Thesenguyen-Huu Hieu 2008

METHODES ET OUTILS POUR LA CONCEPTION
DE COMPOSANTS INTEGRES DANS UN RESEAU

ELECTRIQUE EMBARQUE
Huu Hieu Nguyen
To cite this version:

Huu Hieu Nguyen. METHODES ET OUTILS POUR LA CONCEPTION DE COMPOSANTS IN-
TEGRES DANS UN RESEAU ELECTRIQUE EMBARQUE. Energie électrique. Université Joseph-
Fourier - Grenoble I, 2008. Français. �tel-00345608�
HAL Id: tel-00345608

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UNIVERSITE JOSEPH FOURIER
N° attribué par la bibliothèque

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THESE
pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITE JOSEPH FOURIER
Spécialité : « Génie Electrique »
préparée au G2ELab (Grenoble Génie Electrique Laboratoire)

dans le cadre de
l’Ecole Doctorale « Electronique, Electrotechnique, Automatique, Télécommunications, Signal »
présentée et soutenue publiquement
par
NGUYEN HUU Hieu

(Ingénieur de l’Ecole Centrale de Lyon)
Le 03 Novembre 2008
METHODES ET OUTILS POUR LA CONCEPTION DE COMPOSANTS

INTEGRES DANS UN RESEAU ELECTRIQUE EMBARQUE
Directeurs de thèse : Nicolas RETIERE

Frédéric WURTZ
JURY
M. Hervé MOREL Président et Rapporteur

M. Michel HECQUET Rapporteur
M. Bruno SARENI Examinateur
M. Jean-Louis LANDO Examinateur
M. Nicolas RETIERE Directeur de thèse
M. Frédéric WURTZ Codirecteur de thèse
Remerciements
Cette thèse s’est déroulée au Laboratoire de Génie Electrique de Grenoble (G2ELab),
dans le cadre d’une collaboration entre AIRBUS-Toulouse, le G2Elab et le LAPLACE de
Toulouse (Laboratoire Plasma et Conversion d’Energie).
Je tiens sincèrement à remercier :

• Monsieur Hervé MOREL, Directeur de recherche CNRS au laboratoire AMPERE
de Lyon, d’avoir accepté d’être le Président du Jury et le rapporteur.
• Monsieur Michel HECQUET, professeur à l’Ecole Centrale de Lille, d’avoir été
intéressé à ces recherches en tant que second rapporteur.
• Monsieur Jean-Louis LANDO, Ingénieur chez AIRBUS Toulouse, d’avoir
participé au Jury en tant qu’examinateur.
• Monsieur Bruno SARENI, Maître de Conférence à l’Institut National
Polytechnique de Toulouse, d’avoir accepté d’être examinateur. Je le remercie
aussi pour sa disponibilité, ses conseils avertis, sa gentillesse, et pour les
nombreuses idées que nous avons pu échanger. J’ai pris grand plaisir à travailler
avec lui et j’espère que notre collaboration ne s’arrêtera pas la.
Je tiens à exprimer ma reconnaissance à mes deux directeurs de thèse, Nicolas

RETIERE et Frédéric WURTZ pour leur disponibilité, leurs conseils avertis, leur suivi, leur
patience, leur gentillesse. Sans leur compétence en modélisation et optimisation des réseaux
embarqués, leurs conseils lors de la rédaction d’articles et leur aide précieuse lors de la
rédaction de la thèse et la préparation de la présentation,cette thèse n’aurait pas été ce qu’elle
est.
• Merci Nicolas pour sa confiance et la liberté qu’il m’a donné pendant trois
années.
• Merci Frédéric pour son expérience et compétence dans la formulation d’un
problème d’optimisation.
Je tiens aussi remercie Monsieur Xavier ROBOAM, Directeur de Recherche au

LAPLACE de Toulouse et Monsieur Dominique ALEJO, Ingénieur du groupe
AEROCONSEIL, qui ont collaboré à cette thèse (avec Nicolas, Frédéric, Bruno), et pour leur
suivi, leur patience, leur gentillesse, leurs conseils, leurs remarques lors des réunions de
travail.
Durant ces trois années passées au G2Elab, et les quelque mois au LAPLACE, j’ai eu
la chance d’être entouré par les personnes formidables. Je veux adresser tous mes
remerciement à tous les membres des deux laboratoires, le G2Elab et le LAPLACE (ex.
LEEI), en particulier à Messieurs Lauric GARBUIO, Hubert PIQUET, Laurent GERBAUD,
Benoît DELINCHANT, Jean-Michel GUICHON, Matthieu SAUTREUIL, Bill SESANGA
pour leur aide ainsi que leurs conseils éclairés.
Je remercie également tous mes amis, d’ici et d’ailleurs
Mes derniers et plus grands remerciements vont à mes parents et à ma famille. Merci
d’avoir toujours respecté mes choix, de m’avoir toujours soutenu et aidé durant mes années
d’études.
Table des matières
Introduction générale........................................................................................ 11
Chapitre I : Introduction à la conception des réseaux électriques

embarqué…...………………………………………………………………….17
I. Introduction.................................................................................................. 18
II. Réseaux électriques embarqués................................................................... 18
II.1. Définition des réseaux électriques embarqués ........................................................ 18
II.2. L’évolution des réseaux électriques embarqués....................................................... 18
II.2.1. Cas du secteur automobile ............................................................................... 19
II.2.2. Cas du secteur naval ........................................................................................ 20
III. Evolutions des réseaux électriques dans les avions Airbus......................... 23
III.1. De l’avion à puissance hydraulique à l’avion « plus électrique »........................ 23
III.1.1. L’avion à puissance hydraulique ..................................................................... 23
III.1.2. L’avion « plus électrique »............................................................................... 25
III.2. Vers un avion de plus en plus électrique.............................................................. 26
IV. Conception d’un réseau électrique embarqué ............................................. 27
IV.1. Pourquoi faire la conception des réseaux électriques embarqués ?...................... 27
IV.2. Enjeux de la conception ....................................................................................... 27
IV.3. Processus de conception....................................................................................... 27
IV.3.1. Formulation de la conception .......................................................................... 27
IV.3.2. Processus de conception .................................................................................. 28
IV.3.3. Complexités et difficultés de la conception des réseaux électriques
embarqués……..………………………………………………………………………...29
V. Optimisation – Une approche classique pour le dimensionnement
dans la conception ............................................................................................... 29
V.1. Optimisation systémique du système ....................................................................... 29
V.2. Formulation du problème de dimensionnement optimal.......................................... 30
V.3. Difficultés dans la formulation du problème d’optimisation ................................... 31
VI. Automatisation du processus de conception et importance du concepteur. 33
VI.1. Problème bien posé .............................................................................................. 33
VI.1.1. Définition.......................................................................................................... 33
VI.1.2. Exemple ............................................................................................................ 33
VI.1.3. Méthode pour résoudre .................................................................................... 33
VI.2. Problème mal-posé ............................................................................................... 33
VI.2.1. Définition.......................................................................................................... 33
VI.2.2. Exemple ............................................................................................................ 34
VI.2.3. Méthode pour résoudre .................................................................................... 34
VII. Proposition des stratégies rationnelles pour résoudre des problèmes mal
posés .................................................................................................................... 36
VII.1. Stratégie rationnelle pour aider à formuler les limites de variation des
paramètres de conception ..................................................................................................... 36
VII.2. Stratégie rationnelle pour aider à choisir les spécifications de composant .......... 36
VII.3. Stratégie rationnelle pour aider à choisir les limites de normes........................... 36
VIII. Travaux de recherche sur la conception des réseaux électriques
embarqués............................................................................................................ 37
Chapitre II : Modélisation et optimisation dans le dimensionnement

optimal d’un système électrique embarqué .................................................... 39
I. Introduction.................................................................................................. 40
II. Modélisation pour le dimensionnement des systèmes embarqués .............. 40
II.1. Types de modèles utilisés en CAO .......................................................................... 40
II.1.1. Les quatre types de modèles utilisés en CAO................................................... 40
II.1.2. Dérivation et calcul de sensibilité.................................................................... 42
II.1.3. Conclusion sur les modèles .............................................................................. 44
II.2. Besoins de modélisation pour un système électrique embarqué .............................. 45
II.2.1. Grandeurs énergétiques ................................................................................... 45
II.2.2. Grandeurs harmoniques................................................................................... 46
II.2.3. Grandeurs dynamiques .................................................................................... 49
III. Algorithmes d’optimisation......................................................................... 52
III.1. Définition d’un problème d’optimisation............................................................. 52
III.1.1. Formulation mathématique .............................................................................. 52
III.1.2. Quelques définitions ......................................................................................... 53
III.2. Algorithmes d’optimisation mono-objectif .......................................................... 54
III.2.1. Classification des algorithmes d’optimisation................................................. 54
III.2.2. SQP................................................................................................................... 56
III.2.3. Principe des Algorithmes évolutionnaires ....................................................... 57
III.2.4. ES (Stratégie d'Evolution) ................................................................................ 63
III.2.5. Algorithme RTS avec croisement auto-adaptatif ............................................. 65
III.2.6. PSO................................................................................................................... 70
III.3. Algorithmes d’optimisation multi-objectifs ......................................................... 72
III.3.1. Définition de l’optimalité au sens de Pareto.................................................... 72
III.3.2. NSGAII, une méthode de détermination de la frontière de Pareto .................. 73
IV. Outils pour modéliser et optimiser les réseaux électriques embarqués :
Cades, Saber ........................................................................................................ 76
IV.1. Cades .................................................................................................................... 76
IV.1.1. Structure ........................................................................................................... 76
IV.1.2. Avantages pour l’utilisation ............................................................................. 76
IV.2. Saber..................................................................................................................... 77
V. Conclusions.................................................................................................. 77
Chapitre III : Modélisation et Optimisation du canal de puissance d’un
AIRBUS « nouvelle génération » ..................................................................... 79
I. Introduction.................................................................................................. 80
II. Structure....................................................................................................... 81
III. Normes......................................................................................................... 81
III.1. Domaine d’étude et définitions ............................................................................ 82
III.1.1. Domaine d’étude .............................................................................................. 82
III.1.2. Rappel de quelques définitions......................................................................... 82
III.2. Normes sur les harmoniques ................................................................................ 82
III.2.1. Du coté de l’entrée ........................................................................................... 82
III.2.2. Du coté de la sortie .......................................................................................... 84
III.3. Norme sur les taux de distorsion .......................................................................... 84
III.3.1. Du coté de l’entrée ........................................................................................... 84
III.3.2. Du coté de la sortie .......................................................................................... 84
III.4. Stabilité et régime transitoire ............................................................................... 85
III.4.1. Norme sur le régime transitoire du coté de l’entrée ........................................ 85
III.4.2. Norme sur le régime transitoire du coté de la sortie ....................................... 85
III.5. Courant de court-circuit ....................................................................................... 86
IV. Modélisation du canal de puissance pour l’optimisation ............................ 87
IV.1. Choix du modèle .................................................................................................. 87
IV.2. Modélisation des composants............................................................................... 88
IV.2.1. Générateur ....................................................................................................... 88
IV.2.2. Feeders ............................................................................................................. 89
IV.2.3. Auto-Transformateur........................................................................................ 89
IV.2.4. Système redresseur ........................................................................................... 94
IV.2.5. Inductance d’Interphase................................................................................... 95
IV.2.6. Filtre................................................................................................................. 97
IV.3. Modèle analytique pour vérifier la stabilité ....................................................... 100
IV.3.1. Construction du modèle simplifié................................................................... 100
IV.3.2. Utilisation du théorème de Routh................................................................... 101
V. Problème d’optimisation............................................................................ 102
V.1. Spécifications ......................................................................................................... 102
V.1.1. Objectif ........................................................................................................... 102
V.1.2. Paramètres de conception.............................................................................. 102
V.1.3. Contraintes ..................................................................................................... 103
V.2. Structure du modèle de conception ........................................................................ 103
V.3. Algorithmes d’optimisation utilisés ....................................................................... 104
V.3.1. Choix des algorithmes .................................................................................... 104
V.3.2. Pourquoi il est nécessaire de limiter l’espace de recherche.......................... 105
V.3.3. Proposition d’une stratégie pour réduire l’espace de recherche .................. 105
V.3.4. Application au dimensionnement optimal du canal de puissance.................. 109
VI. Résultats de l’optimisation ........................................................................ 111
VI.1. Configurations des algorithmes d’optimisation utilisés ..................................... 111
VI.2. Présentation des résultats ................................................................................... 111
VI.3. Analyse des résultats .......................................................................................... 114
VI.3.1. Algorithmes .................................................................................................... 114
VI.3.2. Dimension du canal de puissance au point d’optimum.................................. 116
VI.4. Sensibilité des solutions ..................................................................................... 120
VI.4.1. Sensibilité à la valeur des paramètres du générateur et des feeders ............. 120
VI.4.2. Sensibilité du modèle de conception .............................................................. 122
VII. Conclusion ................................................................................................. 124
Chapitre IV : Utilisation de l’optimisation pour la conception d’un

système électrique embarqué ......................................................................... 125
I. Introduction................................................................................................ 126
II. Stratégie rationnelle permettant de définir des normes pour le
dimensionnement optimal du système .............................................................. 126
II.1. Définition du problème .......................................................................................... 126
II.2. Méthode.................................................................................................................. 127
II.3. Résultats ................................................................................................................. 129
II.3.1. Paramètres de NSGA II.................................................................................. 129
II.3.2. Résultats de l’optimisation ............................................................................. 129
II.3.3. Analyse des résultats ...................................................................................... 130
II.4. Conclusion.............................................................................................................. 133
III. Aide pour la définition des spécifications des composants....................... 133
III.1. Définition du problème ...................................................................................... 133
III.2. Méthode.............................................................................................................. 134
III.3. Résultats ............................................................................................................. 135
III.3.1. Résultats de l’optimisation ............................................................................. 135
III.3.2. Analyse des résultats ...................................................................................... 136
III.4. Conclusion.......................................................................................................... 139
IV. Relâchement de certaines contraintes de dimensionnement des
composants intégrés dans le réseau................................................................... 140
IV.1. Problème et méthode de résolution .................................................................... 140
IV.2. Résultats ............................................................................................................. 140
IV.3. Conclusion sur le relâchement des contraintes .................................................. 143
V. Conclusion ................................................................................................. 143
Conclusion générale et perspectives .............................................................. 145
Bibliographie.................................................................................................... 149
Annexe A : Construction du tableau de Routh ............................................ 157
Annexe B: Structures et équations pour dimensionner des dispositifs

dans le canal de puissance ……...………...…………………………………159
Annexe C : Modèle électrique équivalent du canal de puissance pour

l’étude de la stabilité........................................................................................ 187
Annexe D: Utilisation de Cades dans la conception des réseaux

électriques embarqués…................................................................................. 197
Introduction générale
Les progrès en électronique de puissance de la fin du XX siècle permettent de créer

des convertisseurs d’énergie électrique très fiables et très performants. A leur tour, les
convertisseurs d’électronique de puissance permettent aux concepteurs de systèmes
embarqués (avions, navires, véhicules routiers …) d’intégrer de plus en plus d’équipements
électriques tout en améliorant les performances, le confort et la sécurité des utilisateurs. Ce
mouvement accompagne la substitution des énergies hydraulique et pneumatique par l’énergie
électrique. En effet :
• La génération, la distribution et l’utilisation de l’énergie électrique sont
plus aisées ;
• Les actionneurs électriques associés à leur électronique de puissance
donnent une grande souplesse de contrôle ;
• La chaîne de transmission d’énergie hydraulique et pneumatique est
lourde et difficile à maintenir.
Avec la généralisation de l’électricité comme vecteur énergétique et de l’électronique

de puissance dans les systèmes électriques, les réseaux continus paraissent être une solution
d’avenir car :
• Ils permettent de supprimer l’étage de redressement sur les charges
connectées au réseau. De ce fait, l’efficacité énergétique et la fiabilité du système peut-être
améliorée [NIL04]-[YAM99] ;
• Ils sont plus adaptés à l’intégration de stockage par exemple des
batteries, de sources à fréquence variable qui délivrent l’énergie -après interfaçage- sous
forme continue [SAL07] ;
• Ils ne nécessitent pas de gestion du réactif.
Mais ces réseaux continus posent des nouveaux problèmes de qualité du réseau
électrique notamment concernant les harmoniques et la dynamique. L’objectif de la
conception des réseaux électriques embarqués est alors de chercher une architecture (niveau
de tension, règles de protection, composants intégrés) qui :
• Assure la production de l’énergie nécessaire à fournir aux charges ;
• Respecte la qualité du réseau ;
• Réalise certains objectifs : minimiser la masse, le volume, le coût ou/et
maximiser le rendement …
Dans ce mémoire, nous allons aborder cette problématique par un cas d’application
aéronautique, en relation avec Airbus.
L’objectif général est de diminuer la masse de l’avion. Une des voies est pour cela de
rationaliser l’énergie à bord pour aller vers un avion de plus en plus électrique. Les systèmes
alimentés par l’énergie hydraulique et pneumatique (commande de vol, conditionnement
d’air…) sont notamment remplacés par des systèmes électriques à priori plus légers. La
12
puissance électrique installée du nouvel avion Airbus A30X de type « bleedless » peut ainsi
atteindre 1 MVA ! (l’avion de type « bleedless » n’a pas de prélèvement d'air sur les étages de
compression du turboréacteur, l’entrée d’air se trouve sur la peau de l'avion. Des
compresseurs électriques de grosse puissance, pilotés par des convertisseurs statiques, sont
utilisés pour assurer le conditionnement d'air de la cabine en température/pression). C’est une
importante puissance électrique installée par rapport aux avions actuels (275 kVA pour
l’A320, 900 kVA pour l’A380).
Une nouvelle architecture du système électrique est alors nécessaire.
Le canal de puissance, qui est la chaîne de puissance électrique entre le générateur

électrique et les charges, se trouve naturellement au coeur de cette architecture. Pour ce canal
de puissance, l’idée des concepteurs de réseaux électriques d’Airbus est de créer un bus
continu commun à haute tension 540 V pour alimenter les charges importantes. Ce bus permet
en effet de centraliser les convertisseurs AC/DC en entrée de chaque charge (comme c’est le
cas actuellement dans l’A380) afin d’éviter de les dupliquer.
Les objectifs du projet de recherche «Optimisation du dimensionnement d’un canal de

puissance »1 seront donc :
• Dimensionner de manière optimale un canal de puissance en
minimisant la masse tout en respectant les normes qui définissent la qualité du réseau.
• Etudier l’influence de la norme sur la masse du canal
• Chercher les interactions entre la masse du canal et les composants qui
ne sont pas modélisés (le disjoncteur, générateur).
D’autre part, de nombreuses approches de simulation et d’optimisation des

composants et/ou des systèmes électriques ont été développées dans le domaine de
l’électrotechnique telles que :
• [ALB04]-[WUR96] : Dimensionnement optimal des composants dans
un système électrique ;
• [MAG04]-[RAK07] : Simulation et dimensionnement optimal des
composants magnétiques ou microsystème magnétique ;
• [REG03] : Conception des systèmes électriques.
• …
D’un autre côté, d’autres travaux d’analyse, de modélisation et de conception des

réseaux continus, particulièrement de réseaux électriques embarqués, ont été menés comme :
• Un premier ensemble de travaux concernent la définition de nouvelles
structures de puissance à courant continu [NIL04]-[RUF07] et la modélisation des systèmes
embarqués telle que la modélisation énergétique pour l’optimisation de systèmes ferroviaires
1
Contrat entre G2Elab – Laplace – Airbus dans le cadre du GdR SEEDS
13
[CHE08], la modélisation des harmoniques dans les réseaux de tramway [MOR05] ou de

navires [MIE06] ;
• Un deuxième ensemble de travaux concerne les aspects contrôle des
systèmes à courant continu [BAR05]- [REG05]-[SAU08].
On peut remarquer à ce niveau que les travaux de recherche s'intéressent surtout à

l'optimisation d'une partie, d'un composant pour un critère isolé (rendement, masse ou
harmonique). Nous pouvons citer ici les travaux de [BAR05] sur l’optimisation du filtre dans
le réseau HVDC, [ALB04] travaille sur le dimensionnement d’un alternateur sur un cycle de
fonctionnement. La conception plus globale est peu abordée, avec l'exception notable du
laboratoire Laplace2 (ex. LEEI) de Toulouse et de la conception systémique dans les travaux
de [REG03]-[SAR06].
Cette thèse est donc une réponse à une question scientifique majeure concernant
l’approche système dans le dimensionnement optimal de systèmes de puissance intégrant de
l'électronique de puissance, plus particulièrement les systèmes délivrant l'énergie sous forme
continue. Nos travaux s'intéressent à la conception par optimisation d’un système global en
prenant en compte les critères (masse, rendement) et la qualité du réseau (protection,
harmonique et dynamique).
Les travaux de la thèse consisteront à reprendre les approches d’optimisation du
domaine de génie électrique particulièrement les approches de conception systémique, et les
travaux de modélisation des réseaux continus. Ces approches seront améliorées pour répondre
à la problématique de conception des systèmes électriques embarqués.
L’objectif de notre thèse sera donc double. D’une part, il s’agira de proposer des
méthodes intégrées à un outil informatique qui permettent de concevoir génériquement un
réseau électrique embarqué en prenant en compte un certain nombre de critères (minimiser la
masse, le coût, maximiser la fiabilité, le rendement) et en respectant un certain nombre de
contraintes (qualité réseau, stabilité…). D’autre part, il s’agira d’appliquer ces méthodes et
outils au cas d’un canal de puissance d’un réseau du bord de la nouvelle génération d’avion de
type « bleedless ».
Avant de détailler les travaux de recherche traités dans cette thèse, le chapitre I
présentera l’évolution de la puissance électrique dans les domaines du transport. Ce chapitre
abordera l’objectif et les rôles du canal de puissance du futur avion « bleedless ». Ce chapitre
sera également l’occasion de présenter la conception d’un réseau électrique embarqué : sa
formulation, ses difficultés, les problèmes d’automatisation de la conception et les rôles du
concepteur.
2
Laboratoire Plasma et Conversion d’Energie de Toulouse
14
Le chapitre II détaillera nos méthodes de modélisation et les algorithmes

d’optimisation qui seront utilisés dans le processus de dimensionnement. La partie
modélisation proposera les méthodes, les modèles qui permettent de calculer les grandeurs
nécessaires (masse, énergie, harmoniques, dynamique) à la conception des réseaux
embarqués. La partie sur les algorithmes d’optimisation abordera notre choix d’algorithmes
qui seront utilisés pour le dimensionnement optimal d’un réseau embarqué. Dans ce chapitre,
nous présentons également l’environnement informatique Cades, ainsi que l’outil de
simulation Saber. Nous verrons comment les utiliser pour réaliser la conception optimale d’un
système électrique embarqué donné.
Dans le chapitre III, nous traiterons la conception par dimensionnent optimal d’un
canal de puissance avec l’objectif de minimiser la masse tout en respectant toutes les normes
de qualité du réseau. Nous montrerons dans le détail les différentes étapes de la formulation
d’un problème de conception par optimisation (modélisation, variables de conception,
contraintes), la résolution et l’analyse des résultats. Nous terminerons ce chapitre en
présentant les études sur la sensibilité des résultats.
Pour terminer cette thèse, le chapitre IV proposera des stratégies qui aident le
concepteur à résoudre, et à formuler, certains problèmes de conception mal posés ou difficiles
à poser car comportant des données incomplètes, ou difficiles à choisir à priori. La première
stratégie permettra ainsi de choisir les spécifications de composants non-définis. La deuxième
stratégie aidera à définir une nouvelle norme sur la qualité du réseau. Ce chapitre présentera
aussi une approche qui facilitera le relâchement de certaines contraintes de dimensionnement
de composants intégrés dans le système afin de chercher de meilleures solutions.
15
Chapitre I
Introduction à la conception des réseaux

électriques embarqués
Chapitre I : Introduction à la conception des réseaux électriques embarqués
I. Introduction
Le développement de l’électronique de puissance implique des évolutions dans les
réseaux électriques embarqués, particulièrement dans les véhicules : automobile, navire,
avion ... Le développement des réseaux électriques embarqués s’est accentué pour des raisons
de confort, de sécurité, de maîtrise des performances, de diminution des coûts et de protection
de l’environnement. Un des enjeux scientifiques aujourd’hui est de chercher les méthodes et
outils qui permettent de concevoir les systèmes embarqués pour obtenir les meilleures
performances et le minimum de coût de fonctionnement.
Dans ce chapitre, nous présentons les réseaux électriques embarqués et leurs
évolutions dans le secteur du transport.
Ensuite, nous formulons le problème de conception d’un réseau électrique embarqué
avec les difficultés et la complexité que ce problème comporte. Nous proposons d’utiliser la
technique de dimensionnement optimal (ou dimensionnement par optimisation) pour le
résoudre.
Un autre problème est abordé dans ce chapitre : est-ce qu’on peut automatiser tous les
processus de conception et les rôles de concepteur. Nous terminons le chapitre en proposant
les stratégies qui aident le concepteur à formuler certains problèmes de conception ayant des
données incomplètes, ambiguës, non fiables.
II. Réseaux électriques embarqués

II.1. Définition des réseaux électriques embarqués [RET03]
Le réseau électrique embarqué est un réseau à très faible puissance de court-circuit qui
permet d’assurer l’alimentation d’un système autonome. Le système embarqué peut être isolé
totalement comme par exemple : le réseau électrique dans des voitures, des avions, des
navires, des tramways. Dans certains cas, par exemple le réseau électrique d’usine,
d’infrastructures ferroviaires…, ce réseau électrique embarqué peut présenter des
interconnexions avec le réseau public, mais il est capable de fonctionnement isolé et subit les
contraintes qui en découlent. Les propriétés importantes d’un réseau électrique embarqué
sont : réseau fortement non- linéaire, une architecture généralement de type radiale, un flux de
puissance unidirectionnel.
II.2. L’évolution des réseaux électriques embarqués
Depuis plusieurs années, on assiste à une augmentation croissante des systèmes
électriques embarqués dans les moyens de transport (automobile, aviation, marine ...). Cette
augmentation est liée aux besoins de:
• Confort : Les constructeurs d’automobile proposent de nombreuses
technologies qui augmentent le confort des clients : vitre électrique, GPS, climatisation,
tableau de bord électronique… Ceci est vrai non seulement dans l’automobile, mais aussi
dans les navires et avions où le confort du passager passe par l’augmentation de prises de
18
courant, de fonctions vidéo, de possibilités pour cuisiner … L’augmentation de ce confort fait

augmenter la puissance électrique consommée.
• Sécurité : Un grand nombre d’équipements électriques de sécurité sont
installés (par exemple des actionneurs et des capteurs de freinage).
• Maîtrise de l’énergie : L’énergie électrique est maîtrisée et acheminée plus
facilement que l’énergie hydraulique ou pneumatique. Le transport électrique entre la
génération, la distribution et l’utilisation est plus aisé… De plus, les progrès en électronique
de puissance permettent des conversions d’énergie électriques de plus en plus fiables et
performantes. Les actionneurs électriques actuels associés à leur électronique de puissance
offrent une grande souplesse de contrôle.
• Coût économique : Les actionneurs électriques sont utilisés pour remplacer
ceux hydrauliques, pneumatiques qui sont obligés d’avoir un système de transmission
complexe. Ce changement induit une diminution de la masse, et par suite une diminution du
coût de fonctionnement en réduisant la consommation. Cela réduit aussi les coûts de
maintenance.
• Coût environnemental : Le véhicule électrique (voiture, tramway) est une
solution pour diminuer la pollution en ville : moins de bruit, moins de gaz d’échappement. On
peut remarquer que le moteur électrique est « propre » au sens où il ne produit pas
directement de gaz polluants. Mais la production de l'électricité consommée par ce moteur
peut créer diverses pollutions. La nature de ces pollutions dépend du type d'énergie primaire
utilisée pour produire l'électricité destinée au véhicule, étant entendu que les parts des types
d'énergies primaires sont très variables d'un pays à un autre.
II.2.1. Cas du secteur automobile
La puissance électrique consommée dans chaque automobile va fortement augmenter
dans les années à venir. La Fig.I. 1 illustre cet accroissement.
Puissance électrique
consommée (kW)
Années
Fig.I. 1: Evolution des besoins en énergie électrique dans un véhicule avec une prévision pour le futur
[JOU02]
Selon la prévision, en 2030, la puissance électrique consommée par un véhicule sera
de 15 kW (pour un véhicule thermique) et 40 kW (pour un véhicule à propulsion électrique).
19
Etant donnée cette augmentation de puissance, les fabricants d’automobile envisagent

d’augmenter la tension de 14 V à 42 V [KAS00]. Ce changement doit permettre de diminuer
les pertes et d’augmenter le rendement. Néanmoins, pour différents équipements déjà conçus,
il est difficile d’augmenter la tension d’alimentation [ALL07]. Une solution intermédiaire a
été proposée et est maintenue jusqu’à maintenant : le réseau électrique embarqué contient
deux niveaux de tension (42V et 14 V). L’architecture de ce réseau bi-tension [KAS00] est
représentée par la Fig.I. 2
Fig.I. 2: Architecture 42/14V envisagée

On peut remarquer que pour faire cohabiter les deux niveaux de tension, un hacheur
est utilisé. Cela pose des problèmes de dynamique du réseau, ce problème est traité dans la
thèse de [JOU02].
Pour les automobiles hybrides, un autre bus de tension est ajouté. La tension de ce bus
est très haute (par exemple : 158 V pour la Civic Hybride 2006 [MES07]).
II.2.2. Cas du secteur naval
Comme pour l’automobile, les systèmes électriques ont révolutionné dans le secteur
naval. Le système électrique embarqué apparaît dans les navires au début du XXe Siècle pour
les applications suivantes : sous-marins, cuirassés, porte-avions… Dans des années 1930, le
Normandie avait des moteurs électriques qui ont permis d’alimenter 4 hélices de 40 000 cv
chacune. Le transport électrique entre le générateur et l’hélice a permis de supprimer la ligne
d’arbre et le réducteur associé [FIL00]. A partir des années 1990, avec le développement de
l’électronique de puissance, la consommation électrique augmente régulièrement. Par
exemple, pour un navire de 22 000 t aujourd’hui, la puissance électrique consommée est :
• Propulsion principale : 2x 2.7 MW à vitesse minimale (15 nœuds)
2 x 9.2 MW à vitesse maximale (21 nœuds)
(1 nœud ~ 1,852 km/h)
• Propulsion auxiliaire : 2 x 1MW
• Compresseurs d’air conditionné : 2 x 1MW
• Réseau de bord (440V – 60 Hz) : 4MW (ce réseau alimente toutes les autres
charges)
20
On peut remarquer que dans les navires à propulsion électrique la puissance électrique
consommée par la propulsion est très grande par rapport aux autres consommations. Cette
puissance peut atteindre 2x20MW pour certains navires [FIL00].
On constate que la puissance électrique est de plus en plus importante dans les navires.
C’est pourquoi, à partir des années 90, le navire «tout électrique» devient un objet de
recherche. Les thèmes de recherche sont l’architecture, la conception, la protection des
réseaux, le choix du continu ou de l’alternatif, etc. en vue de maximiser la performance et la
sécurité et de minimiser les coût globaux.
L’architecture classique de réseau électrique des navires d’aujourd’hui est illustrée sur
la Fig.I. 3. Ce réseau comporte :
• Plusieurs sources d’énergie électrique (diesel - alternateur) en 6.6 kV, le
nombre de sources est donc défini par les besoins du navire.
• Un tableau moyenne tension 6.6 kV, 60 Hz
• Un tableau basse tension 440 V, 60 Hz
Dans ce réseau, les moteurs électriques de fortes puissances sont connectés au tableau
moyenne tension. Les autres charges (réseau de bord) sont connectées au réseau basse tension
Diesel Diesel Diesel Diesel

Alternateur Alternateur Alternateur Alternateur
Tableau MT 6.6 kV, 60HZ
MA MA
Autres Autres
charges charges Propulseur d’étrave
Propulseur d’étrave
et compresseurs AC AC et compresseurs
AC AC
Filtres Filtres
harmoniques harmoniques
MS MS
Moteur de propulsion Moteur de propulsion

Tableau BT 440V, 60HZ
Charges Charges
Servitudes de bord Servitudes de bord
Fig.I. 3: Architecture classique d’un réseau électrique de navire [COU00]
21
On constate que la prolifération des étages d’entrée des chaînes de conversion

électromécaniques crée des harmoniques à basses fréquences. Il y a donc un filtre qui permet
d’assurer des taux de distorsion inférieur à 5% et de limiter les amplitudes des courants
harmoniques sur le bus continu.
Après avoir analysé qualitativement les avantages et les inconvénients des réseaux
alternatifs et continus, [COU00] a proposé une autre architecture de type mixte entre alternatif
et continu. Cette architecture (Fig.I. 4) suggère d’utiliser le réseau continu pour les fortes
charges. Le bus continu permet de gérer le freinage électrique et le stockage pour économiser
de l’énergie. La nouvelle architecture a plusieurs avantages pour la masse, les harmoniques et
le coût économique.
Diesel Diesel Diesel Diesel

Alternateur Alternateur Alternateur Alternateur
Réseau 6.6 KV, 60HZ
MAS MAS
Réseau 400 V, 50HZ Propulseur d’étrave

Propulseur d’étrave
et compresseurs et compresseurs
Charges Charges
Servitudes de bord Servitudes de bord

AC AC
DC DC
C C
Réseau continu 5kV
DC DC DC DC
C Stockage C Stockage
AC AC AC AC
C DC C DC
MS Freinage MS Freinage
Moteur de propulsion Moteur de propulsion
Fig.I. 4 : Architecture de réseau électrique mixte AC-DC dans d’un navire [COU00]
22
III. Evolutions des réseaux électriques dans les avions Airbus

Comme dans tous les véhicules, la puissance électrique évolue dans les avions. Cette
évolution a été lente et elle est passée par les étapes suivantes [LAN04]:
• Dans les années 1950, le premier avion long courrier (le Carevelle SE 210, 90
passagers) consommait environ 27 kW avec une distribution 28V en continu. Les commandes
étaient hydrauliques et mécaniques
• Début 1970, l’Airbus A300 est apparu avec 260 passagers. La puissance
électrique installée est de 250 kVA. On utilise un réseau alternatif 115V, 400 Hz pour les
charges de forte puissance, le choix de ce réseau est illustré dans [VAL91].
• En 1980, l’Airbus A320, avec une puissance installée de 275 kVA, est
commercialisé. Il introduit un grand changement : les commandes sont électriques en utilisant
le système « Fly by Wire » et l’avionique à bord devient entièrement numérique.
• En 2007, le grand porteur Airbus A380 est commercialisé. Il peut transporter
555 passagers avec une puissance électrique installée de 900 kVA ! Dans cet avion, un des
trois circuits hydrauliques est remplacé par un circuit de puissance électrique. Dans la
génération précédente, les actionneurs étaient à puissance hydraulique mais leurs commandes
étaient électriques. Avec l’A380, un tiers des actionneurs est à puissance électrique.
III.1. De l’avion à puissance hydraulique à l’avion « plus électrique »
Nous allons détailler ici, de façon générale, les réseaux électriques des avions
commerciaux de type Airbus : les avions à puissance hydraulique et les avions « plus
électrique » [LAN04]-[LAN06].
III.1.1. L’avion à puissance hydraulique
La Fig.I. 5 représente l’architecture du réseau électro-hydraulique d’un biréacteur de
type Airbus A330. Cette architecture est proche de celle des autres avions de la gamme. Dans
cette gamme, les actionneurs des commandes de vol sont à puissance hydraulique mais on
effectue électriquement les commandes.
Dans cette architecture, il y a trois circuits hydrauliques H1, H2, H3 pour actionner les
commandes de vol (gouvernes, volets et becs), les systèmes de freinage et les trains
d’atterrissage. C'est-à-dire que les actionneurs sont alimentés par ces trois circuits
hydrauliques. On peut remarquer que chaque circuit hydraulique est complètement
indépendant, les actionneurs se repartissent sur les trois circuits hydrauliques. Ceci permet de
conserver une partie des commandes de vol en cas de problème sur un ou deux circuits et
d’augmenter le niveau de sécurité de l’avion. La RAT (Ram Air Turbine) est une éolienne qui
se déploie en secours, elle alimente un des 3 circuits hydrauliques.
Le réseau électrique comporte deux parties : alternative triphasé (AC 115/200V- 400
Hz) - continue (DC bus 28 V). Les gros consommateurs sont connectés à la partie alternative,
les petits consommateurs électroniques sont alimentés par la partie continue.
Toute la partie alternative est alimentée par deux générateurs IDG (Integrated Drive
Generator). La partie continue est obtenue à partir de la partie alternative, à l’aide des
convertisseurs AC/DC (ici, c’est un transformateur-redresseur qui est appelé TRU
23
(Transformer-Rectifier Unit : un convertisseur AC/DC comporte un transformateur et un

système de redresseur)
Le bus AC ESS qui est réservé à l’alimentation des équipements «essentiels». En
secours, ce bus est alimenté par les sources de secours suivantes :
• le générateur CSM/G (Constant Speed Motor/Generator) lui-même alimenté
par le circuit hydraulique de secours H2,
• les batteries (BAT 1, BAT 2) sur le bus DC ESS via un onduleur (STAT
INV).
Engine 1 Engine 2
Pump RAT Pump
IDG 1 IDG 2
Pump Pump
Accu Accu
Accu
APU EXT
CSM/G
Blue Green GEN Yellow
H1 H2 H3
AC BUS 1 AC BUS 2
AC ESS BUS
TR 1 TR 2 APU TR
ESS TR
STAT INV
DC ESS BUS
DC BUS 1 DC BUS 2 APU

START
BAT 1 BAT 2
Accu : Accumulateur qui permet d’éviter les variations de pression sur les circuits hydrauliques
H1, H2, H3: Circuits hydrauliques
RAT (Ram Air Turbine) : Eolienne de secours
Pump : Générateur hydraulique
APU (Auxiliary Power Unit): Génération auxiliaire pour le démarrage des moteurs en autonome
BAT: Batteries
CSM/G (Constant Speed Motor/Generator): Générateur électrique de secours
ESS: Circuits électriques pour alimenter les équipements «essentiels»
IDG (Integrated Drive Generator) : Générateur électrique
START INV: Onduleur
TR (Transformamer Rectifier): Convertisseur AC/DC qui utilise un transformateur et un redresseur
Fig.I. 5: Architecture du réseau électro -hydraulique d’un biréacteur de type Airbus A330 [LAN06]
24
III.1.2. L’avion « plus électrique »

L’architecture de l’A380 est nettement différente de celle des anciens avions. C’est un
avion de type « plus électrique ». Cet avion utilise des nouvelles technologies plus avancées :
• Un tiers des actionneurs des commandes de vol sont à puissance électrique
• Le secours est totalement électrique
• La fréquence est variable sur le réseau à courant alternatif.
Engine 1 Engine 2 Engine 3 Engine 4
Elec RSVR RSVR Elec

Pump Pump Pump Pump
Pump Green Yellow Pump
VFG 1 VFG 2 VFG 3 VFG 4
Pump Pump Pump Pump
EXT Accu EXT EXT Accu EXT

1 2 APU APU 3 4
RAT
GEN1 GEN2
AC BUS 1-1 AC BUS 1-2 AC BUS 2-3 AC BUS 2-4
AC ESS BUS (9XP) AC ESS BUS (4XP)

APU TRU
BCRU 1 TRU 2 BCRU 2
BCRU ESS
STAT INV
EHA (1) EHA (2)
DC ESS BUS
APU
START
HOT BUS ESS

DC ESS 2
BAT ESS
DC BUS 1 DC BUS 2 DC BUS 6
HOT BUS 1 HOT BUS 2

BAT 1 BAT 2
Accu : Accumulateur qui permet d’éviter les variations de pression sur les réseaux hydrauliques
H1, H2 : Circuits hydraulique
RAT (Ram Air Turbine) : Eolienne secours
Pump : Générateur hydraulique
APU (Auxiliary Power Unit): Génération auxiliaire pour le démarrage des moteurs en autonome
BAT: Batteries
BCRU (Battery Charge Rectifier Unit): Convertisseur AC/DC qui permet d’alimenter les bus DC et de
gérer la charges des batteries
CSM/G (Constant Speed Motor/Generator): Générateur électrique de secours
ESS: Circuits électriques pour alimenter les équipements «essentiels»
EHA : Actionneur electro-Hydrostatiqie
VFG (Variable Frequency Starter Generator) : Générateur électrique à fréquence variable
START INV: Onduleur
Fig.I. 6: Architecture du réseau électro -hydraulique de type Airbus A380 [EDY08]
25
La Fig.I. 6 présente l’architecture du réseau électro-hydraulique d’un Airbus A380. Il

faut noter que dans le cadre de cette architecture, un tiers des actionneurs de commande de vol
sont à puissance électrique alimentés par des bus AC. Le RAT (Ram Air Turbine) est
connecté directement au réseau à courant alternatif. Les actionneurs des commandes de vol à
puissance hydraulique sont remplacés par des EHA (Electro-Hydrostatic Actuator) et EMA
(Electro-Mechanical Actuator) (Fig.I. 7)
Une grande différence entre le réseau électrique de l’A380 avec les avions précédents
d’Airbus est que la fréquence du courant alternatif est variable entre 360 et 800 Hz. On utilise
pour cela le nouveau générateur VFG (Variable Frequency Generator) qui permet de
supprimer la partie de régulation de vitesse. Cette partie est lourde et sensible. En supprimant
cette régulation, la masse de l’avion diminue. Par contre, les équipements doivent supporter
des variations de fréquence importantes. Ce problème peut être résolu facilement aujourd’hui
par le développement de l’électronique de puissance en utilisant des onduleurs qui sont
alimentés par un bus continu 270 VDC. La Fig.I. 7 donne un exemple de cette alimentation :
L’EHA est un actionneur pour le déplacement des surfaces des commandes de vol.
Fig.I. 7: Réseau électrique alimentant un EHA, actionneur principalement utilisé pour déplacer les
surfaces des commandes de vol [LAN05]
III.2. Vers un avion de plus en plus électrique
L’augmentation de la consommation d’énergie électrique n’arrête pas. L'objectif est à
moyen terme de rationaliser l'énergie à bord pour aller vers un avion de plus en plus
électrique. On peut remarquer que dans les avions classiques, il y a le système dit « bleed »,
qui permet de prélever de l’air au niveau de la turbine et qui sert ensuite à la pressurisation de
la cabine, au dégèlement des ailes, etc. L’idée maintenant est de remplacer ce système, qui est
pour le moment pneumatique, par un système électrique. L’avion de ce type est appelé «avion
bleedless». La puissance électrique consommée par un «avion bleedless» peut atteindre 1 MW
[BIL08].
Dans l’A380, chaque charge de puissance (de type, par exemple, EHA ou EMA) est
connectée au réseau alternatif 115 V à fréquence variable par des convertisseurs AC/DC.
26
Avec l’avion encore plus électrique, l’idée d’Airbus (pour l’A30X) est aussi de chercher un
gain de masse en [OPT06] :
• Augmentant la tension alternative pour aller vers 230 V;
• Alimentant directement toutes les fortes charges par un bus continu: il s’agit de
la structure dite HVDC.
IV. Conception d’un réseau électrique embarqué

IV.1. Pourquoi faire la conception des réseaux électriques embarqués ?
Avec les évolutions dans les réseaux électriques embarqués, la création de nouvelles
architectures des électriques embarquées est indispensable. Ce travail de création, d’invention
nécessite de suivre un processus de conception rigoureux, mariant expérience, expertises,
outils informatiques, prototypes afin d’obtenir la meilleure solution possible en termes de
masse, de coût, de fiabilité tout en respectant les contraintes qu’il s’impose. C’est à ce prix
qu’un avionneur réussira le pari de la mutation des systèmes embarqués dans ces avions et in
fine le pari commercial de la compétitivité.
IV.2. Enjeux de la conception
La conception est une activité de choix de structure, de technologies (innovantes ou de
composition de technologies existantes), de dimensionnement pour atteindre les objectifs et
les contraintes données sur le prix, la masse, la qualité de l’énergie…
IV.3. Processus de conception
IV.3.1. Formulation de la conception
Aujourd’hui, l’enjeu de recherche est de trouver des méthodes et des outils qui aident
le concepteur à faire la conception d’un système électrique embarqué de façon, si possible,
plus simplifiée et plus rapide. En regardant les travaux sur la conception en génie électrique,
on remarque que certaines démarches sont identiques. Les travaux de [DEL03]-[WUR96]
consistent à formuler certaines étapes de manière plus claires et séparées. Cette formulation
permet de décomposer un processus de conception en différentes étapes et d’identifier les
relations entres ces étapes. Ceci autorise à modifier chacune des étapes sans tout modifier.
En plus, un des objectifs dans la recherche sur la conception est d’automatiser la plus
grande partie possible du processus de conception. Grâce à certaines formulations établies, il
y a différents outils qui ont été développés pour l’aide à la conception dans le génie électrique.
Ainsi l’idée de nos travaux est de formuler génériquement ce que peut-être un problème de
conception d’un réseau électrique embarqué. Grâce à cette formulation, nous proposerons des
méthodes et des outils génériques pour résoudre le problème posé.
27
IV.3.2. Processus de conception

Le processus de conception peut être défini par différentes étapes comme cela est
proposé sur la Fig.I. 8
Définition du
cahier des charges
Choix de structure et des

composants
Analyse
Dimensionnement
des échecs
Analyse
Vérification
des échecs
Solution
Fig.I. 8: Processus de conception
La première étape de la conception d’un système électrique embarqué est la définition
du cahier des charges qui précise le réseau étudié et analyse les besoins. Ces besoins sont liés
à la fabrication et à l’intégration du réseau (masse, volume) ou à des contraintes de service
(limites opérationnelles sur la tension et la fréquence, sûreté, fiabilité, pertes…). Le cahier
comporte les objectifs à atteindre par la conception et les contraintes à respecter.
A partir du cahier des charges, il faut choisir une architecture parmi les différences
topologies possibles du système étudié. Par exemple, si nous étudions le canal de puissance
d’un avion, il existe différentes architectures en fonction du nombre de ponts redresseurs
(architecture dite 6, 12,18 pulses), ou de la présence ou non d’une inductance d’interphase
(voir chapitre III).
Une fois l’architecture choisie (par exemple un canal de puissance 12 pulses qui
comporte un transformateur, un redresseur, une inductance d’interphase et un filtre), il reste à
choisir le type de composant. Ainsi faut-il utiliser un auto-transformateur ou un
transformateur normal ? Quel convertisseur sélectionner ? Quel filtre utiliser ? Etc.
Ensuite, les composants sont passés à l’étape de dimensionnement. A cette étape, le
concepteur doit déterminer les grandeurs géométriques et physiques du système et des
composants intégrés pour obtenir la solution qui soit la meilleure selon le cahier des charges.
28
Cette solution est vérifiée par la simulation complète des composants dimensionnés ou
par la réalisation d’un prototype. Ceci permet aussi de vérifier les contraintes du cahier de
charges qui n’ont pas été prises en compte dans la phase de dimensionnement.
Chaque échec est analysé et implique des changements sur l’architecture, le choix des
composants, afin de pouvoir continuer.
IV.3.3. Complexités et difficultés de la conception des réseaux électriques
embarqués
La conception des systèmes électriques embarqués présente aujourd’hui de plus en
plus de complexités et de difficultés. Ces complexités et difficultés sont liées à :
• La complexité des composants : Les systèmes électriques embarqués
contiennent différents composants hétérogènes et multi physiques. Les composants sont
souvent des batteries, des convertisseurs électromagnétiques, des convertisseurs
d’électronique de puissance, des composants passifs, des commandes … Ces composants
assurent les différentes fonctions du système : alimentation, conversion, transmission, filtrage
…
• L’interaction forte entre des composants : Il existe des couplages forts entre
des composants du système. Par exemple, chaque composant magnétique comporte une partie
inductive qui influe sur la capacité du réseau à filtrer les harmoniques. Ainsi les harmoniques
ne dépendent pas seulement de filtre, conçu dans le but de les atténuer, mais elles dépendent
aussi d’autres composants.
• Le fait qu’il existe plusieurs grandeurs à optimiser : L’industriel et le
chercheur veulent avoir des réseaux électriques embarqués qui sont meilleurs que ceux
existants. Les objectifs à atteindre, dans ces différents domaines, sont :
Energétiques : Maximiser le rendement, la consommation,
l’automonie et diminuer les pertes.
Dimensionnels : Minimiser la masse, le volume
Economiques : Diminuer le coût de production et de fonctionnement
• Le fait qu’il existe différents types de contraintes à respecter : Il faut
respecter plusieurs contraintes de fabrication et de fonctionnement du système et des
composants intégrés. Les contraintes sont statiques comme la puissance transmise ou les
harmoniques ou dynamiques.
V. Optimisation – Une approche classique pour le dimensionnement dans

la conception
V.1. Optimisation systémique du système
Le dimensionnement par optimisation est une méthode pour résoudre un problème
complexe en raison d’un grand nombre de composants, de grandeurs à optimiser et de
différents types de contraintes à respecter. Il est, dans ce cas, nécessaire d’utiliser l’approche
systémique pour résoudre les interactions fortes entre les composants. C’est une approche
bien développée au Laplace à travers les différents travaux de [REG03]- [SAR06] …
29
Cette approche consiste à transformer un problème de dimensionnement physique

(réseau électrique embarqué) en un problème d’optimisation mathématique qui est représenté
par :
Min (or Max) [ f a ( X )] ( X = ( X i ) i =1.. N , a = 1.. A)

 X min i ≤ X i ≤ X max i 1≤ i ≤ N
 Pr.I. 1
g
 j ( X ) = 0 1 ≤ j ≤ L (1)
h ( X ) ≤ 0 1 ≤ k ≤ M (2)
 k
Avec : Min (or Max) [ f a ( X )] a = 1.. A les A fonction objectifs ;
X un vecteur de dimension N contenant les variables du problème ;
(1) les contraintes d’égalité ;
(2) les contraintes d’inégalité.
Le vecteur X représente les paramètres caractéristiques des composants, ou le système
à dimensionner. Ces paramètres sont les grandeurs géométriques et physiques du système et
des composants intégrés. On cherche la valeur des paramètres qui permette de satisfaire le
cahier des charges. Les fonctions fa sont les objectifs qui sont posés par le concepteur. Les
fonctions gj et hk sont les contraintes d’égalité et d’inégalités à respecter. Le problème
d’optimisation (Pr.I.1) peut être résolu par différents algorithmes qui sont détaillés dans le
chapitre II.
V.2. Formulation du problème de dimensionnement optimal
Grâce à la formulation du problème mathématique d’optimisation, on peut remarquer qu’il
faut avoir trois types d’information pour optimiser un réseau électrique embarqué :
• Un modèle de conception : il permet d’évaluer les fonctions objectifs et les
contraintes du problème défini dans le cahier des charges.
• Un algorithme d’optimisation : il permet de résoudre un problème
d’optimisation.
• Un ensemble de spécifications : ces spécifications définissent le contexte du
dimensionnement optimal : les objectifs, les paramètres de conception avec leurs variations,
les objectifs, les contraintes.
La Fig.I. 9 présente les trois informations et leurs interactions, dans un processus de
dimensionnement optimal.
30
Specifications
Jeu de valeurs essayé
Modèle de
conception Algorithme de
dimensionnement
Jeu de valeurs calculé
Boucle d’optimisation
Résultat
Fig.I. 9: Processus de dimensionnement optimal

V.3. Difficultés dans la formulation du problème d’optimisation
La formulation du problème de dimensionnement optimal n’est pas simple. On a
besoin des compétences de concepteur pour construire les informations nécessaires : modèle
de conception, algorithme d’optimisation, spécifications [SAR06].
• Modèle de conception
Le modèle de conception doit permettre de calculer la valeur des fonctions objectifs et
les contraintes du problème défini dans le cahier des charges.
Dans le cas d’un réseau embarqué, il comporte souvent différents composants. Comme
on l’a évoqué dans les paragraphes ci-dessus, ces composants sont hétérogènes et multi-
physiques. Il y a donc deux difficultés :
Le concepteur doit être capable de modéliser le système et les composants
intégrés. Le concepteur doit donc avoir des connaissances dans différents
domaines physiques et technologiques.
C’est très difficile de prendre en compte tous les phénomènes physiques
existant au sein des éléments du système ainsi que leurs couplages et leurs
interactions avec l’environnement. Le concepteur doit donc être capable de
fixer un certain niveau d’hypothèses pour limiter la complexité.
Une autre difficulté concerne le choix du modèle. En pratique, le modèle est plus exact
si le temps de calcul (temps pour calculer la valeur des paramètres à la sortie à partir valeur
des entrées) est grand. Mais cela se fera au prix d’un temps d’optimisation plus grand. Il faut
donc choisir un modèle qui présente un compromis entre la précision et le temps de calcul.
31
• Spécifications
Les spécifications définissent le contexte du dimensionnement optimal : les paramètres
de conception avec leurs variations, les objectifs, les contraintes. Normalement, les objectifs
sont fixés par le cahier des charges du problème de conception. Le concepteur doit choisir les
paramètres de conception et les contraintes.
Les paramètres de conception sont les paramètres géométriques et physiques du
système et des composants intégrés qui sont modifiés dans le processus d’optimisation pour
atteindre les objectifs. Ce n’est pas simple de savoir quels sont les paramètres influents sur les
dimensions optimales. Le concepteur doit choisir des paramètres de conception qui sont un
compromis entre la complexité du problème d’optimisation et l’amélioration des solutions qui
seront trouvées par rapport aux solutions existantes (si le nombre de paramètres de conception
est grand, le problème d’optimisation sera plus complexe mais on a plus de chances d’avoir
une solution qui sera plus performante).
Après avoir fixé les paramètres de conception, il est nécessaire de définir les variations
de ces paramètres. Il faut avoir une idée des espaces de variation : suffisamment grands pour
que les algorithmes trouvent de nouvelles solutions, limités pour avoir un temps
d’optimisation raisonnable surtout avec les algorithmes de type évolutionnaire
La définition des contraintes est un travail important. Une partie des contraintes est
définie dans le cahier de charges du problème de conception (ex. puissance transmise du
réseau). Mais en cours de conception et de modélisation, de nouvelles contraintes apparaissent
comme :
Les contraintes liées au dimensionnement des composants (ex. si on
dimensionne une inductance, il faut prendre en compte les contraintes qui limitent le courant
dans une section de cuivre ou qui limitent l’induction dans le noyau magnétique),
Les contraintes liées aux interactions entre des composants (ex. les
couplages entre des composants)
…
• Algorithme d’optimisation
Après avoir établi la modélisation et la spécification du problème d’optimisation, il
faut choisir l’algorithme d’optimisation qui sera utilisé pour trouver la solution optimale. Le
modèle de conception contient souvent une partie de simulation numérique qui peut donner
des difficultés lors des calculs de dérivées et conduire à un temps de calcul trop long pour
chaque itération. Ces difficultés peuvent être de grands obstacles à l’utilisation des
algorithmes d’optimisation. L’algorithme choisi doit être capable de donner la solution de
dimensionnement en un temps d’optimisation raisonnable pour éviter un coût de conception
trop élevé.
32
VI. Automatisation du processus de conception et importance du

concepteur
VI.1. Problème bien posé
VI.1.1. Définition
Selon la définition de [WUR06], c’est un problème dont la résolution peut-être
automatisée par l’ordinateur. Il peut éventuellement être compliqué, c’est à dire comporter
beaucoup d’équations, de variables de contraintes, mais il reste solvable par un algorithme
implanté dans un ordinateur.
VI.1.2. Exemple
Un exemple de problème bien posé est le dimensionnement optimal d’un composant
pour lequel on peut bien définir et former le modèle de conception, les spécifications (les
paramètres de conception et leurs variations, les contraintes) et l’algorithme d’optimisation.
VI.1.3. Méthode pour résoudre
Le problème de dimensionnement optimal bien posé est constitué par les différentes
informations que nous avons identifiées précédemment : le modèle de conception, les
spécifications, l’algorithme d’optimisation. Ces informations sont basées sur des symboles,
des variables, des chiffres bien définis. Il reste à résoudre ce problème bien posé. En utilisant
l’optimisation, qui est une branche de la théorie de décision (Symbolic Information
Processing Approche) [WUR06], on peut automatiser le processus de dimensionnement.
VI.2. Problème mal-posé
VI.2.1. Définition
C’est un problème qu’un ordinateur ne sait pas résoudre parce que les données sont
incomplètes, ambiguës, non fiables pour formuler le problème d’optimisation. Par exemple, il
y a différentes approches possible pour :
la modélisation d’une grandeur dans un composant,
le choix de paramètres de conception,
les caractéristiques des matériaux qui peuvent ne pas être complètement
connues.
Dans ce cas, il existe des choix et des hypothèses que l’ordinateur ne sait pas faire :
typiquement construire le modèle en choisissant les phénomènes qui seront modélisés et ceux
qui ne seront pas modélisés, quels sont les objectifs, quels sont les limites des contraintes …
C’est un problème complexe, car il implique des choix et des prises de risque qu’on ne sait
pas automatiser dans un algorithme implanté dans un ordinateur. Ce n’est qu’un concepteur
qui peut faire ces choix a priori et gérer les risques inhérents à ces choix.
33
VI.2.2. Exemple
On demande de faire la conception d’un convertisseur de puissance AC/DC. On ne
donne pas de structure de convertisseur (ATRU3 ou TRU4).
VI.2.3. Méthode pour résoudre
Pour résoudre un problème mal posé, [WUR08] identifie qu’il existe deux types de
stratégie : d’une part les stratégie rationnelles et d’autres part les stratégies heuristiques,
empiriques et opportunistes. Dans nos travaux, nous utilisons les stratégies de type rationnel.
Selon [WUR08], une stratégie rationnelle consiste à utiliser des approches de
résolution de problème bien posé implantées dans l’ordinateur. Autrement dit, on a pour
objectif de se ramener à un ou plusieurs problèmes bien posés. Ceci va impliquer de faire un
choix et des hypothèses. La méthode rationnelle permet de transformer un problème complexe
mal posé en un ou en une suite de problème(s) compliqué(s). Ce(s) problème(s) peut
(peuvent) être plus ou moins facilement résolu(s) par des procédures automatiques
implantables dans des ordinateurs.
Pour cela, le concepteur doit intervenir pour faire ces choix et hypothèses, ce qui est
un problème complexe, car fait dans l’incertitude, en n’ayant pas toutes les données et en
faisant des choix qui impliquent une prise de risque. Typiquement si je choisis une structure
ATRU, je fais un choix qui implique une part de risque, puisqu’il existe peut-être un autre
choix plus judicieux. Si je choisis de ne pas modéliser un phénomène (comme par exemple les
pertes supplémentaires dans l’autotransformateur), je prends le risque d’aller vers des
solutions où ces phénomènes deviennent importants et que je ne m’en rende pas compte
Les choix et les hypothèses sont utilisés à toutes les étapes de la conception (et bien
entendu aux étapes de dimensionnement optimal). Par exemple, pour traiter le problème
initial mal posé de conception d’un convertisseur AD/DC, on est amené, pour se ramener à un
problème bien posé, de faire des choix et des hypothèses sur :
• L’architecture : Choix sur les structures : TRU ou ATRU, 6 ou 12 pulses ...
• Les modèles de conception : On propose des hypothèses sur les phénomènes
qu’on peut négliger : par exemple, on suppose que les harmoniques haute fréquence (>15kHz)
sont bien filtrées par la longueur de la ligne. En plus, il faut choisir les phénomènes à
modéliser et à ne pas modéliser (thermique, CEM, …). Ensuite, on choisit le niveau de
modèle pour modéliser les phénomènes choisis : analytique, numérique.
• Spécifications : Quels paramètres faut-il sélectionner comme paramètres de
conception. Il faut proposer des hypothèses pour définir l’espace de la variation de ces
paramètres. On va choisir des contraintes qui seront prises en compte dans le processus de
dimensionnement et des contraintes qui seront traitées lors du post-dimensionnement..
Finalement, nous synthétisons tout cela par deux figures (Fig.I. 10, Fig.I. 11) qui
présentent les rôles respectifs des concepteurs et des outils dans la conception.
3
ATRU (Auto-Transformer- Rectifier Unit): un convertisseur AC/DC comporte un auto-transformateur et un
système de redresseur
4
TRU (Transformer- Rectifier Unit): un convertisseur AC/DC comporte un transformateur et un système de
redresseur
34
Problème bien posé
Automatisation
Solution
Fig.I. 10: Automatisation dans la recherche de solution pour les problèmes de conception bien posés
Problème mal posé
Choix de structures
Choix d’hypothèses
Prises de risque
En cas de solution non satisfaisante
Problème bien posé
Automatisation
Analyse des solutions
Solution
Fig.I. 11: Rôle du concepteur dans les problèmes de conception mal posés
35
VII. Proposition des stratégies rationnelles pour résoudre des problèmes

mal posés
VII.1. Stratégie rationnelle pour aider à formuler les limites de variation des
paramètres de conception
Par exemple, le problème mal posé est : on ne connaît pas a priori les limites de
variation des paramètres de conception. On montrera qu’on peut s’appuyer sur des
optimisations avec des modèles simplifiés pour trouver des limites de variation des
paramètres de conception.
La stratégie rationnelle sera ici de se ramener à un problème d’optimisation simplifié
(qui sera donc un problème bien posé car il admet des solutions dont on peut automatiser la
recherche par l’ordinateur), et les solutions de ce problème vont nous aider à transformer le
problème initial mal posé (on ne sait pas poser les limites des paramètres de conception) à un
problème bien posé (je peux proposer des limites de variation aux paramètres de conception).
Cette stratégie sera développée et appliquée dans les parties V.3.3, V.3.4 du chapitre III.
VII.2. Stratégie rationnelle pour aider à choisir les spécifications de composant
Le problème mal posé est : on ne sait pas choisir les spécifications d’un composant du
système, par exemple le courant de coupure du disjoncteur
La stratégie rationnelle ici consiste à ramener ce problème mal posé en un problème
solvable par ordinateur qui va aider à choisir cette grandeur que l’on ne sait pas choisir. Ici la
stratégie va être de tracer une courbe de Pareto qui donnera les compromis possibles entre les
valeurs de cette grandeur et la masse : c’est un problème solvable par optimisation par
l’ordinateur à condition d’avoir défini les objectifs, les autres contraintes, et les hypothèses
des modèles que l’ordinateur va explorer. Nous invitons les lecteurs à se reporter à la partie III
du chapitre IV pour voir clairement cette stratégie.
VII.3. Stratégie rationnelle pour aider à choisir les limites de normes
On sait que pour intégrer des composants dans un système, ceux-ci doivent respecter
certaines normes. Normalement, si la norme est stricte pour les composants, cela se fera au
détriment d’objectifs systèmes globaux (comme la masse, les pertes…). Si la norme est plus
lâche, cela sera au profit des objectifs systèmes globaux de type masse ou perte, mais au
détriment de critères comme la qualité réseau. Il faut trouver un juste équilibre entre les deux.
Le problème initial mal posé est : quelles sont les normes à respecter pour les
composants intégrés dans les réseaux embarqués.
La stratégie rationnelle consiste à transformer cette question en un problème bien posé
qui admettra des solutions qui vont aider le concepteur à choisir la norme qu’il ne sait pas
choisir à priori. Ici la stratégie va être de tracer une courbe de Pareto qui donnera les
compromis possibles entre les valeurs de la norme à respecter et la masse. Comme pour la
stratégie précédent, le nouveau problème est bien posé et on peut le résoudre à l’aide d’outils
informatiques de type optimisation. Cette stratégie sera détaillée dans la partie II du chapitre
IV.
36
VIII. Travaux de recherche sur la conception des réseaux électriques

embarqués
En conclusion, nos travaux sur la méthodologie de la conception des systèmes
embarques sont divisés en trois parties :
• Formulation d’un problème de conception des systèmes embarqués : En
effet, on ne conçoit pas un réseau d’avion comme un réseau de la voiture. Mais les objectifs,
les contraintes, et la modélisation sont semblables. Nous proposerons une approche générique
qui permet de concevoir un réseau embarqué en intégrant les grandeurs sur la masse, le coût,
les harmoniques, les dynamiques. Notre approche permettra de créer le modèle de conception,
les spécifications et de choisir l’algorithme d’optimisation.
• Outil de conception : Nous utiliserons les outils informatiques pour intégrer la
modélisation des systèmes électriques embarqués et les algorithmes d’optimisation. Ces outils
permettent de simuler et d’optimiser automatiquement des systèmes électriques embarqués.
Nous choisirons l’environnement Cades (voir partie IV du chapitre II) pour implémenter ces
outils et pour faire l’optimisation des systèmes électriques embarqués.
• Proposition des stratégies rationnelles pour résoudre des problèmes ma
posés : Nous proposons des stratégies rationnelles pour résoudre les problèmes mal posés qui
se rencontrent souvent dans la conception des réseaux embarqués.
Afin d’illustrer ces trois aspects méthodologiques, nous appliquerons notre démarche
au dimensionnement optimal d’un canal de puissance d’un réseau de bord nouvelle génération
d'un avion de type «bleedless». Ce canal de puissance est la chaîne de conversion AC/DC qui
est alimentée par le générateur VFG et qui fournit la puissance au bus continu (Fig.I. 12). Le
choix de cette application a été fait car elle fait partie des structures transitoirement
envisagées par Airbus pour l’avion tout électrique.
Gen
VFG
Canal de
AC/DC Autres charges
puissance
Bus DC commun 540VDC
Gros consommateurs
En parallèle sur le bus DC
commun
Fig.I. 12: Canal de puissance installé dans le réseau électrique du futur avion de type «bleedless».
37
Chapitre II
Modélisation et optimisation dans le

dimensionnement optimal d’un système
électrique embarqué
Chapitre II : Modélisation et algorithmes d’optimisation dans
le dimensionnement optimal d’un système électrique embarqué
I. Introduction
Ce chapitre présente nos méthodes de modélisation et les algorithmes d’optimisation
qui seront utilisés pour le processus de dimensionnement optimal d’un réseau électrique
embarqué. L’ensemble sera implémenté sous l’environnement Cades [DEL07] et l’outil de
simulation Saber [SAB].
Le chapitre comporte trois parties :
• La première partie présentera la modélisation pour le dimensionnement optimal
des systèmes électriques embarqués. Cette partie présente les modèles (analytiques,
numériques…) qui peuvent être utilisés. Nous analyserons les avantages et les inconvénients
de chacun. Nous détaillerons aussi les grandeurs utiles au dimensionnement (masse, énergie,
harmonique, dynamique,..) et les approches nécessaires à l’obtention des valeurs de ces
grandeurs utiles.
• La deuxième partie présentera des algorithmes d’optimisation bien adaptés
pour le dimensionnement optimal dans le cadre de notre étude. Nous détaillerons les
configurations des ces algorithmes. Nous proposerons des développements sur ces
configurations et sur la structure même des algorithmes pour obtenir les meilleures
performances dans le cas d’optimisation des systèmes électriques embarqués.
• La dernière partie présentera les principes de fonctionnement de Cades et Saber
qui seront les outils d’aide utilisés pour le dimensionnement optimal des systèmes électriques
embarqués
II. Modélisation pour le dimensionnement des systèmes embarqués

Une fois l’architecture et les composants intégrés au système bien déterminés, il faut
un modèle pour dimensionner le système. Le modèle doit notamment être capable d’évaluer
quantitativement, en fonction des grandeurs descriptives du système, l’expression des
variables relatives au fonctionnement, en particulier celles associées au cahier des charges.
Pour bien réussir la modélisation d’un système, il faut connaître :
• Les types de modèles utilisés en CAO (conception assistée par ordinateur),
• Les grandeurs utiles dans le dimensionnement,
• Les modèles qui sont les mieux adaptés aux besoins.
II.1.Types de modèles utilisés en CAO
Un modèle est défini par n entrées E et par m sorties S. Les entrées E=( E1 , E 2 ,.., E n )
sont indépendantes entre elles. Les sorties S=( S1 , S 2 ,.., S m ) sont calculées en fonction des
valeurs des entrées. Le mode de calcul permet de distinguer quatre types de modèles en CAO.
II.1.1. Les quatre types de modèles utilisés en CAO
II.1.1.1. Analytique
Le modèle est analytique si toutes les sorties sont calculées en fonction des entrées
grâce à des fonctions mathématiques dont on dispose de l’expression symbolique :
40
S i = f i ( E1 , E 2 ,.., E n )
avec i = 1..m Eq II. 1
Par exemple, le modèle analytique pour calculer la valeur du courant traversant une
résistance à partir du rayon D du conducteur, de sa longueur L et de la tension appliquée U à
ses bornes est donnée par :
L
R = ρ.
π .( D / 2)2
U
I=
R
Les modèles analytiques peuvent comprendre quelques centaines d’équations et de
paramètres.
II.1.1.2. Semi-analytique
Le modèle est semi-analytique s’il comporte deux parties : La première partie est
constituée par m1 sorties calculées directement à partir des entrées par des fonctions
analytiques. La deuxième partie est constituée par les (m-m1) sorties calculées par une
résolution des équations implicites qui sont les équations mathématiques reliant les
paramètres de sorties S m1+1 , S m1+ 2 ,.., S m aux paramètres d’entrées E1 , E2 ,.., En .
S i = f i ( E1 , E 2 ,.., E n ) i = 1..m1
 Eq II. 2
 g j ( S m1+1 , S m1+ 2 ,.., S m , E1 , E 2 ,.., E n ) = 0 j = 1..m − m1
Par exemple, si l’on considère la relation entre la sortie S1 et l’entrée E1 donnée par :
g1 = e S1 + cos( S1 + E1 ) = 0 , on constate que l’on ne peut pas déterminer explicitement la valeur de
S1 en fonction de E1 . L’équation g1 = 0 est une équation implicite.
Pour le dimensionnement des circuits magnétiques, on utilise souvent des approches
du type réseaux de réluctances non linéaires. Ce sont des modèles semi-analytiques
nécessitant la résolution d’équations implicites [PEL06].
Pour résoudre les équations implicites intégrées dans un processus d’optimisation, il
existe deux méthodes [PEL06]. La première méthode consiste à transformer chacune des
équations implicites :
g j ( S j + m1 , E1 , E 2 ,.., E n ) = 0 ( j = 1..m − m1 ) Eq II. 3
en une contrainte fictive qu’il faudra annuler pendant l’optimisation :
cf j = g j ( S j + m1 , E1 , E 2 ,.., E n ) Eq II. 4
La seconde approche consiste à intégrer une méthode de résolution des systèmes
implicites (par exemple une méthode Newton-Raphson) dans le modèle.
II.1.1.3. Numérique
Le modèle est numérique si toutes les sorties sont les résultats d’une simulation
numérique en fonction des entrées.
S i = Simu ( E1 , E 2 ,.., E n ) avec i = 1..m Eq II. 5
Simu : le résultat de la simulation
Par exemple, dans le chapitre III, nous utiliserons un modèle numérique Saber pour
calculer les harmoniques du courant entrant dans le canal de puissance en fonction des
paramètres de dimensionnement du canal.
41
II.1.1.4. Mixte : analytique, semi-anlytique, numérique

Le modèle mixte comprend les trois types : analytique, semi-analytique et numérique.
Modèle analytique S1
ou semi-anlytique
2 Modèle
numérique S2
E Modèle analytique
ou semi-anlytique
2 S3
: Entrées : Sorties
Fig.II. 1: Exemple d’un modèle mixte
La Fig.II. 1 présente un exemple du modèle mixte qu’on utilise souvent pour la
conception en génie électrique. Les sorties se divisent en trois groupes :
• Le premier groupe (S1) est calculé directement par un modèle analytique (ou
semi-analytique) 1 ;
• Le deuxième groupe (S2) est le résultat d’une simulation numérique qui a
besoin des sorties du modèle analytique (ou semi-analytique) 1 ;
• Le dernier groupe (S3) est calculé par un autre modèle analytique (ou semi-
analytique) dont une partie des entrées est constituée par les sorties du modèle numérique
(S2).
II.1.2. Dérivation et calcul de sensibilité
Lors d’un processus d’optimisation, les algorithmes d’optimisation utilisent les
modèles pour avoir les valeurs de sorties en fonction des valeurs d’entrées. Les algorithmes de
type gradient ont aussi besoin d’avoir la valeur de la dérivée partielle des sorties en fonction
des entrées.
Avec les modèles analytiques, la dérivée est calculée facilement grâce au calcul formel
[WUR96]. Pour certains modèles semi-analytiques, notamment ceux nécessitant la résolution
d’équations implicites, on peut utiliser des théorèmes spécifiques comme le théorème de
dérivation des fonctions implicites, qui permet d’avoir une valeur formellement exacte des
dérivées [COU99]-[PEL06]. Ces calculs peuvent être réalisés automatiquement par différents
outils informatiques, par exemple Adol-C [GIE96], Cades.
Dans le cas des modèles numériques, le calcul de dérivée est coûteux et moins fiable
[SAU00]. En théorie, pour les modèles numériques, on peut calculer la dérivée de manière
formellement exacte en utilisant de la dérivation de code [FIS05]. Par contre, pour pouvoir
être employée, cette méthode nécessite de disposer du code informatique du logiciel
numérique (ce qui n’est pas le cas avec un code numérique comme Saber). En plus, cette
méthode ne fonctionne pas si la résolution numérique est bruitée.
42
Une autre manière, plus simple, est de calculer la dérivée par une méthode des
différences finies en chaque point du calcul :
∂Si Simui ( E1,.., E j + ∆E j ,.., En ) − Simui ( E1,.., E j ,.., En )
= Eq II. 6
∂E j ∆E j
Cette méthode n’est pas facile à mettre en oeuvre car la qualité de la dérivée dépend
forcément du pas de calcul ∆E j . Si ∆E j est trop grand, la valeur de la dérivée est
approximative. Si ∆E j est trop petit, des problèmes numériques surviennent, avec par
exemple un signe de la dérivée qui change aléatoirement en raison du bruit numérique de la
simulation (Fig.II. 2). Il en résultera que l’algorithme d’optimisation sera perdu dans la
recherche de la direction optimale. En général, il est impossible de déterminer a priori une
bonne valeur de ∆E j .
[DEL04] a proposé une méthode pour déterminer la valeur de ∆E j . Elle consiste à
étudier la variation des sorties en fonction de chaque entrée et de déterminer la valeur
∂S i
adéquate de ∆E j . Pour chaque paramètre d’entrée E j , on étudie la variation de : (i:1..Ns)
∂E j
(Ns :Nb de paramètres de sortie) en fixant la valeur des entrées. La valeur de ∆E j choisie est
∂S i
celle qui donne la variation des (i:1..Ns) la moins bruitée et avec un signe correct. Par
∂E j
exemple, nous montrerons que le modèle numérique de notre canal de puissance donne une
évolution bruitée du taux individuel d’harmonique 11 de courant alternatif à l’entrée
(Harmonique11Ia / Harmonique1Ia) en fonction de l’inductance du filtre L (Fig.II. 2).
Fig.II. 2 : Résultat de simulation numérique avec un pas de calcul de 5.0E-7 amenant à une évaluation
erronée de la dérivée (bruitée et de signe variant de façon aléatoire et non représentative de
l’évolution de la fonction)
43
Fig.II. 3 : Simulation numérique avec un pas de calcul de 2.0E-6 donnant un résultat numérique plus
acceptable (bruité mais avec au moins un signe correct)
Une autre approche, pour obtenir une dérivée non bruitée, serait :
1. D’utiliser une méthode de surface de réponse consistant à déterminer toutes
les variations des sorties en fonction de toutes les entrées. Ceci permettrait de trouver des
expressions approchantes, souvent analytiques qui représentent la variation des sorties en
fonction des entrées (souvent on utilise des familles de fonctions polynomiales).
2. Ensuite de dériver les expressions approchées pour calculer la dérivée
partielle des sorties en fonction des entrées. Cette approche est la plus rigoureuse mais la mise
en oeuvre est très compliquée et impossible à réaliser si le nombre d’entrées est trop grand.
Nous ne détaillerons pas cette méthode et nous invitons les lecteurs à consulter les références
suivantes : [FAU06]-[MES07]
II.1.3. Conclusion sur les modèles
Le modèle analytique a les avantages suivants :
• Le dimensionnement d’un système embarqué comporte différents domaines de
la physique (thermique, mécanique, électrique) et des composants de nature diverse
(composants passifs ou convertisseurs d’électroniques de puissance, machines électriques). Le
modèle analytique est un bon moyen pour représenter cette complexité et cette diversité
[COU99]. Il permet aussi de calculer la masse et le coût du système.
• Le temps de calcul d’un modèle analytique est souvent plus court que celui
d’un modèle numérique. Ce modèle est donc très intéressant pour l’exploration d’un grand
espace de recherche lors d’une optimisation.
• Le modèle analytique permet d’effectuer facilement une étude de sensibilité
des entrées sur les sorties.
Par contre, le modèle analytique a les inconvénients suivants :
• Quelques grandeurs et fonctionnement du système sont difficilement
modélisables sous forme analytique (par exemple, les harmoniques dans les réseaux
électriques embarqués)
• Le modèle purement analytique modélise le comportement global du système
et ses composants intégrés en utilisant fréquemment des grandeurs intégrales ou des grandeurs
moyennes. Il n’est donc souvent pas capable de calculer les valeurs locales (par exemple
l’induction à l’instant t en un point d’un moteur).
44
• La précision de ce type de modèle est souvent moins grande [ESP05], car ils
sont souvent établis au prix d’hypothèses assez fortes (du type prise en compte moyenne des
phénomènes, inductances supposées constantes alors qu’elles saturent, répartition supposée
parfaitement uniforme de l’induction dans un noyau alors que cette inductance peut présenter
des variations locales, …)
Un modèle numérique peut être plus précis qu’un modèle analytique. Mais le temps
de calcul est long. D’autre part, un modèle numérique ne donne pas au concepteur une
relation claire entre les sorties et les entrées. On utilise donc rarement le modèle purement
numérique pour modéliser un système.
Pour le dimensionnement par optimisation, le modèle doit être suffisamment précis
pour faire apparaître la nature physique du problème. A côté de cela, le processus
d’optimisation peut exiger un grand nombre de calculs des sorties en fonction des entrées, ce
qui augmente le temps du dimensionnement. Le concepteur doit choisir le modèle présenté le
meilleur compromis précision – rapidité. En générale, le concepteur utilise donc le modèle
analytique lorsque c’est possible et les grandeurs qui ne peuvent être pas modélisées par voie
analytique sont modélisées numériquement.
II.2.Besoins de modélisation pour un système électrique embarqué
II.2.1. Grandeurs énergétiques
II.2.1.1. Besoins
Pour la conception énergétique d’un système électrique, il faut au moins connaître la
masse et le rendement du système (les pertes). Il faut d’autre part respecter certains points de
fonctionnement du système en courant et en tension. En principe, ces grandeurs sont
déterminées par la puissance que doit faire transiter le système.
II.2.1.2. Méthode de modélisation
Il existe de nombreux ouvrages (par exemple [FER99]) qui permettent de concevoir
des composants électriques intégrés dans un système. Normalement, les composants sont
dimensionnés par la puissance traversée, la tension, le courant d’entrée et de sortie, les
matériaux. Pour un dimensionnement et un point de fonctionnement (tension, courant) d’un
composant, on peut déterminer la masse et les pertes. Le premier travail est donc de
déterminer les points de fonctionnement de chaque composant dans le système.
En statique, pour un régime permanent donné, on utilise pour les réseaux la méthode
de calcul de répartition des charges (Load Flow) qui permet d’avoir :
• La tension de chaque nœud dans le réseau ;
• La répartition des courants dans le réseau ;
• Le bilan de puissance.
La méthode du calcul de répartition des charges avec l’algorithme BFS (Backward and
Forward Sweep) est particulièrement dédiée aux systèmes électriques embarqués de topologie
radiale [BAR05]-[CHA06]. Les modèles mathématiques associés des différents composants
du réseau se trouvent pour la plupart dans la littérature sur les réseaux électriques, par
exemple [KUN94].
45
II.2.2. Grandeurs harmoniques

II.2.2.1. Besoins
Un système électrique embarqué comporte souvent des convertisseurs de puissance et
des convertisseurs électromagnétiques qui créent des harmoniques dans le système. Ces
harmoniques peuvent être la cause de problèmes graves [GUF00] :
• Dysfonctionnement des dispositifs d’acquisition
• Phénomènes de résonance
• Vibrations, bruits
• Création de pertes supplémentaires : pertes Joule, pertes fer
La limitation des harmoniques est nécessaire. Il existe pour cela des normes qui
définissent la valeur maximale admissible des harmoniques : CEI 6100-3-2 [CEI6000] pour
les réseaux publics d’alimentation, ABD0100 [ABD100] pour les réseaux des avions Airbus.
Pour l’étude d’un système électrique embarqué, on a donc souvent besoin d’avoir les
harmoniques de la tension de la sortie du système et les harmoniques de courant que le
système crée.
En régime permanent, les harmoniques sont souvent déterminés par un développement
en série de Fourier ou une transformée de Fourier selon que la fonction est périodique ou pas.
On distingue alors deux approches : l’approche temporelle et l’approche fréquentielle.
II.2.2.2.1. Approche temporelle (ou simulation)
Cette approche consiste à calculer les harmoniques à partir de la forme d’onde des
signaux qu’on obtient par simulation numérique. On utilise une transformée de Fourier (FFT)
[ARR98]. Cette méthode dépend forcément des règles du traitement du signal : période
d’échantillonnage, fenêtre de la FFT [BEL87].
On peut remarquer que dans les systèmes embarqués que nous étudions, qui
contiennent des convertisseurs statiques, le pas de calcul doit être petit (quelques µs) pour
tenir compte des commutations des interrupteurs (diode, IGBT..). Donc, l’approche
temporelle est précise pour calculer les harmoniques basse fréquence car leur constante de
temps est très grande par rapport au pas de calcul (temps d’échantillonnage). [BAR05] a
montré que cette approche est précise pour étudier le système à des fréquences inférieures à
20 kHz.
La précision de la méthode peut être compromise par une taille de fenêtre de
simulation trop petite. Par ailleurs, le temps de simulation augmente si la taille de fenêtre
augmente. Donc, nous utiliserons une fenêtre d’une dizaine de périodes (issue de [MOR05])
pour obtenir un compromis acceptable entre le temps de calcul et la précision.
Enfin, pour obtenir un résultat exact, la fenêtre de FFT doit être placée au régime
permanent des signaux. Une pré-simulation temporelle du circuit aide à choisir l’endroit de la
fenêtre.
46
II.2.2.2.2. Approche fréquentielle

Cette approche permet de calculer directement les harmoniques dans le domaine
fréquentiel à partir des équations de circuit. Il y a deux méthodes : la méthode fréquentielle
directe et l’approche fréquentielle itérative.
Méthode fréquentielle directe
Cette méthode consiste à mettre le système électrique étudié sous forme de de
représentation d’état. Cette approche est développée dans [POP99].
d
x(t ) = A(t ).x(t ) + B (t ).u (t ) (x: vecteur d’états, u : entrées, y : sorties)
dt Eq II. 7
y (t ) = C (t ).x(t ) + D (t ).u (t )
Sur une période T0, il y a N commutations aux instants ti (i=1..N). Donc il y a (N-1)
intervalles entre deux commutations. Sur un de ces intervalles k, on peut écrire :
t
Ak (t −tk −1 ) Ak (t −τ )
x k (t ) = e .x k −1 (t k −1 ) + ∫e Bk (τ ).u k (τ )dτ Eq II. 8
t k −1
y k (t ) = C k (t ).x k (t ) + D k (t ).u (t ) Eq II. 9

Par une transformée de Laplace du signal y(t) sur l’intervalle k, on a :
tk
− p.t
Yk ( p ) = ∫ y k (t ).e dt Eq II. 10
t k −1
La transformée de Laplace du signal y(t) pour toute la période To est donné par la
somme :
N
Y ( p) = ∑ Yk ( p ) Eq II. 11
k =1
L’amplitude de l’harmonique, le rang n est alors :
2 2.π .n
Sn = Y( j ) Eq II. 12
T0 T0
Méthode fréquentielle itérative

Le calcul des harmoniques par la méthode fréquentielle itérative est abordé dans
[MOR05]. Le principe de la méthode est le suivant :
Tout d’abord, cela consiste à remplacer une composante par une fonction de
modulation F. Donc la sortie Y (θ ) , l’entrée X (θ ) sont représentées par une relation :
Y (θ ) = X (θ ).F (θ ) ( θ = ω.t ) Eq II. 13
La Fig.II. 4 présente un exemple d’interrupteur qui est ouvert sur  ,  et fermé sur
T 2T
3 3 
le reste de la période.
47
F (θ )
F (θ )
X (θ ) Y (θ )
X (θ ) Y (θ ) F (θ )
1
T 2T θ
3 3
Fig.II. 4: Modélisation d’un interrupteur par la méthode de fréquentielle itérative
Si la fonction de modulation est périodique, elle peut être mise sous la forme d’une
série de Fourier.
La fonction de modulation F (θ ) est alors définie par :
∞
(
F (θ ) = F 0 + ∑ Fai . cos(i.θ ) + Fbi . sin(i.θ )
i =1
) Eq II. 14
Avec Fai , Fbi : coefficients de Fourier de rang harmonique i

La grandeur modulée par F (θ ) est X p (θ ) de fréquence f p = p. f où p est un réel
positif et fm est la fréquence fondamentale f= 2.π .ω
X p (θ ) = X ap . cos(i.θ ) + X bp . sin(i.θ ) Eq II. 15
Le signal de sortie est :
∞
(
Y (θ ) = Y0 + ∑ Yan . cos(i.θ ) + Ybn . sin(i.θ )
n =1
) Eq II. 16
Avec Y0 , Yan , Ybn calculés par [MOR05]:
     
Y0  1   Fap Fbp   Fap Fbp    X ap 
  =  + . Eq II. 17
   
0  4   Fbp − Fap  − Fbp Fap    X bp 
      
Yan  1   Fa ( p + n ) Fb ( p + n )   Fa ( p − n ) Fb ( p − n)    X ap 
  =  +  . 
Y  2   F    X  Eq II. 18
 bn  − Fa ( p + n )  − Fb( p −n ) Fa ( p −n )   bp 

  b ( p + n )   
La méthode de Newton est utilisée pour résoudre les équations Eq.II.17 et Eq.II.18
[XIA82]. [IOR02] applique cette méthode pour calculer les harmoniques dans une chaîne de
traction du tramway.
On remarque que pour les convertisseurs statiques, chaque intervalle de commutation
est décrit par une équation état (première approche) ou une fonction de modulation (deuxième
approche). La valeur finale des harmoniques est la somme des intervalles. Il faut donc avoir la
valeur des angles de conduction. Elle très difficile à déterminer pour les convertisseurs à
commutation naturelle et dépend alors du contenu harmonique. Un autre inconvénient
48
consiste dans la formulation des équations de chaque phase de fonctionnement. Malgré ces
limites, les méthodes fréquentielles donnent la valeur des harmoniques rapidement, et de
façon robuste.
II.2.2.3. Choix de la méthode
Il n’est pas possible de dire quelle méthode est la meilleure pour la modélisation des
harmoniques dans un système électrique embarqué. Il y a un compromis à trouver entre la
difficulté de formulation et le temps de calcul. Notre objectif étant de modéliser les
harmoniques pour faire une optimisation, le temps de calcul des harmoniques est une partie du
temps de l’optimisation. Si le circuit comporte plusieurs composants de natures différentes, et
que le temps de simulation du circuit est assez faible (quelques secondes), l’utilisation de la
méthode temporelle est très intéressante. Par contre, si le système est simple ou le temps de
simulation est très long, il est préférable de travailler avec l’approche fréquentielle.
II.2.3. Grandeurs dynamiques
II.2.3.1. Besoin
Dans un réseau électrique, il faut assurer la qualité et la continuité de l’énergie
électrique fournie. Il faut notamment garantir que le système reste stable si les charges sont
connectées. L’analyse dynamique permet d’étudier cette garantie.
Un système électrique est linéaire ou non-linaire. Il existe des méthodes pour analyser
la stabilité de ces deux types de systèmes. On constate que pour les systèmes non-linéaires, les
méthodes sont difficiles à mettre en oeuvre et leur application est pour l’instant limitée. Par
contre, il existe plusieurs méthodes faciles à mettre en oeuvre pour étudier la stabilité des
systèmes linéaires. Pour les appliquer, il faut donc linéariser le système électrique embarqué
autour d’un point de fonctionnement.
II.2.3.2.1. Linéarisation d’un système non linéaire
Un système électrique est représenté par les équations suivantes :
.
 x = f ( x, u ) Eq II. 19

 y = g ( x, u )
Avec : x = ( x1 ,.., x n ) T : variables d’état
u = (u1 ,.., u m ) T : entrées du système
y = ( y1 ,.., y p ) T : sorties du système
On suppose que (u 0, x0, y0) est un point d’équilibre du système. Donc :
.
x 0 = f ( x0, u 0) = 0 Eq II. 20
On linéarise autour de ce point :
x = ∆x + x0 et u = ∆u + u 0 Eq II. 21
Avec : ∆x , ∆u : petites variations autour du point d’équilibre
Alors :
. . . Eq II. 22
x = ∆ x+ x 0
49
Le système d’équations Eq II. 19 au point d’équilibre est écrit sous la forme linéaire
[ZEL93] :
.
∆ x = A.∆x + B.∆u Eq II. 23
∆y = C .∆x + D.∆u
Avec :
 ∂f1 ∂f1   ∂f 1 ∂f1 
 ∂x ... ∂x n   ∂u ... ∂u m 
 1  1
A = ... ... ...  B = ... ... ... 
   
 ∂f n ... ∂f n   ∂f n ... ∂f n 
 ∂x1 ∂x n   ∂u1 ∂u m 
 
 ∂g1 ∂g1   ∂f 1 ∂f 1 
 ...   ∂x ...
 ∂x1 ∂x n   1 ∂x n 
C = ... ... ...  D = ... ... ... 
   
 ∂g p ∂g n   ∂f n ... ∂f n 
 ...   ∂x1
 ∂x1 ∂x n   ∂x n 
La fonction de transfert est :

∆y Bf ( s )
F (s) = = C ( s.I − A) −1 B + D = Eq II. 24
∆u Af ( s )
I : Matrice unité
Les racines de Bf(s) sont appelées les zéros
Les racines de Af(s) sont appelées les pôles
n
Af(s) =det(sI-A)= ∑ ai .s i
i =0
II.2.3.2.2. Condition de stabilité

La condition principale pour que le système soit stable est que la partie réelle de tous
les pôles soit strictement négative. La résolution de l’équation Af(s)=0 est compliquée si
l’ordre de Af(s) est grand. Il existe d’autres conditions dérivées de la condition principale
dans les domaines temporel et fréquentiel. Dans cette thèse, nous abordons les conditions en
fréquentiel qui sont de mise en œuvre facile.
Critère de Routh
Le tableau de Routh est construit de la façon suivante :
sn an a n− 2 a n− 4 …
n −1 a n −1 a n −3 a n −5 …
s
n −2 bn −1 bn −3 bn −5 …
s
s n −3 c n −1 c n −3 c n −5 …
… … … .. …
s 0 z n −1 z n −3 z n −5 …
Tab.II. 1: Le tableau de Routh
50
Les formules permettent de calculer les coefficients dans la tableau de Routh sont
détaillés dans [ZEL93] (Voir l’annexe A).
Selon [BOU95]-[ZEL93], le système est stable si et seulement si :
• Tous les coefficients a i ( 0 ≤ i ≤ n ) sont strictement positifs.
• Tous les coefficients de la première colonne du tableau de Routh
( a n , a n−1 , bn −1 …) sont strictement positifs.
Critère de Nyquist
Le critère de Nyquist est utilisé pour les systèmes en boucle fermée comme l’illustre la
Fig.II. 5
E(s) + S(s)
G(s)
-
H(s)
Fig.II. 5: Structure d’une boucle fermée
La fonction de transfert est :

S (s) G (s)
F (s) = = Eq II. 25
E ( s ) 1 + G 0( s )
avec : G0(s)= G(s).H(s)
Selon le critère de Nyquist, le système est stable si et seulement si le nombre de fois

que le lieu Nyquist de G0(s) entoure le point critique (-1,0) dans le sens direct est égal au
nombre de pôles de G0(s) entouré par le contour de Nyquist [ZEL93].
La Fig.II. 6 est le lieu et le contour de Nyquist d’un système qui a la fonction de
0 .1
transfert G0( s ) =
s (1 + 5.s )
Im Im
(-1,0) Re Re
-1
Point critique
x : pôles
Lieu de Nyquist Contour de Nyquist

Fig.II. 6: Contour et lieu de Nyquist d’un exemple
On constate que le lieu de Nyquist n’entoure pas le point critique et aucun pôle de
G0(s) n’est entouré par le contour de Nyquist. D’après la condition de Nyquist, ce système
particulier est stable.
51
Il est à noter que les performances dynamiques du système (dépassement, temps de

réponse) peuvent être calculées en utilisant les marges de gain et de phase portant sur le lieu
de Nyquist [ZEL93].
II.2.3.3. Choix de la méthode de modélisation
Comme pour la modélisation des harmoniques, il n’y a pas de meilleure méthode dans
l’absolu pour savoir si le système électrique embarqué est stable ou non. La détermination de
toutes les racines d’une fonction (trouver tous les pôles) est un travail compliqué et quelque
fois impossible (si le nombre des racines est grand). On préfère donc utiliser des critères
fréquentiels. Le critère de Routh valide si le système est stable ou non. Le critère de Nyquist,
est plus complet et autorise l’obtention des performances dynamiques par l’utilisation de
marges. Par contre, leur mise en œuvre nécessite une modélisation fréquentielle qui n’est pas
toujours évidente à obtenir.
L’ultime alternative est de vérifier la stabilité et les performances dynamiques en
simulant numériquement le système. On retombe alors sur un temps de calcul qui peut se
révéler prohibitif pour le dimensionnement.
III. Algorithmes d’optimisation

Chaque problème de dimensionnement d’un système électrique embarqué peut-être
transformé en un problème d’optimisation mathématique. Il existe un grand nombre
d’algorithmes d’optimisation selon la nature du problème [NEO - OP]. Dans cette partie, nous
allons détailler les algorithmes que nous avons jugés pertinents pour le dimensionnement de
systèmes électriques embarqués.
III.1. Définition d’un problème d’optimisation
III.1.1. Formulation mathématique
Un problème de l’optimisation est décrit par :
Min (or Max) [ f a ( X )] ( X = ( X i ) i =1..N , a = 1.. A)

 X min i ≤ X i ≤ X max i 1≤ i ≤ N
 Pr.II.1
g
 j ( X ) = 0 1 ≤ j ≤ L (1)
h ( X ) ≥ 0 1 ≤ k ≤ M ( 2)
 k
Avec : Min (or Max) [ f a ( X )] a = 1.. A : les A fonction objectifs ;
X un vecteur de dimension N contenant les variables du problème ;
(1) les contraintes d’égalité ;
(2) les contraintes d’inégalité.
Pour simplifier la description du problème, chaque contrainte d’inégalité est
transformée en deux contraintes d’inégalité :
 g j ( X ) ≤ 0
g j (X ) = 0 ⇔  1≤ j ≤ L
 g j ( X ) ≥ 0
On peut remarquer que Max (f(X)) = Min (-f(X)). Le problème d’optimisation Pr.II.1
devient donc :
52
Min [ f a ( X )] ( X = ( X i ) i =1.. N , a = 1.. A)


 X min i ≤ X i ≤ X max i 1≤ i ≤ N Pr.II. 2
h ( X ) ≤ 0 1 ≤ k ≤ m m = M + 2 L
 k
III.1.2. Quelques définitions

• Fonctions objectif : les fonctions à optimiser (maximiser ou minimiser)
• Paramètres de conception : les variables du problème qui influencent les
fonctions objectifs et les paramètres de sortie du modèle et dont les variations sont contraintes
dans un intervalle
• Paramètres de sortie du modèle: c’est l’ensemble des grandeurs qui
dépendent des paramètres de conception et dont la valeur peut être contrainte au cours de
l’optimisation
• Espace de recherche : ensemble des valeurs possibles des paramètres de
conception
• Espace réalisable : partie de l’espace de recherche où les contraintes sont
respectées
• Espace non-réalisable : partie de l’espace de recherche où les contraintes ne
sont pas respectées
• Optimum local : X* est optimum local si X* dans l’espace qui l’entoure
• Optimum global : X* est optimum global si X* est le meilleur dans l’espace
de recherche
• Mono_objectif : est dit d’un problème d’optimisation pour lequel le nombre
d’objectifs est égal à 1, soit A=1
• Multi-objectifs : est dit d’un problème d’optimisation pour lequel le nombre
d’objectifs A est supérieur à 1, soit A>1
• Multi-modales: est dit d’un problème d’optimisation, dans lequel il existe
plusieurs optimums (local ou global).
La Fig.II. 7.a présente des optimums locaux et un optimum global, tandis que la Fig.II.
7.b est typique d’un problème multi-modal avec plusieurs optimums de même valeur.
f f
3
2
1
a. Optimum locaux (1,3) et optimum global (2) b. Problème multimodal

Fig.II. 7 : Exemples de fonctions objectifs avec différentes formes d’optimum
53
III.2. Algorithmes d’optimisation mono-objectif

III.2.1. Classification des algorithmes d’optimisation
Il existe plusieurs méthodes d’optimisation qui peuvent être classées en différentes
catégories [REG03] - [NEO-OP]. Nous choisissons la classification qui a été proposé par
[SAR06] et qui se base sur la façon dont les algorithmes explorent l’espace de recherche
Méthodes statiques et plans

d’expérience
Déterministes Méthodes de subdivision

d’intervalles
Méthodes liées au gradient
Méthodes géométriques
Algorithmes
d’optimisation
Recherche aléatoire
Méthodes de Monte Carlo
Stochastiques Recherche Tabou
Recuit simulé
Evolution artificielle
Fig.II. 8: Classification des algorithmes d’optimisation
III.2.1.1. Algorithmes déterministes

Avec le même point initial et le même cahier des charges, toutes les optimisations
produiront le même résultat en suivant le même comportement. Ces algorithmes ont donc un
comportement déterministe. On peut distinguer deux sous-classes dans ces approches :
• Méthodes directes ou sans gradient : ces méthodes n’utilisent que les valeurs de
la fonction objectif et des contraintes. Elles sont peu précises et convergent très lentement
vers l’optimum local [SAL97] - [KOW68]. Nous n’aborderons pas ces méthodes.
• Méthodes de type gradient: elles utilisent la valeur du gradient des fonctions
objectif et des contraintes comme une direction dans l’espace de recherche. Donc la vitesse de
convergence est rapide. Ces méthodes sont puissantes pour résoudre les problèmes purement
analytiques [WUR 96], mais elles dépendent forcement de la qualité de calcul du gradient
54
[SIN92]. En plus, un inconvénient important de méthodes indirectes est qu’elles peuvent être
facilement piégées par un optimum local.
III.2.1.2. Algorithmes stochastiques
Ces algorithmes explorent l’espace de recherche grâce, en partie, à des mécanismes de
transition aléatoires. Avec le même point initial et le même cahier des charges, deux
optimisations successives peuvent produire un résultat différent : ces algorithmes n’ont donc
pas un fonctionnement déterministe.
Les avantages majeurs de ces méthodes sont :
• On n’a pas besoin de l’information de dérivée partielle des paramètres sortis en
fonction des paramètres d’entrées,
• La valeur de l’optimum ne dépend pas du point initial,
• Il est difficile de les piéger dans un optimum local.
En contrepartie, les inconvénients de ces méthodes sont :
• Il est très difficile de définir un critère d’arrêt de ces algorithmes (nous
aborderons ce problème dans le paragraphe III.2.3.2).
• Ces algorithmes ont besoin d’effectuer un grand nombre d’itérations pour
converger. Il en résulte que, si le modèle contient une partie numérique, le temps
d’optimisation est très long.
• Un autre point faible est la précision : leur convergence locale est difficile et
souvent on ne peut pas atteindre exactement l’optimum global.
III.2.1.3. Notre choix
[WOL97] a démontré un théorème, intitulé le « No Free Lunch Theorem», qui stipule
que sur l’ensemble de tous les problèmes d’optimisation il n’y a pas d’algorithme
d’optimisation absolument meilleur qu’un autre. Seules sur des classes données de problèmes,
des classes d’algorithmes peuvent être meilleures que d’autres. Il n’existe notamment pas de
méthode unique qui puisse résoudre tous les problèmes de l’optimisation. Chaque méthode a
des avantages et des inconvénients.
Nous utiliserons quatre algorithmes : SQP (Sequential Quadratic Programming)
[POW85], ES (Stratégie d’Evolution) [BAC96], RTS (Restricted Tournament Selection)
[HAR95], PSO (Optimisation par essaims particulaires) [KEN95]. Le SQP est un algorithme
de type déterministe gradient. C’est une des méthodes les plus performantes en
programmation non linéaire qui prend très bien en compte les contraintes d’égalité et
d’inégalité. Les autres algorithmes sont stochastiques du type « Evolution Artificielle ». PSO
converge avec un faible nombre de particules donc le temps d’optimisation est réduit
[TRE03]. Le RTS est basé sur un algorithme génétique associant une méthode de nichage de
type surpeuplement (« crowding »). ES est un autre type d'algorithme de type « Evolution
artificielle ». RTS et ES sont deux méthodes très puissantes pour éviter les problèmes
d'optimum locaux. RTS est aussi capable de résoudre des problèmes d’optimisation
multimodaux
55
III.2.2. SQP
III.2.2.1. Principe
SQP est l’acronyme de “Sequential Quadratic Programming”. C’est une méthode
déterministe de type gradient qui résout à chaque itération un problème quadratique. Dans cet
algorithme, les définitions suivantes sont utilisées :
• Fonction de Lagrange associée au problème Pr.II. 2:

m
L( X , λ ) = f ( X ) + ∑ λk .hk ( X ) Eq II. 26
k =1
λ = (λk ) k =1..m ≥ 0 : Multiplicateur de Lagrange

• Condition de Kuhn-Tucker :
X* est un optimum local de Pr.II. 2 s’il respecte le théorème de Kuhn-Tucker:
 m
∇f ( X *) + ∑ λk .∇hk ( X *) = 0 Pr.II. 3
 k =1
 λk ≥ 0 ∀k = 1..m

∇f ( X *) , ∇hk ( X *) sont les gradients de f et hk en fonction les paramètres de conception
X au point X*.
La condition de Kuhn-Tucker impose l’annulation du gradient de la fonction objectif
∇f ( X *) et du gradient des contraintes ∇hk ( X *) au point optimum X*. Les multiplicateurs de
Lagrange permettent d’équilibrer l’influence des contraintes hk entres elles et avec la fonction
objectif.
Le principe de SQP est de trouver la direction de recherche d < j > et le coefficient
d’ajustement de pas α < j > à l’itération j :
X < j +1> = X < j > + α < j > .d < j > Eq II. 27
Avec X
< j>
( )
< j>
= Xi i =1..N
= (d )
< j> < j>
d i i =1..N
α < j> = (α )
< j>
i i =1..N
Pour trouver la direction de recherche d < j > , l’algorithme SQP résout un problème au
point courant X <k > par une approximation quadratique autour de son voisinage

min
2
d ( H)
1 < j> T < j> < j>
d + [∇f ( X < j > )]T .d < j >
 Pr.II. 4
[∇h ( X < j > )]T d < j > + h ( X < j > ) ≤ 0 ∀k = 1..m
 k k
Avec H <k > : Hessien de la fonction de Langrage déterminé par la

méthode BFGS [NEO-SQP]
L’approximation quadratique n’est valable qu’au voisinage du point X < j > . Donc il
faut que la valeur du coefficient d’ajustement du pas α < j > soit faible. Ce coefficient est
initialisé à 1 et divisé par 2 à chaque itération de le recherche linaire [MES07].
Le SQP s’arrête si le point X < j > respecte la condition de Kuhn-Tucker.
56
III.2.2.2. Limite
On peut remarquer que la condition de Kuhn-Tuker ne confirme pas l’optimum global.
Pour que X* soit un optimum global, il faut vérifier les hypothèses suivantes :
• Les fonctions f et h sont convexes dans l’espace total de recherche
• La condition Kuhn –Turker est respectée au point X*
Or pour un problème d’optimisation réel, les fonctions f et h ne sont pas toujours
convexes dans tout l’espace de recherche. En plus, la vérification de convexité dans tout
l’espace de recherche est très compliquée. On est capable de vérifier cette convexité
seulement dans un espace réduit autour d’un point, ce qui donne un risque de se tromper et de
tomber sur un optimum local [KAD93].
En plus, l’algorithme SQP a besoin de l’information de gradient à chaque point pour
former le Pr.II. 4. Or nous aurons des problèmes de gradient causés par la partie numérique du
modèle. Ceci limitera l’emploi de la méthode SQP.
III.2.2.3. Pourquoi choisir la méthode SQP ?
Malgré les limites de l’algorithme, nous l’utiliserons pour l’optimisation d’un système
électrique embarqué pour des raisons de :
• Rapidité : SQP utilise la valeur des dérivées partielles pour définir la direction
de recherche, il va donc converger vers l’optimum plus vite que les autres algorithmes
[CHA67]-[JAZ94]-[WUR96].
• Critère d’arrêt : SQP s’arrête si la condition de Kuhn -Tuker est respectée. On
dispose donc d’un critère précis pour l’arrêt du problème.
• Contrôle des contraintes: SQP utilise l’approximation quadratique pour
résoudre le problème d’optimisation sous contraintes. SQP choisit une direction de recherche
en prenant en compte explicitement les contraintes (voir Pr.II. 4). Ceci est plus performant
que la pénalisation où la prise en compte des contraintes est implicite [MES07].
III.2.3. Principe des Algorithmes évolutionnaires
III.2.3.1. Généralités
Les algorithmes évolutionnaires imitent les processus d’évolution naturelle des
espèces et de la génétique. Dans la nature, les espèces qui sont le mieux adaptées à
l’environnement ont les plus grandes chances de vivre et d’avoir des enfants. Le principe de
fonctionnement de ces algorithmes évolutionnaires est représenté généralement par la Fig.II. 9
[KEI01].
57
Initialisation de la population au départ

Oui
Fin
Génération t = 0
Evaluation Condition
d’arrêt Non Parents
Sélection
Parents
Remplacement Génération Croisement

t = t+1
Mutation
Evaluation
Enfants des Enfants Enfants
et Parents et Parents
Fig.II. 9: Structure générale des algorithmes évolutionnaires

• Initialisation de la population au départ : Créer aléatoirement des individus
au départ du problème.
• Evaluation : Calculer la valeur de la fonction objectif de chaque individu dans
la population.
• Condition d’arrêt : Décider quand les algorithmes doivent être arrêtés
• Sélection : Sélectionner les individus qui sont utilisés pour créer les nouveaux
enfants. La méthode de sélection peut être stochastique (choix aléatoire) ou déterministe (par
exemple choix des meilleurs individus).
• Croisement : Echanger les gènes des parents pour créer les enfants.
• Mutation : Modifier aléatoirement les gènes des enfants.
• Remplacement : Choisir les meilleurs individus pour la prochaine génération.
On peut choisir à partir seulement des enfants ou à partir des enfants et des parents.
Les algorithmes évolutionnaires sont développés depuis les années 70 [BAC96]-
[HOL75]-[SCH95]. La liste suivante, issue de [REG05] propose un classement des
algorithmes évolutionnaires mono-objectifs.
• Algorithmes Génétiques standards
Algorithmes Génétiques à codage binaire
Algorithmes Génétiques à codage réel
Algorithmes Génétiques à codage ordinal
Programmation Génétique
58
• Algorithmes Evolutionnaires dédiés à l’Optimisation Continue

Stratégie d’Evolution
Programmation Evolutionnaire
Evolution Différentielle
• Algorithmes à Estimation de Distribution
Sans dépendance entre variables
A dépendance entre paires de variables
A dépendances multiples entre variables
• Méthodes de Nichage
A sélection contrôlée
A ajustement de l’adaptation
• Autres méthodes d’évolution artificielle :
Système Immunitaires
Colonies de fournis
Optimisation par essaims particulaires
On peut remarquer qu’il y a deux types de codages utilisés : le codage binaire et le

codage réel.
Dans le codage binaire, chaque paramètre X i ( X min i ≤ X i ≤ X max i ) est représenté par
une chaîne de bits : b0b1..bl −1 (l : longueur de la chaîne).
l −1
j
∑ bi .2
j =0
X i = X min i + ( X max i − X min i )
2 −1
l Eq II. 28
Ce codage représente explicitement les mécanismes de croisement et de mutation dans
la nature. Par exemple, un paramètre de conception est représenté par une chaîne de 5 bits. On
va créer deux enfants e1, e2 à partir des parents p1, p2 en appliquant le croisement (Fig.II. 10)
et la mutation (Fig.II. 11)
Parents Enfants
p1 1 0 1 1 1 e1 1 0 1 0 0
p2 0 1 1 0 0 e2 0 1 1 1 1
Fig.II. 10: Croisement standard avec codage binaire
Parents Enfants
p1 1 0 1 1 1 e1 1 1 1 1 1
p2 0 1 1 0 0 e2 0 1 0 0 0
Fig.II. 11: Mutation standard avec codage binaire

Nous ne détaillons pas le codage binaire ici, nous invitons les lecteurs à consulter
[SAR99] pour plus de détail. Nous remarquons seulement que la difficulté de cette méthode
est de sélectionner la longueur de la chaîne. La précision des algorithmes dépend forcément
59
de la longueur de la chaîne car ce codage consiste à discrétiser l’espace de recherche en

fonction de cette longueur. En plus, si cette longueur est grande, la complexité des
algorithmes est augmentée.
Pour nos travaux, nous utilisons plutôt un codage réel [BAL03]. L’avantage de cette
approche est que chaque paramètre de conception est ainsi décrit directement par un gène réel.
Un individu est une combinaison des gènes et donc des paramètres de conception. Chaque
individu porte la valeur de la fonction objectif qui correspond à la valeur des gènes. Une
population est l’ensemble des individus. Dans ce codage, les opérateurs de croisement et de
mutation ne représentent pas les mécanismes naturels. Ils seront détaillés dans les prochains
paragraphes.
III.2.3.2. Critère d’arrêt
Comme pour toutes les méthodes stochastiques, on ne peut pas savoir quand on peut
arrêter les algorithmes évolutionnaires car il n’y a aucun critère rigoureux qui permet de dire
si les optimums trouvés sont corrects. Néanmoins, aujourd’hui, les trois critères suivants sont
utilisés pour arrêter les algorithmes :
• Dans certains cas, on peut estimer la valeur optimale (ou la connaître s’il s’agit
d’un « benchmark »). Dans ce cas, on fixe comme critère d’arrêt : l’algorithme s’arrête si la
valeur de fonction objectif du meilleur individu est inférieure à la valeur estimée. En réalité, la
connaissance de la valeur de la fonction objectif n’est pas simple. Ce critère est donc utilisé
pour tester les performances des algorithmes avec des problèmes d’optimisation dont les
solutions sont connues [SCH95].
• Les algorithmes sont arrêtés si la valeur de la fonction objectif ne s’améliore
plus au bout d’un certain nombre de générations. Comme les algorithmes sont stochastiques,
ce critère n’est pas toujours pertinent. En effet, certaines fois, on observe que la valeur de la
fonction objectif ne s’améliore qu’après un grand nombre de générations. Ce problème
apparaît souvent si la fonction objectif a une forme de type escalier. Ce problème est accentué
si on utilise les algorithmes avec nichages qui assurent la diversité des populations dans
l’espace de recherche.
• Les algorithmes se terminent après un nombre de générations fixé a priori.
III.2.3.3. Contrôle et prise en compte des contraintes
Pour la prise en compte des contraintes, les auteurs utilisent des méthodes de
pénalisation [DEB00]-[KON93]-[MIC96]. [MIC95] a classé ces méthodes et a comparé leurs
performances sur des fonctions test. Ces travaux mettent en évidence que chaque méthode ne
peut pas bien fonctionner pour tous les problèmes ! Nous ne pouvons donc citer une méthode
qui serait la plus performante. Nous utiliserons deux méthodes qui sont simples à mettre en
oeuvre et dont les performances sont acceptables :
La méthode de pénalité de Deb [DEB00] ;
La méthode de pénalité dynamique [JOI94]-[KON93].
Ces deux méthodes sont dérivées de la méthode de pénalité extérieure classique.
60
• La méthode de pénalité extérieure classique

Le problème d’optimisation avec contraintes Pr.II. 2 est transformé en un problème
d’optimisation sans contrainte :
  m 
∑
Min  f ( X ) + r max(0, hk ( X )) 2  X = ( X i ) i =1.. N
Pr.II. 5
  k =1 

 X min i ≤ X i ≤ X max i 1≤ i ≤ N
Avec r>0 : Coefficient de pénalité
Les résultats de [KON93] et [SAL97] ont montré que cette méthode a des problèmes
de convergence. [KON93] et [JOI94] montrent comment choisir la valeur de r, et en
particulier, introduisent l’idée de modifier sa valeur à chaque génération : c’est la méthode de
pénalité dynamique.
• La méthode de pénalité dynamique

[JOI95] a proposé un changement du coefficient de pénalité à chaque génération:
r = r (t ) = (C.t ) α Eq II. 29
Avec t : numéro de la génération
C, α : constantes (C>0, α >1)
[KON93] a proposé une autre formule :
r = r (t ) = r0 .C t Eq II. 30
−3 −2
r0 ∈ [10 ,10 ]
C=10
Au départ, ces méthodes explorent de manière extensive l’espace de recherche
(réalisable et non-réalisable). Au fur et à mesure des itérations, la pénalité croît et l’espace
non réalisable que l’on peut explorer se réduit. Finalement, on ne considère plus que des
valeurs qui se trouvent dans l’espace réalisable.
• La méthode de pénalité de Deb

Cette méthode consiste à distinguer deux espaces : l’espace réalisable et l’espace non-
réalisable (cf III.1.1). Dans la zone non-réalisable, les contraintes sont considérées comme un
objectif. Lors du processus d’optimisation, les individus se trouvant dans l’espace non-
réalisable évoluent vers l’espace réalisable.
[DEB00] a proposé cette méthode en modifiant la méthode de [POW93]. L’idée de
Deb comporte trois critères :
L’individu qui se trouve dans l’espace réalisable est meilleur que celui se
trouve dans l’espace non-réalisable.
Pour deux individus se trouvant dans l’espace réalisable, celui qui a la fonction
objectif la meilleure est le meilleur
Pour deux individus se trouvant dans l’espace non-réalisable, le meilleur est
aussi celui qui a la meilleure valeur de la fonction objectif.
En vue de mettre en œuvre ces critères, le problème d’optimisation sous contraintes
Pr.II. 2 est transformé pour obtenir le problème d’optimisation sans contrainte suivant:
61
Min [F ( X )] X = ( X i ) i =1..N

 X min i ≤ X i ≤ X max i 1≤ i ≤ N
 f (X ) si X se trouve dans l ' espace réalisable
 Pr.II. 6
Avec : F(X ) =  m


f max +∑ max(0, hk ( X )) 2 si non
k =1
avec fmax : valeur choisie supérieure au maximum
de la fonction f dans l’espace réalisable
On peut remarquer que si X se trouve dans l’espace non-réalisable, la valeur de la

fonction objectif inclut un terme de pénalité pour prendre en compte les contraintes.
L’utilisation de la valeur fmax garantit que la valeur de la fonction objectif d’un individu logé
dans l’espace réalisable est plus petite que celle d’un individu qui se trouve dans l’espace
non-réalisable.
• Normalisation des contraintes

On peut remarquer que dans un système électrique embarqué, les ordres de grandeur
des contraintes sont très différents : petit pour une induction qui sera de l’ordre de quelques
Tesla, grand pour un courant de court-circuit qui pourra être de l’ordre de plusieurs milliers
d’Ampère. Cette grande différence perturbe la recherche d’optimum. Une ou plusieurs
contraintes pourraient masquer ou dominer les autres. Toutes les contraintes sont donc
normalisées pour que leurs valeurs soient comprises entre -1.0 et 0. Cette normalisation
permet d’avoir des grandeurs comparables. Les contraintes hk (k=1..m) sont normalisées par :
hk − hkm
hnk = Eq II. 31
− hkm
Avec hkm : Valeur minimale de hk
III.2.3.4. Limites des algorithmes évolutionnaires

En bref, les limites pour l’utilisation des algorithmes évolutionnaires peuvent être
résumées par les points suivants :
• La direction de recherche des algorithmes évolutionnaires évolue aléatoirement. Il
en résulte que ces algorithmes exploitent largement l’espace de recherche, mais le temps
d’optimisation est très long par rapport à un algorithme de type SQP.
• Une difficulté est la définition de la condition d’arrêt. Il n’existe pas un critère
d’arrêt rigoureux pour ces algorithmes.
• La dernière limite de ces algorithmes réside dans le contrôle des contraintes. En
général, les algorithmes évolutionnaires transforment le problème d’optimisation avec
contraintes en un problème d’optimisation sans contrainte. Ces méthodes ne sont pas toujours
performantes pour tous les problèmes d’optimisation [MES07].
62
III.2.3.5. Choix des algorithmes évolutionnaires

Malgré les limites évoquées, nous choisissons les algorithmes évolutionnaires pour les
raisons suivantes :
• Ils n’ont pas besoin des valeurs de dérivées. Quelques problèmes d’optimisation de
systèmes électriques embarqués ont besoin d’utiliser des simulations numériques, pour
lesquelles il est difficile d’évaluer une dérivée. Les algorithmes évolutionnaires seront donc
bien adaptés pour résoudre ces problèmes.
• Ils sont capables de traiter les optimisations continues ou discrètes.
• Ils savent éviter les optima locaux.
• Ces algorithmes continuent à être développés pour être toujours plus performants.
Les nouvelles générations développées se trouvent publiées dans des grands journaux
(Evolututionary Computation Journal de MIT, Transactions on Evolutionary Computation de
IEEE) ou des conférences internationales ou nationales traitant du domaine.
III.2.4. ES (Stratégie d'Evolution)
III.2.4.1. Principe
L’algorithme ES est un algorithme d’optimisation qui s’inspire de la théorie de
l’évolution en biologie. Cet algorithme a été développé par les allemands Schwefel et
Rechenberg) [BAC96], et est noté ES (µ ⊗ λ) avec :
µ : Nombre de parents
λ: Nombre des enfants
⊗ : Méthode de sélection qui est :
soit ‘+’ : pour la génération n+1, seuls les µ meilleurs individus sont
conservés parmi la population de la génération n constituée par la somme
des λ enfants et des µ parents
soit ‘,’ : pour la génération n+1, seuls les µ meilleurs individus sont
conservés parmi la population de la génération n constituée par les λ
enfants.
Chaque gène comporte un paramètre de conception X(i) et un écart type σ(i) associé.
L’écart type σ(i) définit l’évolution de X(i).
Chaque individu est donc représenté par :
individu={X(i), σ(i)}i=1..N
(N : nombre de paramètres de conception)
Comme tous les algorithmes évolutionnaires, ES utilise les opérateurs de croisement et
de mutation. Ces deux opérations sont détaillées comme suit :
III.2.4.2. Croisement
Il y a différents types de croisement pour créer les enfants. [SCH94] a suggéré que ES
est plus efficace lorsqu’il utilise le croisement discret stochastique (autrement dit le choix
d’une valeur discrète piloté par la valeur d’une variable aléatoire u (voir Eq II. 32)) pour les
paramètres de conception et le croisement intermédiaire pour les écarts types. Selon cette
approche, un enfant est créé grâce à la formule :
63
 X (i ) si 0 < u ≤ 0.5
X ' (i ) =  1 Eq II. 32
 X 2 (i ) si 0.5 < u ≤ 1
σ ' (i ) = σ 1 (i ) + 0.5(σ 2 (i ) − σ 1 (i )) Eq II. 33
Avec : u : variable aléatoire uniformément repartie dans l’intervalle [0,1] et

utilisée pour le croisement discret des paramètres de conception
p1 = {X 1 (i ),σ 1 (i )}i =1.. N : Premier parent
p2 = {X 2 (i ),σ 2 (i )}i =1.. N : Deuxième parent
e = {X ' (i ), σ ' (i )}i =1.. N : Enfant créé par le croisement
III.2.4.3. Mutation
La mutation auto-adaptive anisotrope est un point fort de l’algorithme. C’est un
opérateur essentiel pour la recherche d’optimum de type ES [SCH94] [BAC96]. Cette
opération permet aux écarts types d’avoir une valeur qui s’adapte automatiquement au cours
de la recherche. Il existe deux types de mutation auto-adaptative anisotrope :
• La mutation auto-adaptative anisotrope classique [BAC96]:
Les enfants sont mutés par :
σ ' (i ) = σ (i ).e r '.N ( 0,1) + r.N i (0,1)
Eq II. 34
X ' (i ) = X (i ) + σ ' (i ).N i (0,1)
Avec : X (i) , X ' (i) : Valeur de paramètre i avant et après mutation
σ (i ) , σ ' (i ) : Ecart-type associé du paramètre i avant et après mutation
N(0,1), N i (0,1) : Variable aléatoire à densité gaussienne (0,1)
N i (0,1) : Distribution pour le paramètre i
r ' , r : Facteurs de la mutation, avec
, r ' = ( 2 N ) [BAC96]
−1 −1
r =  2 N 
 
• La mutation auto-adaptative anisotrope rapide [YAO97] :

Les enfants sont mutés par :
σ ' (i ) = σ (i).e r '.N (0,1) + r .N i (0,1)
Eq II. 35
X ' (i ) = X (i ) + σ ' (i ).C
Avec : C : Variable aléatoire à densité suivant une loi de Cauchy standard

[YAO97]
C = N1(0,1)/ N2(0,1)
N1(0,1), N2(0,1) : Deux variables aléatoires à densité
gaussienne (0,1) indépendantes
[YAO97] a montré que la mutation auto-adaptative anisotrope rapide (basée sur une
distribution de Cauchy) permet à l’ES de converger plus vite que la mutation auto-adaptative
anisotrope classique (basée sur une distribution de Gauss) dans certains tests.
64
III.2.5. Algorithme RTS avec croisement auto-adaptatif

III.2.5.1. Principe
Pour certains problèmes d’optimisation, il existe plusieurs optima. Ces optima
correspondent à différentes valeurs des paramètres de conception. Par exemple, si on veut
minimiser la fonction f(x)=sin(x), on va trouver différentes valeurs de x telles que [Min f(x)]
= -1. Pour l’optimisation d’un système électrique embarqué, ces différents optima
correspondent à différents dimensionnements de composants du système. Les méthodes de
nichages permettent d’explorer en parallèle ces différentes solutions optimales. [SAR99] a
ainsi comparé différentes méthodes de nichages et il a trouvé que RTS détecte bien ces
différents optima tout en étant de mise en œuvre facile. [SIN06] arrive aux mêmes
conclusions.
RTS (Restricted Tournament Selection) est un algorithme génétique associé à une
méthode de nichage de type surpeuplement («crowding») proposé par [HAR95]. Son principe
est le suivant :
Pour chaque génération, faire Np/2 fois (Np : Nombre de populations) :
a. Sélectionner aléatoirement 2 individus dans la population
b.Faire un croisement puis une mutation de ces 2 individus (parents) pour créer deux
nouveaux individus (appelés enfants).
c. Faire un remplacement en deux étapes :
1. Choisir par hasard w parents dans la population pour créer la population de
compétition.
2. Pour chaque enfant, chercher dans la population de compétition un parent
qui lui est plus proche. Cet enfant va remplacer le parent trouvé si la fonction
objectif de l’enfant est meilleure que celle du parent.
Fig.II. 12: Solutions peuvent être trouvées par RTS pour un exemple de problème multi-modal
65
Dans nos travaux, nous utilisons un codage réel ; chaque individu est donc représenté
par le vecteur de réels {X(i)}i=1..N (N : nombre de paramètres de conception).
La distance euclidienne moyenne, présentée par la formule ci-dessous, est utilisée pour
calculer la distance entre deux individus.
n
∑ ∆X (i )
2
i =1 Eq II. 36
d=
n
X 1 (i ) − X 2 (i )
Avec : ∆X (i) =
X max(i ) − X min(i )
X 1 (i ) , X 2 (i ) : Valeur du paramètre i pour l’individu 1 et l’individu 2.
X max(i ) , X min(i ) : Valeur maximale et minimale du paramètre i
III.2.5.2. Croisement
Le croisement est plus important pour la recherche d’optimum des algorithmes
génétiques. Il existe différents types de croisement avec le codage réel [BAL03]-[BAL05].
Dans cette partie, nous abordons quelques croisements classiques et le croisement auto-
adaptatif qui est implémenté dans nos travaux.
Pour simplifier la lecture, on note :
p1 = {X p1 (i )} , p 2 = {X p 2 (i)}i =1..N : Parents utilisés dans le croisement
i =1..N
e1 = {X e1 (i)}i =1.. N , e2 = {X e 2 (i )}i =1.. N : Enfants créés par le croisement
III.2.5.2.1. Croisement arithmétique étendu (BLX-α)
Le croisement arithmétique étendu (Blind Crossover BLX-α, α>0) permet de créer
deux enfants à partir des parents par la formule :
X e1 (i ) = X p1 (i ) + β .[ X p 2 (i ) − X p1 (i )]
Eq II. 37
X e 2 (i ) = X p 2 (i ) + β .[ X p1 (i ) − X p 2 (i )]
Avec: β : variable aléatoire uniforme comprise dans l’intervalle [-α,1+ α]

Plusieurs auteurs ont montré que ce type de croisement est plus performant pour la
valeur α = 0.5 [DEB99].
La Fig.II. 13 donne une image de la distribution des enfants créés par ce croisement
dans un espace à deux dimensions avec deux parents notés *
20
15
10
* : parents
X1
-5
: enfants
créés
-10
-15
-20
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
X2
Fig.II. 13: Distribution des enfants par le croisement BLX-0.5 dans un espace à deux dimensions X1
et X2 (X1, X2 sont bornés entre -20 et 20)
66
Les enfants créés par le croisement BLX-α sont repartis de manière uniforme dans
l’espace borné ( X e min (i) , X e max (i) ) (i=1..N) de l’espace de recherche. Avec :
{ }
X e min (i) = Min X p1 (i ), X p 2 (i ) − α X p1 (i ) − X p 2 (i )
Eq II. 38
X e max (i ) = Max{X p1 (i ), X p 2 (i)}+ α X p1 (i ) − X p 2 (i )
i : indice de paramètre de conception i
X p1 (i ), X p 2 (i ) : Valeur de paramètre de conception i des deux parents
Ce type de croisement permet d’explorer les solutions se trouvant dans tout l’espace
de recherche et pas seulement autour des parents.
III.2.5.2.2. Seconde version du croisement binaire simulé (vSBX)
C’est une évolution de croisement binaire simulé classique (Simulated Binary
Crossover-SBX) [BAL05]. La distribution des enfants créés par cette version est meilleure
que celle créée par le croisement binaire simulé classique [BAL05]. Les enfants sont créés par
la formule :
 0.5 [ (1 + β i ) X p1 (i ) + (1 − β i ) X p 2 (i )] si 0 ≤ u i ≤ 0.5
X e1 (i ) = 
 0 . 5 [ ( 3 − β i ) X p1 (i ) − (1 − β i ) X p2 (i )] si 0 .5 < u i ≤ 1
Eq II. 39
 0.5 [ (1 − β i ) X p1 (i ) + (1 + β i ) X p 2 (i )] si 0 ≤ u i ≤ 0.5
X e 2 (i ) = 
0.5 [ − (1 − β i ) X p1 (i ) + (3 − β i ) X p 2 (i )] si 0.5 < u i ≤ 1
 1
  1  η +1
   si 0 ≤ u i ≤ 0.5
  2u i 
Avec β i =  1
   η +1
  1
 si 0.5 < u i ≤ 1.0
  2(1 − u i ) 
ui : Variable aléatoire uniformément repartie dans l’intervalle [0,1]

η >0: paramètre de la propriété de la distribution des enfants.
L’augmentation de la valeur de η entraîne l’augmentation de la concentration des enfants
autour des parents. La Fig.II. 14 présente dans l’espace à deux dimensions la distribution des
enfants à partir des parents (*) avec différentes valeurs de η.
20
20
15
15
10
10
5
5
X1
X1
0
0
-5
-5
-10
-10
-15
-15
-20
-20 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
X2 X2
η =10 η =0.1
* : parents ; : enfants créés
Fig.II. 14: Distribution des enfants crées par le croisement vSBX pour deux valeurs de η dans un
espace à deux dimensions X1 et X2 (X1, X2 sont bornés entre -20 et 20)
67
III.2.5.2.3. Croisement de «Parent-Centric Normal » (PNX)

Le croisement de « Parent-Centric Normal » (PNX) [BAL05] permet de créer deux
enfants à partir de deux parents par la formule :
 X p1 (i ) − X p 2 (i ) 
X e1 (i ) = N  X p1 (i ), 

 η
  Eq II. 40
 X p1 (i ) − X p 2 (i ) 
X e2 (i ) = N  X p 2 (i ), 
 η 
 
Avec : N(µ, σ) : variable aléatoire à densité gaussienne d’espérance µ et d'écart type σ

η > 0: idem vSBX
20 20
15 15
10 10
5 5
X1
0
X1 0
-5 -5
-10 -10
-15 -15
-20 -20
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
X2 X2
η =10 η =0.5
* : parents ; : enfants créés
Fig.II. 15 : Distribution des enfants crées par le croisement PNX pour deux valeurs de η dans un
espace à deux dimensions X1 et X2 (X1, X2 sont bornée entre -20 et 20)
III.2.5.2.4. Croisement auto-adaptatif
D’un point de vue général, l’idée du mécanisme d’auto-adaptation est d’adapter
automatiquement les opérateurs (croisement, mutation) et/ou les probabilités associées au
cours de la recherche d’optimum. L’auto-adaptation permet de diminuer la dépendance des
algorithmes par rapport à leurs paramètres de contrôle et de réglage fixés. Elle est
particulièrement adaptée à des problèmes d’optimisation dont la nature varie au cours la
résolution. Le mécanisme le plus connu d’auto-adaptation est utilisé pour la mutation de
l’algorithme ES (III.2.4.3 de ce chapitre). L’auto-adaptation peut aussi s’appliquer pour le
croisement. [SPE95] et [SAR03] ont ainsi proposé de laisser les algorithmes choisir
automatiquement le type de croisement ou la valeur d’état d’un type de croisement donné. On
parle alors de croisement auto-adaptatif.
Pour coder le croisement auto-adaptatif, nous utilisons le codage qui est défini dans
[SAR03]. Pour chaque individu, un gène supplémentaire (Xgene) est ajouté ; ce gène porte
l’information du type de croisement. Pour créer un enfant, le type de croisement utilisé est
choisi aléatoirement parmi les deux valeurs des Xgene des parents. Le meilleur type de
croisement (qui crée les meilleurs enfants) se transmet ainsi de génération en génération.
68
Dans ces travaux, nous utilisons deux types de croisement auto-adaptatif. Le premier
consiste à utiliser trois types de croisement différents, le deuxième consiste à utiliser un seul
type de croisement mais avec différentes valeurs d’états, c'est-à-dire différents types de
distribution des enfants dans l’espace de recherche.
III.2.5.2.4.1. Croisement auto-adaptatif BLX-vSBX-PNX
En regardant la répartition des enfants en fonction des différents types de croisement,
nous choisissons trois types de croisement BLX (α=0.5), vSBX (η =1.0), PNX (η =1.0). Notre
choix est guidé par le souhait d’explorer l’espace de recherche de différentes manières. La
Fig.II. 16 illustre notre choix. Cette figure présente la densité de répartition des enfants à
partir de deux parents (p1, p2) pour ces trois types de croisement. On remarque que les
enfants sont créées de différentes façons :
• Le BLX-0.5 distribue les enfants de manière uniforme dans l’espace délimité
par les deux parents selon la formule Eq II. 38 ;
• Les enfants crées par PNX (η=1.0) sont moins concentrés autour des parents
que ceux créés par BLX-0.5 mais ces enfants sont mieux répartis dans l’espace de recherche ;
• Le croisement vSBX (η=1.0) concentre les enfants autour des parents mais
n’exclut pas la création d’enfants dans des régions plus éloignées.
0.12
p1, p2 : les deux parents

Densité de probabilité associée à la création
BLX-0.5
0.1
vSBX
0.08 (η =1.0)
PNX
d’un enfant
0.06
(η =1.0)
0.04
0.02
0
-40 -30 -20 p1 0 20 30 40
p2
X1
Fig.II. 16: Densité de répartition des enfants en fonction des différents type de croisement selon un
paramètre de conception X1
III.2.5.2.4.2. Croisement vSBX auto-adaptatif
On peut remarquer que si la valeur d’état de vSBX augmente, la probabilité d’avoir
des enfants autour des parents augmente (voir III.2.5.2.2). C'est-à-dire que la variation des
paramètres de conception dépend de la valeur d’état. Le Xgene porte la valeur d’état. Lors du
processus d’évolution, la valeur Xgene évolue comme un paramètre pour obtenir une bonne
convergence de l’algorithme. Nous choisissons trois valeurs d’états (0.1; 1.0; 20.0) qui sont
bien complémentaires en terme d'exploration (Fig.II. 17).
69
Densité de probabilité associée à la création 0.12
p1, p2 : les deux parents

η =0.1
0.1
0.08 η =1.0
d’un enfant
0.06 η =20.0
0.04
0.02
-30 -20 -10 p1 0 p2 10 20 30 40
X1
Fig.II. 17 : Densité de répartition des enfants en fonction des différents valeur de η selon un
paramètre de conception X1
RTS utilisant ce croisement donne de bonnes performances pour l’optimisation des

problèmes multi-modaux [NGU08_1].
III.2.5.3. Mutation
Le rôle de la mutation est de perturber les paramètres de conception. Cet opérateur
permet d’éviter que tous les individus convergent de manière sous-optimale. Comme le
croisement, il y a plusieurs types de mutation [DEB01]. La mutation polynomiale est utilisée
dans notre RTS.
X ' (i ) = X (i ) + ( X max(i ) − X min(i ))δ i Eq II. 41
 1 /(ηm +1)
−1 0 ≤ ri ≤ 0.5
Ou : δ i =  (2ri ) 1 /(ηm +1)
si
1 − [2(1 − ri )] si 0.5 < ri ≤ 1.0
Avec : X (i) , X ' (i) : Valeur du paramètre i avant et après mutation

ri : variable aléatoire uniformément repartie dans l’intervalle [0,1]
ηm : Indice de distribution de la mutation (10< ηm <100) [SIN07]
III.2.6. PSO
Cet algorithme s'inspire des méthodes de recherche de la nourriture des oiseaux qui
sont proposées par [KEN95]. Chaque oiseau se déplace dans un espace de recherche et a des
voisins avec lesquels il échange des informations (typiquement la bonne position qui permet
d’avoir de la nourriture). Il connaît le meilleur point par lequel ses voisins et lui-même sont
déjà passés et ils ont tendance à y retourner.
70
Dans PSO, chaque particule k comporte :

Ses positions ( {X k (i )}i =1..N ) dans l’espace de recherche de dimension N (N :
nombre de paramètres de conception),
La vitesse pour cette position ( {V k (i)}i =1..N )
Le meilleur point du parcours passé ( {Xme k (i)}i =1..N ).
La Fig.II. 18 représente la structure de l’algorithme PSO [CUI05].
Initialisation de particules au départ
Evaluation Mise à jour de la position

et de la vitesse
Détermination de la meilleure particule Mise à jour de la mémoire
Condition Non
d’arrêt
Oui
Fin
Fig.II. 18: Structure générale de l’algorithme PSO
Evaluation : Calcul de la valeur de la fonction objectif des particules

Détermination de la meilleure particule : Recherche de la particule qui a la
meilleure valeur de la fonction objectif ; cette particule est notée k=km.
Mise à jour de la mémoire : Pour chaque particule, le meilleur point est changé par la
position actuelle si la fonction objectif de cette position est meilleure.
Mise à jour de la position et de la vitesse : Changement de la vitesse et de la position
des particules par la formule proposée par [TRE03] :
Vk (i ) = w.Vk (i ) + c1.r1.( X km (i ) − X k (i )) + c2 .r2 .( Xmek (i ) − X k (i ))
Eq II. 42
X k (i) = X k (i) + V k (i )
Avec : k : individu k
i : paramètre de conception i (i=1..N)
w : inertie
c1 , c2 : constantes positives
71
r1 , r2 :variables aléatoires uniformément reparties dans l’intervalle [0,1]

([TRE03] a proposé w =0.729, c1 = c2 =1.494)
En plus, un facteur de turbulence est appliqué aléatoirement. Pour cela nous
introduisons une valeur aléatoire u tirée entre 0 et 1. Si u<u0 (uo : petite valeur, nous utilisons
u0=0.01), nous appliquons la perturbation suivante :
X k (i ) = X k (i ) + Rk . X k (i ) Eq II. 43
Avec R k : coefficient de turbulence qui est une variable

X max k − X min k
aléatoire à densité gaussienne qui vaut N(0, )
τ
( τ ∈ [1,100] )
III.3. Algorithmes d’optimisation multi-objectifs

Pour l’optimisation d’un dispositif, il faut souvent satisfaire plusieurs objectifs à la
fois sous les contraintes qui sont définies dans le cahier des charges. Ces objectifs sont
souvent le prix, le rendement, la masse… Si on améliore un objectif, c’est souvent en
dégradant les autres. En général, la solution optimale n’est donc pas unique. Il vaut mieux
parler d’un ensemble de solutions optimales qui traduisent un compromis entre objectifs.
Dans notre travail, nous utilisons la frontière de Pareto [PAR96] pour représenter ces
compromis.
III.3.1. Définition de l’optimalité au sens de Pareto
L’optimalité au sens de Pareto est basée sur la notion de dominance : la solution X1
domine la solution X2 (X1 est meilleur que X2) lorsque deux conditions sont respectées :
• X1 est au moins aussi bon qu’X2 pour tous les objectifs.
• X1 est strictement meilleur qu’X2 pour au moins un objectif.
Mathématiquement, pour le Pr.II. 2, si X1, X2 se trouvent dans l’espace réalisable, la
solution X1 domine la solution X2 quand :
∀i ∈ [1, A] f i ( X 1) ≤ f i ( X 2)
 Eq II. 44
∃j ∈ [1, A] f j ( X 1) < f j ( X 2)
L’optimalité au sens de Pareto est définie de la manière suivante : une solution X est
optimale au sens de Pareto s’il n’y pas d’autres solutions qui la dominent. L’ensemble des
solutions X est appelé frontière de Pareto. On constate que la frontière de Pareto est la zone
des meilleurs compromis entre les objectifs.
Le problème suivant donne un exemple simple d’une optimisation multi-objectifs au
sens de Pareto. Il y s’agit de minimiser les fonctions f1(x) et f2(x) dans la zone grise
correspondante aux solutions faisables (Fig.II. 19).
72
Fig.II. 19: Courbe de Pareto d’un exemple

On peut remarquer qu’il n’existe aucun point sur lequel deux fonctions atteignent
simultanément leur meilleur optimum possible.
III.3.2. NSGAII [SRI94] - [DEB02], une méthode de détermination de la frontière
de Pareto
Il existe deux principes pour tracer la frontière. Le premier consiste à transformer le
problème d’optimisation multi-objectifs en un problème mono-objectif. En utilisant un
algorithme d’optimisation mono-objectif, on peut déterminer la frontière de Pareto. Le second
principe consiste à utiliser la définition même de la frontière Pareto. Les lecteurs peuvent
pourront se reporter pour plus de détails à [MAG04]-[NGU05]-[REG03]. Dans ce rapport,
nous présenterons cette seconde approche en nous basant sur l’algorithme NSGAII.
NSGA II, une évolution de l’algorithme NSGA proposé par [DEB02]-[SRI94]. Cet
algorithme est basé sur une adaptation des algorithmes évolutionnaires pour résoudre des
problèmes multi-objectifs. Il utilise la technique d’élitisme permettant de garder les meilleurs
individus pendant plusieurs générations [ZIT01], et la technique de nichage simplifiée basée
sur un mécanisme d’estimateur de densité (distance crowding) pour avoir une bonne
répartition des individus sur la courbe Pareto. Le principe de NSGA II est présenté par la
Fig.II. 20
73
Initialisation des individus de départ

P, Q
Evaluation Création des nouveaux enfants: Q
Détermination des fronts avec deux Sélection de la nouvelle population

populations P, Q archive : P
Condition Non Calculs des distances de crowding

d’arrêt
Oui
Fin
Fig.II. 20: Structure générale du NSGA II

Dans cet algorithme, il y a deux populations de taille constante : P est la population
archive qui stocke les meilleurs individus et Q est la population des enfants qui sont créés par
les lois génétiques (croisement, mutation) à partir les individus de la population archive. Nous
détaillons ici, les méthodes importantes utilisées dans NSGAII :
• Détermination des fronts :
Pour chaque individu dans les deux populations P et Q, on donne un rang
correspondant au front auquel il appartient. Le premier front contient tous les individus qui ne
sont pas dominés par les autres. Ce front est la frontière Pareto du problème. Le deuxième
front contient tous les individus qui sont dominés seulement par les individus situés au
premier front. Les équations Eq II. 44 représentent la définition de domination pour deux
individus qui se trouvent dans l’espace réalisable. Pour traiter les optima de Pareto des
problèmes d’optimisation avec contraintes, nous utilisons un critère de domination pour les
individus trouvés dans l’espace non-réalisable [DEB02].
a. Si X1 se trouve dans l’espace réalisable, et X2 se trouve dans l’espace non-
réalisable : X1 domine toujours la solution X2.
b. Si X1, X2 se trouve dans l’espace non-réalisable, X1 domine X2 si:
∀i ∈ [1, A] f i ( X 1) ≤ f i ( X 2)
 Eq II. 45
∃j ∈ [1, A] f j ( X 1) < f j ( X 2)
La Fig.II. 21 présente la classification des individus selon le rang de Pareto pour un

exemple avec les fonctions objectifs : minimiser f1 , f2
74
f1
3ème front
(rang 3)
2ème front
(rang 2)
1er front (rang 1)
Frontière de Pareto
f2
Fig.II. 21: Classification des individus selon le rang de Pareto
• Calcul des distances de crowding

La distance de crowding D permet d’estimer la densité de solutions autour d’un
individu dans des populations. L’algorithme pour calculer la distance de crowding D(Xi) d’un
individu Xi est :
Pour chaque front Fra (a=1..Nombre de front)

l= nombre des individus se trouvant sur le front Fra
Pour chaque individu Xi se trouvant sur le front Fra, on pose : D(Xi)=0 ;
Pour chaque objectif j(j=1..A)
o Trier l individu se trouvant sur le front Fra selon la valeur de la fonction
objectif fj par ordre croissant
o Poser D(X1)=D(Xl)= ∞
o Pour chaque individu i (i=2..l)
f j ( X (i + 1)) − f j ( X (i − 1))
D ( Xi ) = D( Xi) +
f j ( Xl ) − f j ( X 1)
La distance crowding D(Xi) permet donc de calculer la proximité d’un individu Xi

avec ses voisins, les individus les plus éloignés de leurs voisins ont la valeur de D(Xi) la plus
grande.
• Sélection de la population archive
On réalise le classement des individus pour choisir les meilleurs individus à stocker
dans la population archive. Si deux individus se trouvent sur le même front, le meilleur est
celui qui a la plus grande distance de crowding D. Ce classement permet de garder les
75
meilleurs individus pendant plusieurs générations et d’assurer la répartition des individus sur
la frontière Pareto.
IV. Outils pour modéliser et optimiser les réseaux électriques embarqués :

Cades, Saber
Une fois qu’on connaît les modèles et les algorithmes d’optimisation, il est possible
d’utiliser des logiciels qui faciliteront le concepteur dans son travail de mise en ouvre des
modèles et d’exécution de l’optimisation. Aujourd’hui, il existe pour cela différents outils
informatiques. Ces outils sont résumés dans la thèse de Barruel [BAR05]. Dans nos travaux,
nous utiliserons l’environnement Cades (Component Architecture for the Design of
Engineering System) [DEL07] couplé avec l’outil de simulation Saber. Seul le principe en
sera montré ici. Il faut se reporter à l’annexe D pour le détail et l’utilisation.
IV.1. Cades
IV.1.1. Structure
Il comporte quatre parties : Cades-Generator, Cades-Calculator, Cades-Optimization,
Cades-PostProcessor (les détails de ces parties se trouve dans l’annexe D)
• Cades-Generator : Permet d’entrer le modèle de conception sous forme texte,
puis de générer un composant logiciel contenant le modèle de conception. Cades-Generator
permet aussi d’intégrer un outil de simulation (ici Saber) pour une approche numérique ou
mixte (analytique-numérique)
• Cades-Calculator : Une fois le composant logiciel contenant le modèle de
conception créé par Cades-Generator, il est chargé dans Cades-Calculator qui permet de
calculer la valeur et la dérivée d’une sortie à partir des valeurs des paramètres d’entrée. Il
permet aussi de tracer la variation de la valeur et de la dérivée d’une sortie en fonction d’un
paramètre d'entrée.
• Cades-Optimization : Lorsque le composant logiciel contenant le modèle de
conception a été créé par Cades-Generator, il est chargé en association des spécifications et un
algorithme d’optimisation dans Cades-Optimization, Cades-Optimization peut alors faire
l’optimisation.
• Cades-PostProcessor : Permet d'effectuer le post-traitement de l’optimisation
faite par Cades-Optimization (visualisation des résultats sous forme numérique ou graphique).
On peut remarquer que l’algorithme SQP est déjà existant dans la bibliothèque des
algorithmes d’optimisation de Cades. Nous avons par contre intégré les autres algorithmes
ES, RTS, PSO et NSGAII dans l’environnement Cades.
IV.1.2. Avantages pour l’utilisation

Cades a les avantages suivants :
• Il est capable d’effectuer la modélisation d’un système électrique et des
composants intégrés en assemblant différents types de modèles : analytiques, semi-
analytiques, numériques.
76
• On peut utiliser facilement différents algorithmes d’optimisation

• On peut analyser le comportement :
Du système (pour étudier par exemple l’influence les entrées sur les
sorties)
Du résultat de l’optimisation (géométrique, contraintes).
• Les modèles et les algorithmes d’optimisation sont réutilisables.
• Il peut être utilisable par tous les concepteurs de système électrique
embarqué, en particulier, les concepteurs n’ayant pas de compétence particulière en
informatique.
IV.2. Saber
Saber est un outil de simulation numérique développé par Synopsys [SAB]. Il permet
la simulation des structures électroniques de puissance avec leurs commandes associées, ainsi
que des composants magnétiques. Il est doté d’une FFT qui permet de mener des études
harmoniques.
On peut constater que Saber a un nombre de modèles multi-physiques importants et un
langage de programmation dédié (MAST) pour créer des composants [BAR05]. En plus, ce
logiciel est très utilisé dans l’industrie aéronautique, particulièrement chez Airbus.
Les composants sont modélisés par des circuits équivalents ou des réseaux de
réluctances.
La Fig.II. 22 présente la modélisation d’un point de diodes et d’une inductance
d’interphase sous Saber. Ces composants seront détaillés au chapitre III.
Inductance d’interphase Point de diodes
Fig.II. 22: Composants modélisés sous Saber
V. Conclusions
Ce chapitre a abordé deux parties importantes pour le dimensionnement des systèmes
électriques embarqués : la modélisation et l’algorithme d’optimisation.
La partie modélisation a présenté les modèles et les méthodes pour modéliser un
système électrique embarqué. Nous avons laissé la liberté du choix du modèle et de la
méthode à effectuer en fonction de l’application considérée.
77
La partie sur les algorithmes d’optimisation a abordé le problème du choix des

algorithmes et de leurs configurations (contrôle des contraintes, critères d’arrêt, croisement,
mutation) adaptés pour le dimensionnement optimal d’un réseau embarqué.
Ce chapitre s’est terminé par la présentation de l’environnement Cades et de l’outil de
simulation Saber.
Il est enfin important de souligner que ces méthodes et outils informatiques sont
génériques. Ils peuvent donc être utilisés pour le dimensionnement d’un système électrique
embarqué quelconque. Nous les appliquerons dans cette thèse à un canal de puissance
nouvelle génération d’un avion Airbus.
78
Chapitre III
Modélisation et Optimisation du canal

de puissance d’un AIRBUS
« nouvelle génération »
Chapitre III : Modélisation et Optimisation du canal de puissance
d’un AIRBUS « nouvelle génération »
I. Introduction
Dans ce chapitre, nous utilisons les méthodes et outils présentés précédemment pour
dimensionner un canal de puissance typique d’un Airbus « nouvelle génération ». Ce canal de
puissance permet de créer le réseau haute tension (HVDC – +/- 270 V dc) d’un réseau
alimentation mixte AC/HVDC tel que celui présenté sur la Fig.III. 1.
Fig.III. 1: Schéma d’un réseau mixte AC/HVDC [GAR06]

Le canal de puissance comporte différents dispositifs (transformateur, convertisseur,
filtre,…) qui sont connectés en série ou en parallèle. Ces dispositifs modifient la forme
originale du courant et de la tension de la ligne en créant des harmoniques qui auront une
influence sur la qualité de la puissance électrique transmise et par suite une influence sur les
composants alimentés par le bus continu : moteur, éclairage, électroniques… L’objectif du
dimensionnement est de diminuer la masse de canal de puissance et d’assurer la qualité de la
puissance transmise. Pour cela, plusieurs étapes sont nécessaires :
• Choisir une structure du canal de puissance
• Déterminer les normes de qualité du réseau à respecter
• Modéliser le canal de puissance pour faire le dimensionnement optimal
• Optimiser le canal de puissance pour avoir une masse minimale tout en
respectant toutes les normes.
• Analyser les résultats et étudier leurs sensibilités
80
II. Structure
Il existe différents types de canal de puissance : 12, 18 pulses5, avec ou non présence
d’une inductance d’interphase [UAN03] (l’inductance d’interphase est détaillée au IV.2.5 de
ce chapitre). La structure du canal de puissance étudié est un ATRU6-12 pulses représenté sur
la Fig.III. 2 par le rectangle rouge et qui comporte [REG05] :
• Un auto-transformateur
• Un redresseur
• Une inductance d’interphase
• Un filtre de passe-bas
Générateur Auto- Redresseur Inductance Filtre
synchrone Transformateur d’ Interphase
+ Feeders Va1,Vb1,Vc1 Vp1, Vn1 Vp
~ ~ 540 VDC
Vn
Va,, Vb , Vc Va2 , Vb2 , Vc2 Vp2, Vn2
Fig.III. 2: Structure du canal de puissance étudié (le rectangle rouge comporte les composants à
dimensionner)
La tension à l’entrée du canal est alternative triphasée (Va, Vb, Vc) avec (Veff = 230V, f
= 380-800Hz). Elle est fournie par le générateur synchrone à travers les feeders. A la sortie de
l’auto-transformateur, il y a deux systèmes de tensions triphasées qui sont déphasées de 30°
((Va1, Vb1, Vc1) et (Va2, Vb2, Vc2)). Ces deux systèmes de tension sont redressés et donnent
deux systèmes de tensions continues (Vp1, Vn1) et (Vp2, Vn2). Ces tensions voient ensuite
l’inductance d’interphase (qui permet d’équilibrer les courants traversant les deux ponts en
parallèle du redresseur 12 pulses) et le filtre. La tension filtrée vaut 540 Vdc à la sortie du
canal.
III. Normes
Le canal de puissance doit respecter des normes qui sont imposées à son entrée et à sa
sortie. On rappelle que la tension d’entrée est alternative triphasée (AC), avec : Veff = 230 V, et
qu’à la sortie, c’est une tension continue DC avec Vdc=540V. On peut remarquer qu’il
n’existe actuellement pas de norme aéronautique pour ces niveaux de tension. Il existe
seulement la norme ABD0100.1.8 [ABD100] pour le 115V AC et la norme STD-704F
[STD704] pour le 270V DC. Nous avons décidé d’utiliser ces deux normes dans nos études.
Nous les avons modifiées de la façon suivante : la valeur des contraintes en harmonique est
5 : Le nombre de pulses dépend du nombre de ponts redresseurs mis en oeuvre (On parle d’un redresseur 6
pulses pour un pont complet triphasé, d’un redresseur 12 pulses pour deux ponts complets en parallèle, etc)
6
: Le canal de puissance étudié comporte un auto-transformateur, le système de redresseur (redresseur,
inductance d’interphase et filtre). L’ensemble est appelé ATRU (Auto-Transformer-Rectifier Unit)
81
multipliée par 2, la valeur des contraintes en fréquence est conservée. Il est à noter que nous
étudierons l’influence de ces choix de normes sur le dimensionnement optimal du canal dans
le chapitre IV.
III.1. Domaine d’étude et définitions
III.1.1. Domaine d’étude
Dans le cadre d’une étude sur la qualité de l’énergie dans un réseau d’avion, [GAR06]
a défini que :
• Les harmoniques dont la fréquence est comprise entre 0 et 15 kHz sont considérées
comme des perturbations BF (basse fréquence) qui créent des perturbations conduites par les
câbles dans les réseaux de puissance
• Au-delà de 15 kHz, les perturbations HF associées aux problèmes de compatibilité
électromagnétique (perturbations rayonnées d’origine magnétique ou capacitive) résolus par
un filtrage des charges spécifique.
Nous n’étudierons donc que les harmoniques dont la fréquence est comprise entre 0 et
15 kHz.
III.1.2. Rappel de quelques définitions
• Taux individuel d’harmonique : Le rapport entre un harmonique Xi et le
Xi
fondamental Xf est Thi = . Il s’agit d’un taux qui permet d’évaluer l’importance d’un
Xf
harmonique i par rapport au fondamental.

• Taux de distorsion harmonique : Il permet de quantifier la proportion d’énergie
transportée par les harmoniques d’une grandeur électrique. La formule pour calculer le taux
2
∑ Xi
i≠ f
de distorsion harmonique est : THD = (Xi : Valeur de l’harmonique i, Xf : Valeur du
Xf
fondamental)
III.2. Normes sur les harmoniques
III.2.1. Du coté de l’entrée
• Courant
Les taux individuels d’harmoniques du courant à l’entrée doivent respecter le gabarit
défini par le tableau suivant :
82
Harmonique (i) Limite maximale

i=3, 5, 7 ThIe max_ i = 0.02
i=11 ThIe max_ i = 0.1
i=13 ThIe max_ i = 0.08
i=17, 19 ThIe max_ i = 0.04
i=23, 25 ThIe max_ i = 0.03
i=29, 31, 35, 37 ThIe max_ i = 0.3 / n
i=2,4 ThIe max_ i = 0.01 / n
i=3k et i: impaire ThIe max_ i = 0.1 / n
Autres cas ThIe max_ i = 0.0025
Tab.III. 1 : Limite maximale des taux individuels d’harmoniques du courant à l’entrée
Donc, il faut veiller à ce que :

ThIe i ≤ ThIe max_ i (i =2..Nh)
Iei
Avec ThIei = : Taux individuel de l’harmonique i du courant à
Ie1
l’entrée
Iei : Valeur de l’harmonique i
Ie1 : Valeur du fondamental du courant à l’entrée
Nh : Nombre d’harmoniques considérés
• Tension
Le taux individuel de chaque harmonique de la tension à l’entrée doit être inférieur à
0.08
ThVei ≤ 0.08 (i=0..Nh, i≠1)
Vei
Avec: ThVei =
Ve1
Vei : Valeur de l’harmonique i
Ve1 : Valeur du fondamental de la tension d’entrée
Nous n’étudierons que les harmoniques dont la fréquence est inférieure à 15 kHz.
L’ordre des harmoniques traités doit donc être inférieur à 37.5 (15000/400, la fréquence
fondamentale étant de 400 Hz). Donc Nh=37.
83
III.2.2. Du coté de la sortie

Le spectre de la tension doit vérifier:
Vdc f ≤ Vdc max_ f (10<f<15000)
Avec Vdc f : gain (dB) de la tension du coté continue à la sortie du
canal (Vdcf (en dB)=20.log(Vdcf(en V))
Vdc max_ f est donné par le gabarit suivant.
Amplitude (dB)
Fréquence (Hz)
Fig.III. 3: Valeur maximale du gain de la tension Vdc à la sortie
III.3. Norme sur les taux de distorsion
III.3.1. Du coté de l’entrée
Le taux de distorsion harmonique de la tension de chaque phase doit vérifier :
Nh 2
∑ Vei
THDVe = i =2 < 10%
Ve1
Ve1 : Valeur du fondamental du courant à l’entrée
III.3.2. Du coté de la sortie

Le taux de distorsion harmonique de la tension Vdc doit vérifier :
15000
2
∑ Vdc f
f =10
THDVdc = ≤ 1.5%
Vdc 0
Vdc f : spectre de la tension continue
Vdc0 : valeur moyenne de la tension de sortie
84
Le taux de distorsion harmonique de la tension de chaque phase doit vérifier :

Nh 2
∑ Vei
i=2
THDVe = < 10%
Ve1
Ve1 : Valeur du fondamental de la tension à l’entrée
III.4. Stabilité et régime transitoire

Après une perturbation de la charge du coté continu, le système doit respecter des
critères de stabilité : la tension à l’entrée, la tension à la sortie doivent rester dans des zones
définies par des gabarits.
III.4.1. Norme sur le régime transitoire du coté de l’entrée
La valeur efficace de la tension transitoire à l’entrée doit se trouver dans la zone
définie entre les deux courbes de la Fig.III. 4.
400
360
320
280
Tension (V)
240
200
160
120
80
40
0 Temps (s)
0,01 0,1 1 10
Fig.III. 4 :Norme à respecter pour le régime transitoire de la valeur efficace de tension alternative du
coté de l’entrée
III.4.2. Norme sur le régime transitoire du coté de la sortie
La tension transitoire du coté de la sortie doit se trouver dans la zone définie entre les
deux courbes de la figure ci-dessous.
85
700
Tension (V)
600
500
400
300
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
Temps (s)
Fig.III. 5: Norme à respecter pour le régime transitoire de tension continue du coté de la sortie
III.5. Courant de court-circuit
Il faut dimensionner le canal de puissance pour que le disjoncteur puisse réagir en cas
de court-circuit à la sortie continue du canal de puissance (Fig.III. 6).
Canal de
~ puissance
Fig.III. 6: Court-circuit du coté de la sortie du canal de puissance
On consiste que la tension nominale de notre étude est 540 Vdc avec un courant de
185 A. Aujourd’hui, il n’existe pas de disjoncteur dédié à un réseau 540 V d’avion. C’est
pourquoi nous utiliserons les caractéristiques d’un disjoncteur 28V (20-50A) [AEC05] que
nous adapterons. Le tableau ci-dessous présente le temps de déclenchement en fonction du
courant de court-circuit :
Icc 2In 5In 10In 4000 A
Temps de déclenchement 14 s 0.15 s 0.045 s 1 ms
In: Courant nominal
Tab.III. 2: Tableau de déclenchement du disjoncteur 28 V
On suppose que la courbe de déclenchement est aussi valable pour un courant nominal
de 185A et une tension de 540 V. Nous avons ainsi construit la courbe de déclenchement du
disjoncteur (Fig.III. 7).
86
Temps de déclenchement (s)
Courant court-circuit (A)

: Zone de déclenchement interdite
Fig.III. 7 : Courbe de déclenchement du disjoncteur
Pour que le disjoncteur fonctionne en cas de court-circuit, le courant de court-circuit

doit couper la courbe de déclenchement du disjoncteur. L’intersection donnera le temps de
déclenchement. On peut remarquer que le courant de court-circuit évolue avec le temps. Si le
courant de court-circuit ne se trouve pas dans les zones bleues, le disjoncteur déclenchera.
Donc, il faut respecter deux conditions :
• Icc<4000 A (t<1 ms)
• Icc>400 A ( t>15 s)
(t : temps écoulé à partir de l’apparition du court-circuit)
IV. Modélisation du canal de puissance pour l’optimisation

IV.1. Choix du modèle
L’analyse du problème d’optimisation nous montre qu’il faut modéliser le canal de
puissance pour avoir les grandeurs suivantes :
• La masse totale du canal
• Les harmoniques de courant et de tension à l’entrée et à la sortie
• La stabilité du système et le régime transitoire
• Le courant de court-circuit
On remarque que seul un modèle analytique permet de calculer la masse du canal.
Pour calculer les harmoniques et le courant de court-circuit, il est difficile de procéder
à une modélisation analytique car le système est compliqué. Il existe en effet des couplages
forts entre les composants magnétiques et les deux ponts diodes. En outre, le temps de
simulation temporelle du canal de puissance n’est pas très grand (environ 6s avec Pentium 4,
87
3.2 GHz, 1 Go de Ram). On pourra donc utiliser une simulation Saber pour calculer les
valeurs temporelles des grandeurs électriques (tension, courant) et le courant de court-circuit.
A partir des valeurs temporelles des grandeurs électriques, on déterminera les harmoniques
par la méthode indirecte (FFT) qui a été évoquée dans le chapitre II.
Pour vérifier que le système est stable et que le régime transitoire est respecté, la
simulation a besoin de plus de temps (120s sur le même ordinateur). Ce temps est prohibitif
pour une approche par optimisation nécessitant de nombreux appels à simulation. En utilisant
les travaux de [FOC93] [REG05], on préférera construire un modèle analytique pour vérifier
la stabilité. En contrepartie, ce modèle se traduira par une précision moins bonne que celle
pouvant être obtenue avec une méthode de simulation et il ne permettra pas de vérifier les
performances en régime transitoire. Ceci sera fait a posteriori, une fois l’optimisation conduite
à bien à l’aide du modèle analytique.
Pour faire la simulation Saber, le canal de puissance sera représenté par des réseaux de
réluctances et des circuits électriques simples. Les paramètres des réseaux de réluctances
seront calculés à partir de la géométrie des composants.
IV.2. Modélisation des composants
Dans cette partie, nous allons maintenant présenter de façon générale la structure des
composants et les hypothèses que nous posons quant à la façon dont ils sont réalisés et
construits. Nous abordons aussi comment on peut représenter ces composants dans Saber.
Pour le détail des équations, nous inviterons les lecteurs à lire l’annexe B.
Pour tous les composants du canal de puissance, nous utilisons les hypothèses ci-
dessous :
• Les composants magnétiques fonctionnent en régime linéaire.
• On ne prend pas en compte le système de refroidissement sauf le
redresseur.
• On ne prend pas en compte le packaging des composants.
• On ne prend pas en compte l’isolation électrique.
• Pour le noyau des composants magnétiques, nous utilisons les tôles de
0.30 mm, à grain orienté (densité de flux saturé 1.7 T, masse volumique 7800 kg/m3,
perméabilité magnétique relative 10 000).
• Le bobinage est en cuivre pur (résistivité 2.6.10-8 Ω.m à 70° C , masse
volumique 8900 kg/m3) avec un coefficient de bobinage 2.0 (rapport entre la surface
d’encoche totale et la surface d’encoche effectivement remplie par du cuivre)
IV.2.1. Générateur
Pour la présente étude, la masse du générateur n’est pas comptée dans la masse du
canal de puissance et nous ne dimensionnons pas le générateur. Le générateur doit quand
même être modélisé pour représenter son influence sur le comportement harmonique et
dynamique du système.
Selon [CHA84] et [GAR06], pour étudier les harmoniques et les régimes transitoires,
on peut utiliser le modèle RLE comme cela est illustré sur la Fig.III. 8 avec:
88
Rg = 11mΩ ;
Lg = 63 µH ;
E : valeur choisie pour assurer une tension efficace à l’entrée du canal est 230V sous 400Hz.
IV.2.2. Feeders
Les feeders sont des lignes électriques qui permettent de connecter le générateur et
l’ATRU. Comme pour le générateur, on ne dimensionne pas les feeders mais on doit les
modéliser pour tenir compte de leur rôle lors des régimes transitoires et sur les harmoniques.
Selon la localisation du canal de puissance, les valeurs de L, R sont différentes. Pour
nos travaux, nous utilisons : Rfeeders = 10mΩ, Lfeeders = 15mH. Ce sont des valeurs fournies par
Airbus.
E Rg Lg Rfeeders Lfeeders
Eeff=230V
Fig.III. 8: Modèle RLE par phase du générateur et des feeders pour l’étude des harmoniques, du
régime dynamique et du courant de court-circuit.
IV.2.3. Auto-Transformateur
IV.2.3.1. Rôle de l’auto-transformateur
Ayant une tension d’entrée triphasé (Va, Vb, Vc) (Veff=230V, f : 360 Hz-800Hz),
l’auto-transformateur permet de créer deux systèmes de tension triphasés (Va1, Vb1, Vc1) et
(Va2, Vb2, Vc2) qui ont la même valeur efficace mais un déphasage de 30°.
Vc1
Vc2
Vc
Va2
Va
0 30°
Va1
Vb
Vb1
Vb2
Fig.III. 9 : Schéma vectoriel des tensions d’entrée et des deux systèmes de tension de sortie créés par
l’autotransformateur
89
IV.2.3.2. Hypothèse du dimensionnement

• Structure
Nous utilisons la structure de l’auto-transformateur définie dans le travail de [REG05].
On suppose que l’auto-transformateur comporte trois colonnes avec un primaire et deux
secondaires. Le premier bobinage secondaire produit les tensions primaires (Va1, Vb1, Vc1). Le
deuxième bobinage secondaire produit les tensions (Va2, Vb2, Vc2).
Chaque tension de sortie est une composition des 3 tensions d’entrée Va, Vb, Vc. Pour
la créer, on utilise 3 bobinages situés sur des colonnes différentes. Les nombres de spires des
bobinages sont (a1-1).na, na.b1, na.c1 pour (Va1, Vb1, Vc1) ou (a2-1).na, na.b2, na.c2 pour (Va2,
Vb2, Vc2). (na : nombre de spires du primaire). La Fig.III. 10 illustre cette structure.
Va Vb Vc
Primaire
n a spires
Secondaire (a1 − 1).n a spires

I
n a .b1 spires
n a .c1 spires
Va1
Vb1 Vc1
(n a − 1).a 2 spires
Secondaire
II n a .b2 spires
n a .c 2 spires
Vb2 Vc2 Va2

Fig.III. 10: Structure de l’auto-transformateur étudié
90
Par exemple, pour Va1, on a 3 bobinages :

Le premier comporte (a1-1).na spires, se trouve sur la colonne de
Va.
Le deuxième comporte na.b1 spires, localise sur la colonne de
Vb.
Le dernier comporte na.c1 spires, se trouve sur la colonne de Vc.
D’où : Va1 = Va + (a1-1) Va + b1.Vb + c1. Vc

= a1.Va + b1. Vb + c1. Vc
En résumé, les tensions à la sortie peuvent être calculées à partir des entrées par les
équations :
V a1   a1 b1 c1 
   
Vb1   c1 a1 b1  Eq.III. 1
V   b c1 a1 
 c1  =  1 (V a Vb Vc )T
V a 2   a 2 b2 c2 
   
 Vb 2   c 2 a2 b2 
V   b c2 a 2 
 c2   2
Avec a1, a2, b1, b2, c1, c2, des valeurs réelles qui varient entre −∞ et +∞
D’après Eq.III. 1, on a :
Va1 = a1.Va + b1.Vb + c1.Vc
Vb1 = c1.Va + a1.Vb + b1.Vc
…..
Vc2 = b2.Va + c2.Vb + a2.Vc
On peut remarquer que si on connaît la valeur efficace de (Va1, Vb1, Vc1), on peut
déterminer la valeur de b1, c1 en fonction de a1 (cf. la partie II.3 de l’annexe B), idem pour b2,
c2.
• Géométrie
Pour la géométrie de l’auto-transformateur, nous utilisons la géométrie utilisée par

[FER99]- [POL86] et représentée sur la figure Fig.III. 11 avec une forme de noyau
magnétique carrée.
91
2.dc+D1+2.D2 2.dc+D1+2.D2
b b b
D1 : Distance d’isolement entre deux bobinages

D2 : Distance d’isolement entre le bobinage et le noyau
magnétique
(Dans nos études, nous proposons D1=D2=0)
b: Largeur du noyau magnétique
h : Hauteur de fenêtre du noyau magnétique
dc : Largeur de bobinage
: Bobinage (cuivre)
: Noyau magnétique (fer)
Fig.III. 11: Géométrie de l’auto-transformateur
En utilisant cette structure et cette géométrie, nous pouvons calculer la masse de

l’auto-transformateur en fonction de la puissance et des paramètres de conception suivants :
Nom Description Intervalle de variation

Min Max
a1 Coefficient dans l’équation Va1= a1.Va+ b1.Vb + c1.Vc −∞ +∞
a2 Coefficient dans l'équation Va2= a2.Va+ b2.Vb + c2.Vc −∞ +∞
kd Rapport entre la largeur de bobinage et la largeur du 0 +∞
noyau magnétique de l’auto- transformateur (kd=dc/b)
na Nombre de spires du primaire de l’auto-transformateur 1 +∞
Tab.III. 3 : Paramètres de conception de l’auto-transformateur

Les équations détaillées du modèle se trouvent dans la partie II.3 de l’annexe B.
92
IV.2.3.3. Modélisation sous Saber

L’auto-transformateur est modélisé sous Saber par le couplage entre un réseau de
réluctances et un circuit électrique équivalent représentatif du bobinage.
Le réseau de réluctances de l’auto-transformateur est construit en utilisant un
document issu de Thales [THA05]. La Fig.III. 12.a présente le réseau de réluctance de l’auto-
transformateur. Chaque colonne est représentée par les sources d’ampères-tours en série avec
une réluctance qui est la réluctance d’une colonne magnétique de surface de noyau S, de
hauteur h et de perméabilité relative du matériau µr (Fig.III. 12.c). Les sources d’ampères-
tours sont les bobinages. Dans le circuit électrique équivalent, chaque bobinage est représenté
par un enroulement parfait et une inductance de fuite associée. L’enroulement comprend deux
paramètres : la résistance série rb et le nombre de spires ns. L’inductance Lf modélise
l’inductance de fuite du bobinage (Fig.III. 12.b).
Les paramètres caractéristiques du modèle sont calculés analytiquement en utilisant la
structure, la géométrie et les matériaux utilisés. Les équations analytiques se trouvent dans la
partie II.4 de l’annexe B.
source d’ampères-tours
b. Bobinage du circuit électrique équivalent
a. Réseau de réluctances de l’auto- c. Réluctance R (avec R=1/µ0.h/S)

transformateur
Fig.III. 12 : Réseau de réluctance du l’auto-transformateur et circuit électrique équivalent
93
Fig.III. 13 : Exemple d’une structure l’auto-transformateur sous Saber
IV.2.4. Système redresseur

IV.2.4.1. Objectif
Il s’agit de redresser les deux systèmes de tensions triphasées de la sortie de l’auto-
transformateur.
IV.2.4.2. Hypothèse du dimensionnement
Nous utilisons deux ponts de diodes en parallèle dont la structure est donnée sur la
Fig.III. 14.
Vp1
Va1
Vb1
Vc1
Vn1
Fig.III. 14: Structure d’un pont de diodes

On utilise un radiateur comme système de refroidissement pour protéger les diodes.
Grâce à des données de constructeur [REG03], on peut avoir une courbe de résistance
thermique du radiateur en fonction de sa longueur (cf. III.3 de l’annexe B).
94
On considère que la masse des diodes est négligeable par rapport à la masse du
radiateur. La masse de l’onduleur est donc la masse de son radiateur. Cette masse est calculée
par : Masse du radiateur = Longueur de radiateur x Masse par unité de longueur
On peut remarquer que dans nos travaux, le courant de sortie du redresseur est
constant car filtré par l’ensemble constitué de l’inductance d’interphase et du filtre. Ceci
donne des pertes constantes dans les redresseurs (voir les formules Eq.B.77, Eq.B.78 dans
l’annexe B). Finalement, la masse du radiateur ne change pas.
IV.2.5. Inductance d’Interphase
IV.2.5.1. Objectif
Dans le système étudié, il y a deux redresseurs mis en parallèle, le courant peut donc
se repartir de matière non identique dans chacun des redresseurs. Le courant est le plus grand
dans la branche ayant la faible impédance. La différence de courant fait augmenter
l’échauffement. Il faut alors utiliser une inductance d’interphase pour équilibrer les courants
afin de diminuer les pertes.
IV.2.5.2. Hypothèse de dimensionnement
• Structure
A la sortie des redresseurs, il y a deux systèmes de tensions redressées (Vp1, Vn1) et
(Vp2, Vn2) (p : tension positive, n : tension négative). Il faut donc utiliser deux inductances
d’interphase (Fig.III. 15.a). L’une équilibre les courants du bus positif, l’autre équilibre le bus
négatif.
Ip1
Vp1 Vp1
Ip2 Vp
Vp2 Ip Ip1 ni
In1 Vp2 ni
spires
Vn1 Ip2 spires Vp
Vn
Vn2 In Ip
In2
a. Inductances d’interphase utilisées dans le b. Principe d’une inductance d’interphase –

système étudié Transformateur d’équilibrage
Fig.III. 15 : Inductance d’interphase

Du fait des symétries du système, les deux inductances d’interphase peuvent donc être
dimensionnées de manière identique. Nous choisissons de dimensionner l’inductance
d’interphase du bus positif.
L’inductance d’interphase est un transformateur d’équilibrage qui a le même nombre
de spires au primaire et au secondaire. Les enroulements sont branchés dans le même sens de
sorte que les forces magnétomotrices se soustraient (Fig.III. 15.b).
On peut alors montrer que Ip1=Ip2= Ip/2. Les courants sont bien partagés sur deux
redresseurs.
95
• Géométrie
La structure d’inductance d’interphase que nous avons choisie est décrite sur la Fig.III.
16. 2.dc i + D1i + 2.D 2 i
bi bi
bi
hi
bi
D1i : Distance d’isolement entre deux bobinages

D2 i : Distance d’isolement entre le bobinage et le noyau magnétique
Dans nos études, D1i = D2 i =0
bi : Largeur du noyau magnétique
hi : Hauteur de fenêtre du noyau magnétique
dc i : Largeur du cuivre des bobinages
: Bobinage (cuivre) : Noyau magnétique (fer)
Fig.III. 16 : Géométrie d’une inductance d’interphase
Les équations permettant de dimensionner et de calculer la masse de l’inductance
d’interphase se trouvent dans la partie IV.2 de l’annexe B. Les paramètres de conception de
l’inductance d’interphase sont donnés dans Tab.III. 4.
96
Description Intervalle de variation

Nom Min Max
kd_i Rapport entre largeur du cuivre et largeur du noyau de 0 +∞
fer kd_i= dc i / bi
ni Nombre de spires de l’inductance d’interphase 1 +∞
Tab.III. 4 : Paramètres de conception de l’inductance d’interphase

IV.2.5.3. Modélisation sous Saber
En utilisant le même principe que pour l’auto-transformateur (Fig.III. 16), on modélise
l’inductance d’interphase sous Saber par le couplage entre un réseau de reluctances et un
circuit électrique équivalent comme le montre la Fig.III. 17 (Voir la partie IV.3 de l’annexe
B)
Vp1 Vp Vp2
Fig.III. 17 : Structure sous Saber de l’inductance d’interphase
IV.2.6. Filtre
IV.2.6.1. Objectif
Son objectif est de filtrer la tension de sortie pour obtenir une tension continue qui
respecte le gabarit défini par les normes de qualité du réseau (voir III.2.2 de ce chapitre).
IV.2.6.2. Hypothèse de dimensionnement
Nous choisissons la structure de filtre de la Fig.III. 18.
97
Vp L
C Vdc
Vn
Fig.III. 18 : Structure du filtre utilisé
Il faut donc dimensionner le condensateur et l’inductance du filtre

IV.2.6.2.1. Condensateur
Nous n’avons pas trouvé de référence permettant de modéliser la masse d’un
condensateur. Nous utilisons donc les données de SIC-SAFCO [SIC] pour calculer la masse.
Nous utilisons la structure LELSIC 85 qui a la plus petite taille et qui peut supporter la tension
540 V.
Grâce ces données, on peut construire la variation de la masse en fonction de la valeur
de capacité (voir la partie V.2 de l’annexe B). La Fig.III. 19 présente cette variation
2
1.8
1.6
Masse (Kg)
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.0001 0.0006 0.0011 0.0016 0.0021 0.0026
Capacité (F)
Fig.III. 19: Masse d’un condensateur en fonction de sa capacité
On peut remarquer que [BAR05] a utilisé le même principe pour trouver le volume de
condensateur en fonction de sa capacité.
IV.2.6.2.2. Inductance
Nous utilisons le type d’inductance de la Fig.III. 20: le bobinage est bobiné autour de
la jambe centrale dans laquelle il y a un entrefer.
98
bf / 2 bf dc f
: Bobinage (cuivre)

hf
: Entrefer
bf : Largeur du noyau magnétique

de la colonne du centre
dc f : Largeur du bobinage
bf : Hauteur de fenêtre du noyau

magnétique
Fig.III. 20: Structure de l’inductance

Avec cette structure, on peut déterminer la masse de l’inductance en utilisant les
techniques de dimensionnement des inductances issues de [FER99]. Les équations analytiques
pour calculer la masse de l’inductance sont détaillées dans la partie V.3.2 de l’annexe B.
IV.2.6.3. Paramètres de conception
Les paramètres de conception du filtre sont détaillés ci-dessous.
Min Max
C Capacité du filtre 600 µF 1000 µF
L Inductance du filtre 5 µH 100 µH
kd_f Rapport entre la largeur du bobinage et la largeur du 0 +∞
noyau magnétique de l’inductance du filtre
kd_f = dc f / b f
nf Nombre de spires de l’inductance du filtre 1 +∞
Tab.III. 5 : Paramètres de conception du filtre

L’intervalle des valeurs de L et C est donné par Airbus.
99
IV.2.6.4. Circuit électrique équivalent dans SABER

Le filtre est représenté dans SABER par un condensateur C , une inductance L et une
résistance Rf comme cela est illustré sur la Fig.III. 21.
Fig.III. 21: Le filtre et sa représentation sous SABER
IV.3. Modèle analytique pour vérifier la stabilité

IV.3.1. Construction du modèle simplifié
Pour vérifier la stabilité, nous construisons un circuit équivalent simple en ramenant
côté continu les résistances et les inductances de tous les composants du canal de puissance
comme cela est illustré sur la Fig.III. 22. Pour cela, nous utilisons les travaux de [FOC93] -
[REG05] et supposons que le temps de commutation des diodes est négligeable par rapport au
temps de conduction.
~ ~ 540 VDC
Vn
Va,, Vb , Vc Va2 , Vb2 , Vc2 Vp2, Vn2
(a)
I1 Rfinal Lfinal
Vg Vc C P
(b)
Fig.III. 22 : Modèle électrique simplifié (b) du canal de puissance (a)
100
Vg, Vc, Rfinal, Lfinal sont calculés analytiquement à partir du canal de puissance
(voir l’annexe C)
P : Puissance absorbée par la charge du coté continu
IV.3.2. Utilisation du théorème de Routh

Nous étudions le comportement dynamique du modèle obtenu autour d’un point
fonctionnement en utilisant le théorème de Routh. Pour cela, nous linéarisons le système en
posant :
Vc = Vc 0 − ∆Vc Eq.III. 2

V g = V g 0 − ∆V g

 I 1 = I 10 − ∆I 1
 P = P − ∆P
 0
Avec : Vc0, Vg0, I10, P0 : point de fonctionnement en régime permanent

∆Vc, ∆Vg, ∆I1, ∆P : petites variations autour des points de
fonctionnement
En utilisant le circuit dans la Fig.III. 22 en régime permanent, on peut écrire que
[REG05] :

 V g 0 + V g 0 2 − 4 R final P0
Vc 0 = 2 Eq.III. 3

I = P 2.P0
0
=
 10 Vc 0
 V g 0 + V g 0 2 − 4 R final P0
Le régime dynamique est écrit par la formule suivante [REG05] :

.  Eq.III. 4
 ∆ Vc   ∆Vc   ∆V g 
  = A.  + B 
 ∆P 
.   ∆I 1   
 ∆ I1 
Avec :
 1  Eq.III. 5
 I 10 

A = − C.V − R
C 
 c0 final .I 10 + V g 0 R final 
 −
 L final .Vc 0 L final 
 1 
 0 −  Eq.III. 6
B=
C.Vc0 
 1 
L 0 
 final 
Ces équations permettent de calculer la fonction de transfert du système. Le

dénominateur de la fonction de transfert est :
 R final P0  1 2Vc 0 − V g 0 Eq.III. 7
D(s) = s 2 +  − s +
 Lfinal C.V 2  L final .C Vc0
 c0 
En utilisant le critère de Routh (chapitre II, partie II.2.3.2.2), le système étudié est
stable si et seulement si :
101
R final P0
− >0 Eq.III. 8
L final C.Vc 0 2
La contrainte de stabilité est finalement formulée par :

R final P0
c dy = − >0 Eq.III. 9
L final C.Vc0 2
V. Problème d’optimisation
Dans cette partie, nous allons réorganiser le cahier de charges pour l’écrire sous la
forme d’un problème d’optimisation avec une fonction objectif, des paramètres de conception
et des contraintes. Puis, nous proposerons un modèle de conception qui permette de modéliser
le canal de puissance pour avoir la valeur de la fonction objectif et les contraintes en fonction
de paramètres de conception.
V.1. Spécifications
V.1.1. Objectif
Minimiser la masse du canal de puissance Mcanal avec :
Mcanal=MAT+MRe+MSIP +MFPB
MAT : Masse de l’auto-transformateur
MRe : Masse du redresseur
MSIP : Masse de l’inductance d’interphase
MFPB : Masse du filtre
V.1.2. Paramètres de conception
A partir de la modélisation du canal de puissance et des paramètres de conception de
tous les composants (Tab.III. 3, Tab.III. 4, Tab.III. 5), on construit le Tab.III. 6 qui détaille
tous les paramètres qui permettent de dimensionner le canal de puissance :
102

Min Max
Auto-Transformateur
a1 Coefficient dans l’équation Va1= a1.Va+ b1.Vb + c1.Vc −∞ +∞
a2 Coefficient dans l'équation Va2= a2.Va+ b2.Vb + c2.Vc −∞ +∞
kd Rapport entre la largeur du bobinage et la largeur du 0 +∞
na Nombre de spires du primaire de l’auto-transformateur 1 +∞
Inductance d’interphase
kd_i Rapport entre la largeur du cuivre et la largeur du noyau 0 +∞
de fer kd_i= dc i / bi
ni Nombre de spires de l’inductance d’interphase 1 +∞
Filtre
kd_f Rapport entre la largeur du bobinage et la largeur du 0 +∞
nf Nombre de spires de l’inductance du filtre 1 +∞
Tab.III. 6 : Paramètres de conception

Nous supposons les paramètres de spires continus.
V.1.3. Contraintes
Nous appliquons toutes les contraintes qui ont été détaillées dans la partie III de ce
chapitre sauf les contraintes relatives au régime transitoire de la partie III.4 qui sont
remplacées par la seule contrainte de la formule Eq.III. 9 sur la stabilité. La vérification des
contraintes de performances en régime transitoire sera faite à posteriori.
V.2. Structure du modèle de conception
Le modèle de conception permet de calculer la valeur de la fonction objectif et des
contraintes en fonction des entrées (paramètres de conception). Nous proposons un modèle
dont la structure est détaillée sur la Fig.III. 23.
103
Modèle de conception
Mcanal, cdy
Calcul des masses des composants intégrés
Vérification de la stabilité du système
Calcul de la valeur des paramètres d’entrée de la PSaber

(X i )
simulation Saber
i=1..10
ICC, ThIej
Simulation Saber + FFT

ThVej, Vdcf
(j=2..37, 10<f<15000)
Calcul des taux de distorsion

THDVe, THDVdc
: : Bloc d’équations analytiques

: : Bloc de simulation numérique Saber
( X i ) (i=1..10): Paramètres de conception
PSaber : Paramètres nécessaires pour faire la simulation Saber (La
dimension de PSaber est de 29, voir la partie VI de l’annexe B)
Fig.III. 23 : Modèle de conception
V.3. Algorithmes d’optimisation utilisés
V.3.1. Choix des algorithmes
Dans le modèle de conception, les contraintes harmoniques et le courant de court-
circuit sont calculés par la simulation numérique sous Saber. Ces calculs génèrent des bruits
numériques qui créent des optimums locaux sur la fonction objectif. La Fig.III. 24 illustre ce
problème
104
Taux individuel d’harmonique

11 du courant à l’entrée
Inductance du filtre (H)

Fig.III. 24 : Bruit numérique sur l’ évolution du taux individuel d’harmonique 11 du courant à
l’entrée en fonction de l’inductance du filtre
Dans ce cas, il est conseillé d’utiliser des algorithmes stochastiques. Comme nous
avons signalé dans le chapitre II, nous utiliserons les algorithmes PSO, RTS et ES. Nous
essaierons aussi d’utiliser l’algorithme SQP pour tester sa capacité dans ce type de problème.
V.3.2. Pourquoi il est nécessaire de limiter l’espace de recherche
On sait que les algorithmes évolutionnaires ont besoin d’un nombre d’itérations
important pour trouver l’optimum car elles exploitent l’espace de recherche par des lois de
probabilités. Plus l’espace de recherche est grand, plus l’optimisation va être coûteuse et
nécessiter un grand nombre d’itérations.
Dans notre cas, l’espace de recherche du problème est très grand (deux paramètres
varient entre −∞ et +∞ , trois paramètres varient entre 0 et +∞ , et trois paramètres
varient entre 1 et +∞ ). Ainsi, sans limitation, l’optimisation utilise 100 individus et 500
générations pour un temps de 83 h d’optimisation. Et au final, nous n’avons pas trouvé de
bons résultats (les résultats ne sont pas reproductibles) ! La limitation de l’espace de
recherche est donc impérative.
V.3.3. Proposition d’une stratégie pour réduire l’espace de recherche
La réduction de l’espace de recherche est une activité complexe qui comporte un
risque. A force de diminuer les intervalles d’évolution possibles des paramètres, on peut en
arriver à exclure la, ou les zones, où se trouvent de meilleures solutions.
C’est pourquoi, pour aider à réaliser cette tâche complexe, en essayant de réduire au
maximum les risques évoqués, nous proposons une stratégie qui est illustrée par la Fig.III. 25.
105
Simplifier le modèle de conception
Optimiser avec le modèle de conception

simplifié
Estimation de la valeur de la fonction

objectif maximale atteignable
Refaire l’estimation
Construire l’espace de recherche réduit
Optimiser le problème complet
Trouver l’optimum
Echec
Fin
Fig.III. 25 : une stratégie pour réduire l’espace de recherche
Etape 1 : Simplifier le modèle de conception

Nous simplifions le modèle de conception par omission et suppression des parties du
modèle coûteuses à évaluer (typiquement les parties du modèle calculées numériquement sous
Saber). Nous prenons ainsi le risque de ne pas contraindre certains phénomènes que nous ne
savons pas calculer autrement que numériquement (typiquement les taux d’harmonique). Mais
cela nous permet en contrepartie de nous ramener à un modèle purement analytique, rapide à
évaluer, et facile à optimiser avec des algorithmes de type gradient ou évolutionnaires.
Etape 2 : Optimiser avec le modèle de conception simplifié

On considère que le problème d’optimisation traité est de minimiser la fonction
objectif f. Nous réalisons l’optimisation avec le modèle de conception simplifié. L’optimum
trouvé est appelé : MinSimple_f.
Etape 3 : Estimation de la valeur de fonction objectif maximale

atteignable
On suppose que dans le problème d’optimisation complet, la valeur minimum de la
fonction objectif f est inférieure à p.MinSimple_f (p>1, le concepteur doit choisir cette
valeur). Le choix de la valeur p présente des risques : si la valeur p est trop grande, l’espace
de recherche réduit est encore trop grand pour faire l’optimisation. Si p est trop petit, on peut
ne pas trouver l’optimum.
106
Etape 4 : Construire l’espace de recherche réduit

On travaille toujours avec le modèle de conception simplifié. Pour chaque paramètre
Xi de conception, on réalise les optimisations : Min (Xi) et Max (Xi) en respectant la
contrainte supplémentaire sur la fonction objectif f (f < p.MinSimple_f). Nous obtenons donc
de nouveaux intervalles de variation des paramètres de conception Min (Xi) < Xi < Max (Xi)
Etape 5 : Optimiser le problème complet

On réalise l’optimisation avec le modèle de conception complet mais sur l’espace de
recherche réduit. Si on ne trouve pas l’optimum (les contraintes ne sont pas respectées), on
revient à l’étape 2 et augmente la valeur de p.
Il faut bien rappeler que ce que nous proposons là est une stratégie dont la pertinence
est à évaluer par le concepteur : il doit à priori estimer, ce qui reste une tâche complexe, si le
fait de ne pas tenir compte des parties calculées numériquement est acceptable pour établir
une estimation du domaine de variation des paramètres.
Les Fig.III. 26(a,b,c,d) illustrent la réduction de l’espace de recherche. Le problème

d’optimisation complet est de minimiser la fonction objectif f(X) en respectant la contrainte
h(X)>0 (ce qui se traduit par ne pas trouver de solutions dans la zone hachurée bleue de la
Fig.III. 26.a). Dans ce problème, la fonction h(X) est une grandeur calculée numériquement et
le paramètre de conception X varie entre −∞ et +∞ .
On crée un problème d’optimisation simplifié en supprimant la contrainte h(x). On
peut alors facilement trouver l’optimum global du problème simplifié. C’est MinSimple_f
(Fig.III. 26.b).
On suppose que dans le problème d’optimisation complet, la valeur minimum de la
fonction objectif f est inférieure à p.MinSimple_f. Pour respecter cette hypothèse, le
paramètre de conception X est borné entre Xmin et Xmax (Fig.III. 26.c).
Finalement, on réalise l’optimisation du problème complet avec la variation de
paramètre de conception X réduit (Xmin<X<Xmax), on trouve f_min qui est l’optimum du
problème complet et qui respecte la contrainte sur h (Fig.III. 26.d).
f
f h(X) >0
h(X) <0
X
Fig.III. 26.a : Problème d’optimisation complet : minimiser f avec la contrainte h>0
107
f
f
MinSimple_f
Fig.III. 26.b : Problème d’optimisation simplifié sans contraint. L’optimum trouvé est MinSimple_f
f f
p.MinSimple_f
MinSimple_f
Xmin Xmax X
Fig.III. 26.c : X est borné entre Xmin et Xmax pour assurer que l’optimum du problème complet soit
inférieur à p.MinSimple_f
f
f h(X) >0
f_min h(X) <0
Xmin Xmax X
Fig.III. 26.d : Optimisation du problème complet avec un espace de recherche réduit. Cette
optimisation donne l’optimum f_min du problème complet
108
V.3.4. Application au dimensionnement optimal du canal de puissance

Etape 1 : Simplifier le modèle de conception par omission des
phénomènes calculés numériquement
Concrètement, le modèle simplifié, sur l’exemple du canal de puissance traité ici, ne
va pas comporter de cahier des charges sur les harmoniques et le courant de court-circuit. Du
modèle défini Fig.III. 23, on ne garde que la partie de calcul de la masse des composants
intégrés et la vérification de la stabilité du système. Ce modèle de conception simplifié est
purement analytique (Fig.III. 27)
Modèle de conception simplifié

(Xi)
Mcanal, cdy
Calculs des masses des composants intégrés
i=1..10 Vérification de la stabilité du système
Fig.III. 27 : Modèle de conception simplifié

Etape 2 : Optimisation avec le modèle de conception simplifiée pour
avoir une première idée de la masse minimale atteignable
Nous réalisons l’optimisation en comptant toutes les contraintes sauf les contraintes
harmoniques. Nous trouvons ainsi une masse de 40.2 kg, et ceci quel que soit l’algorithme
d’optimisation utilisé : les différents algorithmes de type gradient (SQP) ou évolutionnaire
(ES, RST, PSO). Ceci nous permet de penser que le modèle simplifié ne contient pas
d’optimum local.
Etape 3 : Estimation de la masse maximale atteignable

Rappelons que la masse minimale trouvée précédemment l’a été sans prendre en
compte un certain nombre de contraintes : en l’occurrence les contraintes modélisées
numériquement dans Saber. Nous savons que prendre en compte ces contraintes se traduira
par dégrader la masse du système.
Nous allons donc estimer qu’au pire, cette masse sera dégradée d’un facteur deux ce
qui nous permet d’estimer qu’au pire, toutes les contraintes étant prises en compte, la masse
ne dépassera pas 2 *40.2 kg = 80.4 kg
Etape 4 : Créer le nouvel espace de recherche : à partir de l’estimation

de la masse maximale atteignable
En travaillant toujours avec le modèle de conception simplifié, nous utilisons les
algorithmes d’optimisation pour chercher la variation des paramètres de conception qui
assurent une masse du canal toujours inférieure à 80.4 kg. Comme on l’a signalé
précédemment, le modèle simplifié ne semble pas contenir d’optimum local. On peut donc
utiliser un algorithme SQP (le plus performant dans ce cas) pour déterminer l’espace de
variation des paramètres.
109
Pour chaque paramètre de conception, par exemple a1, on réalise deux optimisations
(Min (a1) et Max (a1)) tout en gardant l’espace de variations des autres paramètres qui sont
définis dans la Tab.III. 6 et en ajoutant un contrainte supplémentaire sur la masse du canal
(masse du canal inférieure à 80.4 kg).
On trouve Min (a1) = -1.17 et Max (a1) = 3.17. On peut en conclure que la masse du
canal est inférieure à 80.4 kg si a1<3.17 et a1>-1.17. On limite donc la variation de a1 entre -
1.17 et 3.17.
En reproduisant la même démarche pour les autres paramètres, nous limitons l’espace
de recherche aux valeurs suivantes :
Min Max
Auto-Transformateur
a1 Coefficient dans l’équation Va1= a1.Va+ b1.Vb + c1.Vc -1.17 3.17
a2 Coefficient dans l'équation Va2= a2.Va+ b2.Vb + c2.Vc -1.17 3.17
kd Rapport entre la surface du bobinage et la surface du 0.064 3.63
noyau magnétique de l’auto- transformateur
na Nombre de spires du primaire de l’auto-transformateur 10 416
Inductance d’interphase
kd_i Rapport entre la surface de bobinage et la surface du 0.04 9.0
noyau magnétique de l’inductance d’interphase
ni Nombre de spires de l’inductance d’interphase 7 2038
Filtre
kd_f Rapport entre la surface du bobinage et la surface du 0.0013 572
nf Nombre de spires de l’inductance du filtre 1 303281
Tab.III. 7 : Nouvel espace de variation des paramètres de conception
(l’espace original se trouve Tab.III. 6)
Etape 5 : Optimiser le problème complet
On réalise l’optimisation avec le modèle de conception complet sur l’espace de
recherche réduit. Si l’optimum trouvé respecte toutes les contraintes harmoniques, de courant
de court-circuit, dynamiques, la stratégie de réduction de l’espace de recherche avec le choix
de valeur p = 2 est correcte.
Le problème d’optimisation est finalement mieux posé avec des intervalles de
variation des paramètres plus fins. On est donc passé d’un problème assez mal posé à un
problème mieux posé. Ceci constitue souvent le cœur de l’activité du travail de concepteur.
110
VI. Résultats de l’optimisation

VI.1. Configurations des algorithmes d’optimisation utilisés
Nous utilisons les quatre algorithmes SQP, PSO, RTS et ES avec les spécifications
définies dans la partie V. Nous rappelons aussi que nous utilisons l’espace de recherche réduit
donné dans le Tab.III. 7.
Comme nous l’avons déjà signalé au chapitre II, l’optimum trouvé par SQP dépend du
point de départ. SQP est donc lancé 5 fois avec différents points de départ.
Pour les algorithmes PSO, RTS, ES, on arrête les algorithmes après un nombre fixé de
générations. On peut remarquer que ces algorithmes (type stochastique) sont convergents s’ils
donnent une bonne reproductibilité des résultats. Pour ce faire, nous lançons les algorithmes
plusieurs fois (5 fois). Si les résultats ne sont pas reproductibles, il faut augmenter le nombre
de générations. En résumé, les algorithmes sont configurés ainsi :
• PSO
Nombre de particules : 100
Nombre de générations : 300
Nombre d’évaluations de la fonction objectif : 30 100
Durée de l’optimisation : environ 48h
• ES
Nombre d’enfants : 15
Nombre de parents : 100
• RTS
Nombre d’individus : 100
(L’ordinateur utilisé est un Pentium 4, 3.2 GHz, 1 Go de Ram)
VI.2. Présentation des résultats
Les résultats de l’optimisation donnés par les différents algorithmes d’optimisation se
trouvent dans les tableaux suivants.
• SQP : Nous ne trouvons aucun résultat qui respecte les contraintes
111
• PSO :
N°
Optimisation a1 a2 kd na kd_i
1 1.065 0.982 0.527 29.378 1.010
2 0.605 0.554 0.743 31.076 0.555
3, 4, 5 Ne respecte pas des contraintes
ni C L kd_f nf Masse
178.892 8.66E-04 5.00E-06 2.658 200 48.151
46.009 6.00E-04 5.00E-06 5.357 52.007 56.042
Ne respecte pas des contraintes
Tab.III. 8: Sulutions trouvées par PSO
Nous essayons de reconfigurer l’algorithme PSO avec différents nombres de
particules : 15; 40 ; 75 mais on n’obtient pas de meilleurs résultats.
• ES :
N°
Optimisation a1 a2 kd na kd_i
1 1.000 0.997 0.579 31.949 0.628
2 1.000 1.000 0.620 32.177 0.604
3 1.000 1.000 0.590 30.387 0.608
4 1.004 1.14 1 0.561 33.411 0.710
5 0.980 0.998 0.67 1 29.605 0.498
ni C L kd_f nf Masse
58.496 6.06E-04 5.64E-06 1.113 27.799 40.858
52.027 6.00E-04 5.10E-06 0.708 3.894 40.906
53.869 6.00E-04 5.00E-06 0.749 3.744 41.090
57.991 9.86E-04 5.25E-06 0.998 184.868 42.740
51.778 7.96E-04 8.2 1E-06 1.681 17.165 42.361
Tab.III. 9: Solutions trouvées par ES
• RTS
Comme nous l’avons noté précédemment, le RTS peut trouver en une seule fois tous
les optima d’un problème multimodal
112
o Optimisation 1
a1 a2 kd na kd_i ni
1.000 1.000 0.565 31.682 0.600 51.471
1.001 1.000 0.562 31.715 0.623 56.487
1.004 1.000 0.602 32.760 0.624 51.130
0.998 0.999 0.564 31.576 0.573 52.837
1.002 0.996 0.579 33.583 0.625 51.931
C L kd_f nf Masse
6.000E-04 9.058E-06 0.717 5.674 40.868
7.572E-04 5.000E-06 2.323 3.707 40.955
6.853E-04 5.000E-06 1.165 57.057 41.213
6.000E-04 5.000E-06 1.190 84.590 41.259
6.000E-04 4.320E-05 0.773 10.281 41.342
Tab.III. 10: Solutions trouvées à la première optimisation RTS
o Optimisation 2
a1 a2 kd na kd_i ni
1.001 1.004 0.627 33.323 0.671 60.192
1.001 1.002 0.532 31.253 0.709 58.567
C L kd_f nf Masse
7.287E-04 5.000E-06 0.688 5.072 41.015
8.402E-04 5.167E-06 1.266 6.142 41.092
Tab.III. 11: Solutions trouvées à la seconde optimisation RTS
o Optimisation 3
a1 a2 kd na kd_i ni
0.999 1.001 0.573 31.882 0.606 51.334
1.000 1.001 0.557 31.853 0.616 51.808
1.001 1.001 0.561 31.735 0.624 54.061
0.999 1.004 0.540 33.280 0.680 50.979
0.999 1.002 0.565 31.709 0.613 55.181
C L kd_f nf Masse
6.180E-04 5.000E-06 0.924 4.340 40.784
6.000E-04 1.134E-05 1.290 14.675 40.983
9.451E-04 5.000E-06 0.775 4.282 40.990
6.446E-04 4.300E-05 0.885 9.915 41.397
8.644E-04 5.000E-06 0.745 3.304 40.966
Tab.III. 12: Solutions trouvées à la troisième optimisation RTS
113
o Optimisation 4
a1 a2 kd na kd_i ni
1.001 1.003 0.597 32.177 0.601 52.333
1.007 1.004 0.597 33.393 0.526 47.948
0.999 1.001 0.582 32.184 0.637 54.346
1.002 1.008 0.613 34.122 0.525 52.044
1.003 0.999 0.590 32.173 0.541 53.660
1.000 0.999 0.575 31.904 0.596 51.180
C L kd_f nf Masse
6.057E-04 5.000E-06 1.455 3.768 40.851
8.717E-04 2.263E-05 0.787 8.774 41.315
6.000E-04 5.289E-06 1.167 120.119 41.400
6.406E-04 3.394E-05 1.001 17.894 41.397
8.623E-04 5.102E-06 4.775 7.414 41.231
6.210E-04 5.000E-06 4.687 7.558 41.024
Tab.III. 13: Solutions trouvées à la quatrième optimisation RTS
o Optimisation 5
a1 a2 kd na kd_i ni
0.998 1.003 0.618 32.883 0.584 52.318
0.998 0.998 0.580 33.584 0.605 51.046
0.999 1.001 0.567 31.471 0.617 61.612
C L kd_f nf Masse
6.414E-04 5.121E-06 1.038 6.680 40.862
6.539E-04 3.590E-05 0.972 13.808 41.276
6.000E-04 5.000E-06 1.200 87.210 41.379
Tab.III. 14: Solutions trouvées à la cinquième optimisation RTS
L’algorithme RTS est un algorithme stochastique, donc le nombre d’optima
trouvés n’est pas identique à chaque fois.
VI.3. Analyse des résultats
VI.3.1. Algorithmes
La masse minimum du canal de puissance se trouve autours de la valeur 40.78 kg. La
stratégie de réduction de l’espace de recherche était donc correcte.
Les calculs numériques génèrent des bruits sur les contraintes. Ces bruits créent les
optimums locaux qui rendent impossibles l’utilisation des algorithmes SQP et PSO.
L’algorithme ES est capable de trouver l’optimum global mais le taux de réussite n’est
pas de 100%. On trouve trois fois sur cinq une valeur proche de 40.78 kg (40.858 kg, 40.906
kg, 41.090 kg) et les deux autres fois, la valeur obtenue est plus éloignée (Tab.III. 9)
114
Comme prévu au chapitre II, l’algorithme RTS avec la méthode de nichage a été
capable de localiser les optima locaux et de trouver l’optimum global. Le taux de réussite est
de 100%.
En analysant les résultats des 5 optimisations réalisées par RTS, nous retenons les 3
meilleures solutions (issues respectivement de la 3ème, 4ème et 5ème optimisation) et nous
créons les tableaux suivants pour effectuer une analyse plus précise :
a1 a2 kd na kd_i ni
0.999 1.001 0.573 31.882 0.606 51.334
1.001 1.003 0.597 32.177 0.601 52.333
0.998 1.003 0.618 32.883 0.584 52.318
C L kd_f nf Masse Solution

6.180E-04 5.000E-06 0.924 4.340 40.784 1
6.057E-04 5.000E-06 1.455 3.768 40.851 2
6.414E-04 5.121E-06 1.038 6.680 40.862 3
Tab.III. 15 : Solutions sélectionnées
Auto- Inductance Inductance Condensateur Masse

Solution transformateur Redresseur d’interphase du filtre du filtre totale
1 28.413 0.808 10.987 0.187 0.389 40.784
2 28.481 0.808 10.979 0.204 0.379 40.851
3 28.464 0.808 10.973 0.209 0.408 40.862
Tab.III. 16 : Masse des composants et du système pour les meilleurs résultats obtenus par RTS
115
Auto- Inductance Inductance du filtre

Transformateur d’interphase (échelle x2)
Solution
1
Solution
2
Solution
3
Notation : Noyau magnétique :Noyau magnétique :Noyau magnétique

, : Bobinage , : Bobinage : Bobinage
: Entrefer
Fig.III. 28 : Géométrie des composants correspondant aux solutions retenues
D’après le Tab.III. 16 et la Fig.III. 28, les résultats obtenus à chaque solution sont très
proches sauf pour ce qui concerne les valeurs de kd_f et nf (kd_f : rapport entre la largeur du
bobinage et de la largeur du noyau magnétique de l’inductance du filtre; nf : nombre de spires
de l’inductance du filtre). Cette différence entraîne un changement de la masse de
l’inductance du filtre de l’ordre de 200g. Ce changement est faible par rapport à la masse
totale du canal de puissance trouvée (environ 40.8 kg). Nous en concluons que les différences
sur les valeurs de kd_f et nf ne sont pas importantes et que l’algorithme a bien convergé.
VI.3.2. Dimension du canal de puissance au point d’optimum

Nous analysons maintenant le meilleur résultat donné par l’optimisation (solution 1).
Ce dimensionnement correspond aux valeurs des paramètres de conception suivantes :
116
a1 a2 kd na kd_i ni
0.999 1.001 0.573 31.882 0.606 51.334
C L kd_f nf Masse
6.180E-04 5.000E-06 0.924 4.340 40.784
Dans le processus de l’optimisation, Nous vérifions tout d’abord que toutes les
contraintes sont respectées (Fig.III. 29, Fig.III. 30, Fig.III. 31), (Fig.III. 32). On peut
remarquer que seule la contrainte sur le taux individuel de l’harmonique 5 du courant
alternatif à l’entrée est en butée : c’est donc le seul harmonique dimensionnant sur cet
exemple.
: Contraintes
Taux individuels harmoniques
: Valeurs obtenues
Harmonique
Fig.III. 29 : Taux individuel des harmoniques du courant alternatif à l’entrée du canal de puissance
Harmonique
: Contraintes : Valeurs obtenues
Fig.III. 30: Taux individuel des harmoniques de la tension alternative à l’entrée du canal de puissance
117
Amplitude (dB)
Fréquence (Hz)
: Contraintes : Valeurs obtenues
Fig.III. 31 : Spectre de la tension continue à la sortie du canal de puissance
Courant de court-circuit (A)
Moment où le court-circuit apparaît
Temps (s)
Fig.III. 32 : Courant de court-circuit
Lors du processus de dimensionnement, nous vérifions seulement si le canal de
puissante est stable en utilisant le critère de Routh (paragraphe IV.3). Avec ce seul critère, on
ne peut pas savoir si le régime transitoire du canal respecte le cahier des charges donné par la
courbe des parties III.4.1 et III.4.2 du chapitre. Nous utilisons donc une simulation numérique
complémentaire et a posteriori pour vérifier cela. La charge utilisée est un variateur de vitesse
[SAU08]. Son profil de charge est défini comme suit :
118
Puissance (kW)
100
50
20
0.04 0.05 0.07 0.09 temps (s)

Fig.III. 33 : Profil de la charge d’essai
La Fig.III. 34 représente la dynamique de la tension alternative à l’entrée avec le

profil de charge utilisé.
Tension alternative à
l’entrée(V)
Temps (s)
Fig.III. 34 : Tension alternative à l’entrée du canal de puissance

En effectuant une moyenne glissante, on constate que la valeur efficace de la tension
alternative à l’entrée change très peu (moins de 1 V) autour de la valeur 234.6 V. La
dynamique de la tension à l’entrée respecte donc le cahier des charges (III.1.5.2 de ce
chapitre).
La Fig.III. 35 montre que la dynamique de la tension continue Vdc à la sortie respecte
aussi le cahier des charges
119
Contraintes
Tension continue
à l a sortie(V)
100 kW
50 kW
20 kW 20 kW
Temps (s)
Fig.III. 35 : Tension continue à la sortie du canal de puissance
VI.4. Sensibilité des solutions
Nous étudions deux types de sensibilité :
• La première consiste à fixer la structure de modèle d’un composant, puis à
modifier un ou plusieurs paramètres de cette structure et à analyser leur influence sur les
résultats de l’optimisation. Cette étude permet d’étudier l’influence des paramètres d’une
structure d’un modèle donné sur les solutions optimales. C’est dans ce cadre que nous
étudierons l’influence des paramètres du générateur et du feeder sur la solution, par
changement de leurs valeurs tout en gardant la structure RLE.
• La deuxième consiste à étudier la sensibilité des modèles. Il existe en effet
différents modèles pour modéliser certains composants du système. Cette étude permettra
donc d’étudier l’influence d’un modèle, puis de choisir le niveau de modélisation le plus
adapté. Ici, nous testerons la sensibilité des résultats au modèle de l’alternateur [KRA02].
VI.4.1. Sensibilité à la valeur des paramètres du générateur et des feeders
On rappelle que le générateur et les feeders sont modélisés par une résistance, une
inductance et une force électromotrice E (pour le générateur), comme cela est illustré sur la
Fig.III. 36.
Rg Lg Rfeeders Lfeeders
Eeff=230
Fig.III. 36 : Rappel du modèle par phase du générateur (modèle RLE) et des feeders
120
Par souci de simplification, on peut introduire :

Req=Rg+Rfeeders
Leq=Lg+Lfeeders
La valeur d’origine de la résistance équivalente est de 21 mΩ et celle de l’inductance
équivalente est de 63 µH. Ces deux valeurs ont été trouvées dans le rapport de [GAR06] et ont
été confirmées par Airbus. Nous allons faire évoluer la valeur de Req et Leq pour étudier leur
influence sur la masse du canal de puissance. On peut remarquer que le changement de la
masse du canal de puissance est négligeable si on change la valeur de résistance. La Fig.III.
37 représente le changement de la masse du canal en fonction de Req (avec une valeur de Leq
=63 µH).
Pour obtenir les points de la courbe, nous avons réalisé une optimisation du
dimensionnement du canal de puissance en imposant successivement la valeur de la résistance
équivalente (Req = 21 mΩ, 40 mΩ, 60 mΩ). Nous avons utilisé l’algorithme RTS, que nous
avons lancé 5 fois, avec pour chaque optimisation 30 100 évaluations de la fonction objectif,
nécessitant chacune 48h d’optimisation, soit un temps global de 5 * 48 h * 3= 30 jours. Pour
accélérer cela, nous avons parallélisé le calcul sur 4 pc, ce qui nous a permis de tracer la
courbe en environ 1 semaine. Le fait d’avoir lancé 5 fois l’algorithme pour chaque valeur de
Req, et d’avoir convergé vers la même valeur pour la masse, nous conforte dans le fait que
nous avons trouvé la valeur optimale.
Masse du canal (kg)
Résistance équivalente Req (mΩ)

Fig.III. 37 : Variation de la masse du canal de puissance en fonction de Req (avec Leq =63 µH)
Par contre, lorsqu’on fait évoluer la valeur de Leq, l’évolution de la masse du canal est
plus sensible. On obtient ainsi la courbe suivante :
Masse du canal (kg)
Inductance équivalente Leq (µH)

Fig.III. 38 : Variation de la masse du canal de puissance en fonction de Leq
121
La différence entre la masse maximale (41.48 kg avec Leq = 40 µH) et minimale (40.2
kg avec Leq > 120 µH) est de 1.28 kg
On peut remarquer que si la valeur de Leq augmente la masse du canal diminue. On
peut dire que si la valeur de Leq diminue, il faut que les inductances des autres composants
augmentent pour assurer la qualité du filtre. C’est ce qui fait augmenter la masse. Par contre,
si l’inductance Leq est suffisamment grande, on n’a pas besoin d’autres inductances. Les
composants de la chaîne de puissance ne sont plus alors dimensionnés que par la puissance
transmise. C’est pourquoi la masse du canal ne change pas si l’inductance Leq est supérieure à
120 µH.
VI.4.2. Sensibilité du modèle de conception
Nous utilisons ici, pour modéliser le générateur, un modèle de Park, comprenant un
système de régulateur de tension. Ce modèle a été fourni par Airbus et sa structure est
détaillée sur la Fig.III. 39.
Rfeeder Lfeeders
+
Exc.
s
Canal de
+
puissance -
Tension exécutée
Filtre Vdc
passe bas
-
VdcRef
PI + Filtre
(proportionnel-intégral) + passe bas 540
Fig.III. 39 : Canal de puissance intégré avec son système de régulateur de tension
La masse minimum du canal de puissance est alors de 41.57 kg. La Tab.III. 17 donne
les résultats complets pour les deux types de modèle (RLE et Park).
122
Modèle RLE Park
Temps 48 h 168h
d’optimisation
Nb d’évolutions de 30 100 30 100

la fonction objectif
Masse totale 40.78 kg 41.57 kg
Auto-
transformateur
28.413 kg 28.957 kg
Inductance
d’interphase
10.987 kg 11.216 kg
Inductance du filtre
(échelle x2)
0.187 kg
0.218 kg
Notation : Noyau magnétique :Noyau magnétique
, : Bobinage , : Bobinage
Tab.III. 17 : Comparaison des résultats d’optimisation pour 2 types de modèles: RLE et Park
On peut remarquer que la masse du canal obtenu par le modèle RLC (40.78 kg) est
inférieure à la masse obtenue par le modèle de Park (41.57 kg). Les différences de masse et de
géométrie des composants des deux modèles sont faibles. Par contre, le temps d’optimisation
est très différent (Une semaine pour le modèle de Park, 2 jours pour le modèle RLE).
Cette étude permet de confirmer que la modélisation est très importante dans le
processus de l’optimisation. La précision des résultats dépend du modèle.
123
VII. Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons tout d’abord fixé une norme de qualité du réseau et une
structure de canal de puissance. Puis, nous avons utilisé les méthodes qui sont détaillées au
chapitre II pour modéliser le canal.
Pour la formulation du problème de dimensionnement optimal, nous avons eu une
difficulté liée à la grandeur de l’espace de recherche. Nous avons alors proposé une stratégie
rationnelle de réduction de cet espace. Avec le nouvel espace de recherche, les algorithmes
évolutionnaires ont pu trouver l’optimum ce qui n’aurait pas été le cas avec l’espace de
recherche étendu
Pour le dimensionnement optimal du canal de puissance, différents algorithmes
d’optimisation ont été utilisés. C’est l’algorithme RTS qui a donné les meilleurs résultats pour
sa capacité à sauter les optima locaux pour trouver l’optimum global.
Les résultats du dimensionnement ont montré que le canal de puissance est surtout
influencé par le taux individuel d’harmonique 5 du courant alternatif à l’entrée. Nous
essaierons donc de relâcher cette contrainte dans le prochain chapitre.
Enfin, nous avons confirmé que le résultat de l’optimisation pouvait dépendre du
niveau de modélisation.
124
Chapitre IV
Utilisation de l’optimisation
pour la conception
d’un système électrique embarqué
Chapitre IV: Utilisation de l’optimisation pour la conception d’un système électrique embarqué
I. Introduction
Au cours de chapitre III, nous avons effectué un certain nombre d’hypothèses pour
faire le dimensionnement optimal du canal de puissance. Ainsi nous avons :
• Proposé de normes en adaptant les normes existantes (De III.2 à III.4 du
chapitre III);
• Proposé une courbe de déclenchement du disjoncteur en adaptant celle d’un
disjoncteur existant (Partie III.5 du chapitre III) ;
• Fixé les variations de certains paramètres de conception (ces variations ont en
fait été fixées par Airbus) (Tab.III.5, Tab.III.6 du chapitre III).
On peut remarquer que ces hypothèses sont le résultat de choix qui comportent des
risques pour la conception du réseau électrique embarqué et de la partie sur laquelle nous nous
focalisons, à savoir le canal de puissance. Ces risques sont:
• Notre choix de courbe de déclenchement peut aboutir à un composant (de
type disjoncteur) difficile à fabriquer ;
• Les choix que nous avons faits (sur les normes, les limites de variations de
paramètres, …) ont peut-être une influence sur la masse du système (le canal de puissance et
les composants qui y sont connectés), et d’autres choix pourraient nous amener à avoir des
masses encore inférieures.
C’est pourquoi dans ce chapitre, nous allons proposer des stratégies rationnelles (au
sens au nous les avons définies dans la partie VII du chapitre I) qui vont permettre d’étudier
l’influence sur la masse du canal de puissance des choix que l’on peut faire sur les normes, les
caractéristiques des composants intégrés,….Ces stratégies rationnelles vont aider le
concepteur à faire ses choix pour aboutir à des solutions de compromis entre la masse et la
qualité de l’énergie électrique lors du dimensionnement d’un réseau électrique embarqué.
Ce chapitre présentera aussi une approche qui permet d’essayer de relâcher certaines
variations des paramètres de conception afin de chercher de meilleures solutions pour le
système.
II. Stratégie rationnelle permettant de définir des normes pour le

dimensionnement optimal du système
II.1.Définition du problème
Lorsqu’on intègre des composants dans le système, on leur impose de respecter
certaines normes relatives à la qualité du réseau : niveau de tension, harmoniques … On sait
que si la norme est stricte pour les composants, cela se fera au détriment d’objectifs système
globaux (la masse, les pertes…). Si la norme est plus lâche, on peut gagner sur une meilleure
réalisation des objectifs système globaux de type masse ou perte, mais avec une qualité réseau
plus dégradée. Lors du développement de systèmes embarqués, on cherche toujours de
nouvelles normes (par exemple par augmentation du niveau de tension) pour gagner au niveau
de certaines fonctions objectif : la masse, les pertes…mais aussi pour assurer une certaine
126
qualité du réseau. Ceci constitue d’ailleurs un des objectifs du projet dans lequel nous nous
inscrivons.
Dans le chapitre III, nous avons ainsi créé de nouvelles normes en adaptant es normes
existantes (de la partie III.2 à la partie III.4 du chapitre III) puis optimiser le système. Dans
cette partie, nous proposons une stratégie rationnelle qui permettra d’étudier les compromis
entre la masse du canal et les normes adoptées lors du dimensionnent.
II.2.Méthode
Lors du dimensionnement du canal de puissance avec les normes proposées, on a pu
remarquer que seule la contrainte sur le taux individuel de l’harmonique 5 du courant
alternatif à l’entrée ( ThIe5 est égal au rapport entre la valeur de l’harmonique 5 et celle du
fondamental du courant alternatif à l’entrée) est en butée (Fig.IV. 1).
: Contraintes
: Valeurs obtenues
Harmonique
Fig.IV. 1 : Rappel du taux individuel de l’harmonique 5 du courant alternatif à l’entrée
Nous proposons ici de passer le taux individuel de l’harmonique 5 en fonction objectif.
Ainsi, nous allons pouvoir déterminer la frontière Pareto qui représente le compromis entre le
taux individuel de l’harmonique 5 du courant alternatif d’entrée et la masse.
Pour tracer la frontière Pareto, le problème de dimensionnement est formulé par :

• Spécifications
Paramètres de conception et espace de recherche
Ce sont des paramètres et l’espace de recherche réduit qui ont été définis au chapitre
III (Tab.III. 7 de chapitre III).
Contraintes
Toutes les contraintes du dimensionnement optimal du canal de puissance sont
conservées sauf celle concernant le taux individuel de l’harmonique 5 du courant alternatif à
l’entrée ( ThIe5 ).
127
Fonctions objectifs
Minimiser la masse
Minimiser le taux individuel de l’harmonique 5 du courant
alternatif à l’entrée pris dans une fourchette allant de 0.01 à
l’infini. Initialement, la valeur de ce taux ne devait pas dépasser
0.02.
Nous réutilisons le modèle de conception mixte (analytique-numérique) défini au
chapitre III . Pour aider le lecteur à suivre le rapport, nous rappelons ce modèle de conception
sur la Fig.IV. 2:
Mcanal, cdy
Calcul des masses des composants intégrés
Calcul de la valeur des paramètres utilisés en PSaber

(X i )
entrée de la simulation Saber
i=1..10
ICC, ThIej

ThVej, Vdcf
(j=2..37, 10<f<15000)
Calcul des taux de distorsion

THDVe, THDVdc
: : Bloc des équations analytiques

: : Bloc de simulation numérique Saber
PSaber : Paramètres nécessaires pour faire la simulation Saber (La
dimension de PSaber est de 29, voir la partie VI de l’annexe B)
Fig.IV. 2: Rappel du modèle de conception
Nous utilisons l’algorithme stochastique NSGAII (partie III.3.2 du chapitre II) pour
tracer la courbe de Pareto du problème. On peut noter qu’il est nécessaire de s’assurer de la
bonne reproductibilité des résultats donnés par NSGAII afin de garantir la convergence. Pour
cela, nous avons lancé quatre optimisations de type NSGAII et nous avons confronté les
quatre courbes Pareto ainsi obtenues. Si les résultats sont semblables, nous admettons que
128
l’algorithme a bien convergé. La courbe Pareto finale est le résultat de la confrontation de ces
quatre courbes. Et nous utilisons les règles de domination pour sélectionner les meilleurs
points de la frontière Pareto finale (donc tous les points qui ne sont pas dominés par d’autres
points). On rappelle ici la définition des règles de domination (partie III.3.1, du chapitre II).
Un point B est dominé par un point A si les deux conditions suivantes sont respectées :
• Pour tous les objectifs, A est au moins aussi bon que B;
• Il existe au moins un objectif, pour lequel A est strictement meilleur que B.
II.3.Résultats
II.3.1. Paramètres de NSGA II
Nous utilisons l’algorithme NSGA II avec les paramètres de réglages suivants pour
chaque optimisation :
Nombre d’individus pour chaque population 100

Nombre de générations 300
Nombre d’évaluations de la fonction objectif 30100
Tab.IV. 1: Configuration de l’algorithme NSGA II
Nous utilisons un ordinateur Pentium 4, 3.2 GHz, 1 Go de Ram. Le temps pour faire
une optimisation est de 48h.
Comme nous l’avons proposé, nous lançons 4 fois l’optimisation NSGAII pour
confirmer la convergence du problème. Il faut donc avoir un temps global de 4 * 48 h = 192h,
environ 8 jours. Pour accélérer la procédure, nous avons parallélisé le calcul sur 4 pc, ce qui
nous a permis de tracer la courbe en 2 jours.
II.3.2. Résultats de l’optimisation
La Fig.IV. 3 présente les courbes Pareto qui sont les résultats des 4 optimisations. On
peut remarquer que ces courbes Pareto sont très proches. On peut dire que les optimisations
ont bien convergé. En plus, sur la frontière de Pareto, la masse du canal de puissance varie
entre 40.2 et 42.54 kg. La stratégie de réduction de l’espace de recherche que nous avons mise
en œuvre dans la partie V.3.4 du chapitre III est encore valable : cette stratégie est en effet
valable si la masse du canal se trouve entre 40.2 et 80.4 kg.
129
Masse totale du canal de

puissance (kg)
+, , x , : Résultats de 4 optimisations NSGAII
Taux individuel de l’harmonique 5 du courant alternatif à l’entrée

Fig.IV. 3 : Résultats de 4 optimisations
La frontière Pareto finale du problème se trouve sur la Fig.IV. 4. Cette frontière est
construite à partir des quatre dernières frontières Pareto de la Fig.IV. 3 en utilisant les règles
de dominance.
Pour chaque point sur la frontière Pareto, nos outils sont capables de donner les
valeurs des paramètres de conceptions et des contraintes…Sur la Fig.IV. 4, nous affichons ces
valeurs pour les deux points extrêmes de la frontière.
Masse = 42.38 kd_i = 0.5797

ThIe5 =0.01 ni =51.7927
a1=a2=1.0 kd_f = 0.8378
kd=0.6775 nf = 3.1220 Masse = 40.22
na=28.1245 L = 7 µH ThIe5 =0.0356
C = 600 µF
a1=a2=1.0
kd=0.5569 kd_i = 0.5861
Masse totale du canal de
na=37.5068 ni =53.2399
kd_f = 0.8650
puissance (kg)
nf = 3.6018
L = 5 µH
C = 600 µF
Y = p1.X + q1 Y = p2.X + q2 Y = p3.X + q3

Taux individuel de l’harmonique 5 du courant alternatif à l’entrée
Fig.IV. 4 : Frontière Pareto finale
II.3.3. Analyse des résultats
II.3.3.1. Variations des objectifs
Grâce à la frontière Pareto, on peut constater que la masse diminue si le taux
individuel de l’harmonique 5 du courant alternatif à l’entrée augmente. Autrement dit, plus la
norme sur le taux individuel d’harmonique 5 est stricte, plus la masse est importante. La
frontière Pareto de la Fig.IV. 4 aide le concepteur du réseau à choisir le niveau de norme qui
doit être finalement adopté pour le réseau.
130
On peut remarquer que la variation de la masse du canal de puissance est petite (de
40.22 kg à 42.38 kg, soit 5.4%) pour une variation entre 0.0356 et 0.01 du taux individuel de
l’harmonique 5 (soit 256 %).
En regardant la variation de la masse et du taux individuel de l’harmonique 5 du
courant alternatif à l’entrée, nous constatons que nous pouvons l’approximer linéairement
comme suit :
Y= p1.X + q1 (Y : la masse, X : ThIe5 ) pour ThIe5 se trouvant entre 0.01 et 0.0141 ;
Y= p2.X + q2 pour ThIe5 se trouvant entre 0.0141 et 0.0223 ;
Y= p3.X + q3 pour ThIe5 se trouvant entre 0.0223 et 0.0356.
(p1=-242.75 p2=-98.43 p3=-29.67
q1=44.90 q2=42.76 q3=41.28)
On peut remarquer que les coefficients de pentes p1, p2, p3 sont négatifs et p1 > p2
> p3 . La diminution de la valeur de ThIe5 dans la zone 1 donne une diminution de la masse
plus important que dans la zone 2, elle-même plus importante que dans la zone 3. Sans
information supplémentaire, le meilleur compromis semble être le point d’intersection entre la
zone 2 et la zone 3 : en effet aller dans la zone 3 semble présenter peu d’intérêt, car le
relâchement de la norme se traduit par une diminution de masse faible par rapport a ce qu’elle
est dans la zone 2 (et à fortiori dans la zone 1).
II.3.3.2. Evolution de la masse des composants
Les Fig.IV. 5, Fig.IV. 6, Fig.IV. 7, Fig.IV. 8 présentent les évolutions de la masse des
composants dans le canal de puissance pour les points se trouvant sur la frontière Pareto du
problème.
Point 1
l’auto-transformateur (kg)
Point 51
Point 101
Masse de
Point 151 Point 201

Point 251
Taux individuel harmonique 5 du courant alternatif à l’entrée
Fig.IV. 5: Evolution de la masse de l’auto-transformateur sur la frontière Pareto du problème
131
Masse de l’inductance
d’interphase (kg)
Fig.IV. 6 : Evolution de la masse de l’inductance d’interphase sur la frontière Pareto du problème

du filtre (kg)

Fig.IV. 7: Evolution de la masse de l’inductance du filtre sur la frontière Pareto du problème
Masse du condensateur
du filtre (g)

Fig.IV. 8: Evolution de la masse du condensateur du filtre sur la frontière Pareto du problème
En regardant ces variations, on peut constater que seule la masse de l’auto-

transformateur change de valeur. La forme de la variation de la masse de l’auto-
transformateur est la même que celle du canal de puissance.
II.3.3.3. Evolution des géométries des composants intégrés
D’après les variations des masses des composants, seule la masse de l’auto-
transformateur change, tandis que la masse des autres composants varie très peu. Nous
présentons donc ici seulement la variation de la géométrie de l’auto-transformateur. Pour cela,
la Tab.IV. 2 illustre l’évolution de la géométrie pour quelques points sur la frontière Pareto
(les points sont numérotés comme ceux de la Fig.IV. 5).
On peut remarquer que l’auto-transformateur est plus aplati (la hauteur diminue, la
largeur augmente) quand le taux individuel harmonique 5 du courant alternatif à l’entrée
132
diminue. Ceci peut être expliqué par le fait que les inductances de fuite des bobinages
augmentent (formules de Eq.B.57 à Eq.B.71 dans l’annexe B) permettant ainsi d’augmenter le
niveau de filtrage des harmoniques.
Point 1 Point 51 Point 101
Point 151 Point 201 Point 251

: Noyau magnétique , : Bobinage
Tab.IV. 2 : Géométrie de l’auto-transformateur pour quelques points de la frontière Pareto
II.4. Conclusion
Dans cette partie, nous avons appliqué une stratégie rationnelle permettant de
transformer un problème de dimensionnement mal posé (Le concepteur ne connaît pas quelles
sont les normes à respecter pour les composants intégrés dans le système électrique
embarqué) en un problème bien posé. Les solutions du problème bien posé aident le
concepteur à mieux connaître l’influence des normes sur la masse du canal de puissance et
finalement à les définir.
Dans le cas de l’application, on trouve que la variation de la masse en fonction des
normes est faible. La norme existante serait donc suffisante ou toute autre norme permettant
des gains par ailleurs sur le dimensionnement d’autres composants intégrés au canal de
puissance.
III. Aide pour la définition des spécifications des composants

III.1. Définition du problème
Dans certains cas de dimensionnement, on ne peut pas prendre en compte un (des)
composant(s) intégré(s) dans le système car :
• Le système électrique embarqué comporte souvent plusieurs composants et
le concepteur n’a pas toujours les compétences ou un assez bon niveau de connaissance pour
pouvoir tous les modéliser.
133
• Quelque fois, le concepteur a les compétences pour modéliser un composant

mais n’a pas toutes les informations le concernant parce que, par exemple, ces informations
font partie du savoir-faire des équipementiers, voire sont confidentielles.
• Si on prend en compte tous les composants, le problème du
dimensionnement peut devenir trop compliqué et on ne peut plus le résoudre par des
algorithmes d’optimisation car il y a trop de paramètres de conception ou trop de contraintes.
Au chapitre III (voir paragraphe III.5), on a proposé une stratégie rationnelle pour
définir le disjoncteur et proposer ses spécifications, en l’occurrence sa courbe de
déclenchement (Fig.III. 7), puis pour optimiser le système en fonction des spécifications
proposées. Mais cette stratégie implique des risques importants pour la conception du
composant et du système : le disjoncteur peut être difficile à fabriquer, sa masse être trop
grande. En bref, le choix fait à priori sur la caractéristique du disjoncteur peut s’avérer non
réalisable, ou non optimal. Dans cette partie, nous proposons donc une autre stratégie
rationnelle permettant une minimisation de ces risques.
III.2. Méthode
Si on sait que le dimensionnement du disjoncteur va influer sur la masse globale du
système, on va supposer que le disjoncteur n’a aucune influence sur les harmoniques et la
dynamique du canal de puissance.
La Fig.IV. 9 donne un exemple de courbe de déclenchement d’un disjoncteur. On peut
noter que la valeur du pouvoir de coupure du disjoncteur est importante pour la géométrie du
disjoncteur. Si cette valeur est grande, il faut prévoir la géométrie en conséquence pour
éliminer l’arc électrique. Nous supposons ici que le temps de déclenchement du disjoncteur
pour la valeur du pouvoir de coupure est de 1ms. Pour avoir un disjoncteur plus léger et moins
cher il faut diminuer la valeur de pouvoir coupure. Il est donc très intéressant de diminuer la
valeur maximale du courant court-circuit entre 0 et 1 ms après le court-circuit.
Temps de déclenchement (s)
Valeur du pouvoir
de coupure
Courant court-circuit (A)

Fig.IV. 9 : Exemple de courbe de déclenchement d’un disjoncteur
C’est pourquoi nous allons chercher la courbe Pareto qui représente les compromis
entre la minimisation la masse du canal de puissance et la minimisation de la valeur maximale
134
de courant de court-circuit entre 0 et 1 ms. Pour ce faire, nous utiliserons les techniques de
dimensionnement optimal avec les informations suivantes :
• Spécifications
Paramètres de conception et espace de recherche
Identique au précédent
Les contraintes
Toutes les contraintes du dimensionnement optimal du canal de puissance
moins la contrainte du courant de court-circuit.
Fonctions objectifs
Minimiser la masse
Minimiser la courant maximum du courant de court-circuit entre 0 et
1ms.
Nous réutilisons le modèle mixte analytique-numérique qui est rappelé Fig.IV. 2.
Nous utilisons l’algorithme NSGAII avec la configuration précédente. Il nous
permettra de construire le Pareto masse versus courant de court-circuit maximal. Nous ferons
aussi quatre essais pour chaque optimisation afin d’être sûr de la convergence.
III.3. Résultats
III.3.1. Résultats de l’optimisation
La Fig.IV. 10 présente les courbes Pareto qui sont les résultats des 4 optimisations. On
peut remarquer que ces 4 courbes de Pareto sont très proches les unes des autres. Les
optimisations ont donc bien convergé.
canal de puissance (kg)
+, , x , : Résultats des 4 optimisations NSGAII

Masse totale du
Valeur maximale de courant de court-circuit entre 0 et 1 ms (A)

Fig.IV. 10 : Résultats des 4 optimisations
La Fig.IV. 11 présente les meilleurs compromis entre la minimisation de la masse du
canal et la minimisation de la valeur maximum du courant court-circuit entre 0 et 1ms. Cette
frontière est construite à partir des 4 dernières frontières en utilisant les règles de domination.
Pour simplifier l’écriture, on note Iccmax la valeur maximale du courant de court-circuit entre 0
et 1ms. Rappelons qu’on peut connaître toutes les valeurs des paramètres de conception pour
135
tous les points sur la frontière de Pareto. Ici, nous affichons ces valeurs pour les deux points
extremums de la frontière.
Masse = 51.92
Masse = 40.78
Iccmax= 892 Iccmax= 2695
a1=a2=1.0 kd_i = 2.9035 kd_i = 0.6061
kd=0.5276 a1=a2=1.0
ni =53.718 ni =53.2399
na=42.992 kd=0.5728
kd_f = 1.0751 kd_f = 0.9235
canal de puissance (kg)
na=31.885
nf = 17.715 nf = 4.3401
Masse totale du
L = 100 µH L = 5 µH
C = 996 µF C = 600 µF
Zone B
Zone A
Fig.IV. 11 : Frontière Pareto du problème: minimiser la masse, minimiser la valeur maximale de

courant court-circuit entre 0 et 1ms
III.3.2. Analyse des résultats
III.3.2.1. Variation des valeurs d’objectifs
D’après la Fig.IV. 11, si la masse diminue, la valeur Iccmax augmente. Cette courbe va
aider le concepteur du réseau à choisir le type de disjoncteur. Selon le compromis qu’il
souhaite faire vis-à-vis de la masse totale du canal de puissance. On peut noter qu’elle varie
entre 40.784 kg et 68.194 kg, soit de 67% quand la valeur de Iccmax varie entre 2695 A et 623
A, soit de 328%.
En regardant la variation de la masse et de Iccmax, nous pouvons distinguer deux zones
comme l’illustre la Fig.IV. 11. Nous constatons que pour une même augmentation de la valeur
Iccmax, la masse du canal de puissance dans la zone A diminue plus fortement que dans la zone
B. Sans aucune information supplémentaire, le meilleur compromis semble donc être le point
d’intersection entre la zone A et la zone B.
III.3.2.2. Evolution de la masse des composants
Les Fig.IV. 12, Fig.IV. 13, Fig.IV. 14, Fig.IV. 15 présentent les évolutions de la masse
des composants du canal de puissance sur la frontière Pareto.
transformateur(kg)
Masse de l’auto-
Zone A Zone B

Fig.IV. 12 : Evolution de la masse de l’auto-transformateur sur la frontière de Pareto du problème
136
d’interphase (kg) Zone A Zone B
Fig.IV. 13 : Evolution de la masse de l’inductance d’interphase sur la frontière de Pareto du problème

du filtre (kg)
Zone A Zone B
Fig.IV. 14: Evolution de la masse de l’inductance du filtre sur la frontière de Pareto du problème
Zone A Zone B
de filtre (kg)

Fig.IV. 15 : Evolution de la masse du condensateur du filtre sur la frontière de Pareto du problème
On peut constater que:

• Les masses de l’inductance d’interphase, de l’inductance du filtre, et du
condensateur du filtre évoluent sensiblement. La masse de l’auto-transformateur change très
peu.
• La variation de la masse du canal de puissance dans la zone A est liée à la
variation de masse de l’inductance d’interphase (Fig.IV. 11, Fig.IV. 13).
• La variation de la masse dans la zone B est liée à la variation de la masse de
l’inductance du filtre (Fig.IV. 11, Fig.IV. 14)
137
On peut enfin noter que la diminution de la valeur de maximum de courant de court-

circuit peut tout d’abord être obtenue par une faible augmentation de la masse de l’inductance
du filtre (zone B de la Fig.IV. 14). Puis la masse du filtre arrivant en butée, c’est la masse de
l’inductance d’interphase qu’il faut faire évoluer (Fig.IV. 13).
III.3.2.3. Evolution des paramètres de conception
Les figures suivantes illustrent la variation des paramètres de conception avec les
points de la frontière Pareto du problème. Nous ne détaillons ici que les paramètres dont la
valeur change sur la frontière.
Inductance du filtre (H)
Zone A Zone B

s : Contraintes
Fig.IV. 16 : Evolution de l’’inductance du filtre sur la frontière Pareto du problème
Capacité du filtre (F)
Zone A Zone B

Contraintes
Fig.IV. 17 : Evolution de la capacité du filtre sur la frontière Pareto du problème
138
Zone B
kd_i
Zone A

Fig.IV. 18 : Evolution de la valeur kd_i sur la frontière Pareto du problème
kd_i: Rapport entre la largeur du noyau magnétique et du bobinage de l’inductance d’interphase (voir
le Tab.III. 4 du chapitre III)
En observant les figures Fig.IV. 11, Fig.IV. 14, Fig.IV. 16, on peut remarquer que
dans la zone B de l’évolution du courant de court-circuit, l’inductance du filtre augmente pour
faire diminuer la valeur maximale du courant de court-circuit et ainsi provoquer une
augmentation de la masse du filtre, et donc de la masse du canal de puissance. On remarque
que l’inductance du filtre est butée dans la zone A (Fig.IV. 16).
La Fig.IV. 18 montre que le rapport entre le noyau de fer et la largeur du cuivre (kd_i)
évolue de la même manière que la masse de l’inductance d’interphase en fonction de la valeur
maximale de courant court-circuit dans la zone A (Fig.IV. 13).
D’après les formules du modèle de conception du canal de puissance (annexe B), on
sait que l’inductance de fuite du bobinage augmente en fonction de kd_i (formule Eq.B.122).
C’est la raison pour laquelle l’augmentation de la masse de l’inductance d’interphase permet
de limiter le courant de court-circuit.
La Fig.IV. 17 représente la variation de la capacité du filtre. On peut constater que
cette variation a la même forme que la variation de la masse du condensateur du filtre (Fig.IV.
15). Cette variation peut s’expliquer par le fait qu’il faut augmenter la capacité du filtre pour
assurer la stabilité du réseau si l’inductance augmente (Eq.III. 9 du chapitre III).
III.4. Conclusion
Nous avons utilisé une stratégie rationnelle pour étudier l’influence sur le résultat du
dimensionnement d’un composant non modélisé et non dimensionné. Cette stratégie permet
de transformer un problème pas posé (on ne peut pas modéliser, ni dimensionner le
disjoncteur) en un problème bien posé (tracer une courbe Pareto) qui est solvable par
l’ordinateur et qui nous permet d’aboutir à un outil d’aide à la décision (la courbe Pareto de la
masse du système en fonction du courant de court-circuit du disjoncteur).
On peut remarquer que la masse minimale du canal de puissance dépend fortement du
pouvoir coupure du disjoncteur. Si le pouvoir coupure augmente, la masse du canal diminue.
Mais, le disjoncteur peut être plus lourd pour éteindre l’arc électrique. En utilisant les résultats
obtenus, le concepteur du réseau va pouvoir choisir un bon disjoncteur pour obtenir le
meilleur compromis entre la masse du canal et la masse du disjoncteur.
139
IV. Relâchement de certaines contraintes de dimensionnement des

composants intégrés dans le réseau
IV.1. Problème et méthode de résolution
Lors du dimensionnement d’un réseau électrique embarqué, l’évolution de certains
paramètres des composants intégrés est parfois limitée par des contraintes. L’idée de nos
recherches est d’essayer de libérer ces contraintes, c’est à dire d’augmenter l’espace de
variation, pour voir si on peut gagner au niveau des objectifs.
En deuxième partie de ce chapitre, lorsque nous avons cherché le dimensionnement du
canal de puissance en fonction de la valeur du courant court-circuit, on a remarqué que
l’inductance et la capacité du filtre sont limitées par des contraintes (Fig.IV. 16, Fig.IV. 17).
Ces contraintes sont données par Airbus : L varie entre 5-100 µH, C varie entre 600-1000 µF.
Nous proposons alors de relâcher les contraintes sur l’inductance et la capacité du filtre avant
de refaire l’optimisation. Les nouvelles contraintes sont maintenant : L varie entre 5-1000 µH
et C varie entre 600-3000 µF.
Nous refaisons ensuite l’optimisation avec les mêmes objectifs que ci-dessus :
minimiser la masse et la valeur maximale du courant de court-circuit entre 0 et 1 ms.
IV.2. Résultats
Nous obtenons une nouvelle frontière de Pareto qui est superposée avec la précédente
sur la Fig.IV. 19.
du canal de puissance(kg)
: Relâchement des contraintes

: Contraintes originales
Masse totale
Zone B
Zone A
Valeur maximale du courant de court-circuit entre 0 et 1 ms (A)

Fig.IV. 19 : Frontière Pareto du problème avec un relâchement des contraints ou les contraintes
originales
On peut remarquer que dans la zone B, on ne gagne aucune masse en relâchant les
contraintes sur l’inductance et la capacité du filtre. Par contre dans le zone A, on a un gain
important. Par exemple, pour Iccmax =1000A, on peut gagner 5 kg (de 50 kg à 45 kg).
Avec les contraintes originales, la masse de l’auto-transformateur varie peu sur la
frontière Pareto alors que les masses de l’inductance interphase, de l’inductance du filtre et du
condensateur du filtre évoluent. Avec le relâchement des contraintes, c’est sensiblement la
même chose (cf. figures Fig.IV. 20, Fig.IV. 21, Fig.IV. 22,Fig.IV. 23)
140
l’auto-tranformateur (kg) : Relâchement des contraintes

Masse de
Zone A Zone B

Fig.IV. 20 : Evolution de la masse de l’auto-transformateur sur la frontière Pareto du problème
Zone A Zone B
d’interphase (kg)

Fig.IV. 21 : Evolution de la masse de l’inductance d’interphase sur la frontière Pareto du problème

Zone A Zone B
du filtre (kg)


Fig.IV. 22 : Evolution de la masse de l’inductance du filtre sur la frontière Pareto du problème

du filtre (kg)
Zone A Zone B

Fig.IV. 23 : Evolution de la masse du condensateur du filtre sur la frontière Pareto du problème
141
En comparant les évolutions des masses des composants dans les deux cas, on trouve
que :
• Dans la zone B, les masses des composants sont presque identiques.
• Dans la zone A, pour le cas du relâchement des contraintes, c’est la masse de
l’inductance du filtre qui varie alors qu’elle était constante avec les contraintes originales.
Ceci permet de gagner de la masse dans la zone A. Elle tend à rejoindre sa valeur maximale.
En regardant les variations des paramètres de conception, nous pouvons remarquer

qu’avec le relâchement des contraintes :
• L’inductance du filtre devient plus grande et atteint sa valeur butée (Fig.IV.
24).
• La capacité du filtre devient aussi plus grande mais n’atteint pas sa valeur
butée comme cela est illustré sur la Fig.IV. 25.
Inductance du filtre (Kg)
Zone A Zone B
: Limite de variation de l’inductance dans le cas du relâchement des contraintes

: Limite de variation de l’inductance dans le cas des contraintes originales
: Cas de relâchement des contraintes : Cas contraintes originales
Fig.IV. 24 : Evolution de l’inductance du filtre sur la frontière Pareto du problème

Capacité du filtre (Kg)

Zone A Zone B
: Limite de variation de la capacité dans le cas du relâchement des contraintes

: Limite de variation de la capacité dans le cas des contraintes originales
Fig.IV. 25 : Evolution de la capacité du filtre le long de la frontière Pareto du problème
142
IV.3. Conclusion sur le relâchement des contraintes

Le relâchement a permis de gagner en masse. Les résultats obtenus donnent ainsi au
concepteur une idée des contraintes à imposer lors du dimensionnement et donc l’aide dans la
définition du cahier des charges.
V. Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons proposé des stratégies rationnelles permettant d’étudier
les influences des normes et des caractéristiques des composants sur la masse du canal de
puissance.
Toutes ces stratégies rationnelles qui permettent de mieux poser le problème du
dimensionnement, sont donc une aide pour le concepteur et sont basées sur les frontières de
Pareto. Ces stratégies devront guider à l’avenir les intégrateurs réseaux lorsqu’ils étudient le
dimensionnement optimal d’un système embarqué ou lorsqu’ils définissent les normes qu’ils
imposeront aux équipementiers.
143
Conclusion générale et perspectives
I. Conclusion générale
Tout au long de cette thèse, nous avons présenté des méthodes innovantes pour
effectuer le dimensionnement optimal de systèmes électriques embarqués. Le cœur de notre
travail repose sur une approche de conception systémique par optimisation pour dimensionner
de manière globale, c’est-à-dire en prenant en compte les interactions entre les composants,
les objectifs de dimensionnement et les contraintes de qualité du réseau.
En s’inspirant de ce qui se fait déjà pour le dimensionnement optimal dans le domaine
du génie électrique, nous avons remarqué que la formulation du problème d’optimisation est
une étape importante dans le processus de dimensionnement optimal. Pour cela, il faut avoir :
une modélisation, des spécifications, un algorithme d’optimisation.
Nous avons commencé par détailler les méthodes de modélisation pour le
dimensionnement optimal des systèmes électriques embarqués. Nous nous sommes orientés
vers une modélisation mixte (analytique, semi-analytique, numérique) qui permet de
modéliser numériquement les grandeurs qui ne peuvent pas être calculées par voie analytique.
Nous avons ensuite proposé des approches permettant d’optimiser sur la base du
modèle mixte. Cela inclut la construction du modèle conception, la définition de l’espace de
recherche réduit, le choix et l’adaptation des algorithmes d’optimisation. Différents
algorithmes d’optimisations déterministes ou évolutionnaires ont ainsi été pour des problèmes
mono-objectif ou multi-objectifs. Deux algorithmes notés RTS et NSGA II ont été identifiés
comme les plus performants dans notre cas.
Tout ceci supposait que le problème était bien posé et solvable ce qui n’est pas
toujours le cas. Dans le cas contraire, nous avons donc défini des stratégies rationnelles basées
sur Pareto qui permettent d’aider à formuler un problème de dimensionnement à partir du
problème original mal-posé. Ces stratégies peuvent notamment aider le concepteur à choisir
les composants intégrés dans le réseau et à définir les normes de qualité réseau.
Pour conclure cette thèse, les méthodes et les outils développés ont été appliqués à un
canal de puissance d’un Airbus « nouvelle génération». Bien entendu, d’autres applications
auraient pu être envisagées du fait de la généricité des approches proposées.
Dans le cadre de l’application traitée, et avec le niveau de modélisation utilisé, on est
arrivé aux conclusions suivantes :
Le générateur (et les feeders) joue(nt) peu sur la masse totale (1.28 kg)
Les normes dimensionnent peu la masse totale.
La masse du canal de puissance est dimensionnée fortement par l’organe de
coupure (courant de court-circuit) et la puissance transmise
L’inductance du filtre est importante pour le dimensionnement de l’organe
de coupure
La masse de l’auto-.transformateur est la plus grande des masses des
composants intégrés au canal de puissance étudié
146
II. Perspectives
Différentes perspectives s’offrent à nous suite à ces travaux, d’une part sur l’aspect
méthodologique et d’autre part sur l’application elle-même.
1. Du point de vue méthodologique

On peut dégager deux niveaux de perspectives concernant la modélisation et
l’optimisation/dimensionnement.
En ce qui concerne la modélisation, la partie simulation numérique pose des
problèmes de facilité de mise en oeuvre et de coût de calcul. Pour s’en affranchir, un travail
de modélisation important reste à faire, notamment en ce qui concerne les aspects
harmoniques. Une piste serait le recours au formalisme opérationnel utilisé dans [LIU05]-
[POP99] pour le calcul des harmoniques. L’intérêt d’une telle approche est qu’elle résoud par
la même occasion le problème des performances dynamiques puisqu’il suffit alors de ne
considérer que le fondamental du modèle. D’autres travaux devront porter sur l’inclusion des
pertes et des échauffements et sur la prise en compte des éventuelles contraintes mécaniques.
En ce qui concerne les méthodes d’optimisation/dimensionnement, il faut développer
des stratégies permettant d’obtenir des résultats d’optimisation robustes vis-à-vis des
incertitudes du modèle. Par exemple, il serait intéressant de relier la variation de masse à un
indice de robustesse du dimensionnement optimal. Cette stratégie pourrait utiliser les résultats
des travaux en cours dans la thèse de [SAU09] menés au G2Elab et portant sur l’analyse
robuste de la stabilité et des performances dynamiques d’un canal de puissance.
Il serait également intéressant d’améliorer les algorithmes d’optimisation pour avoir de
meilleures performances vis-à-vis du bruit numérique, des multi-optima :
Pour les algorithmes du type SQP, une piste serait d’implémenter une
méthode de surface de réponse permettant de disposer d’une fonction moins
bruitée pour évaluer la dérivée partielle des sorties en fonction des entrées. En
s’aidant de cette surface, un algorithme gradient pourrait optimiser sans
problème avec bruit numérique.
Pour les algorithmes d’évolutionnaires (ES, RTS, NSGAII), il faudrait
continuer à chercher de nouveaux paramètres de configuration des algorithmes
afin d’avoir de meilleures performances de convergence et de rapidité.
Une mixte entre deux types d’algorithmes serait aussi à considérer. Les
algorithmes d’évolutionnaires créeraient des individus dans l’espace de
recherche utilisés par l’algorithme SQP comme points départs d’une
optimisation. Les algorithmes évolutionnaires utiliseraient ensuite les individus
optimisés pour la prochaine génération. Cette approche profiterait des
avantages des deux types d’algorithmes pour accélérer la convergence finale
vers la meilleure solution.
147
2. Du point de vue applicatif
Les méthodes et outils proposés dans la thèse pourront être utilisés pour la définition
des nouveaux canaux de puissance d’Airbus, notamment le canal sans auto-transformateur. Ce
dernier comporte un alternateur contrôlé par l’excitation directement raccordé au bus continu
par un pont de diodes sur capacité en tête. Une telle structure, très simple, devrait donner des
gains de masse importants.
Pour le dimensionnement optimal de ce nouveau canal, il faudra par contre
impérativement tenir compte du générateur et de son système de contrôle, autrement dit
envisager le co-dimensionnement optimal de la structure de puissance (générateur, redresseur,
filtre) et de l’architecture de contrôle du système de génération pour permettre de réduire la
taille du système (minimiser la masse, perte, volume) tout en garantissant les performances.
Ce problème sera traité sous deux approches.
La première, qui se réalise en deux étapes consistera à:
1. Optimiser le dimensionnement des composants de puissance, autrement dit
déterminer les dimensions optimales de l’alternateur et du filtre en supposant
un contrôle parfait de son excitation.
2. En utilisant les dimensions optimales des composants de puissance trouvées
dans la première étape, déterminer les paramètres de l’architecture de contrôle
pour avoir les meilleures performances dynamiques.
On pourra alors reboucler l’étape 1 avec les nouvelles valeurs des paramètres
de l’architecture de contrôle trouvé dans l’étape 2.
La deuxième approche consistera à optimiser en tenant compte de tous les problèmes à

la fois. Autrement dit, l’objectif du nouveau problème d’optimisation sera d’optimiser en
même temps les paramètres des composants et de l’architecture de contrôle pour avoir les
meilleurs compromis entre la taille du système et la performance dynamique.
On peut remarquer que la première approche est classique, facile dans la réalisation
mais que les solutions trouvées peuvent ne pas être les meilleures vis-à-vis du compromis
taille du système / performance dynamique. C’est pourquoi, nous privilégierons la deuxième
approche.
En résumé, la tâche est encore immense pour réussir l'optimisation des réseaux
électriques embarqués, et en particulier des réseaux de bord d'avion ... alors bon courage pour
les suivants !
148
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156
Annexe A: Construction du tableau de Routh
Annexe A : Construction du tableau de Routh

I. Rappel sur la fonction de transfert
Bf ( s )
On suppose que la fonction de transfert est F ( s) =
Af ( s )
n
Avec Af(s) décrit sous forme : Af(s) = ∑ ai .s i
i =0
Les racines de Af(s) sont appelées les pôles.
II. Tableau de Routh
Le tableau de Routh est construit par deux 2 étapes :

Etape 1 : Construire le tableau à deux lignes
an a n−2 a n−4 a n−6 …

a n −1 a n −3 a n −5 a n−7 …
Tab.A. 1: Tableau à deux lignes
Tous les coefficients d’indice pair du polynôme Af(s) se trouvent dans une
ligne.
Idem pour les coefficients d’indice impair
Etape 2 : Construire le tableau de Routh
Le tableau de Routh est construit à partir du Tab.A. 1 de la manière
suivante :
sn an a n−2 a n−4 …
s n −1 a n −1 a n −3 a n −5 …
s n −2 bn −1 bn −3 bn −5 …
s n −3 c n −1 c n −3 c n −5 …
… … … .. …
s0 z n −1 z n −3 z n −5 …
Tab.A. 2: Tableau de Routh
Avec
a n −1 a n −2 − a n a n −3 a n −1 a n − 4 − a n a n −5
bn −1 = , bn −3 =
a n −1 a n −1
a n −1 a n −6 − a n a n −7
bn −5 = , ……..
a n −1
157
Annexe A: Construction du tableau de Routh
bn −1 a n −3 − a n −1bn −3 bn −1 a n −5 − a n −1bn −5
c n −1 = , c n −3 =
bn −1 bn −1
bn −1 a n −7 − a n −1bn −3
c n −5 = ,…….
bn −1
….
On peut remarquer que :
• Deux premières lignes du tableau de Routh sont directement
construites à partir du polynôme caractéristique.
• La troisième ligne est construire à partir des deux premières et d’une
manière générale la ième ligne ( i ≥ 3) est construite à partir des lignes (i-1)
et (i-2).
• Les premiers éléments des lignes i-1 et i-2 interviennent dans le calcul
de tous les éléments de la ligne i.
• Dans les formules pour calculer les éléments de la ligne i, il y a
toujours une division par le premier élément de la ligne i-1.
158
Annexe B: Structures et équations pour dimensionner
des dispositifs dans le canal de puissance
Annexe B: Structures et équations pour dimensionner des dispositifs dans le

canal de puissance
Cette annexe présente la structure et les équations analytiques qui permettent de trouver le
dimensionnement de chaque composant dans le canal de puissance.
I. Structure du canal de puissance

La structure du canal de puissance étudié est un ATRU -12 pulses qui se trouve dans le
rectangle rouge de la Fig.B. 1 [REG05] et qui comporte :
• Un auto-transformateur
• Un redresseur
• Une inductance d’interphase
• Un filtre passe-bas
+ Feeders Va1,Vb1,Vc1 Vp1, Vn1
Vp
~ ~ 540 VDC
Va, Vb, Vc Vn
Va2 , Vb2 , Vc2 Vp2, Vn2
Fig.B. 1: Structure du canal de puissance étudié (le rectangle rouge comporte les composants à
dimensionner)
La tension à l’entrée du canal est alternative triphasée (Va, Vb, Vc) avec (Veff = 230V, f
= 380-800Hz). Elle est fournie par le générateur synchrone à travers les feeders. A la sortie de
l’auto-transformateur, il y a deux systèmes de tensions triphasées qui sont déphasés de 30°
((Va1, Vb1, Vc1) et (Va2, Vb2, Vc2)). Ces deux systèmes de tension sont redressés et donnent
deux systèmes de tensions continues (Vp1, Vn1) et (Vp2, Vn2). Ces tensions voient ensuite
l’inductance d’interphase (qui permet d’équilibrer les courants traversant les deux ponts en
parallèle du redresseur 12 pulses) et le filtre. La tension filtrée vaut 540 Vdc à la sortie du
canal.
II. Auto-Transformateur
II.1 Structure
Nous utilisons la structure de l’auto-transformateur définie dans le travail de [REG05].
On suppose que l’auto-transformateur comporte trois colonnes avec un primaire et deux
secondaires. Le premier bobinage secondaire produit les tensions primaires (Va1, Vb1, Vc1). Le
deuxième bobinage secondaire produit les tensions (Va2, Vb2, Vc2). La Fig.B. 2 présente la
schéma vectoriel de ces tentions.
159
y
Vc1
Vc2
Vc
Va2
Va
0 30° x
Va1
Vb
Vb1
Vb2
Fig.B. 2 : Schéma vectoriel des tensions d’entrée et des deux systèmes de tension de sortie créés par
l’autotransformateur
Les tensions à la sortie peuvent être calculées à partir des entrées par les équations :
V a1   a1 b1 c1 
   
Vb1   c1 a1 b1  (Eq.B.1)
V   b c a 
 c1  =  1 1 1 
(Va Vb Vc )T
 V a 2   a 2 b2 c 2 
   
 Vb 2   c 2 a 2 b 2 
V   b 
 c2   2 c 2 a 2 
Avec a1, a2, b1, b2, c1, c2 qui sont des valeurs réelles qui varie entre −∞ et +∞
D’après Eq.B.1, on a :
Va1 = a1.Va + b1.Vb + c1.Vc
Vb1 = c1.Va + a1.Vb + b1.Vc
…..
Vc2 = b2.Va + c2.Vb + a2.Vc
Chaque tension de sortie est une composition des 3 tensions d’entrée Va, Vb, Vc. Pour
la créer, on utilise 3 bobinages situés sur des colonnes différentes. Les nombres de spires des
bobinages sont (a1-1).na, na.b1, na.c1 pour (Va1,Vb1,Vc1) ou (a2-1).na, na.b2, na.c2 pour
(Va2,Vb2,Vc2) (na : nombre de spires du primaire). La Fig.B. 3 illustre cette structure.
160
Va Vb Vc
Primaire
n a spires
Secondaire (a1 − 1).n a spires

I
n a .b1 spires
n a .c1 spires
Va1
Vb1 Vc1
(n a − 1).a 2 spires
Secondaire
II n a .b2 spires
n a .c 2 spires
Vb2 Vc2 Va2

Fig.B. 3: Structure de l’auto-transformateur étudié
Par exemple, pour la sortie de Va1, on a 3 bobinages :

Le premier comporte (a1-1).na spires et se trouve sur la colonne
de Va.
Le deuxième comporte na.b1 spires et se trouve sur la colonne
de Vb.
Le dernier comporte na.c1 spires et se trouve sur la colonne de
Vc.
161
On a : Va1 = Va + (a1-1) Va + b1.Vb + c1. Vc
= a1.Va + b1. Vb + c1. Vc
II.2 Géométrie
Pour la géométrie de l’auto- transformateur, nous utilisons la géométrie de
transformateur utilisée par [FER99]- [POL86] représentée sur la figure Fig.B. 4 avec une
forme de noyau magnétique carrée.
2.dc+D1+2.D2
b 2.dc+D1+2.D2
b b
D1 : Distance d’isolement entre deux bobinages

D2 : Distance d’isolement entre le bobinage et le noyau
magnétique
b: Largeur du noyau magnétique
h : Hauteur de fenêtre du noyau magnétique
dc : Largeur de bobinage
Nous supposons : D2=D2=0
: Bobinge (cuivre)
Fig.B. 4: Géométrie de l’auto –transformateur
II.3 Modèle analytique

On appelle α le déphasage entre (Va1, Vb1, Vc1) et (Va, Vb, Vc). Donc, le déphasage
π π
entre (Va2, Vb2, Vc2) et (Va, Vb, Vc) est − α . ( = 30°)
6 6
Dans nos travaux, pour simplifier le problème de dimensionnement, nous supposons
que :
• Deux systèmes électriques triphasés à la sortie (Va2, Vb2, Vc2) et (Va, Vb, Vc)
π
sont symétriques par rapport au système électrique d’entrée (Va, Vb, Vc). Donc α =
12
• Ces deux systèmes électriques ont la même valeur efficace : Vseff = k.Veff
(Veff : est la valeur efficace de la tension à l’entrée)
162
Les vecteurs Va, Vb, Vc, Va1, Va2 se composent donc avec deux coordonnés (O,x,y)
(Fig.B. 2) suivantes :
Va(Veff ,0)
π π
Vb(−Veff . sin , Veff . cos )
6 6
π π
Vc( −Veff . sin ,−Veff . cos )
6 6
Va1(Vseff . cos α ,−Vseff . sin α )
π π
Va 2(Vseff . cos( − α ),−Vseff . sin( − α ))
6 6
On a Va1=a1.Va+ b1.Vb + c1.Vc, donc :
 π π
Vseff . cos α = a1 .Veff − b1 .Veff . sin − c1 .Veff . sin
 6 6
 (Eq.B.2)
π
− Vseff . sin α = 0 + b .Veff . cos − c .Veff . cos π

1 1
6 6
La résolution de Eq.B.2 donne :
 π π
− cos α − .Vseff + a1 . cos( ).Veff
 6 6
b1 = (Eq.B.3)
π 
sin  .Veff
3
 π π
− cos α + .Vseff + a1 . cos( ).Veff
 6 6
c1 = (Eq.B.4)
π 
sin  .Veff
3
En plus, on a : Va2 = a2.Va+ b2.Vb + c2.Vc

 π π π
Vseff . cos( 6 − α ) = a 2 .Veff − b2 .Veff . sin 6 − c 2 .Veff . sin 6
 (Eq.B.5)
− Vseff . sin( π − α ) = 0 + b .Veff . cos π − c .Veff . cos π
 6
2
6
2
6
En résolvant (Eq.B.4), on obtient :
π
− cos α .Vseff + a 2 . cos( ).Veff
b2 = 6 (Eq.B.6)
π 
sin  .Veff
3
 π π
− cos α + .Vseff + a 2 . cos( ).Veff
 3 6
c2 = (Eq.B.7)
π 
sin  .Veff
3
163
II.3.1 Dimension du circuit magnétique
On suppose le flux magnétique isolé dans chaque colonne de l’auto- transformateur.
Par symétrie, on remarque que les trois colonnes sont identiques. Ici, nous présentons les
équations de dimensionnement de la colonne qui supporte la tension Va à l’entrée.
dφ d ( S f .B ) dB
On a : Va = n a . = na = n a .S f . (Eq.B.8)
dt dt dt
φ : Flux magnétique crée par la tension à l’entrée
B : Induction magnétique dans le noyau magnétique de la colonne
S f : Surface du noyau magnétique
1
Alors : B =
n a .S f ∫
. Va (t ).dt (Eq.B.9)
On suppose que la tension Va est sous forme Va = Veff . 2 . sin( wt ) (Eq.B.10)

2
Donc B = Veff . cos( wt ) (Eq.B.11)
n a .S f .w
2
⇒ Bmax = Veff (Eq.B.12)
n a .S f .w
On peut remarquer que le matériau du noyau magnétique peut supporter une induction
inférieur à la valeur limite Bmax_ Mate ( Bmax_ Mate dépend au matériaux, est donné par le
constructeur). Alors :
2
Bmax = Veff ≤ Bmax_ Mate (Eq.B.13)
na .S f .w
2 .Veff
⇒b= Sf ≥ (Eq.B.14)
n a .w.Bmax_ Mate
II.3.2 Calculs de la masse

II.3.2.1. Cuivre
II.3.2.1.1. Au primaire (Les tensions (Va,Vb,Vc))
On a S e = 3.Veff .Ieff (Eq.B.15)
Avec : S e : Puissance apparence de l’entrée
Ieff : Valeur efficace de courant de l’entrée pour chaque phase
Veff : Valeur efficace de courant de l’entrée pour chaque phase
Se
Donc Ieff = (Eq.B.16)
3.Veff
164
La section de cuivre de chaque spire de la bobine est :
Ieff . 2
SCu _ 1spire _ primaire ≥ (Eq.B.17)
J
Avec : J : densité de courant surfacique de courant maximale admissible pour
cuivre
La surface de cuivre du bobinage au primaire est calculée par la formule :
S cu _ primaire = S Cu _ 1spire _ primaire .n a (Eq.B.18)
II.3.2.1.2. Secondaire
On suppose qu’il n’y a pas des pertes sur l’auto- transformateur, donc :
La puissance apparente à la sortie est : S s = S e (Eq.B.19)
On suppose que la répartition de S s est équivalente pour chaque phase de la sortie
D’où, la puissance apparente dans chaque phase se calcule par la formule :
S
S s _ unePhase = s (Eq.B.20)
6
On remarque que la valeur efficace des tensions de sortie est identique :
Vseff = k.Veff (Eq.B.21)
Donc, la valeur efficace de courant dans chaque phase est :
Ss
Iseff = (Eq.B.22)
6.k .Veff
Premier Secondaire (Les tensions (Va1, Vb1, Vc1))
La section de cuivre de chaque spire du bobinage est déterminée par :
Iseff . 2 Ss . 2
S Cu _ 1spire _ sec ondaire1 ≥ = (Eq.B.23)
J 6.k .Veff .J
Dans chaque colonne du premier secondaire, il y a 3 bobinages qui sont (a1 − 1).na
spires, b1.na spires, c1.na spires. (Voir la Fig.B. 3). Donc, la surface de cuivre du bobinage
du premier secondaire se calcule par :
S Cu _ sec ondaire1 = [ a1 − 1 na + b1 na + c1.na ].S Cu _ 1spire _ sec ondaire1 (Eq.B.24)
Deuxième secondaire (Les tensions (Va2,Vb2,Vc2))
Par analogie nous pouvons déduire la section de cuivre pour chaque spire du bobinage
au second secondaire, ainsi que sa section de cuivre :
Iseff . 2 Ss. 2
S Cu _ 1spire _ sec ondaire 2 ≥ = (Eq.B.25)
J 6.k .Veff .J
S Cu _ sedondaire 2 = [ a 2 − 1.na + b2 .na + c 2 .na ].S Cu _ 1spire _ sec ondaire 2 (Eq.B.26)
II.3.2.1.3. Au total : Primaire et deux secondaires

La surface du cuivre totale pour chaque colonne se calcule par la relation:
S Cu = S Cu _ primaire + S Cu _ sedondaire1 + S Cu _ sedondaire 2 (Eq.B.27)
La surface totale de cuivre (3 colonnes de enroulements) est calculée par :
S Cu _ total = 3S Cu (Eq.B.28)
165
On constate que les cuivres sont bobinés autour des colonnes comme la Fig.B. 5, le
diamètre moyen d’enroulement est :
Dm = 2.(b+D2)+(b/2+D2+dc).π (Eq.B.29)
Avec: kd : Rapport entre la largeur de bobinage et la largeur du
D2
dc b
Diamètre moyen d’enroulement
Fig.B. 5 : Diamètre moyen d’enroulement des bobinages
Le volume du cuivre est donc:

VCu = Dm.S Cu _ total (Eq.B.30)
La masse du cuivre se calcule par la formule:
M Cu = DC.VCu (DC : Masse volumique du cuivre) (Eq.B.31)
II.3.2.2. Fer
La surface réservée pour les bobinages :
S B = K B .S Cu (Eq.B.32)
Avec K B : Coefficient de bobinage, qui est le rapport entre la
surface d’encoche totale et la surface d’encoche effectivement
remplie par du cuivre, nous utilisons K B = 2.0 .
Le rapport entre la surface de bobinage et la surface de noyau magnétique est
S
KD = B (Eq.B.33)
SF
La hauteur de fenêtre du noyau magnétique est:
KD
h= b + 2 D 2 + ( Nbobine − 1) D1 (Eq.B.34)
kd
La surface de section «vue de face » du noyau :
S Fe = 3h.b + b(3b + 4kd .b + 4 D 2 + 2.D1) (Eq.B.35)
Le volume de fer :
V Fe = bS Fe (Eq.B.36)
La masse de fer :
M Fe = DI .V Fe (DI : Masse Volumique du fer) (Eq.B.37)
166
II.3.2.3. Masse finale de l’auto-transformateur
La masse de l’autotransformateur est donnée par:
MAT = M Cu + M Fe (Eq.B.38)
II.4 Modélisation sous Saber

L’auto-transformateur est modélisé sous Saber par le couplage entre un réseau de
réluctances et un circuit électrique équivalent représentatif du bobinage.
Le réseau de réluctances de l’auto-transformateur est construit en utilisant un
document issu de THALES [THA05]. La Fig.B. 6.a présente le réseau de réluctance de l’auto-
transformateur. Chaque colonne est représentée par les sources d’ampères-tours en série avec
une réluctance qui est la réluctance de colonne magnétique de surface de noyau Sf, la hauteur
h et de perméabilité relative du matériau µr (Fig.B. 6.c).
On peut noter que les sources d’ampères-tours sont les bobinages. Dans le circuit
électrique équivalent, chaque bobinage est représenté par un enroulement parfait et une
inductance de fuite associée. L’enroulement est représenté par deux paramètres : la résistance
série rb et le nombre de spires du bobinage ns. L’inductance Lf présente l’inductance de fuite
du bobinage. (Fig.B. 6.b).
L’auto-transformateur est modélisé sous Saber par un couplage entre le réseau de
réluctance et le circuit électrique de bobinage. La Fig.B. 7 présente la modélisation sous Saber
un exemple d’une structure de l’auto-transformateur.
167
source d’ampères-tours
b. Un bobinage sous circuit électrique

équivalent
a. Réseau réluctance de l’auto-

transformateur
c. Réluctance R (avec R=1/µ0.h/S)
Fig.B. 6 : Réseau de réluctances de l’auto-transformateur et circuit électrique équivalent
168
Fig.B. 7 : Exemple d’une structure de l’auto-transformateur sous SABER

Les paramètres de l’auto-transformateur sous Saber sont calculés analytiquement
suivant la structure, la géométrie et les matériaux utilisés. Les équations analytiques se
trouvent dans les paragraphes suivants.
II.4.1 Réluctance
La hauteur h est calculée par la formule Eq.B.34
La surface du noyau magnétique :
Sf =b2 (Eq.B.39)
II.4.2 Bobinages
II.4.2.1. Nombre de spires
• Primaire
Le nombre de spires du bobinage du primaire est na (Eq.B.40)
• Premier secondaire
Au premier secondaire, il y a 3 bobinages.
Le nombre de spire du bobinage 1 est donné par n11= a1 − 1.n a (Eq.B.41)
Le nombre de spire du bobinage 2 se calcule par n21= b1 .n a (Eq.B.42)
Le nombre de spire du bobinage 3 est de n31= c1 .n a (Eq.B.43)
• Deuxième secondaire
Au deuxième secondaire, il y a 3 bobinages.
Le nombre de spire du bobinage 1 est de n12= a 2 − 1.n a (Eq.B.44)
Le nombre de spire du bobinage 2 est déterminé par n22= b2 .n a (Eq.B.45)
Le nombre de spire du bobinage 3 est calculé par n32= c 2 .n a (Eq.B.46)
169
II.4.2.2. Résistances
• Primaire
La résistance du bobinage du primaire est calculée par la formule :
LCu _ primaire
R Pr imaire = roCu (Eq.B.47)
S Cu _ 1spire _ primaire
Avec roCu : Résistivité du cuivre

LCu _ primaire : Longueur de fil du cuivre du primaire
On a :
4(b + D 2) + 4(b + D 2 + b.kd )
LCu _ primaire = na.dm = n a .
2
= 4na (b + 2 D 2 + kd .b) (Eq.B.48)
Avec dm : Longueur moyenne d’un tour d’une spire.
4n a (b + 2 D 2 + kd .b)
Donc: RPr imaire = roCu (Eq.B.49)
S Cu _ 1spire _ primaire
Au premier secondaire, il y a 3 bobinages qui ont (a1 − 1).n a , b1 .n a , c1 .n a
spires.
La résistance du bobinage 1 est donnée par :
4 a1 − 1 n a (b + 2 D 2 + kd .b)
R11 = roCu (Eq.B.50)
S Cu _ 1spire _ sec ondaire1
La résistance du bobinage 2 se calcule par la relation :

4 b1 .n a (b + 2 D 2 + kd .b)
R 21 = roCu (Eq.B.51)
La résistance du bobinage 2 est déterminée par :

4 c1 n a (b + 2 D 2 + kd .b)
R31 = ro Cu (Eq.B.52)
Au deuxième secondaire, il y 3 bobinages qui a ont (a 2 − 1).n a , b2 .n a , c 2 .n a
spires.
La résistance du bobinage 1 est :
4 a 2 − 1 n a .(b + 2 D 2 + kd .b)
R12 = ro Cu (Eq.B.53)
S Cu _ 1spire _ sec ondaire 2
La résistance du bobinage 2 est calculée par la formule :

4 .b 2 .n a .( b + 2 D 2 + kd .b )
R 22 = ro Cu (Eq.B.54)
La résistance du bobinage 3 se calcule par :

4.c 2. n a .(b + 2 D 2 + kd .b)
R32 = roCu [Eq.B.55)
170
II.4.2.3. Inductance de fuite
On peut remarquer que les bobinages dans chaque colonne de l’auto-transformateur
sont superposés comme la Fig.B. 8.
.. .. hk
. .
.. bk
.
Fig.B. 8 : Structure les bobinages dans chaque colonne de l’auto-transformateur
En utilisant les formules de calculs de l’inductance de fuite dans [CHA84], on obtient

que l’inductance de fuite d’un bobinage k est :
hk .l mk
Lfk = µ 0 .n k 2 . (Eq.B.56)
3.bk
Avec : µ0 : perméabilité à vide
nk : nombre de spires du bobinage
hk , bk : hauteur et largeur de bobinage (voir la Fig.B. 4)
l mk
: Longueur moyenne des spires du bobinage
Selon la géométrie du transformateur, en utilisant la Fig.B. 5, la longueur moyenne de
spires de tout bobinage est identique, qui vaut :
Da = 2.(b+D2)+(b/2+D2+dc).π =2.(b+D2)+(b/2+D2+ kd.b ).π (Eq.B.57)
• Primaire
La hauteur du bobinage du primaire est :
S Cu _ primaire * KB S Cu _ primaire * KB
ha= = (Eq.B.58)
dc kd .b
L’inductance de fuite du bobinage du primaire est déterminée par :
ha.Da
Lfa= µ 0 .n a 2 . (Eq.B.59)
3.kd .b
La hauteur du bobinage 1 est:
n11.S Cu _ 1spire _ sec ondaire1 .KB
h11= (Eq.B.60)
kd .b
L’inductance de fuite du bobinage 2 est calculée par :
h11.Da
Lf11= µ 0 .n11 2 . (Eq.B.61)
3.kd .b
La hauteur du bobinage 2 est :
h21= (Eq.B.62)
kd .b
171
L’inductance de fuite du bobinage 2 est calculée par :
h21.Da
Lf21= µ 0 .n 21 2 . (Eq.B.63)
3.kd .b
La hauteur du bobinage 3 est donnée par la relation :
h31= (Eq.B.64)
kd .b
L’inductance de fuite du bobinage 3 est calculée par la formule :
h31.Da
Lf31= µ 0 .n31 2 . (Eq.B.65)
3.kd .b
La hauteur du bobinage 1 est donnée par
h12= (Eq.B.66)
kd .b
L’inductance de fuite du bobinage 1 se calcule par la formule :
h12.Da
Lf12= µ 0 .n12 2 . (Eq.B.67)
3.kd .b
La hauteur du bobinage 2 est calculée par la relation :
h22= (Eq.B.68)
kd .b
L’inductance de fuite du bobinage 2 est :
h22.Da
Lf22= µ 0 .n 22 2 . (Eq.B.69)
3.kd .b
La hauteur du bobinage 3 est calculée par la formule :
h32= (Eq.B.70)
kd .b
L’inductance de fuite du bobinage 3 est déterminée par :
h32.Da
Lf32= µ 0 .n32 2 . (Eq.B.71)
3.kd .b
II.4.3 Résumé des paramètres Saber
Finalement, à chaque fois que l’on lance la simulation Saber, il faut fournir la valeur
des 23 paramètres suivants : h, Sf, na, n11, n21, n31, n12, n22, n32, RPrimaire, R11, R21,
R31, R12, R22, R32, Lfa, Lf11, Lf21, Lf31, Lf12, Lf22, Lf32.
172
III. Système de redresseur

III.1 Structure
On peut remarquer que le courant de sortie de l’auto-tranformateur est un système de
π
deux courants triphasés qui sont déphasés de . Donc nous utilisons deux redresseurs en
6
parallèle. Chaque redresseur contient 6 diodes qui sont représentés par la Fig.B. 9.
Vp1
Va1
Vb1
Vc1
Vn1
Fig.B. 9 : Schéma électrique d’un redresseur
La tension maximale de l’entrée de redresseur :

Vem Re d = Vseff . 2 (Eq.B.72)
La valeur moyenne de tension de sortie de l’ redresseur :
6 π
Vs _ m _ redresseur = .Vem Re d . cos [SEG98] (Eq.B.73)
π 6
On appelle I e _ eff _ redresseur , I s _ eff _ redresseur sont la valeur efficace de l’intensité de
l’entrée et de la sortie de redresseur pour chaque phase.
T
On peut remarquer que chaque diode ne conduit que le courant pendant . Donc, le
3
courant qui traverse chaque diode est :
I D _ max = I s _ eff _ redresseur (Eq.B.74)
I s _ eff _ redresseur
I D _ moy = (Eq.B.75)
3
I s _ eff _ redresseur
I D _ eff = (Eq.B.76)
3
3
I s _ eff _ redresseur = I e _ eff _ redresseur (Eq.B.77)
2
III.2 Calculs des pertes
On considère que les pertes du système de redresseur sont la somme des pertes par
conduction de chacune des diodes. Les pertes par conduction d’une diode est donnée par:
P1 _ diode = V D 0 .I D _ moy + Rd _ diode .I D
2
_ eff (Eq.B.78)
173
Avec VD0 : tension de saturation de diode
Rd _ diode : Résistance de diode
Les pertes du système redresseur sont finalement données par:
PS _ Re d = 12.P1 _ diode (Eq.B.79)
III.3 Calculs de la masse
On utilise un radiateur comme système de refroidissement pour protéger les diodes. Le
radiateur de type AAVID THERMALLOY, réf OSX43 est choisi. Ce radiateur est étudié
dans [REG03].
La température du système redresseur dépend de la résistance thermique du radiateur
Tradiateur = PPerte _ sys _ redresseur .Rth _ rad + Tambiant (Eq.B.80)
D’après [REG03], on peut obtenir une fonction qui permet de calculer la longueur de
radiateur en fonction de la résistance thermique. Cette fonction est :
Lrad := 0.001(a 0 _ red .Rth _ rad 3 + a1 _ red .Rth _ rad 2 + a 2 _ red .Rth _ rad + a3 _ red ) (Eq.B.81)
Avec a0_red= -407,0327 a1_red=1432,3 a2_red=-1639,9

a3_red=670,6418
On considère que la masse des diodes est négligeable par rapport à la masse du
radiateur. La masse du redresseur est donc la masse de son radiateur. Cette masse est calculée
par :
M _ Rad = L rad .MRaUni (Eq.B.82)
MRaUni : Masse de radiateur par 1 m de longueur.
La masse du système de redresseur :
MRe=M_Rad (Eq.B.83)
174
IV. Inductance d’Interphase

IV.1 Structure
A la sortie du système redresseur, il y a deux systèmes de tensions redressées (Vp1,
Vn1) et (Vp2, Vn2) (p : tension positive, n : tension négative). Il faut donc utiliser deux
inductances d’interphase (Fig.B. 10.a). L’une équilibre les courants du bus positif, l’autre
équilibre le bus négatif.
Vp1 Vp1
Ip2 Vp
Vp2 Ip Ip1 ni
In1 Vp2 ni
spires
Vn1 Ip2 spires Vp
Vn
Vn2 In Ip
In2
a. Inductances d’interphase utilisées dans le b. Principe d’une inductance d’interphase –

système étudié Transformateur d’équilibrage
Fig.B. 10 : Inductance d’interphase
Du fait des symétries du système, les deux inductances d’interphase peuvent donc être
dimensionnées de manière identique. Nous choisissons de dimensionner l’inductance
d’interphase du bus positif.
L’inductance d’interphase est un transformateur d’équilibrage qui a le même nombre
de spires pour chaque enroulement. Les enroulements sont branchés dans le même sens de
sorte que les forces magnétomotrices se soustraient (Fig.B. 10.b).
La géométrie de l’inductance d’interphase que nous avons choisie est décrite sur la
Fig.B. 11.
175
2.dc i + D1i + 2.D 2 i

bi bi
bi
hi
bi
D1i : Distance d’isolement entre deux bobinages

D2 i : Distance d’isolement entre le bobinage et le noyau magnétique
Dans nos études, D1i = D2 i = 0
bi : Largeur du noyau magnétique
hi : Hauteur de fenêtre du noyau magnétique
dc i : Largeur du cuivre des bobinages
: Bobinage (cuivre) : Noyau magnétique (fer)
Fig.B. 11 : Géométrie d’une inductance d’interphase

IV.2 Modèle analytique
Selon le circuit magnétique de la Fig.B. 10, on a :
∂φ
V p − V p1 = ni (Eq.B.84)
∂t
∂φ
V p 2 − V p = ni (Eq.B.85)
∂t
V p1 + V p 2
Donc : V p − V p1 = V p 2 − V p ⇒ V p = (Eq.B.86)
2
176
En utilisant la loi de Lenz, on a :

∑ n.i = R.φ = 0 Car il n’existe pas de l’entre fer (Eq.B.87)
Alors ni .I p1 − ni .I p 2 = 0 ⇒ I p1 = I p 2 (Eq.B.88)
D’après le circuit électrique, on a : I p = I p1 + I p 2 (Eq.B.89)
Ip
De Eq.B.87 et Eq.B.88, on obtient I p1 = I p 2 = (Eq.B.90)
2
IV.2.1 Dimension du circuit magnétique
∂φ
On appelle: ∆V1 = V p − V p1 = ni (Eq.B.91)
∂t
∂φ
et ∆V 2 = V p 2 − V p = ni (Eq.B.92)
∂t
∂φ
On a: ∆V1 + ∆V 2 = V p 2 − V p1 = 2.ni . (Eq.B.93)
∂t
∂φ ∂ ( S f _ Ind .B ) ∂B
∆V1 + ∆V2 = 2.ni . = 2.ni . = 2.ni .S f _ Ind . (Eq.B.94)
∂t ∂t ∂t
Avec Sf _ Ind = bi 2 : Surface de noyau magnétique (Eq.B.95)
B : Inductance magnétique dans le noyau magnétique
∂B 1
Alors = (∆V1 + ∆V2 ) (Eq.B.96)
∂t 2.ni .S fI
1
Donc B (t ) =
2.ni .S fI ∫ (∆V1 + ∆V2 )dt (Eq.B.97)
Pour l’intervalle de temps que les diodes de conduction ne changent pas, par exemple
π 2π
entre < w.t < , on a :
3 3
 π π 
∆V1 + ∆V2 = Vmax  sin( wt + ) − sin( wt − )  (Eq.B.98)
 12 12 
Avec Vmax : Valeur crête de tension en sortie de l’autotransformateur
En supposant la tension à la sortie de l’auto-transformateur sinusoïdale, on a :
Vmax = 2 .V s _ eff (Eq.B.99)
Vmax  π π 
Alors B (t ) = cos( w.t − ) − cos( w.t + ) (Eq.B.100)
2.ni .S fI .w  12 12 
β .Vmax
Donc : Bmax = ≤ B M _ Ind (Eq.B.101)
2.ni .S fI .w
π 5.π
Avec β = sin( ) + sin( ) (Eq.B.102)
12 12
177
β .Vmax .
bi = S fI ≥ (Eq.B.103)
2.ni .w.B M _ Ind
IV.2.2 Calculs de la masse

IV.2.2.1. Cuivre
Le courant maximal dans une inductance d’interphase est:
I m _ e _ i = I s _ eff _ redresseur (Eq.B.104)
La section de cuivre de chaque spire de la bobine est déterminée par:
Im_e_i
S Cu _ 1spire _ Ind ≥ (Eq.B.105)
J
Avec J : densité de courant surfacique maximale admissible pour le
cuivre
La surface de cuivre de chaque bobinage se calcule par la formule :
S Cu _ 1bobinage _ Ind = S Cu _ 1spire _ Ind .ni (Eq.B.106)
La surface de cuivre totale est calculée par :
S CuI = 2.S cu _ 1bobinage _ Ind (Eq.B.107)
Avec le même principe de calcul du diamètre moyen d’enroulement des bobinages de
l’auto-transformateur (Eq.B.29), le diamètre moyen d’enroulement des bobinages de
l’inductance d’interphase est :
Dmi = 2( bi + D 2 i ) + ( dc i + bi /2)π
=2( bi + D 2 i ) + ( bi .k d _ i + bi /2)π (Eq.B.108)
Avec k d _ i : Rapport entre la largeur de bobinage et la largeur du
noyau magnétique ( k d _ i = dc i / bi )
Nous utilisons la géométrie d’un composant magnétique qui est présenté par la Fig.B.
11, le volume du cuivre est:
VCuI = Dmi .S CuI (Eq.B.109)
La masse du cuivre est calculée par :
M CuI = DC.VCuI (DC : Masse volumique du cuivre) (Eq.B.110)
IV.2.2.2. Fer
La surface réservée pour les bobinages :
S BI = K B _ Ind .S CuI (Eq.B.111)
Avec K B _ Ind : Coefficient de bobinage, c’est le rapport entre la
remplie par du cuivre, nous utilisons K B _ Ind = 2.0 .
Le rapport entre la surface de bobinage et la surface de noyau magnétique est :
S
K D _ Ind = BI (Eq.B.112)
S fI
La hauteur de fenêtre du noyau magnétique est trouvée par :
178
K D _ Ind
hi = bi + 2 D 2 i (Eq.B.113)
kd _ i
La surface de fer de section «vue de face » du noyau est calculée par :
S FeI = 2hi .bi + 2bi (2bi + 2k i _ d bi + 2 D 2 i + D1i ) (Eq.B.114)
Le volume de fer est déterminé par :
VFeI = bi .S FeI (Eq.B.115)
La masse de fer est :
MFeI = DI .VFeI (Eq.B.116)
(DI : Masse volumique du fer)
IV.2.2.3. Masse finale du système d’inductance d’interphase
La masse d’une inductance d’interphase est donnée par la formule:
M1IF = MCuI + MFeI (Eq.B.117)
La masse totale du système d’inductance d’interphase est calculée par :
MSIP = 2. M1IF (Eq.B.118)
IV.3 Modélisation sous Saber

On peut remarquer que l’inductance d’interphase est un transformateur qui a le même
nombre de spires sur deux enroulements. En utilisant le même principe avec l’auto-
transformateur (Fig.B. 6), on peut construire la modélisation de l’inductance d’interphase sous
Saber par le couplage entre le réseau de reluctance et le circuit électrique équivalent comme la
Fig.B. 12. Sur chaque jambe du transformateur, il y a une réluctance. Chaque bobinage est
représenté par un enroulement parfait et une inductance qui représente l’inductance de fuite
du bobinage.
Vp1 Vp Vp2
Fig.B. 12 : Structure sous Saber de l’inductance d’interphase
179
Ces paramètres du réseau de reluctances sont calculés analytiquement suivant la
structure, la géométrie et les matériaux utilisés. Les équations analytiques se trouvent dans les
paragraphes suivants.
IV.3.1 Réluctance
La hauteur hi est calculée par la formule Eq.B.112
La surface du noyau magnétique est donnée par :
Sfi= bi 2 (Eq.B.119)
IV.3.2 Bobinages
Le nombre de spires est de ni
La résistance du bobinage est calculée par:
LCu _ 1bobine
R1BI = roCu (Eq.B.120)
S Cu _ 1spire _ Ind

LCu _ 1bobine : Longueur de fil du cuivre du bobinage
LCu _ 1bobine = ni .dm
4(bi + D 2i ) + 4(bi + D 2i + k d _ i .bi )
= ni .
2
= 4ni (bi + 2.D 2 i + k d _ i .bi )
dm : Longueur moyenne d’un tour d’une spire.
4.ni .(bi + 2.D 2 i + k d _ i .bi )
Donc : R1BI = roCu (Eq.B.121)
S Cu _ 1spire _ Ind
On peut remarquer que deux bobinages d’inductance d’interphase se trouvent comme

la Fig.B. 10.b. En utilisant les formules de calcul de l’inductance de fuite dans [FOG99], on
obtient que l’inductance de fuite d’un bobinage est :
bi .dc i bi 2 .k d _ i
LfIP = µ 0 .ni 2 . = µ 0 .ni 2 . (Eq.B.122)
3.hi 3.hi
IV.3.3 Résumé des paramètres en Saber

Finalement, chaque fois que l’on lance la simulation Saber, il faut fournir la valeur des
5 paramètres suivants : hi, Sfi, ni, R1BI, LfIP.
180
V. Système du filtre
V.1 Structure
Nous choisissons la structure du filtre qui contient un condensateur C et une
inductance L comme la Fig.B. 13.
Vp L
C Vdc
Vn
Fig.B. 13 : Structure du filtre utilisé

Il faut donc dimensionner le condensateur et l’inductance du filtre
V.2 Dimensionnement du condensateur

Nous ne trouvons aucune référence permettant de modéliser la masse d’un
condensateur. Nous utilisons les données de SIC-SAFCO [SIC] pour calculer la masse d’un
condensateur. Nous utilisons la structure LELSIC 85 qui a la plus petite taille et qui peut
supporter la tension 540 V, celle utilisée.
Tab.B. 1 : Donnés techniques (dimension, courant..) de condensateur en fonction de son capacité

Le Tab.B. 1 fournit la dimension du condensateur en fonction des valeurs de capacité.
Cette dimension est représentée par deux paramètres : le diamètre φ et l’hauteur H. Pour
chaque couple de valeur de φ et H, le Tab.B. 2 donne la valeur de la masse.
181
Tab.B. 2 : Masse de condensateur en fonction de ses dimensions

A partir des données de ces deux tableaux, nous construisons le Tab.B. 3 qui présente
la masse de condensateur en fonction de la valeur de la capacité.
Capacité (F) Dimension (mmxmm) Masse (kg)

6.80E-05 36x52 7.00E-02
1.00E-04 36x52 7.00E-02
1.50E-04 36x80 1.00E-01
2.20E-04 36x104 1.20E-01
3.30E-04 51x81 1.90E-01
4.70E-04 51x104 2.60E-01
6.80E-04 66x104 4.30E-01
1.00E-03 77x104 6.20E-01
1.50E-03 77x144 8.60E-01
2.20E-03 90x144 1.40E+00
3.30E-03 90x200 1.80E+00
Tab.B. 3 : Dimension et la masse de condensateur en fonction de sa capacité

Nous construisons une courbe qui représente la masse de condensateur en fonction de
sa capacité (Fig.B. 14). Cette courbe est l’interpolation des valeurs discrètes des
condensateurs donnés. Nous supposons que la masse d’un condensateur se trouve dans cette
courbe.
182
2
1.8
1.6
Masse (Kg)
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.0001 0.0006 0.0011 0.0016 0.0021 0.0026
Capacité (F)
Fig.B. 14: Masse d’un condensateur en fonction de sa capacité
V.3 Dimensionnement de l’inductance

V.3.1 Structure
Nous utilisons le type d’inductance de la Fig.B. 15, le bobinage est bobiné autour de la
colonne centrale dans laquelle il y a un entrefer.
bf / 2 bf dc f
: Bobinage (cuivre)

hf
: Entrefer
bf : Largeur de noyau magnétique

dc f : Largeur de bobinage de la
colonne du centre
h f : Hauteur de fenêtre du noyau
magnétique
Fig.B. 15: Structure de l’inductance
183
V.3.2 Modèle analytique
V.3.2.1. Dimension du circuit magnétique
La surface de noyau magnétique de la colonne centrale est:
S fIFPB = b f 2 (Eq.B.123)
Selon [FER99], le flux magnétique dans le noyau magnétique de l’inductance est
imposé par les amprère-tours présents dans les bobinages. [FER99] donne :
L.I m _ f
S fIFPB = b f 2 = (Eq.B.124)
n f .B m _ f
Avec I m _ f : Courant maximal parcourant l’inductance

Im_ f =2. I m _ e _ i (Car la structure de l’inductance
d’interphase) (Eq.B.125)
Bm _ f : Induction maximale en régime linéaire du
matériaux
L.I m _ f
Alors bf = (Eq.B.126)
n f .B m _ f
Selon [FER99], la hauteur de l’entrefer est calculée par la formule :
e f = µ 0 .S fIFPB .n f 2 / L (Eq.B.127)
V.3.2.2. Calcul de la masse

La section de cuivre de chaque spire de la bobine est :
Im_ f
S Cu _ 1spire _ f ≥ (Eq.B.128)
J
La surface de cuivre totale est :
S CuIFPB = S Cu _ 1spire _ f .n f (Eq.B.129)
On appelle k d _ f : Rapport entre la largeur de bobinage et la largeur du
noyau magnétique ( k d _ f = dc f / b f )
La surface réservée pour les bobinages est déterminée par :
S BIFPB = K B _ f .S CuIFPB (Eq.B.130)
Avec K B _ f : Coefficient de bobinage, c’est le rapport entre la
remplie par du cuivre, nous utilisons K B _ f = 2.0 .
Le rapport entre la surface de bobinage et la surface de noyau magnétique est :
S
K D _ f = BIFPB (Eq.B.131)
S fIFPB
La hauteur de fenêtre du noyau magnétique se calcule par la formule :
KD_ f
hf = b f + 2D2 f (Eq.B.132)
kd _ f
184
La surface de section «vue de face » du noyau magnétique (du fer) est :
S FeIFPB = 2h f .b f + 2b f (2b f + 2k d _ f b f ) − e f .b f (Eq.B.133)
Le volume de fer est déterminé par :
VFeIFPB = b f .S FeIFPB (Eq.B.134)
La masse de fer est calculée par :
M FeIFPB = DI .VFeIFPB (Eq.B.135)
(DI : Masse volumique du fer)
On peut remarquer que le bobinage est bobiné autour de la colonne au milieu, donc le
cuivre se trouve dans un cylindre de rayon b f / 2 + dc f avec un noyau de fer au centre du
cycle qui est rectangle de distance b f (voir Fig.B. 15)
La hauteur de la fenêtre du noyau effectivement remplie par du cuivre est :
h fCu = h f / K B _ f (Eq.B.136)
Le volume du cuivre est :
VCuIFPB = h fCu .(π .(b f / 2 + dc f ) 2 − b f 2 ) (Eq.B.137)
La masse du cuivre est:
M CuIFPB = DC.VCuIFPB (Eq.B.138)
(DI: Masse volumique du cuivre)
La masse totale de l’inductance du filtre est:

M IFPB = M FeIFPB + M CuIFPB (Eq.B.139)
V.3.3 Modélisation sous Saber

Le filtre est représenté dans SABER par un condensateur C, une inductance L, une
résistance Rf comme cela est illustré sur la Fig.B. 16.
Fig.B. 16: Le filtre et sa représentation sous SABER

On peut marquer que les deux paramètres C, L, sont les paramètres de conception.
La valeur de résistance Rf est calculée par les formules suivantes :
LCu _ bobine
Rf = roCu [Eq.B.140]
S Cu _ 1spire _ f
185
LCu _ bobine : Longueur de fil du cuivre du bobinage
Donc :
LCu _ bobine = n f .dm
= n f .(2b f + π (dc f + b f / 2)
= n f .(2b f + π (k d _ f .b f + b f / 2) [Eq.B.141]
dm : Longueur moyenne d’un tour d’une spire.
n f .(2b f + π (k d _ f .b f + b f / 2)
Donc Rf = roCu [Eq.B.142]
S Cu _ 1spire _ f
VI. Paramètres nécessaires dans la simulation Saber

Finalement, pour caractériser du canal de puissance, il faut avoir la valeur des 31
paramètres qui sont détaillés dans la II.4, IV.3, V.4. Ces 31 paramètres sont :
• Les paramètre de conception : Cf, Lf
• Les paramètres dont la valeur est calculé par les modèles analytiques en
utilisant la structure et la géométrique des composants. Ces paramètres sont : h, Sf, na, n11,
n21, n31, n12, n22, n32, RPrimaire, R11, R21, R31, R12, R22, R32, Lfa, Lf11, Lf21, Lf31,
Lf12, Lf22, Lf32, hi, Sfi, ni, R1BI, LfIP, Rf
186
Annexe C: Modèle électrique équivalent du canal de puissance pour l’étude de la stabilité
Annexe C : Modèle électrique équivalent du canal de puissance pour

l’étude de la stabilité
I. Introduction
Dans cette annexe, nous allons construire un circuit équivalent simple en transférant
les résistances, inductances de tous les composants du canal au coté continu du canal comme
le montre la Fig.C. 1.
Générateur Auto- Redresseur Inductance

synchrone Filtre
Transformateur d’ Interphase
~ ~ 540 VDC
Va, Vb, Vc Vn
Va2 , Vb2 , Vc2 Vp2, Vn2
(a)
Rfinal Lfinal
Vg Cf P
(b)
Fig.C. 1: Modèle électrique simplifié (b) du canal de puissance (a)
Pour cela, nous emmenons les inductances et résistances de chaque composant à sa
sortie correspondante. Nous utilisons les travaux de [REG05] et adaptons ces travaux avec le
canal de puissance de nos études.
II. Modèle équivalent de la sortie de l’auto- transformateur
II.1. Composition de l’impédance vu de chaque secondaire
Nous pouvons simplifier l’alimentation de l’auto-transformateur par la Fig.C. 2. Selon
cette figure, on remarque que l’impédance du primaire comporte deux parties :
• Impédance propre des bobinages primaires ;
• Impédance de la ligne avant l’auto-transformateur (ici, l’impédance du
générateur et des feeders)
On remarque que l’impédance vue de chaque secondaire comporte trois parties :
• Impédance propre des bobinages secondaires
• Impédance de la ligne avant l’auto-transformateur (ici, l’impédance du
générateur et des feeders)
187
• Impédance du primaire vu du secondaire.
Secondaire 1 (Va1, Vb1, Vc1)
(Va,Vb,Vc)
Champs Magnétiques
~ Primaire
Secondaire 2 (Va2, Vb2, Vc2)
Auto-transformateur
Fig.C. 2 : Alimentation de l’auto-transformateur simplifié
On appelle ZL l’impédance de la ligne avant l’auto- transformateur, cette impédance

comporte deux parties : résistance RL, et inductance LL.
RL= Rg+ Rfeeders (Eq.C.1)
LL= Lg+ Lfeeders (Eq.C.2)
On appelle ZP l’impédance du primaire, elle a deux parties : résistance RP, et
inductance LP.
RP=RL + RPrimaire =Rg+ Rfeeders+ RPrimaire (Eq.C.3)
LP=LL + Lfa= Lg+ Lfeeders+ Lfa (Eq.C.4)
(RPrimaire, Lfa : Résistance et inductance de fuite du bobinage primaire)
La structure de l’auto-transformateur est symétrique pour les trois sorties de chaque
secondaire. A chaque secondaire, l’impédance de trois sorties est donc identique.
On appelle Z1 l’impédance vu du premier secondaire. Z1 est calculé par :
Z1=ZL+ZS1+ZPS1 (Eq.C.5)
Avec ZS1 : impédance des bobinages du premier secondaire, qui a
la résistance RS1 et l’inductance LS1
ZPS1 : impédance du primaire vu du premier secondaire
Par la structure de l’auto- transformateur, on peut déterminer la valeur de RS1 et LS1
RS1 = R11+R21+R31 (Eq.C.6)
LS1=Lf11+ L21+L31 (Eq.C.7)
Avec R11, R21, R31, Lf11, L21, L31 : Résistance et inductance des
trois bobinages du premier secondaire.
On a donc toutes les formules, les informations pour calculer l’impédance vu du
secondaire, sauf l’impédance du primaire vu du premier secondaire ZPS1. Nous présentons la
méthode de calcul de ZPS1 dans le prochain paragraphe.
On peut noter que la méthode pour calculer l’impédance vue du deuxième secondaire
ZS2 reste identique que pour le calcul de ZS1.
188
II.2. Calcul de l’impédance du primaire du point vu du premier secondaire

II.2.1 Approche classique
[REG05] a proposé de calculer les résistances et les inductances équivalentes vu des
secondaires par l’approche classique, en exprimant les courants de court-circuit du
transformateur.
On a un transformateur classique comme la Fig.C. 3
Z1 i2 ZS i2 Z2
i1 i1
m m
V1 V2 V1 V’2 V2
Fig.C. 3 : Modèle de transformateur vu du secondaire [REG05]

On fait le court-circuit au secondaire (avant Z2), on a :
V
i1cc = 1 (Eq.C.8)
Z1
V'
i2cc = 2 (Eq.C.9)
ZS
i1cc = m.i2cc (Eq.C.10)
V2 ' = m.V1 (Eq.C.11)
Les 4 équations (Eq.C.8, Eq.C.9, Eq.C.10, Eq.C.11) donnent :
Z S = m 2 Z1 (Eq.C.12)
L’impédance totale Z t vue du secondaire du transformateur est :
Zt = ZS + Z2 (Eq.C.13)
II.2.2 Application de l’approche classique à l’auto-transformateur
Pour calculer l’impédance du primaire vu du premier secondaire, on fait un court-
circuit sur le premier secondaire et on se met à vide au deuxième secondaire.
La Fig.C. 4 présente le couplage entre le primaire et le premier secondaire.
189
Va Vb Vc
Ia Ib Ic
na, Za: RPrimaire, Lfa
Va Vb Vc
Ia1 Ib1 Ic1
n11=(a1-1).na, Z11:R11, Lf11
n21=b1.na, Z21:R21,Lf21
n31=c1.na, Z21:R31,L31
Vb1 Vc1 Va1
Fig.C. 4: couplage entre le primaire et le premier secondaire
On a : Ia_cc = (a1-1).Ia1_cc+c1.Ib1_cc+b1.Ic1_cc (Eq.C.14)

Avec Ia_cc, Ib1_cc, Ic1_cc : Valeur de courant Ia1, Ib1, Ic1 si on fait un
court-circuit sur le premier secondaire et on se met à vide au
deuxième secondaire.
On rappelle que ZPS1 est l’impédance équivalente du primaire vu du premier
secondaire. En utilisant l’approche classique écrit à la partie II.2.2, on a :
Ia1_cc= (Va1-Va) / ZPS1 (Eq.C.15)
Ib1_cc= (Vb1-Vb) / ZPS1 (Eq.C.16)
Ic1_cc= (Vc1-Vc) / ZPS1 (Eq.C.17)
Selon Eq.B.1 de l’annexe B, on a :
Va1   a1 b1 c1 
   
Vb1   c1 a1 b1 
Vc   b c a 
 1 = 1 1 1 
(Va Vb Vc )T (Eq.C.18)
Va 2   a 2 b2 c 2 
   
Vb2   c 2 a 2 b2 
Vc   b 
 2   2 c2 a2 
A partir des équations (Eq.C.14, Eq.C.15, Eq.C.16, Eq.C.17, Eq.C.18), on obtient :

I a _ cc =
Va
ZPS1
(
(a1 − 1) 2 + b1 2 + c1 2 − (a1 − 1).b1 − (a1 − 1).c1 − b1 .c1 ) (Eq.C.19)
190
Vu du primaire, on a :
V
I a _ cc = a (Eq.C.20)
ZP
Les équations (Eq.C.19 et Eq.C.20) donnent :
(
ZPS1 = ZP (a1 − 1) 2 + b1 2 + c1 2 − (a1 − 1).b1 − (a1 − 1).c1 − b1 .c1 ) (Eq.C.21)
2 2
En posant : Az1 = (a1 − 1) + b1 + c1 − (a1 − 1).b1 − (a1 − 1).c1 − b1 .c1
2
(Eq.C.22)
On a: ZPS1 = Az1.ZP (Eq.C.23)
Alors l’impédance de l’auto- transformateur vu du premier secondaire est :

Z1 = ZL + ZS1 + ZPS1 = ZL + ZS1 + Az1.ZP (Eq.C.24)
Donc, la résistance de l’auto-transformateur vu du premier secondaire est :
R1 = RL + RS1 + Az1.ZP (Eq.C.25)
En replacant les formules (Eq.C.1, Eq.C,3, Eq.C.6) dans Eq.C.25, on a :
R1 = Rg + Rfeeders + R11 + R21 + R31 + Az1(Rg + Rfeeders+ RPrimaire)
= (Az1+1) (Rg+ Rfeeders) + Az1. RPrimaire + R11+R21+R31 (Eq.C.26)
En utilisant le même principe, l’inductance de l’auto-transformateur vu du premier secondaire
est :
L1= Lg+ Lfeeders + L11+ L21+ L31 + Az1(Lg+ Lfeeders+ Lfa)
= (Az1+1) (Lg+ Lfeeders) + Az1. Lfa + L11+L21+L31 (Eq.C.27)
Avec le même concept, on peut déterminer la résistance R2, et l’inductance L2 de
l’auto-transformateur vu du deuxième secondaire.
R2 = (Az2+1) (Rg+ Rfeeders) + Az2. RPrimaire + R12+R22+R32 (Eq.C.28)
L2 = (Az2+1) (Lg+ Lfeeders) + Az2. Lfa + L12+L22+L32 (Eq.C.29)
Avec Az 2 = (a 2 − 1) 2 + b2 2 + c 2 2 − (a 2 − 1).b2 − (a 2 − 1).c 2 − b2 .c 2 (Eq.C.30)
II.3. Conclusion
Finalement, nous avons transféré toutes les inductances et les résistances du primaire
de l’auto-transformateur aux deux secondaires comme illustre par la Fig.C. 5
Générateur
R1 L1
Auto- E1
synchrone
Transformateur
+Feeders Va1, Vb1, Vc1 ~
~ E2
Va, Vb, Vc Va2, Vb2, Vc2 ~

R2 L2
E1, E2 sont deux sources de tensions triphasées déphasées de 30° entre elles, leur valeur efficace est calculée
pour assurer la valeur efficace des tensions de sorties Va1,Vb1,Vc1, Va2,Vb2,Vc2
Fig.C. 5: Impédance de l’auto -transformateur vu des secondaires
191
III. Modèle équivalent de la sortie de redresseur

Dans le cas général, pour un redresseur connecté comme la Fig.C. 6, [REG05] a
proposé un circuit électrique équivalent vu de la sortie du redresseur comme la Fig.C. 8.
E
(tri-phasés) R L
~ Charge
Fig.C. 7: Système de redresseur générale
Remp Req Leq
Vg Charge
Fig.C. 8: Circuit électrique équivalent du système illustré dans Fig.C. 7 [REG05]
La valeur des paramètres dans la Fig.C. 8 est déterminée par les formules ci-dessous.
La résistance représentant la chute de tension aux empiètements du redresseur est :
3
Remp = .2π . f .L = 6. f .L (Eq.C.31)
π
La résistance moyenne équivalente est :
3 π 
R.δ + 2 R − δ 
Req =
2  3  (Eq.C.32)
π
3
Avec : δ : temps de commutation des diodes
L’inductance moyenne équivalente est :

3 π 
L.δ + 2 L − δ 
Leq =
2 3  (Eq.C.33)
π
3
La tension continue Vg correspond à la tension moyenne à vide fournie par le
redresseur.
Le canal de puissance étudié comporte deux redresseurs en parallèle. Vu de la sortie de
deux redresseurs, le canal est représenté par le circuit électrique simplifié comme la Fig.C. 9
192
Remp1 Req1 Leq1
Vg
Remp2 Req2 Leq2

Vg
Fig.C. 9: Circuit électrique simplifié vu de la sortie du redresseur

Nous supposons que les diodes utilisées sont parfaites et nous travaillons dans les
conditions normales (ni surcharge, ni court-circuit), donc le temps de commutation est faible,
on peut considérer δ ~0.0.
En utilisant la définition de Vg, on a Vg = V s _ m _ redresseur (Eq.C.34)
Avec V s _ m _ redresseur : calculée par la formule Eq.B.73 de l’annexe B.
En appliquant les formules Eq.C.31, Eq.C.32, Eq.C.31, on a :
Remp1= 6. f .L1 (Eq.C.35)
Req1= 2.R1 (Eq.C.36)
Leq1= 2.R1 (Eq.C.37)
Remp2= 6. f .L 2 (Eq.C.38)
Req1= 2.R 2 (Eq.C.39)
Leq2= 2.L 2 (Eq.C.40)
Avec R1, L1, R2, L2 : les résistantes et les inductances vu des secondaires. La valeur
de ces paramètres est calculée dans les formules (Eq.C.26, Eq.C.27, Eq.C.28, Eq.C.29).
IV. Modèle équivalent de la sortie de l’inductance d’interphase
Maintenant, nous pouvons connecter le circuit électrique simplifié (vu de la sortie du
redresseur) à l’inductance d’interphase selon la structure de l’inductance d’interphase dans la
Fig.B.10 de l’annexe B. La Fig.C. 10 présente cette connexion.
193
Remp1 Req1 Leq1 R1BI, LfIP
Vp
R1BI, LfIP
Vg
Remp2 Req2 Leq2

Vg R1BI, LfIP
Vn
R1BI, LfIP
Fig.C. 10: Connexion du circuit électrique simplifié (vu de la sortie de redresseur) à l’inductance
d’interphase
On peut remarquer que chaque bobinage de l’inductance d’interphase est représenté

par une résistance R1BI, une inductance LfBI (voir la partie IV.3 de l’annexe B).
Donc, le circuit électrique simplifié vu de la sortie de l’inductance d’interphase est
illustré par la Fig.C. 11
Rsi Lsi
Vg
Fig.C. 11: Circuit électrique simplifié vu de la sortie de l’inductance d’interphase

Les valeurs Rsi et Lsi sont calculées en utilisant le circuit électrique de la Fig.C. 10.
On a :
( Remp1 + Re q1 + R1BI )( Remp 2 + Re q 2 + R1BI ) R1BI
Rsi = + (Eq.C.41)
Remp1 + Re q1 + Remp 2 + Re q 2 + 2 R1BI 2
( Leq1 + LfIP )( Leq 2 + LfIP ) LfIP
Lsi = + (Eq.C.42)
Leq1 + Leq 2 + 2.LfIP 2
V. Modèle équivalent final

On sait que avant l’alimentation des charges de puissance P, le courant traverse le
filtre, la Fig.C. 12 présente cette structure. On peut remarquer que l’inductance du filtre
comporte une inductance pure L et une résistance interne Rf
194
Rsi Lsi L, Rf
Vg C P
Fig.C. 12: Circuit électrique simplifié vu du filtre
A partir de la Fig.C. 12, on peut déterminer le circuit électrique équivalent final qui est
présenté par la Fig.C. 13
Rfinal Lfinal
Vg C P
Fig.C. 13: Circuit électrique simplifié (b) du canal de puissance
On a :
Rfinal = Rsi + Rf (Eq.C.43)
Lfinal = Lsi + Lf (Eq.C.44)
195
Annexe D: Utilisation de Cades dans la conception des réseaux
électriques embarqués
I. CADES
L’environnement CADES (Component Architecture for the Design of Engineering
System) est un logiciel dédié au dimensionnement de système. Le projet, à l’origine de ce
logiciel, a été mené au G2ELab pour la recherche et les applications industrielles dans le
domaine du génie électrique. Mais son application est toutefois potentiellement multi-
physique.
L’environnement CADES a été développé en se basant sur le composant logiciel
[SZY98]. La technologie Java est utilisée pour créer les composants logiciels. Chaque
composant est une boite noire qui échange des informations avec les autres composants, ou
avec l’environnement, par son interface [HAN98]. Le composant et toutes les classes Java
associées sont contenus dans un fichier zip [SZY98].
Dans CADES, deux types de composant logiciel sont utilisés. Le premier est le
composant de calcul qui contient la modélisation du système étudié. Le deuxième est le
composant d’optimisation qui contient l’algorithme d’optimisation. Les composants sont
détaillés dans les paragraphes suivants.
CADES comporte quatre modules : Générateur, Calculette, Optimisation, Post-
Processeur. Le Générateur crée le composant de modèle qui est utilisé dans les services
(Calculette, Optimisation, Post-Processeur) (Fig.D. 1).
Générateur
Service
L
Sj
R = ρ. Ei
π .R 2 ∂S j
U
I=
R ∂Ei
(a) (b) (c)

(d)
Fig.D. 1: A partir la modélisation d’un système (a), le Générateur crée le composant de calcul, le
composant de calcul est utilisé dans les services (Calculette, Optimisation, Post-Processeur)
Les différents modules de CADES sont développés dans plusieurs thèses : Générateur
[ATI03]-[RAK07]-[WUR96], Calculette [FIS04]-[PEL06], Optimisation [ATI03]-[MAR05]-
[WUR96].
I.1 Générateur (CADES-Generator)

Le Générateur permet de créer le composant de calcul. Ce composant créé doit
respecter la norme de composant logiciel qui est développé dans le laboratoire, sous le nom
ICAR (pour Interface Component Architecture) [FIS04].
Le générateur peut créer le composant de calcul à partir de différents types de
modélisation du système [DEL07]:
• Des équations analytiques représentant la multi-physique
197
• Des réseaux de réluctance pour les dispositifs électromagnétiques
[PEL06]
• Des approches par moments magnétiques dipolaires, permettant de
calculer des forces en partant de description géométrique de systèmes électromagnétiques
[RAK07]
On peut remarquer que le composant de calcul est un composant logiciel. [FIS04] a
proposé des composants de calcul qui contiennent :
• Une simulation temporelle appelée par fichier « batch » (ex. simulation
numérique)
• Une composition de différents modèles de composants de calcul pour
modéliser les problèmes compliqués
On peut utiliser ces composants de calcul dans différents logiciels du commerce
(Matlab, Excel...) [GAL08].
La Fig.D. 2 donne une image d’un Générateur utilisant un modélise constitué par un
système d’équations analytiques (a) pour créer le composant de calcul (b).
Sj
Ei
∂S j
∂Ei
Donnée à l’entrée
Donnée à la sortie
(a) (b)
Fig.D. 2: Graphique du composant de calcul (b) qui est créé par un Générateur à partir des
équations analytiques du modèle (a)
Conformément à la Fig.D. 2.b, le composant de calcul offre une interface qui permet
de définir la valeur des paramètres en entrées E j et de calculer la valeur des paramètres en
∂S i
sorties ainsi que leurs dérivées partielles ( S i , ).
∂E j
I.2 Calculette (CADES-Calculator)

La calculette charge le composant de calcul créé par le Générateur. On peut
remarquer qu’on peut plugger par «drog and drop» le composant logiciel généré
précédemment dans la calculette. Cette calculette permet d’étudier le comportement du
système qui est modélisé par le modèle de calcul. On peut entrer la valeur des paramètres à
l’entrée et observer la valeur des paramètres à la sortie (Fig.D. 3 a et b). Elle permet aussi de
tracer la caractéristique d’une grandeur de sortie en fonction d’une grandeur d’entrée (Fig.D.
3.c). La calculette peut fournir la valeur de dérivée des sorties en fonction des entrées (Fig.D.
198
3.d). Cette propriété permet au concepteur de connaître l’influence des paramètres d’entrée
sur les paramètres de sorties.
a
b
d
a : Valeur des entrés

b : Valeur des sorties
c : Graphique de représentation de la
variation d’un sortie en fonction
c
d’une entrée
d : Valeur de dérivées partielles des
sorties (axe verticale) en fonction des
entrées (axe horizontale)
Fig.D. 3: Différents applications de Calculateur
I.3 Optimisation (Cades-Optimizer)

I.3.1 Composant d’optimisation (C.O)
C’est un composant logiciel qui comporte l’algorithme d’optimisation. L’interface de

ce composant comporte deux parties :
• La première partie est utilisée pour chaque itération dans le processus
∂S i
de l’optimisation pour fournir les données ( E j , S i , ) issues du composant de calcul.
∂E j
• La deuxième partie permet de récupérer la configuration de

l’optimisation. Cette partie reçoit les informations de spécifications de problème de
l’optimisation : contraintes sur les entrées, sur les sorties (types de contrainte : intervalle,
valeur fixée), fonctions objectifs. Cette partie fournit aussi le résultat de l’optimisation.
La Fig.D. 4 présente le graphique d’un composant d’optimisation avec deux parties de
l’interface
Sj
Donnée d’entrée pour le composant
∂S j C.O Ei
∂Ei Donnée de sortie pour le composant
Spécifications Résultat
Fig.D. 4: Graphique du composant d’optimisation
199
I.3.2 Framework d’Optimisation
Cades-Optimization permet d’optimiser un system électrique en chargeant :
• Le composant de calcul
• Le composant d’optimisation
• La spécification, qui est le cahier des charges
La Fig.D. 5 représente la structure de Cades-Optimizer, dans laquelle, deux
composants logiciels se trouvent ensemble. On peut remarquer que les entrées du composant
de calcul sont les sorties du composant d’optimisation et inversement.
Optimization
Optimization Framework
: Le flux des valeurs au cours du
processus d’optimisation
L'échange d'informations entre le
composant de calcul et le composant
d’optimisation
C.O
: L'échange d'informations entre le

composant d’optimisation et
l’utilisateur
Spécification Résultat
Fig.D. 5: Framework de CADES-Optimizer

Sur la Fig.D. 6, on peut remarquer que le concepteur peut utiliser et changer
facilement d’algorithme d’optimisation. Cette propriété est intéressante car dans le
dimensionnement optimal car il n’existe pas d’algorithme qui soit absolument le meilleur
pour tous les problèmes d’optimisation (cf. chapitre II).
(a) (b)
Fig.III. 40: Interface graphique de CADES-Optimizer permettant à l’utilisateur de configurer le
problème d’optimisation (a) Sélection du composant de calcul, du composant d’optimisation et
configuration de l’algorithme d’optimisation, puis saisie des spécifications (b)
Le composant d’optimisation SQP est implémenté par réutilise l’algorithme développé
dans [POW85] et implanté dans la bibliothèque numérique HSL-VF13 [HAR87]. Dans nos
travaux, nous implantons les algorithmes: PSO, RTS, ES avec les propriétés données dans le
200
chapitre II. En plus, en utilisant le composant logiciel, nous pouvons hybrider
automatiquement les algorithmes [NGU07]. Cette approche permet le dimensionnement des
cas à fortes contraintes qui sont traités dans la thèse de [RAK07].
I.4 Post-Processeur (Cades-PostProcessing)

Le post-processeur permet d'effectuer le post-traitement de l’optimisation faite par
Cades-Optimization (visualisation des résultats sous forme numérique ou graphique). On peut
voir différents structures de composants intégrés pour les optima dans le problème multi-
optima (cf. Chapitre II) ou l’évolution d’un paramètre de conception pendant le procès de
l’optimisation.
(a) Géométrique d’un circuit magnétique d’un (b) l’évolution d’un paramètre de conception
point optimal dans le problème multi-optima pendant le procès l’optimisation
Fig.III. 41: Résultats de l’optimisation exploitée par Post-Processeur
II. Création de la composant de calcul de Cades d’un système électrique embarqué

On peut remarquer que l’environnement Cades se base sur le composant logiciel. Cette
propriété permet de capitaliser et réutiliser les composants logiciels dans Cades. Si on a le
composant de calcul présentant la modélisation d’un système électrique embarque, on peut
faire la conception de ce système en utilisant les composants existants dans Cades.(calculette,
optimisation, post-processeur)
Ici, nous présentons la méthode pour implémenter un modèle de calcul d’un système
électrique embarqué par un exemple du canal de puissance. Cades-Generator crée le
composant de calcul à partir de ce modèle.
201
II.1 Rappel de modèle de conception
Mcanal, cdy
Calculs de masse des composants intégrés
Calculs de la valeur des paramètres pour PSaber

(X i ) simulation Saber
i=1..10 ICC, ThIej

ThVej, Vdcf
(j=2..37, 10<f<15000)
Calculs des taux de distorsion

THDVe, THDVdc
: Bloc des équations analytiques

: Bloc de simulation numérique Saber
Fig.D. 7: Rappel de modèle de conception du canal de puissance
II.2 Implémentation du modèle de conception sous Cades
Pour les blocs des équations analytiques, on écrit les équations analytiques. Par
exemple, la masse de canal de puissance (Mcanal) est la somme des masses de l’auto-
transformateur MAT, du redresseur MRe, des inductances d’interphase MSIP, et du filtre
MFPB, on écrit :
Mcanal=MAT+MRe+MSIP +MFPB
Pour les blocs de Simulation Saber + FFT, on peut remarquer que la procédure de
batch permet d'intégrer la simulation SABER dans le modèle de calcul sous CADES. On
utilise pour cela une fonction externe dans le Générateur. Cette fonction est utilisée pour
appeler une simulation en batch. Cette fonction est une ou des classe(s) Java compilée(s)
comme illustré dans l'exemple du calcul du taux individuel de harmonique 11 du courant
d’entrée ThIe11. Cette grandeur est calculée en utilisant le résultat de la simulation Saber.
202
Finalement, dans le modèle de calcul sous Cades, on écrit donc :
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Import ";Z:\\ Simulation.jar";
//Cette ligne permet de localiser le package qui contient la fonction externe
(1)
(2)
ThIe11=T_harmonique11Ia (n11, R11, n21, R21, n31, R31, n12, R12, n22, R22, n32, R32, na, RPrimaire, Lfa, Lf11, Lf21,
Lf31, Lf12, Lf22, Lf32, Sf, h, ni, R1BI, LfIP, SfI, hi, rf, C, L)
(3)
(1) et (3) : Les lignes non reproduites ici contiennent les équations analytiques des blocs jaunnes
(2) : Cette ligne fait la liaison entre le modèle de calcul Cades qui utilise la grandeur Harmo11Ia et Saber qui à travers
Java fournit la grandeur du taux individuel de harmonique 11 (T_harmonique11Ia). Les grandeurs entre les
parenthèses sont les 31 paramètres d’un système électrique donc a besoin Saber pour faire la simulation.
On peut remarquer que parmi les 31 paramètres, il y a 29 paramètres donc la valeur est calculé par les équations
analytiques, ce sont des éléments de vecteur Psaber= (n11, R11, n21, R21, n31, R31, n12, R12, n22, R22, n32, R32,
na, RPrimaire, Lfa, Lf11, Lf21, Lf31, Lf12, Lf22, Lf32, Sf, h, ni, R1BI, LfIP, SfI, hi, rf)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dans le package « Simulation.jar », il doit y avoir deux fonctions :

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
public double T_harmonique11Ia (double a1,double a2,double alpha,double Bm_Tf,double D1, double D2,double delta_b,
double deltaSCu_primaire, double deltaSCu_secondaire1,double deltaSCu_secondaire2, double f, double J, double k, double
KB,double kd,double mu0, double na, double roCu,double Se,double Veff, double nIP, double rIP, double LfIP,double
AeIP,double LenIP, double C, double L){
...
//C’est la fonction de calcul du taux individuel harmonique 11 de courant à l’entrée calculée par Saber et retournée à Cades
}
public double[] jacobian_ T_harmonique11Ia (double a1,double a2,double alpha,double Bm_Tf,double D1, double
D2,double delta_b, double deltaSCu_primaire, double deltaSCu_secondaire1,double deltaSCu_secondaire2, double f, double
J, double k, double KB,double kd,double mu0, double na, double roCu,double Se,double Veff, double nIP, double rIP,
double LfIP,double AeIP,double LenIP, double C, double L){
// C’est le jacobien de la fonction de calcul du taux individuel harmonique 11 qui est calculée par Saber et retournée à Cades
//pour l’optimisation par gradient. On peut remarquer que pour les algorithmes d’optimisation directe qui n’ont pas besoin du
// Jacobien, cette fonction n’est pas utilisée. Souvent, on retourne à un tableau de zéros.
}
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
La fonction « T_harmonique11Ia » contient les codes qui permettent de:
a. Créer le fichier system.scs (Input de SABER) qui contient les commandes
de Saber :
-Changement de la valeur des paramètres du circuit électrique.
-Simulation du circuit
-Calculs et enregistrement des résultats nécessaires sous fichier texte.
b. Lancer une simulation en mode batch
c. Lire les résultats fournis par Saber
203
La Fig.D. 8 présente la procédure de bath
Importer Outil de Simulation Créer

Fichier input Fichier Output
(texte) SABER (texte)
Créer Lancer Importer

en batch
Fonction Externe
Flux des données
Travaux effectués de la Fonction Externe

Fig.D. 8: Principe du fonctionnement de la procédure de bath
204
METHODES ET OUTILS POUR LA CONCEPTION DE COMPOSANTS INTEGRES
DANS UN RESEAU ELECTRIQUE EMBARQUE
Depuis quelques années, avec les progrès en électronique de puissance et pour

améliorer les performances, le confort et la sécurité des utilisateurs, l’électricité devient le
vecteur énergétique principal en remplacement de l’hydraulique et du pneumatique dans les
domaines de l’automobile, du naval et de l’aéronautique.
Airbus ne se situe pas en dehors de cette évolution. Son objectif à moyen terme est de
rationaliser l’énergie à bord pour aller vers un avion de plus en plus électrique : les systèmes
alimentés par l’énergie hydraulique et pneumatique (commande de vol, conditionnement
d’air…) seront remplacés par l’énergie électrique, plus facile à acheminer. Ainsi, la puissance
électrique installée augmente rapidement : 275 kVA pour l’Airbus A320, 900 kVA pour
l’Airbus 380, autour de 1 MVA pour le futur Airbus A30X de type «bleedless ». Pour
répondre aux enjeux posés par cette montée en puissance, une nouvelle architecture du
système électrique est nécessaire.
L’objectif de cette thèse est d’étudier et de créer des méthodes et des outils pour
l’optimisation du dimensionnement d’un système électrique embarqué de manière à répondre
à un certain nombre de critères (masse, coût, fiabilité) tout en respectant un certain nombre de
contraintes (qualité réseau, stabilité). Ces méthodes et outils sont ici utilisés pour traiter le
problème de la conception : un canal de puissance d’un réseau du bord de la nouvelle
génération d’avion Airbus (type «bleddless »).
Mots Clefs : Conception, canal de puissance, modélisation, optimisation, système électrique

embarqué
METHODS AND TOOLS FOR THE DESIGN OF INTEGRATED COMPONENTS IN

AN EMBEDDED ELECTRICAL SYSTEM
Advances in power electronics of the late twentieth century has led to electrical energy
converters that are very reliable and efficient. These power electronic converters enable
designers of embedded systems (planes, ships, road vehicles…) to integrate more and more
electrical equipment while improving performance, comfort and safety of users. This
movement supports the substitution of hydraulic and pneumatic energy by electric power.
Airbus does not stay away from this evolution. The medium term objective is to
rationalize the on-board energy in order to create a plane more and more electric powered. It
means that aircraft systems powered by hydraulic and pneumatic energy (flight control, air
conditioning ...) are more and more fed by electrical energy. Thus, the on-board electrical
power increases quickly: 275 kVA for the Airbus A320, 900 kVA for the Airbus 380, 1 MW
for the future «bleedless » - Airbus A30X. For dealing with this challenge of increasing
power, new electrical system architectures are needed.
The aim of this thesis is to study and develop methods and tools for optimizing the
design of an embedded electrical system with the following objectives: minimizing the mass,
the volume, the cost and/or maximizing the efficiency while respecting many constraints
(power quality, network stability). These methods and tools are applied to the design problem
of a power channel for the new generation Airbus aircrafts («bleedless » type).
Key words: Design, power channel, modeling, optimization, embedded electrical system

Thesenguyen-Huu Hieu 2008

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METHODES ET OUTILS POUR LA CONCEPTION

DE COMPOSANTS INTEGRES DANS UN RESEAU

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HAL is a multi-disciplinary open access L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

N° attribué par la bibliothèque

pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITE JOSEPH FOURIER

Spécialité : « Génie Electrique »

préparée au G2ELab (Grenoble Génie Electrique Laboratoire)

présentée et soutenue publiquement

NGUYEN HUU Hieu

METHODES ET OUTILS POUR LA CONCEPTION DE COMPOSANTS

Directeurs de thèse : Nicolas RETIERE

M. Hervé MOREL Président et Rapporteur

Je tiens sincèrement à remercier :

Je tiens à exprimer ma reconnaissance à mes deux directeurs de thèse, Nicolas

Je tiens aussi remercie Monsieur Xavier ROBOAM, Directeur de Recherche au

Je remercie également tous mes amis, d’ici et d’ailleurs

Chapitre I : Introduction à la conception des réseaux électriques

Chapitre II : Modélisation et optimisation dans le dimensionnement

Chapitre IV : Utilisation de l’optimisation pour la conception d’un

Conclusion générale et perspectives .............................................................. 145

Annexe B: Structures et équations pour dimensionner des dispositifs

Annexe C : Modèle électrique équivalent du canal de puissance pour

Annexe D: Utilisation de Cades dans la conception des réseaux

Les progrès en électronique de puissance de la fin du XX siècle permettent de créer

Avec la généralisation de l’électricité comme vecteur énergétique et de l’électronique

Le canal de puissance, qui est la chaîne de puissance électrique entre le générateur

Les objectifs du projet de recherche «Optimisation du dimensionnement d’un canal de

D’autre part, de nombreuses approches de simulation et d’optimisation des

D’un autre côté, d’autres travaux d’analyse, de modélisation et de conception des

[CHE08], la modélisation des harmoniques dans les réseaux de tramway [MOR05] ou de

On peut remarquer à ce niveau que les travaux de recherche s'intéressent surtout à

Le chapitre II détaillera nos méthodes de modélisation et les algorithmes

Introduction à la conception des réseaux

II. Réseaux électriques embarqués

courant, de fonctions vidéo, de possibilités pour cuisiner … L’augmentation de ce confort fait

Etant donnée cette augmentation de puissance, les fabricants d’automobile envisagent

Fig.I. 2: Architecture 42/14V envisagée

Diesel Diesel Diesel Diesel

Tableau MT 6.6 kV, 60HZ

Moteur de propulsion Moteur de propulsion

Fig.I. 3: Architecture classique d’un réseau électrique de navire [COU00]

On constate que la prolifération des étages d’entrée des chaînes de conversion

Diesel Diesel Diesel Diesel

Réseau 6.6 KV, 60HZ

Réseau 400 V, 50HZ Propulseur d’étrave

Servitudes de bord Servitudes de bord

Moteur de propulsion Moteur de propulsion

III. Evolutions des réseaux électriques dans les avions Airbus

(Transformer-Rectifier Unit : un convertisseur AC/DC comporte un transformateur et un

DC BUS 1 DC BUS 2 APU

III.1.2. L’avion « plus électrique »

Engine 1 Engine 2 Engine 3 Engine 4

Elec RSVR RSVR Elec

EXT Accu EXT EXT Accu EXT

AC BUS 1-1 AC BUS 1-2 AC BUS 2-3 AC BUS 2-4