 3 = f 2 ◦ f 1 , un autre calcul montre que :
∀x ∈ R, f 3 (x ) = f 2 f 1 (x ) = f 2 (−x ) = 1 − (−x ) = x + 1.
215
CO
Maths MPSI
Exercice 3
1) Pour tout x ∈ G , on a :
(Φa ◦ Φb ) (x ) = Φa (Φb (x )) = Φa b ∗ x ∗ b −1
= a ∗ b ∗ x ∗ b −1 ∗ a −1
= (a ∗ b ) ∗ x ∗ b −1 ∗ a −1
= (a ∗ b ) ∗ x ∗ (a ∗ b )−1 = Φa ∗b (x ) ,
donc :
∀ (a ,b ) ∈ G 2 , Φa ◦ Φb = Φa ∗b .
On remarque également que :
ΦeG : x 7→ e G ∗ x ∗ (e G )−1 = x ⇒ ΦeG = IdG ,
ce qui nous donne pour tout a ∈ G :
Φa ◦ Φa −1 = Φa ∗a −1 = ΦeG = IdG
Φ a −1 ◦ Φa = Φa −1 ∗a = ΦeG = IdG
donc Φa est bijective et (Φa )−1 = Φa −1 .
2) Montrons que I G est un sous-groupe de (SG , ◦) (ensemble des applications f : G →
G bijectives). D’après la question précédente, on a l’inclusion I G ⊂ SG et (SG , ◦) est un
groupe. On a également e SG = IdG = ΦeG ∈ I G . Pour tout f , g ∈ (I G )2 , il existe a ,b ∈ G
Exercice 4
Soit x ∈ H , pour tout y ∈ H , f y = y ∗ x ∈ H (car H est stable par ∗), donc f : H → H .
Comme H est une partie de G qui est un ensemble fini, alors H est aussi un ensemble
fini. L’application f : H → H est une injection entre deux ensembles finis de même
cardinal, donc elle est bijective. En particulier, il existe y ∈ H tel que :
f y = e G ⇔ y ∗ x = e G ⇒ y ∗ x ∗ x −1 = e G ∗ x −1 ⇔ x −1 = y ∈ H .
∗x −1
Par conséquent, H est un sous-ensemble non vide de G , il est stable par ∗ et par passage
à l’inverse, donc c’est un sous-groupe de (G , ∗) .
216
CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
Exercice 5
Il est immédiat que H ⊂ S{1,2,3} et S{1,2,3} , ◦ est un groupe. e S{1,2,3} = Id{1,2,3} ∈ H , car :
est un groupe.
Exercice 6
p
1) Soit z ∈ H , il existe x , y ∈ Z2 tel que z = x + y 3 avec :
p p
x 2 − 3y 2 = 1 ⇔ x + 3y x − y 3 = 1 ⇒ z 6= 0 ⇒ H ⊂ R∗ .
| {z }
=z
2) D’après
p la question précédente, on a H ⊂ R∗ et (R∗ , ×) est un groupe. 1 ∈ H avec
1 = 1 + 0 3 avec (1, 0) ∈ Z2 et 12 − 3.02 = 1. Soit (z , z 0 ) ∈ H 2 , il existe x , x 0 , y , y 0 ∈ Z4 tel
que : ¨ p
z = x + y 3, x 2 − 3y 2 = 1
p 2 .
z 0 = x 0 + y 0 3, (x 0 )2 − 3 y 0 = 1
On peut, alors écrire :
p
z z 0 = x x 0 + 3y y 0 + x y 0 + x 0 y 3
| {z } | {z }
∈Z ∈Z
et on a :
2 2 2 2
x x 0 + 3y y 0 − 3 x y 0 + x 0 y = x 2 x 0 + 6x x 0 y y 0 + 9y 2 y 0
2 2 2 2 2 2 2
−3 x 2 y 0 + 2x x 0 y y 0 + x 0 y 2 = x 2 x 0 − 3 y 0 −3 x0 −3 y 0 y
2 2
= x0 −3 y 0 x 2 − 3y 2 = 1 × 1 = 1,
1
avec x 2 − 3 −y = x 2 − 3y 2 = 1 donc ∈ H , ce qui démontre que (H , ×) est un sous-
2
z
groupe de (R∗ , ×) .
ÉS
IG
RR
217
CO
Maths MPSI
Exercice 7
Par définition, on a H ⊂ G et (G , +) est un groupe. 0G ∈ H , car :
0A + A = {0A + a , a ∈ A} = {a , a ∈ A} = A.
Soit (h, h 0 ) ∈ H 2 , donc h + A = A et h 0 + A = A, ce qui permet d’écrire :
h + h0 + A = h + h0 + a , a ∈ A = {h + b, b ∈ h 0 + A }
b =h 0 +a | {z }
=A
= {h + b, b ∈ A} = h + A = A,
donc h + h 0 ∈ H . En outre, on a :
A = {a , a ∈ A} = {−h + h + a , a ∈ A} = {−h + b, b ∈ h + A }
b =h+a | {z }
=A
= {−h + b, b ∈ A} = −h + A,
donc −h ∈ H , ce qui démontre que H est un sous-groupe de G .
Exercice 8
2
, il existe (a , a 0 ,b,b 0 ) ∈ Z4 tel que x = a + b j , y = a 0 + b 0 j , alors
Soit x , y ∈ Z j
on a :
x −y = a − a0 + b −b0 j ∈ Z j ,
| {z } | {z }
∈Z ∈Z
= a a 0 + a b 0 j + b a 0 j + bb 0 j 2 = a a 0 + a b 0 j + b a 0 j + bb 0 −1 − j
xy
= a a 0 − bb 0 + a b 0 + b a 0 − bb 0 j ∈ Z j .
| {z } | {z }
∈Z ∈Z
Exercice 9
1) Soit z ∈ Z j , il existe (a , a 0 ) ∈ Z2 tel que z = a + b j , donc :
|z |2 = z z = a + b j a + b j = a 2 + a b j + j + b 2 j j
2π 2
= a + a b 2 cos
2
+ b 2 j = a 2 − a b + b 2.
3
Ainsi, |z |2 est un entier relatif (comme somme et produit de tels nombres) et un réel
positif (c’est le carré d’un réel), donc c’est un entier naturel.
218
CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
= (a − b ) + (−b ) j ∈ Z j ,
| {z } |{z}
∈Z ∈Z
1
donc z est inversible dans Z j (et son inverse est simplement )
z
Implication réciproque : Supposons que z soit inversible dans Z j , alors il existe
z 0 ∈ Z j tel que :
2 2
z z 0 = 1 ⇒ z z 0 = 1 ⇔ |z |2 z 0 = 1.
Comme |z |2 et |z 0 |2 sont des entiers naturels dont le produit vaut 1, on a nécessairement :
2
|z |2 = z 0 = 1.
3) Soit z ∈ Z j , il existe (a , a 0 ) ∈ Z2 tel que z = a + b j . Alors, z est inversible si et
seulement si :
|z |2 = 1 ⇔ a 2 − a b + b 2 = 1 ⇔ (R) : a b = a 2 + b 2 − 1.
Il est opportun de rappeler une majoration célèbre :
1
∀ x , y ∈ R2 , x y ¶ x2 +y 2
2
2
(elle découle du développement |x | − y ), donc :
1 2 1
a 2 + b 2 − 1 = a b ¶ |a b | ¶ a +b2 ⇒ a2 +b2 ¶ 1
2 2
( p p p ¨
|a | = a ¶ a + b ¶ 2
2 2 2 |a | ¶ 1
⇔ a2 +b2 ¶ 2 ⇒ p p p ⇒ ,
|b | = b ¶ a + b ¶ 2
2 2 2 |b | ¶ 1
car a et b sont des entiers relatifs. Il n’y a qu’un nombre fini de valeurs possibles pour a
et pour b , donc il n’y a qu’un nombre fini d’inversibles de Z j . Déterminons les.
Premier cas : a = 0. D’après la relation (R) , on a :
b 2 = 1 ⇔ b = ±1 ⇔ z = ±j .
Deuxième cas : a = 1. D’après la relation (R) , on a :
b 2 = b ⇔ b (b − 1) = 0 ⇔ b ∈ {0, 1} ⇔ z ∈ 1, 1 + j .
219
CO
Maths MPSI
Exercice 10
p 2
Soit x , y ∈ Z 2 , il existe (a , a 0 ,b,b 0 ) ∈ Z4 tel que :
p p
x = a + b 2, y = a 0 + b 0 2 ⇒
p p
x −y = a − a0 + b −b0 2 ∈ Z 2 ,
| {z } | {z }
∈Z ∈Z
p p
x y = a a 0 + 2bb 0 + a b 0 + b a 0 2 ∈ Z 2 .
| {z } | {z }
∈Z ∈Z
p
Par conséquent, + et × sont des lois de compositions internes de Z 2 . Les lois +
p
et × sont associatives et commutatives sur R, donc sur Z 2 . La distributivité de la
p
multiplication sur l’addition étant vraie sur R, elle est encore vraie sur Z 2 . En outre,
on a : p p p p
0R = |{z}
0 + |{z}0 . 2 ∈ Z 2 , 1R = |{z} 1 + |{z}
0 . 2∈Z 2 .
∈Z ∈Z ∈Z ∈Z
Exercice 11
1) Puisque l’on a :
p p p
±1 = a 2 − 2b 2 = a + b 2 a − b 2 ⇔ z ± a − b 2 = 1,
| {z }
p
=y ∈Z[ 2]
p p
on en déduit que z est inversible dans Z 2 (car ∃ y ∈ Z 2 tel que x y = 1).
p p
2) Puisque 12 − 2 × 12 = −1, on en déduit que z = 1 + 2 ∈ Z 2 est inversible. Les
inversibles d’un anneau formant un groupe multiplicatif, donc ∀n ∈ N, z n est aussi
inversible. Comme z > 1, la suite (z n )n∈N tend vers +∞, donc elle
pcontient
une infinité
d’éléments distincts. A fortiori, l’ensemble des inversibles de Z 2 est infini.
Exercice 12
p p p a
1) Soit (a ,b ) ∈ Z2 tel que a +b 2 = 0 ⇔ a = −b 2. Si b = 6 0, alors on a : 2 = − ∈ Q,
b
ce qui est impossible, donc b = 0, ce qui entraine que a = 0.
2) a) Par définition, on a :
p
z z 0 = 1 ⇔ (a c + 2b d ) + (a d + b c ) 2
p
⇔ (a c + 2b d − 1) + (a d + b c ) 2 = 0
| {z } | {z }
∈Z ∈Z
¨
a c + 2b d − 1 = 0
⇒ (R)
cf. q1 ad +bc = 0
p
⇒ w w 0 = (a c + 2b d ) − (a d + b c ) 2 = 1,
| {z } | {z }
=1 d’après (R) =0 d’après (R)
p
donc w est inversible dans Z 2 et son inverse est w 0 .
220
CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
p
b) z est inversible dans Z 2 et son inverse est z 0 , donc z z 0 = 1. D’après la question
précédente, on a w w 0 = 1. On peut, alors affirmer que z et w sont non nuls et on a dans
R les égalités :
1
z = z0 1 1
1 ⇒ z w = z 0 w 0 ⇔ a − 2b = c 2 − 2d 2 .
2 2
w= 0
w
Puisque a 2 − 2b 2 et c 2 − 2d 2 sont deux entiers relatifs inverses l’un de l’autre, la seule
possibilité est qu’ils soient égaux et valent ±1.
Exercice 13
2
Soit x , y ∈ Q [i ] , il existe (a ,b, a 0 ,b 0 ) ∈ Q4 tel que x = a + i b et y = a 0 + i b 0 , donc :
x −y = a − a 0 + i b − b 0 ∈ Q [i ]
| {z } | {z }
∈Q ∈Q
= a a 0 − bb 0 + i a b 0 + a 0b ∈ Q [i ] .
xy
| {z } | {z }
∈Q ∈Q
1
On a déterminé un élément y = ∈ Q [i ] tel que x y = 1C , donc tout élément non nul
x
de Q [i ] admet un inverse dans Q [i ], ce qui démontre que Q [i ] , +, × est un corps.
Exercice 14
p 2
, il existe (a , a 0 ,b,b 0 ) ∈ Q4 tel que :
Soit x , y ∈ Q 2
p p
x = a + b 2, y = a 0 + b 0 2 ⇒
p p
x −y = a − a0 + b −b0 2 ∈ Q 2 ,
| {z } | {z }
∈Q ∈Q
p p
xy = a a + 2bb + a b 0 + b a 0 2 ∈ Q 2 .
0 0
| {z } | {z }
ÉS
∈Q ∈Q
IG
RR
221
CO
Maths MPSI
p
Par conséquent, + et × sont des lois de compositions internes de Q 2 . Les lois +
p
et × sont associatives et commutatives sur R, donc sur Q 2 . La distributivité de la
p
multiplication sur l’addition étant vraie sur R, elle est encore vraie sur Q 2 . En outre,
on a : p p p p
0R = |{z}
0 + |{z}0 . 2 ∈ Q 2 , 1R = |{z} 1 + |{z}
0 . 2∈Q 2 .
∈Z ∈Z ∈Z ∈Z
1 p
On a déterminé un élément y = ∈ Q 2 tel que x y = 1R , donc tout élément non nul
p x p p
de Q 2 admet un inverse dans Q 2 , ce qui démontre que Q 2 , +, × est un
corps.
Exercice 15
1) p
2) Puisque K est un corps inclus dans Q 2 , on a 1K = 1Q = 1 ∈ K , donc :
K stable 1
∀n ∈ Z, n1 = n ∈ K ⇒ ∀n ∈ Z∗ , ∈K
par inverse n
K stable 1 n
⇒ ∀ (n, m ) ∈ Z × Z∗ , n × = ∈K ⇒Q⊂K.
par produit m m
p
3) D’après l’hypothèse,pil existe x ∈ K \Q. Soit (a ,b ) ∈ Q2 tel que x = a +b 2. Comme
a ∈ Q ⊂ K , on a x −a = b 2 ∈ K . Si b = 0, alors x = a ∈ Q, ce qui est absurde, donc b =
6 0.
p p 1 p
Comme b 2 ∈ K et b ∈ K \ {0} , on en déduit que b 2 × = 2 ∈ K . Par conséquent,
p bp
pour tout y ∈ Q 2 , il existe (c , d ) ∈ Q2 tel que y = c + d 2. Puisque c , d ∈ Q ⊂ K et
p p p
2 ∈ K , on en déduit que y = c + d 2 ∈ K d’où l’inclusion Q 2 ⊂ K . L’inclusion
réciproque est immédiate, ce qui fournit l’égalité souhaitée.
222
CHAPITRE 11. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
Exercice 16
Il suffit de montrer que chaque élément non nul de A possède un inverse dans A. Soit
x ∈ A\ {0A } , pour tout y ∈ A, ¨ x y ∈ A (car A est un anneau). Par conséquent, on peut
A → A
considérer l’application f : . Elle est injective, car :
a 7→ x a
∀ a , a 0 ∈ A 2 , f (a ) = f a 0 ⇔ x a = x a 0 ⇔ x a − x a 0 = 0 ⇔ x a − a 0 = 0
par hypothèse
x = 0A (impossible)
⇒ ou ⇒ a − a 0 = 0 ⇔ a = a 0.
de l’énoncé
a − a = 0A
0
Puisque f est une injection entre deux ensembles finis de même cardinal, on peut
affirmer que f est une bijection. Par conséquent, 1A admet un antécédent par f , c’est-à-
dire qu’il existe y ∈ A tel que :
f y = 1A ⇔ x y = 1A .
Comme la loi × est commutative, on a aussi y x = 1A , donc x est inversible dans A, quel
que soit x ∈ A\ {0A } ce qui démontre que (A, +, ×) est un corps.
ÉS
IG
RR
223
CO
VUIBERT
MATHS
MPSI
MÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES
SOMMAIRE
1. Bases mathématiques – 2. Nombres complexes – 3. Manipulations algébriques –
4. Fonctions usuelles – 5. Équations différentielles – 6. Suites – 7. Limites de fonctions,
continuité – 8. Dérivabilité – 9. Études locales et asymptotiques – 10. Arithmétique
des entiers – 11. Structures algébriques – 12. Polynômes et fractions rationnelles –
13. Espaces vectoriels – 14. Espaces vectoriels de dimension finie – 15. Matrices –
16. Échelonnement et systèmes linéaires – 17. Déterminants – 18. Espaces euclidiens –
19. Calcul intégral – 20. Séries numériques – 21. Dénombrement – 22. Probabilités sur
un univers fini – 23. Variables aléatoires – 24. Problèmes de synthèse
Les auteurs :
Abdellah Bechata est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Malherbe
à Caen
Nicolas de Granrut est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Franklin
Roosevelt à Reims
ISBN : 978-2-311-40216-2
www. .fr