Cours Arithmetiques Beamer PDF
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D’ARITHMÉTIQUE :
1SM-SIBM
Pr. Abdellah AIT-CHEIKH
www.facebook.com/mathsly123
+212 600 69 49 61
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Z et congruences
2. PGCD et PPCM
3. Nombres
4.Classes
d’équivalence et
2 PGCD et PPCM Z Z
l’ensemble /n
3 Nombres premiers
4 Classes d’équivalence et l’ensemble Z/nZ
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Capacités attendues Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Z et congruences
2. PGCD et PPCM
3. Nombres
Appliquer l’algorithme d’Euclide pour la premiers
divisibilité et inversement.
Reconnaitre l’ensemble Z/nZ et les règles de calcul
modulo n ;
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1. Divisibilité dans Z et congruences
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Z et congruences
Définition
2. PGCD et PPCM
Soit a et b deux entiers relatifs. On dit que a divise b s’il
3. Nombres
existe un entier k tel que b = a × k. Lorsque a divise b, on premiers
note a | b 4.Classes
d’équivalence et
On dit aussi que : a est un diviseur de b Z Z
l’ensemble /n
Remarque
0 est un multiple de tout entier : pour tout
n ∈ Z, 0 × n = 0
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Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Propriété Z et congruences
2. PGCD et PPCM
Soit a et b deux entiers
3. Nombres
1 Si a | b et b , 0 alors | a| 6 |b| premiers
4.Classes
2 Tout entier b non nul a un nombre fini de diviseurs. d’équivalence et
Z Z
l’ensemble /n
Exercice 1
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non
nul n, 34n−1 + 3 est divisible par 5.
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Arithmétique
Pr. Abdellah
Corrigé 1 AIT-CHEIKH
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel 1. Divisibilité dans
3. Nombres
Pour n = 1, on a 34×1−1 + 3 = 30. premiers
4.Classes
Or 30 est divisible par 5 alors P(1) est vraie. d’équivalence et
Z Z
l’ensemble /n
Pour n ≥ 1, on suppose que P(n) est vraie et on
démontre que P(n + 1) est vraie.
C’est-à-dire on montre que P(n + 1) : 34(n+1)−1 + 3
est divisible par 5.
On a :
34(n+1) − 1 + 3 = 34n−1 × 34 + 3
= (34n−1 + 3) × 34 − 3 × 34 + 3
= (34n−1 + 3) × 34 − 240
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Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
= 5k × 81 − 5 × 48 Z Z
l’ensemble /n
= 5(81k − 48)
Puisque 81k − 48 est un entier relatif, alors 34(n+1)−1 + 3
est divisible par 5.
D’après le principe de récurrence pour tout entier
naturel non nul n, 34n−1 + 3 est divisible par 5.
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Arithmétique
Pr. Abdellah
Propriétés AIT-CHEIKH
2 c | a si et seulement si c | − a 3. Nombres
premiers
(L’ensemble des diviseurs de a est égal à l’ensemble des
4.Classes
diviseurs de − a) d’équivalence et
Z Z
l’ensemble /n
3 Si c | a alors c | ab
4 Si c | a et c | b alors :
• c|a+b
• c|a−b
• c | au + bv avec u et v entiers
5 Soit a et b non nuls. Si b | a et a | b alors a = b ou
a = −b
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Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Z et congruences
2. PGCD et PPCM
3. Nombres
premiers
Exercice 2
4.Classes
Trouver tous les entiers relatifs n tels que n + 2 divise d’équivalence et
Z Z
l’ensemble /n
2n + 7.
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Arithmétique
Corrigé 2
Pr. Abdellah
Soit n un entier naturel tel que n + 2 divise 2n + 7. AIT-CHEIKH
si n = −3, n + 2 = −1 et 2n + 7 = 1.
Dans ce cas, n + 2 divise 2n + 7.
si n = −1, n + 2 = 1 et 2n + 7 = 5.
Dans ce cas, n + 2 divise 2n + 7.
si n = 1, n + 2 = 3 et 2n + 7 = 9.
Dans ce cas, n + 2 divise 2n + 7.
Les entiers relatifs n tels que n + 2 divise 2n + 7 sont −5,
−3, −1 et 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Théorème : Division Euclidienne Z et congruences
a = b × q + r avec 0 ≤ r < b
4.Classes
d’équivalence et
Z Z
l’ensemble /n
Notation
a est le dividende ; q est le quotient ;
b est le diviseur ; r est le reste.
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Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Z et congruences
2. PGCD et PPCM
Exercice 3 3. Nombres
premiers
Déterminer le quotient et le reste de la division 4.Classes
euclidienne de a par b avec : d’équivalence et
Z Z
l’ensemble /n
1 a = 325, b = 7
2 a = −113, b = 7
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Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Z et congruences
2. PGCD et PPCM
Corrigé 3
3. Nombres
1 On a : 325 = 7 × 46 + 3. D’où q = 46, r = 3 premiers
C’est-à-dire −113 = −7 × 17 + 6
D’où q = −17, r = 6
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Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
Définition
1. Divisibilité dans
Soit a et b deux entiers et n un entier naturel non nul. Z et congruences
Notation
a est congru à b modulo n se note au choix : a ≡ b (n) ou
a ≡ b [n] ou a ≡ b mod n
Exemple
86 et 23 ont pour reste 2 dans la division euclidienne par
7 donc 86 ≡ 23 (7)
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Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Z et congruences
3. Nombres
Soit a, b, c et r entiers et n un entier naturel non nul. premiers
division de a par n.
3 Si a ≡ b (n) et b ≡ c (n) alors a ≡ c (n)
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Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Congruences et opérations Z et congruences
3. Nombres
1 Si a ≡ b (n) alors ac ≡ bc (n) premiers
• a − c ≡ b − d (n)
• ac ≡ bd (n)
3 Si a ≡ b (n) alors, pour tout naturel p, on a :
a p ≡ b p (n)
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Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Z et congruences
2. PGCD et PPCM
3. Nombres
premiers
Exercice 4 4.Classes
d’équivalence et
Trouver le reste de la division par 13 du nombre 1001000 Z Z
l’ensemble /n
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Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
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Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Z et congruences
2. PGCD et PPCM
3. Nombres
premiers
On se donne n un entier naturel et a, b et x trois entiers
relatifs et on veut résoudre la congruence ax + b ≡ 0[n] 4.Classes
d’équivalence et
d’inconnue x. On va apprendre à ” faire passer a et b de Z Z
l’ensemble /n
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Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Z et congruences
2. PGCD et PPCM
Résolution de x + a ≡ 0[n] 3. Nombres
premiers
Soient n un entier naturel et a et x deux entiers relatifs. 4.Classes
x ≡ − a [ n ].
Si x ≡ − a[n], alors x + a ≡ a − a[n] et donc
x + a ≡ 0[ n ].
En résumé, x + a ≡ 0[n] ⇔ x ≡ − a[n].
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Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Résolution de ax ≡ b[n] Z et congruences
2. PGCD et PPCM
Soient n un entier naturel et a, b et x trois entiers relatifs.
3. Nombres
Supposons il existe un entier relatif a′ tel que premiers
si ax ≡ b[n], on a : ≡ aa′ x
ou encore ba′ [n]
′ ′
1 × x ≡ ba [n] ou enfin x ≡ ba [n]
si x ≡ ba′ [n], alors ax ≡ baa′ [n] ou encore
ax ≡ b × 1[n] et donc ax ≡ b[n].
En résumé, s’il existe un entier relatif a tel que
a × a′ ≡ 1[n], alors ax ≡ b[n] ⇔ x ≡ ba′ [n].
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Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Z et congruences
2. PGCD et PPCM
3. Nombres
premiers
Exercice 5 4.Classes
d’équivalence et
Résoudre dans Z la congruence 2x + 5 ≡ 0[7]. Z Z
l’ensemble /n
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Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
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Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Z et congruences
2. PGCD et PPCM
3. Nombres
premiers
Exercice 6
4.Classes
Montrer que la congruence 2x ≡ 1[6] n’a pas de solution d’équivalence et
Z Z
l’ensemble /n
dans Z.
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Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Z et congruences
Corrigé 6 2. PGCD et PPCM
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Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Z et congruences
2. PGCD et PPCM
Définition 3. Nombres
premiers
L’ensemble des diviseurs communs à a et b admet 4.Classes
un plus grand élément noté pgcd( a; b) ou a ∧ b d’équivalence et
Z Z
l’ensemble /n
L’ensemble des multiples communs à a et b admet
un plus petit élément noté ppcm( a; b) ou a ∨ b
On désigne par nZ l’ensemble des multiples de n
dans Z
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2. PGCD et PPCM 26 / 49
2. PGCD et PPCM
Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Propriétés du PGCD Z et congruences
2. PGCD et PPCM
Soit a, b et r entiers non nuls.
3. Nombres
1 pgcd( a; b) ≥ 1 premiers
4.Classes
2 pgcd( a; b) = pgcd(b; a) d’équivalence et
Z Z
l’ensemble /n
3 pgcd( a; a) = | a|
4 pgcd( a; b) =pgcd(− a; b) =pgcd( a; −b)
5 Si b | a, pgcd( a; b) = |b|
6 Si a = bq + r alors, pgcd( a; b) =pgcd(b; r )
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. PGCD et PPCM 27 / 49
2. PGCD et PPCM
Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Z et congruences
3. Nombres
Soit a et b deux entiers naturels non nuls tels que b ne premiers
divise pas a. Alors pgcd( a; b) est le dernier reste non nul 4.Classes
d’équivalence et
de la suite des divisions de l’algorithme d’Euclide. Z Z
l’ensemble /n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. PGCD et PPCM 28 / 49
2. PGCD et PPCM
Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Z et congruences
2. PGCD et PPCM
3. Nombres
premiers
Exercice 7 4.Classes
d’équivalence et
Calculer pgcd(8820; 3150) Z Z
l’ensemble /n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. PGCD et PPCM 29 / 49
2. PGCD et PPCM
Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Z et congruences
3. Nombres
L’algorithme d’Euclide appliqué à 8820 et 3150 s’écrit : premiers
2520 = 4 × 630 + 0
Le dernier reste non nul est 630, donc
pgcd(8820; 3150) = 630
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. PGCD et PPCM 30 / 49
2. PGCD et PPCM
Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Z et congruences
3. Nombres
Soit a et b deux entiers non nuls et d = pgcd( a; b) premiers
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. PGCD et PPCM 31 / 49
2. PGCD et PPCM
Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Z et congruences
2. PGCD et PPCM
Exercice 8 3. Nombres
premiers
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. PGCD et PPCM 32 / 49
2. PGCD et PPCM
Arithmétique
Corrigé 8 Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1 Déterminons le PGCD de 12642 et 2382.
L’algorithme d’Euclide appliqué à 12642 et 2382 1. Divisibilité dans
Z et congruences
s’écrit : 2. PGCD et PPCM
12642 = 5 × 2382 + 732 3. Nombres
2382 = 3 × 732 + 186 premiers
174 = 14 × 12 + 6
12 = 2×6+0
Le dernier reste non nul est 6 et donc
PGCD(12642; 2382) = 6.
2 Les diviseurs communs à 12642 et 2382 sont les
diviseurs de leur PGCD à savoir 6.
Les diviseurs communs à 12642 et 2382 qui sont des
entiers naturels sont 1, 2, 3 et 6.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. PGCD et PPCM 33 / 49
3. Nombres premiers
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Z et congruences
2. PGCD et PPCM
3. Nombres
Définition premiers
Remarque
1 n’est pas premier.
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3. Nombres premiers 34 / 49
3. Nombres premiers
Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Z et congruences
2. PGCD et PPCM
Théorème 3. Nombres
premiers
Tout n ∈ N avec n ≥ 2 admet au moins un diviseur 4.Classes
premier. d’équivalence et
Z Z
l’ensemble /n
Si n n’est pas premier et n ≥
√2 alors il admet un diviseur
premier compris entre 2 et n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. Nombres premiers 35 / 49
3. Nombres premiers
Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Z et congruences
2. PGCD et PPCM
3. Nombres
Remarque premiers
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Nombres premiers 36 / 49
3. Nombres premiers
Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Z et congruences
2. PGCD et PPCM
3. Nombres
premiers
Exercice 9 4.Classes
d’équivalence et
Démontrer que 331 est un nombre premier. Z Z
l’ensemble /n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Nombres premiers 37 / 49
3. Nombres premiers
Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
Corrigé 9
√ 1. Divisibilité dans
On a : √331 = 18, .... Les nombres premiers inférieurs ou Z et congruences
2. PGCD et PPCM
égaux à 331 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13 et 17.
3. Nombres
premiers
331 331 331
= 165, 5 = 47, 2.. = 19, 47.. 4.Classes
2 7 17 d’équivalence et
Z Z
l’ensemble /n
331 331
= 110, 3.. = 30, 09..
3 11
331 331
= 66, 2 = 25, 4..
5 13
Finalement, 331 n’est divisible par aucun nombre
premier inférieur ou égal à sa racine et donc 331 est un
nombre premier.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Nombres premiers 38 / 49
3. Nombres premiers
Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
3. Nombres
premiers
Théorème
4.Classes
Tout entier naturel strictement supérieur à 1 admet une d’équivalence et
Z Z
l’ensemble /n
décomposition, unique à l’ordre des facteurs près, en
produit de nombres premiers.
Exemple
72 = 23 × 32
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Nombres premiers 39 / 49
3. Nombres premiers
Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Z et congruences
où mi = min(αi , β i ) et
PPCM( a, b) = p1M1 p2M2 . . . pnMn
Mi = max(αi , β i )
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Nombres premiers 40 / 49
3. Nombres premiers
Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Z et congruences
2. PGCD et PPCM
3. Nombres
premiers
Exercice 10
4.Classes
d’équivalence et
Soient a = 4116 et b = 6300. Z Z
l’ensemble /n
Déterminer a ∨ b et a ∧ b.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Nombres premiers 41 / 49
3. Nombres premiers
Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Z et congruences
2. PGCD et PPCM
Corrigé 10 3. Nombres
premiers
On a : a = 4116 = 22 × 3 × 73 = 22 × 3 × 50 × 73 et 4.Classes
d’équivalence et
b = 6300 = 22 × 32 × 52 × 7. Z Z
l’ensemble /n
Alors, a ∧ b = 22 × 3 × 50 × 7 = 84 et
a ∨ b = 22 × 32 × 52 × 73 = 308700.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. Nombres premiers 42 / 49
4.Classes d’équivalence et l’ensemble Z/nZ
Classes d’équivalence et l’ensemble Z/nZ Arithmétique
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
Définition
Soit n ∈ . N 1. Divisibilité dans
Z et congruences
L’ensemble des entiers relatifs qui ont le même reste r de 2. PGCD et PPCM
Exemples
Z
0 = {kn / k ∈ } , pour n = 2 on a 0 = {2k / k ∈ } Z
donc 0 est l’ensemble des nombres pairs.
Z
1 = {kn + 1 / k ∈ }, pour n = 2 on a
Z
1 = {2k + 1 / k ∈ } donc 1 est l’ensemble des
nombres impairs.
On remarque que pour n = 2 on a :
.
Z=0∪1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pr. Abdellah
Propriété AIT-CHEIKH
Z
(∀ a ∈ ) a = { x ∈ / x ≡ a[n]} Z 1. Divisibilité dans
Z et congruences
x ∈ a ⇔ n divise x − a 3. Nombres
premiers
Z = 0 ∪ 1 ∪ 2 ∪ · · · ∪ ( n − 1) 4.Classes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Z et congruences
2. PGCD et PPCM
3. Nombres
premiers
Exercice 11
4.Classes
d’équivalence et
Déterminer la classe d’équivalence modulo 12 de chacun Z Z
l’ensemble /n
des nombres : 116 et 2019
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Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Z et congruences
Corrigé 11 2. PGCD et PPCM
Z
premiers
Alors pour n = 12, on a 116 = {116 + 12k / k ∈ }
Z
4.Classes
116 = {8 + 12k / k ∈ } = 8.
d’équivalence et
Z Z
l’ensemble /n
On a 2019 = {2019 + kn / k ∈ }. Z
Alors pour n = 12, on a 2019 = {2019 + 12k / k ∈ } Z
2019 = {3 + 12k / k ∈ } = 3 Z
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Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
n + 2.
4 Déterminer les entiers relatifs n tels que n + 1 divise
3n − 4.
5 Quel est le nombre de diviseurs de 2880 ?
6 Trouvez le PGCD des nombres 1640 et 492 en
utilisant la décomposition en facteurs premiers, puis
en utilisant l’algorithme d’Euclide.
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Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH
1. Divisibilité dans
Z et congruences
Exercice 13
2. PGCD et PPCM
1 a est un entier naturel. Montrez que a5 − a est 3. Nombres
premiers
divisible par 10.
4.Classes
2 Montrer que les nombres entiers An = 32n − 1 , sont d’équivalence et
Z Z
l’ensemble /n
divisibles par 8.
3 Soit l’entier an = 4n − 1 ; n ∈ N
1 Montrer par récurrence que pour tout entier naturel
n, on a : an est divisible par 3.
2 En déduire que 4n+1 − 4 est divisible par 3.
3 Déterminer alors le reste de la division euclidienne
par 3 du nombre 2102 .
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Pr. Abdellah
AIT-CHEIKH