UNIVERSITE DE LA ROCHELLE - IUP GI

IUP2 – Module Acquisition et Traitement du Signal -

om
TD n°1 – Convolution et Corrélation
Eléments de CORRIGE

Exercice 1 :

c
Soit le signal échelon f(t)= E0 U(t), d’amplitude E0 .
Représenter graphiquement et calculer le produit de convolution de f(t) par lui- même (auto-

ro.
convolution).
SOLUTION :
Pas de problème particulier. Si t < 0, il n'y a pas de recouvrement. Si t > 0, il y a recouvrement
entre 0 et t.
On obtient :

f*f =
+∞

∫ 0
−∞
E U ( t
ri-p
) E 0U (t − τ ) dτ =
 E02 pour t > 0

 0 pour t < 0

f *f
a
t
bk

Exercice 2 :

On définit la fonction Rect par :

1 si t ∈ [− τ / 2, +τ / 2 ]
3a

f (t ) = Rect (t / τ ) = 
 0 sinon.
Ainsi, pour un rectangle centré sur «t=centre», de hauteur 1 et d’une largeur donnée par
«largeur», on utilisera la notation :
t − centre
.al

Rect ( )
largeur
Soit les fonctions f et g définies par :
f(t) = 3 Rect(t-1/2)+Rect((t-2)/2)
g(t) = Rect(t/2)
w

Trouver la convolution f * g.

SOLUTION :
ww
 la convolution f(t)*g(t) = g(t)*f(t) ; on a le choix de déplacer n’importe quelle fonction par
rapport à l’autre. Il est plus évident de déplacer g(t) par rapport à f(t). Le produit g(t-τ).f(τ) est

om
nul pour t<-1, donc le produit de convolution est nul sur cet intervalle.

Pour -1<t<0, le chevauchement se produit dans l’intervalle 0 à t+1. Dans cet intervalle, la
fonction g(t-τ)=1 et la fonction f(τ)=3, le produit de convolution est :
t +1

∫ 3dτ = 3[t ]
t +1
0 = 3( t + 1)

c
0

ro.
Pour 0<t<1, le chevauchement se produit aussi dans l’intervalle 0 à t+1. Dans cet intervalle, la
fonction g(t-τ)=1, mais la fonction f(τ) est définie différemment sur deux parties de
l’intervalle de chevauchement : f(τ) = 3 pour 0<τ<1 et =1 pour 1< τ <t+1.
donc le produit simple doit être évalué aussi par intervalle et le produit de convolution est par
conséquence somme de deux intégrales :
1 t +1

∫ 3dτ + ∫ 1dτ = 3 + (t + 1 − 1) = 3 + t
0 1
ri-p
Pour 1<t<2 le chevauchement se produit dans l’intervalle t-1 à t+1. Dans cet intervalle, la
fonction g(t-τ)=1, mais la fonction f(τ) est définie différemment sur deux parties de
l’intervalle de chevauchement donc le produit simple doit être évalué aussi par intervalle et le
a
produit de convolution est par conséquence somme de deux intégrales :
1 t +1

∫ 3dτ + ∫1dτ = 3(1 − (t − 1)) + (t + 1 − 1) = 3(2 − t) + t = 6 − 2t

bk

t −1 1

Pour 2<t<4, le chevauchement se produit dans l’intervalle t-1 à 3. Dans cet intervalle, les
fonctions f et g valent 1.
3a

Le produit de convolution est :

3

∫ 1dτ = 3 − (t − 1) = 4 − t
t −1
.al

Le produit est nul pour t>4, donc le produit de convolution est nul sur cet intervalle.
Enfin, le produit de convolution est :
0 pour t<-1
3(t+1) pour -1<t<0
3+t pour 0<t<1
w

6-2t pour 1<t<2

4-t pour 2<t<4
0 pour t>1
ww

d’où la représentation graphique de la convolution.

Exercice 3 :
Soit les fonctions f et g définies par :
 t pour 0 < t < 1
f (t ) = 

om
 0 ailleurs
g ( t ) = U (t )
Donner les expressions analytiques de la convolution dans les 3 régions de définition.

Le produit de convolution est nul pour la région t<0 :

c
Quand t dépasse zéro nous devons considérer la région 0<t<1:

ro.
La convolution dans cette région est :

t t
1 2 t t2
∫ f ( t − τ )U (τ ) = ∫ ( t −τ ) dτ = t[τ ] − [τ ]0 =
t
0
0 0
2 2

La dernière région à considérer est t>1 où nous avons :

La convolution est :
ri-p
t t
1 2 t t 2 ( t − 1) 2 1 1
∫ f (t − τ )U (τ ) = ∫ (t − τ )dτ = t[τ ] − [τ ]t −1 = t (τ − τ + 1) − ( − ) = t − (t − ) =
t
t −1
a
t −1 t −1
2 2 2 2 2

Remarque : ce résultat est immédiat en remarquant que l'aire du triangle = B* H/2=1* 1/2.
bk

Exercice 4 :

Soit les fonctions f et g définies par :

3a

 − e β t pour t ≤ 0
f (t ) = 
 0 pour t > 0
g (t ) = Rect (t − 1 / 2)
.al

Représenter f et g puis donner les expressions analytiques de la convolution dans les

différentes régions de définition.

SOLUTION :
w
ww

Prenons l'exponentielle pour faire le déplacement :

 c om
ro.
Il y a trois régions de définition pour la convolution. Pour t<0, l'exponentielle recouvre tout le
rectangle. L'intégration couvre 0<u<1 où le rectangle vaut 1, et où f(t-u) est égale à − e βt e − βu .

Dans cette région de définition,

1
1

f ∗g = ∫− e e
0
βt −β u  e − βu 
du = −e βt

 − β 0 β
= ri-p
eβt −β
( e − 1)

Pour 0<t<1, l'exponentielle couvre partiellement le rectangle :

a
bk
3a

L'intégrale sera donc de t à 1 pour cette région :

1
 e − βu  e βt − β e − β e βt − 1
1

f ∗g = ∫− e eβt −β u
du = −e βt
 = ( e − e − βt
) =
.al

t  − β t β β

Quant t>1, il n'y a pas de recouvrement entre f(t-u) et g(u), donc la convolution est nulle.
w
ww
 c om
ro.
Exercice 5 :

Estimation de la direction d’une source

ri-p
Soit une source que l’on peut considérer comme étant à l’infini. Il est possible, à l’aide
de deux capteurs C1 et C2 (cf. fig. 1) d’estimer la direction θ de cette source.
a
bk

L
θ
d
3a

CC12 CC12
Figure 1
figure 1
.al

Soient x 1 (t) et x2 (t), les 2 signaux reçus par les capteurs C1 et C2 .

On peut considérer que le signal reçu par le capteur C2 est identique à celui reçu par le capteur
C1 mais retardé du temps t 0 mis par l’onde pour parcourir la différence de trajet.
w

1) Trouver la relation qui permet d’exprimer t 0 en fonction de d, V et θ.

Avec : d : distance entre les 2 capteurs

ww

V : vitesse de l’onde
θ : direction de la source

SOLUTION :
L = V.t0
cos θ = L / d
 d’où
d . cosϑ
t0 =

om
V
d et V sont connus. Pour déterminer θ, il suffit de calculer t 0

2) On suppose que la source est un signal x(t) ayant la forme : x(t) = a sin (ωt + ϕ)

c
On pose : x1 (t) = x(t)
et x2 (t) = x(t-t 0 )

ro.
Calculer la fonction d’intercorrélation R12 (τ) entre les signaux x 1 (t) et x2 (t).

Solution :

R12 =
α

∫ x (t) . x
−α
1 2 (t + τ ). dt =
α

−α
ri-p
∫ x (t) . x (t − t 0 + τ ). dt

α
α

R12 = ∫ a. sin( ωt + ϕ ) . a sin( ω ( t − t 0 + τ ) + ϕ ). dt = a ∫ sin( ωt + ϕ ). sin( ωt + ω (τ − t ) + ϕ ).dt

2
0
−α −α
a
α α
a  
2
R12 =  ∫ cos(ω (τ − t 0 )).dt − ∫ cos( 2ωt + 2ϕ + ω (τ − t 0 )). dt 
bk

2  −α −α 

car sin(a).sin(b) = 0.5 .[ cos(a-b) – cos(a+b)]

α
3a

Comme ∫ cos( 2ωt + 2ϕ + ω (τ − t

−α
0 )). dt = 0

a2
R12 = . cos(ω (τ − t 0 )).[t ]α−α = α .a 2 . cos(ω (τ − t 0 ))
2
.al

On obtient donc R12 = β . cos[ω (τ − t 0 )]

Comment la fonction d’intercorrélation nous permet-elle de déterminer la valeur t 0 ?

w

Solution :

La fonction d’intercorrélation des 2 signaux est tout simplement la fonction d’autocorrélation

du signal x(t) décalée de t 0 .
ww

R12 (τ) = Rx(τ-t 0 )

On peut donc estimer t0 en calculant le maximum de la fonction R12 (τ)

Dans notre exemple :

 cos [ ω(τ - t 0 )] prend comme valeur maximale 1 lorsque τ = t 0 .

om
d . cosϑ
Lorsque t0 est connu, on peut en déduire θ en utilisant la formule t 0 =
V

c
ro.
a ri-p
bk
3a
w .al
ww