Physique de La Sup À La Spé - 24 Jours Pour Préparer Son Entrée en 2e Année de Prépa
Physique de La Sup À La Spé - 24 Jours Pour Préparer Son Entrée en 2e Année de Prépa
Physique de La Sup À La Spé - 24 Jours Pour Préparer Son Entrée en 2e Année de Prépa
F. DEPAQUIT-DEBIEUVRE
La collection « 24 jours pour préparer son entrée en 2e année de
prépa » vous assure des révisions solides entre la Sup et la Spé grâce
au planning de travail fourni par les auteurs expérimentés. Ce planning
pour préparer son entrée
est fondé sur 24 séances de travail permettant de balayer le programme
de Sup. Durant chaque séance, vous vous exercez sur un sujet puis
JOURS en 2e année de prépa
vous vous consacrez à une analyse minutieuse de tout l’ensemble du
corrigé (analyse de l’énoncé, corrigé détaillé, techniques à mémoriser,
PHYSIQUE
formulaire et nombreux extraits des rapports de jurys).
de la
PHYSIQUE
Cette collection vous permet donc, dès la fin de la Sup, de vous SUP
préparer efficacement aux concours d’entrée dans les Grandes Écoles. à la
SPÉ
Florence DEPAQUIT-DEBIEUVRE
-:HSMDOA=UXU^WX:
PHYSIQUE PHYSIQUE
de la SUP àen la
De PCSI-PTSI-MPSI SPÉ
PC-PT-PSI-MP
Florence DEPAQUIT-DEBIEUVRE
Professeure de chaire supérieure en PC*
au lycée Roosevelt de Reims
Florence DEPAQUIT-DEBIEUVRE
ISBN 9782340-053250
© Ellipses Édition Marketing S.A., 2019
32, rue Bargue 75740 Paris cedex 15
Présentation de la collection
Réussir son entrée en Spé nécessite une bonne organisation, notamment durant les
vacances d’été précédant cette rentrée.
Seuls durant l’été, les étudiants doivent souvent faire face aux deux grandes
interrogations suivantes :
- quels exercices travailler pour être sûr d’avoir revu l’intégralité du programme de
Sup ?
- quelle méthode efficace utiliser pour bien travailler ces différents exercices ?
Il est à noter que la première question relève d’une double problématique, à la fois
qualitative mais aussi quantitative.
J’ai donc conçu cette collection pour répondre à ces deux questions.
Tout d’abord, chaque ouvrage de la collection, dédié à une matière précise, donne
naissance à l’étude de 24 sujets, et 24 sujets seulement. Les auteurs de la
collection ont méticuleusement sélectionné ces 24 sujets afin de garantir des
révisions efficaces de l’ensemble du programme de Sup. De plus, pour
optimiser encore davantage la qualité des révisions, les auteurs ont agencé ces 24
sujets de façon très réfléchie, de sorte qu’un même thème soit revu plusieurs fois à
des moments bien différents.
Présentation de la collection 3
Bien évidemment, il est tout à fait possible de travailler méthodiquement avec les
ouvrages de cette collection plus régulièrement tout au long de l’année de Sup
(en utilisant notamment les nombreux tableaux récapitulatifs des exercices).
Travailler ainsi est donc l’assurance de se préparer très sérieusement à bien
aborder la Spé et les concours.
Karine Beaurpère
4 Présentation de la collection
Sommaire
Sommaire 5
Jour n°12 ………………………………………………………………….. 173
Énoncé de l’exercice 12.1 ..………………………………………… 175
Énoncé de l’exercice 12.2 ..………………………………………… 182
Jour n°13 …..……………………………………………………………… 187
Énoncé de l’exercice 13.1 ..………………………………………… 189
Énoncé de l’exercice 13.2 ..………………………………………… 194
Jour n°14 ..………………………………………………………………… 203
Énoncé de l’exercice 14.1 …..……………………………………… 205
Énoncé de l’exercice 14.2 ..………………………………………… 213
Jour n°15 ..………………………………………………………………… 221
Énoncé de l’exercice 15.1 ..………………………………………… 223
Énoncé de l’exercice 15.2 ..………………………………………… 228
Jour n°16 ..………………………………………………………………… 235
Énoncé de l’exercice 16.1 …..……………………………………… 236
Énoncé de l’exercice 16.2 ..………………………………………… 240
Jour n°17 ..………………………………………………………………… 243
Énoncé de l’exercice 17.1 ..………………………………………… 245
Énoncé de l’exercice 17.2 ..………………………………………… 251
Jour n°18 ….………………………………………………………………. 257
Énoncé de l’exercice 18.1 .…………………………………….…… 260
Énoncé de l’exercice 18.2 .…………………………………….…… 265
Jour n°19 ..……………………………………………………….……...… 273
Énoncé de l’exercice 19.1 ..……………………………...…….…… 275
Énoncé de l’exercice 19.2 ..…………...……………………….…… 283
Jour n°20 …..……………………………………………………………… 287
Énoncé de l’exercice 20.1 ..………………………………………… 289
Énoncé de l’exercice 20.2 ..………………………………………… 295
Jour n°21 …..……………………………………………………………… 303
Énoncé de l’exercice 21.1 ..………………………………………… 305
Énoncé de l’exercice 21.2 …..……………………………………… 313
Jour n°22 ………..………………………………………………………… 319
Énoncé de l’exercice 22.1 …..……………………………………… 321
Énoncé de l’exercice 22.2 …..……………………………………… 327
Jour n°23 …..……………………………………………………………… 331
Énoncé de l’exercice 23.1 …..……………………………………… 332
Énoncé de l’exercice 23.2 ..………………………………………… 339
Jour n°24 …..……………………………………………………………… 343
Énoncé de l’exercice 24.1 …..……………………………………… 345
Énoncé de l’exercice 24.2 ..………………………………………… 353
Formulaire à compléter ……………………………………………....…… 359
6 Sommaire
Présentation du manuel
Concrètement, cela signifie que vous devrez suivre, jour après jour,
le planning qui vous est proposé ici. Le pre mier jour de révision,
vous vous attaquer ez au « Jour n°1 », etc. jusqu’au « Jour n°24 ».
Vous aurez alors traité 24 sujets, c'est -à-dire 48 exercices.
Je tiens aussi à souligner que l’ordre choisi pour ces 24 sujets vous
permettra de revoir en perm anence les thèmes principaux du
programme. Le but est ici d’éviter de travailler les thèmes les uns
après les autres.
Chaque jour de révision est construit de la façon suivante.
Une première page comporte deux exercices à travailler. Les pages suivantes vont
vous permettre de rentrer dans le détail de chacun des deux exercices.
Je tiens tout de suite à préciser qu’un corrigé seul est assez inutile. Le but ici n’est
pas de savoir faire un exercice par cœur sans le comprendre. Si vous avez compris
la méthode, il vous sera très facile de vous adapter et de l’appliquer à d’autres
situations. C’est l’analyse du sujet qui est essentielle. C’est ce qui explique les
différentes parties qui vont être exposées ci-après.
Énoncé
L’énoncé de l’exercice est redonné afin de l’avoir sous les yeux pour la
compréhension de l’analyse à venir. Cela évite de revenir en arrière pour lire
l’énoncé.
Corrigé
Cette partie correspond bien évidemment au corrigé des exercices. Ce corrigé est
très détaillé afin de permettre une meilleure compréhension et propose parfois
plusieurs méthodes. Il est aussi agrémenté de nombreux commentaires ou
remarques.
Attention ! Le corrigé donné ici n’est pas une planche optimisée. En effet, toutes
les preuves sont volontairement très (trop !) détaillées afin de ne pas laisser de
points dans l’obscurité.
Utilisez aussi le corriger pour apprendre à rédiger.
Techniques à mémoriser
Ce qu’il faut retenir d’un exercice, ce sont avant tout les techniques et les
raisonnements qui ont été utilisés. Cette partie liste donc toutes les techniques à
retenir.
8 Présentation du manuel
C’est pourquoi cette partie est construite avec une succession de phrases
commençant par :
ᇡIl faut se souvenir …
Formulaire
Cette dernière partie consiste à lister les formules importantes à connaître pour les
concours.
Si vous suivez ce planning, vous aurez revu de façon efficace l’ensemble des
thèmes du programme de première année. C’est donc l’assurance d’une
préparation efficace pour réussir son entrée en deuxième année de prépa.
Bien évidemment, les concours en classes préparatoires ne se préparent pas
seulement en deuxième année mais tout au long des deux années de préparation.
En première année vous pouvez chercher les exercices correspondant au cours que
vous êtes en train d’étudier, en vous reportant aux tableaux récapitulatifs des
exercices donnés en début d’ouvrage. Vous pourrez ainsi, tout au long de l’année,
travailler en fonction de l’avancement de votre cours. Les numéros des exercices
sont fabriqués comme suit : le premier numéro renvoie au jour de la préparation et
le deuxième numéro indique s’il s’agit du premier exercice ou du deuxième. Par
exemple l’exercice 7.2 se trouve en deuxième partie du « Jour n°7 ».
En deuxième année, vous pouvez utiliser ce livre afin de réviser les notions vues
en première année soit en cherchant les exercices dans l’ordre donné soit en les
cherchant en fonction du thème que vous souhaitez réviser. Dans ce deuxième cas,
vous vous reporterez aux tableaux récapitulatifs des exercices.
Vous trouverez aussi en fin d’ouvrage un formulaire pré-rempli, qu’il faudra
compléter au fur et à mesure de votre travail. Ce formulaire est volontairement à
remplir afin que vous le fassiez vivre. Un formulaire complètement rédigé est bien
souvent inutile car il est lu de façon passive sans réelle implication de la part de
celui qui le lit, ce ne sera pas le cas si vous rédigez votre propre formulaire.
Je tiens aussi à préciser que le formulaire final ne correspond pas à la réunion des
48 formulaires issus des exercices car le formulaire final se veut plus complet et
exhaustif. Il est aussi important de retenir les conditions d’application de la
formule, de savoir quand et comment l’utiliser.
Enfin le formulaire est agrémenté de quelques remarques du jury afin que la
rédaction de ce formulaire puisse se faire en ayant bien en tête les attentes du futur
candidat à l’oral des concours.
La première étude est une étude de fond qui peut commencer dès le début de la
première année de prépa. Dès qu’un chapitre se termine, vous pouvez travailler
avec minutie les exercices liés à ce chapitre : vous trouverez facilement les
différents exercices répertoriés dans les tableaux. N’hésitez pas à faire vivre ce
livre en l’annotant. C’est en écrivant que l’on apprend ! Toutefois, n’annotez pas
les pages où figurent les deux énoncés des exercices d’un jour donné. Ces pages
doivent rester vierges afin d’être retravaillées plus tard et de façon neutre.
La deuxième étude est une étude plus intense dans le temps, puisqu’il s’agit,
pendant les 24 jours de révision durant l’été, de vous entraîner sur les deux
exercices du jour sans avoir forcément revu le chapitre. Il s’agit ici de faire
travailler sa mémoire et de savoir si les techniques sont acquises.
Le fait de refaire deux fois les mêmes exercices n’est pas gênant et ces deux études
peuvent s’avérer très fructueuses. Les deux passages étant éloignés dans le temps,
vous pouvez savoir si vous avez progressé.
La troisième étude peut être faite tout au long de la deuxième année de prépa afin
de réviser les différentes parties du programme de première année qui fait partie
intégrante du programme des concours.
La quatrième étude peut être faite entre les écrits et les oraux (en parallèle avec les
autres livres de la collection 24 jours) afin de se préparer efficacement pour l’oral.
Les sujets de première année vous paraîtront plus faciles.
Dans ce livre, je reviens plusieurs fois sur les mêmes notions. Pour un grand
nombre d’entre vous, ceci est nécessaire afin de bien assimiler les démarches
scientifiques et les démonstrations. C’est pour cela qu’il peut y avoir répétitions
des commentaires, les mêmes techniques à retenir, les mêmes formules… C’est
avec la pratique que vous allez vous améliorer et vous serez plus à l’aise face à
toutes les situations.
Un oral est un échange avec l’examinateur qui doit vous attribuer une note.
Rapport du jury 2010
L’exposé oral consiste en un dialogue entre le candidat et
l’examinateur. Les principales qualités appréciées chez un candidat
sont sa rigueur, son autonomie et son dynamisme dans la conduite
de l’exposé. Il est indispensable que le candidat prenne des
initiatives, sans attendre à chaque instant l’approbation de
Conseils 11
l’examinateur. Si ce dernier intervient peu, c’est souvent le signe
d’un exposé clair et exhaustif. Rappelons par ailleurs que,
s’agissant d’un oral, il est inutile de recopier au tableau tout ce qui
est dit.
- votre capacité à vous adapter (il faut veiller lors de la préparation écrite à
ne pas rester bloqué au niveau d'une question alors que l'on peut en
admettre le résultat et traiter la suite. Les exercices sont progressifs et pour
ne pas bloquer les candidats, des résultats intermédiaires sont souvent
donnés) ;
- votre bon sens (pensez à signaler un résultat aberrant sans attendre la
question de l’examinateur) ;
12 Conseils
- votre réactivité (capacité à assimiler les indications fournies par
l’examinateur).
Encore quelques conseils lors du temps de préparation qui doit être avant tout
consacré au choix de la méthode de résolution. Vous devez préparer la structure de
votre exposé et la démarche de résolution. Il n’est donc pas gênant de ne pas
achever une phase calculatoire pendant la préparation. Vous êtes libre de choisir
l’ordre de présentation des exercices. Il est conseillé de consacrer 20 minutes à la
présentation du premier exercice et 10 minutes à celle du deuxième.
Vous devez sortir de votre oral en vous disant que vous avez donné le meilleur de
vous-même, que vous avez fait le maximum. Pensez toujours à raisonner de façon
positive. Tous les points sont bons à prendre !
Pour conclure, je vous invite à lire les différents rapports de jury que l’on trouve
sur le site SCEI. Vous comprendrez alors ce que l’on attend de vous et vous
assimilerez comment faire de votre oral un véritable atout !
Je termine par un extrait assez représentatif et optimiste des rapports des jurys.
Rapport du jury 2016
Le niveau général demeure comparable à celui des années
précédentes. Les candidats sont en général bien préparés. Notons
tout de même que cette moyenne cache le fait que l’écart semble
se creuser, un peu plus chaque année, entre les bons candidats et
les candidats moyens qui ont rencontré plus de difficultés,
essentiellement par manque de maîtrise du cours. Un nombre non
négligeable de candidats ne connaît pas suffisamment le cours et a
besoin d’être aidé pour cette raison. Mais il est parfois surprenant
de constater que ces mêmes candidats sont capables de très bien
exploiter l’aide fournie. Il est de plus en plus fréquent de rencontrer
des candidats capables de bien raisonner mais qui n’ont pas fait
l’effort de suffisamment apprendre leur cours. C’est bien dommage.
Il faut cependant reconnaître que, même si la connaissance du
cours est moins bonne, et même si les aptitudes à mener des
calculs à terme sont moindres, la prise d’initiatives, la mise en place
d’un raisonnement et la modélisation des phénomènes semblent
sensiblement améliorées, ce qui montre que les candidats
possèdent un bon sens physique.
Ce livre va aussi vous permettre d’acquérir une certaine autonomie qui est très
importante pour réussir son oral. Même si les professeurs sont encore très présents
et que votre travail en prépa est très suivi, il faut aussi commencer à travailler par
vous-même en fonction de vos objectifs.
Pour vous aider aussi lors de vos deux ou trois années de classes préparatoires,
vous pourrez utiliser les livres de la collection SAVOIR & FAIRE EN PRÉPAS
spécifiques à chaque filière.
Conseils 13
Pour conclure, il est très important de travailler régulièrement les différentes
matières et de bien apprendre le cours. Les concours ne se préparent pas à la
dernière minute mais sur deux, voire trois ans.
Je remercie Valentin et Lisa, élèves en PCSI, qui ont testé certains des exercices
en cours d’année.
Je remercie aussi mes étudiants de PC* et les étudiants du lycée Roosevelt qui ont
testé des exercices lors des révisions ou lors des colles.
Enfin, je souhaite dédier ce livre à Nanane, ma tante, à Michel qui partage ma vie
et à mes enfants Antoine, Romain et Valentin.
14 Conseils
Tableaux récapitulatifs des exercices
Exercice 2.2 x
Exercice 5.2 x x
Exercice 6.2 x
Exercice 9.2 x
Exercice 10.1 x
Exercice 14.1 x
Exercice 16.1 x
Exercice 1.1
On dispose des deux circuits notés ܣet ܤ, qui sont alimentés par un GBF de
résistance interne ܴ . La tension fournie par le générateur idéal de tension est
sinusoïdale de fréquence ݂ et d’amplitude ܧ Ǥ
ܴ
ܴ ܴ
L L
ܮ ܮ
ܴ ܴ
ܥ ݑ ܥ ݑ
ܧ ܧ
݂
ሺ ሻ
Jour n°1 19
݂
ሺ ሻ
݂
ሺ ሻ
Exercice 1.2
OnExercice
modélise1.2un microscope par la succession de deux lentilles convergentes
nommées ܮଵ et ܮଶ caractérisées par leurs distances focales ݂ଵᇱ ൌ ͷ et
݂ଶᇱ ൌmodélise
On ͵. un microscope par la succession de deux lentilles convergentes
nommées ܮଵ et ܮଶ caractérisées par leurs distances focales ݂ଵᇱ ൌ ͷ et
Laᇱ distance entre le foyer image ܨଵᇱ de la lentille ܮଵ et le foyer objet ܨଶ de la
݂ଶ ൌ ͵.
lentille ܮଶ vaut ߜ ൌ ͳ Ǥ Un objet ܤܣde hauteur ݄ ൌ Ͳǡͳ est situé à
La distance
gauche de ܮଵentre
. le foyer image ܨଵᇱ de la lentille ܮଵ et le foyer objet ܨଶ de la
lentille ܮଶ vaut ߜ ൌ ͳ Ǥ Un objet ܤܣde hauteur ݄ ൌ Ͳǡͳ est situé à
On rappelle la formule de conjugaison de Descartes :
gauche de ܮଵ .
ͳ ͳ ͳ
On rappelle la formule de conjugaisonെde Descartes
ൌ ᇱǤ :
ܱܣᇱ ܱ݂ ܣ
ͳ ͳ ͳ
La formule de conjugaison de Newton െest : ൌ ᇱ Ǥ
ܱܣᇱ ܱ݂ ܣ
ᇱଶ
ܨԢܣԢǤ ܣܨ
La formule de conjugaison de Newton est ൌ: െ݂ Ǥ
La formule du grandissement transversal est : ᇱଶ
ܨԢܣԢǤ ܣܨൌ െ݂ Ǥ
ܣԢܤԢest :ܱܣԢ
La formule du grandissement transversal
ߛൌ ൌ Ǥ
ܤܣ ܱܣ
ܣԢܤԢ ܱܣԢ
1) Où doit se trouver l’image ܣԢܤԢ ൌ ܤܣǤ par la lentille ܮଵ pour qu’il n’y
ߛ ൌde l’objet
ait pas besoin d’accommoder ? ܤܣ ܱܣ
1) Où doit se trouver l’image ܣԢܤԢ de l’objet ܤܣpar la lentille ܮଵ pour qu’il n’y
ait pas besoin d’accommoder ?
20 Jour n°1
20 Jour n°1
2) En déduire la grandeur algébrique ܨଵᇱ ܣԢ et tracer l’image ܣԢܤԢ de l’objet ܤܣpar
la lentille ܮଵ . Déterminer numériquement la position de l’objet.
3) Calculer le grandissement transversal lié à ܮଵ .
4) Déterminer l’angle ߙԢ sous lequel est vu l’objet à l’aide du microscope.
Déterminer l’angle ߙ sous lequel est vu l’objet sans le microscope. En déduire le
grossissement défini par :
ߙԢ
ܩൌ Ǥ
ߙ
Jour n°1 21
Exercice 1. 1 Centrale PC 2016 - hhh
Énoncé
On dispose des deux circuits notés ܣet ܤ, qui sont alimentés par un GBF de
résistance interne ܴ . La tension fournie par le générateur idéal de tension est
sinusoïdale de fréquence ݂ et d’amplitude ܧ Ǥ
ܴ
ܴ ܴ
L L
ܮ ܮ
ܴ ܴ
ܥ ݑ ܥ ݑ
ܧ ܧ
݂
ሺ ሻ
22 Jour n°1
݂
ሺ ሻ
݂
ሺ ሻ
Nous constatons pour commencer que les circuits ܣet ܤsont similaires. Il n’y a
Corrigé
que la résistance équivalente qui change. Les deux circuits sont donc des circuits
Noussérie.
ܴܥܮ Pour lepour
constatons circuit ܣ, la résistance
commencer que leséquivalente
circuits ܣest
et ܤ: sont similaires. Il n’y a
que la résistance équivalente qui change.
ܴ ൌ ܴLes ܴǤdeux circuits sont donc des circuits
ܴ ܥܮsérie. Pour le circuit ܣ, la résistance équivalente est :
Comme il y a deux résistances ܴ en parallèle, la résistance équivalente du circuit
ܴ ൌ ܴ ܴǤ
ܤest :
Comme il y a deux résistances ܴ en parallèle, la résistance équivalente du circuit
ܤest :
Jour n°1 23
Jour n°1 23
ܴ
ܴ
ܴ
ܴ ൌ
ൌܴ ܴ
ʹ ǤǤ
ʹ
Nous avons donc le circuit suivant à étudier :
Nous avons donc le circuit suivant à étudier :
ܴ
ܴ௫௫
L
Lܮ
ܮ
݅݅
ܥ ݑ
ݑ
ܥ
ܧ
ܧ
Grâce àà la
Grâce la loi
loi des
des mailles, nous en
mailles, nous en déduisons
déduisons l’intensité.
l’intensité. Nous
Nous avons
avons donc
donc en
en
notations complexes
notations complexes ::
ͳ
ͳ ൰ ݅Ǥ
ܧ ൌ
ܧ ൌ ൬ܴ
൬ܴ௫ ݆߱ܮ
݆߱ܮ
൰ ݅Ǥ
௫ ݆߱ܥ
݆߱ܥ
La
La tension
tension du
du GBF
GBF est
est ::
ఠ௧
ܧ ൌ
ܧ ൌܧܧ ݁݁ ఠ௧ ǤǤ
L’intensité
L’intensité est
est donc
donc ::
ܧ
ܧ
݅݅ ൌ
ൌ ǤǤ
ͳ
ͳ
ܴ
ܴ௫௫
݆߱ܮ
݆ ߱ܮ
݆߱ܥ
݆߱ܥ
Le
Le module
module est
est donc
donc égal
égal àà ::
ܧ
ܧ
ܫܫൌ
ൌ ห݅ห ൌ
ห݅ห ൌ
Ǥ
ଶǤ
ට ଶ ͳ
ͳ ቁ ଶ
ටܴܴ௫௫ଶ
ቀ߱ܮ
ቀ ߱ܮെെ ߱ܥ
߱ܥቁ
Nous
Nous pouvons
pouvons facilement
facilement voir
voir queque l’intensité
l’intensité est
est maximale
maximale lorsque
lorsque le
le
dénominateur
dénominateur est minimal. Le dénominateur est égal à la somme de deux carrés
est minimal. Le dénominateur est égal à la somme de deux carrés
dont
dont le
le premier
premier est
est constant.
constant. Le
Le minimum
minimum de de ce
ce dénominateur
dénominateur correspond
correspond àà la
la
valeur nulle du second terme soit
valeur nulle du second terme soit : :
ͳ
ͳ
߱ܮ
߱ܮെ
െ ߱ܥൌ ൌ ͲǤ
ͲǤ
߱ܥ
Nous trouvons
Nous trouvons donc
donc la
la pulsation
pulsation maximale
maximale ::
ͳ
ͳ
߱௫ ൌ ξ ܥܮǤǤ
߱ ௫ ൌ
ξܥܮ
La
La fréquence du maximum d’intensité correspond donc
fréquence du maximum d’intensité correspond donc àà ::
ͳ
ͳ Ǥ
݂௫ ൌ
݂௫ ൌ ʹߨξ ܥܮǤ
ʹߨξܥܮ
24 Jour n°1
24 Jour n°1
La valeur
La valeur
du maximum
du maximum
est donc
est donc
égale
égale
à: à:
ܧ ܧ
ܫ௫ܫ௫
ൌ ൌǤ Ǥ
ܴ௫ ܴ௫
Nous
Nous
en déduisons
en déduisonsque que
le maximum
le maximum est est
plusplus
important
important
pourpour
le circuit
le circuit
ܤqui
ܤqui
possède
possède
une une
résistance
résistance
plusplus
faible
faible
que que
le circuit
le circuit
ܣ. ܣ.
NousNous
pouvons
pouvonsdoncdoncidentifier
identifier
le graphe
le graphecorrespondant
correspondantà l’intensité
à l’intensité
qui qui
est est
le le
premier
premier
car car
il yil a yuna maximum
un maximum pourpour
la même
la même fréquence.
fréquence.
La La
courbe
courbe
noirenoire
correspond
correspond
au circuit
au circuit
ܤqui
ܤpossède
qui possède
la plus
la plus
petite
petite
résistance.
résistance.
ͲǡͲͳ
ͲǡͲͳ
Circuit
Circuit
ܤ ܤ
ͲǡͲͲͻͲ
ͲǡͲͲͻͲ
Circuit
Circuit
ܣ ܣ
݂ ݂
ሺ ሻሺ ሻ
Nous
Nous
en déduisons
en déduisons
les équations
les équations
suivantes:
suivantes:
ͳ ͳ
݂௫݂௫
ൌ ൌ ൌ ͷͲͲͲ
ൌ ͷͲͲͲ
ʹߨξܥܮ
ʹߨξܥܮ
ܧ ܧ ܧ ܧ
ܫ௫ ൌ ൌൌ ൌ
ܫ௫ ൌ ͲǡͲͲͻͲ
ൌ ͲǡͲͲͻͲ
ܴ ܴܴ
ܴܴ ܴ
ܧ ܧ ܧ ܧ
ܫ௫ ൌ ൌൌ ൌ
ܫ௫ ൌ ͲǡͲͳǤ
ൌ ͲǡͲͳǤ
ܴ ܴܴ ܴ ܴ
ܴʹ ʹ
La tension
La tension aux aux bornes
bornes du condensateur
du condensateur est obtenue
est obtenue en utilisant
en utilisant le diviseur
le diviseur de de
tension.
tension. NousNous avons
avons doncdonc
: :
ͳ ͳ
ݑ ݑ ݆߱ܥ݆߱ܥ
ൌ ൌ
ܧ ܧܴ ͳ ͳ
௫ ܴ௫݆߱ܮ
݆߱ܮ
݆߱ܥ
݆߱ܥ
ݑ ݑ ͳ ͳ
ൌ ൌ ଶ ଶͳ ͳ
ܧ ܧ݆ܴ௫ ߱ܥ
݆ܴ௫ െ
߱ܥܮ߱ܥ
െ ߱ܥܮ
Jour Jour
n°1 n°1 25 25
Nous obtenons le module de la tension aux bornes du condensateur :
ܧ
ܷ ൌ หݑห ൌ Ǥ
ඥሺܴ௫ ߱ܥሻଶ ሺͳ െ ߱ܥܮଶ ሻଶ
Cherchons les extrema de cette fonction. Ils correspondent aux extrema de la
fonction qui se trouve sous la racine :
݃ሺ߱ሻ ൌ ሺܴ௫ ߱ܥሻଶ ሺͳ െ ߱ܥܮଶ ሻଶ Ǥ
Calculons la dérivée de cette fonction :
݃ᇱ ሺ߱ሻ ൌ ʹ߱ሺܴ௫ ܥሻଶ െ ʹܥܮሺʹ߱ሻሺͳ െ ߱ܥܮଶ ሻǤ
Nous cherchons les zéros :
݃ᇱ ሺ߱ሻ ൌ ʹ߱ሺܴ௫ ܥሻଶ െ ʹܥܮሺʹ߱ሻሺͳ െ ߱ܥܮଶ ሻ ൌ ͲǤ
Une solution immédiate est :
߱ ൌ ͲǤ
L’autre condition est :
ሺܴ௫ ܥሻଶ െ ʹܥܮሺͳ െ ߱ܥܮଶ ሻ ൌ Ͳ
ሺܴ௫ ܥሻଶ ܴ௫ଶ ܥ
ͳ െ ߱ܥܮଶ ൌ ൌ
ʹܥܮ ʹܮ
ଶ
ܴ௫ ܥ
߱ܥܮଶ ൌ ͳ െ
ʹܮ
ͳ ܴ௫ଶ ܥ
߱ଶ ൌ ቆͳ െ ቇǤ
ܥܮ ʹܮ
Pour avoir une solution, il faut :
ܴ௫ଶ ܥ
ͳെ Ͳ
ʹܮ
ʹܮ
ܴ௫ ൏ ඨ ൌ ܴ Ǥ
ܥ
ͳ ܴ௫ଶ ܥ
߱௫ ൌ ඨ ቆͳ െ ቇ
ܥܮ ʹܮ
Et un minimum pour :
߱ ൌ ͲǤ
Si la résistance est plus importante que ܴ , la tension aux bornes du
condensateur est décroissante à partir de la pulsation nulle.
26 Jour n°1
Nous pouvons identifier les courbes sur le deuxième graphe qui correspond donc
bien à la tension aux bornes du condensateur. Le circuit ܤqui possède une
résistance plus faible présente donc une résonance en tension et correspond donc à
la courbe noire.
ǡͲͲ
Courbe ܤ
Courbe ܣ
݂
ሺ ሻ
͵ͲͲ
Pour la pulsation nulle, les deux courbes ont bien la même valeur soit :
ܷሺͲሻ ൌ ܧ Ǥ
Nous en déduisons donc la valeur de la tension du GBF soit :
ܧ ൌ ͷǤ
La fréquence du maximum pour le circuit ܤest égale à :
ͳ ͳ ܴଶ ܥ
݂௫ ൌ ඨ ቆͳ െ ቇ
ʹߨ ܥܮ ʹܮ
ܴ ଶ
ͳ ͳ ቀܴ ʹ ቁ ܥ
݂௫ ൌ ඪ ൮ͳ െ ൲ ൌ ͵ͲͲ Ǥ
ʹߨ ܥܮ ʹܮ
Jour n°1 27
ܴ ଶ
ͳ ͳ ቀܴ ʹ ቁ ܥ
݂௫ ൌ ඪ ൮ͳ െ ൲ ൌ ͵ͲͲ
ʹߨ ܥܮ ʹܮ
ܧ ܧ
ܫ௫ ൌ ൌ ൌ ͲǡͲͲͻͲ
ܴ ܴ ܴ
ܧ ܧ
ܫ௫ ൌ ൌ ൌ ͲǡͲͳǤ
ܴ ܴ ܴ
ʹ
Reste à résoudre ce système. On peut commencer par déterminer les résistances.
Nous avons :
ܧ
ܴ ܴ ൌ
ܫ௫
ܴ ܧ
ܴ ൌ Ǥ
ʹ ܫ௫
En faisant la différence de ces deux équations, on trouve :
ܴ ͳ ͳ
ൌ ܧ ൬ െ ൰
ʹ ܫ௫ ܫ௫
ͳ ͳ
ܴ ൌ ʹܧ ൬ െ ൰
ܫ௫ ܫ௫
ܧ ͳ ͳ
ܴ ൌ െ ʹܧ ൬ െ ൰
ܫ௫ ܫ௫ ܫ௫
ʹ ͳ
ܴ ൌ ܧ ൬ െ ൰Ǥ
ܫ௫ ܫ௫
Les applications numériques donnent :
ͳ ͳ
ܴ ൌ ʹ ൈ ͷ൬ െ ൰ ൌ ͷͲͲǡͳȳ
ͲǡͲͲͻͳ ͲǡͲͳ
ʹ ͳ
ܴ ൌ ͷ ൬ െ ൰ ൌ Ͷͻǡ͵ȳǤ
ͲǡͲͳ ͲǡͲͲͻͳ
Nous déterminons maintenant ܮet ܥ:
ଶ
ܴ ଶ ܧ
ቀ ቁ ܥ
ቀܴ ቁ ܥ ܫ
݂௫ ൌ ݂௫ ඪ൮ͳ െ ʹ ൲ ൌ ݂௫ ඪ൮ͳ െ ௫ ൲
ʹܮ ʹܮ
28 Jour n°1
ͳ
ܮൌ ଶ
Ͷߨ ଶ ݂௫ ܥ
ଶ ଶ ܧ ଶ ଶ
݂௫ ൌ ݂௫ ቆͳ െ ʹߨ ଶ ൬ ൰ ݂௫ ܥଶ ቇ
ܫ௫
ଶ
݂௫ ଶ
ܧ ଶ ଶ
ଶ ൌ ͳ െ ʹߨ ൬ ൰ ݂௫ ܥଶ
݂௫ ܫ௫
ܧ ଶ ଶ ଶ
݂௫
ʹߨ ଶ ൬ ൰ ݂௫ ܥଶ ൌ ͳ െ ଶ
ܫ௫ ݂௫
ଶ
ͳ ݂௫
ܥଶ ൌ ଶ ቆͳ െ ଶ ቇ
ܧ ݂௫
ଶ
ʹߨ ଶ ݂௫ ቀ ቁ
ܫ௫
ͳ ͳ ଶ
݂௫
ܥൌ ඨ ቆͳ െ ଶ ቇ Ǥ
ܧ
ߨ݂௫ ቀ ቁ ʹ ݂௫
ܫ௫
L’application numérique donne :
ͳ ͳ ሺ͵ͲͲሻଶ
ܥൌ ඨ ቆͳ െ ቇ ൌ ͳͲି
ͷ ʹ ሺͷͲͲͲሻଶ
ߨ ൈ ͷͲͲͲ ൈ ቀ
ͲǡͲͳቁ
ൌ ͳͲͲ Ǥ
On peut maintenant en déduire l’inductance :
ͳ
ܮൌ ଶ
Ͷߨ ଶ ݂௫ ܥ
ͳ
ൌ ൌ ͲǡͲͳͲͳ
Ͷߨ ଶ ൈ ሺͷͲͲͲሻଶ ൈ ͳͲି
ൌ ͳͲǡͳ Ǥ
Techniques à mémoriser
Jour n°1 29
ᇡIl faut se souvenirdes calculs en complexes pour les fonctions de transfert.
Rapport du jury 2016
En particulier, le jury note des difficultés plus importantes dans la
mise en forme des fonctions de transferts pour obtenir l’expression
d’une pulsation centrale ou de coupure ou (et) d’un facteur de
qualité.
Formulaire
x Les impédances complexes :
ܼோ ൌ ܴ
ܼ ൌ ݆߱ܮ
ͳ
ܼ ൌ Ǥ
݆߱ܥ
x Relation entre la pulsation et la fréquence :
߱ ൌ ʹߨ݂Ǥ
x Diviseur de tension :
݅
ܼଵ
ܸ ܸ௦
ܼଶ
ܸ௦ ܼଶ
ൌ
ܸ ܼଵ ܼଶ
x Loi des mailles :
ܸ ൌ ܼଵ ݅ ܸ௦ Ǥ
x Module d’un nombre complexe ܼ ൌ ܽ ݆ܾ :
ȁܼȁ ൌ ඥܽଶ ܾ ଶ Ǥ
30 Jour n°1
Exercice 1.2 CCP MP 2016 - h
Énoncé
On modélise un microscope par la succession de deux lentilles convergentes
nommées ܮଵ et ܮଶ caractérisées par leurs distances focales ݂ଵᇱ ൌ ͷ et
݂ଶᇱ ൌ ͵.
La distance entre le foyer image ܨଵᇱ de la lentille ܮଵ et le foyer objet ܨଶ de la
lentille ܮଶ vaut ߜ ൌ ͳ Ǥ Un objet ܤܣde hauteur ݄ ൌ Ͳǡͳ est situé à
gauche de ܮଵ .
On rappelle la formule de conjugaison de Descartes :
ͳ ͳ ͳ
െ ൌ Ǥ
ܱܣᇱ ܱܣ ݂ᇱ
La formule de conjugaison de Newton est :
ܨԢܣԢǤ ܣܨൌ െ݂ ᇱଶ Ǥ
La formule du grandissement transversal est :
ܣԢܤԢ ܱܣԢ
ߛൌ Ǥൌ
ܤܣ ܱܣ
1) Où doit se trouver l’image ܣԢܤԢ de l’objet ܤܣpar la lentille ܮଵ pour qu’il n’y
ait pas besoin d’accommoder ?
2) En déduire la grandeur algébrique ܨଵᇱ ܣԢ et tracer l’image ܣԢܤԢ de l’objet ܤܣpar
la lentille ܮଵ . Déterminer numériquement la position de l’objet.
3) Calculer le grandissement transversal lié à ܮଵ .
4) Déterminer l’angle ߙԢ sous lequel est vu l’objet à l’aide du microscope.
Déterminer l’angle ߙ sous lequel est vu l’objet sans le microscope. En déduire le
grossissement défini par :
ߙԢ
ܩൌ Ǥ
ߙ
Jour n°1 31
մ Afin d’obtenir l’objet à partir de la position de l’image, il suffit de tracer deux
rayons.
մ Utiliser la relation de conjugaison la mieux adaptée.
3) Il faut déterminer le grandissement.
մ Utiliser le schéma et les formules données.
4) Pour déterminer l’angle sous lequel est vu l’objet, il faut tracer un rayon sortant
du système.
մ Utiliser la construction géométrique.
Pour déterminer l’angle sous lequel est vu l’objet à l’œil nu, il faut se rappeler de
la distance minimale de vision pour l’œil.
մ Pas de difficulté pour le calcul du grossissement.
Corrigé
1) L’œil peut regarder un objet sans accommoder lorsque ce dernier se trouve à
l’infini. Il faut donc que l’image intermédiaire ܣԢܤԢ soit dans le plan foyer objet de
la seconde lentille. C’est-à-dire que le point ܣᇱ se trouve au foyer objet ܨଶ Ǥ
2) Nous avons donc, en utilisant la première question :
ܨଵᇱ ܣԢ ൌ ܨଵᇱ ܨଶ Ǥ
Pour la construction géométrique, il faut commencer par placer l’image qui se
trouve au foyer objet de la seconde lentille et en déduire la position de l’objet.
Pour trouver la position de l’objet, nous traçons deux rayons : celui qui passe par
le centre (il n’est pas dévié), le rayon sortant parallèle à l’axe optique et passant
par le point ܤᇱ provient du foyer objet de la première lentille.
L’intersection de ces deux rayons donne la position de l’objet.
Afin de contrôler la position de l’image, nous pouvons tracer le rayon passant par
le point ܤet qui est parallèle à l’axe optique. Il sort de la lentille par le foyer
image.
Le dessin n’est pas réalisé à l’échelle.
ܤԢ
ܨ ܣଵ
ܱଵ
ܨଵᇱ ܨଶ ൌ ܣԢ ܱଶ ܨଶᇱ
ܤ
Nous pouvons à l’aide de la loi de Newton déterminer la position de l’objet. Nous
avons donc :
ܨଵᇱ ܣԢǤ ܨଵ ܣൌ െ݂ଵᇱଶ
32 Jour n°1
݂ଵᇱଶ ݂ଵᇱଶ
ܨଵ ܣൌ െ ൌെ Ǥ
ܨଵᇱ ܨଶ ߜ
L’application numérique donne :
ͷଶ
ܨଵ ܣൌ െ ൌ െͲǡͳͷǤ
ͳͲ
L’application numérique est faite en ݉݉Ǥ
3) Le grandissement transversal est donné par la relation suivante :
ܣᇱ ܤᇱ ܱܣᇱ
ߛൌ Ǥൌ
ܤܣ ܱܣ
En utilisant le troisième rayon tracé sur le schéma de la question précédente et en
utilisant les notations adaptées, nous avons :
ܣᇱ ܤᇱ ܨଵᇱ ܨଶ ߜ
ߛൌ ൌ ൌെ Ǥ
ܤܣ ܨଵᇱ ܱଵ ݂ଵᇱ
L’application numérique donne :
ͳͲ
ߛൌെ ൌ െ͵ʹǤ
ͷ
4) Afin de déterminer l’angle sous lequel est vu l’objet à l’aide du microscope, il
faut poursuivre le schéma de la question 2) en traçant le rayon sortant du système.
Nous avons donc le schéma suivant :
ܤԢ
ܨ ܣଵ
ܱଵ
ܨଵᇱ ܨଶ ൌ ܣԢ ܱଶ ܨଶᇱ ߙᇱ
ܤ
En effet le rayon qui passe par ܤᇱ et qui est parallèle à l’axe optique passe par le
foyer image de la seconde lentille ܨଶᇱ Ǥ Nous pouvons aussi tracer celui qui passe
par ܤᇱ et le centre de la seconde lentille. Ce dernier n’est pas dévié.
Les deux rayons ressortent avec un angle ߙ ᇱ Ǥ L’image se forme bien à l’infini.
Nous déduisons d’après le schéma que :
ܣᇱ ܤᇱ ܤܣ
ߙ ᇱ ൌ ᇱ ൌߛ ᇱǤ
݂ଶ ݂ଶ
En utilisant les données, nous avons :
݄
ߙ ᇱ ൌ ߛ Ǥ
݂ଶᇱ
Jour n°1 33
L’application numérique donne :
Ͳǡͳ
ߙ ᇱ ൌ െ͵ʹ ൌ െͳǡͲ
͵
ߙ ᇱ ൌ െͲǡͺͳͷǤ
Nous remarquons que nous ne sommes plus dans l’approximation
des petits angles. Les approximations de Gauss ne sont plus
vérifiées. Les formules , utilisées dans ce cadre, ne sont plus
valables.
L’angle sous lequel est vu l’objet à l’œil nu est donné par le schéma suivant :
ߙ
݀
La distance minimale pour la vision nette d’un œil normal est prise égale à
݀ ൌ ʹͷ Ǥ L’angle sous lequel est vu l’objet à l’œil nu est donc :
݄
ߙ ൌ െ Ǥ
݀
Nous avons choisi de définir des angles algébriques. Ce n’est pas
une obligation.
L’application numérique donne :
Ͳǡͳ
ߙ ൌ െ ൌ െͲǡͲͲͲͶǤ
ʹͷͲ
Nous sommes ici dans l’approximation des petites angles donc :
ߙ ൎ ߙ ൌ െͲǡͲͲͲͶǤ
Nous en déduisons le grossissement du microscope :
ߙԢ െͲǡͺͳͷ
ܩൌ ൌ ൌ ʹͲ͵Ǥ
ߙ െͲǡͲͲͲͶ
Techniques à mémoriser
34 Jour n°1
ᇡIl faut se souvenirque les grandeurs utilisées sont algébriques.
ᇡIl faut se souvenirdes travaux pratiques d’optique.
ᇡIl faut se souvenirdes caractéristiques de l’œil.
Rapport du jury 2016
Les notions d’objet virtuel et d’accommodation sont souvent mal
comprises. Ainsi, un objet situé après la lentille est virtuel si la
lentille est convergente, mais réel si la lentille est divergente !
Formulaire
x Expression de la tangente :
ܿØݐ±ݏ± ܾ
ߙ ൌ ൌ Ǥ
ܿØݐ±݆ܽ݀ܽܿ݁݊ܽ ݐ
ܾ
ߙ
ͳ ͳ ͳ
െ ൌ Ǥ
ܱܣᇱ ܱܣ ݂ᇱ
x La formule de conjugaison de Newton pour une lentille mince dans
l’approximation de Gauss :
ܨԢܣԢǤ ܣܨൌ െ݂ ᇱଶ Ǥ
Jour n°1 35
x La formule du grandissement transversal est :
ܣԢܤԢ ܱܣԢ
ߛൌ ൌ Ǥ
ܤܣ ܱܣ
x Approximations de Gauss: les rayons sont paraxiaux (faiblement inclinés par
rapport à l’axe optique) et passent au voisinage des sommets des dioptres.
36 Jour n°1
Jour n°2
Exercice 2.1
Exercice 2.2
݁Ԧ௬
݁Ԧ௫
ܶ ݃Ԧ
ሬԦ
ٖܤ
ܥ
38 Jour n°2
Exercice 2.1 CCP MP 2016 - hhh
Énoncé
մPenser à bien définir le système. Déterminer l’état initial et l’état final. Utiliser la
formule de l’entropie donnée.
3) Il faut encore déterminer l’état initial et l’état final du système et appliquer la
formule donnée.
մ Pas de difficultés.
Corrigé
1) Le coefficient ߛ est défini en fonction des capacités thermiques du gaz par la
relation suivante :
ܿ
ߛൌ Ǥ
ܿ
La relation de Mayer donne pour les capacités thermiques molaires :
ܿ െ ܿ ൌ ܴǤ
La résolution de ce système de deux équations donne :
ߛܴ
ܿ ൌ
ߛെͳ
ܴ
ܿ ൌ Ǥ
ߛെͳ
Nous pouvons donner directement les valeurs pour un gaz parfait monoatomique :
ͷܴ
ܿ ൌ
ʹ
͵ܴ
ܿ ൌ Ǥ
ʹ
Pour un gaz parfait diatomique, nous avons :
ܴ
ܿ ൌ
ʹ
ͷܴ
ܿ ൌ Ǥ
ʹ
2) La première sous-transformation est adiabatique réversible. Elle est donc
isentropique :
οܵେ ൌ ͲǤ
La seconde sous-transformation est isobare. En utilisant la formule de l’entropie,
nous obtenons :
ܶ ܶ
οܵ ൌ ݊ܿ ൌ ݊ܿ Ǥ
ܶେ ܶେ
40 Jour n°2
Ce sont les variables ܲ et ܶ qui nous intéressent soit :
ܲଵିఊ ܶ ఊ ൌ ݁ݐݏܥǤ
ଵିఊ ఊ ଵିఊ ఊ
ܲ ܶ ൌ ܲ ܶ
ଵିఊ
ܲ ఊ
ܶ ൌ ܶ ൬ ൰ Ǥ
ܲ
ܲ
οܵଶ ൌ െܴ݊ ൬ ൰
ܲ
ܲ
οܵଶ ൌ ܴ݊ ൬ ൰ Ǥ
ܲ
4) Dans le cas de la transformation irréversible, comme les états initial et final
sont les mêmes que pour la transformation réversible, la variation d’entropie est
donc la même. En effet, elle ne dépend pas de la transformation. Nous avons
donc :
ܲ
οܵଷ ൌ ܴ݊ ൬ ൰ Ǥ
ܲ
Nous obtenons donc bien dans les trois cas la même variation
d’entropie. L’entropie est une fonction d’état et de dépend pas du
chemin suivi.
5) L’application numérique donne :
ܲ ͷ
οܵଵ ൌ οܵଶ ൌ οܵଷ ൌ ܴ݊ ൬ ൰ ൌ ͳ ൈ ͺǡ͵ʹ ൈ ൬ ൰
ܲ ͳ
ିଵ
οܵଵ ൌ οܵଶ ൌ οܵଷ ൌ ͳ͵ǡͶ Ǥ Ǥ
ܲ
ܣ
ܤ
ܥ
ܸ
Techniques à mémoriser
ᇡIl faut se souvenirdu coursǡde la loi de Laplace, des définitions des capacités
thermiques pour le gaz parfait.
Rapport du jury 2016
Les conditions d'application des formules sont ignorées (Laplace
est utilisée « à toutes les sauces », les définitions de ܥ et ܥ en
fonction de ܴ sont utilisées pour les solides…) et les candidats ont
beaucoup de difficultés à exploiter correctement un énoncé et à le
traduire en équations.
ᇡIl faut se souvenirde bien définir le système ainsi que les états initial et final.
ᇡIl faut se souvenir d’utiliser correctement l’expression de l’entropie et que
l’entropie est une fonction d’état.
Rapport du jury 2016
Il est important de rappeler qu’il faut avoir compris ce qu'est une
grandeur d'état, qu’il existe la possibilité de choisir un chemin
différent (en conservant bien sûr les mêmes états de départ et
d'arrivée) permettant ainsi d'adapter les formules données et non
pas de choisir sans argumentation une formule quasi au hasard
parce que se rapprochant au plus du problème.
42 Jour n°2
ᇡIl faut se souvenirde ce que représente le diagramme de Clapeyron.
Formulaire
x Capacité thermique molaire à volume constant pour un gaz parfait :
ܴ
ܿ ൌ Ǥ
ߛെͳ
x Capacité thermique molaire à pression constante pour un gaz parfait :
ߛܴ
ܿ ൌ Ǥ
ߛെͳ
x Relation de Mayer :
ܿ െ ܿ ൌ ܴǤ
x Entropie du gaz parfait ܵ en fonction de l’entropie ܵ correspondant à l’état
ሺܶ ǡ ܸ ǡ ܲ ሻ:
ܶ ܲ ܶ ܸ
ܵ ൌ ܵ ݊ܿ ݈݊ െ ܴ݊ ݈݊ ൌ ܵ ݊ܿ ݈݊ ܴ݊ ݈݊ Ǥ
ܶ ܲ ܶ ܸ
x Équation d’état du gaz parfait :
ܸܲ ൌ ܴ݊ܶǤ
Énoncé
Un ressort, de longueur à vide ݈ , de raideur ݇, est fixé à son extrémité supérieure.
Il porte une tige conductrice ܶ, de masse ݉. Tous les déplacements se font dans le
plan vertical de la figure. Le système est placé dans un champ magnétique
constant et uniforme ܤ ሬԦ ൌ ݁ܤԦ௭ , perpendiculaire au plan de la figure. Ce dernier est
créé par un dispositif non représenté sur le schéma.
La tige ܶ glisse sans frottement le long de deux rails verticaux, distants de ܽ,
parallèles et conducteurs. Le contact électrique est assuré à chaque instant.
Le circuit électrique est fermé grâce à un condensateur de capacité ܥ. La résistance
électrique du circuit est négligeable.
1) Quelle est la position d’équilibre de la tige ܶ?
2) Déterminer la période des oscillations de la tige ܶ.
3) Évaluer l’ordre de grandeur de cette période si l’on utilise des composants
classiques d’une salle de travaux pratique de prépa.
݁Ԧ௬
݁Ԧ௫
ܶ ݃Ԧ
ሬԦ
ٖܤ
ܥ
մ Sans difficulté.
Corrigé
1) Pour déterminer la position d’équilibre de la tige, nous commençons par
déterminer les forces qui s’exercent sur le système constitué par la tige. Le
référentiel est bien entendu galiléen. Cette dernière est soumise au poids et à la
force de rappel du ressort.
ܱ ݁Ԧ௬
݁Ԧ௫
ܨԦ
ܶ ݃Ԧ
ܲሬԦ
ሬԦ
ٖܤ
ܥ
ݔ
Comme il s’agit d’un équilibre, il n’y a pas de mouvement, donc il n’y a pas de
phénomènes d’induction.
Le poids est donc égal à :
ܲሬԦ ൌ ݉݃Ԧ ൌ ݉݃݁Ԧ௫ Ǥ
La force de rappel du ressort est donnée par :
ܨԦ ൌ െ݇ሺ݈ ݈݁ܽݐݐݎݑ݁ݑ݃݊െ ݈݁݀݅ݒݎݑ݁ݑ݃݊ሻ݁Ԧ௫ ൌ െ݇ሺ ݔെ ݈ ሻ݁Ԧ௫ Ǥ
L’origine est prise au niveau du support.
À l’équilibre, nous avons :
ܲሬԦ ܨԦ ൌ ͲǤ
݁Ԧ௬
ܱ
݁Ԧ௫
ܨԦ
ܮ ܶ ݃Ԧ
ܨԦ
ܲሬԦ
݅
ٖܤ ሬԦ
ٔ ܵԦ ܥ
ݔ
46 Jour n°2
La surface du circuit est égale, en fonction de la longueur totale ܮà :
ܵ ൌ ܽሺ ܮെ ݔሻǤ
Le flux est donc :
߶ ൌ െܽܤሺ ܮെ ݔሻǤ
ʹߨ ݉ ܤܥଶ ܽଶ
ܶൌ ൌ ʹߨඨ Ǥ
߱ ݇
La période est modifiée par les phénomènes d’induction. Elle augmente en accord
avec la loi de Lenz. En effet la loi de Lenz dit que les phénomènes s’opposent à
ceux qui lui ont donné naissance.
Le mouvement oscillatoire est donc ralenti, la fréquence diminue et la période
augmente.
3) Reste à faire les applications numériques en estimant les grandeurs. Le champ
magnétique produit par un aimant en ܷ est de l’ordre de Ͳǡͳ. La distance entre
les rails est de l’ordre de ͷ Ǥ Les capacités que l’on trouve au labo sont de
l’ordre de ͳͲͲ . La masse de la tige est de l’ordre de ʹͲǤ La raideur du ressort
est de l’ordre de ͳǤ ିଵ Ǥ
݉ ͲǡͲʹ
ܶ ൌ ʹߨට ൌ ʹߨඨ ൌ ʹǡͺǤ
݇ Ͳǡͳ
Techniques à mémoriser
Formulaire
x Deuxième loi de Newton :
݉ܽԦ ൌ ܨԦ Ǥ
x Force de Laplace :
ܨԦ ൌ ݅ܮሬԦ ܤ ר
ሬԦǤ
x Loi de Faraday :
݀߶ ݀
݁ൌെ ൌ െ ඵܤሬԦ Ǥ ሬሬሬሬԦ
݀ܵǤ
݀ݐ ݀ݐ
48 Jour n°2
x Tension aux bornes du condensateur en convention récepteur :
ݍ ݀ݍ
ܷൌ Ǣ ݅ ൌ Ǥ
ܥ ݀ݐ
ݍ
݅
ܷ
Exercice 3.1
Exercice 3.2
Énoncé
L’air est assimilé à un gaz parfait et la pesanteur est supposée constante.
L’air est composé de ͺΨ de diazote, de ʹͳΨ de dioxygène et de ͳΨ d’argon.
Les masses molaires sont : ܯሺݎܣሻ ൌ ͳͺǤ ିଵ ,ܯሺܰଶ ሻ ൌ ʹͺǤ ିଵ et
ܯሺܱଶ ሻ ൌ ͵ʹǤ ିଵ Ǥ
Le volume molaire de l’air est égal à ʹʹǡͶǤ ିଵ dans les conditions normales
de température et de pression.
1) Montrer que ܴ ൌ ͺǡ͵ͳ et déterminer son unité.
2) Déterminer la masse molaire de l’air.
3) Donner la loi des gaz parfaits et établir l’équation différentielle vérifiée par la
pression dans l’atmosphère isotherme.
4) Calculer la pression à l’altitude de ͳͲǤ Commenter.
52 Jour n°3
Corrigé
1) Le gaz parfait vérifie la loi suivante :
ܸܲ ൌ ܴ݊ܶ
ܸܲ
ܴൌ Ǥ
݊ܶ
Dans les conditions normales de température et de pression nous avons :
ܲ ൌ ͳǡͲͳ͵ ൌ ͳͲͳ͵ͲͲǤ
ܸ
ൌ ʹʹǡͶ ൌ ʹʹǡͶǤ ͳͲିଷ ଷ Ǥ
݊
ܶ ൌ ʹ͵Ǥ
Ne pas confondre avec les conditions standards utilisées en chimie.
L’application numérique donne :
ͳͲͳ͵ͲͲ ൈ ʹʹǡͶǤ ͳͲିଷ
ܴൌ ൌ ͺǡ͵ͳ Ǥ ିଵ Ǥ ିଵ Ǥ
ʹ͵
Pour trouver l’unité, il suffit de remarque que le produit ܸܲ est homogène à un
travail.
Nous retrouvons bien la valeur connue pour la constante des gaz
parfaits.
2) La masse molaire de l’air est :
ܯ ൌ Ͳǡͺܯேమ Ͳǡʹͳܯைమ ͲǡͲͳܯ
ܯ ൌ Ͳǡͺ ൈ ʹͺ Ͳǡʹͳ ൈ ͵ʹ ͲǡͲͳ ൈ ͳͺ
ܯ ൌ ʹͺǡͶǤ ିଵ Ǥ
Le résultat est pertinent puisque l’on retient souvent la valeur de
ʹͻǤ ିଵ Ǥ
3) La loi de la statique des fluides est données par :
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
݃ ܲ݀ܽݎൌ ߩ݃ԦǤ
Comme le poids est uniquement suivant la verticale, nous pouvons donc projeter
sur un axe vertical ascendant. Nous obtenons :
݀ܲ
െ ൌ െߩ݃Ǥ
݀ݖ
Reste maintenant à déterminer la masse volumique de l’air en supposant que le gaz
est parfait :
ܸܲ ൌ ܴ݊ܶ
݉ ݊ܯ ܲܯ
ߩൌ ൌ ൌ Ǥ
ܸ ܸ ܴܶ
Jour n°3 53
En remplaçant dans l’équation de la statique, nous avons :
݀ܲ ܲܯ
െ ൌെ ݃Ǥ
݀ݖ ܴܶ
Nous pouvons séparer les variables :
݀ܲ ܯ ݃
ൌെ ݀ݖǤ
ܲ ܴܶ
L’intégration donne en appelant ܲ la pression au niveau du sol :
ܲ ܯ ݃
൬ ൰ ൌ െ ݖ
ܲ ܴܶ
ெೌೝ
ܲ ൌ ܲ ݁ ି ோ் Ǥ
௭
ܲ ൌ ʹͻʹ͵͵Ǥ
La pression diminue fortement. Notre modèle d’atmosphère isotherme devient
discutable.
Cette loi permet d’expliquer le manque d’oxygène en montagne.
Comme la pression diminue avec l’altitude, la pression de vapeur saturante
diminue aussi et donc l’eau bout à des températures plus faibles. C’est pour cela
qu’il faut augmenter le temps de cuisson des aliments.
Techniques à mémoriser
54 Jour n°3
Formulaire
x Loi des gaz parfaits :
ܸܲ ൌ ܴ݊ܶ.
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
݃ ܲ݀ܽݎൌ ߩ݃Ԧ.
Énoncé
1) Définir ce qu’est un satellite géostationnaire et calculer son altitude en prenant
݃ ൌ ͻǡͺǤ ିଶ , ்ܴ ൌ ͵ͺ et la durée du jour sidéral ݆௦ ൌ ͺͳͶ.
2) Calculer l’énergie à fournir pour faire varier l’altitude du satellite de 50 . Le
satellite reste sur une orbite circulaire.
Corrigé
1) Un satellite géostationnaire est un satellite qui possède la même période de
révolution que la Terre, c'est-à-dire qu’il est immobile par rapport à la Terre.
ݎ M
ݎ
ߠ
ݖ
்ܴ ߠ
ݖ
ܱ ݔ
்ܴ Terre
ܱ ݔ
Terre
Pour une masse se trouvant au niveau du sol, elle est soumise à la force suivante :
்݉ܯ
ܨԦ ൌ െ࣡ ݑ
ሬԦ Ǥ
்ܴ ଶ
య ்ܴ ଶ ݆௦ ଶ
݄ ൌ ඨ݃ െ ்ܴ Ǥ
Ͷߨ ଶ
58 Jour n°3
Donc on obtient :
݄ ൌ ͵ͷͺͺǤ
Cette altitude élevée pour les satellites géostationnaires est un inconvénient pour le
temps de propagation de l’information. Les satellites doivent aussi émettre avec
une plus grande puissance à cause de l’atténuation et c’est aussi plus complexe à
envoyer par rapport à un satellite de basse altitude.
2) Sur l’orbite géostationnaire, le satellite a une vitesse ݒൌ ߱ݎ. Son énergie
cinétique est donnée par :
ͳ ͳ
ܧ ൌ ݉ ݒଶ ൌ ݉ ݎଶ ߱ଶ
ʹ ʹ
avec :
்ܯ
߱ଶ ൌ ࣡ ଷ Ǥ
ݎ
On arrive donc à l’expression de l’énergie cinétique :
ͳ ்ܯ
ܧ ൌ ݉࣡ Ǥ
ʹ ݎ
்݉ܯ
ܨԦ ൌ െ࣡ ݑ
ሬԦ Ǥ
ݎଶ
Cette force dérive d’une énergie potentielle car :
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ܧ Ǥ
ܨԦ ൌ െ݃݀ܽݎ
On a donc en identifiant :
߲ܧ ்݉ܯ
ൌ࣡ ଶ Ǥ
߲ݎ ݎ
D’où
்݉ܯ
ܧ ൌ െ࣡ ܿ݁ݐ݊ܽݐݏ݊Ǥ
ݎ
On peut fixer l’énergie potentielle nulle pour un rayon infini, donc :
்݉ܯ
ܧ ൌ െ࣡ Ǥ
ݎ
En simplifiant, on trouve :
ͳ ்ܯ
ܧଵ ൌ െ ݉࣡ Ǥ
ʹ ݎ
En remplaçant en fonction de ݃ :
ͳ ்ܴଶ
ܧଵ ൌ െ ݉݃ Ǥ
ʹ ݎ
Techniques à mémoriser
ᇡIl faut se souvenir que le système et le référentiel doivent être bien définis avec
rigueur avant d’utiliser le principe fondamental de la dynamique.
Rapport du jury 2016
Les mouvements dans un champ de forces centrales conservatives
figurent souvent parmi de lointains souvenirs et ne sont pas
maîtrisés.
60 Jour n°3
Rapport du jury 2007
Très généralement, on assiste à un manque de rigueur dans la
résolution des exercices de mécanique du point (système non
défini, référentiel d’étude mal défini). L’étude des mouvements de
satellites, même dans le cas de trajectoires circulaires, est en
général mal abordée.
Formulaire
x Force de gravitation entre deux masse ݉ଵ et ݉ଶ distante de ݎ:
݉ଵ ݉ଶ
ܨԦ ൌ െ࣡ ሬԦ Ǥ
ݑ
ݎଶ
x Énergie potentielle dont dérive la force de gravitation :
݉ଵ ݉ଶ
ܧ ൌ െ࣡ ܿ݁ݐ݊ܽݐݏ݊Ǥ
ݎ
x Expression de l’accélération en coordonnées polaires :
Exercice 4.1
ܷሺሻ
ݐሺሻ
446 488
1) On place la face ൈ devant. Pourquoi ?
2) Donner l’équation du mouvement.
3) Calculer le coefficient de frottement.
4) Compléter le tableau suivant :
ߙሺιሻ ͵Ͳ ͵ͷ ͶͲ Ͷͷ ͷͲ ͷͷ
οܶሺሻ
5) Pourquoi n’a-t-on pas de valeur pour ߙ ൌ ʹͷι?
Exercice 4.2
Pour montrer l’existence du vide, on aspire l’air d’une sphère composée de deux
hémisphères, puis on fait écarter les deux hémisphères par des chevaux. Estimer le
nombre de chevaux nécessaires pour écarter les deux hémisphères.
Données : un cheval pèse environ ͲͲ et le rayon de la sphère est de Ͳǡͷ.
Jour n°4 63
Exercice 4.1 Centrale MP 2016 - hh
Énoncé
On pose un bloc de ൈ ൈ ͳʹ ଷ sur une planche inclinée formant un angle
ߙ ൌ Ͳι avec l’horizontale.
Une source laser et un récepteur, situés à Ͳ du bloc, donnent le signal
suivant :
ܷሺሻ
ݐሺሻ
446 488
1) On place la face ൈ devant. Pourquoi ?
2) Donner l’équation du mouvement.
3) Calculer le coefficient de frottement.
4) Compléter le tableau suivant :
ߙሺιሻ ͵Ͳ ͵ͷ ͶͲ Ͷͷ ͷͲ ͷͷ
οܶሺሻ
5) Pourquoi n’a-t-on pas de valeur pour ߙ ൌ ʹͷι?
64 Jour n°4
4) Cette question utilise l’étude théorique de la question 3).
Corrigé
1) Le bloc est posé sur la face la plus importante afin d’éviter un éventuel
basculement.
2) Le système est constitué du bloc.
Le référentiel d’étude est galiléen. Les forces exercées sur le bloc sont le poids ܲሬԦ
et la réaction du support ܴሬԦ qui peut se décomposer en une composante normale au
support ܰሬԦ et une composante tangentielle ܶሬԦ.
La force de contact vérifie les lois de Coulomb.
Nous commençons par faire un schéma du système afin de visualiser correctement
les forces.
ݖ
ሬԦ
ܰ
ܮൌ ͳʹ
ܱ
ሬԦ
ܶ
ܲሬԦ
ߙ
ݔ
66 Jour n°4
ʹሺ݀ ܮሻ
݂ଶ ൌ ߙ െ Ǥ
݃ ߙ ݐଶଶ
L’application numérique donne :
ʹ ൈ Ͳǡ
݂ଵ ൌ Ͳι െ ൌ ͲǡͷͲʹ
ͻǡͺͳ ൈ ሺͲιሻ ൈ ሺͶͶǤ ͳͲିଷ ሻଶ
ʹ ൈ ሺͲǡ Ͳǡͳʹሻ
݂ଶ ൌ Ͳι െ ൌ ͲǡͶͻͻǤ
ͻǡͺͳ ൈ ሺͲιሻ ൈ ሺͶͺͺǤ ͳͲିଷ ሻଶ
Nous pouvons donc en conclure que :
݂ ൌ ͲǡͷǤ
On a bien la condition d’un coefficient de frottement inférieur à ͳǡ͵.
4) Nous allons déterminer les valeurs théoriques pour différents angles. Pour cela
nous utilisons les résultats précédents. Le temps ݐଵ pour lequel le capteur
commence à être caché correspond à une distance parcourue égale à ݀ et vaut :
ሺെ݂݃ ߙ ݃ ߙሻ ଶ
ݔሺݐଵ ሻ ൌ ݀ ൌ ݐଵ
ʹ
ʹ݀
ݐଵ ൌ ඨ Ǥ
ሺെ݂݃ ߙ ݃ ߙሻ
ʹሺ݀ ܮሻ
ݐଶ ൌ ඨ Ǥ
ሺെ݂݃ ߙ ݃ ߙሻ
ʹሺ݀ ܮሻ ʹ݀
οܶ ൌ ඨ െඨ
ሺെ݂݃ ߙ ݃ ߙሻ ሺെ݂݃ ߙ ݃ ߙሻ
68 Jour n°4
68 Jour n°4
Techniques à mémoriser
Formulaire
x Lois de Coulomb pour le contact entre deux solides :
L’action de contact ܴሬԦ du support sur le solide possède une composante normale ܰ
ሬԦ
dirigée du support vers le système et une composante tangentielle ܶሬԦǤ
Ces deux composantes sont reliées par un coefficient de frottement ݂ qui est sans
dimension.
݉ܽԦ ൌ ܨԦ௫௧ Ǥ
70 Jour n°4
Exercice 4.2 Centrale MP 2016 - hh
Énoncé
Pour montrer l’existence du vide, on aspire l’air d’une sphère composée de deux
hémisphères, puis on fait écarter les deux hémisphères par des chevaux. Estimer le
nombre de chevaux nécessaires pour écarter les deux hémisphères.
Données : un cheval pèse environ ͲͲ et le rayon de la sphère est de Ͳǡͷ.
Corrigé
Nous commençons par donner une illustration de l’expérience qui a été réalisée à
Magdebourg en 1656 :
ܲ
ሬሬሬሬሬԦ
݀ܨ
ݔ
ሬሬሬሬሬԦ
݀ܨ
ሬሬሬሬሬሬሬԦ
avec ݀ ଶ ܵ la normale sortante.
72 Jour n°4
Nous pouvons travailler sur la surface élémentaire déjà intégrée une fois soit :
ሬሬሬሬԦ ൌ ʹߨܴ ଶ ߠ ݀ߠ݁Ԧ Ǥ
݀ܵ
Cette surface correspond à la couronne de rayon ܴ ߠ ݊݅ݏet
d’épaisseur ܴ݀ߠ. Tous ces points donnent la même contribution à la
force de pression. Dans ce cas la résultante vaut :
గ
ଶ
ܨ௫ ൌ ʹߨ න െܲ ܴଶ ߠ ߠ ݀ߠǤ
Nous retrouvons bien le même résultat.
Pour trouver le nombre de chevaux nécessaires, nous allons supposer qu’un cheval
peut exercer une force égale à son poids soit :
ܨ௩ ൌ ݉݃Ǥ
Sachant qu’il y a deux hémisphères, il faudra ܰ chevaux de chaque côté soit :
ʹܨ௫ ʹߨܴ ଶ ܲ
ʹܰ ൌ ൌ Ǥ
݉݃ ݉݃
L’application numérique donne :
ʹߨ ൈ ሺͲǡͷሻଶ ͳͲହ
ʹܰ ൌ ൌ ʹǡǤ
ͲͲ ൈ ͻǡͺͳ
Ce n’est pas avec 4 chevaux, comme l’illustre le schéma, que les sphères vont se
décoller. Il faut donc au minimum 14 chevaux de chaque côté.
Techniques à mémoriser
ᇡIl faut se souvenir d’analyser le sujet avant de se lancer dans des calculs
complexes.
Rapport du jury 2016
Un exercice de mécanique doit débuter, autant que possible, par
une discussion physique qui, en plus de présenter les phénomènes
en jeu, permettra de dégager la meilleure stratégie de résolution.
Trop de candidats, faisant fi de cette étape, se plongent directement
dans un ensemble décousu d’équations dont ils ne savent que faire
une fois qu’elles ont été écrites.
ሬሬሬሬሬሬሬԦ
݀ ሬሬሬሬሬሬሬԦ
ଶ ܨൌ െܲ݀ ଶܵ
ሬሬሬሬሬሬሬԦ
݀ଶ ܵ ൌ ܴ݀ߠܴ ߠ ݀߮݁Ԧ Ǥ
x Force de pression :
ሬሬሬሬሬሬሬԦ
ܨԦ ൌ െ ඵ ܲ݀ ଶ ܵǤ
74 Jour n°4
Jour n°5
Exercice 5.1
Un buggy gravit la dune avec une vitesse constante de ͵Ǥ ିଵ . Il exécute ce
parcourt ܤܣen ͵.
ܪൌ ʹͷ
ܤ
ܴ ൌ ͳͷ
ܴ
݃Ԧ
dune ܪ
ߙ
ܣ
Exercice 5.2
ܦൌܽ
ݔ
ܫ
ܴ
ܫ ሬԦ
ܤ
ܱ
ܯ ݔ
݀
ܮ ܮ
ܴ
ܥ
76 Jour n°5
Exercice 5.1 CCP PSI 2016 - hh
Énoncé
Un buggy gravit la dune avec une vitesse constante de ͵Ǥ ିଵ . Il exécute ce
parcourt ܤܣen ͵.
ܪൌ ʹͷ
ܤ ܴ ൌ ͳͷ
ܴ
݃Ԧ
dune ܪ
ߙ
ܣ
Corrigé
1) Nous commençons par étudier le mouvement du buggy dans la partie circulaire
en supposant que le module de la vitesse reste constant. Nous supposons que le
buggy est une masse ponctuelle.
Le buggy est repéré sur la partie circulaire par ses coordonnées polaires ሺܴǡ ߠሻǤ
ܲሬԦ
78 Jour n°5
La condition sur l’angle est donc :
ܸଶ
ߠ Ǥ
ܴ݃
L’application numérique donne :
͵ ൈ ͳͲͲͲ ଶ
ቀ
ߠ ͵ͲͲ ቁ ൌ ͲǡͺǤ
ͻǡͺͳ ൈ ͳͷ
Il faut donc maintenant déterminer la plage de variation de cet angle ߠǤ
Lorsque le buggy arrive sur la partie circulaire au point ܤ, l’angle ߠ vaut ߙ en
utilisant le schéma :
ߙ ܪൌ ʹͷ
ܤ ܴ ൌ ͳͷ
ܴ
݃Ԧ
dune ܪ
ߙ
ܣ
L’angle ߠ varie donc de ߙ lorsque le buggy est au point ܤà Ͳ lorsqu’il se trouve
au sommet.
La valeur minimale du cosinus est donc pour l’angle ߙǤ
Nous obtenons donc en utilisant le schéma précédent :
ܪ
ߙ ൌ Ǥ
ܤܣ
Il faut maintenant déterminer la distance ܤܣ. Pour cela, il est utile d’utiliser
l’énoncé qui dit que le buggy atteint le point ܤau bout d’un temps ߬ ൌ ͵Ǥ Nous
avons donc la relation suivante :
ܤܣൌ ܸ ߬Ǥ
Donc le cosinus minimal est le suivant :
ߙ ൌ ඥͳ െ ଶ ߙ
ܪଶ
ඨ
ߙ ൌ ͳ െ ൬ ൰ Ǥ
ܸ ߬
ܸ ൏ ඥܴ݃ ߙ Ǥ
Techniques à mémoriser
ᇡIl faut se souvenirde bien définir le système et de bien faire le bilan des forces
extérieures sans en oublier.
Rapport du jury 2016
En mécanique : toujours définir le système et le référentiel. Il FAUT
également représenter toutes les forces extérieures appliquées au
système.
ᇡIl faut se souvenir qu’il est important d’analyser et d’utiliser les graphes
donnés.
Conseils du jury 2016
Extraire depuis les documents associés à l’énoncé (photos,
courbes) des informations pertinentes, notamment les valeurs
numériques parfois indispensables à la résolution.
80 Jour n°5
ᇡIl faut se souvenir de bien projeter les vecteurs lors de l’application de la
deuxième loi de Newton.
Formulaire
x Vitesse pour un mouvement circulaire uniforme :
ܸଶ
ܽԦ ൌ െܸ ߠሶ ݁Ԧ ൌ െ ݁Ԧ
ܴ
x Deuxième loi de Newton :
݉ܽԦ ൌ ܨԦ௫௧ Ǥ
x Relations trigonométriques :
ܥ
ܣ ߠ ܤ
ܿØݐ±݆ܽ݀ܽܿ݁݊ܤܣ ݐ
ߠ ൌ ൌ
݄݄ݐݕ±݊ܥܣ ݁ݏݑ
ܿØݐ±ݏ± ܥܤ
ߠ ൌ ൌ
݄݄ݐݕ±݊ܥܣ ݁ݏݑ
ܿØݐ±ݏ± ܥܤ
ߠ ൌ ൌ Ǥ
ܿØݐ±݆ܽ݀ܽܿ݁݊ܤܣ ݐ
Énoncé
Les bobines de Helmholtz sont constituées de deux bobines de 50 spires chacune
et de rayon ܽ ൌ ͳͲ . Elles sont distantes de ܦet parcourues par un courant ܫ.
ܦൌܽ
ݔ
ܫ
82 Jour n°5
ܴ
ܴ ሬԦ
ܫ ܤ
ܫ ሬԦ
ܤ
ܱ
ܱ ܯ ݔ
݀ ܯ ݔ
݀
ܮ ܮ
ܴ ܮ ܮ
ܴ
ܥ
ܥ
Zone de
Zone de
champ
champ quasi
moins
uniforme et
intense
intense
ܫreprésente le courant circulant dans la spire. Ici, il faut le remplacer par ܰ ܫoù ܰ
représente le nombre de spires.
݀ est la distance de la spire au point où le champ magnétique est calculé donc ici il
faut remplacer ݀ par ൌ Ǥ
ଶ ଶ
ܴൌܽ
ܯ
ܱ
ܽ
݀ൌ ݖ
ʹ ሬԦ
ܤ
Les champs créés par chaque bobine sont de même sens et de même norme. Il faut
donc les additionner. Nous avons donc au centre des bobines un champ qui vaut :
84 Jour n°5
ߤ ܰܫ ͳ
ሬԦ ൌ ʹ
ܤ
ʹܽ ଷ ݁Ԧ௫
ଶ ଶ
ܦ
ቆͳ ቀʹܽቁ ቇ
ߤ ܰܫ ͳ
ሬԦ ൌ
ܤ
ܽ ଷ ݁Ԧ௫ Ǥ
ଶ ଶ
ͳ
ቆͳ ቀͶቁ ቇ
Nous pouvons donc en déduire le courant qui doit circuler dans les bobines :
ଷ
ͳ ଶ ଶ ܽܤ
ܫൌ ቆͳ ൬ ൰ ቇ Ǥ
Ͷ ߤ ܰ
Le champ magnétique terrestre est de l’ordre de ͷǤ ͳͲିହ Ǥ
L’application numérique donne :
ଷ
ͳ ଶ ଶ ͷǤ ͳͲିହ ൈ Ͳǡͳ
ܫൌ ቆͳ ൬ ൰ ቇ
Ͷ ͶɎǤ ͳͲି ൈ ͷͲ
ͳ
൬ʹሺ ܮ ܯሻ߱ െ ൰ ൌ ͲǤ
߱ܥ
ͳ
ܥൌ Ǥ
ʹሺ ܮ ܯሻ߱ ଶ
Techniques à mémoriser
Formulaire
x Champ magnétique terrestre :
86 Jour n°5
x Bobines de Helmholtz : c’est un système de deux bobines parcourues par un
même courant circulant dans le même sens. Les deux bobines sont séparées
d’une distance égale au rayon de la bobine soit ܦൌ ܽǤ
x Impédances complexes :
ܼோ ൌ ܴ
ܼ ൌ ݆߱ܮ
ͳ
ܼ ൌ Ǥ
݆߱ܥ
Exercice 6.1
ܮ
Compartiment ܣ
vide
Jour n°6 89
Exercice 6.2
ܥ ݁Ԧ௬
݁Ԧ௫
ሬԦ
ٖܤ
݃Ԧ
tige
ܮ
90 Jour n°6
Exercice 6.1 Mines-Ponts PSI 2016 - hh
Exercice 6.1 Mines-Ponts PSI 2016 - hh
Énoncé
Énoncé
On considère un piston de masse négligeable, d’épaisseur négligeable et de section
OnIlconsidère
ܵǤ est attachéunà piston
un ressort de raideur
de masse ݇ et de longueur
négligeable, à vide
d’épaisseur ݈ .
négligeable et de section
ܵǤ Il est attaché à un ressort de raideur ݇ et de longueur à vide ݈ .
ܮ
ܮ
Compartiment ܣ
Compartiment ܣ
vide
vide
Corrigé
1) Lorsqu’il y a du vide de chaque côté, le piston se trouve dans sa position
d’équilibre. Il n’est soumis à aucune force. Les forces de pression sont nulles et la
force de rappel du ressort doit aussi être nulle. Le ressort est donc dans sa position
d’équilibre et a donc sa longueur à vide soit :
݈ ൌ ݈ Ǥ
En utilisant la dimension du système :
ܮൌ ݔ ݈
ݔ ൌ ܮെ ݈ Ǥ
Nous introduisons les deux moles de gaz dans le compartiment ܣ. Nous avons
donc une force de pression exercée sur le piston. Pour maintenir l’équilibre, le
ressort doit donc se déformer.
La force de pression exercée sur le piston est :
ܨԦ ൌ ܲ ܵ݁Ԧ௫ Ǥ
La force de rappel du ressort vaut :
ܨԦ ൌ ߝ݇ሺ݈ ݈݁ܽݐݐݎݑ݁ݑ݃݊െ ݈݁݀݅ݒݎݑ݁ݑ݃݊ሻ݁Ԧ௫ Ǥ
Lorsque le ressort possède une longueur supérieure à sa longueur à vide, la force
tend à le rétrécir. La force est donc dirigée dans le sens de ݁Ԧ௫ . Il faut donc prendre
ߝ ൌ ͳǤ
ܨԦ ൌ ݇ሺ ܮെ ݔ െ ݈ ሻ݁Ԧ௫ Ǥ
Comme le piston est en équilibre, nous avons :
ܨԦ ܨԦ ൌ Ͳ
ܲ ܵ݁Ԧ௫ ݇ሺ ܮെ ݔ െ ݈ ሻ݁Ԧ௫ ൌ Ͳ
ܲ ܵ ݇ሺݔ െ ݔ ሻ ൌ Ͳ
݇
ܲ ൌ ሺ ݔെ ݔ ሻǤ
ܵ
Dans l’état final, la pression est ܲ et la position du ressort devient ݔ Ǥ
Il suffit de reprendre la position d’équilibre du ressort en changeant les notations
soit :
݇
ܲ ൌ ൫ ݔെ ݔ ൯Ǥ
ܵ
92 Jour n°6
Pour obtenir les températures, il faut utiliser la loi des gaz parfaits :
ܸܲ ൌ ܴ݊ܶ
ܸܲ
ܶൌ Ǥ
ܴ݊
Les volumes sont donnés par :
ܸ ൌ ܵݔ
ܸ ൌ ܵݔ Ǥ
Les températures sont donc :
݇ ܵݔ
ܶ ൌ ሺݔ െ ݔ ሻ
ܵ ܴ݊
݇ݔ
ܶ ൌ ሺݔ െ ݔ ሻ
ܴ݊
݇ ܵݔ
ܶ ൌ ൫ݔ െ ݔ ൯
ܵ ܴ݊
݇ݔ
ܶ ൌ ൫ݔ െ ݔ ൯ Ǥ
ܴ݊
2) Nous choisissons comme système, le gaz et le piston. Comme la pression
extérieure est nulle, nous obtenons :
ܹ ൌ െܲ௫௧ න ܸ݀
ܹ ൌ ͲǤ
3) La variation d’énergie interne du système constitué par le gaz et le piston est
donc :
οܷ ൌ ݊ܿ ൫ܶ െ ܶ ൯Ǥ
La capacité thermique du gaz parfait est égale à :
ܴ
ܿ ൌ Ǥ
ߛെͳ
Nous avons donc :
ܴ݊ ݇
οܷ ൌ ቀ൫ݔ െ ݔ ൯ݔ െ ሺݔ െ ݔ ሻݔ ቁ
ߛ െ ͳ ܴ݊
݇
οܷ ൌ ቀ൫ݔ െ ݔ ൯ݔ െ ሺݔ െ ݔ ሻݔ ቁǤ
ߛെͳ
La variation d’énergie cinétique du système est nulle car le système est immobile.
La force de rappel d’un ressort dérive d’une énergie potentielle qui vaut :
ͳ
ࣟ ൌ ݇ሺ݈ ݈݁ܽݐݐݎݑ݁ݑ݃݊െ ݈݁݀݅ݒݎݑ݁ݑ݃݊ሻଶ Ǥ
ʹ
Jour n°6 93
Le travail reçu par le système est égal au travail de la force de rappel du ressort et
donc égal à l’opposé de la variation d’énergie potentielle élastique :
݇ ଶ
ܹ± ൌ െοࣟ ൌ െ ቀ൫ݔ െ ݔ ൯ െ ሺݔ െ ݔ ሻଶ ቁǤ
ʹ
Le premier principe appliqué au système gaz et piston donne :
οܷ ൌ ܹ ܹ± ܳǤ
Nous pouvons donc obtenir le transfert thermique :
ܳ ൌ οܷ οࣟ
݇ ݇ ଶ
ܳൌ ቀ൫ݔ െ ݔ ൯ݔ െ ሺݔ െ ݔ ሻݔ ቁ ቀ൫ݔ െ ݔ ൯ െ ሺݔ െ ݔ ሻଶ ቁ Ǥ
ߛെͳ ʹ
Techniques à mémoriser
Formulaire
x Force de rappel du ressort :
94 Jour n°6
x Énergie potentielle élastique :
ͳ
ࣟ ൌ ݇ሺ݈ ݈݁ܽݐݐݎݑ݁ݑ݃݊െ ݈݁݀݅ݒݎݑ݁ݑ݃݊ሻଶ Ǥ
ʹ
x Travail élémentaire des forces de pression :
ߜܹ ൌ െܲ௫௧ ܸ݀Ǥ
x Premier principe de la thermodynamique :
οܷ οܧ οܧ ൌ ܹ ܳǤ
Jour n°6 95
Exercice 6.2 CCP PSI 2016 - hh
Énoncé
On considère une tige métallique de masse ݉, de longueur ܮqui peut se déplacer
verticalement sur deux rails distants de ܮ.
À l’instant ݐൌ Ͳ, on lâche la tige.
1) En utilisant la loi de Lenz, justifier le sens du courant.
2) Déterminer la fem et l’intensité en fonction de ܤǡ ܥǡ ܮet de la vitesse de la
tige notée ݒ.
3) Déterminer l’accélération ܽԦ de la tige.
݁Ԧ௬
ܥ ݁Ԧ௫
ሬԦ
ٖܤ
݃Ԧ
tige
ܮ
96 Jour n°6
3) Pour déterminer l’accélération, il faut penser à tenir compte de la force de
Laplace.
Corrigé
1) La loi de Lenz précise que les phénomènes d’induction s’opposent aux causes
qui leur donnent naissance. Ici, le flux du champ magnétique augmente et donc le
champ magnétique induit va s’opposer à cette augmentation. Le courant va donc
circuler afin de créer un champ magnétique opposé au champ magnétique présent.
Nous obtenons donc le schéma suivant :
ܥ ݁Ԧ௬
݁Ԧ௫
ሬԦ
ٖܤ ܫ
ሬԦௗ
ܤ
݃Ԧ
tige
ܮ
ሬԦǤ ሬሬሬሬԦ
߶ ൌ ඵܤ ݀ܵǤ
La normale est orientée par le sens de parcours qui est pris ici identique au sens de
parcours du courant. La normale est donc rentrante et opposée au champ
ሬԦǤ Nous avons donc :
magnétique ܤ
Jour n°6 97
La surface est donc égale en fonction de la position de la tige à :
ܵ ൌ ݔܮ
où ݔest compté à partir de l’origine qui est prise pour la surface nulle.
ௗ௫
La fem est donc égale, en fonction de la vitesse ݒൌ ௗ௧
, à:
݀߶
݁ൌെ ൌ ݒܮܤǤ
݀ݐ
La loi des mailles donne pour un circuit ne comprenant qu’une capacité :
ݍ
݁ൌ Ǥ
ܥ
La résistance est ici négligée.
La relation entre la charge du condensateur et le courant est la suivante :
݀ݍ
ܫൌ Ǥ
݀ݐ
Pour trouver le courant, il faut donc dériver l’équation de maille soit :
݀݁ ܫ
ൌ Ǥ
݀ܥ ݐ
L’expression du courant en fonction de la vitesse est donc :
݀ݒ
ܫൌ ܮܤܥ Ǥ
݀ݐ
3) Afin de déterminer l’accélération de la tige, il faut trouver l’équation
mécanique. Pour cela, nous appliquons la deuxième loi de Newton à la tige.
Le référentiel est galiléen. Les forces exercées sur la tige sont le poids et la force
de Laplace. Nous supposons un contact parfait de telle sorte que les réaction de
contact soient perpendiculaires au mouvement.
La deuxième loi de Newton projetée sur l’axe ܱ ݔdonne :
݉ܽ ൌ ݉݃ ܨ Ǥ
La force de Laplace vaut :
98 Jour n°6
ܥሺܮܤሻଶ
ܽ ቆͳ ቇൌ݃
݉
݃
ܽൌ Ǥ
ܥሺܮܤሻଶ
ͳ
݉
Nous constatons que l’accélération est inférieure à ݃ qui correspond à
l’accélération pour un mouvement de chute libre sans frottement.
Techniques à mémoriser
Formulaire
x Loi de Lenz : c’est une loi de modération pour laquelle le phénomène
d’induction s’oppose aux causes qui lui ont donné naissance.
ሬԦǤ ሬሬሬሬԦ
߶ ൌ ඵܤ ݀ܵǤ
݀߶
݁ൌെ Ǥ
݀ݐ
x Force de Laplace :
ܨԦ ൌ න ሬሬሬሬԦ ܤ ר
ܮ݀ܫ ሬԦǤ
௨௧
݉ܽԦ ൌ ܨԦ௫௧ Ǥ
ݍ
ܫ
ܷ
ݍ
ܷ ൌ
ܥ
݀ݍ ܷ݀
ܫൌ ൌܥ Ǥ
݀ݐ ݀ݐ
Exercice 7.1
On a un récepteur radio qui doit capter les fréquences comprises entre ͳͷͲ et
͵ͲͲ .
1) Le dispositif peut être modélisé par un circuit ܴ ܥܮsérie. On mesure la tension
en sortie du condensateur. De quel type de filtre s’agit-il ? Déterminer sa fonction
de transfert.
2) On donne ܴ ൌ ͳȳ et ܮൌ ͳǡͳͷ Ǥ Déterminer la valeur de la capacité ܥ
correspondant aux attentes.
Exercice 7.2
Énoncé
On a un récepteur radio qui doit capter les fréquences comprises entre ͳͷͲ et
͵ͲͲ .
1) Le dispositif peut être modélisé par un circuit ܴ ܥܮsérie. On mesure la tension
en sortie du condensateur. De quel type de filtre s’agit-il ? Déterminer sa fonction
de transfert.
2) On donne ܴ ൌ ͳȳ et ܮൌ ͳǡͳͷ Ǥ Déterminer la valeur de la capacité ܥ
correspondant aux attentes.
Corrigé
1) On commence par faire un schéma du circuit :
ܸ ܴ ܮ
ܸ௦
ܥ
Il faut se placer dans le cas d’un filtre passe-bande afin de laisser passer la bande
de fréquence comprise entre ͳͷͲ et ͵ͲͲ . Dans ce cas le facteur de qualité du
ଵ
montage doit être supérieur à ଶ ൌ ͲǡǤ
ξ
ͳ ܮ
ܳൌ ඨ Ǥ
ܴ ܥ
ܪ
ݔ
ݔ௫
݂ ͳ
ݔൌ ൌ ඨͳ െ ଶ Ǥ
݂ ʹܳ
ͳ ͳ ͳ
ݔଵ ൌ ඩͳ െ ଶ
ඨ ଶെ ସ
ʹܳ ܳ Ͷܳ
ͳ ͳ ͳ
ݔଶ ൌ ඩͳ െ ଶ
െඨ ଶെ ସǤ
ʹܳ ܳ Ͷܳ
ͳ ͳ ͳ
ݔଵ ൌ ඩͳ െ ଶ
ඨ ଶെ ൌ ͳǡͳ
ʹ ൈ ͳǡͺ ͳǡͺ Ͷ ൈ ͳǡͺସ
ͳ ͳ ͳ
ݔଶ ൌ ඩͳ െ ଶ
െඨ ଶെ ൌ ͲǡͷǤ
ʹ ൈ ͳǡͺ ͳǡͺ Ͷ ൈ ͳǡͺସ
Techniques à mémoriser
Formulaire
x Impédances complexes :
ܼோ ൌ ܴ
ܼ ൌ ݆߱ܮ
ͳ
ܼ ൌ Ǥ
݆߱ܥ
x Fonction de transfert :
ܸ௦
ܪሺ݆߱ሻ ൌ Ǥ
ܸ
ȁܽ ݆ܾȁ ൌ ඥܽଶ ܾ ଶ
ͳ ͳ
ฬ ฬൌ
ܽ ݆ܾ ξܽ ܾ ଶ
ଶ
ܿ ݆݀ ξܿ ଶ ݀ଶ
ฬ ฬൌ Ǥ
ܽ ݆ܾ ξܽଶ ܾ ଶ
ܪ௫
ܪሺ߱ ሻ ൌ Ǥ
ξʹ
Énoncé
Énoncé
On place ݊ moles d’eau dans un cylindre de longueur ܮet de section ܵ. Ce
cylindre molesdans
On placeest݊ placé d’eau
un dans un cylindre
thermostat de longueur
à la température ܶ. ܮOnetplace
de section ܵ. Ce
un piston au
cylindre
milieu duest placé dans
cylindre et onun
le thermostat à la température
déplace lentement ܶ. OnUn
vers la droite. place un piston
opérateur au
exerce
milieu du cylindre et on le déplace lentement
une force ܨpour maintenir l’équilibre du piston.vers la droite. Un opérateur exerce
une force ܨpour maintenir l’équilibre du piston.
Cette force est représentée sur le graphe suivant :
Cette force est représentée sur le graphe suivant :
ܨ
ܨ
ܥ
ܨ ܤ ܥ
ܨ ܤ
Corrigé
1) Commençons par faire un schéma de l’expérience. Le piston sépare les ݊ moles
d’eau en deux. Nous avons donc :
݊ ݊ ܶ௫௧
ʹ ʹ
ݔ
ܱ
Lorsque l’on déplace le piston vers la droite le gaz se trouvant à droite se
comprime et celui se trouvant à gauche se détend. Ceci est valable tant que les
deux compartiments contiennent du gaz. Lorsque la pression devient égale à la
pression de vapeur saturante dans le compartiment de droite, l’eau va commencer
à se liquéfier. Ceci se produit à partir de la valeur ݔ Ǥ Nous avons donc un
changement de pente dans le graphe représentant la force en fonction de la
position. Lorsque l’on est en présence des deux phases la pression reste égale à la
pression de vapeur saturante.
Nous pouvons donc interpréter la courbe :
ܨ
ܥ
ܨ ܤ
2) La pression du gaz à gauche est notée ܲ et celle du gaz de droite est notée ܲௗ Ǥ
La force de pression exercée par le gaz de gauche sur le piston vaut :
110 Jour n°7
ܨԦ ൌ ܲ ܵ݁Ԧ௫ Ǥ
La force de pression exercée par le gaz de droite sur le piston vaut :
ܨԦௗ ൌ െܲௗ ܵ݁Ԧ௫
Le piston est maintenu en équilibre par un opérateur qui exerce une force
ܨԦ ൌ ݁ܨԦ௫ sur le piston.
La condition d’équilibre du piston est donc la suivante :
ܲ ܵ ܨെ ܲௗ ܵ ൌ ͲǤ
Nous avons donc :
ܨൌ ൫ܲௗ െ ܲ ൯ܵǤ
Reste à déterminer les pressions dans les deux compartiments.
La loi des gaz parfaits donne :
݊
ܲ ܸ ൌ ܴܶ
ʹ
݊
ܲௗ ܸௗ ൌ ܴܶǤ
ʹ
Lorsque le piston est dans la position ݔ ݔ ǡ nous avons :
ܮ
ܸ ൌ ܵ ൬ ݔ൰
ʹ
ܮ
ܸௗ ൌ ܵ ൬ െ ݔ൰Ǥ
ʹ
Les pressions sont donc :
݊ ܴܶ
ܲ ൌ
ܮ
ʹ ܵ ቀ ݔቁ
ʹ
݊ ܴܶ
ܲௗ ൌ Ǥ
ʹ ܵ ቀ ܮെ ݔቁ
ʹ
ݔ
ܨൌ ܴ݊ܶ ൮ ଶ ൲Ǥ
ܮ ଶ
ቀʹቁ െ ݔ
݊ ܴܶ
ܨൌ ቌܲ௦௧ െ ቍܵ
ʹ ܵ ቀ ܮ ݔቁ
ʹ
ܴ݊ܶ
ܨൌ ൬ܲ௦௧ െ ൰ ܵǤ
ܵሺ ܮ ʹݔሻ
L’expression de la force est donc différente de celle de la question précédente.
Lorsque l’eau est complètement liquéfiée, nous avons donc une compression du
liquide qui est considéré comme incompressible. Dans ce cas le volume reste
constant. Donc ݔreste constant et la force augment avec une pente infinie.
ܨ
ܥ
ܨ ܤ
Techniques à mémoriser
Formulaire
x Loi du gaz parfait :
ܸܲ ൌ ܴ݊ܶǤ
x Force de pression :
ܨԦ ൌ േܵԦ
ܲ ൌ ܲ௦௧ Ǥ
x Fluide incompressible :
ܸ ൌ ݁ݐ݊ܽݐݏ݊ܥǤ
ܲ ܶ ൌ ݁ݐݏܥ
liquide
ܥ
courbe courbe de
d’ébullition rosée
gaz
liquide + gaz
ݒ
Exercice 8.1
Gaine ݊ ൌ ͳǡͶ
݊
Coeur ܴ
ߠ ݊ ൌ ͳǡͷͲ
1) Déterminer l’angle limite ߠ pour qu’il y ait une transmission à l’infini.
2) Déterminer l’ouverture numérique notée ܱܰ et définie par : ܱܰ ൌ ݊ ߠ Ǥ
ܴ ܥ
ݒ ݒ௦
ܴ ܥ
Énoncé
On souhaite envoyer un faisceau lumineux à l’infini, en jouant sur des réflexions
totales au niveau du dioptre cœur-gaine de la fibre optique à saut d’indice.
Gaine ݊
݊
Cœur ܴ
ߠ ݊
1) Déterminer l’angle limite ߠ pour qu’il y ait une transmission à l’infini.
2) Déterminer l’ouverture numérique notée ܱܰ et définie par : ܱܰ ൌ ݊ ߠ Ǥ
Corrigé
1) Pour que le rayon lumineux soit transmis par la fibre, il doit rentrer dans le
cœur de la fibre et se réfléchir totalement au niveau de la gaine.
Pour cela, il faut commencer par écrire les relations de Descartes au niveau de
l’entrée dans la gaine.
Gaine ݊
݊
Cœur ܴ
ߠ௧
ߠ ݊
Gaine ݊
݊
ܴ
ߠ௧ ݎ ݎ
ߠ ݊
Cœur
݊ ଶ
݊ ߠ ൌ ݊ ඨͳ െ ൬ ൰
݊
݊ ݊ ଶ
ߠ ൌ ඨͳ െ ൬ ൰
݊ ݊
݊ ݊ ଶ
ߠ ൌ ቌ ඨͳ െ ൬ ൰ ቍǤ
݊ ݊
Afin d’avoir une transmission à l’infini, il faut donc que l’angle d’entrée soit
compris entre Ͳ et ߠ Ǥ
2) L’ouverture numérique est donnée dans l’énoncé par :
ܱܰ ൌ ݊ ߠ
݊ ଶ
ܱܰ ൌ ݊ ඨͳ െ ൬ ൰ ൌ ට݊ଶ െ ݊ଶ Ǥ
݊
Gaine ݊
݊
ܴ
ߠ௧ ݎ ݎ
ߠ ݊
݀
Pour une longueur de fibre ݀, la distance parcourue par le rayon lumineux vaut :
݀
݀ᇱ ൌ Ǥ
ߠ௧
La distance parcourue pour la fibre de longueur ܮest donc :
ܮ
ܮᇱ ൌ Ǥ
ߠ௧
Il faut maintenant remplacer ߠ௧ . Nous avions trouvé que pour l’angle limite :
݊ ߠ ൌ ݊ ߠ௧
݊ ݊ ଶ
ߠ௧ ൌ ߠ ൌ ඨͳ െ ൬ ൰
݊ ݊
݊ ଶ
ߠ௧ ൌ ඥͳ െ ଶ ߠ௧ ൌ ඨͳ െ ቆͳ െ ൬ ൰ ቇ
݊
݊
ߠ௧ ൌ Ǥ
݊
Nous obtenons ainsi la distante totale parcourue :
݊ ܮ
ܮᇱ ൌ Ǥ
݊
Techniques à mémoriser
Normale
݅
Milieu ݎ
d’indice ݊ଵ
Milieu
d’indice ݊ଶ
ݐ
Le rayon réfléchi appartient au plan d’incidence (qui est défini par le rayon
incident et la normale au dioptre) et ݅ ൌ െݎǤ
Lois de Descartes à la transmission :
Le rayon transmis appartient au plan d’incidence et ݊ଵ ݅ ൌ ݊ଶ ݐǤ
x Conditions de réflexion totale :
݊ଵ ݊ଶ
݊ଵ
݅ ͳǤ
݊ଶ
x Vitesse de propagation dans un milieu d’indice ݊ :
ܿ
ݒൌ Ǥ
݊
Énoncé
Déterminer la fonction de transfert du filtre suivant :
ܴ ܥ
ݒ ݒ௦
ܴ
ܥ
մLe filtre peut se mettre sous la forme d’un simple diviseur de tension.
Il faut ensuite déterminer la fréquence correspondant au maximum de la fonction
de transfert.
մAttention à ne pas confondre la pulsation et la fréquence.
Il faut ensuite déterminer la bande passante.
մRevenir à la définition des fréquences ou pulsations de coupure.
Corrigé
On représente le filtre sous la forme simpliste suivante :
ܼଵ
ܸ ܸ௦
ܼଶ
ͳ
ܪሺ݆߱ሻ ൌ Ǥ
ͳ
͵ ݆ ቀܴ ߱ܥെ ቁ
ܴ߱ܥ
ͳ ଶ
ඨͻ ൬ܴ ߱ܥെ ൰ ൌ ξͳͺ
ܴ߱ܥ
ͳ ଶ
൬ܴ ߱ܥെ ൰ ൌ ͻǤ
ܴ߱ܥ
On prend la racine carrée :
ͳ
ܴ ߱ܥെ ൌ േ͵Ǥ
ܴ߱ܥ
Cette équation permet de trouver la largeur de la bande passante
sans résoudre le système. Le diagramme de Bode étant symétrique,
on obtient la différence des pulsations de coupure.
En développant l’expression, on obtient deux équations du second degré :
ሺܴܥሻଶ ߱ଶ േ ͵ܴ ߱ܥെ ͳ ൌ ͲǤ
Le discriminent vaut :
οൌ ͻሺܴܥሻଶ Ͷሺܴܥሻଶ ൌ ͳ͵ሺܴܥሻଶ ͲǤ
On a donc 4 solutions qui sont :
േ͵ܴ ܥേ ξο
߱ൌ Ǥ
ʹሺܴܥሻଶ
Il faut conserver les deux grandeurs positives qui sont :
െ͵ ξͳ͵
߱ଵ ൌ
ʹܴܥ
͵ ξͳ͵
߱ଶ ൌ Ǥ
ʹܴܥ
On a donc la largeur de la bande passante qui vaut :
͵
ο߱ ൌ ߱ଶ െ ߱ଵ ൌ
ܴܥ
La largeur de la bande passante en fréquence est donc :
͵
ο݂ ൌ
ʹߨܴܥ
ο݂ ൌ ͵݂௫ Ǥ Ǥ
L’application numérique donne :
ο߱ ൌ ͵ ൈ ͳͲͲͲ ൌ ͵ͲͲͲ Ǥ
Ce filtre a une largeur de bande passante égale à 3 fois la
fréquence du maximum.
Formulaire
x Impédance complexe d’une résistance :
ܼோ ൌ ܴǤ
x Impédance complexe d’un condensateur :
ͳ
ܼ ൌ Ǥ
݆߱ܥ
x Module du nombre complexe :
ͳ ͳ
ฬ ฬൌ Ǥ
ܽ ݆ܾ ξܽଶ ܾ ଶ
οൌ ܾ ଶ െ Ͷܽܿ
െܾ േ ξο
ݔൌ Ǥ
ʹܽ
x Définition des pulsations de coupure :
ܪ௫
ܪሺ߱ ሻ ൌ Ǥ
ξʹ
Exercice 9.1
Un moteur fonctionne avec une masse ݉ d’eau. Cette masse d’eau subit les
transformations suivantes :
Dans le tableau suivant, on donne les caractéristiques des points se trouvant sur la
courbe de saturation aux pressions ܲଵ etܲଶ .
ܶ ݒ ݒ ݄ ݄
ଷ Ǥ ିଵ ଷ Ǥ ିଵ Ǥ ିଵ Ǥ ିଵ
Exercice 9.2
ܮ
ሬԦ
ٖܤ
ߠ
ߠ
ݔ
ܧ
Énoncé
Un moteur fonctionne avec une masse ݉ d’eau. Cette masse d’eau subit les
transformations suivantes :
Dans le tableau suivant, on donne les caractéristiques des points se trouvant sur la
courbe de saturation aux pressions ܲଵ etܲଶ .
ܶ ݒ ݒ ݄ ݄
ଷ ିଵ ିଵ
Ǥ ଷ Ǥ ିଵ Ǥ Ǥ ିଵ
Corrigé
1) Nous allons donc représenter les différentes transformations dans le diagramme
de Clapeyron, c'est-à-dire dans le diagramme représentant la pression en fonction
de la température.
Nous commençons par représenter la courbe de saturation (en pointillés) afin de ne
pas omettre les changements d’état de l’eau.
ܥ ܦ
P2
ܤ isotherme T2
P1 isotherme T1
ܣ ܧ ܧǯ
O
V
ܶ ݄ ሺܶଶ ሻ െ ݄ ሺܶଶ ሻ
ܿ ቀܶଶ ቁ ܶ
ଵ ଶ
ݔൌെ Ǥ
ቀ݄ ሺܶଵ ሻ െ ݄ ሺܶଵ ሻቁ
ܶଵ
Nous pouvons alors procéder à l’application numérique. Nous pouvons laisser les
grandeurs en puisqu’elles interviennent sous forme d’une fraction :
Formulaire
x Variation d’entropie pour un liquide :
ܵ ൌ ݉ܿ ܶ ݁ݐܥǤ
ܮ௩௦௧
ܵ௭ െ ܵ௨ௗ ൌ ݉ Ǥ
ܶ
x Rendement pour un moteur :
ܰܫܣܩ െܹ
ߩൌ ൌ Ǥ
ܳ ܵܧܵܰܧܲܧܦ௨ௗ
x Premier principe de la thermodynamique :
οܵ ൌ ±± ܵ±± Ǣ
ܳ
±± ൌ Ǥ
ܶ௫௧
Énoncé
ܮ
ሬԦ
ٖܤ
ߠ
ߠ
ݔ
ܧ
Comme dans tout exercice d’induction, il faut déterminer une équation électrique
et une équation mécanique.
Corrigé
ܮ
ሬԦ
ٖܤ
ߠ
ٖ ሬሬሬሬԦ
݀ܵ
ߠ
ܨԦ ݔ
ܧ
ሬԦǤ ሬሬሬሬԦ
߶ ൌ ඵܤ ݀ܵ
߶ ൌ ඵ ܤǤ ݀ܵ
߶ ൌ ܵܤǤ
La surface du circuit est égale à l’aire des deux triangles soit :
݀
ܵൌݔ
ʹ
ݔ
ܵൌݔ Ǥ
ߠ
Le flux vaut donc :
ݔଶ
߶ൌܤ Ǥ
ߠ
La fem induite est donnée par la loi de Faraday soit :
݀߶
݁ൌെ
݀ݐ
ʹݔݔܤሶ
݁ൌെ Ǥ
ߠ
L’équation électrique est donc pour la maille comprenant un générateur, une fem
et une résistance :
ܧ ݁ ൌ ܴሺݔሻ݅
ʹݔݔܤሶ ͳ ͳ
ܧെ ൌ ʹߣ ݔ൬ ൰ ݅Ǥ
ߠ ߠ ߠ
La force de Laplace est définie par :
ܨԦ ൌ ݈݅Ԧ ܤ ר
ሬԦ
ܨԦ ൌ ݅݀݁ܤԦ௫ Ǥ
Maintenant, nous allons appliquer la deuxième loi de Newton à la tige. Elle est
soumise à la force de Laplace, au poids et aux réactions de rails. Les deux
dernières forces se compensent.
Il reste donc en projection sur l’axe ܱݔ:
݉ݔሷ ൌ ܨ ൌ ݅݀ܤǤ
Techniques à mémoriser
ᇡIl faut se souvenirqu’il est très utile de pratiquer une analyse physique du sujet
en définissant sa démarche pour les sujets ouverts.
Rapport du jury 2015
Pour un sujet de type résolution de problème, l’objectif à atteindre
sera clairement donné et le travail du candidat portera sur la
démarche à suivre, l’obtention du résultat et son regard critique. Le
candidat devra mobiliser ses connaissances, capacités et
compétences afin d’aborder une situation dans laquelle il doit
atteindre un but bien précis, mais pour laquelle le chemin à suivre
n’est pas indiqué.
Formulaire
x Force de Laplace :
ܨԦ ൌ ݅ܮሬԦ ܤ ר
ሬԦǤ
ܵԦ
ܵԦ
x Loi de Faraday :
݀߶ ݀
݁ൌെ ൌ െ ඵܤሬԦ Ǥ ሬሬሬሬԦ
݀ܵǤ
݀ݐ ݀ݐ
ܣ
ߠ
ܱ ܤ
Exercice 10.1
ݕ
tige mobile
ሬԦ
ܤ
ܱ ݔ
Une tige de longueur ܽ se déplace sans frottement sur deux rails de Laplace
distants de ܽ. La résistance des rails et de la tige est négligeable devant la
résistance ܴ. L’axe ܱ ݕse trouve dans le plan horizontal et l’axe ܱ ݔfait un angle
ߙ avec l’horizontale. Le système est placé dans le champ de pesanteur.
On applique à la tige une force ܨԦ ൌ ݔܨԦ de norme constante telle que la tige se
déplace suivant la direction ݔcroissante.
2) Comment peut-on prévoir, sans calcul, le sens du courant induit ?
3) Déterminer la fem induite ainsi que la force de Laplace exercée sur la tige.
4) Déterminer les équations mécanique et électrique pour le système.
5) En déduire la vitesse de la tige ainsi que le courant circulant dans le circuit
sachant qu’à l’instant initial la tige est immobile.
Un skieur de masse ݉ glisse sans frottement sur une pente faisant un angle
ߙ ൌ ʹͲι avec l’horizontale et associée à un arc de cercle de rayon ܴ ൌ ͳͲǤ Il
arrive au point ܣavec une vitesse ܸ .
ߙ ܣ
ܤ
ߙ ݃Ԧ
ܴ
Énoncé
1) En général, quelles sont les causes du phénomène d’induction ? Comment peut-
on écrire de façon mathématique ce phénomène ?
ሬԦ
ܤ
ܱ ݔ
Une tige de longueur ܽ se déplace sans frottement sur deux rails de Laplace
distants de ܽ. La résistance des rails et de la tige est négligeable devant la
résistance ܴ. L’axe ܱ ݕse trouve dans le plan horizontal et l’axe ܱ ݔfait un angle
ߙ avec l’horizontale. Le système est placé dans le champ de pesanteur.
On applique à la tige une force ܨԦ ൌ ݔܨԦ de norme constante telle que la tige se
déplace suivant la direction ݔcroissante.
2) Comment peut-on prévoir, sans calcul, le sens du courant induit ?
3) Déterminer la fem induite ainsi que la force de Laplace exercée sur la tige.
4) Déterminer les équations mécanique et électrique pour le système.
5) En déduire la vitesse de la tige ainsi que le courant circulant dans le circuit
sachant qu’à l’instant initial la tige est immobile.
Corrigé
1) Le phénomène d’induction est dû à une variation du flux du champ
magnétique à travers un circuit. On distingue deux cas.
o L’induction de Lorentz : circuit mobile dans un champ magnétostatique.
o L’induction de Neumann : circuit fixe dans un champ magnétique variable.
Maintenant les deux peuvent se produire en même temps, le circuit peut être
mobile dans un champ magnétique variable.
Les phénomènes d’inductions sont caractérisés par la fem induite :
݀߶
݁ൌെ Ǥ
݀ݐ
ሬԦ
߲ܤ
ሬሬሬሬሬሬԦܧሬԦ ൌ െ
ݐݎ Ǥ
߲ݐ
݁ ൌ ර ܧሬԦ Ǥ ሬሬሬԦ
݈݀
ሬሬሬሬԦ
ܧ ݐݎሬԦ Ǥ ݀ܵ
݁ ൌ ඵ ሬሬሬሬሬሬԦ
ሬԦ
ܤ
ሬԦ
ܤ
ܴ
ܴ
ሬሬሬሬԦ
݀ܵ
ሬሬሬሬԦ
݀ܵ
ܱ
ܱ ݔ
ݔ
La
La tige
tige se
se déplace
déplace dans
dans le
le sens
sens des croissants. D’après
ݔcroissants.
des ݔ D’après la
la loi
loi de
de Lenz,
Lenz, la
la force
force de
de
Laplace
Laplace qui
qui agit
agit sur
sur le
le circuit
circuit va
va s’opposer
s’opposer auau mouvement
mouvement de de la
la tige.
tige. Donc
Donc le
le
courant
courant sera négatif avec
sera négatif avec l’orientation
l’orientation choisie.
choisie.
Autre méthode
Autre méthode
Le flux du champ magnétique est positif et croissant, donc d’après
Le flux du champ magnétique est positif et croissant, donc d’après
la loi de Lenz, le courant doit circuler pour s’opposer à
la loi de Lenz, le courant doit circuler pour s’opposer à
l’augmentation du champ magnétique. Le cour ant est négatif de
l’augmentation du champ magnétique. Le cour ant est négatif de
façon à créer un champ m agnétique opposé à celui existant (on
façon à créer un champ m agnétique opposé à celui existant (on
utilise la loi du tire-bouchon : on tourne dans le sens du courant et
utilise la loi du tire-bouchon : on tourne dans le sens du courant et
la direction du tire-bouchon donne le sens du champ magnétique
la direction du tire-bouchon donne le sens du champ magnétique
propre).
propre).
Jour n°10 149
Jour n°10 149
3) Déterminons de la fem induite par la loi de Faraday.
On commence par calculer le flux du champ magnétique :
ሬԦ Ǥ ሬሬሬሬԦ
߶ ൌ ඵܤ ݀ܵǤ
ሬሬሬԦ ܤ ר
ܨԦ ൌ න ݈݅݀ ሬԦǤ
On trouve alors :
ܨԦ ൌ ݅ܽݔܤԦǤ
4) L’équation électrique est relativement simple à trouver puisque l’on a
uniquement une fem induite et une résistance. On obtient le circuit électrique
équivalent :
݅
ܴ ݁
axe vertical
ݖ ܴሬԦ ݔ
tige ܨԦ
ݒܽܤ
݅ൌെ Ǥ
ܴ
Remarque :
ሺிି ௦ ఈሻ
La force est homogène à ݅ܽܤ. Donc le terme est bien homogène
à un courant.
Techniques à mémoriser
ᇡIl faut se souvenirqu’il faut orienter le circuit afin d’éviter les erreurs de signe.
Rapport du jury 2006
En induction électromagnétique, les questions d’orientation restent
le gros point noir, ce qui conduit à de nombreuses erreurs de signe
dans les équations électriques. La rigueur dans les questions
d’orientation des circuits est pourtant essentielle pour mener à
terme un exercice portant sur les phénomènes d’induction.
Formulaire
x Loi de Faraday :
݀ߔ
݁ൌെ Ǥ
݀ݐ
x L’équation de Maxwell-Faraday :
ሬԦ
߲ܤ
ܧݐݎሬԦ ൌ െ
ሬሬሬሬሬሬԦ Ǥ
߲ݐ
x La force de Laplace :
ሬሬሬԦ ܤ ר
ܨԦ ൌ න ݈݅݀ ሬԦǤ
Énoncé
Un skieur de masse ݉ glisse sans frottement sur une pente faisant un angle
ߙ ൌ ʹͲι avec l’horizontale et associée à un arc de cercle de rayon ܴ ൌ ͳͲǤ Il
arrive au point ܣavec une vitesse ܸ .
ߙ ܣ
ܤ
ߙ ݃Ԧ
ܴ
Corrigé
1) Le référentiel d’étude est le référentiel galiléen lié au sol. Le système est
constitué par le skieur qui est assimilé à une masse ponctuelle.
ሬሬሬሬሬԦ
ܴ ே
݁Ԧ
ܯ
ߠ
݁Ԧఏ
ߙ
ܱ ܲሬԦ
െܴ݉ߠሶ ଶ ൌ ܴே െ ݉݃ ߠ Ǥ
La projection sur ݁Ԧఏ donne :
ܴ݉ߠሷ ൌ ݉݃ ߠ Ǥ
2) La réaction du sol est donnée par la première équation soit :
ܴே ൌ ݉݃ ߠ െ ܴ݉ߠሶ ଶ Ǥ
Nous avons donc en intégrant entre l’instant initial où ݒൌ ܴߠሶ ሺ ݐൌ Ͳሻ ൌ ܸ et
ߠሺ ݐൌ Ͳሻ ൌ ߙ:
ͳ ଶ ͳ ܸଶ
ܴߠሶ െ ൌ െ݃ ߠ ݃ ߙǤ
ʹ ʹ ܴ
Nous avons donc :
ܸଶ
ܴߠሶ ଶ ൌ െ ʹ݃ ߠ ʹ݃ ߙǤ
ܴ
En remplaçant dans l’expression de la réaction, nous avons :
ܸଶ
ܴே ൌ ݉݃ ߠ െ ݉ ቆ െ ʹ݃ ߠ ʹ݃ ߙቇ
ܴ
ܸଶ
ܴே ൌ ͵݉݃ ߠ െ ݉ െ ʹ݉݃ ߙ Ǥ
ܴ
Pour que le skieur ne décolle pas entre les points ܣet ܤ, il faut que la réaction du
sol soit toujours positive soit :
ܸଶ
ܴே ൌ ͵݉݃ ߠ െ ݉ െ ʹ݉݃ ߙ Ͳ
ܴ
ܸଶ
͵݃ ߠ െ ʹ݃ ߙ Ǥ
ܴ
͵݃ ߠ െ ʹ݃ ߙ Ͳ
ʹ ߙ ʹ ʹͲ
ߠ ൌ ൌ Ͳǡ
͵ ͵
ߠ ൏ ͶͺιǤ
L’angle ߠ varie de ߙ à ʹߙ. Il est inférieur à ͶͲι. Nous sommes donc dans le cas où
la vitesse est définie. Donc il faut prendre la valeur minimale du ߠ, c’est-à-dire
ʹߙ.
ܸ ൏ ඥܴሺ͵݃ ߠ െ ʹ݃ ߙሻ
Techniques à mémoriser
ሬሬሬሬሬሬԦ
ܱ ܯൌ ܴ݁Ԧ
݉ܽԦ ൌ ܨԦ௫௧ Ǥ
Exercice 11.1
Pont
boule
corde
L’origine de l’énergie potentielle est prise nulle lorsque la boule se trouve sur le
pont.
À l’instant initial ݐൌ Ͳ, on pousse la boule qui tombe du pont sans vitesse initiale.
1) Déterminer l’énergie mécanique du système à ݐൌ ͲǤ
2) Montrer que l’énergie potentielle du système constitué par la corde et la boule
peut se mettre sous la forme :
ࣟ ൌ ݃ߤܣሺʹ ܮݖെ ݖଶ ሻ ݖܤǤ
3) Que faut-il supposer pour que le système soit conservatif ?
4) En utilisant le théorème de l’énergie mécanique, déterminer la vitesse de la
boule en fonction de ߤǡ ݃ǡ ݖǡ ܮet ݉.
5) Calculer sa vitesse lorsqu’elle arrive en ݖൌ ܮǤ Étudier le cas limite ߤ ൌ Ͳ.
oscillogramme
Énoncé
On considère un système constitué d’une corde inextensible et d’une boule. La
corde, de masse linéique ߤ, de longueur totale ܮǡest attachée à un pont par une de
ses extrémités. La boule, de masse ݉, supposée ponctuelle, est sur le pont et est
attachée à l’autre extrémité de la corde. La corde pend dans le « vide » et remonte
jusqu’à la boule. La hauteur du pont est supérieure à la longueur de la corde.
Pont
boule
corde
L’origine de l’énergie potentielle est prise nulle lorsque la boule se trouve sur le
pont.
À l’instant initial ݐൌ Ͳ, on pousse la boule qui tombe du pont sans vitesse initiale.
1) Déterminer l’énergie mécanique du système à ݐൌ ͲǤ
2) Montrer que l’énergie potentielle du système constitué par la corde et la boule
peut se mettre sous la forme :
ࣟ ൌ ݃ߤܣሺʹ ܮݖെ ݖଶ ሻ ݖܤǤ
3) Que faut-il supposer pour que le système soit conservatif ?
4) En utilisant le théorème de l’énergie mécanique, déterminer la vitesse de la
boule en fonction de ߤǡ ݃ǡ ݖǡ ܮet ݉.
5) Calculer sa vitesse lorsqu’elle arrive en ݖൌ ܮǤ Étudier le cas limite ߤ ൌ Ͳ.
Corrigé
1) L’énergie mécanique est égale à la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie
potentielle soit :
ࣟ ൌ ࣟ ࣟ Ǥ
Comme le système est initialement au repos, son énergie cinétique est nulle.
L’énoncé indique aussi que l’énergie potentielle du système est nulle. L’énergie
mécanique du système est donc initialement nulle :
ࣟ ൌ ͲǤ
2) Avant de répondre à la question, démontrons que l’énergie potentielle de
pesanteur d’une corde de longueur ܮest égale à l’énergie potentielle d’une masse
ponctuelle ߤ ݖplacé au centre d’inertie en ଶ.
Nous avons donc le schéma suivant :
ܮ
ʹ
ܮ
ݖ
ܮ
L’énergie potentielle de la masse ݉ placée en vaut :
ʹ
ܮ ݖ
ʹ
ݖ
ݖԢ
ͳ ߤ݃
ࣟ ൌ ࣟ ࣟ ൌ Ͳ ൌ ݉ ݒଶ െ ݉݃ ݖെ ሺʹ ݖܮെ ݖଶ ሻǤ
ʹ Ͷ
ߤ݃
ݒଶ ൌ ʹ݃ ݖ ሺʹ ݖܮെ ݖଶ ሻ
ʹ݉
ߤ݃
ݒൌ ටʹ݃ ݖ ሺʹ ݖܮെ ݖଶ ሻǤ
ʹ݉
5) Lorsque la boule arrive en ݖൌ ܮ, nous avons donc la vitesse qui vaut :
ߤ݃
ݒൌ ටʹ݃ ܮ ሺʹ ܮܮെ ܮଶ ሻ
ʹ݉
ߤ݃ ଶ
ݒൌ ටʹ݃ ܮ ܮǤ
ʹ݉
Lorsque la masse linéique de la corde est nulle cette vitesse tend vers :
ݒሺߤ ൌ Ͳሻ ൌ ඥʹ݃ܮǤ
Cette vitesse correspond à la vitesse de chute libre comme si la boule n’était pas
attachée.
Techniques à mémoriser
Formulaire
x Énergie cinétique d’une masse ponctuelle :
ͳ
ࣟ ൌ ݉ ݒଶ Ǥ
ʹ
x Énergie potentielle de pesanteur d’une masse ponctuelle avec un axe vertical
ascendant :
ܮଶ
ࣟ୮ ൌ െߤ݃ Ǥ
ʹ
x Énergie mécanique :
ࣟ ൌ ࣟ ࣟ Ǥ
Énoncé
On considère un filtre dont la fonction de transfert est la suivante :
ܪ
ܪሺ݆߱ሻ ൌ ଶ Ǥ
߱ ߱
ͳ െ ଶ ݆ܳ
߱ ߱
oscillogramme
ܪ ߱ଶ
ܪሺ݆߱ሻ ൌ െ Ǥ
߱ଶ
L’asymptote est donc égale à :
߱
݃ௗ ൌ ʹͲ ܪ െ ͶͲ ൬ ൰Ǥ
߱
La phase vaut ߮ ൌ െߨ ou ߮ ൌ ߨǤ Il faudra la déterminer en fonction du sens de
variation de la phase.
Le filtre laisse passer les basses fréquences mais pas les hautes fréquences.
Pour la pulsation ߱ ൌ ߱ , on a la fonction de transfert qui est :
ܪ ܪ
ܪሺ݆߱ሻ ൌ ൌ െ݆ Ǥ
݆ܳ ܳ
Le module est donc égal à :
ܪ
ȁܪȁ ൌ Ǥ
ܳ
గ
La phase vaut donc ߮ ൌ െ ଶ Ǥ
Comme la phase est une fonction continue, elle vaut Ͳ en basse fréquence et passe
గ
par െ ଶ pour ߱ ൌ ߱ .
Nous pouvons dire que la phase est égale à Ȃ ߨ en très haute fréquence.
݃ௗ
ܪ
ʹͲ ɘ
ܳ ൬ ൰
ɘ
0
ܪ
ʹͲ
ܳ pente à
െͶͲ݀ܤȀ݀݁ܿ
ߨ
െ
ʹ
െߨ
ʹ ʹ
߱ ߱ ʹ
݀ ቆ൬ͳ െ ʹ ൰ ቀܳ ߱ ቁ ቇ
߱Ͳ Ͳ
ൌͲ
݀߱
߱ ʹ߱
ଶ
߱
െʹ ቆͳ െ ቇ ʹܳʹ ଶ ൌ ͲǤ
߱ଶ ߱ଶ ߱
En simplifiant, il reste :
ʹ߱ଶ
߱ ቆെʹ ܳଶ ቇ ൌ ͲǤ
߱ଶ
Les solutions sont donc :
߱ൌͲ
ܳଶ
߱ଶ ൌ ߱ଶ ቆͳ െ ቇǤ
ʹ
ܳଶ
߱ ൌ ߱ ඨͳ െ Ǥ
ʹ
ܪ
ܪ௫ ൌ
Ͷ Ͷ
ඨܳ ܳʹ െ ܳ
Ͷ ʹ
ܪ
ܪ௫ ൌ Ǥ
Ͷ
ඨܳʹ െ ܳ
Ͷ
L’application numérique donne :
ͳ
ܪ௫ ൌ ൌ ͳǡͷͻǤ
ʹ Ͷ
ඨ൬ʹ൰ െ ͳ ൬ʹ൰
͵ Ͷ ͵
Ce résultat est donc cohérent avec les données.
Les fréquences de coupure sont définies par :
ܪ௫ ͳǡͷͻ
หܪሺ݆߱ሻห ൌ ൌ ൌ ͳǡͳʹǤ
ξʹ ξʹ
On a donc bien un filtre passe -bande.
Techniques à mémoriser
Formulaire
x Gain en décibel :
݃ௗ ൌ ʹͲ หܪሺ݆߱ሻหǤ
x Phase :
߮ ൌ ܪሺ݆߱ሻǤ
x Pulsation de coupure ߱ :
ܪ௫
หܪሺ݆߱ ሻห ൌ ݃ݑௗ ሺ߱ ሻ ൌ ݃௫ െ ͵Ǥ
ξʹ
Exercice 12.1
ܮ
ܴ
ݒ ݒ௦
ܥ ܮ
Données :
ܴ ൌ ͻǡͷȳǢ ܮൌ ͳ Ǣ ܥൌ ͲǡͷɊ Ǥ
Rappel :
Le signal créneaux se met sous la forme suivante :
ஶ
Exercice 12.2
On sait que lorsqu’un glaçon est plongé dans un verre d’eau liquide, l’eau liquide
refroidit.
On dispose une masse ݉ଵ d’eau liquide à la température ܶଵ et d’une masse de
glace ݉ଶ à la température ܶଶ Ǥ
Déterminer le rapport minimal మ afin que toute l’eau liquide se transforme en
భ
glace.
Déterminer le rapport maximal మ qui permet d’obtenir uniquement du liquide.
భ
Énoncé
On étudie le filtre suivant :
ܮ
ܴ
ݒ ݒ௦
ܥ ܮ
Données :
ܴ ൌ ͻǡͷȳǢ ܮൌ ͳ Ǣ ܥൌ ͲǡͷɊ Ǥ
Rappel :
Le signal créneaux se met sous la forme suivante :
ஶ
ܮ
ܴ
ݒ ݒ௦
ܥ ܮ
݅ െ ݅Ԣ
݅
ݒ௦ ݆߱ܮ ଶ
ܪሺ݆߱ሻ ൌ ൌ ͳ െ ʹ߱ܥܮ
ݒ ܴ݅ ݅ െ ݅ ͳ
݆ ͳ ߱ܥ݆ ߱ܥെ ʹ ߱ܥܮଶ
Nous avons donc une fonction de transfert qui se met sous la forme canonique
suivante :
ܪ
ܪሺ݆߱ሻ ൌ ߱ ߱ Ǥ
ͳ ݆ܳ ቀ߱ െ ߱ ቁ
Nous avons donc affaire à un filtre passe-bande.
Le gain maximal est donc :
ͳ
ܪ௫ ൌ ܪ ൌ Ǥ
ʹ
Nous pouvons identifier la pulsation correspondant au gain maximum et le facteur
de qualité par :
ܳ
ൌ ܴܥ
߱
ܴ
ܳ߱ ൌ Ǥ
ʹܮ
La résolution donne :
ܴଶܥ
ܳଶ ൌ
ʹܮ
ܴଶܥ
ܳൌඨ
ʹܮ
ܴ ʹܮ
߱ ൌ ඨ ଶ
ʹܥ ܴ ܮ
ͳ
߱ ൌ Ǥ
ξʹܥܮ
ܮ
ܴ
ݒ ݑ ݒ௦
ܥ ܮ
Nous avons :
ݒ௦ ݆߱ܮ ͳ
ൌ ൌ Ǥ
ʹ ߱ܮ݆ʹ ݑ
Il faut ensuite déterminer la résistance équivalente à ܥen parallèle avec ʹ ܮsoit :
ͳ ͳ
ൌ ݆ ߱ܥ Ǥ
ܼ ʹ݆߱ܮ
ܴ
ݒ ܼ ݑ
Techniques à mémoriser
Formulaire
x Impédance du résistor (ou résistance) :
ܼோ ൌ ܴǤ
x Impédance de la bobine :
ܼ ൌ ݆߱ܮǤ
x Impédance du condensateur :
ͳ
ܼ ൌ Ǥ
݆߱ܥ
x Diviseur de tension :
ܼଵ
ݒ ܼଶ ݑ
ݑ ଶ
ൌ Ǥ
ݒ ܼଵ ܼଶ
x Fonction de transfert :
ݒ௦
ܪሺ݆߱ሻ ൌ Ǥ
ݒ
x Fonction de transfert canonique d’un filtre passe-bande du deuxième ordre :
ܪ
ܪሺ݆߱ሻ ൌ ߱ ߱ Ǥ
ͳ ݆ܳ ቀ߱ െ ߱ ቁ
Énoncé
On sait que lorsqu’un glaçon est plongé dans un verre d’eau liquide, l’eau liquide
refroidit.
On dispose une masse ݉ଵ d’eau liquide à la température ܶଵ et d’une masse de
glace ݉ଶ à la température ܶଶ Ǥ
Déterminer le rapport minimal మ afin que toute l’eau liquide se transforme en
భ
glace.
మ
Déterminer le rapport maximal qui permet d’obtenir uniquement du liquide.
భ
Cette transformation est-elle facile à réaliser ? Pourquoi ?
Données :
Enthalpie massique de fusion de l’eau : ܮ ൌ ͵͵Ͳ Ǥ ିଵ Ǥ
Capacité thermique de l’eau liquide : ܿ ൌ ͶʹͲͲ Ǥ ିଵ Ǥ ିଵ Ǥ
Capacité thermique de l’eau solide :ܿ௦ ൌ ʹͲͲͲ Ǥ ିଵ Ǥ ିଵ Ǥ
Température de l’eau liquide :ܶଵ ൌ ͵ͲͲǤ
Température de l’eau solide :ܶଶ ൌ ʹͷ͵Ǥ
Corrigé
L’état initial est constitué par la masse ݉ଵ de liquide à la température ܶଵ et la
masse ݉ଶ de solide à la température ܶଶ .
L’état final doit être constitué de la masse ݉ଵ ݉ଶ de solide à la température ܶ Ǥ
C’est la condition pour avoir la valeur maximale de l’eau liquide qui pourra se
transformer en solide. La température finale sera alors égale à la température de
fusion et il ne restera plus de liquide.
݉ଵ liquide à ܶ
݉ଶ solide à ܶ
Nous imaginons un chemin qui passe par un état intermédiaire dans lequel le
liquide et le solide sont amenés à la température de fusion ܶ Ǥ
Pour la transformation globale, la variation d’enthalpie est nulle car la
transformation est adiabatique.
݉ଶ ܮ െ ܿ ൫ܶ െ ܶଵ ൯
ൌ Ǥ
݉ଵ ܿ௦ ൫ܶ െ ܶଶ ൯
݉ଵ liquide à ܶ
݉ଶ solide à ܶ
Nous imaginons un chemin qui passe par un état intermédiaire dans lequel le
liquide et le solide sont amenés à la température de fusion ܶ Ǥ
Pour la transformation globale, la variation d’enthalpie est nulle car la
transformation est adiabatique.
݉ଶ െܿ ൫ܶ െ ܶଵ ൯
ൌ Ǥ
݉ଵ ܿ௦ ൫ܶ െ ܶଶ ൯ ܮ
L’application numérique donne :
݉ଶ െͶʹͲͲሺʹ͵ െ ͵ͲͲሻ
ൌ
݉ଵ ʹͲͲͲሺʹ͵ െ ʹͷʹሻ ͵͵ͲǤ ͳͲଷ
݉ଶ
ൌ Ͳǡ͵Ǥ
݉ଵ
Donc si le rapport des masses est supérieur à ͷǡͶͻ, l’eau sera à l’état solide à une
température inférieure à ʹ͵.
Si le rapport des masses est compris entre Ͳǡ͵ et ͷǡͶͻ, l’état final du système sera
constitué d’un mélange d’eau liquide et solide à la température de ʹ͵Ǥ
Si le rapport des masses est inférieur à Ͳǡ͵, l’état final du système sera de l’eau
liquide à une température supérieure à ʹ͵Ǥ
Les manipulations sont assez simples à faire mais la précision des mesures reste
assez mauvaise. Il est assez difficile d’obtenir des glaçons dont la température est
uniforme. Lors des manipulations, il est difficile d’éviter les transferts thermiques.
Techniques à mémoriser
ο ܪൌ ܳǤ
x Variation d’enthalpie pour une transformation adiabatique et isobare :
ο ܪൌ ͲǤ
x Variation d’enthalpie pour une phase condensée :
ο ܪൌ ݉ܿοܶǤ
x Variation d’enthalpie pour un changement d’état :
οܪଵ՜ଶ ൌ ݉ܮଵ՜ଶ Ǥ
Exercice 13.1
On considère un gaz parfait diatomique qui est contenu dans un cylindre fermé par
un piston sans masse. Le gaz se trouve à la pression ܲ ൌ ͳ, à la température
ܶ ൌ ͵ͲͲ et son volume vaut ܸ ൌ ͳͲǤ
Le piston et le cylindre sont parfaitement calorifugés. Un opérateur comprime très
lentement le gaz en appuyant sur le piston jusqu’à ce que le volume du gaz soit
égal à ͲΨ de son volume initial.
1) Déterminer la température finale et la pression finale ainsi que le travail exercé
par l’opérateur.
En réalité, la température finale est plus faible.
Pour améliorer le modèle, on considère désormais que le piston reste parfaitement
calorifugé mais que le cylindre n’est plus calorifugé que sur sa partie externe.
Dans ce cas, il existe donc des échanges thermiques entre le gaz et la paroi.
On note ܥla capacité thermique du cylindre.
2) Déterminer la température finale et la pression finale avec ce nouveau modèle
sachant que l’opérateur fournit le même travail que précédemment.
3) On trouve ܶ ൌ ͵ͳͺ. En déduire la valeur de la capacité thermique du
cylindre.
Exercice 13.2
On considère un objet ܤܣtel que ܤܣൌ ͳ et situé à ͳͲ devant une lentille
convergente de distance focale ͷ .
1) Déterminer la nature, le sens, la grandeur, la position de l’image créée.
2) Retrouver ces informations par un schéma.
3) Tracer le trajet d’un rayon faisant un angle quelconque avec l’axe optique.
4) Si l’on approche l’objet de ͳ de la lentille que se passe-t-il ?
5) Reprendre les deux premières questions pour un objet situé à ͵ avant la
lentille et ensuite ͳͲ après la lentille.
Énoncé
On considère un gaz parfait diatomique qui est contenu dans un cylindre fermé par
un piston sans masse. Le gaz se trouve à la pression ܲ ൌ ͳ, à la température
ܶ ൌ ͵ͲͲ et son volume vaut ܸ ൌ ͳͲǤ
Le piston et le cylindre sont parfaitement calorifugés. Un opérateur comprime très
lentement le gaz en appuyant sur le piston jusqu’à ce que le volume du gaz soit
égal à ͲΨ de son volume initial.
1) Déterminer la température finale et la pression finale ainsi que le travail exercé
par l’opérateur.
En réalité, la température finale est plus faible.
Pour améliorer le modèle, on considère désormais que le piston reste parfaitement
calorifugé mais que le cylindre n’est plus calorifugé que sur sa partie externe.
Dans ce cas, il existe donc des échanges thermiques entre le gaz et la paroi.
On note ܥla capacité thermique du cylindre.
2) Déterminer la température finale et la pression finale avec ce nouveau modèle
sachant que l’opérateur fournit le même travail que précédemment.
3) On trouve ܶ ൌ ͵ͳͺ. En déduire la valeur de la capacité thermique du
cylindre.
Corrigé
1) Le système thermodynamique étudié est le gaz parfait contenu dans l’enceinte.
Il subit une transformation adiabatique que l’on peut aussi supposée réversible car
la transformation est lente.
ܸ ଵିఊ
ܶ ൌ ܶ ൬ ൰ Ǥ
ܸ
L’application numérique donne :
ିǡସ
ܶ ൌ ͵ͲͲ ൬ ൰ ൌ ͵ͶǤ
ͳͲ
En appliquant le premier principe de la thermodynamique au gaz nous avons :
οܷ ൌ ܹ ܳ ൌ ܹǤ
Pour un gaz parfait la variation d’énergie interne vaut :
ܴ݊ ܲ ܸ െ ܲ ܸ
οܷ ൌ ݊ܿ ൫ܶ െ ܶ ൯ ൌ ൫ܶ െ ܶ ൯ ൌ Ǥ
ߛെͳ ߛെͳ
Nous en déduisons le travail :
ܲ ܸ െ ܲ ܸ
ܹൌ Ǥ
ߛെͳ
L’application numérique donne :
ͳǡͷǤ ͳͲହ ൈ Ǥ ͳͲିଷ െ ͳͲହ ൈ ͳͲǤ ͳͲିଷ
ܹൌ ൌ ͵ͺǡͷ Ǥ
ͳǡͶ െ ͳ
2) Il faut maintenant tenir compte du fait que le cylindre n’est plus adiabatique et
les transferts thermiques avec le gaz sont présents.
Nous noterons ܶᇱ et ܲᇱ les température et pression finales du gaz.
Techniques à mémoriser
Formulaire
x Équation d’état du gaz parfait :
ܸܲ ൌ ܴ݊ܶǤ
x Premier principe de la thermodynamique pour un système fermé :
ο ൌ Ǥ
x Loi de Laplace pour un gaz parfait :
ܸܲ ఊ ൌ ݁ݐܥǤ
οܷ ൌ ݊ܿ௩ ܶǤ
x Variation d’énergie interne d’une phase condensée :
οܷ ൌ ܥοܶǤ
Énoncé
On considère un objet ܤܣtel que ܤܣൌ ͳ et situé à ͳͲ devant une lentille
convergente de distance focale ͷ .
1) Déterminer la nature, le sens, la grandeur, la position de l’image créée.
2) Retrouver ces informations par un schéma.
3) Tracer le trajet d’un rayon faisant un angle quelconque avec l’axe optique.
4) Si l’on approche l’objet de ͳ de la lentille que se passe-t-il ?
5) Reprendre les deux premières questions pour un objet situé à ͵ avant la
lentille et ensuite ͳͲ après la lentille.
On donne la relation de conjugaison d’une lentille mince :
ͳ ͳ ͳ
െ ൌ Ǥ
ܱܣԢ ܱܣ ݂ᇱ
Grandissement transversal :
ܣԢܤԢ
ߛൌ Ǥ
ܤܣ
Corrigé
1) Nous devons utiliser la formule de conjugaison de la lentille :
ͳ ͳ ͳ
െ ൌ
ܱܣԢ ܱܣ ݂ᇱ
ͳ ͳ ͳ
ൌ
ܱܣᇱ ܱܣ ݂ᇱ
ͳ ݂ ᇱ ܱܣ
ൌ
ܱܣᇱ ݂Ԣܱܣ
݂Ԣܱܣ
ܱܣԢ ൌ Ǥ
݂ ᇱ ܱܣ
Nous avons :
ܱ ܣൌ െͳͲ Ǣ݂ ᇱ ൌ ͷ Ǥ
L’application numérique donne :
ͷ ൈ ሺെͳͲሻ
ܱܣᇱ ൌ
ͷ െ ͳͲ
ܱܣᇱ ൌ ͳͲ Ǥ
Nous pouvons en conclure que l’image est réelle car ܱܣᇱ ͲǤ
Il faut maintenant déterminer le grandissement qui vaut :
ܣᇱ ܤᇱ
ߛൌ
ܤܣ
ܱܣԢ
ߛൌ Ǥ
ܱܣ
L’application numérique donne :
ͳͲ
ߛൌ ൌ െͳǤ
െͳͲ
L’image est donc inversée et de même taille que l’objet.
ܤ
ܨԢ ܣԢ
ܣ ܨ ܱ
ܤԢ
Sur le schéma, nous pouvons facilement vérifier que l’image est réelle inversée,
placée à ͳͲ derrière la lentille c’est-à-dire que ܱܣൌ ܱܣԢ. La taille de l’image
est aussi égale à la taille de l’objet.
3) Pour tracer le trajet d’un rayon faisant un angle quelconque avec l’axe optique,
il faut tracer le rayon parallèle au rayon incident et passant par le centre.
Nous en déduisons le foyer image secondaire Ԣ.
Le rayon incident passe donc par ce foyer image secondaire.
ܨԢ
ܣ ܱ
߶Ԣ
ܤ
ܨԢ ܣԢ
ܣ ܨ ܱ
ܤԢ
ܤԢ
ܤ
ܨԢ
Sur le schéma, nous pouvons facilement vérifier que l’image est imaginaire,
agrandie et droite.
Pour un objet situé ͳͲ après la lentille, nous avons :
݂Ԣܱܣ
ܱܣԢ ൌ Ǥ
݂ᇱ ܱܣ
Nous avons :
ܱ ܣൌ ͳͲ Ǣ ݂ ᇱ ൌ ͷ Ǥ
L’application numérique donne :
ͷ ൈ ͳͲ
ܱܣᇱ ൌ ൌ ͵ǡ͵ Ǥ
ͷ ͳͲ
ܤ
ܤԢ
Sur le schéma, nous pouvons facilement vérifier que l’image est réelle, plus petite
et droite.
Techniques à mémoriser
Formulaire
x Formule de conjugaison de de Descartes :
ͳ ͳ ͳ
െ ൌ Ǥ
ܱܣԢ ܱܣ ݂ᇱ
x Grandissement transversal :
ܣԢܤԢ ܱܣԢ
ߛ ൌ ൌ Ǥ
ܤܣ ܱܣ
x Foyer objet : c’est le point de l’axe tel que le rayon issu de ce point ressort
parallèle à l’axe.
ܨ
ܨԢ
ܨ
ܨ
߶Ԣ
Exercice 14.1
ܳ ܴ
ܱ
ܩ
ሬԦ
ٖܤ
ܲ ܵ
Exercice 14.2
Un point ܯde masse ݉ est attaché à un fil inextensible de masse nulle. Le fil est
attaché en ܱet a une longueur ܮ. Sous ce point ܱ, on fixe un clou au point ܣqui
se trouve à la verticale du point ܱ.
On note ܱ ܣൌ ݄. Initialement le fil fait un angle ߙ ൌ Ͷͷι par rapport à la verticale
et lâché sans vitesse initiale.
Énoncé
Un cadre carré ܴܲܳܵ, de côté ܽ, de masse ݉, de résistance ܴ est suspendu au
plafond par deux ressorts de raideur ଶ. On appelle ܩle centre de masse du cadre.
À l’équilibre le point ܩse trouve à l’origine.
Un champ magnétique uniforme se situe au-dessous de la ligne en pointillés. Il est
nul au-dessus.
ܳ ܴ
ܱ
ܩ
ሬԦ
ٖܤ
ܲ ܵ
ݖ
Il faut dans un premier temps faire une analyse du problème afin d’identifier le
phénomène d’induction.
մ Nous avons affaire à un circuit mobile se déplaçant dans un champ
magnétique.
Ensuite, il faut écrire deux équations : une équation mécanique et une équation
électrique.
մPenser à faire le bilan des forces sans oublier la force de Laplace.
Jour n°14 205
մ Penser à faire schéma le électrique équivalent sans oublier d’y faire figurer la
fem induite.
Corrigé
Nous avons un cadre métallique placé dans un champ magnétique et attaché à
deux ressorts.
Lorsque l’on tire sur le cadre, il est soumis au poids et aux forces de rappel des
ressorts qui le font remonter.
Nous avons donc un circuit mobile dans un champ magnétique. Il est donc siège
d’un phénomène d’induction. Comme le flux du champ magnétique varie dans le
cadre, il y a aussi apparition d’une fem induite et donc d’un courant induit. Le
cadre est donc soumis à la force de Laplace.
Il faut penser à orienter le circuit afin de calculer correctement le flux et la fem
induite.
Orientons le schéma et plaçons les différentes forces :
ܨԦ ܨԦ
ܳ ܴ
ܱ
݅
ܩ
ሬԦ
ٖܤ
ٖ ሬሬሬሬԦ
݀ܵ
ܲ ܵ
ܲሬԦ
ܨԦ
Il faut donc établir deux équations qui sont l’équation mécanique et l’équation
électrique.
Commençons par l’équation électrique.
Le cadre a une résistance ܴ.
݁
L’équation électrique est donc très simple :
݁ ൌ ܴ݅Ǥ
La fem induite est donnée par la loi de Faraday soit :
݀߶
݁ൌെ Ǥ
݀ݐ
Lorsque le centre d’inertie est à la cote ݖ, le flux du champ magnétique à travers le
circuit est :
ܽ
߶ ൌ ܤቀ ݖቁ ܽǤ
ʹ
Nous en déduisons que :
݁ ൌ െݖܽܤሶ Ǥ
L’équation électrique est donc :
െݖܽܤሶ ൌ ܴ݅Ǥ
Nous pouvons remarquer que la force de Laplace existe sur toutes les parties du
cadre plongées dans le champ magnétique. Sur les deux parties verticales du cadre
les forces se compensent et il reste la composante de la force exercée sur la partie
horizontale du cadre. La résultante des forces de Laplace est donc verticale. Nous
illustrons ces propos par un schéma :
ܳ ܴ
ܱ
ܩ
ܨԦ ܨԦ
ٖ ሬሬሬሬԦ
݀ܵ
ܲ ܵ ሬԦ
ٖܤ
ܨԦ
ଶ
ܤଶ ܽଶ ͳ ܤଶ ܽଶ ͺ݇
ݎଶ ൌ െ െ ඨቆ ቇ െ
ʹܴ݉ ʹ ܴ݉ ݉
ݖሺݐሻ ൌ ߙ݁ భ ௧ ߚ݁ మ ௧ Ǥ
Pour déterminer les deux constantes d’intégration nous utilisons les conditions
initiales soit :
ܽ
ݖሺ ݐൌ Ͳሻ ൌ ൌ ߙ ߚ
ʹ
ݖሶ ሺ ݐൌ Ͳሻ ൌ Ͳ ൌ ߙݎଵ ߚݎଶ
La résolution donne :
ܽ ܽ
െ ߚ ൌ ߙǢቀ െ ߚቁ ݎଵ ߚݎଶ ൌ Ͳ
ʹ ʹ
ଶ
ܤଶ ܽଶ ඨ ܤଶ ܽଶ ͺ݇
ܽ ቌെ ൬ ൰ െ ݉ቍ
ܴ݉ ܴ݉
ܽݎଵ
ߚൌ ൌ
ʹሺݎଵ െ ݎଶ ሻ ଶ
ܤଶ ܽଶ ͺ݇
Ͷඨ൬ ܴ݉ ൰ െ ݉
ଶ
ܤଶ ܽଶ ඨ ܤଶ ܽଶ ͺ݇
ܽ ቌെ
ܴ݉ ൬ ܴ݉ ൰ െ ݉ ቍ
ܽ ܽ
ߙൌ െߚ ൌ െ
ʹ ʹ ଶ
ܤଶ ܽଶ ͺ݇
Ͷඨ൬ ܴ݉ ൰ െ ݉
ଶ
ܤଶ ܽଶ ͺ݇ ܤଶ ܽଶ
ܽ ቌඨ൬ ܴ݉ ൰ െ ݉ ܴ݉ ቍ
ߙൌ Ǥ
ଶ
ܤଶ ܽଶ ͺ݇
Ͷඨ൬ ܴ݉ ൰ െ ݉
ଶ
ܤଶ ܽଶ ͳ ͺ݇ ܤଶ ܽଶ ͳ
ݎଶ ൌ െ െ݆ ඨ െቆ ቇ ൌ െ ݆߱
ʹܴ݉ ʹ ݉ ܴ݉ ߬
ଶ ଶ
ʹ݇ ܤଶ ܽଶ ʹ݇ ܤଶ ܽଶ మ మ
ݖሺݐሻ ൌ ቌߙ ቌඨ െ ቆ ቇ ݐቍ ߚ ቌඨ െ ቆ ቇ ݐቍቍ ݁ ି ଶோ ௧ Ǥ
݉ ʹܴ݉ ݉ ʹܴ݉
La pseudo-période vaut :
ʹߨ ʹߨ
ܶൌ ൌ Ǥ
߱ ଶ
ඨʹ݇ െ ൬ ܤଶ ܽଶ
݉ ʹܴ݉ ൰
Techniques à mémoriser
Formulaire
x Flux du champ magnétique :
ሬԦǤ ሬሬሬሬԦ
߶ ൌ ඵܤ ݀ܵǤ
x Loi de Faraday :
݀߶
݁ൌെ Ǥ
݀ݐ
ሬሬሬԦ ܤ ר
ܨԦ ൌ න ݈݅݀ ሬԦǤ
οൌ Ͷɉଶ െ Ͷɘଶ Ǥ
ݖሺݐሻ ൌ ߙ݁ భ ௧ ߚ݁ మ ௧ Ǥ
Si οൌ Ͳ, la solution correspond au régime critique :
ݎൌ െߣ
ݖሺݐሻ ൌ ሺߙ ߚݐሻ݁ ௧ Ǥ
Si ο൏ Ͳ, la solution correspond au régime pseudo-périodique :
ݎଵ ൌ െߣ ݆ටɘଶ െ ɉଶ
ݎଶ ൌ െߣ ݆ටɘଶ െ ɉଶ
Énoncé
Un point ܯde masse ݉ est attaché à un fil inextensible de masse nulle. Le fil est
attaché en ܱet a une longueur ܮ. Sous ce point ܱ, on fixe un clou au point ܣqui
se trouve à la verticale du point ܱ.
On note ܱ ܣൌ ݄. Initialement le fil fait un angle ߙ ൌ Ͷͷι par rapport à la verticale
et lâché sans vitesse initiale.
1) Montrer que le mouvement de la masse est plan.
2) Donner la vitesse du point lorsqu’il atteint son altitude la plus haute au-dessus
du point ܣ. Faire l’application numérique.
3) À quelle condition le point ܯfait un tour complet autour du clou sans que le fil
ne se détende ?
Données :
݉ ൌ ͷͲ
ܮൌ Ͳ
݄ ൌ ͷͷ Ǥ
Corrigé
1) Le système est constitué de la masse ponctuelle. Le référentiel terrestre est
supposé galiléen.
La masse est soumise au poids et à la tension du fil. Ces deux forces appartiennent
au plan constitué pat la verticale et le fil. Comme le système est lâché sans vitesse
initiale, le mouvement est donc nécessairement dans le plan.
ݕ
ܱ ݔ
݄
ሬԦ
ܶ
ߠ
ܣ
ܯ
ܲሬԦ
ݖ
Nous venons donc de prouver que le mouvement est plan dans le plan ݖܱݔǤ
2) La masse ponctuelle est soumise au poids qui dérive d’une énergie potentielle
et à la tension du fil qui ne travaille pas. Nous avons donc affaire à un système
conservatif.
ݕ
ܱ ݔ
݄
ሬԦ
ܶ
ߙ
ܣ
ܯ
ܮሺͳ െ ߙሻ
ݖ ܲሬԦ
Lorsque la masse arrive au plus bas juste avant le contact en ܣ, l’énergie
mécanique vaut :
ͳ ଶ
ܧ ൌ ܧ ൌ ݉ݒ௫ Ǥ
ʹ
Nous supposons que l’énergie est conservée lors du contact avec le point ܣ.
ݕ
ܱ ݔ
݄
ܯ ܮ
ʹሺ ܮെ ݄ሻ ܣ
ݖ
ݕ
ܱ ݔ
ሬԦ
ܶ ܮ
݁Ԧఉ
ܣ
ܯ
ߚ
݁Ԧ
ܲሬԦ ݖ
Techniques à mémoriser
ͳ
ܧ ൌ ݉ ݒଶ Ǥ
ʹ
x Énergie potentielle de pesanteur avec l’axe ܱ ݖvertical descendant :
݉ܽԦ ൌ ܨԦ௫௧ Ǥ
ሬሬሬሬሬሬԦ
ܱ ܯൌ ܴ݁Ԧ Ǥ
ሬሬሬሬሬሬԦ
ܱ݀ܯ
ݒԦ ൌ ൌ ܴߠሶ ݁Ԧఏ
݀ݐ
݀ݒԦ
ܽԦ ൌ ൌ ܴߠሷ ݁Ԧఏ െ ߠሶ ଶ ݁Ԧ Ǥ
݀ݐ
Exercice 15.1
Vitre
Plexiglass
Émetteur Récepteur
Exercice 15.2
Énoncé
Le schéma du détecteur de pluie est le suivant :
Air
Vitre
Plexiglass
Émetteur Récepteur
մBien faire attention aux définitions des angles. Penser à faire des schémas.
2) Il faut maintenant chercher toutes les valeurs possibles de l’angle d’incidence.
մ Penser à utiliser la condition de réflexion totale.
Corrigé
1) Commençons par faire un schéma du système :
Air ߠଶ
Verre
Plexiglass
ߠଵ
Plexiglass
ߠଵ
Plexiglass
ߠଵ
Il y a une réflexion partielle et donc l’intensité réfléchie est bien plus faible qu’en
l’absence de pluie. Dans ce cas le détecteur
Il y a une réflexion partielle et donc reçoit
l’intensité un signal
réfléchie est faible et déclenche
bien plus les
faible qu’en
essuie-glaces.
l’absence de pluie. Dans ce cas le détecteur reçoit un signal faible et déclenche les
essuie-glaces.
Les relations sont les suivantes :
Les relations sont les suivantes
݊௫: ߠଵ ൌ ݊௩ ߠଶ Ǥ
݊݊௫
ߠߠଵ ൌ
ൌ ݊݊௩
ߠߠଶǤǤ
௨ ଷ ௩ ଶ
݊
Nous pouvons donc déterminer ߠ
௨l’angle ൌ ݊
ଷ de sortie ߠ ଶǤ :
௩ qui est
Nous pouvons donc déterminer l’angle de sortie qui est :
݊௫
ߠଷ ൌ ߠଵ Ǥ
݊݊௫
௨
ߠଷ ൌ ߠଵ Ǥ
L’application numérique donne : ݊௨
L’application numérique donne : ͳǡͷ
ߠଷ ൌ ሺͷͲιሻ ൌ Ͳǡͺ
ͳǡ͵͵
ͳǡͷ
ߠଷ ൌ ሺͷͲιሻ ൌ Ͳǡͺ
ͳǡ͵͵
ߠଷ ൌ ͷͻǡιǤ
Lorsque le détecteur reçoit un signal, ߠଷ ൌilͷͻǡιǤ
ne déclenche pas les essuie-glaces. Ce
dernier n’est déclenché que lorsque le signal
Lorsque le détecteur reçoit un signal, il ne déclenche est plus pas
faible. Il n’y a plus Ce
les essuie-glaces. de
réflexion totale en cas de pluie.
dernier n’est déclenché que lorsque le signal est plus faible. Il n’y a plus de
réflexion totale endéclencher
2) Pour pouvoir cas de pluie.
le détecteur de pluie, il faut qu’il y ait une réflexion
totale en l’absence de pluie.
2) Pour pouvoir déclencher le détecteur de pluie, il faut qu’il y ait une réflexion
totale en l’absence de pluie.
Nous reprenons donc la condition obtenue dans la première question :
Nous reprenons donc la condition݊obtenue dans la première question :
௫
ߠଵ ͳ
݊݊௫
ߠଵ ͳ
݊ ݊
ߠଵ Ǥ
݊݊௫
ߠଵ Ǥ
݊௫
ͳ
ߠଵ ൌ Ͳǡ
ͳǡͷ
ߠଵ Ͳǡʹ ൌ ͶͳǡͺιǤ
Techniques à mémoriser
ᇡIl faut se souvenirqu’il est important de faire des schémas afin de mettre toutes
les chances de son côté et d’expliquer sa démarche
Rapport du jury 2016
Pour un sujet de type résolution de problème, l’objectif à atteindre
sera clairement donné et le travail du candidat portera sur la
démarche à suivre, l’obtention du résultat et son regard critique vis-
à-vis de ce dernier. Le candidat devra mobiliser ses connaissances,
capacités et compétences afin d’aborder une situation dans laquelle
il doit atteindre un but bien précis, mais pour laquelle le chemin à
suivre n’est pas indiqué.
ߠ௧
݊ଶ
݊ଵ
ߠ ߠ
ߠ ൌ െ ߠ
݊ଵ ߠ ൌ ݊ଶ ߠ௧ Ǥ
Énoncé
On donne le diagramme de Bode en gain suivant :
ܮ
ܥ
ܸ ܴ ܸ௦
ͳ ܮ ͳ
ܴൌ ඨ Ǣ ܮൌ
ܳ ܥ ߱ܥଶ
ͳ ͳ
ܴൌ ඨ ଶ ଶ ଶ
ܳ Ͷߨ ݂ ܥ
ͳ
ܮൌ Ǥ
Ͷߨ ଶ ݂ଶ ܥ
ͳ ͳ
ܴൌ ඨ ଶ
ͳͲ Ͷߨ ሺͳͲͲͲሻଶ ൈ ሺͳͲି ሻଶ
ܴ ൌ ͳͷǡͻȳǤ
ͳ
ܮൌ
Ͷߨ ଶ ሺͳͲͲͲሻଶ ൈ ͳͲି
ܮൌ ͲǡͲʹͷ Ǥ
Techniques à mémoriser
ᇡIl faut se souvenir de savoir lire un diagramme de Bode en gain qui utilise
l’échelle logarithmique.
Rapport du jury 2015
Concernant l’exercice à 6 points, l’ensemble des examinateurs a
constaté que la lecture d’un graphe en échelle logarithmique et de
façon plus générale l’exploitation d’un diagramme de Bode en
électricité posait problème à de nombreux candidats. Il est attendu
qu’un candidat sache déterminer les grandeurs caractéristiques
d’un filtre (facteur de qualité, pulsation propre….) à partir de
l’exploitation d’un diagramme de Bode. Les exploitations de
courbes, que ce soit un enregistrement d’un régime transitoire, un
diagramme de Bode… n’ont pas été traitées de manière
satisfaisante. Un effort doit être porté sur cet aspect.
Formulaire
x Fonction de transfert pour un filtre passe-bande du deuxième ordre :
ܪ
ܪሺ݆߱ሻ ൌ ߱ ߱ Ǥ
ͳ ݆ܳ ቀ െ ߱ ቁ
߱
݃ௗ ൌ ʹͲหܪሺ݆߱ሻหǤ
ଵ
x Module du nombre complexe ܼ ൌ :
ା
ͳ
ȁܼȁ ൌ Ǥ
ξܽଶ ܾ ଶ
Exercice 16.1
On dispose d’une corde de Melde qui présente deux fuseaux dans le premier cas et
quatre fuseaux dans le deuxième cas lorsque la sphère de masse ݉ ൌ ʹ est
immergée dans de l’eau. Estimer le rayon de la sphère.
Exercice 16.2
On place sur l’axe optique deux lentilles minces convergentes ܮଵ et ܮଶ dont les
centres optiques sont respectivement ܱଵ et ܱଶ tels que തതതതതതത
ܱଵ ܱଶ ൌ ͷͷ .
La distance focale de ܮଵ est ݂ଵᇱ ൌ ͷͲ .
1) Le système est afocal. Déterminer la distance focale image de la lentille ܮଶ .
2) On éclaire le dispositif par un faisceau lumineux de surface ܵ qui arrive en
incidence normale. Déterminer la surface ܵԢ du faisceau lumineux émergent.
Formule de conjugaison d’une lentille mince origine au centre :
ͳ ͳ ͳ
െ ൌ Ǥ
തതതത
തതതതത ܱ݂ ܣԢ
ܱܣԢ
Énoncé
On dispose d’une corde de Melde qui présente deux fuseaux dans le premier cas et
quatre fuseaux dans le deuxième cas lorsque la sphère de masse ݉ ൌ ʹ est
immergée dans de l’eau. Estimer le rayon de la sphère.
ሬԦ
ܶ
ሬԦ
ܶ
ܲሬሬԦԦ
ܲ
La masse est soumise au poids et à la tension de la corde. Nous négligeons la
La masse est soumise au poids et à la tension de la corde. Nous négligeons la
poussée d’Archimède de l’air.
poussée d’Archimède de l’air.
La masse est en équilibre donc la tension de la corde est égale au poids exercée sur
La masse est en équilibre donc la tension de la corde est égale au poids exercée sur
elle. Dans le premier cas, le poids vaut :
elle. Dans le premier cas, le poids vaut :
ܲ ൌ ݉݃Ǥ
ܲ ൌ ݉݃Ǥ
La tension de la corde est égale au poids donc :
La tension de la corde est égale au poids donc :
ܶ ൌ ݉݃Ǥ
ܶ ൌ ݉݃Ǥ
La célérité est donnée par la relation suivante :
La célérité est donnée par la relation suivante :
ܶ
ܿ ൌ ඨܶ Ǥ
ܿ ൌ ඨߤǤ
ߤ
On peut retrouver cette relation à l’aide de l’analyse dimensionnelle.
On peut retrouver cette relation à l’aide de l’analyse dimensionnelle.
ܿ ൌ ܶఈఈ ߤ ఉఉ Ǥ
ܿ ൌ ܶ ߤ Ǥ
La dimension de la célérité est : ି ܶܮଵ
ିଵ .
La dimension de la célérité est : ܶܮ.
La dimension de la tension est aussi la dimension d’une force soit : ି ܶܮܯଶ Ǥ
La dimension de la tension est aussi la dimension d’une force soit : ି ܶܮܯଶ Ǥ
La dimension de la masse linéique vaut : ିܮܯଵ Ǥ
La dimension de la masse linéique vaut : ିܮܯଵ Ǥ
Nous avons donc pour la masse :
Nous avons donc pour la masse :
Ͳ ൌ ߙ ߚǤ
Ͳ ൌ ߙ ߚǤ
Pour la longueur :
Pour la longueur :
ͳ ൌ ߙ െ ߚǤ
ͳ ൌ ߙ െ ߚǤ
Pour le temps :
Pour le temps :
െͳ ൌ െʹߙǤ
െͳ ൌ െʹߙǤ
La résolution du système donne :
La résolution du système donne :
ͳ
ߙ ൌ െߚ ൌ ͳǤ
ߙ ൌ െߚ ൌ ʹǤ
ʹ
ͳ ݉݃
ܮൌ ඨ Ǥ
݂ ߤ
Dans le cas où la bille est plongée dans l’eau, elle est soumise au poids, à la
tension de la corde et à la poussée d’Archimède qui est donnée par :
Ͷ
ሬԦ ൌ െ ߨܴ ଷ ߩ௨ ݃ԦǤ
ߨ
͵
Dans le cas où la bille est dans l’eau, nous avons une masse apparente (en tenant
compte de la poussée d’Archimède) qui vaut :
Ͷ
݉ᇱ ൌ ݉ െ ߨܴ ଷ ߩ௨ Ǥ
͵
Nous avons donc pour les 4 fuseaux :
Ͷ
ʹ ቀ݉ െ ͵ ߨܴ ଷ ߩ௨ ቁ ݃
ܮൌ ʹߣᇱ ൌ ඩ
݂ ߤ
Ͷ ଷ
ͳ ݉݃ ʹ ඩቀ݉ െ ͵ ߨܴ ߩ௨ ቁ ݃
ඨ ൌ
݂ ߤ ݂ ߤ
Ͷ
݉ ൌ Ͷ ൬݉ െ ߨܴ ଷ ߩ௨ ൰
͵
͵ Ͷ ߨܴ ଷ ߩ௨
ൌ
Ͷ ͵ ݉
ଵ
ͻ ݉ ଷ
ܴൌ൬ ൰ Ǥ
ͳ ߨߩ௨
L’application numérique donne :
ଵ
ͻ ʹ ଷ
ܴൌ൬ ൈ ൰ ൌ ͲǡͲ ൌ Ǥ
ͳ ߨ ൈ ͳͲͲͲ
Formulaire
x La célérité des ondes le long de la corde :
ܶ
ܿൌඨ Ǥ
ߤ
ሬԦ ൌ െߩ௨ௗ ܸ݃ԦǤ
ߨ
x Lien entre la longueur d’onde et la fréquence :
ܿ
ߣ ൌ ܿܶ ൌ Ǥ
݂
Énoncé
On place sur l’axe optique deux lentilles minces convergentes ܮଵ et ܮଶ dont les
centres optiques sont respectivement ܱଵ et ܱଶ tels que തതതതതതത
ܱଵ ܱଶ ൌ ͷͷ .
La distance focale de ܮଵ est ݂ଵᇱ ൌ ͷͲ .
1) Le système est afocal. Déterminer la distance focale image de la lentille ܮଶ .
2) On éclaire le dispositif par un faisceau lumineux de surface ܵ qui arrive en
incidence normale. Déterminer la surface ܵԢ du faisceau lumineux émergent.
Formule de conjugaison d’une lentille mince origine au centre :
ͳ ͳ ͳ
െ ൌ Ǥ
തതതതത തതതത
ܱܣԢ ܱ݂ ܣԢ
Corrigé
1) Un rayon venant de l’infini parallèle à l’axe optique vient converger au foyer
image de la première lentille. Pour avoir un système afocal, ce rayon doit ressortir
parallèle à l’axe optique. Pour cela, il doit provenir du foyer objet de la seconde
lentille.
ܱଵ
ܨଶ ܾ
Donc :
തതതതതതത
݂ଶᇱ ൌ ܱ ᇱ
ଵ ܱଶ െ ݂ଵ Ǥ
On passe maintenant à l’application numérique (on peut garder tous les nombres
en centimètres) :
݂ଶᇱ ൌ ͷͷ െ ͷͲ
donc :
݂ଶᇱ ൌ ͷ Ǥ
2) On appelle ܽ la distance entre l’axe optique et le rayon incident et ܾ la distance
entre l’axe optique et le rayon émergent.
On utilise le schéma pour résoudre cette question. Il suffit de prendre les deux
triangles rectangles et on obtient :
ܽ ܾ
ൌ ᇱ Ǥ
തതതതതതതത
ᇱ തതതതതതതത
ܱଵ ܨଵ ܨଵ ܱଶ
On en déduit que :
݂ଶᇱ
ܾൌ ܽǤ
݂ଵᇱ
Maintenant, on revient sur les surfaces :
ܵ ൌ ߨܽଶ ܵ ᇱ ൌ ߨܾ ଶ Ǥ
Donc finalement :
ଶ
݂ଶᇱ
ܵ ᇱ ൌ ܵ ቆ ᇱቇ Ǥ
݂ଵ
Techniques à mémoriser
Formulaire
Ces formules sont redonnées mais peuvent être retrouvées grâce à un schéma.
x Formule de conjugaison d’une lentille mince origine au centre :
ͳ ͳ ͳ
െ ൌ Ǥ
തതതതത തതതത
ܱܣԢ ܱ݂ ܣԢ
x Formule de conjugaison d’une lentille mince origine aux foyers :
തതതതതത
ܨ ᇱ ܣᇱ Ǥ തതതത
ܣܨൌ െ݂ ᇱଶ Ǥ
x Système afocal : les foyers sont rejetés à l’infini. Un faisceau parallèle à l’axe
optique ressort parallèle à l’axe optique.
Exercice 17.1
On cherche à déterminer les caractéristiques de la bobine ሺܮǡ ݎሻ qui est insérée
dans le circuit suivant :
Voie ͳ
Voie ʹ
ܥൌ ͳͲ
ܮ
ݎ
ݑ ݑ௦
ܴ ൌ ͶͲȳ
Voie ʹ
Voie ͳ
Énoncé
On cherche à déterminer les caractéristiques de la bobine ሺܮǡ ݎሻ qui est insérée
dans le circuit suivant :
Voie ͳ
Voie ʹ
ܥൌ ͳͲ
ܮ
ݎ
ݑ ݑ௦
ܴ ൌ ͶͲȳ
Voie ʹ
Voie ͳ
Corrigé
1) La période correspond à 4 carreaux soit un temps de ܶ ൌ ͶǤLa fréquence
vaut donc :
ͳ ͳ
݂ൌ ൌ ൌ ʹͷͲ Ǥ
ܶ ͶǤ ͳͲିଷ
ݑ ൌ ͳͲ ሺʹߨ݂ݐሻ
Voie ͳ
Voie ʹ
݅ ܥൌ ͳͲ
ܮ
ݎ
ݑ ݑ௦
ܴ ൌ ͶͲȳ
Nous avons donc en notations complexes car nous avons affaire à un régime
sinusoïdal forcé :
ͳ
ݑ ൌ ൬ܴ ݎ ݆ ߱ܮ ൰݅
݆߱ܥ
ݑ௦ ൌ ܴ݅Ǥ
Nous avons donc :
ܴ
ݑ௦ ൌ ݑ
ͳ
൬ܴ ݎ ݆ ߱ܮ ݆߱ܥ൰
ܴ
ݑ௦ ൌ ݑ Ǥ
ͳ
ቆሺܴ ݎሻ ݆ ቀ ߱ܮെ ߱ܥቁቇ
Nous avons donc les amplitudes qui sont données par :
ܴܷ
ܷ௦ ൌ Ǥ
ଶ
ටቀ ߱ܮെ ͳ
ሺܴ ݎሻଶ
߱ܥቁ
Le déphasage est donné par :
ͳ
߱ܮെ
߮ ൌ െ ߱ܥ Ǥ
ܴݎ
Nous avons deux équations et deux inconnues donc nous pouvons résoudre le
système.
ͳ ଶ ଶ ଶ
ܷ ଶ
൬ ߱ܮെ ൰ ሺܴ ݎሻ ൌ ܴ ൬ ൰
߱ܥ ܷ௦
ܷ ଶ
ሺܴ ݎሻଶ ሺሺܴ ݎሻଶ ߮ሻଶ ൌ ܴ ଶ ൬ ൰
ܷ௦
ଶ
ܷ
ሺܴ ݎሻଶ ሺͳ ଶ ߮ሻ ൌ ܴ ଶ ൬ ൰ Ǥ
ܷ௦
ͳͲ ߨ
ݎൌ ͶͲ ൈ ൬ ቀെ ቁ െ ͳ൰ ൌ ʹͻǡ͵ȳǤ
ͷ
ͳ ͶͲ ൈ ͳͲ ߨ
ܮൌ ିଽ ଶ
െ ቀെ ቁ ൌ ͷͲ Ǥ
ͳͲǤ ͳͲ ൈ ሺʹߨ ൈ ʹͷͲሻ ሺʹߨ ൈ ʹͷͲሻ ൈ ͷ
Techniques à mémoriser
Formulaire
x Impédance complexes d’une résistance, d’une bobine et d’un condensateur :
ͳ
ܼோ ൌ ܴǢܼ ൌ ݆߱ܮǢܼ ൌ Ǥ
݆߱ܥ
x Module et phase d’un nombre complexe ܼ ൌ ܽ ݆ܾ :
ȁܼȁ ൌ ඥܽଶ ܾ ଶ
ܾ
߮ ൌ Ǥ
ܽ
ଵ
x Module et phase d’un nombre complexe ܼ ൌ ା :
ͳ
ȁܼȁ ൌ
ξܽଶ ܾ ଶ
ܾ
߮ ൌ െ Ǥ
ܽ
x Déphasage entre deux tensions :
ݑଵ
ݑଶ
߮
߮
ݑଵ ݑଶ
ܫ ܼ
ܷܷൌ ܼܫǤ
ܷ ൌ ܼܫǤ
Énoncé
On considère un cycle proche du moteur diesel subit par un gaz parfait :
ܣ՜ ܤ: compression isentropique
ܤ՜ ܥ: combustion isochore
ܥ՜ ܦ: combustion isobare
ܦ՜ ܧ: détente isentropique
ܧ՜ ܣ: détente isochore.
On pose :
ܥ ܸ ܸ ܲ
ߛ ൌ Ǣ ߙ ൌ Ǣ ߚ ൌ Ǣ ߜ ൌ Ǥ
ܥ௩ ܸ ܸ ܲ
1) Placer les différents points dans le diagramme de Clapeyron ܲ ൌ ݂ሺܸሻǤ
2) Déterminer la pression ܲ en fonction de ܲ , ߛ et ߙ.
3) Déterminer les différentes températures en fonction de ܶ ǡ ߙǡ ߚǡ ߛǡ ߜ.
4) Donner les expressions et les signes des différents transferts thermiques.
5) Déterminer le rendement ߟ du moteur.
մAucune difficulté.
4) Il s’agit de déterminer les transferts thermiques pour les transformations qui ne
sont pas isentropiques.
մLa connaissance du cours est bien utile. Aller revoir le cours si besoin.
ܲ ܦ
ܥ
ܤ
ܧ
ܣ
ܸ
ܳா ൌ ݊ܿ௩ ܶ ሺͳ െ ߜߚ ఊ ሻ ൏ ͲǤ
5) Le rendement du moteur est défini par :
݃ܽ݅݊
ߟൌ Ǥ
݀±݁ݏ݊݁
Le gain correspond au travail fourni par le moteur soit Ȃ ܹ qui est l’opposé du
travail reçu par le fluide. Les dépenses correspondent aux transferts thermiques
reçus par le fluide soit :
ܳ ܳ Ǥ
െܹ
ߟൌ Ǥ
ܳ ܳ
Il reste à déterminer le travail en utilisant le premier principe de la
thermodynamique sur un cycle soit :
݊ܿ௩ ܶ ሺͳ െ ߜߚ ఊ ሻ
ߟ ൌͳ
݊ܿ௩ ܶ ߙ ଵିఊ ሺߜ െ ͳሻ ݊ܿ௩ ܶ ߙ ଵିఊ ߜሺߚ െ ͳሻ
ሺͳ െ ߜߚ ఊ ሻ
ߟ ൌͳ
ߙ ଵିఊ ሺߜ െ ͳሻ ߙ ଵିఊ ߜሺߚ െ ͳሻ
ሺͳ െ ߜߚ ఊ ሻߙ ఊିଵ
ߟ ൌͳ Ǥ
ߚߜ െ ͳ
On vérifie que le rendement est bien in férieur à 1.
Formulaire
x Loi du gaz parfait :
ܸܲ ൌ ܴ݊ܶǤ
x Loi de Laplace pour une transformation isentropique :
ܸܲ ఊ ൌ ݁ݐܥ
ଵିఊ ఊ
ܲ ܶ ൌ ݁ݐܥ
ܸܶ ఊିଵ ൌ ݁ݐܥǤ
x Premier principe de la thermodynamique pour un système fermé :
οܷ ൌ ܹ ܳǤ
x Premier principe de la thermodynamique pour une transformation isochore :
οܷ ൌ ܳǤ
ο ܪൌ ܳǤ
x Rendement du moteur :
݃ܽ݅݊
ߟൌ Ǥ
݀±݁ݏ݊݁
Exercice 18.1
ଶோ
On considère une tige ܤܣde longueur ଶ qui se déplace sans frottement dans un
ξ
cercle de rayon ܴ. Son moment d’inertie par rapport à l’axe ܱ ݖest égal à :
ʹ
ܬை௭ ൌ ܴ݉ ଶ Ǥ
͵
ܱ
ݕ
ߠ ܤ
ܩ
ܣ
ݔ
ܴଵ
ܸ௦
ܥଵ ܴଶ
ܸ ܥଶ
ܩௗ
ͳ Ͷ
ሺݔሻ
െʹͲ
െͶͲ
On pose :
݂
݂ ൌ ͳͲ Ǣ ݔൌ Ǥ
݂
On a :
ܴଵ ൌ ͻͲȳǢܥଵ ൌ ͳͲ Ǥ
1) Déterminer ܴଶ et ܥଶ en utilisant les équivalents en haute et basse fréquences.
2) Quel est le comportement du filtre entre ͳͲ et ͳͲ ?
3) En entrée, on envoie un signal périodique ܸ ሺݐሻ qui ne contient que les deux
premières harmoniques dont les amplitudes respectives sont et Ͷ.
258 Jour n°18
Déterminer le signal de sortie ܸௌ ሺݐሻsachant que la fréquence est égale à ʹ .
4) On envoie maintenant le signal suivant :
ܸ ሺݐሻ ൌ ͳͲ ሺʹߨ݂ଵ ݐሻ ͳͲ ሺʹߨ݂ଶ ݐሻ
avec :
݂ଵ ൌ ͳͲͲ et ݂ଶ ൌ ͳͲͲͲ .
Déterminer le signal de sortie.
Énoncé
ଶோ
On considère une tige ܤܣde longueur ଶ qui se déplace sans frottement dans un
ξ
cercle de rayon ܴ. Son moment d’inertie par rapport à l’axe ܱ ݖest égal à :
ʹ
ܬை௭ ൌ ܴ݉ ଶ Ǥ
͵
ܱ
ݕ
ߠ ܤ
ܩ
ܣ
ݔ
Corrigé
1) L’énergie cinétique de la tige est donnée par :
ͳ ͳʹ
ܧ ൌ ߠܬሶ ଶ ൌ ܴ݉ ଶ ߠሶ ଶ
ʹ ʹ͵
ͳ
ܧ ൌ ܴ݉ ଶ ߠሶ ଶ Ǥ
͵
2) L’énergie potentielle de pesanteur de la tige est égale avec l’axe dirigé vers le
bas et en prenant l’origine en ݔൌ Ͳ à :
ܧ ൌ െ݉݃ ீݔǤ
ܱ
ݕ
ߠ ܤ
ܩ
ܣ
ݔ
On a :
ீݔൌ ܱߠ ܩǤ
En utilisant le triangle rectangle ܱܩܣ, nous avons :
ܱܣଶ ൌ ܩܣଶ ܱܩଶ
ܱ ܣൌ ܴ
ܴ
ܩܣൌ
ξʹ
ܴሬԦ
ܴሬԦ
ٖ ܱݖ
ܱ ݕ
ߠ ܩ ܤ
ܣ
ܲሬԦ
ݔ
͵݃
߱ൌඨ Ǥ
ʹܴξʹ
La période des petites oscillations est donc :
ʹߨ ʹܴξʹ
ܶൌ ൌ ʹߨඨ Ǥ
߱ ͵݃
Techniques à mémoriser
Formulaire
x Énergie cinétique pour un solide en rotation autour d’un axe fixe :
ͳ
ܧ ൌ ߠܬሶ ଶ Ǥ
ʹ
x Énergie potentielle de pesanteur lorsque l’axe ܱ ݖest vertical descendant :
ሬሬሬԦ Ԧ ൌ ሬሬሬሬሬԦ
ࣧ ܱܨ ר ܣԦ Ǥ
ிൗ
ை
ߠܬሷ ݁Ԧ௭ ൌ ࣧ
ሬሬሬԦ Ԧ Ǥ
ிൗ
ை
ߠሷ ߱ଶ ߠ ൌ ͲǤ
Énoncé
On étudie le filtre suivant :
ܴଵ
ܸ௦
ܥଵ ܴଶ
ܸ ܥଶ
ܩௗ
ͳ Ͷ
ሺݔሻ
െʹͲ
െͶͲ
On pose :
݂
݂ ൌ ͳͲ Ǣ ݔൌ Ǥ
݂
On a :
ܴଵ ൌ ͻͲȳǢܥଵ ൌ ͳͲ Ǥ
1) Déterminer ܴଶ et ܥଶ en utilisant les équivalents en haute et basse fréquences.
2) Quel est le comportement du filtre entre ͳͲ et ͳͲ ?
Jour n°18 265
3) En entrée, on envoie un signal périodique ܸ ሺݐሻ qui ne contient que les deux
premières harmoniques dont les amplitudes respectives sont et Ͷ.
Déterminer le signal de sortie ܸௌ ሺݐሻsachant que la fréquence est égale à ʹ .
4) On envoie maintenant le signal suivant :
ܸ ሺݐሻ ൌ ͳͲ ሺʹߨ݂ଵ ݐሻ ͳͲ ሺʹߨ݂ଶ ݐሻ
avec :
݂ଵ ൌ ͳͲͲ et ݂ଶ ൌ ͳͲͲͲ .
Déterminer le signal de sortie.
Corrigé
1) Nous commençons par chercher l’équivalent du filtre en base fréquence. Le
condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert. Nous avons donc le
schéma suivant :
ܴଵ
ܸ௦
ܴଶ
ܸ
ܸ௦
ܥଵ
ܸ ܥଶ ܸ௦
ܥଵ
ܸ ܥଶ
ܼଵ
ܸ௦
ܼଶ
ܸ
Nous avons encore un diviseur de tension. La fonction de transfert est donc égale
à:
ܸௌ ܼଶ ͳ
ൌ ൌ Ǥ
ܸா ܼଵ ܼଶ ͳ ܼଵ
ܼଶ
Comme les impédances sont en parallèles, nous avons les impédances équivalentes
qui sont égales à :
ͳ ͳ
ൌ ݆ܥଶ ߱
ܼଶ ܴଶ
ͳ ͳ
ൌ ݆ܥଵ ߱
ܼଵ ܴଵ
ܴଵ
ܼଵ ൌ Ǥ
ͳ ݆ܴଵ ܥଵ ߱
La fonction de transfert est donc :
ܸௌ ͳ
ൌ
ܸா ͳ ൬ ܴ ଵ ͳ
൰ ቀ ݆ଶ ɘቁ
ͳ ݆ܴ ܴ ߱ ܥଵ ଵ ଶ
Nous pouvons vérifier sur cette expression que l’on retrouve bien
les limites déterminées à la question précédente en basse et haute
fréquences.
Lorsque la pulsation tend vers Ͳǡnous retrouvons :
ܸௌ ͳ
ൌ Ǥ
ܸா ͳ ܴଵ
ܴଶ
Lorsque la pulsation tend vers l’infini, nous retrouvons :
ܸௌ ݆ܴଵ ܥଵ ߱
ൌ
ܸா ݆ܴଵ ܥଵ ߱ ݆ܴଵ ܥଶ ߱
ܸௌ ܥଵ
ൌ Ǥ
ܸா ܥଵ ܥଶ
3) Commençons par écrire l’expression du signal d’entrée :
ܸ ሺݐሻ ൌ ሺͶߨݐሻ Ͷ ሺͺߨݐሻǤ
Les deux fréquences se situent dans la zone où l’amplitude est maximale et vaut
െʹͲǤ Nous avons donc la relation suivante sur les amplitudes :
ܸௌ
ʹͲ ൌ െʹͲ
ܸா
ܸௌ
ൌ ͲǡͳǤ
ܸா
Comme la fonction de transfert est réelle pour les basses fréquences, le déphasage
est nul.
Le signal de sortie est donc égal à :
ܸ௦ ሺݐሻ ൌ Ͳǡͳܸ ሺݐሻ ൌ Ͳǡ ሺͶߨݐሻ ͲǡͶ ሺͺߨݐሻǤ
4) Commençons par écrire l’expression du signal d’entrée :
ܸ ሺݐሻ ൌ ͳͲ ሺʹߨ݂ଵ ݐሻ ͳͲ ሺʹߨ݂ଶ ݐሻǤ
Les deux fréquences se situent dans la zone où l’amplitude est minimale et vaut
െͶͲǤ Nous avons donc la relation suivante sur les amplitudes :
ܸௌ
ʹͲ ൌ െͶͲ
ܸா
ܸௌ
ൌ ͲǡͲͳǤ
ܸா
Comme la fonction de transfert est réelle pour les hautes fréquences, le déphasage
est nul.
Techniques à mémoriser
Formulaire
x Impédance d’un résistor :
ܼோ ൌ ܴǤ
x Impédance d’un condensateur :
ͳ
ܼ ൌ Ǥ
݆߱ܥ
ܸ௦
ܪሺ݆߱ሻ ൌ Ǥ
ܸ
x Gain en décibel :
݃ௗ ൌ ʹͲ หܪሺ݆߱ሻหǤ
Exercice 19.1
ܥ
݃Ԧ
ܴ ൌ
ܣ ܤ
ܽ ൏ ݈
Énoncé
ܥ
݃Ԧ
ܴ ൌ
ܣ ܤ
ܽ ൏ ݈
Corrigé
1) Pour déterminer la vitesse et l’accélération en coordonnées polaires, nous
repartons du vecteur position soit :
ሬሬሬሬሬሬԦ
ܱ ܯൌ ܴ݁Ԧ Ǥ
Nous avons le schéma suivant :
ܥ
݃Ԧ
ܴ ൌ
ܱ ݁Ԧఏ
ܯ
ܣ ܤ
݁Ԧ
ܽ ൏ ݈
ܱ ݁Ԧఏ
ܴሬԦே
ܯ
ܸ ൌ ඥͷܴ݃Ǥ
4) L’énergie cinétique acquise par la masse ponctuelle est fournie par le ressort.
Nous avons, en considérant le système masse ressort, un système conservatif.
L’énergie potentielle élastique du ressort est en prenant l’origine lorsque le ressort
a sa longueur à vide :
ͳ
ܧ ൌ ݇ሺ ݔെ ݈ ሻଶ Ǥ
ʹ
L’énergie potentielle de pesanteur est conservée car la hauteur reste constante.
L’énergie mécanique vaut dans l’état initial où la vitesse est nulle :
ͳ
ܧ ൌ ݇ሺܽ െ ݈ ሻଶ ͲǤ
ʹ
L’énergie mécanique vaut lorsque la masse est éjectée :
ͳ ͳ
ܧ ൌ ݇ሺ݈ െ ݈ ሻଶ ܸ݉ଶ Ǥ
ʹ ʹ
Nous obtenons par conservation de l’énergie mécanique :
ͳ ͳ
݇ሺܽ െ ݈ ሻଶ ൌ ܸ݉ଶ
ʹ ʹ
݇
ܸ ൌ ȁܽ െ ݈ ȁඨ Ǥ
݉
݇
ܸ ൌ ሺ݈ െ ܽሻඨ Ǥ
݉
La vitesse doit être supérieure à ඥͷܴ݃ pour que la masse ne décolle pas, soit :
݇
ሺ݈ െ ܽሻඨ ඥͷܴ݃
݉
ͷܴ݉݃
ሺ݈ െ ܽሻ ඨ
݇
ͷܴ݉݃
ܽ௫ ൌ ݈ െ ඨ Ǥ
݇
ሬԦ
ܸ ݖ
ܯ ܥ
݃Ԧ
ܱ
ܲሬԦ
ᇡ Il faut se souvenir que c’est la force de contact qui permet de savoir s’il y a
décollement.
Formulaire
x Vitesse et accélération en coordonnées polaires pour un mouvement circulaire :
ሬሬሬሬሬሬԦ
ܱ݀ܯ
ݒԦ ൌ ൌ ܴߠሶ ݁Ԧఏ Ǥ
݀ݐ
݀ݒԦ
ܽԦ ൌ ൌ ܴߠሷ ݁Ԧఏ െ ܴߠሶ ଶ ݁Ԧ Ǥ
݀ݐ
x Deuxième loi de Newton :
݉ܽԦ ൌ ܨԦ௫௧ Ǥ
ͳ
ܧ ൌ ݇ሺ ݔെ ݈ ሻଶ ݁ݐܥǤ
ʹ
x Projection d’une force :
ݕ ܨԦ
ܨ௬
ߠ
ݔ
ܨ௫
ܨ௫ ൌ ߠ ܨ
ܨ௬ ൌ ߠ ܨǤ
Énoncé
On considère un signal périodique ݁ሺݐሻ de fréquence fondamentale ݂ ൌ ͳͲͲ ,
de valeur moyenne ʹ. Il comporte deux harmoniques : pour ݊ ൌ ͳ, une
amplitude de Ͳǡͷ et pour ݊ ൌ ͵ une amplitude de Ͳǡʹ. Les autres harmoniques
sont nulles.
1) Donner l'expression de ݁ሺݐሻ.
2) Tracer son spectre en amplitude.
3) Quelles valeurs peut-on donner au filtre passe-bas ܴ ܥpour ne conserver que le
continu ?
Corrigé
1) Le signal est donc égal à la somme de trois termes représentant le signal
continu et les deux harmoniques :
݁ ൌ ʹ Ͳǡͷ ߱ ݐ Ͳǡʹ ͵߱ݐǤ
On a posé :
߱ ൌ ʹߨ݂ Ǥ
Le signal est donc égal à :
݁ ൌ ʹ Ͳǡͷ ʹߨ݂ ݐ Ͳǡʹ ߨ݂ ݐǤ
En remplaçant par la valeur de la fréquence, on a :
݁ ൌ ʹ Ͳǡͷ ʹͲͲߨ ݐ Ͳǡʹ ͲͲߨݐǤ
Ͳǡͷ
Ͳǡʹ
߱
߱ ͵߱
3) Pour obtenir un signal continu, il faut donc couper les deux composantes de
fréquence ݂ et ͵݂ Ǥ
ܸ ܸ௦
ܴ ܥ
On pose :
ͳ
ܼ ൌ Ǥ
݆߱ܥ
On a donc un diviseur de tension et la fonction de transfert vaut :
ܼ
ܪሺ݆߱ሻ ൌ Ǥ
ܴ ܼ
Il est préférable de diviser par ܼ afin de simplifier l’expression qui devient :
ͳ
ܪሺ݆߱ሻ ൌ Ǥ
ܴ
ͳ
ܼ
En remplaçant, on obtient :
ͳ
ܪሺ݆߱ሻ ൌ Ǥ
ͳ ݆ܴ߱ܥ
Le module de la fonction de transfert est donc égal à :
ͳ
ܪൌ Ǥ
ඥͳ ሺܴ߱ܥሻଶ
On vérifie bien que c’est un filtre passe-bas en regardant les
limites. En basse fréq uence, le condensateur se comporte comme
un interrupteur ouvert on a donc ܸ௦ ൌ ܸ . Ceci correspond donc à
ܪൌ ͳ.
Techniques à mémoriser
Formulaire
x Décomposition du signal périodique en fonction de ses harmoniques :
ஶ
x Spectre :
ܥ
x Fonction de transfert :
ܸ௦
ܪሺ݆߱ሻ ൌ Ǥ
ܸ
x Pulsation de coupure :
ܪ௫
ܪሺ߱ ሻ ൌ Ǥ
ξʹ
Exercice 20.1
On considère un cylindre de longueur ܮൌ ͳ séparé en deux parties égales ܣet
ܤpar une paroi fixe, diathermane et de surface ܵ ൌ ͳଶ Ǥ
Le cylindre est initialement vide. On injecte ͳͺͲ d’eau dans le compartiment ܣ
et ͳͺͲͲ d’eau dans le compartiment ܤ. La température initiale du cylindre est
égale à ͳͲͲι. On augmente la température du cylindre qui passe à ͳͷͲι et on
attend que l’équilibre s’établisse.
Déterminer le transfert thermique reçu par le système.
Données :
Enthalpie massique de vaporisation de l’eau à ͳͲͲι:
݈௩ǡ௨ ሺͳͲͲιሻ ൌ ʹʹͷ Ǥ ିଵ
Enthalpie massique de vaporisation de l’eau à ͳͷͲι:
݈௩ǡ௨ ሺͳͷͲιሻ ൌ ʹͳͲͲ Ǥ ିଵ
Pression de vapeur saturante de l’eau à ͳͷͲι:
ܲ௦௧ ሺͳͷͲιሻ ൌ ͷ
Capacité thermique massique de l’eau liquide :
ܿ ൌ Ͷͳͺͷ Ǥ ିଵ Ǥ ିଵ
Capacité thermique massique de l’eau gazeuse à pression constante :
ܿ ൌ ʹͲͳͲ Ǥ ିଵ Ǥ ିଵ Ǥ
Exercice 20.2
Un satellite est, tout d’abord, acheminé en altitude à l’aide d’une fusée au point ܵ .
À l’instant ݐൌ ݐ, on lui communique une vitesse ܸሬԦ .
L’angle de lancement est défini par l’angle entre ܸ ሬԦ et la normale à la droite ܶܵ.
Ici l’angle de lancement est nul.
ܶ correspond au centre de la Terre.
Énoncé
On considère un cylindre de longueur ܮൌ ͳ séparé en deux parties égales ܣet
ܤpar une paroi fixe, diathermane et de surface ܵ ൌ ͳଶ Ǥ
Le cylindre est initialement vide. On injecte ͳͺͲ d’eau dans le compartiment ܣ
et ͳͺͲͲ d’eau dans le compartiment ܤ. La température initiale du cylindre est
égale à ͳͲͲι. On augmente la température du cylindre qui passe à ͳͷͲι et on
attend que l’équilibre s’établisse.
Déterminer le transfert thermique reçu par le système.
Données :
Enthalpie massique de vaporisation de l’eau à ͳͲͲι:
݈௩ǡ௨ ሺͳͲͲιሻ ൌ ʹʹͷ Ǥ ିଵ
Enthalpie massique de vaporisation de l’eau à ͳͷͲι:
݈௩ǡ௨ ሺͳͷͲιሻ ൌ ʹͳͲͲ Ǥ ିଵ
Pression de vapeur saturante de l’eau à ͳͷͲι:
ܲ௦௧ ሺͳͷͲιሻ ൌ ͷ
Capacité thermique massique de l’eau liquide :
ܿ ൌ Ͷͳͺͷ Ǥ ିଵ Ǥ ିଵ
Capacité thermique massique de l’eau gazeuse à pression constante :
ܿ ൌ ʹͲͳͲ Ǥ ିଵ Ǥ ିଵ Ǥ
État intermédiaire
οܷଵ ݉௭ ൌ ͳͺͲͲ οܷଶ
݉௨ௗ ൌ ͲǤ
ܲ ൌ ܲ ൌ ͳ
ܶ ൌ ܶ௧ ൌ ͳͲͲιǤ
ܳ ൌ ʹͲͺͳ͵͵ ൌ ʹǡ Ǥ
Techniques à mémoriser
ᇡIl faut se souvenir que l’énergie interne est une fonction d’état.
ᇡIl faut se souvenir que le transfert thermique est égal à la variation d’énergie
interne pour une transformation isochore et est égal à la variation d’enthalpie pour
une transformation isobare.
Rapport du jury 2016
Il est surprenant que pour une transformation isobare les candidats
utilisent l’énergie interne.
οܷ ൌ ܳ െ ܲοܸ
ο ܪൌ ܳǤ
Énoncé
Un satellite est, tout d’abord, acheminé en altitude à l’aide d’une fusée au point ܵ .
À l’instant ݐൌ ݐ, on lui communique une vitesse ܸ ሬԦ .
ሬԦ
L’angle de lancement est défini par l’angle entre ܸ et la normale à la droite ܶܵ.
Ici l’angle de lancement est nul. ܶ correspond au centre de la Terre.
1) Quelle est l’énergie potentielle du satellite à l’instant ݐൌ ݐ ?
2) Quelles sont les conséquences d’un angle de lancement nul ?
3) Donner la constante des aires.
4) Quelle est l’énergie cinétique à fournir au satellite pour qu’il ait une trajectoire
circulaire de rayon ݎ ?
5) Déterminer l’altitude du satellite et sa vitesse pour qu’il soit géostationnaire
sachant que la masse de la Terre est égale à Ǥ ͳͲଶସ , que son rayon vaut
ͶͲͲ et que la constante de gravitation est égale à ǤͳͲିଵଵ Ǥ
ሬࡲԦࢀ՜ࡿ ሬԦࢀࡿ
ࢋ
T, MT S, m
r = TS
D0 ሬԦ
ܸ
݁Ԧୄ்ௌబ D0 ܸ
ሬԦ ሬԦ
ܸ
T r ݁Ԧୄ்ௌబ ሬԦ T ࢘ ݁݁ԦԦୄ்ௌబ
T r ܸ T ࢘ ୄ்ௌబ
S0 ࡿ
S0 ࡿ
Comme le montrent les deux figures précédentes, si l’angle de lancement est nul,
Comme
la vitesseleinitiale
montrent les deuxest
du satellite figures précédentes, si l’angle de lancement est nul,
orthoradiale.
la vitesse initiale du satellite est orthoradiale.
La position ܵ correspond alors, soit au périgée, soit à l’apogée si cette dernière
La position
position correspond
ܵ (cas
existe alors, soitelliptique).
d’une trajectoire au périgée, soit à l’apogée si cette dernière
position existe (cas d’une trajectoire elliptique).
Si la trajectoire est circulaire, cette position est quelconque, puisque la vitesse est
Si
dansla ce
trajectoire est circulaire,
cas, uniquement orthoradiale.cette position est quelconque, puisque la vitesse est
dans ce cas, uniquement orthoradiale.
3) La constante des aires qui apparaît dans les mouvements à force centrale,
3)
vautLa: constante des aires qui apparaît dans les mouvements à force centrale,
vaut : ܮ
ܥൌ ܮൌ ݎଶଶ ߠሶ Ǥ
ܥൌ ൌ ߠ ݎሶ Ǥ
݉
Dans cette expression, ܮest le moment݉cinétique du satellite, ݎla distance ܶܵ et T
Dans cette
l’angle ሺܶܵexpression, ܮest le moment cinétique du satellite, ݎla distance ܶܵ et T
ǡ ܶܵሻ. Rappelons qu’un point matériel ܯ, de masse ݉, soumis à une
l’angle ሺܶܵ
force centrale, ǡ ܶܵሻ. Rappelons
est animé d’un mouvement qu’un point plan. matériel ܯ, de masse ݉, soumis à une
force centrale, est animé d’un mouvement plan.
En effet, appliquons le théorème du moment cinétique à ܯpar rapport au point ܱ,
En effet,: appliquons le théorème du moment cinétique à ܯpar rapport au point ܱ,
il vient
il vient : ሬԦሺܯȀܱሻ
݀ܮ
݀ܮሬԦሺܯȀܱሻ ൌ ܱܯ ሬሬሬሬሬሬԦ ܨ רሺݎሻ݁Ԧ ൌ ͲǤ
݀ݐ ሬሬሬሬሬሬԦ ܨ רሺݎሻ݁Ԧ ൌ ͲǤ
ൌ ܱܯ
On en déduit donc que : ݀ݐ
On en déduit donc que : ሬሬሬሬሬሬԦ
ܮሬԦሺܯȀܱሻ ൌ ݁ݐܥ
ܮሬԦሺܯȀܱሻ ൌ ݁ݐܥ ሬሬሬሬሬሬԦ
or :
or :
ܮሬԦሺܯȀܱሻ ൌ ሬሬሬሬሬሬԦ ܱݒ݉ ר ܯԦሺܯሻǤ
En conclusion, le vecteur position ܮሬԦሺܯȀܱሻainsi ൌ ሬሬሬሬሬሬԦ
ܱܯ ݒ݉ ר
que le ԦሺܯሻǤ
vecteur vitesse appartiennent au
En conclusion, le vecteur position ሬ
Ԧ ainsi que le vecteur vitesse appartiennent au
plan perpendiculaire au vecteur ܮሺܯȀͲሻ et passant par le centre attractif ܱ, le
plan perpendiculaire
mouvement au vecteur ܮሬԦሺܯȀͲሻ et passant par le centre attractif ܱ, le
est donc plan.
mouvement est donc plan.
Exprimons ce vecteur constant à partir des conditions initiales et utilisons
Exprimons
l’expression ce de lavecteur
vitesse constant
en coordonnées à partir des conditions
polaires (mouvement initiales
plan) : et utilisons
l’expression de la vitesse en coordonnées polaires (mouvement plan) :
ܮሬԦ ் ൌ ܶܵሬሬሬሬԦ ܸ݉ ר ሬԦ ൌ ݉݁ݎԦ ר൫ݎሶ ݁Ԧ ߠݎሶ ݁Ԧఏ ൯
ܮሬԦ ் ൌ ܶܵሬሬሬሬԦ ܸ݉ ר ሬԦ ൌ ݉݁ݎԦ ר൫ݎሶ ݁Ԧ ߠݎሶ ݁Ԧఏ ൯
ܮሬԦ ் ൌ ݉ ݎଶଶ ߠሶ݁Ԧ௭ ൌ ݉ݎ ܸ ݁Ԧ௭
ܮሬԦ ் ൌ ݉ߠ ݎሶ݁Ԧ௭ ൌ ݉ݎ ܸ ݁Ԧ௭
soit, pour la constante des aires :
soit, pour la constante des aires : ܥൌ ݎ ܸ Ǥ
ܥൌ ݎ ܸ Ǥ
On retrouve la troisième loi de Kepler qui dit que la période élevée au carré
divisée par le grand axe (ici rayon) élevé au cube est constante :
ܶଶ Ͷߨ ଶ
ൌ Ǥ
ܽଷ ்ܯܩ
L’application numérique donne pour un satellite géostationnaire :
ଶ
ʹͶ ൈ ͵ͲͲ ଷ
ݎ ൌ ൬ ඥǡǤ ͳͲିଵଵ ൈ Ǥ ͳͲଶସ ൰
ʹߨ
ݎ ൌ Ͷʹʹͻͷʹ͵ ൌ ͶʹʹͻǤ
L’altitude du satellite géostationnaire est donc :
݄ ൌ ݎ െ ்ܴ ൌ Ͷʹʹͻ െ ͶͲͲ
݄ ൌ ͵ͷͺͻǤ
La vitesse du satellite est donc :
்ܯܩ
ܸ ൌ ඨ
ݎ
Techniques à mémoriser
Formulaire
x Force centrale :
ܨԦ ൌ ܨሺݎሻ݁Ԧ Ǥ
x Force gravitationnelle :
݉ܯ
ܨԦ ൌ െܩ ݁Ԧ Ǥ
ݎଶ
Exercice 21.1
L’eau peut subir une surchauffe. Dans ce cas, l’eau rentre dans un second
réchauffeur (différent du premier) où elle est chauffée à la pression constante
jusqu’à ͷͲͲι ( ݏൌ ǡ Ǥ ିଵ Ǥ ିଵ ሻ. Elle subit ensuite une détente adiabatique
réversible jusqu’à la pression ܲ ൌ ͳ puis reprend le cycle normal.
ܤ ܥ
ܧ
ܣ
ܦ
ݏ
Exercice 21.2
ܮ
ܴ
ܧ
Énoncé
L’eau utilisée dans la machine à vapeur suit le chemin suivant :
- refroidissement isobare dans un condenseur,
- compression dans une pompe calorifugée,
- échauffement isobare dans un réchauffeur,
- détente dans une turbine calorifugée.
L’eau peut subir une surchauffe. Dans ce cas, l’eau rentre dans un second
réchauffeur (différent du premier) où elle est chauffée à la pression constante
jusqu’à ͷͲͲι ( ݏൌ ǡ Ǥ ିଵ Ǥ ିଵ ǡ ݄ ൌ ͵ͶͲͲ Ǥ ିଵ ሻ. Elle subit ensuite une
détente adiabatique réversible jusqu’à la pression ܲ ൌ ͳ puis reprend le cycle
normal.
ܤ ܥ
ܧ
ܣ
ܦ
ݏ
ܶ ܴ ܲ
ݏሺܶǡ ܲሻ ൌ ܿ ൬ ൰ െ ൬ ൰ ݏሺܶ ǡ ܲ ሻǤ
ܶ ܯ ܲ
Corrigé
1) Afin de déterminer l’équation de l’isobare dans le diagramme entropique, nous
reprenons l’expression de l’entropie du gaz en fonction des variables ሺܶǡ ܲሻ. Nous
avons donc :
ܶ ܴ ܲ
ݏሺܶǡ ܲሻ ൌ ܿ ൬ ൰ െ ൬ ൰ ݏሺܶ ǡ ܲ ሻǤ
ܶ ܯ ܲ
ܶ
ݏሺܶǡ ܲሻ ൌ ܿ ൬ ൰ ݏሺܶ ǡ ܲ ሻǤ
ܶ
ܶ ݏሺܶǡ ܲሻ െ ݏሺܶ ǡ ܲ ሻ
൬ ൰ ൌ
ܶ ܿ
ܶ ௦ሺ்ǡሻି௦ሺ்బ ǡబ ሻ
ൌ݁ ು
ܶ
௦ሺ்ǡሻି௦ሺ்బ ǡబ ሻ
ܶ ൌ ܶ ݁ ು Ǥ
ܶ
ݏሺܶሻ ൌ ܿ ൬ ൰ ݏሺܶ ሻǤ
ܶ
Cette expression est indépendante de la pression. Nous avons donc les isobares qui
vérifient une équation semblable à celle des gaz soit :
௦ሺ்ǡሻି௦ሺ்బ ǡబ ሻ
ܶ ൌ ܶ ݁ Ǥ
Nous avons encore affaire à des courbes exponentielles. Le tracé des isobares
donne :
ܶ ܲଶ ܲଵ
ܲଵ
ݏ
ݍൌ න ܶ݀ݏǤ
Nous avons donc ici un transfert thermique total qui est positif.
ο݄ ൌ ݓ ݍൌ ͲǤ
ݓൌ െ ݍ൏ ͲǤ
ο݄ ൌ ݓ ൌ ݄ െ ݄ Ǥ
ο݄ ൌ ݍ ൌ ݄ െ ݄ Ǥ
ο݄ ൌ ݓ ൌ ݄ െ ݄ Ǥ
ο݄ ൌ ݍ ൌ ݄ െ ݄ Ǥ
݃ܽ݅݊
ߟൌ Ǥ
݀±ݏ݁ݏ݊݁
݄ െ ݄
ߟൌ
݄ െ ݄ ݄ െ ݄
݄ െ ݄
ߟൌ Ǥ
݄ െ ݄
Il reste maintenant à faire l’application numérique. Il n’y a que ݄ qui n’est pas
donné.
ͷǡ െ ͳǡʹ
ݔ ൌ ൌ ͲǡǤ
ǡͶ െ ͳǡʹ
݄ െ ݄
ݔ ൌ
݄ா െ ݄
݄ ൌ ݄ ݔ ሺ݄ா െ ݄ ሻ
݄ ൌ ʹͳ Ǥ ିଵ Ǥ
ʹͺͲͲ െ ʹͳ
ߟൌ
ʹͺͲͲ െ ͶͶ
ߟ ൌ Ͳǡʹ͵Ǥ
ܶ
ܥԢ
ܤ
ܥ
ܧ
ܣ
ܦԢ
ݏ
Le point ܥԢ se trouve sur l’isobare et a une entropie donnée. Pour aller de ܥԢ à ܦԢ la
transformation est isentropique et le point ܦԢ correspond, vue la valeur de
l’entropie, à un mélange liquide-gaz.
ݓ ݍ ᇲ ൌ ݄ ᇲ െ ݄ Ǥ
Le gain correspond à l’opposé du travail reçu entre les points ܥԢ et ܦԢ soit :
݄ᇱ െ ݄ᇱ
ߟൌ
݄ െ ݄ ݄ᇱ െ ݄
݄ᇱ െ ݄ᇱ
ߟൌ Ǥ
݄ᇱ െ ݄
Il reste maintenant à faire l’application numérique. Il n’y a que ݄ᇱ qui n’est pas
donné.
݄ᇱ െ ݄
ݔᇱ ൌ
݄ா െ ݄
͵ͶͲͲ െ ʹͶͶͶ
ߟൌ
͵ͶͲͲ െ ͶͶ
ߟ ൌ ͲǡʹͺǤ
Techniques à mémoriser
Formulaire
x Isobare dans un diagramme entropique :
௦ሺ்ǡሻି௦ሺ்బ ǡబ ሻ
ܶ ൌ ܶ ݁ ು Ǥ
x Variation d’enthalpie massique pour une transformation isobare :
ο݄ ൌ ݍǤ
ο݄ ൌ ݓǤ
x Premier principe de la thermodynamique pour un fluide en écoulement :
ο݄ ൌ ݓ ݍǤ
x Rendement du moteur :
݃ܽ݅݊
ߟൌ Ǥ
݀±ݏ݁ݏ݊݁
Énoncé
On considère le circuit ܴ ܥܮqui est alimenté par un générateur de tension continu
ܧǤ
1) On allume le générateur de tension à l’instant ݐൌ Ͳ. Pour ݐൌ Ͳି , le courant
dans la bobine est nul et le condensateur est déchargé. Etablir l’équation
différentielle vérifiée par le courant circulant dans la résistance ܴ.
2) L’écrire sous la forme canonique en introduisant le facteur de qualité ܳ et la
pulsation ߱ .
3) Déterminer la valeur de ce courant ainsi que sa dérivée à l’instant initial.
4) En fonction de la valeur de ܳ, déterminer l’expression de l’intensité dans les
différents cas.
ܥ
ܮ
ܴ
ܧ
Corrigé
1) On commence par faire un schéma en plaçant les différents courants :
ܥ
݅
ݍ
݅ோ ܮ
ܴ
݅
ܧ
On a trois inconnues donc il faudra écrire trois équations : une loi des nœuds et
deux lois des mailles.
On applique la loi des nœuds :
݅ ൌ ݅ோ ݅ Ǥ
On écrit la loi des mailles dans ܴǡ ܥ:
ݍ
ൌ ܴ݅ோ
ܥ
avec :
݀ݍ
݅ ൌ Ǥ
݀ݐ
On écrit la loi des mailles dans ܧǡ ܴǡ ܮ:
݀݅
ܧൌ ܴ݅ோ ܮǤ
݀ݐ
On cherche une équation vérifiée par le courant ݅ோ .
߱ ξο ߱ ξο
ቆെ ʹܳ ʹ ቇ ఠ ξο ቆʹܳ ʹ ቇ ఠ ξο
ܧ ܧ ቆିଶொబ ି ଶ ቇ௧ ܧ ቆିଶொబ ା ଶ ቇ௧
݅ோ ൌ െ ݁ െ ݁ Ǥ
ܴ ܴ ξο ܴ ξο
Reste le dernier cas à traiter, pour ܳ Ͳǡͷ , c'est-à-dire pour ο൏ Ͳ. Les solutions
de l’équation caractéristique sont :
߱ ξെο
ߣൌെ േ݆
ʹܳ ʹ
Donc la solution finale est de la forme :
ܧ ఠ ξെο ξെο
ି బ௧
݅ோ ൌ ݁ ଶொ ቌߙ ቆ ݐቇ ߚ ቆ ݐቇቍǤ
ܴ ʹ ʹ
On déterminer les constantes par les conditions initiales :
ܧ
݅ோ ሺͲା ሻ ൌ ߙ ൌ Ͳ
ܴ
Jour n°21 317
݀݅ோ ା ߱ ξെο
ሺͲ ሻ ൌ െ ߙߚ ൌ ͲǤ
݀ݐ ʹܳ ʹ
Soit :
ܧ െ߱ ܧ
ߙ ൌ െ Ǣ ߚ ൌ Ǥ
ܴ ܳξെο ܴ
Techniques à mémoriser
ᇡ Il faut se souvenir d’établir correctement les lois de nœuds et lois des mailles.
Formulaire
x Tension aux bornes d’un résistor :
ܷ ൌ ܴ݅Ǥ
x Tension aux bornes d’un condensateur :
ݍ
ܷൌ Ǥ
ܥ
x Tension aux bornes d’une bobine :
݀݅
ܷൌܮ Ǥ
݀ݐ
Exercice 22.1
On considère un circuit ܴ ܥܮqui est alimenté par une source de courant sinusoïdal
d’intensité ݅ሺݐሻ ൌ ܫ ሺ߱ݐሻ.
ݑሺݐሻ
ܮ
ܴ
ܥ
݅ሺݐሻ
Énoncé
On considère un circuit ܴ ܥܮqui est alimenté par une source de courant sinusoïdal
d’intensité ݅ሺݐሻ ൌ ܫ ሺ߱ݐሻ.
ݑሺݐሻ
ܮ
ܴ
ܥ
݅ሺݐሻ
Corrigé
1) On va donc calculer son admittance équivalente. Puisque les trois éléments sont
en parallèle, elle est donc égale à la somme des admittances.
ݑሺݐሻ
ܮ
ܴ
ܥ
݅ሺݐሻ
On arrange un peu l’expression pour faciliter les calculs suivants et l’on obtient :
ܫ
ܷൌ Ǥ
ͳ ͳ
݆ ቀ ߱ܥെ ߱ܮቁ
ܴ
Remarque : on laisse l’expression sous cette forme, car on pourra
rapidement donner le module.
2) On prend maintenant le module de ܷ qui est égal à :
ܫ
ܷ ൌ Ǥ
ଶ
ͳ
ට ଶ ቀ ߱ܥെ ͳ
ܴ ߱ܮቁ
On remarque que dans la racine, on a une somme de deux termes positifs. Ce
terme est minimal lorsque le terme entre parenthèses est nulle, soit :
ͳ
߱ܥെ ൌ ͲǤ
߱ܮ
On trouve alors la pulsation correspondant au maximum :
ͳ
߱ ൌ ߱ ൌ Ǥ
ξܥܮ
La valeur de la tension maximale est donc :
ܷ௫ ൌ ܴܫ Ǥ
3) On reprend l’expression de ܷ :
ܫ
ܷ ൌ Ǥ
ଶ
ට ͳଶ ቀ ߱ܥെ ͳ ቁ
ܴ ߱ܮ
Jour n°22 323
On commence par déterminer le comportement en basse pulsation, c'est-à-dire
lorsque ߱ tend vers Ͳ: ܷ tend vers Ͳ.
ܷ
Ͳ ߱ ߱
ଶ
ͳ ଶ
ͳ ܴ ൬ ߱ܥെ ൰ ൌ ʹ
߱ܮ
ܮ ܮଶ
െ ܴ ටቀ ቁ Ͷܥܮ
ܴ
߱ଵ ൌ
ʹܥܮ
ܮට ܮଶ
ܴ ቀܴ ቁ Ͷܥܮ
߱ଶ ൌ Ǥ
ʹܥܮ
Donc en simplifiant :
ͳ ܥ
߱ଵ ൌ ቌെͳ ඨͳ Ͷܴଶ ቍ
ʹܴܥ ܮ
ͳ ܥ
߱ଶ ൌ ቌͳ ඨͳ Ͷܴ ଶ ቍǤ
ʹܴܥ ܮ
Techniques à mémoriser
Formulaire
x Admittance du résistor :
ͳ
ܻோ ൌ Ǥ
ܴ
x Admittance de la bobine :
ͳ
ܻ ൌ Ǥ
݆߱ܮ
x Admittance de la capacité :
ܻ ൌ ݆߱ܥǤ
x Définition des pulsations de coupure :
ܷ௫
ܷ߱ሺ߱ሻ ൌ Ǥ
ξʹ
Énoncé
On définit la température de la troposphère de la façon suivante :
݀ܶ
ൌ െܥ
݀ݖ
ܥൌ ǡͲͲǤ ͳͲିଷ Ǥ ିଵ Ǥ
En utilisant la loi de l’hydrostatique, établir la loi de pression décrivant la
troposphère.
ெೌೝ
On pourra poser ߙ ൌ Ǥ
ோ
Calculer la pression à Chamonix et en haut du Mont Blanc.
ܲ ൌ ͳͲͳ͵ ; ݃ ൌ ͻǡͺǤ ିଶ et ܯ ൌ ʹͻǤ ିଵ Ǥ
Corrigé
On reprend l’équation de la statique des fluides établie dans le cours de première
année :
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
݃ ܲ݀ܽݎൌ ߩ݃ԦǤ
݀ܲ
ൌ െߩ݃Ǥ
݀ݖ
݉ ܲܯ
ߩൌ ൌ Ǥ
ܸ ܴܶ
݀ܲ ܲܯ
ൌ െߩ݃ ൌ െ ݃Ǥ
݀ݖ ܴܶ
ܶ ൌ െ ݖܥ ܶ Ǥ
݀ܲ ܲܯ
ൌെ ݃Ǥ
݀ݖ ܴሺܶ െ ݖܥሻ
On obtient une équation différentielle à variables séparables que l’on écrit sous la
forme suivante :
݀ܲ ܯ ݀ݖ
ൌെ ݃ Ǥ
ܲ ܴ ܶ െ ݖܥ
ܲ ܯ ܶ െ ݖܥ
൬ ൰ ൌ ݃ ൬ ൰
ܲ ܴܥ ܶ
ܲ ܶ െ ݖܥ
൬ ൰ ൌ ߙ ൬ ൰Ǥ
ܲ ܶ
ܶ െ ݖܥఈ
ܲ ൌ ܲ ൬ ൰ Ǥ
ܶ
ߙ ൌ ͷǡǤ
ܲ ൌ ͺͺͺͷǤ
ܲ ൌ ͷͷ͵ͶǤ
Techniques à mémoriser
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ܲǤ
݂Ԧ ൌ െ݃݀ܽݎ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
݃ ܲ݀ܽݎൌ ߩ݃ԦǤ
x Loi des gaz parfaits :
ܸܲ ൌ ܴ݊ܶ
ܴܶ
ܲൌߩ Ǥ
ܯ
Exercice
Exercice 23.1
23.1
Soit
Soit une
une particule
particule ܯ ܯde
de masse ݉ et
masse ݉ et soumise,
soumise, dans
dans un
un référentiel
référentiel galiléen,
galiléen, àà une
une
force
force de
de la
la forme
forme ::
݇݇
ԦԦ ൌ
ܨܨ ൌെ െ ଷଷ݁Ԧ݁ԦǤǤ
ݎݎ
On
On utilise
utilise le le système
système de de coordonnées
coordonnées polaires
polaires ሺݎǡ
ሺݎǡߠሻ. ߠሻ. La La position
position initiale
initiale de
de la
la
particule
particule ݎԦݎԦ ൌ
ൌ ݎݎ݁Ԧ݁Ԧ et
et sa
sa vitesse
vitesse initiale
initiale ݒԦݒԦ vérifient
vérifient ݎԦݎԦǤǤݒԦݒԦ ൌ
ൌ ͲǤ
ͲǤ
1)
1) En
En utilisant
utilisant desdes théorèmes
théorèmes de de mécanique,
mécanique, décrire
décrire qualitativement
qualitativement le
le
mouvement
mouvement enen fonction
fonction des
des données
données du
du problème.
problème.
2)
2) Trouver
Trouver uneune équation
équation différentielle
différentielle qui
qui est
est vérifiée
vérifiée par
par lala variable
variable ݎሺݐሻ
ݎሺݐሻ etet
l’intégrer
l’intégrer en
en posant ൌ ݎݎଶଶǤǤ Au
posant ݑݑൌ Au bout
bout de
de combien
combien de
de temps
temps la
la particule
particule revient-
revient- elle
elle
àà l’origine
l’origine ??
Exercice
Exercice 23.2
23.2
On considère
On considère lele système
système formé
formé parpar les
les deux
deux masses
masses ܯ et ݉
ܯet qui sont
݉ qui sont reliées
reliées par
par un
un
fil inextensible
fil inextensible etet sans
sans masse.
masse. Le Le fil
fil passe
passe par
par une
une poulie
poulie qui
qui est
est sans
sans masse
masse etet qui
qui
ne provoque
ne provoque paspas de de frottement.
frottement. Le Le système
système estest lâché
lâché sans
sans vitesse
vitesse initiale.
initiale. Le
Le
contact entre
contact entre la
la masse
masse ܯ et le
ܯet le sol
sol est
est défini
défini par
par le
le coefficient
coefficient de
de frottement
frottement ݂.݂.
ܯ
ܯ
݃݃
ԦԦ
݉
݉
݄݄
1) Déterminer
1) Déterminer la
la vitesse
vitesse de
de la
la masse
masse ܯ lorsque la
ܯlorsque la masse
masse ݉ s’écrase au
݉ s’écrase au sol.
sol.
2) Calculer
2) Calculer le
le coefficient
coefficient de
de frottement
frottement de
de glissement
glissement ݂݂ sachant
sachant que
que la
la chute
chute de
de la
la
masse ݉
masse d’une hauteur
݉ d’une hauteur ݄݄ provoque
provoque un un déplacement
déplacement total
total de
de ܯ d’une distance
ܯd’une distance ݀.
݀.
Jour
Journ°23
n°23 331
331
Exercice
Exercice 23.1
23.1 Centrale
Centrale PC 2017 -- hhh
PC 2017 hhh
Énoncé
Énoncé
Soit
Soit une
une particule
particule ܯ ܯde
de masse
masse ݉
݉ et
et soumise,
soumise, dans
dans un
un référentiel
référentiel galiléen,
galiléen, àà une
une
force
force de
de la
la forme
forme ::
݇݇
ԦԦ ൌ
ܨܨ ൌെ െ ଷଷ݁Ԧ݁ԦǤǤ
ݎݎ
On
On utilise
utilise le le système
système de de coordonnées
coordonnées polaires
polaires ሺݎǡ
ሺݎǡߠሻ. ߠሻ. La La position
position initiale
initiale de
de la
la
particule
particule ݎԦݎԦ ൌ
ൌ ݎݎ݁Ԧ݁Ԧ et
et sa
sa vitesse
vitesse initiale
initiale ݒԦݒԦ vérifient
vérifient ݎԦݎԦǤǤݒԦݒԦ ൌ
ൌ ͲǤ
ͲǤ
1)
1) En
En utilisant
utilisant desdes théorèmes
théorèmes de de mécanique,
mécanique, décrire
décrire qualitativement
qualitativement le
le
mouvement
mouvement enen fonction
fonction des
des données
données du
du problème.
problème.
2)
2) Trouver
Trouver uneune équation
équation différentielle
différentielle qui
qui est
est vérifiée
vérifiée par
par lala variable
variable ݎሺݐሻ
ݎሺݐሻ etet
l’intégrer
l’intégrer en
en posant ൌ ݎݎଶଶǤǤ Au
posant ݑݑൌ Au bout
bout de
de combien
combien de
de temps
temps la
la particule
particule revient-
revient- elle
elle
àà l’origine
l’origine ??
Analyse
Analyse stratégique de l’énoncé
stratégique de l’énoncé
On
On aa ici
ici un
un exercice
exercice portant
portant sur
sur les
les mouvements
mouvements àà force
force centrale.
centrale.
1) IlIl est
1) est impératif
impératif d’utiliser
d’utiliser les
les résultats
résultats généraux
généraux des
des mouvements
mouvements àà force
force
centrale.
centrale.
մPenser
մ Penser àà utiliser
utiliser le
le moment
moment cinétique
cinétique et
et l’énergie
l’énergie potentielle
potentielle effective.
effective.
2) Pour
2) Pour résoudre
résoudre cette
cette question,
question, ilil est
est possible
possible d’utiliser
d’utiliser l’intégrale
l’intégrale première
première du
du
mouvement.
mouvement.
մմ Appliquer
Appliquer le
le changement
changement de de variable recommandé et
variable recommandé et intégrer
intégrer l’équation
l’équation
trouvée.
trouvée. Penser
Penser aux
aux conditions
conditions initiales.
initiales.
Corrigé
Corrigé
ଵଵ
1)
1) Nous
Nous avons
avons affaire
affaire àà un
un mouvement
mouvement àà force
force centrale.
centrale. La
La force
force est
est en
en యయǤǤ Ceci
Ceci ne
ne
correspond
correspond paspas auxaux mouvements
mouvements des
des satellites
satellites ou
ou des
des particules
particules chargée
chargée dontdont la
la
ଵଵ
force
force est en మమ..
est en
Nous
Nous commençons
commençons par
par déterminer
déterminer le
le moment
moment cinétique
cinétique par
par rapport
rapport au
au point
point ܱ.
ܱ. IlIl
vaut
vaut ::
ܮሬԦܮሬԦைை ൌ ሬሬሬሬሬሬԦ
ሬሬሬሬሬሬԦ ݒ݉רר
ൌ ܱܯ
ܱܯ ݉ݒ
ԦǤԦǤ
Dérivons
Dérivons ce
ce moment
moment cinétique
cinétique par
par rapport
rapport au
au temps
temps ::
݀ܮ
݀ܮሬԦሬԦைை ݀ݒ
݀ݒ ሬሬሬሬሬሬԦ
ԦԦ ܱ݀ܯሬሬሬሬሬሬԦ
ܱ݀ܯ
ሬሬሬሬሬሬԦ
ሬሬሬሬሬሬԦ ݉רר
ൌ ܱܯ
ൌ ܱܯ ݉ ݒ݉רר
݉ݒ
ԦǤԦǤ
݀ݐ
݀ݐ ݀ݐ
݀ݐ ݀ݐ
݀ݐ
332
332 Jour
Journ°23
n°23
Nous avons, pour un mouvement à force centrale, la deuxième loi de Newton qui
donne :
݀ݒԦ ݇
݉ ൌ ܨԦ ൌ െ ଷ ݁Ԧ Ǥ
݀ݐ ݎ
Nous avons donc :
݀ݒԦ
ሬሬሬሬሬሬԦ ݉ ר
ܱܯ ൌ ͲǤ
݀ݐ
Nous pouvons donc en déduire que le moment cinétique est constant.
C’est une propriété générale des mouvements à force centrale.
Le mouvement a donc lieu dans le plan perpendiculaire au moment cinétique que
l’on suppose suivant l’axe ܱݖ.
Le moment cinétique est donc égal, en coordonnées cylindriques, à :
ሬሬሬሬሬሬԦ ݒ݉ רԦ ൌ ݉ݎ ݒ ݁Ԧ௭ Ǥ
ሬԦை ൌ ܱܯ
ܮ
La vitesse est donnée en coordonnées polaires par :
ݒԦ ൌ ݎሶ ݁Ԧ ߠݎሶ ݁Ԧఏ Ǥ
Le moment cinétique s’écrit aussi :
ሬሬሬሬሬሬԦ ݒ݉ רԦ ൌ ݁ݎԦ ݉ ר൫ݎሶ ݁Ԧ ߠݎሶ ݁Ԧఏ ൯ ൌ ݉ ݎଶ ߠሶ ݁Ԧ௭ Ǥ
ܮሬԦை ൌ ܱܯ
Nous en déduisons une première équation qui est :
ܧ
État lié
ݎ
ܧ
État libre
ݎ
État lié
Les états d’énergie négative sont liés et les états d’énergie positive sont libres.
Si ܭᇱ ൌ Ͳ, l’énergie potentielle effective est nulle. Seuls les états d’énergie
positive sont possibles et correspondent à des états libres.
2) L’équation du mouvement est donnée par :
ͳ ͳ ݎଶ ݒଶ ݇ ͳ ݇
݉ݎሶ ଶ ݉ ଶ െ ଶ ൌ ݉ݒଶ െ ଶ Ǥ
ʹ ʹ ݎ ʹݎ ʹ ʹݎ
En divisant par la masse, nous obtenons :
ݎଶ ݒଶ ݇ ݇
ݎሶ ଶ ଶ െ ൌ ݒଶ െ Ǥ
ݎ ݉ݎ ଶ ݉ݎଶ
Nous posons :
݇
ܭൌ ݎଶ ݒଶ െ Ǥ
݉
Nous avons donc la relation entre ܭet ܭԢ qui est :
݇ ʹ ܭᇱ
ܭൌ ݎଶ ݒଶ െ ൌ Ǥ
݉ ݉
ܭet ܭԢ sont donc de même signe.
Nous avons donc en écriture simplifiée :
ܭ ܭ
ݎሶ ଶ ଶ
ൌ ଶǤ
ݎ ݎ
ܭ ܭ
ݎሶ ଶ ൌ െ Ǥ
ݎଶ ݎଶ
Pour que la particule puisse revenir à l’origine, il faut ݎ൏ ݎ , donc il faut
nécessairement ܭ൏ ͲǤ
ݏ
െʹݎଶ ඨቆͳ െ ቇ ൌ േʹξെ ݐܭ ߙǤ
ݎଶ
Techniques à mémoriser
Formulaire
x Vitesse en coordonnées polaires :
݀ܧ
ܨሺݎሻ ൌ െ Ǥ
݀ݎ
x Énergie mécanique :
ͳ
ܧ ൌ ܧ ܧ ൌ ݉ ݒଶ ܧ ሺݎሻǤ
ʹ
x Énergie potentielle effective :
ܮଶ
ܧ ൌ ܧ ሺݎሻǤ
ʹ݉ ݎଶ
Énoncé
On considère le système formé par les deux masses ܯet ݉ qui sont reliées par un
fil inextensible et sans masse. Le fil passe par une poulie qui est sans masse et qui
ne provoque pas de frottement. Le système est lâché sans vitesse initiale. Le
contact entre la masse ܯet le sol est défini par le coefficient de frottement ݂.
ܯ
݃Ԧ
Corrigé
1) Dans cette première question, les deux masses se déplacent avec la même
vitesse en module car le fil est inextensible.
ܯ ܴሬԦ
ሬԦ
ܶ
݃Ԧ
݃ܯԦ
݉
݉݃Ԧ
ʹ݄݃ሺ݉ െ ݂ܯሻ
ݒൌඨ Ǥ
ܯ݉
On a toujours :
ȁܶȁ ൌ ݂݃ܯǤ
On applique donc le théorème de l’énergie cinétique entre l’instant initial où la
masse ݉ touche le sol et l’instant final où la masse ܯs’arrête.
On a donc la variation d’énergie cinétique qui vaut :
ͳ
οܧ ൌ Ͳ െ ݒܯଶ Ǥ
ʹ
La masse ܯse déplace d’une distance ݀ െ ݄.
Le travail de la force de frottement est donc égal à :
ܹ ൌ െ݂݃ܯሺ݀ െ ݄ሻǤ
Donc :
ͳ
Ͳ െ ݒܯଶ ൌ െ݂݃ܯሺ݀ െ ݄ሻǤ
ʹ
En remplaçant la vitesse, on trouve :
ͳ ʹ݄݃ሺ݉ െ ݂ܯሻ
ܯ ൌ ݂݃ܯሺ݀ െ ݄ሻ
ʹ ܯ݉
Techniques à mémoriser
οܧ ൌ ܹ௫௧ Ǥ
ܴሬԦ ൌ ܶ
ሬԦ ܰ
ሬԦǤ
- Si glissement : ܶ ൌ ݂ܰ.
Exercice 24.1
Une particule ߙ, de charge ʹ݁, arrive de loin sur le noyau de charge ܼ݁, avec une
ଵ
énergie cinétique ܧ ൌ ݉ݒଶ ൌ ͷ.
ଶ
L’énergie potentielle se met sous la forme :
݇
ܧ ൌ Ǥ
ݎ
݁Ԧ ݕ
݁Ԧఏ ܯ
ݒԦ
߰ ܾ
Noyau de ݔ
charge ܼ݁
1) Retrouver la valeur de ݇.
2) Déterminer la distance minimale d’approche ݎ de la particule ߙ lorsque ܾ ൌ ͲǤ
Donner un ordre de grandeur.
3) Montrer que la quantité ݎଶ ߠሶ est une constante et l’exprimer en fonction de ܾ et
ݒ .
4) Déterminer l’énergie potentielle efficace de la particule.
5) Déterminer dans le cas où ܾ ് Ͳ, la distance minimale d’approche ݎ en
fonction de ݎ Ǥ
6) Montrer que le vecteur de Laplace ܣԦ ൌ Ԧ רሬԦ ܮ ݉݇݁Ԧ est une constante et
ሬԦ représente le
déterminer sa direction. Ԧ est le vecteur quantité de mouvement et ܮ
moment cinétique.
7) Déterminer l’angle de déviation ߰ de la particule.
݃Ԧ
݃Ԧ
ߠ Anneau
ߠ Anneau
Énoncé
Une particule ߙ, de charge ʹ݁, arrive de loin sur le noyau de charge ܼ݁, avec une
ଵ
énergie cinétique ܧ ൌ ݉ݒଶ ൌ ͷ.
ଶ
L’énergie potentielle se met sous la forme :
݇
ܧ ൌ Ǥ
ݎ
݁Ԧ ݕ
݁Ԧఏ ܯ
ݒԦ
߰ ܾ
Noyau de ݔ
charge ܼ݁
1) Retrouver la valeur de ݇.
2) Déterminer la distance minimale d’approche ݎ de la particule ߙ lorsque ܾ ൌ ͲǤ
Donner un ordre de grandeur.
3) Montrer que la quantité ݎଶ ߠሶ est une constante et l’exprimer en fonction de ܾ et
ݒ .
4) Déterminer l’énergie potentielle efficace de la particule.
5) Déterminer dans le cas où ܾ ് Ͳ, la distance minimale d’approche ݎ en
fonction de ݎ Ǥ
6) Montrer que le vecteur de Laplace ܣԦ ൌ Ԧ רሬԦ ܮ ݉݇݁Ԧ est une constante et
ሬԦ représente le
déterminer sa direction. Ԧ est le vecteur quantité de mouvement et ܮ
moment cinétique.
7) Déterminer l’angle de déviation ߰ de la particule.
Corrigé
1) La force exercée par le noyau de charge ܼ݁ sur la particule ߙ est égale à :
ʹܼ݁ ଶ
ܨԦ ൌ ݁Ԧ Ǥ
Ͷߨߝ ݎଶ
Cette force dérive d’une énergie potentielle qui vérifie :
݀ܧ ʹܼ݁ ଶ
ܨൌെ ൌ Ǥ
݀ݎ Ͷߨߝ ݎଶ
Par intégration, nous obtenons :
ʹܼ݁ ଶ
ܧ ൌ ݁ݐܥǤ
Ͷߨߝ ݎ
ݎଶ ߠሶ ൌ ܾݒ Ǥ
4) L’énergie cinétique de la particule en coordonnées polaires est égale à :
ͳ ͳ ͳ
ܧ ൌ ݉ ݒଶ ൌ ݉ݎሶ ଶ ݉ ݎଶ ߠሶ ଶ
ʹ ʹ ʹ
Nous pouvons remplacer ߠሶ en fonction de ݎsoit :
ͳ ͳ ሺܾݒ ሻ ଶ
ܧ ൌ ݉ݎሶ ଶ ݉ Ǥ
ʹ ʹ ݎଶ
L’énergie mécanique est donc égale à :
ͳ ͳ ሺܾݒ ሻ ଶ ݇
ܧ ൌ ݉ݎሶ ଶ ݉ Ǥ
ʹ ʹ ݎଶ ݎ
ݎ ݎ ଶ
ݎ ൌ ඨቀ ቁ ܾ ଶǤ
ʹ ʹ
Lors que ܾ ൌ Ͳǡ nous ret rouvons b ien la valeur ݎ .
݀ܣԦ ݀Ԧ ሬԦ
݀ܮ ݀݁Ԧ
ൌ רሬܮԦ Ԧ ר ݉݇
݀ݐ ݀ݐ ݀ݐ ݀ݐ
Ԧ ൌ ݉ݒԦ ൌ ݉ ൫ݎሶ ݁Ԧ ߠݎሶ ݁Ԧఏ ൯
ሬԦ ܱݒ݉ ר ܯԦ ൌ ݉ ݎଶ ߠሶ݁Ԧ௭Ǥ
ܮൌ ሬሬሬሬሬሬԦ
Le moment cinétique est constant donc :
ሬԦ
݀ܮ
ൌ ͲǤ
݀ݐ
En utilisant la deuxième loi de Newton, nous obtenons :
݀Ԧ ݇
ൌ ܨԦ ൌ ଶ ݁Ԧ
݀ݐ ݎ
݀Ԧ ݇
רሬܮԦ ൌ ଶ ݁Ԧ ݎ݉ רଶ ߠሶ݁Ԧ௭ ൌ െ݉݇ߠሶ ݁ԦఏǤ
݀ݐ ݎ
Nous avons aussi :
݀݁Ԧ
݉݇ ൌ ݉݇ߠሶ݁Ԧఏ Ǥ
݀ݐ
Nous avons donc :
݀ܣԦ
ൌ ͲǤ
݀ݐ
Donc le vecteur ܣԦ est constant.
7)
ݕ
ܣԦ
ܯ
݁Ԧ
ݒԦ
݁Ԧఏ
ߠ
߰ ܾ
ߠ
Noyau de ݔ
charge ܼ݁
Techniques à mémoriser
ᇡ Il faut se souvenir qu’il est important d’analyser le sujet avant de se lancer dans
des calculs complexes.
Rapport du jury 2016
Un exercice de mécanique doit débuter, autant que possible, par
une discussion physique qui, en plus de présenter les phénomènes
en jeu, permettra de dégager la meilleure stratégie de résolution.
Trop de candidats, faisant fi de cette étape, se plongent directement
dans un ensemble décousu d’équations dont ils ne savent que faire
une fois qu’elles ont été écrites.
ᇡ Il faut se souvenir des propriétés liées au mouvement à force centrale pour une
masse ponctuelle.
Rapport du jury 2016
Sur les exercices traitant des mouvements à force centrale, les
résultats classiques comme les lois de conservation, les lois de
Kepler doivent savoir être rapidement énoncées et redémontrées. Il
n’est pas raisonnable de passer près de la moitié de la séance
d’oral pour retrouver, avec l’aide de l’examinateur, la période de
révolution d’un objet en orbite circulaire.
Formulaire
x Relation entre la force et l’énergie potentielle à 1 dimension :
݀ܧ
ܨ ൌ െ Ǥ
݀ݎ
x Moment cinétique par rapport à ܱ pour un mouvement à force centrale :
ሬԦ
ܮൌ ሬሬሬሬሬሬԦ
ܱݒ݉ ר ܯԦ ൌ ݉ ݎଶ ߠሶ݁Ԧ௭Ǥ
x Énergie mécanique dans le cas du mouvement à force centrale :
ͳ ݇
ܧ ൌ ܧ ܧ ൌ ݉ ݒଶ Ǥ
ʹ ݎ
x Énergie mécanique en coordonnées polaires :
ͳ ͳ ܮଶ ݇
ܧ ൌ ݉ݎሶ ଶ ଶ Ǥ
ʹ ʹ ݉ݎ ݎ
x Énergie potentielle effective :
ͳ ܮଶ ݇
ܧ ൌ ଶ Ǥ
ʹ ݉ݎ ݎ
Énoncé
Un anneau se trouve sur un cerceau de rayon ܴ et peut s’y déplacer sans
frottement.
Cerceau
݃Ԧ
ߠ Anneau
Corrigé
1) Nous considérons que l’anneau est assimilable à une masse ponctuelle.
L’anneau est soumis à deux forces qui sont le poids ܲሬԦ et la réaction du cerceau ܴ
ሬԦ .
Comme l’anneau se déplace sans frottement, la réaction est perpendiculaire au
déplacement.
Nous pouvons les représenter sur le schéma :
cerceau
ሬԦ
ܴ
anneau
ߠ
ܲሬԦ
ݖ
݃
ߠሷ ߠ ൌ ͲǤ
ܴ
݃
ߠሷ ߠ ൌ ͲǤ
ܴ
ʹߨ ܴ
ܶൌ ൌ ʹߨඨ Ǥ
߱ ݃
Techniques à mémoriser
Formulaire
x Énergie cinétique :
ͳ
ࣟ ൌ ݉ ݒଶ Ǥ
ʹ
x Énergie potentielle de pesanteur avec un axe vertical ascendant :
ࣟ ൌ ݉݃ ݖ ݁ݐݏܥǤ
x Énergie mécanique :
ࣟ ൌ ࣟ ࣟ Ǥ
x Relation entre force conservative et énergie potentielle :
ܨԦ ൌ െ݃݀ܽݎ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ࣟ Ǥ
Bon courage !
1) Signaux physiques
x Signal acoustique
Formulaire 359
x Signal électrique
x Signal électromagnétique
x Fréquence audibles
x Représentation de Fresnel
x Notion d’interférences
x Interférences constructives
x Interférence destructives
x Battements
x Ondes stationnaires
x Nœuds, ventres, modes propres d’une corde fixée à ses deux extrémités
x Polarisation rectiligne
x Loi de Malus
x Source lumineuse
x Rayon lumineux
360 Formulaire
x Lois de Descartes à la réflexion
x Stigmatisme approché
x Conditions de Gauss
x Savoir tracer les rayons utiles pour des associations de lentilles ou miroirs
x Modélisation de l’œil
x Relation de Planck-Einstein
x Fonction d’onde
2) Électricité
Formulaire 361
Rapport du jury 2017
La notion de gabarit d’un filtre est mal connue. La détermination de
la réponse d’un système linéaire (fonction de transfert fournie) à
une excitation comportant un nombre fini de termes sinusoïdaux
donne rarement satisfaction. La détermination de l’intensité efficace
d’un circuit RLC série en régime sinusoïdal forcé doit être obtenue
dans un temps raisonnable (<= 1 mn) !
x Charge électrique
x Intensité du courant
x Potentiel
x Référence de potentiel
x Tension
x Puissance
x Diviseur de tension
x Diviseur de courant
x Source de Thévenin
x Résistance de sortie
362 Formulaire
x Résistance d’entrée
x Point de fonctionnement
x Circuit ܴܥܮ
x Pulsation propre
x Facteur de qualité
x Résonnance
x Signal périodique
x Fonction de transfert
x Gain en décibels
x Diagramme de Bode
x Pulsation de coupure
x Gabarit
Formulaire 363
x Filtre passe haut
3) Mécanique
Rapport du jury 2017
Le théorème du moment cinétique est souvent mal écrit, même
dans des cas simples (rotation d’une barre autour d’un axe fixe). Le
poids de l'objet A en contact avec l'objet B ne " s'applique " pas sur
B : il faut faire intervenir la réaction qui n'est pas a priori l'opposée
du poids... Les candidats oublient parfois que pour les lois de
Coulomb, lorsqu’il y a glissement, la réaction tangentielle est de
même direction et de sens opposé à la vitesse de glissement. D’une
manière générale, de nombreuses erreurs de projection des forces
et des moments sont à déplorer. La volonté affichée de déterminer
ces grandeurs « avec les mains » - plutôt qu’avec un formalisme
mathématique rigoureux, est finalement préjudiciable aux candidats.
Beaucoup de candidats ne pensent toujours pas à la conservation
de l’énergie mécanique totale pour des systèmes qui ne dépendent
pourtant que d’un paramètre. Accélération nulle n’est pas
« synonyme » d’une absence de mouvement ! Les vitesses
cosmiques sont souvent inconnues. L’étude du « pendule simple »
ne peut se limiter aux petites oscillations.
x Vecteur position
364 Formulaire
x Vecteur vitesse
x Vecteur accélération
x Coordonnées cartésiennes
x Coordonnées cylindriques
x Coordonnées sphériques
x Solide
x Solide en translation
x Translation rectiligne
x Translation circulaire
x Vitesse angulaire
x Force
x Pendule simple
Formulaire 365
x Travail d’une force
x Énergie potentielle
x Énergie mécanique
x Force conservative
x Position d’équilibre
x Conditions initiales
x Force de Lorentz
x Moment cinétique d’un système discret de points par rapport à un axe orienté
x Couple
x Liaison pivot
x Pendule pesant
x Force centrale
x État lié
x État de diffusion
x Champ Newtonien
x Lois de Kepler
x Satellite géostationnaire
Formulaire 367
4) Thermodynamique
4) Thermodynamique
Rapport du jury 2011
Rapport du jury 2011
Les mêmes erreurs concernant les machines thermiques se
Les mêmes erreurs concernant les machines thermiques se
retrouvent chaque année : les définitions de rendement et
retrouvent chaque année : les définitions de rendement et
d’efficacité sont en général erronées.
d’efficacité sont en général erronées.
Les changements d’état continuent à mettre mal à l’aise de
Les changements d’état continuent à mettre mal à l’aise de
nombreux candidats.
nombreux candidats.
Rapport du jury 2017
Rapport du jury 2017
On relève également beaucoup de confusions entre adiabatique et
On relève également beaucoup de confusions entre adiabatique et
isentropique. Dans l'étude d'une machine thermique cyclique, le
isentropique. Dans l'étude d'une machine thermique cyclique, le
sens des échanges thermiques avec les thermostats est souvent
sens des échanges thermiques avec les thermostats est souvent
mal compris.
mal compris.
Conseils du jury 2017
Conseils du jury 2017
En thermodynamique, si les candidats pensent désormais à bien
En thermodynamique, si les candidats pensent désormais à bien
préciser le système sur lequel, ils appliquent le premier ou le
préciser le système sur lequel, ils appliquent le premier ou le
second principe, il faut encore insister sur un point : la lecture de
second principe, il faut encore insister sur un point : la lecture de
l’énoncé ! Une analyse préalable du texte en relevant les termes
l’énoncé ! Une analyse préalable du texte en relevant les termes
essentiels (adiabatique, calorifugé, diathermane…), en
essentiels (adiabatique, calorifugé, diathermane…), en
s’interrogeant sur l’état initial et l’état final, sur les grandeurs
s’interrogeant sur l’état initial et l’état final, sur les grandeurs
demandées les conduirait certainement à plus de discernement.
demandées les conduirait certainement à plus de discernement.
Demander un bilan entropique met toujours de nombreux candidats
Demander un bilan entropique met toujours de nombreux candidats
en difficulté, car le second principe est mal compris.
en difficulté, car le second principe est mal compris.
x Échelle macroscopique, microscopique, mésocopique
x Échelle macroscopique, microscopique, mésocopique
x Libre parcours moyen
x Libre parcours moyen
x Vitesse quadratique moyenne
x Vitesse quadratique moyenne
x Pression cinétique
x Pression cinétique
x Température cinétique d’un gaz
x Température cinétique d’un gaz
x Relation entre vitesse quadratique moyenne et température pour un gaz parfait
x Relation entre vitesse quadratique moyenne et température pour un gaz parfait
x Système thermodynamique, système ouvert, système fermé, système isolé
x Système thermodynamique, système ouvert, système fermé, système isolé
x Équation d’état
x Équation d’état
x Grandeurs intensives
x Grandeurs intensives
x Grandeurs extensives
x Grandeurs extensives
x Énergie interne d’un gaz parfait
x Énergie interne d’un gaz parfait
x Capacité thermique à volume constant pour le gaz parfait
x Capacité thermique à volume constant pour le gaz parfait
368 Formulaire
368 Formulaire
x Énergie interne d’une phase condensée
x Gaz réel
x Transformation thermodynamique
x Transformation isochore
x Transformation isobare
x Transformation monobare
x Transformation isotherme
x Transformation monotherme
x Transfert thermique
x Transformation adiabatique
x Thermostat
x Enthalpie
x Enthalpie de fusion
x Enthalpie de vaporisation
x Enthalpie de sublimation
Formulaire 369
x Variation d’enthalpie pour un changement d’état du corps pur
x Entropie créée
x Entropie échangée
x Loi de Laplace
x Machine thermique
x Théorème de Carnot
x Forces volumiques
x Facteur de Boltzmann
370 Formulaire
x Résultante des forces de pression
x Poussée d’Archimède
6) Induction
x Moment magnétique
Formulaire 371
x Position d’équilibre et stabilité du moment magnétique dans le champ
magnétique extérieur
x Loi de Faraday
x Loi de Lenz
x Flux propre
x Transformateur de tension
x Rail de Laplace
x Courants de Foucault
x Haut-parleur électrodynamique
372 Formulaire
24
F. DEPAQUIT-DEBIEUVRE
La collection « 24 jours pour préparer son entrée en 2e année de
prépa » vous assure des révisions solides entre la Sup et la Spé grâce
au planning de travail fourni par les auteurs expérimentés. Ce planning
pour préparer son entrée
est fondé sur 24 séances de travail permettant de balayer le programme
de Sup. Durant chaque séance, vous vous exercez sur un sujet puis
JOURS en 2e année de prépa
vous vous consacrez à une analyse minutieuse de tout l’ensemble du
corrigé (analyse de l’énoncé, corrigé détaillé, techniques à mémoriser,
PHYSIQUE
formulaire et nombreux extraits des rapports de jurys).
de la
PHYSIQUE
Cette collection vous permet donc, dès la fin de la Sup, de vous SUP
préparer efficacement aux concours d’entrée dans les Grandes Écoles. à la
SPÉ
Florence DEPAQUIT-DEBIEUVRE
-:HSMDOA=UXU^WX: