Table des matières

I L’espace vectoriel Kn 1
I. 1 Définition de l’espace vectoriel Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I. 2 Combinaisons linéaires finies de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

II Sous espaces vectoriels de Kn 3

II. 1 Sous espaces vectoriels de Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II. 2 Exemples usuels de sous espaces vectoriels de Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II. 3 Vect (u1 , u2 , . . . , uk ) un sous espace vectoriel de Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

III Familles génératrices, libres et bases 6

III. 1Familles génératrices d’un sev de Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
III. 2Familles libres d’un sev de Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
III. 3Bases d’un sev de Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

IV Espaces vectoriels de dimension finie 9

IV. 1Dimension d’un sev de Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
IV. 2Dimension et familles libres, génératrices, bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
IV. 3Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Chapitre : Espace vectoriel

K désignera dans ce chapitre R ou C et n un entier strictement positif.

I L’espace vectoriel Kn

I. 1 Définition de l’espace vectoriel Kn

Définition 1. Définitions :
• L’ensemble Kn désigne l’ensemble des n-uplets d’éléments de K

Kn = {(x1 , . . . , xn ) | xi ∈ K}

• Les éléments de Kn sont appelés des vecteurs.

• Les éléments de K sont appelés des scalaires
• Si ~u = (x1 , . . . , xn ) ∈ Kn et si k ∈ J1, nK alors on dit que xk est la k-ième coordonnées de
u.

Exemples. • R2 = {(x, y)|x ∈ R, y ∈ R}

• C3 = {(x, y, z)|x ∈ R, y ∈ R, z ∈ C}
• Exemples de vecteurs de R3 et C5 : (1, 2, 3), (i, 0, −i, 5 + i, eiπ/5 )

Remarques. • Égalité entre vecteurs : ~u(x1 , x2 , . . . , xn ) = ~v (y1 , y2 , . . . , yn ) ⇐⇒ ∀i ∈ J1, nK, xi = yi

• On omet le plus souvent d’écrire les flèches sur les vecteurs et ainsi, on écrit le vecteur u et pas ~u.

1
 Définition 2. Définition de deux opérations :
• L’addition notée + :

∀~u = (u1 , . . . , un ) ∈ Kn , ∀~v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Kn : ~u +~v = (u1 +v1 , u2 +v2 , . . . , un +vn )

On l’appelle une loi de composition interne car u ∈ Kn et v ∈ Kn .

• La multiplication par un scalaire notée . :

∀~u = (u1 , . . . , un ) ∈ Kn , ∀λ ∈ K : λ.~u = (λu1 , . . . , λun )

C’est une loi de composition externe car λ est ’extérieur’ à Kn

1. Propriétés de l’addition +. Cette opération :

• est commutative : ∀(u, v) ∈ (Kn )2 , u + v = v + u

• est associative : ∀(u, v, w) ∈ (Kn )3 , u + (v + w) = (u + v) + w
• admet un élément neutre : ∀u ∈ Kn , 0Kn + u = u
• admet un symétrique : ∀u ∈ Kn , u + (−u) = 0
2. Propriétés de la multiplication par un scalaire. Cette opération :

• est distributive par rapport à l’addition dans Kn : ∀(u, v) ∈ (Kn )2 , ∀λ ∈ K : λ · (u + v) = λu + λv

• est distributive par rapport à l’addition dans K : ∀u ∈ Kn , ∀(λ, β) ∈ K2 : (λ + β) · u = λu + βu
• est associative : ∀u ∈ Kn , ∀(λ, β) ∈ K2 , λ · (β · u) = (λβ) · u
• admet un élément neutre : ∀u ∈ Kn , 1 · u = u

Définition 3. Structure d’espace vectoriel :

• Un espace muni de deux lois “ +” et “ ·” vérifiant les propriétés ci-dessus est appelé
espace vectoriel.
• L’ensemble Kn muni de l’addition “ +” et de la multiplication par un scalaire “ ·”, noté .
est un espace vectoriel.

Remarque. On peut généraliser la notion d’espace vectoriel à pleins d’autres ensembles autres que Kn (voir
BCPST2). On appelle en effet espace vectoriel tout ensemble dans lequel on peut définir deux opérations +
et · qui vérifient les propriétés ci-dessus.

Exemples. • C 0 (R), C 1 (R), C ∞ (R)

• Rn [X], R[X]
• Mn,p (R), Mn (R)
• Les solutions de y 00 + 3y 0 + y = 0

I. 2 Combinaisons linéaires finies de vecteurs

Définition 4. Pour tout k ∈ N? , si ~u1 , ~u2 , . . . , ~uk sont tous des vecteurs de Kn , on appelle :
(u1 , . . . , uk ) famille de vecteurs.

Exemples. • La famille ((1, −3), (2, 8), (−4, −3)) est une famille de 3 vecteurs de R2
• La famille ((6, −3, 8), (7, −1, −2)) est une famille de 2 vecteurs de R3

2
 Définition 5. Soient k ∈ N? et (~u1 , ~u2 , . . . , ~uk ) une famille de k vecteurs de Kn . On appelle
combinaison linéaire de la famille (~u1 , ~u2 , . . . , ~uk ) tout vecteur ~v ∈ Kn qui s’écrit sous la forme
k
X
~v = λi ui
i=1

avec (λ1 , . . . λk ) une famille de k éléments de K

Exemples. Soient u = (3, −1, 2), v = (0, 4, −5), w = (3, 3, −3) trois vecteurs de R3 .

• u + 2v + 0w = u + 2v = (3, 7, −8)
• u − v + w = (6, −2, 4)
Exercice 6. 1. Montrer que le vecteur (4, 11, −1) est bien une combinaison linéaire de la famille ((3, 4, 0), (−2, 3, −1)).
2. Montrer que le vecteur (1, −3) est bien une combinaison linéaire de la famille ((2, 1), (1, 1), (−2, 1)).
3. Montrer que le vecteur ((5 + 13i), (−16i + 8)) dans C2 est une combinaison linéaire des vecteurs (1 + i, −2i) et (4i, 3 + 4i).
4. Montrer que le vecteur ~v (−9, 2, −2) est bien une combinaison linéaire de la famille de vecteurs (~
u1 , ~
u2 , ~ u1 (1, 4, −2),
u3 ) avec ~
u2 (0, −1, 1) et ~
~ u3 (2, 1, 0).

II Sous espaces vectoriels de Kn

II. 1 Sous espaces vectoriels de Kn

Définition 7. Définition d’un sous-espace vectoriel de Kn :

1. Soit F un sous-ensemble de Kn . On dit que F est un sous-espace vectoriel de Kn si
• F est non vide.

• F est stable par addition, c’est-à-dire : u, v ∈ F =⇒ u + v ∈ F

• F est stable par multiplication par un scalaire, c’est-à-dire : u ∈ F, λ ∈ K =⇒ λu ∈ F
2. Il est équivalent de vérifier que, si F est un sous-ensemble de Kn , on a :

• 0∈F
• u, v ∈ F, λ ∈ K =⇒ u + λv ∈ F .

Exemples. • Sev de R2 : {(x, y) ∈ R2 | x + 2y = 0}

• Sev de R3 : {(x, y, z) ∈ R3 | x + 2y = −z}
• Sev de K : K ou {0}
n
X
• Sev de Mn (R) : {M ∈ Mn (R) | aii = 0}
i=1

Théorème 8. Propriétés des sev :

• Un sev est un EV.

• Si F est un sev de Kn , on a toujours 0Kn ∈ F .

3
4
! On ne vous demandera jamais de montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel directement par la
définition. On montrera qu’un ensemble est un espace vectoriel comme sous espace vectoriel d’un espace
vectoriel connu.

Méthode pour montrer que F est un sous espace vectoriel de Kn

• On montre que F ⊂ Kn .
• On montre que 0Kn ∈ F et ainsi F 6= ∅
• Soit (u, v) ∈ F 2 et soit λ ∈ K. On montre que λu + v ∈ F .
On peut alors conclure en disant que F est un sous espace vectoriel de Kn .

1. Soit F = (x, y) ∈ R2 , x + 2y = 0 . Montrer que F est un sev de R2 .


Exercice 9.
2. Soit G = (x, y, z) ∈ R3 , 2x − 3y + 4z = 0 et 5x − y − z = 0 . Montrer que G est un ev.


3. On admet que l’ensemble C(R) des fonctions continues sur R est un espace vectoriel. Montrer que F = {f ∈ C(R), f (0) = 0}
est un sev de C(R).

Méthode pour montrer que F N’est PAS un sous espace vectoriel de Kn

• Méthode 1 : On montre que 0Kn n’est pas dans F
(car un sous espace vectoriel contient forcément 0Kn )
• Méthode 2 : On donne un contre-exemple :
On trouve u ∈ F , v ∈ F et λ ∈ K tel que λu + v ∈
/ F.

1. Soit F = (x, y, z) ∈ R3 , 2x + 3y − 6z = 1 . Étudier si F est un sev de R3 .


Exercice 10.
2. Soit G = (x, y) ∈ R2 , x2 + y = 0 . Étudier si G est un sev de R2 .


II. 2 Exemples usuels de sous espaces vectoriels de Kn

Proposition 11. Exemples usuels de sev de Kn :

• {0}, Kn sont des sev de Kn .
• Si F et G sont des sev de Kn , alors F ∩ G est un sev.

Démonstration. Comme F et G sont des sev de Kn on a F ⊂ Kn et G ⊂ Kn , donc F ∩ G ⊂ Kn . Donc F ∩ G

est un sous-ensemble de Kn
On a aussi F 6= ∅ et G 6= ∅, donc F ∩ G 6= ∅. Donc F ∩ G est non vide.
Enfin si u, v ∈ F ∩ G, et λ ∈ K on a u ∈ F et v ∈ F donc u + λv ∈ F car F sev et similairement : u ∈ G
et v ∈ G donc u + λv ∈ G car G sev. Ainsi u + λv ∈ F ∩ G. Donc F ∩ G est stable par combinaison linéaire.

Ainsi F ∩ G est un sev.

4
Remarque. ! En revanche, F ∪ G n’est PAS un sev !
Contre-exemple : F = {(x, y) ∈ R2 | x + y = 0} et G = {(x, y) ∈ R2 | x + 2y = 0} alors (1, −1) ∈ F ,
(2, −1) ∈ G mais (3, −2) ∈
/ F ∪ G.

II. 3 Vect (u1 , u2 , . . . , uk ) un sous espace vectoriel de Kn

Définition 12. Soit k ∈ N? et (~u1 , ~u2 , . . . , ~uk ) une famille de vecteurs de Kn . L’ensemble des
combinaisons linéaires des vecteurs ~u1 , ~u2 , . . . , ~uk est notée
k
X
Vect(~u1 , ~u2 , . . . , ~uk ) = {w = λi ui ∈ Kn | avec λ1 , . . . λn ∈ K}
i=0

4
Exemples. • Soit u = (1, 2, 3) ∈ R3 . On a : Vect(u) = {λu | λ ∈ R} = {(x, 2x, 3x)| x ∈ R}
• Soit u = (1, 2, 3) et v = (−1, 2, −1). On a : Vect(u, v) = {(a − b, 2a + 2b, 3a − b)| a, b ∈ R}
Exercice 13. Montrer que w ∈ Vect(u, v) avec u = (−4, 4, 3) v = (−3, 2, 1) et w = (−1, 6, 7).

Proposition 14. Soient k ∈ N? et (~u1 , ~u2 , . . . , ~uk ) une famille de k vecteurs de Kn .

• L’ensemble Vect(~u1 , ~u2 , . . . , ~uk ) est un sev de Kn .
• On l’appelle le sous-espace vectoriel engendré par (u1 , . . . , un ).

Méthode 2 pour montrer que F est un sous espace vectoriel de Kn :

Écrire F sous la forme Vect(~u1 , ~u2 , . . . , ~uk )

Exercice 15. Montrer que F = (x, y, z) ∈ R3 , x + 2y − z = 0 est un sev de R3 .



Différentes écritures d’un sous-espace vectoriel de Kn :

• Écriture vectorielle : F = Vect(u1 , . . . , uk ).
• Écriture paramétrique : F = {λ1 u1 + . . . + λk uk , (λ1 , . . . , λk ) ∈ Kk }.
• Écriture cartésienne : F = {(x1 , . . . , xn ) tel que système d’équations}.

Il faut savoir passer de l’une aux autres sans difficulté.

• Les écritures paramétriques et vectorielles sont pratiquement les mêmes.

• Passage de l’écriture cartésienne à l’écriture vectorielle
? on écrit le système d’équations cartésiennes et on l’échelonne ;
? on obtient l’écriture paramétrique de F ;
? on en déduit l’écriture vectorielle de F .
• Passage de l’écriture vectorielle à l’écriture cartésienne = Recherche d’équations définissant F
? u(x, y, z, t) ∈ F = Vect(e1 , e2 , e3 ) ⇔ ∃(λ1 , λ2 , λ2 ) ∈ R3 , u = λ1 e1 + λ2 e2 + λ3 e3 .
? on écrit cette égalité sous forme de système dont les inconnues sont λ1 , λ2 , λ3
? on cherche à savoir si ce système est compatible :
◦ on échelonne ce système
◦ on obtient les conditions de compatibilité sur les coordonnées de u pour que le système soit
compatible.
? cela nous donne les équations caractérisant F .

Exemple. On donne les 3 écritures pour un exemple particulier :

• Écriture cartésienne : F = (x, y, z) ∈ R3 , x + y − 3z = 0 .


• Écriture vectorielle : F = Vect((−1, 1, 0), (3, 0, 1)).

• Écriture paramétrique : F = (−λ + 3µ, λ, µ); avec (λ, µ) ∈ R2 .


1. Soit G = (x, y, z) ∈ R3 , x − y + z = 0 et 2x − y − z = 0 . Montrer que G est un sev de R3 et donner ses


Exercice 16.
écritures paramétrique et vectorielle.
2. Soient F = Vect(e1 , e2 , e3 ) avec e1 = (1, 2, −3, 4), e2 = (2, 1, −1, 0) et e3 = (0, 1, 2, 1). Montrer que F est un sev et donner
ses écritures paramétrique et cartésienne.
3. Soit F = (a − 4b, a + b, 2a − b); (a, b) ∈ R2 . Montrer que F est un ev et donner ses écritures vectorielle et cartésienne.


5
III Familles génératrices, libres et bases

III. 1 Familles génératrices d’un sev de Kn

Définition 17. Soit F un sev de Kn et ~u1 , ~u2 , . . . , ~uk une famille de vecteurs de F .

• On dit que la famille (~u1 , ~u2 , . . . , ~uk ) est génératrice de F si Vect(u1 , . . . , uk ) = F

• (~u1 , ~u2 , . . . , ~uk ) est une famille génératrice de F ⇐⇒ ∀w ∈ F, ∃(λ1 , . . . , λk ) ∈ Kk ,
k
X
w= λi ui
i=1

Exemples. • Famille génératrices de F = Vect(u) : F1 = (u), F2 = (2u), F3 = (u, 2u, 12u)

• Famille génératrices de R2 : F1 = ((1, 0), (0, 1)), F2 = ((0, 0), (1, 0), (0, 1), (28, 45)), F3 = ((1, 1), (2, 1))
• Famille génératrices de R2 [X] : F1 = (1, X, X 2 ) F2 = (2, X + 1, X 2 + 2X)

• Trouver une famille génératrice d’un sev F = Écrire F sous forme vectorielle.

• Montrer qu’une famille donnée (e1 , e2 , . . . , ek ) est bien une famille génératrice de F :
? On commence par vérifier que tous les vecteurs e1 , . . . ek sont bien dans F .
? On prend un vecteur quelconque u dans F , et on cherche s’il existe des scalaires λ1 , . . . , λk tels que
u s’écrit comme combinaison linéaire de (e1 , . . . , ek ), c’est-à-dire tels que u = λ1 e1 + · · · + λk ek .
? On écrit le système linéaire que l’on obtient, et on l’échelonne.
? S’il est compatible, u est combinaison linéaire de (e1 , . . . , ek ) et donc (e1 , . . . ek ) est une famille
génératrice.
Exercice 18. 1. Exercice de type 1 : trouver une famille génératrice.
Soient F = (x, y, z) ∈ R3 , 3x + 2y − z = 0 , G = (x, y, z, t) ∈ R4 , 3x − y + 2z + t = 0 et y + z + t = 0 et H = (x, y, z) ∈ R3 , 4x
 

Montrer que ce sont des sev et trouver une famille génératrice de ces 3 sev.
2. Exercice de type 2 : montrer qu’une famille est bien une famille génératrice.
(a) Soit F = (x, y, z) ∈ R3 , x + y + 2z = 0 , et soient u = (1, −1, 0), v = (2, 0, −1) et w = (0, 2, −1). Montrer que la


famille (u, v, w) est une famille génératrice de F .

(b) Soit G = (x, y, z, t) ∈ R4 , x + y − z − t = 0 et x − y − z + t = 0 , et soient e1 = (1, 0, 1, 0) et e2 = (0, 1, 0, 1).



Montrer que la famille (e1 , e2 ) est une famille génératrice de G.

Proposition 19. Soit F un sev de Kn . Soit (~u1 , ~u2 , . . . , ~uk ) une famille génératrice de F .
• La famille reste génératrice si on multiplie les vecteurs par des scalaires NON NULS.
• La famille reste génératrice si on ajoute un vecteur à un autre.
• Toute sur-famille d’une famille génératrice est une famille génératrice.

Exemples. Soit F = Vect(u, v) c’est-à-dire F = {au + bv | a, b ∈ K}

• Vect(−2u, 6v) = Vect(u, v)
• Vect(u, v + 3u) = Vect(u, v)
• Soit w ∈ F : Vect(u, v, w) = Vect(u, v)

6
III. 2 Familles libres d’un sev de Kn

Définition 20. Soit (~u1 , ~u2 , . . . , ~uk ) une famille de vecteurs d’un sev de Kn .
• On dit que c’est une famille libre si il n’y a pas de combinaisons linéaires non triviales
entre les vecteurs :
k
X
∀(λ1 , · · · , λk ) ∈ Kk tel que λi ui = 0 on a
i=1

(λ1 , · · · , λk ) = (0, . . . , 0)

• On dit encore que les vecteurs (~u1 , ~u2 , . . . , ~uk ) sont linéairement indépendant
• Une famille qui n’est pas libre est dite liée.

Exemples. • Famille libre de R2 : ((1, 2))

• Famille liée de R2 : ((1, 2), (2, 1)(3, 3))
• Famille libre de R : (1)

1. Méthode pour montrer qu’une famille est libre :

• Soit (λ1 , . . . , λp ) ∈ Kp tels que λ1 e1 + λ2 e2 + · · · + λp ep = 0Kn .
• On écrit le système linéaire associé à λ1 e1 + λ2 e2 + · · · + λp ep = 0Kn .
• On l’échelonne, on le résout et on montre que λ1 = λ2 = · · · = λp = 0.
2. Méthode pour montrer qu’une famille est liée et trouver les relations de liaison :
• Soit (λ1 , . . . , λp ) ∈ Kp tels que λ1 e1 + λ2 e2 + · · · + λp ep = 0Kn .
• On écrit le système associé et on l’échelonne.
• On prend alors des valeurs particulières pour les inconnues secondaires, et on calcule
des solutions particulières du système.
• En remettant dans l’égalité λ1 e1 + λ2 e2 + · · · + λp ep = 0Kn , on obtient les relations de
liaison.
Exercice 21. 1. La famille ((1, 1, 1), (1, 2, 1), (3, 1, 0)) est-elle libre ?
2. La famille (u, v, w) avec u = (1, 2, 3, 5), v = (0, 1, 3, 2) et w = (3, 2, 0, 0) est-elle libre ?
3. La famille ((1, 2), (3, 4), (5, 6)) est-elle libre ?
   
−1 2 1 1
4. On admet que M2 (R) est un espace vectoriel. On pose : A = , B = et C = I2 . La famille
0 −1 0 1
(A, B, C) est-elle libre ?

Exemples. • Famille de 1 seul vecteur u ∈ Kn :

(u) est une famille libre ⇐⇒ u 6= 0
• Famille de 2 vecteurs (u, v) :
(u, v) est une famille libre ⇐⇒ u et v ne sont pas colinéaires.
• Famille de 3 vecteurs ou plus :
4
! Le lien entre colinéarité et famille libre n’est plus vrai à partir de 3 vecteurs. Une famille peut très
bien être liée même si les 3 vecteurs sont deux à deux non colinéaires.
Exemple : ((1, 2, 3), (2, 1, 1), (3, 3, 4))

Proposition 22. Soit (e1 , . . . , ep ) une famille de vecteurs de Kn .

• La famille reste libre si on multiplie les vecteurs par des scalaires NON NULS.
• La famille reste libre si on ajoute un vecteur à un autre.
• Toute sous-famille d’une famille libre est une famille libre.

7
 Proposition 23. La famille F = (e1 , . . . , ep ) est libre si et seulement si l’écriture d’un vecteur
de V ect(F) avec des vecteurs de F est unique. c’est-à-dire si et seulement si à chaque fois que
l’on a deux combinaisons linéaires de (e1 , . . . , ep ) égales, alors leurs coefficients respectifs sont
égaux deux à deux :
Xp X p
~u = λi ei = βi ei ⇒ λi = βi
i=1 i=1

III. 3 Bases d’un sev de Kn

Définition 24. Soit F un sev de Kn et soit (e1 , . . . , ep ) une famille de vecteurs de F .

• On dit que (e1 , . . . , ep ) est une base de F si libre et génératrice

• On dit que (e1 , . . . , ep ) est une base de F si

∀u ∈ F, ∃!...

Exemples. • Base de F = Vect(u) : (u)

• Base de R2 : ((1, 1), (1, 0))
• Base de R3 [X] : ((1, 2, 0), (1, 0, 2), (0, 0, 1))
       
1 0 0 1 0 0 0 0
• Base de M2 (R) : , , ,
0 0 0 0 1 0 0 1

Proposition 25. Soit n ∈ N? .

• On définit B = (e1 , . . . , en ) famille de n vecteurs de Kn par ei = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)
où le 1 est à la i-ème coordonées.
• B est une base. On l’appelle la base canonique de Kn

Exemples. • La base canonique de R2 est ((1, 0), (0, 1))

• La base canonique de R3 est ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))

Méthodes pour trouver une base d’un sev :

1. Méthode 1 : lorsque F est sous forme cartésienne :
• On met F sous forme vectorielle et on obtient ainsi une famille génératrice de F .
• On vérifie que la famille trouvée est bien une famille libre.
• On conclut que la famille trouvée est bien une base de F .
2. Méthode 2 : lorsque F est sous forme vectorielle :
• On connaît déjà une famille génératrice.
• On étudie la liberté de la famille :
? si elle est libre, c’est une base de F .
? si elle est liée, on trouve les relations de liaison entre les différents vecteurs puis on
enlève tout vecteur qui s’écrit comme combinaison linéaire des autres.

Exercice 26. 1. Exercice type 1 : lorsque F est sous forme cartésienne :

(a) Soit G = (x, y, z) ∈ R3 , 2x − y − 3z = 0 et 3x − 2y − 4z = 0 . Montrer que G est un sev de R3 et en trouver une


base.
(b) Soit H = (x, y, z, t) ∈ R4 , x − y + z + t = 0 et 3x − 2z + t = 0 . Montrer que H est un sev de R4 et trouver une


base.
(c) Déterminer une base de F = (x, y, z) ∈ R3 , 2x + 3y − 6z = 0


8
 (d) Soit F = (x, y, z) ∈ R3 , x + 2y − z = 0 et soit u = (−2, 1, 0), v = (1, 0, 1). Montrer que F est un sev de R3 .


Montrer que (u, v) est une base du sev F .

2. Exercice type 2 : lorsque F est sous forme vectorielle :
(a) Trouver une base de F = Vect(u1 , u2 , u3 , u4 ) avec u1 = (1, 1, 1, 1), u2 = (1, 0, −1, −2), u3 = (1, 2, 3, 4) et u4 =
(1, 4, 7, 10).
(b) Trouver une base de G = Vect(u1 , u2 , u3 , u4 ) avec u1 = (−1, 1, 2), u2 = (2, 4, −1), u3 = (5, 7, −4) et u4 =
(−13, −23, 11).

Proposition 27. Soit F un sev de Kn et B = (e1 , . . . , ep ) une base de F .

• On a pour tout u ∈ Kn , il existe un unique p-uplet de scalaires (λ1 , . . . , λp ) ∈ Kp tel que

p
X
u= λi ei
k=1

• Les scalaires λ1 , . . . , λp sont appelés les coordonnées de u dans la base B

 
λ1
• La matrice colonne  ...  est appelée la matrice coordonée de u.
 

λp

Remarque. Dans Kn , il est très facile de trouver la matrice des coordonnées dans la base canonique.
 
2
• Soit le vecteur ~u(2, −3, 6). Sa matrice des coordonnées dans la base canonique de R3 est :  −3 
6
• Généralisation : pour toutx = (x n
1 , x2 , . . . , xn ) ∈ K , la matrice des coordonées de ce vecteur dans la
x1
n  .. 
base canonique de K est  . 
xp

Méthode pour trouver la matrice des coordonées du vecteur u dans la base (e1 , . . . , ep ) d’un sev F .

Chercher (λ1 , . . . , λp ) ∈ Kp tels que : u = λ1 e1 + . . . + . . . λp ep , et résoudre le système associé.

1. Soit F = (x, y, z) ∈ R3 , x = y . Montrer que ((1, 1, 0), (0, 0, 1)) est un base de F , et trouver la matrice

Exercice 28.
des coordonnées de u = (2, 2, −1) dans cette base.
2. Soit F = (x, y, z) ∈ R3 , x + y − 2z = 0 . Montrer que (u, v) avec u = (1, −1, 0) et v = (2, 0, 1) est une base de F .


Donner la matrice des coordonnées de U = (1, 3, 2) dans cette base. Faire de même avec V = (0, 4, 2).
3. On admet que (1, X, X 2 ) est une base de K. Trouver la matrice des coordonnées de P = (X − 1)(X + 2) dans cette base.

IV Espaces vectoriels de dimension finie

IV. 1 Dimension d’un sev de Kn

Théorème 29. Soit F un sev de Kn ( F 6= {0} ). Alors

• Toutes les bases de F ont le même cardinal.

• Ce nombre est appelé dimension de F .

Exemples. • dim Kn = n

9
 • dim Kn [X] = n + 1
• Par convention, dim({0}) = 0
• Si dim F = 1, on dit que F est une droite
• Si dim F = 2, on dit que F est un plan
• Si F est un sev de Kn avec dim F = n − 1, on dit que F est un hyperplan. Par exemple, les hyperplans
de R2 sont les droites et les hyperplans de R3 sont les plans.

Méthode pour calculer la dimension d’un sev :

• On trouve une base de F .
• On compte le nombre de vecteurs de la base et cela nous donne la dimension.

1. Calculer la dimension de F = (x, y, z) ∈ R3 , x + y + z = 0 .


Exercice 30.
2. Calculer la dimension de G = (x, y, z, t) ∈ R4 , x + 2y − z − t = 0, x − y + z + t = 0, 3y − 2z − 2t = 0


3. Calculer selon a la dimension de F = (x, y, z, t) ∈ R4 , 2x + y + z − t = 0, x − y + z + t = 0, x + 2y − at = 0



4. Calculer la dimension de H = Vect(u1 , u2 , u3 , u4 ) avec u1 (3, 0, 4, 1), u2 (0, 1, 2, 1), u3 (−5, 0, −2, 3) et u4 (2, 1, 2, −1).
5. Calculer la dimension de M2 (R).

Proposition 31. Soient F et G deux sev de Kn .

• Si F ⊂ G. Alors dim(F ) ≤ dim(G)

• Si on a :
? F ⊂G
? dim(F ) = dim(G)
Alors F = G.

Méthodes pour montrer une égalité entre deux sev :

1. Méthode 1 : par double inclusion.
2. Méthode 2 : Pour montrer que F = G, on montre :
• F ⊂G
• dim F = dim G.

Exercice 32. Soit F = Vect(v1 , v2 , v3 ) avec v1 = (1, 1, 0), v2 = (2, 1, 2) et v3 = (0, 1, 1). Montrer que F = R3 .

IV. 2 Dimension et familles libres, génératrices, bases

Proposition 33. Soit F un sev de Kn de dimension p.

1. Cas des familles libres :

• Toute famille libre dans F admet au plus p vecteur ⇐⇒ Toute famille ayant p + 1
éléments ou plus est liée
• Toute famille libre dans F ayant exactement p vecteur est une base.
• Toute famille libre dans F peut être agrandie en une base.
2. Cas des familles génératrices :

• Toute famille génératrice de F admet au plus p vecteur s ⇐⇒ Toute famille ayant

strictement moins de p éléments n’est pas génératrice de F
• Toute famille génératrice de F ayant exactement p vecteur est une base.
• Toute famille génératrice de F contient une base.

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 Méthode pour trouver une base de F lorsque l’on connaît la dimension de F :
Si on sait que dim F = p, il suffit de trouver :
• Cas le plus courant : Une famille libre de F avec p vecteurs et c’est alors une base.
(On n’a pas besoin dans ce cas de vérifier qu’elle est génératrice de F .)
• Cas plus rare : une famille génératrice de F avec p vecteurs et c’est alors une base.
(On n’a pas besoin dans ce cas de vérifier qu’elle est une famille libre.)

Exercice 34. 1. Montrer que la famille (u1 , u2 , u3 ) est une base de R3 avec u1 (1, 2, 1), u2 (1, 0, −1) et u3 (1, 1, 1).
2. Montrer que B = (u(1, 2, 3, 4), v(1, 1, 2, 3), w(1, 1, 1, 2), U (1, 1, 1, 1)) est une base de R4 .

Exercice 35. Répondre aux questions suivantes sans faire aucun calcul :
1. La famille (u, v) avec u = (1, 0, 0) et v = (0, 1, 1) est-elle génératrice de R3 ?
2. Soient u = (1, 2), v = (3, 4) et w = (5, 6). La famille est-elle libre ?
3. On se place dans R4 . Dire à chaque fois si la famille donnée peut être libre, génératrice de R4 , base de R4 ou aucun des
trois :
? La famille (v1 , v2 , v3 ).
? La famille (v1 , v2 , v3 , v4 ).
? La famille (v1 , v2 , v3 , v4 , v5 ).
? La famille (v1 , 2v1 , v2 ).
? La famille (v1 , 2v1 , v2 , v3 , v4 ).

IV. 3 Rang d’une famille de vecteurs

Définition 36. Soit (u1 , . . . , up ) une famille de p vecteurs de Kn .

Le rang de (u1 , . . . , up ) est la dimension de Vect(u1 , . . . , up )

Exercice 37. Trouver le rang des deux familles de vecteurs suivantes :

1. La famille (u, v, w) avec u = (1, 2, 1), v = (2, 3, 1) et w = (1, 0, −1).
2. La famille (u1 , u2 , u3 , u4 , u5 ) avec u1 = (1, 1, 1, 1), u2 = (0, −1, 0, 1) et u3 = (0, 0, −1, 1), u4 = (−1, 2, 1, 0) et u5 =
(1, −1, 1, 2).

Proposition 38. Propriétés sur le rang :

• Le rang d’une famille de p vecteurs est toujours inférieur ou égal à p.
• Une famille (u1 , . . . , up ) est libre si et seulement si rg((u1 , . . . , up )) = p

Lien avec le rang d’un système linéaire et d’une matrice

Rappels :
• On appelle rang d’un système linéaire échelonné le nombre de lignes non triviale du système (échelonné)
• On appelle rang d’un système linéaire le rang d’un système échélonné qui lui est équivalent.
• Le rang d’une matrice A ∈ Mnp (K) est égal au rang du système associé AX = 0



 x + y + z + t + w = 1






 y + t = 2
Exercice 39. Calculer le rang du système suivant : (S)

 − y + 4z − t + 6w = 10



2z + 3w = 6





Exercice 40. Calculer le rang des matrices suivantes

   
1 2 1 2 −3 −1
A= 2 3 0  et B= 1 1 −3 
1 1 −1 −3 −1 7

11
 Définition 41. Soit B une base de Kn et (u1 , . . . , up ) une famille de vecteurs de Kn .
• Pour
  j ∈ J1, pK, on note (aij )1≤i≤n les coordonnées de uj dans la base B : MB (uj ) =
tout
a1j
 a2j 
 .. .
 
 . 
anj
• La matrice de la famille (u1 , . . . , up ) dans la base B notée MB (u1 , . . . , up ) est définie par
 
a11 . . . a1p
 a21 . . . a2p 
..  .
 
 .. ..
 . . . 
an1 . . . anp

Exercice 42. 1. Écrire la matrice de la famille (u1 , u2 , u3 , u4 ) dans la base canonique de R3 avec u1 = (1, 5, 8), u2 =
(−7, 4, −10), u3 = (9, 2, −1) et u4 = (0, −1, −2).
2. Montrer que B = ((1, 0), (1, 1)) est une base de R2 . Donner la matrice dans cette base de la famille (u, v, w) avec u(1, 2),
v(0, −1) et w(4, 7).

Proposition 43. Soit B une base de Kn , (u1 , . . . , up ) une famille de vecteurs de Kn et MB (u1 , . . . , up )
la matrice de la famille (u1 , . . . , up ) dans la base B. ALors le rang de (u1 , . . . , up ) est égal au
rang de la matrice MB (u1 , . . . , up )

Méthode 1 pour trouver le rang d’une famille de vecteurs :

• Calculer la dimension de (u1 , . ~. . , up ).

Méthode 2 pour trouver le rang d’une famille de vecteurs :

• Écrire la matrice de la famille de vecteurs dans la base canonique.
• Calculer le rang de la matrice avec la méthode du pivot de Gauss.
• Le résultat trouvé est le rang de la famille de vecteurs.

Exercice 44. 1. Calculer le rang de la famille (u1 , u2 , u3 ) avec u1 = (1, 2, 3), u2 = (1, 0, 1), u3 = (−1, 2, 2).
2. Calculer le rang de la famille (u1 , u2 , u3 , u4 , u5 ) avec u1 = (1, 2, 3, 4), u2 = (2, −2, 4, −6), u3 = (1, −3, −1, 1), u4 =
(0, 1, 0, 3) et u5 = (−1, 2, 0, 0).

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