UNIVERSITÉ DE BOURGOGNE

LICENCE ÉCONOMIE–GESTION
UFR Droit, Sciences Économique
L2/S3
et politique

MATHÉMATIQUES DE

L’ÉCONOMIE

Bibliographie

- B. Guerrien, Algèbre linéaire pour économistes, Economica, Paris, 1991.

- N. Hayek et J.-P. Leca, Mathématiques pour l’économie, Dunod, Paris, 2011.
 MODALITES D’EXAMEN

I Le contrôle continu (CC)

Il est constitué de deux épreuves écrites organisées en TD.

I Le contrôle terminal (CT)

Il s’agit d’une épreuve écrite de 2h, organisée en amphi.
La note finale est calculée suivant la formule NF=(CC + 2CT)/3.

I La session de rattrapage
Il s’agit d’une épreuve écrite de 2h qui se déroule dans les mêmes conditions que celles de l’examen de
première session.

PLANNING PREVISIONNEL

Semaine Cours TD

6 sept – 10 sept C1 –

13 sept – 17 sept C2 –

20 sept – 24 sept C3 TD1

27 sept – 1 oct C4 TD2

4 oct – 8 oct C5 TD3

11 oct – 15 oct C6 TD4

18 oct – 22 oct C7 TD5 (CC n◦ 1)

25 oct – 29 oct vacances

1 nov – 5 nov C8 TD6

8 nov – 12 nov C9 TD7

15 nov – 19 nov C10 TD8

22 nov – 26 nov C11 TD9 (CC n◦ 2)

29 nov – 3 dec C12 –

6 dec – 10 dec Première semaine des examens

13 dec – 17 dec Deuxième semaine des examens

 RESUME DE COURS

1 Structure d’espace vectoriel

L’objet de ce chapitre est de définir ce qu’on entend par structure d’espace vectoriel et d’introduire les notions
classiques de l’algèbre linéaire.
1.1 Espace Rn et sous-espace vectoriel
Définition
On note par Rn l’ensemble
Rn := R × R × · · · × R .
| {z }
n fois
Un élément de Rn est donc de la forme
~x = (x1 , x2 , . . . , xn )
où les composantes de ~x, c’est-à-dire les xi , 1 ≤ i ≤ n, sont des nombres réels.

Si ~x = (x1 , x2 , . . . , xn ) et ~y = (y1 , y2 , . . . , yn ) sont deux vecteurs de Rn et λ est un scalaire, on définit la somme

de ~x et ~y et le produit de ~x par le scalaire λ en posant respectivement

~x + ~y := (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn )
λ × ~x := (λx1 , λx2 , . . . , λxn ).

Le vecteur nul de Rn est ~0 = (0, 0, . . . , 0). On montre facilement que ces opérations vérifient les propriétés
suivantes :

(EV1): (~x + ~y ) + ~z = ~x + (~y + ~z) ∀ ~x, ~y , ~z ∈ Rn

(EV2): ~x + ~y = ~y + ~x ∀ ~x, ~y ∈ Rn

(EV3): Pour tout ~x ∈ Rn on a

~x + ~0 = ~0 + ~x = ~x
~ tel que
(EV4): Pour tout ~x ∈ Rn , il existe un vecteur noté (−x)

~ = (−x)
~x + (−x) ~ + ~x = ~0

(EV5): (λ + µ) × ~x = λ × ~x + µ × ~x ∀λ, µ ∈ R, ∀x ∈ Rn

(EV6): λ × (~x + ~y ) = λ × ~x + λ × ~y ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ Rn

(EV7): λ × (µ × ~x) = (λµ) × ~x ∀λ, µ ∈ R, ∀x ∈ Rn
(EV8): 1 × ~x = ~x ∀x ∈ Rn .

Pour simplifier les notations, on ne marque pas le signe × pour indiquer l’action de l’opération multiplication
et sauf s’il y a risque de confusion, on supprime la flèche sur les vecteurs.
Définition
Les axiomes (EV1)-(EV8) définissent sur Rn une structure d’espace vectoriel. On dit que Rn est un espace
vectoriel sur R.

1
Définition (sous-espace vectoriel )

On appelle sous-espace vectoriel (sev) de Rn , une partie F ⊂ Rn vérifiant les propriétés

1. ~0 ∈ F .

2. x + y ∈ F , ∀ x, y ∈ F (stabilité pour l’addition)

3. λx ∈ F , ∀ λ ∈ R, ∀x ∈ F (stabilité pour la multiplication par les scalaires).

Exemple.
On vérifie facilement que le sous-ensemble

F = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 ; x1 + 2x2 − x3 = 0}

est un sous-espace vectoriel de R3 . Géométriquement, F définit un plan passant par l’origine (0, 0, 0). Remar-
quons que l’ensemble
G = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 ; x1 + 2x2 − x3 = 1}
est encore un plan, mais il ne passe pas par l’origine, de sorte que ce n’est pas un sous-espace vectoriel de R3 .
L’ensemble G se déduit de F par translation, on dit qu’il s’agit d’un sous-espace affine (c’est un plan affine).

Exemple.
On vérifie facilement que le sous-ensemble

H = {λ1 (1, 1, 1) + λ2 (0, 1, −1), λ1 , λ2 ∈ R}

est un sous-espace vectoriel de R3 . Géométriquement, H est le plan dirigé par les vecteurs (1, 1, 1) et (0, 1, −1).

1.2 Concepts fondamentaux

Définition (combinaison linéaire de vecteurs)

Soit S = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vk } une famille de k vecteurs de Rn . On appelle combinaison linéaire des vecteurs de
S toute expression du type
X k
λi~vi
i=1

où les λi sont des scalaires quelconques.

Définition (sous-espace vectoriel engendré)

Soit A une partie de Rn . On appelle sous-espace vectoriel engendré par A le sous espace vectoriel
(m )
X
∗
Vect (A) := λi~vi ; λi ∈ R, ~vi ∈ A, m ∈ N
i=1

constitué de toutes les combinaisons linéaires possibles des vecteurs de A.

Exemple. L’espace vectoriel H défini dans la section précédente n’est autre que le sous-espace vectoriel
engendré par A = {(1, 1, 1), (0, 1, −1)}

H = Vect {(1, 1, 1), (0, 1, −1)}.

Définition (famille liée)

On dit qu’une famille S = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vk } de k vecteurs de Rn est liée (ou encore que les vecteurs de S sont
linéairement dépendants) s’il existe des scalaires λ1 , λ2 , . . . , λk non tous nuls tels que
k
X
λi~vi = ~0.
i=1

2
De façon équivalente, la famille S = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vk } est liée si et seulement si l’un des vecteurs ~vi est combinaison
linéaire des autres.

Exemple. Supposons que la famille S ne contienne qu’un seul vecteur ~v . Alors

S = {~v } est liée si et seulement si ~v = ~0.

Exemple. Supposons que la famille S contienne deux vecteurs ~v1 et ~v2 . Alors

S = {~v1 , ~v2 } est liée si et seulement si ~v1 et ~v2 sont colinéaires.

Définition (famille libre)

On dit qu’une famille S = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vk } de k vecteurs de Rn est libre (ou encore que les vecteurs de S
sont linéairement indépendants) si elle n’est pas liée.

Il résulte de la définition que la famille S = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vk } est libre si et seulement si
k
X
λi~vi = ~0 =⇒ λi = 0 pour tout i = 1, 2, . . . , k.
i=1

Exemple. Considérons les vecteurs ~v1 = (1, 1, 1), ~v2 = (0, 1, −1), ~v3 = (2, 1, 0) et ~v4 = (1, −1, 3).
. La famille S1 = {~v1 , ~v2 } est libre dans R3 car ~v1 et ~v2 ne sont pas colinéaires.
. La famille S2 = {~v1 , ~v2 , ~v3 } est également libre. On le vérifie facilement en utilisant la caractérisation
ci-dessus.
. La famille S3 = {~v1 , ~v2 , ~v4 } n’est pas libre. Les vecteurs ~v1 , ~v2 et ~v4 sont en effet liés par la relation
~v4 = ~v1 − 2~v2 .

Définition (rang d’une famille)

On appelle rang d’une famille S = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vk } de k vecteurs de Rn le nombre r maximal de vecteurs
indépendants que l’on peut extraire de cette famille. On note r = rg (S).

Il découle immédiatement de la définition que rg (S) ≤ card(S), où card(S) désigne le nombre d’éléments de S.
De plus, rg (S) = card(S) si et seulement si S est libre.

Exemple. En reprenant l’exemple précédent, on voit que rg (S1 ) = 2, rg (S2 ) = 3 et rg (S3 ) = 2.

Un autre concept important est celui de famille génératrice.

Définition (famille génératrice)

On dit qu’une famille S = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vk } de k vecteurs d’un sous-espace vectoriel V de Rn est génératrice
de V si tout vecteur ~x ∈ V peut s’écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs de S.

On peut donc dire que V est le sous-espace vectoriel engendré par S, c’est-à-dire V = Vect (S).
Lemme
Soit S = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vk } une famille de k vecteurs de Rn . Alors

~x ∈ Vect (S) si et seulement si rg (S) = rg ({~v1 , ~v2 , . . . , ~vk , ~x}).

On verra plus loin l’importance de ce lemme. Par exemple, il permet de mettre en équations un sous-espace
vectoriel.

Introduisons à présent le concept fondamental de base.

Définition (base)

3
 On appelle base d’un sous-espace vectoriel V de Rn toute famille β libre et génératrice de V .

Définition (base canonique de Rn )

On appelle base canonique de Rn la famille β = {~e1 , ~e2 , . . . , ~en } dont les vecteurs ~ei sont donnés par
~e1 = (1, 0, . . . , 0), ~e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), ... , ~en = (0, 0, . . . , 1).

Proposition (existence et unicité de la décomposition dans une base)

Soit V un sous-espace vectoriel de Rn et β = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vk } une base de V . Alors tout vecteur ~x ∈ V
s’écrit de façon unique comme combinaison linéaire des vecteurs de β. Il existe donc des scalaires xi uniques,
appelés composantes (ou encore coordonnées) de ~x dans la base β, tels que
k
X
~x = xi~vi .
i=1

Il est d’usage de regrouper les composantes d’un vecteur ~x dans une base sous forme d’un vecteur-colonne et
d’écrire  
x1
 x2 
~x =  . 
 
 .. 
xk
bien que cette notation, qui consiste à identifier un vecteur ~x ∈ V avec le vecteur ~x = (x1 , x2 , . . . , xk ) ∈ Rk
puisse prêter à confusion. On verra dans le chapitre suivant l’intérêt de mettre les xi en colonne et donc de les
voir comme un vecteur-colonne.
Avant de définir le concept de dimension, nous avons besoin du lemme suivant.
Lemme

Soit V un sous-espace vectoriel de Rn . Si L = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vp } est une famille libre de vecteurs de V et si
G = {w~ 1, w ~ m } est une famille génératrice de V , alors p ≤ m.
~ 2, . . . , w

Théorème (de la dimension)

Soit V un sous-espace vectoriel de Rn . Toutes les bases de V ont le même nombre de vecteurs. Ce nombre
s’appelle la dimension de V et se note dim V .

Puisque la base canonique de Rn contient n éléments, on voit que dim Rn = n.

Théorème
Soit V un sous-espace vectoriel de Rn tel que dim V = k.
. Toute famille libre de V comporte au plus k vecteurs.

. Une famille libre de V qui comporte k vecteurs est une base de V .

Théorème
Soit V un sous-espace vectoriel de Rn tel que dim V = k.
. Toute famille génératrice de V comporte au moins k vecteurs.

. Une famille génératrice de V qui comporte k vecteurs est une base de V .

Théorème (de la base incomplète)

Soit V un sous-espace vectoriel de Rn tel que dim V = k. Soit L = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vp } une famille libre
de p vecteurs de V . Alors il existe k − p vecteurs w ~ p+1 , w
~ p+2 , . . ., w
~ k de V tels que la famille β =
{~v1 , ~v2 , . . . , ~vp , w ~ k } soit une base de V .
~ p+1 , . . . , w

Le théorème suivant permet de faire le lien entre les notions de rang et de dimension.

4
Théorème (rang et dimension)

Le rang d’une famille S = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vp } de p vecteurs de Rn est égal à la dimension du sous-espace vectoriel
engendré par S
rg (S) = dim(Vect(S)).

La proposition suivante donne des conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une famille de vecteurs soit libre
ou génératrice.
Proposition (Caractérisations à l’aide du rang )

Soit V un sous-espace vectoriel de Rn et soit S une famille de p vecteurs de V . Alors on a :

. rg (S) ≤ card(S) et de plus

rg (S) = card(S) ⇔ S libre.

. rg (S) ≤ dim(V ) et de plus

rg (S) = dim(V ) ⇔ S génératrice de V .

Nous allons maintenant développer une technique très efficace pour obtenir le rang d’une famille.
Définition (vecteurs échelonnés)

Soit S = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vp } une famille de p vecteurs de Rn . Pour tout vecteur ~vi non nul de la famille
S, on note ji l’indice de sa première composante non nulle dans une base β de Rn , c’est-à-dire que
~vi = (0, · · · , 0, vji ,i , · · · , vn,i ), avec vji ,i 6= 0. On dit que la famille S est échelonnée relativement à β
s’il existe un entier r ≤ p tel que :
I la suite (ji )1≤i≤r soit strictement croissante,
I si r < p, on ait ~vi = ~0 pour r < i ≤ p.

Un exemple de vecteurs échelonnés (mis en colonnes) est donné par

1 0 0 0 0
2 3 0 0 0
−1 6 0 0 0
3 7 1 0 0
4 8 2 3 0

Les indices des premières composantes non nulles des quatre premières colonnes sont respectivement j1 = 1,
j2 = 2, j3 = 4 et j4 = 5, p = 5 et r = 4. Les vecteurs sont échelonnés car les indices forment une suite
strictement croissante. L’intérêt d’avoir des vecteurs échelonnés est donné par le résultat suivant.
Lemme (indépendance d’une famille échelonnée)

Soit V un sous-espace vectoriel de Rn , β une base de V et S = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vp } une famille de p vecteurs
non nuls de V . Si S est échelonnée relativement à β, alors S est libre.

Lorsque des vecteurs ne sont pas échelonnés, on peut les échelonner via les transformations suivantes.
Lemme (transformation d’une famille par combinaisons)

Soit S = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vp } une famille de p vecteurs de Rn et S̃ = {~v1 , . . . , ~vi−1 , w

~ i , ~vi+1 , . . . , ~vp } la famille
obtenue en remplaçant le vecteur ~vi de S par une combinaison linéaire w ~ i = α1~v1 + · · · + αi~vi + · · · + αp~vp
des vecteurs de S avec αi 6= 0. Alors on a les propriétés suivantes:

S libre ⇔ S̃ libre
Vect (S) = Vect (S̃)
rg (S) = rg (S̃).

Dans l’exemple suivant, on va montrer le rôle que joue l’échelonnement dans le calcul du rang d’une famille.

5
Prenons la famille
~c1 ~c2 ~c3 ~c4

2 1 1 2
4 3 1 2
6 4 −1 1
−1 1 1 −1
qui n’est pas échelonnée. En multipliant la seconde colonne par 2 et en soustrayant la première colonne on
obtient la famille de même rang
2 0 1 2
4 2 1 2
6 2 −1 1
−1 3 1 −1
Par combinaison des colonnes 3 et 1, puis des colonnes 4 et 1 on obtient

2 0 0 2 2 0 0 0
4 2 −2 2 4 2 −2 −2
−→ −→
6 2 −8 1 6 2 −8 −5
−1 3 3 −1 −1 3 3 0

Ensuite par combinaison des colonnes 3 et 2, puis des colonnes 4 et 2 on obtient

2 0 0 0 2 0 0 0
4 2 0 −2 4 2 0 0
−→ −→
6 2 −6 −5 6 2 −6 −3
−1 3 6 0 −1 3 6 3

Enfin par combinaison des colonnes 4 et 3, on obtient

2 0 0 0
4 2 0 0
6 2 −6 0
−1 3 6 0

La famille ainsi obtenue est échelonnée. La dernière colonne étant nulle, elle est de rang 3. Les transformations
ayant préservé le rang, la famille {~c1 , ~c2 , ~c3 , ~c4 } est donc de rang 3.
De plus, en reconstituant les transformations ayant conduit à obtenir un vecteur nul dans la dernière colonne
on obtient
2[(~c4 − ~c1 ) + (2~c2 − ~c1 )] − [(2~c3 − ~c1 ) + (2~c2 − ~c1 )] = ~0,
soit encore
~c4 − ~c1 + ~c2 − ~c3 = ~0,
ce qui permet d’expliciter la relation linéaire qui lie les vecteurs ~ci .

1.3 Passage d’une écriture vectorielle à une écriture en équations et réciproquement

La technique d’échelonnement permet de trouver la (les) équation(s) du sous-espace vectoriel engendré par
une famille de vecteurs lorsque l’on connait leurs composantes dans une base. Pour cela, il suffit d’échelonner
la famille {~v1 , ~v2 , . . . , ~vn , ~x} où ~x représente le vecteur courant du sous-espace vectoriel, et d’écrire la (les)
condition(s) sur les composantes de ~x qui assurent que rg {~v1 , ~v2 , . . . , ~vn } = rg {~v1 , ~v2 , . . . , ~vn , ~x}.
Par exemple, considérons le sous-espace vectoriel V := Vect{(1, −1, 1, 1), (0, 1, 2, 1)} de R4 , mis sous forme vec-
torielle. Pour mettre V sous forme d’équations, on utilise l’argument suivant :
(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ V si et seulement si les familles {(1, −1, 1, 1), (0, 1, 2, 1)} et {(1, −1, 1, 1), (0, 1, 2, 1), (x1 , x2 , x3 , x4 )}
possèdent le même rang.
On voit bien que la famille β = {(1, −1, 1, 1), (0, 1, 2, 1)} est échelonnée, donc son rang est égal à deux, et par
suite le rang de la famille {(1, −1, 1, 1), (0, 1, 2, 1), (x1 , x2 , x3 , x4 )} est aussi égal à deux.
Ecrivons la dernière famille en colonnes:

1 0 x1
−1 1 x2
1 2 x3
1 1 x4

6
Si on multiplie la première colonne par x1 et on la retranche à la dernière, on obtient

1 0 0
−1 1 x2 + x1
1 2 x3 − x1
1 1 x4 − x1
Si on multiplie cette fois-ci la deuxième colonne par x1 + x2 et on la retranche à la dernière, on obtient

1 0 0
−1 1 0
1 2 x3 − 3x1 − 2x2
1 1 x4 − 2x1 − x2
Comme le rang de la famille est égal à deux, on obtient les équations

x3 − 3x1 − 2x2 = 0 et x4 − 2x1 − x2 = 0.

Ainsi
V = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x3 − 3x1 − 2x2 = 0, x4 − 2x1 − x2 = 0}.

Réciproquement, comment passe-t-on d’une écriture en équations à une écriture vectorielle ? Considérons le
sous-espace vectoriel

V = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x3 − 3x1 − 2x2 = 0, x4 − 2x1 − x2 = 0}.

On a

V = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x3 = 3x1 + 2x2 , x4 = 2x1 + x2 }

= {(x1 , x2 , 3x1 + 2x2 , 2x1 + x2 ), x1 ∈ R, x2 ∈ R}
= {x1 (1, 0, 3, 2) + x2 (0, 1, 2, 1), x1 ∈ R, x2 ∈ R}
= Vect{(1, 0, 3, 2), (0, 1, 2, 1)}.

Remarque Notons qu’on a choisi x1 et x2 comme paramètres. Un autre choix aurait conduit à une autre
famille génératrice de V .

7
 2 Matrices
2.1 L’espace vectoriel des matrices m × n
On entend par matrice de format (ou de taille) m × n à coefficients réels toute application
A : {1, 2, . . . , m} × {1, 2, . . . , n} → R.
Une matrice est donc une application dont le domaine de définition est très particulier. Pour cette raison et
aussi pour des raisons de commodité d’écriture, on note aij l’image du couple (i, j) et on dispose les mn nombres
réels aij , i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n sous forme d’un tableau
 
a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 
A= .
 
.. .. .. 
 .. . . . 
am1 am2 . . . amn
à m lignes et n colonnes. On observera que les valeurs de A, on dit aussi les coefficients de A, sont notées avec
deux indices, le premier indice i faisant référence au numéro de ligne et le second indice j au numéro de colonne
de la matrice. Si la matrice est carrée, c’est-à-dire si m = n, on dit simplement que la matrice est d’ordre n.
Définition (trace d’une matrice)

Soit A une matrice carrée d’ordre n. On appelle trace de A la somme de ses termes diagonaux, c’est-à-dire
la quantité
tr A := a11 + a22 + · · · + ann .

Définition (matrices particulières)

Si A est une matrice carrée d’ordre n, on dit que A est

1. diagonale si aij = 0 pour tout i 6= j,
2. triangulaire supérieure (resp. inférieure) si aij = 0 pour tout i > j (resp. pour tout i < j),

3. symétrique si aij = aji pour tout i, j.

Soient A et B deux matrices de format m × n (donc de même taille)

   
a11 a12 . . . a1n b11 b12 ... b1n
 a21 a22 . . . a2n   b21 b22 ... b2n 
A= . ..  et B =  ..
   
.. .. .. .. ..
 ..

. . .   . . . . 
am1 am2 . . . amn bm1 bm2 ... bmn
et λ un scalaire, on définit la somme de A et B et le produit de λ par A comme suit
   
a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n λa11 λa12 ... λa1n
 a21 + b21 a 22 + b22 . . . a 2n + b 2n
  λa21 λa22 ... λa2n 
A+B =  et λA =  .. .
   
.. .. .. .. .. .. ..
 . . . .   . . . . 
am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn λam1 λam2 ... λamn
L’ensemble M(m, n) des matrices de format m × n à coefficients réels, muni de ces deux opérations, est un
espace vectoriel sur R. Soit Mij la matrice de format m × n, dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la
ie ligne et de la j e colonne qui est égal à 1
colonne j
 ↓ 
0 ... 0 ... 0
 .. .. . .. .. 
 .
 . .. . . 
 0
Mij =  ... 1 ... 0   ←− ligne i
 . .. . .. .. 
 .. . .. . . 
0 ... 0 ... 0
On vérifie aisément que la famille {Mij , 1 ≤ i ≤ m et 1 ≤ j ≤ n} est une base de M(m, n). L’espace vectoriel
M(m, n) est donc de dimension mn.

8
Définition (produit matriciel )

Si A est une matrice de format m × n et B une matrice de format n × p, on définit le produit de A par B
(attention à l’ordre) comme étant la matrice C de format m × p dont le coefficient cij sur la ième ligne et la
jème colonne est donné par
Xn
cij := aik bkj .
k=1

On note C := AB.
On observera que le coefficient cij est simplement obtenu en effectuant le produit scalaire euclidien de la ième
ligne de A et la jème colonne de B. Cela suggère pour effectuer les calculs de façon pratique de disposer les
matrices de la façon suivante.
 
b11 . . . b1j . . . b1p
 b21 . . . b2j . . . b2p 
 
 .. .. .. 
 . . . 
bn1 . . . bnj . . . bnp
↓
↓
   
a11 a12 . . . a1n c11 . . . . . . c1p
 .. .. ..   .. .. 
 .
 . . 
 
 . ↓ . 
 ai1 ai2 . . . ain  −→  → → cij 
   
 . . . . .
 .. .. ..   .. .. 
  

am1 am2 . . . amn cm1 . . . cmi . . . cmp

On doit tout de suite mettre en garde sur l’ordre à respecter dans un produit matriciel. En général on a
AB 6= BA. Pour que le produit AB de deux matrices ait un sens il est nécessaire que les formats des deux
matrices soient compatibles. Il est alors facile de voir que les deux produits AB et BA ne peuvent avoir de sens
simultanément que si les deux matrices sont carrées. Par exemple, si on prend
   
0 −1 0 1
A= B=
1 0 1 0

alors    
−1 0 1 0
AB = BA = .
0 1 0 −1
On voit que AB 6= BA. On dit alors que les matrices A et B ne commutent pas.
Proposition (propriétés usuelles du produit matriciel )

Si A, B et C désignent trois matrices, sous réserve de compatibilité entre leur format, on a les relations
suivantes:
1. A(BC)=(AB)C,
2. A(B+C)=AB+AC,

3. (A+B)C=AC+BC.

2.2 Image, noyau et théorème du rang

Définition (rang d’une matrice)

Soit A une matrice de format m × n. On appelle rang de A et on note rg A le rang des colonnes A1 , · · · , An
de A.

On a toujours rg A ≤ m et rg A ≤ n, d’où rg A ≤ min(m, n).

Définition (rang maximal )
Soit A une matrice de format m × n. La matrice A est dite de rang maximal si rg A = min(m, n).

9
Définition (noyau)

Soit A une matrice de format m × n. On appelle noyau de A le sous-espace vectoriel de Rn défini par

KerA = {x ∈ Rn : Ax = 0}.

Définition (image)

Soit A une matrice de format m × n. On appelle image de A le sous-espace vectoriel de Rm défini par

ImA = {Ax; x ∈ Rn }.

On peut donner une relation entre ImA et les colonnes de A.

Proposition

Soit A une matrice de format m × n dont les colonnes sont désignées par A1 , · · · , An . Alors

ImA = Vect{A1 , · · · , An }.

Il suit de cette proposition que

dim(ImA) = rg A.
Théorème (théorème du rang ou des dimensions)

Soit A une matrice de format m × n. Alors

n = rg A + dim(kerA).

2.3 Transposition des matrices

Définition (transposée d’une matrice)

Soit A une matrice de format m × n. On appelle transposée de A la matrice de format n × m, notée AT (ou
encore A0 par les statisticiens et les économètres), et définie par

aTij := aji 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.

Proposition (propriétés de la transposition)

Si A et B désignent deux matrices et si x et y désignent des vecteurs colonnes, sous réserve (si nécessaire)
de compatibilité de leur format, on a:
T
1. (AT ) = A,
2. (A + B)T = AT + B T ,

3. (λA)T = λAT ,
4. (AB)T = B T AT ,
5. rg A = rg AT ,

6. hAx, yi = hx, AT yi. h., .i désigne le produit scalaire euclidien.

Définition (matrice définie positive)

Soit A une matrice carrée d’ordre n.

. On dit que A est semi-définie positive si on a

hA~x, ~xi ≥ 0 pour tout ~x ∈ Rn ,

10
 où h., .i est le produit scalaire euclidien. Si l’inégalité est renversée, on dit que A est semi-définie négative.
. On dit que A est définie positive si on a

hA~x, ~xi > 0 pour tout ~x 6= 0.

Si l’inégalité est renversée, on dit que A est définie négative.

Proposition
Soit A une matrice de format m × n avec m ≤ n. Alors les conditions suivantes sont équivalentes:
1. A est de rang maximal,

2. AT est de rang maximal,

3. AAT est définie positive.

2.4 Inversion des matrices carrées

Soit In la matrice identité d’ordre n définie par
 
1 0 ... 0
.. .
. ..
 
 0 1 
In :=  ..
.
 .. .. 
 . . . 0 
0 ... 0 1

Cette matrice est neutre pour le produit matriciel : pour toute matrice carrée A d’ordre n, on a AIn = In A = A.
Définition (inverse d’une matrice)

Soit A une matrice carrée d’ordre n. A est dite inversible s’il existe une matrice carrée d’ordre n, notée A−1 ,
telle que
AA−1 = A−1 A = In .
On dit que A−1 est la matrice inverse de A.

Proposition (propriétés des matrices inversibles)

1) Si A est une matrice carrée d’ordre n, alors on a

A inversible ⇐⇒ rg (A) = n.

2) Si deux matrices A et B d’ordre n sont inversibles, il en est de même de leur produit AB et on a

(AB)−1 = B −1 A−1 .

D’un point de vue pratique, le calcul de l’inverse d’une matrice carrée A se ramène à la résolution du système
linéaire Ax = y, d’inconnue x ∈ Rn . Ceci résulte en effet de l’équivalence

Ax = y ⇐⇒ x = A−1 y.

2.5 Systèmes linéaires

On appelle système linéaire un système de p équations à n inconnues de la forme


 a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2

(S)

 ................................
ap1 x1 + ap2 x2 + · · · + apn xn = bp


où les aij et les bi sont des scalaires et les xi sont les inconnues.

11
Les aij définissent une matrice A de format p × n (la matrice du système) dont les colonnes seront notées Aj .
Les bi définissent un vecteur b ∈ Rp (le second membre du système). On peut regrouper les inconnues en un
vecteur x = (x1 , x2 , . . . , xn ) de Rn ce qui permet d’écrire le système linéaire sous la forme matricielle
n
X
Ax = b ou encore xj Aj = b.
j=1

Résoudre le système linéaire consiste à expliciter l’ensemble

S = {x ∈ Rn ; Ax = b}

(éventuellement vide) constitué de tous les x (s’il en existe) dont les composantes xi vérifient simultanément les
p équations.
Définition (système homogène)

Lorsque les bi sont tous nuls, on dit que le système (S) est homogène.

Au système linéaire (S) Ax = b, on peut donc associer le système homogène Ax = 0. L’ensemble des solutions
de ce système homogène coı̈ncide avec kerA (le noyau de A).
Définition (compatibilité)

On dit que le système (S) est compatible si l’ensemble S de ses solutions est non vide.

On note que
S 6= ∅ ⇐⇒ b ∈ ImA.

Proposition (structure de l’ensemble des solutions)

• L’ensemble ker A des solutions du système homogène est un sous-espace vectoriel de Rn .

• Si u et v sont solutions du système linéaire (S), alors u − v ∈ ker A.
• Si x0 est solution de (S), alors l’ensemble S des solutions du système (S) s’obtient en ajoutant à x0
l’ensemble des solutions du système homogène associé, c’est-à-dire

S = x0 + ker A.

12
 3 Déterminants
3.1 Notion de déterminant
Considérons l’ensemble F des fonctions

f : Rn × Rn × . . . × Rn → R
| {z }
n fois
vérifiant les propriétés suivantes:
1. l’application ~xi → f (~x1 , . . . , ~xi , . . . , ~xn ) est linéaire (pour tout i)
2. f (~x1 , . . . , ~xi , . . . , ~xj , . . . , ~xn ) = −f (~x1 , . . . , ~xj , . . . , ~xi , . . . , ~xn ).
On dit que de telles fonctions sont des formes multilinéaires alternées sur Rn ou encore des formes n-linéaires
alternées. Le terme n-linéaire signifie que la fonction est linéaire relativement à chacune de ses variables, quant
au terme alterné, il signifie que f change de signe quand on échange la place de deux des ~xk en laissant fixes
les autres. Il est facile de voir que F est un espace vectoriel. On peut en effet vérifier que la somme de deux
formes f et g qui sont n-linéaires est bien une forme n-linéaire et qu’elle est alternée dès que f et g le sont. De
même, le produit d’une forme n-linéaire alternée par un scalaire est une forme n-linéaire alternée.
L’ensemble F n’est pas vide car il contient la forme identiquement nulle. En fait, F est de dimension 1, donc
toutes les formes n-linéaires alternées non triviales sont colinéaires. Avant de justifier cette affirmation, donnons
quelques propriétés qui découlent immédiatement de la définition.
Proposition (propriétés des formes n-linéaires alternées)

Soit ϕ une forme n-linéaire alternée sur Rn . Alors

1. ϕ est nulle sur toute famille de n vecteurs dont deux sont égaux.
2. On ne change pas la valeur de ϕ en ajoutant à l’un des vecteurs ~xi une combinaison linéaire des autres.

3. ϕ est nulle sur toute famille de n vecteurs liés.

Ces propriétés élémentaires établies, on est en mesure d’étudier l’existence de formes multilinéaires non triviales.
Pour mieux comprendre cette partie assez technique, commençons par analyser les cas n = 2 et n = 3.
Considérons deux vecteurs ~x1 et ~x2 et une base β = {~v1 , ~v2 } de R2 . Dans cette base, ~x1 et ~x2 se décomposent
sous la forme
~x1 = a11~v1 + a21~v2 et ~x2 = a12~v1 + a22~v2
et on peut les voir comme des vecteurs colonnes
   
a11 a12
~x1 = et ~x2 =
a21 a22

qui sont en fait les colonnes de la matrice A définie par les aij . S’il existe une forme 2-linéaire alternée ϕ sur
R2 , en utilisant la linéarité de ϕ par rapport à chacune des deux variables on doit avoir

ϕ(~x1 , ~x2 ) = a11 a12 ϕ(~v1 , ~v1 ) + a11 a22 ϕ(~v1 , ~v2 )
+ a21 a12 ϕ(~v2 , ~v1 ) + a21 a22 ϕ(~v2 , ~v2 ).

Comme ϕ est alternée, on a ϕ(~v1 , ~v1 ) = ϕ(~v2 , ~v2 ) = 0 et ϕ(~v2 , ~v1 ) = −ϕ(~v1 , ~v2 ) d’où
 
ϕ(~x1 , ~x2 ) = a11 a22 − a21 a12 ϕ(~v1 , ~v2 )

ce qui montre que ϕ est entièrement déterminée par ses valeurs sur le couple (~v1 , ~v2 ). Comme il est immédiat
de voir que le membre de droite de l’égalité précédente est une forme 2-linéaire alternée, celle-ci est non triviale
dès que ϕ(~v1 , ~v2 ) 6= 0, toutes les formes 2-linéaires alternées sont colinéaires et F est donc de dimension 1. Si
on appelle déterminant l’unique forme ϕ telle que ϕ(~v1 , ~v2 ) = 1 on obtient

ϕ(~x1 , ~x2 ) = a11 a22 − a21 a12

et on retrouve la définition du déterminant d’une matrice carrée d’ordre 2 vue en première année. On retiendra
que
det(~x1 , ~x2 ) = det A = a11 a22 − a21 a12 .

13
Passons au cas de la dimension 3 et considérons des vecteurs ~x1 , ~x2 , ~x3 et une base β = {~v1 , ~v2 , ~v3 } de R3 . Dans
cette base, ces vecteurs se décomposent sous la forme
3
X
~xj = aij ~vi .
i=1

S’il existe une forme 3-linéaire alternée ϕ sur R3 , en utilisant la linéarité de ϕ par rapport aux diverses variables
on aura
3 X
X 3 X 3
ϕ(~x1 , ~x2 , ~x3 ) = ai1 1 ai2 2 ai3 3 ϕ(~vi1 , ~vi2 , ~vi3 ).
i1 =1 i2 =1 i3 =1

La quantité ϕ(~vi1 , ~vi2 , ~vi3 ) étant nulle dès que deux des variables sont égales, de nombreux termes parmi les
33 = 27 termes de cette somme sont nuls. En fait, les seuls termes non nuls sont ceux pour lesquels les indices
i1 , i2 et i3 sont distincts deux à deux et il y en a exactement 3! = 6 donnés par le tableau suivant

i1 1 1 2 2 3 3
i2 2 3 1 3 1 2
i3 3 2 3 1 2 1

On observera qu’à chaque possibilité correspond une bijection

σ : {1, 2, 3} → {1, 2, 3},

que l’on appelle une permutation et dont l’action consiste à placer les entiers 1, 2 et 3 dans un ordre différent
de l’ordre naturel. Comme ϕ est alternée, la quantité ϕ(~vi1 , ~vi2 , ~vi3 ) est, au signe près, égale à ϕ(~v1 , ~v2 , ~v3 ), le
signe étant fonction du nombre de fois qu’il faut échanger de place deux des ~vi pour rétablir l’ordre naturel des
entiers. On a par exemple

ϕ(~v2 , ~v3 , ~v1 ) = − ϕ(~v1 , ~v3 , ~v2 ) échange ~v1 ↔ ~v2

= + ϕ(~v1 , ~v2 , ~v3 ) échange ~v2 ↔ ~v3

Pour rétablir l’ordre par modifications successives de la place de deux vecteurs, il y a plusieurs façons de
procéder, mais le résultat sera toujours le même. Cela résulte de la propriété suivante des permutations d’un
ensemble.
Proposition (propriétés des permutations)

Toute permutation σ : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n} est décomposable en produit de transpositions qui con-
sistent à échanger de place deux entiers en laissant fixes les autres. Cela signifie que l’on peut décomposer
l’action de σ en plusieurs étapes, chaque étape consistant à modifier la place de deux entiers. La décomposition
n’est pas unique, mais la parité du nombre d’échanges est toujours la même.

Si une permutation σ se décompose en un nombre pair (resp. impair) de transpositions, on dit qu’elle est paire
(resp. impaire) et on définit sa signature comme étant l’entier donné par s (σ) := +1 (resp. s (σ) := −1).
Finalement, après calcul de la parité des 6 permutations associées aux 6 cas possibles et mise en facteur, on
obtient
 
ϕ(~x1 , ~x2 , ~x3 ) = a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 − a11 a32 a23 − a21 a12 a33 − a31 a22 a13 ϕ(~v1 , ~v2 , ~v3 ),

ce qui montre que ϕ est entièrement déterminée par la valeur de ϕ(~v1 , ~v2 , ~v3 ). Comme il est facile de voir que
le membre de droite de l’égalité précédente est une forme 3-linéaire alternée, celle-ci est non triviale dès que
ϕ(~v1 , ~v2 , ~v3 ) 6= 0, toutes les formes 3-linéaires alternées sont colinéaires et F est donc de dimension 1. Il est alors
judicieux, pour des raisons évidentes de simplicité, de définir le déterminant des vecteurs ~x1 , ~x2 et ~x3 , ou ce qui
revient au même de la matrice A, comme étant l’unique forme 3-linéaire alternée ϕ telle que ϕ(~v1 , ~v2 , ~v3 ) = 1.
On retiendra que

det(~x1 , ~x2 , ~x3 ) = det A = a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 − a11 a32 a23 − a21 a12 a33 − a31 a22 a13 .

D’un point de vue pratique, un moyen commode d’organiser les calculs du déterminant d’une matrice d’ordre 3,
connu sous le nom de règle de Sarrus, consiste à recopier en dessous de la matrice les deux premières lignes
et à effectuer le produit des termes en diagonale. Puis on retranche la somme des diagonales montantes aux
diagonales descendantes.

14
  

 a11 a12 a13 


 a21 a22 a23 


 a31 a32 a33 

.  a11 a12 a13  &

.  a21 a22 a23  &
. &
 
2 1 1
Avec A =  4 3 2  on obtient
6 4 −1
 

 2 1 1 


 4 3 2 


 6 4 −1 

 2 1 1 
.   &
 4 3 2 
18 . 


 & −6
16 . & 16
−4 12
= 30 = 22
det A = 22 − 30
donc det A = −8. Malheureusement cette règle ne se généralise pas pour une matrice d’ordre supérieur à 3.
Traitons maintenant le cas général et pour cela considérons n vecteurs ~x1 , ~x2 , . . ., ~xn et une base β =
{~v1 , ~v2 , . . . , ~vn } de Rn . Dans cette base, les ~xj se décomposent sous la forme
n
X
~xj = aij ~vi .
i=1

S’il existe une forme n-linéaire alternée ϕ, en utilisant la linéarité de ϕ par rapport aux diverses variables on
aura
n X
X n n
X
ϕ(~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) = ... ai1 ,1 ai2 ,2 . . . ain ,n ϕ(~vi1 , ~vi2 , . . . , ~vin ).
i1 =1 i2 =1 in =1

La quantité ϕ(~vi1 , ~vi2 , . . . , ~vin ) étant nulle dès que deux des variables sont égales, de nombreux termes parmi
les nn termes de cette somme sont nuls. En fait, les seuls termes non nuls sont ceux pour lesquels les indices
i1 , i2 , . . ., in sont distincts deux à deux et il y en a exactement (n!). A chaque terme non nul est associée une
suite (i1 , i2 , . . . , in ) d’entiers tous distincts, ce qui définit une permutation
σ : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n}.
En invoquant le résultat de la proposition précédente, ϕ étant alternée, on a
ϕ(~vi1 , ~vi2 , . . . , ~vin ) = s (σ)ϕ(~v1 , ~v2 , . . . , ~vn )
où s (σ) est la signature de σ. En désignant par Sn l’ensemble de toutes les permutations de {1, 2, . . . , n}, on
obtient  X i
ϕ(~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ) = s (σ) aσ(1),1 aσ(2),2 . . . aσ(n),n ϕ(~v1 , ~v2 , . . . , ~vn ),
σ∈Sn

si bien que ϕ est entièrement déterminée par la valeur de ϕ(~v1 , ~v2 , . . . , ~vn ). Comme il est assez facile de vérifier
que le membre de droite de l’égalité ci-dessus est une forme n-linéaire alternée, on en déduit, d’une part qu’elle
est non triviale dès que ϕ(~v1 , ~v2 , . . . , ~vn ) 6= 0, d’autre part que l’espace vectoriel F est de dimension 1. Ce
résultat conduit de façon naturelle à la définition suivante du déterminant.
Définition (déterminant)

On appelle déterminant d’une famille de n vecteurs de Rn relativement à une base β l’unique forme n-linéaire
alternée qui prend la valeur 1 sur les éléments de cette base. Si A est une matrice carrée d’ordre n, on appelle
déterminant de A, et on note det A ou encore |A|, le déterminant des colonnes de A. On a alors
X
det A = s (σ) aσ(1),1 aσ(2),2 . . . aσ(n),n .
σ∈Sn

La proposition suivante rassemble les propriétés usuelles des déterminants énoncées, par commodité, uniquement
en terme de déterminants de matrices.

15
Proposition (propriétés usuelles des déterminants)

1. Le déterminant d’une matrice change de signe si on permute 2 colonnes.

2. Le déterminant d’une matrice n’est pas modifié si on ajoute à une colonne une combinaison linéaire
des autres colonnes.
3. det(AT ) = det(A).

4. Le déterminant d’une matrice change de signe si on permute 2 lignes.

5. Le déterminant d’une matrice n’est pas modifié si on ajoute à une ligne une combinaison linéaire des
autres lignes.
6. det(AB) = det(A) det(B).

7. A est inversible si et seulement si det A 6= 0. On a alors det(A−1 ) = 1/ det(A).

3.2 Développement suivant une colonne ou une ligne

Cette section a pour but d’établir une méthode effective de calcul du déterminant d’une matrice carrée A
d’ordre n. En utilisant la linéarité du déterminant de la matrice A par rapport à sa j-ème colonne, on voit
facilement que
Xn
det A = aij det(A0ij ),
i=1

où A0ij désigne la matrice carrée de taille n déduite de A en remplaçant la j-ème colonne par une colonne
constituée uniquement de zéros, sauf un 1 sur la i-ème ligne.
Introduisons alors la définition suivante.
Définition (cofacteur et comatrice)

Etant donnée une matrice carrée A d’ordre n, on appelle cofacteur d’indice i, j le coefficient défini par

cij = det(A0ij ),

où A0ij est la matrice définie ci-dessus. La matrice des cofacteurs de A s’appelle la comatrice de A, on la
note comA = [cij ].

Le développement du déterminant de A par rapport à la j-ème colonne s’écrit donc

n
X
det A = aij cij .
i=1

La proposition suivante montre que le calcul d’un cofacteur se ramène au calcul d’un déterminant d’ordre n − 1.
Proposition

Soit A une matrice carrée d’ordre n et Aij la matrice obtenue à partir de A en supprimant la ligne i et la
colonne j. Alors
cij = (−1)i+j det(Aij ).

Si l’on échange le rôle des colonnes et des lignes de A, ce qu’on est en droit de faire compte tenu de l’égalité
det A = det AT , on voit que l’on peut aussi développer un déterminant suivant une ligne. La proposition
suivante récapitule les différents points qui viennent d’être mis en évidence.
Proposition (développement suivant une colonne ou suivant une ligne)

Soit A une matrice carrée d’ordre n. Alors

n
X
det A = aij cij , développement/colonne j
i=1
Xn
= aij cij , développement/ligne i
j=1

16
 où le cofacteur cij se calcule par la formule cij = (−1)i+j det(Aij ).

Il est judicieux de développer un déterminant suivant une colonne (ou une ligne) contenant des zéros. On a
donc intérêt à modifier la matrice en ajoutant à une colonne (une ligne) une combinaison linéaire des autres
colonnes (lignes) de façon à faire apparaı̂tre un maximum de zéros dans cette colonne (ligne) puisque cela ne
change pas la valeur du déterminant (voir les propriétés données au paragraphe précédent).
Comme le calcul d’un déterminant d’ordre n suivant une colonne (une ligne) se ramène au calcul de n déterminants
d’ordre n − 1, on peut, pour calculer ces derniers, procéder de la même façon, et développer en colonne (ou en
ligne). Cela fournit une règle récursive de calcul des déterminants qui est malheureusement très coûteuse en
nombre d’opérations si les coefficients des sous matrices rencontrées sont toujours non nuls car cela nécessite un
nombre d’opérations de l’ordre de (n!).
Une illustration du procédé récursif est donnée par l’exemple suivant.
   

 1 −2 2 −1   2 0 1
 1  L1 + L2
 1 2 −1 2   1 2 −1 2  L2
 =  
 L3 − 2L2

 6 4 1 6 
 4 0 3 2 
 7 2 3 1   6 0 4 −1  L4 − L2
 
 2 1 1 
 
= 2  4 3 2 
 6 4 −1 
 
 2 1 1  L1
 
= 2  0 1 0  L2 − 2L1
 8 5 0  L3 + L1
 
 2 1 
= 2  
8 0 
= −16.

Pour une matrice triangulaire, le calcul du déterminant est très simple à effectuer.
Proposition (déterminant d’une matrice triangulaire)

Le déterminant d’une matrice triangulaire est égal au produit de ses coefficients diagonaux.

En d’autres termes, si la matrice A est donnée par

 
a11 a12 ... a1n
 0 a22 ... a2n 
A= .
 
.. .. ..
 ..

. . . 
0 0 ... ann
alors
n
Y
det(A) = aii .
i=1

3.3 Application à l’inversion de matrices

Pour calculer l’inverse A−1 d’une matrice inversible A par la méthode des déterminants, on calcule d’abord la
comatrice comA = [cij ], avec cij = (−1)i+j det(Aij ). La matrice A−1 est donnée par
1
A−1 = [comA]T .
det(A)
Exemple Soit A la matrice donnée par  
2 1 1
A= 4 3 2 .
6 4 −1
On a det A = −8 et donc A est inversible. La comatrice vaut
 
−11 16 −2
comA =  5 −8 −2 
−1 0 2

17
et donc  
−11 5 −1
−1 1
A =− 16 −8 0 .
8
−2 −2 2

Cette méthode des déterminants est rapide pour les matrices 2 × 2 et 3 × 3, mais devient vite impraticable pour
les matrices de plus grande taille, sauf dans des cas bien spécifiques.

18
 4 Valeurs et vecteurs propres
Soit A une matrice carrée d’ordre n à coefficients réels.
Définition (vecteur propre)

On dit que x ∈ Rn est vecteur propre de A s’il existe un scalaire λ ∈ R tel que Ax = λx.

On peut remarquer que le vecteur nul est toujours vecteur propre de A.

Définition (valeur propre)

On dit qu’un scalaire λ ∈ R est une valeur propre de A s’il existe un vecteur x 6= 0 tel que Ax = λx.

Si λ est valeur propre de A et si x est un vecteur propre associé à λ, tout vecteur colinéaire à x est aussi vecteur
propre associé à λ. En fait, l’ensemble des vecteurs propres associés à une valeur propre λ est un sous-espace
vectoriel de Rn (de dimension supérieure ou égale à 1). Cela conduit à la définition suivante.
Définition (sous-espace propre)

L’ensemble des vecteurs propres associés à une valeur propre λ est le sous-espace vectoriel V (λ) défini par

V (λ) := {x ∈ Rn : Ax = λx}.

On l’appelle sous-espace propre associé à λ.

On peut remarquer que

V (λ) := {x ∈ Rn : Ax = λx} = {x ∈ Rn : Ax − λx = 0} = {x ∈ Rn : (A − λI)x = 0},

donc
V (λ) = ker(A − λI).
Si A est de la forme  
a11 a12 ... a1n
 a21 a22 ... a2n 
A=
 
.. .. .. .. 
 . . . . 
an1 an2 ... ann
dire qu’un scalaire λ est valeur propre de A revient donc à dire que la matrice
 
a11 − λ a12 ... a1n
 a21 a22 − λ . . . a2n 
A − λI = 
 
.. .. . . .
. 
 . . . . 
an1 an2 . . . ann − λ

n’est pas inversible, ce qui est encore équivalent à dire que son déterminant est nul. Ce déterminant est un
polynôme de λ car ses termes sont des produits d’éléments de la matrice A − λI. Cela justifie la définition
suivante.
Définition (polynôme caractéristique)

Le polynôme pA défini par

pA (λ) := det(A − λI)
s’appelle le polynôme caractéristique de A.

Il est facile de voir que le polynôme caractéristique de A est un polynôme de degré n dont le coefficient dominant
est (−1)n .
Au vu de ce qui précède, on a le résultat suivant.
Proposition
Soit A une matrice carrée d’ordre n et soit λ ∈ R. Alors λ est valeur propre de A si et seulement si λ est
racine du polynôme caractéristique pA .

On rappelle que si p est un polynôme de degré n, une racine de p est un nombre réel r tel que p(r) = 0 ou de
façon équivalente tel que p soit divisible par (x − r), c’est-à-dire, p(x) = (x − r)q(x), où q est un polynôme de
degré n − 1. On définit aussi la multiplicité de r comme étant le plus grand entier k tel que p soit divisible par

19
(x − r)k . Si k = 1 (resp. k > 1), on dit que r est racine simple (resp. racine multiple). Si k = 2, on dit que r
est racine double.
Définition (multiplicité d’une valeur propre)

Si λ est une valeur propre de A, on appelle multiplicité de λ sa multiplicité en tant que racine du polynôme
caractéristique pA .

Proposition (propriétés des valeurs et vecteurs propres)

Soit A une matrice carrée d’ordre n et λ1 , λ2 , . . . , λp des valeurs propres de A distinctes deux à deux. Alors:
1. Si V (λ1 ) et V (λ2 ) sont deux sous-espaces propres associés à λ1 et λ2 , on a V (λ1 ) ∩ V (λ2 ) = {0}.
2. Toute famille S = {v1 , v2 , . . . , vp } de vecteurs propres non nuls, associés à λ1 , λ2 , . . . , λp est libre.
3. La dimension du sous-espace propre associé à une valeur propre est toujours inférieure ou égale à la
multiplicité de celle-ci.

Il arrive que la dimension d’un sous-espace propre soit strictement inférieure à la multiplicité de la valeur propre
associée. Si on prend la matrice  
1 1
A= ,
0 1
on voit que λ = 1 est une valeur propre de multiplicité 2. Le sous-espace propre associé, donné par
V (1) = ker(A − I) = {(x1 , x2 ); x2 = 0},
est de dimension 1.
Donnons à présent quelques propriétés qu’il est utile de connaı̂tre et dont la démonstration est une conséquence
immédiate de ce qui précède.
Proposition
Etant données deux matrices A et B d’ordre n, on a les propriétés suivantes.
1. Si A est triangulaire, ses valeurs propres sont les termes diagonaux.

2. Si λ est valeur propre de A, alors pour tout θ ∈ R, θλ est valeur propre de la matrice θA.
3. Si λ est valeur propre de A, alors λk est valeur propre de la matrice Ak .
4. Si λ est valeur propre de A, elle est aussi valeur propre de AT .

5. A est inversible si et seulement si λ = 0 n’est pas une valeur propre de A.

6. Si A est inversible et si λ est valeur propre de A, alors 1/λ est valeur propre de A−1 .

Examinons enfin le cas des matrices symétriques réelles.

Proposition (sur les valeurs et vecteurs propres des matrices symétriques)

Si A est une matrice symétrique réelle d’ordre n, alors

1. Le polynôme caractéristique de A admet toujours n racines λ1 , λ2 , . . ., λn , autrement dit, il existe n
valeurs propres (distinctes ou non).
2. Les sous-espaces propres associés aux valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
3. La dimension du sous-espace propre associé à une valeur propre est égale à la multiplicité de celle-ci.
Pn
4. La trace de la matrice est égale à la somme des valeurs propres, autrement dit, on a tr A = i=1 λi .
Qn
5. Le déterminant de la matrice est égal au produit des valeurs propres, i.e. det A = i=1 λi .
6. A est semi-définie positive si et seulement si ses n valeurs propres sont positives ou nulles.
7. A est définie positive si et seulement si ses n valeurs propres sont strictement positives.

20
 5 Optimisation
5.1 Rappels
Définition (extremum global )

Soit Ω ⊂ Rn et f : Ω → R. On dit qu’un point x b ∈ Ω et si

b est un minimum global de f sur Ω si x

∀ x ∈ Ω, x) ≤ f (x).
f (b

Lorsque le sens de l’inégalité ci-dessus est inversé, on dit que x

b est un maximum global de f sur Ω.

Définition (extremum local )

Soit Ω ⊂ Rn et f : Ω → R. On dit qu’un point x b ∈ Ω et s’il existe un

b est un minimum local de f sur Ω si x
voisinage V de x
b tel que
∀ x ∈ V ∩ Ω, f (b
x) ≤ f (x).
b est un maximum local de f sur Ω.
Lorsque le sens de l’inégalité ci-dessus est inversé, on dit que x

On observera qu’un minimum (resp. maximum) global est aussi minimum (resp. maximum) local (prendre
comme voisinage du point l’ensemble Rn tout entier).
On rappelle la définition d’un ensemble convexe et d’une fonction convexe (resp. concave).
Définition (Convexité)

• On dit qu’un ensemble Ω ⊂ Rn est convexe si

∀x, y ∈ Ω, ∀t ∈ [0, 1] tx + (1 − t)y ∈ Ω

ou d’une manière équivalente

∀x, y ∈ Ω, [x, y] ⊂ Ω.

• Soient Ω ⊂ Rn un ensemble convexe et f : Ω → R une fonction.

. On dit que f est convexe sur Ω si

∀x, y ∈ Ω, ∀t ∈ [0, 1], f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y).

Si pour x 6= y, t 6= 0 et t 6= 1, l’inégalité ci-dessus est stricte, on dit que f est strictement convexe.
. On dit que f est concave (resp. strictement concave) sur Ω si −f est convexe (resp. strictement
convexe) sur Ω.

Dans le cas où la fonction est de classe C 2 , on obtient la caractérisation suivante de la convexité.
Proposition (Caractérisation des fonctions convexes)

Soit Ω ⊂ Rn un ensemble convexe ouvert et f : Ω → R une fonction de classe C 2 . On a :

. f est convexe sur Ω si et seulement si pour tout x ∈ Ω, la matrice ∇2 f (x) est semi-définie positive.
. Si pour tout x ∈ Ω, la matrice ∇2 f (x) est définie positive, alors f est strictement convexe.

Proposition (Sur les minima des fonctions convexes)

Soit Ω ⊂ Rn un ensemble convexe et f : Ω → R une fonction convexe sur Ω. Alors tout minimum local de
f sur Ω est un minimum global sur Ω.

Proposition (Sur les maxima des fonctions concaves)

Soit Ω ⊂ Rn un ensemble convexe et f : Ω → R une fonction concave sur Ω. Alors tout maximum local de
f sur Ω est un maximum global sur Ω.

21
5.2 Extrema sans contrainte
Proposition (condition nécessaire d’optimalité du premier ordre)

Soit Ω ⊂ Rn un ensemble ouvert et f : Ω → R. Si un point x

b est minimum (resp. maximum) local de f sur
Ω et si f admet en x
b des dérivées partielles, alors

∇f (b
x) = 0.

Il convient d’observer que dans la proposition précédente la propriété d’ouverture de l’ensemble Ω est une
hypothèse essentielle. Par exemple, les deux dérivées partielles de la fonction f (x1 , x2 ) := x1 + x2 ne s’annulent
en aucun point de l’ensemble Ω := {x; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}, alors que la fonction f est pourtant bien minimale à
l’origine.
Définition (point critique d’une fonction)

On appelle point critique d’une fonction f un point x

b qui vérifie la condition nécessaire d’optimalité

∇f (b
x) = 0.

La recherche des points critiques d’une fonction de n variables se fait en résolvant l’équation vectorielle

∇f (x) = 0,

équivalente au système de n équations (en général non linéaires) à n inconnues

∂f
(x1 , x2 , . . . , xn ) = 0, i = 1, 2, . . . , n.
∂xi
On peut reformuler la proposition précédente comme suit :

x
b minimum (resp. maximum) local de f =⇒ x
b point critique de f.

Lorsque la fonction f est convexe (resp. concave), l’implication réciproque est vraie de sorte que l’on obtient
une équivalence. De plus, les minima (resp. maxima) locaux sont alors globaux.
Proposition (condition nécessaire et suffisante d’optimalité dans le cas convexe)

Soit Ω ⊂ Rn un ouvert convexe et f : Ω → R une fonction convexe et différentiable sur Ω. Alors un point x
b
est minimum global de f sur Ω si et seulement s’il est point critique de f .

On a évidemment un résultat analogue pour les fonctions concaves.

Proposition (condition nécessaire et suffisante d’optimalité dans le cas concave)

Soit Ω ⊂ Rn un ouvert convexe et f : Ω → R une fonction concave et différentiable sur Ω. Alors un point x
b
est maximum global de f sur Ω si et seulement s’il est point critique de f .

Théorème (condition nécessaire d’optimalité du second ordre)

Soit Ω ⊂ Rn un ouvert et f : Ω → R une fonction de classe C 2 sur Ω. Si un point x b est minimum local (resp.
maximum local) de f sur Ω, alors la matrice ∇2 f (b
x) est semi-définie positive (resp. semi-définie négative).

Il en résulte que, si en un point critique xb la matrice hessienne d’une fonction f n’est ni semi-définie positive,
ni semi-définie négative, alors le point x
b ne peut être ni minimum local, ni maximum local.
Théorème (condition suffisante d’optimalité du second ordre)

Soit Ω ⊂ Rn un ensemble ouvert et f : Ω → R une fonction de classe C 2 sur Ω. Si un point x b est point
critique de f et si la matrice hessienne ∇2 f (b
x) est définie positive (resp. définie négative), alors x
b est
minimum local (resp. maximum local) de f sur Ω.

Il faut souligner que si la matrice hessienne ∇2 f (b

x) est seulement semi-définie positive (resp. semi-définie
négative) en un point critique x b, on ne peut pas conclure que ce point est minimum local (resp. maximum
local). Par exemple, la matrice hessienne de la fonction f (x1 , x2 ) = (x1 − x2 )2 − x31 x2 est semi-définie positive
au point x b = (0, 0), qui n’est pas un minimum local de f sur R2 .

22
Résumé (Nature des points critiques)

b ∈ Ω un point critique de f .
Soit Ω un ensemble ouvert convexe et soit x
• Si f est convexe sur Ω, alors x
b minimum global de f sur Ω.

• Si f est concave sur Ω, alors x

b maximum global de f sur Ω.
• Si f est de classe C 2 sur Ω, alors
1. ∇2 f (b
x) ni semi-définie positive ni semi-définie négative =⇒ x
b ni minimum local ni maximum local de f .
2. ∇2 f (b
x) définie positive =⇒ x
b minimum local de f .
3. ∇2 f (b
x) définie négative =⇒ x
b maximum local de f .

5.3 Extrema sous contrainte

On entend par problème d’optimisation sous contrainte un problème de la forme
 
min f (x) max f (x)
ou
x∈Ω x∈Ω

où f est une fonction de n variables et Ω ⊂ Rn est un sous-ensemble de Rn . Suivant le contexte, la fonction f
s’appelle l’objectif, le critère, la fonction coût, etc, et l’ensemble Ω s’appelle le domaine des contraintes. On dit
d’un point vérifiant les contraintes, i.e. d’un point x ∈ Ω, que c’est une solution réalisable.
Dans un problème de minimisation (resp. de maximisation), on entend par solution optimale un point x
b qui est
minimum global (resp. maximum global) de f sur le domaine des contraintes.
Un premier résultat important concerne la question de l’existence d’un minimum ou d’un maximum global sous
contrainte.
Théorème (des extrema atteints)

Soit Ω ⊂ Rn un ensemble fermé et borné (on dit encore un ensemble compact) et f : Ω → R une fonction
continue sur Ω. Alors f admet au moins un minimum global et un maximum global sur Ω.

En général, la (les) solution(s) optimale(s) d’un problème d’optimisation sous contrainte sont à rechercher sur
le bord du domaine des contraintes. C’est pourquoi l’hypothèse de fermeture du domaine des contraintes est
essentielle. En une solution intérieure, le gradient est nul et la contrainte ne joue pas.
Considérons maintenant la question de l’unicité d’un minimum ou d’un maximum.
Proposition (Unicité d’un extremum)

On suppose que l’ensemble Ω des contraintes est convexe. Si la fonction f à minimiser (resp. maximiser)
est strictement convexe (resp. strictement concave), le problème d’optimisation admet au plus une solution
optimale.

Examinons à présent une classe particulière de problèmes d’optimisation.

Définition (Problème d’optimisation convexe sous une contrainte affine)

Un problème d’optimisation convexe sous une contrainte affine est un problème de la forme

min f (x)
g(x) = 0

où f : Rn → R est une fonction convexe et g : Rn → R est une fonction affine, c’est-à-dire, de la forme

g(x) = ha, xi − b ∀x ∈ Rn .

Théorème (conditions nécessaires et suffisantes d’optimalité)

Soit g : Rn → R une fonction affine, Ω := {x ∈ Rn ; g(x) = 0} et f une fonction convexe différentiable sur
Ω. Alors un point x
b est solution optimale du problème de minimisation de f sur Ω si et seulement s’il existe

23
 un réel λ
b tel que
∇f (b b ∇g(b
x) + λ x) = 0, g(b
x) = 0.

b est appelé multiplicateur de Lagrange. On observera que, g étant de la forme g(x) = ha, xi − b, son
Le réel λ
gradient est directement donné par ∇g(x) = a, si bien que la condition d’optimalité s’écrit aussi

∇f (b
x) + λ
b a = 0.

La méthode de Lagrange, basée sur ce résultat, consiste à chercher simultanément une solution optimale et un
multiplicateur associé. Pour cela on introduit la définition suivante.
Définition (le lagrangien)

Soit f et g deux fonctions de Rn dans R. On appelle lagrangien associé au problème d’optimisation


min f (x)
g(x) = 0

la fonction L : Rn × R → R définie par

L(x, λ) = f (x) + λ g(x) ∀x ∈ Rn et λ ∈ R.

Observons que les conditions ∇f (x) + λ∇g(x) = 0 et g(x) = 0 s’écrivent respectivement

∇x L(x, λ) = 0 et ∇λ L(x, λ) = 0,

soit de façon équivalente ∇L(x, λ) = 0. Il en résulte qu’un point x

b est solution optimale si et seulement s’il
existe un λ
b tel que
∇L(b x, λ)
b = 0.

De cette condition nécessaire et suffisante, on déduit que pour optimiser sous une contrainte affine, on est amené
à résoudre un système de n + 1 équations (mise à zéro des dérivées partielles du lagrangien) à n + 1 inconnues
(les xi et le multiplicateur λ).

On a un résultat similaire pour un problème de maximisation d’une fonction concave sous contrainte affine.
Théorème (conditions nécessaires et suffisantes d’optimalité)

Soit g : Rn → R une fonction affine, Ω := {x ∈ Rn ; g(x) = 0}, f une fonction concave, différentiable
sur Ω et L le lagrangien L(x, λ) := f (x) + λ g(x). Alors un point x b est solution optimale du problème de
maximisation de f sur Ω si et seulement s’il existe un réel λ
b tel que

∇L(b
x, λ)
b = 0.

Etude d’un exemple

On considère le problème d’optimisation

min f (x1 , x2 , x3 ) := x21 + x22 + x23 + 2x1 x3


(P )
x1 − 2x2 + x3 = 1.

• Objectif convexe: Le gradient de f en (x1 , x2 , x3 ) est

∇f (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 + 2x3 , 2x2 , 2x1 + 2x3 )

et sa matrice hessienne est  

2 0 2
∇2 f (x1 , x2 , x3 ) = 0 2 0 .
2 0 2
Les valeurs propres de cette matrice sont 0, 1, 2. La matrice est donc semi-définie positive pour tout (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 ,
la fonction f est alors convexe.
• Contrainte affine: Dans le problème (P ), la fonction g est donnée par g(x1 , x2 , x3 ) = x1 − 2x2 + x3 − 1. Cette
fonction est affine car elle s’écrit sous la forme ha, xi + b, où a = (1, −2, 1) et b = −1.

24
• Lagrangien associé au problème (P ): Il est défini de R3 × R à valeurs dans R par

L(x, λ) = f (x) + λ g(x) = x21 + x22 + x23 + 2x1 x3 + λ(x1 − 2x2 + x3 − 1) ∀x ∈ R3 , ∀λ ∈ R.

• Conditions d’optimalité :
∇x L(x, λ) = (0, 0, 0) et ∇λ L(x, λ) = 0
c’est-à-dire

(2x1 + 2x3 + λ, 2x2 − 2λ, 2x1 + 2x3 + λ) = (0, 0, 0) et x1 − 2x2 + x3 − 1 = 0.

On obtient ainsi le système suivant 


 2x1 + 2x3 + λ =0
2x2 − 2λ =0

(S)

 2x 1 + 2x3 + λ =0
x1 − 2x2 + x3 = 1.


• Ensemble des solutions optimales : Après résolution du système (S), on trouve x2 = λ = − 52 , x1 = 1

5 − x3 et
x3 arbitraire. Ainsi les solutions (x1 , x2 , x3 ) du problème (P ) vérifient
   
1 2 1 2
(x1 , x2 , x3 ) = − x3 , − , x3 = , − , 0 + x3 (−1, 0, 1).
5 5 5 5

L’ensemble des solutions de (P ) est égal à

 
1 2
, − , 0 + Vect{(−1, 0, 1)}.
5 5

25