Chapitre 2 : Effort interne Résistance des Matériaux 1

Chapitre III
Effort interne

III.1 INTRODUCTION
On appelle forces extérieures ou charges les forces appliquées connues sur une structure
donnée. Suivant le cas, ces charges peuvent-être réparties avec une densité donnée de
volume (poids propre d'une structure) ou concentrées en un certain nombre de points. Dans
cette catégorie de forces extérieures figurent aussi les réactions d'appuis.
Sous l'effet de ces charges, les forces entre les particules d'un corps (élément) en équilibre
varient. En Résistance des Matériaux, on appelle souvent cette variation des forces efforts
internes (ou effort de cohésion).
Entre des particules avoisinantes de n’importe quel corps (cristaux, molécules et atomes)
existent toujours des forces d’interaction ou force intérieures qui tendent à maintenir le
corps comme un tout entier en s’opposant à tout ce qui est susceptible de modifier la
disposition intérieure des particules, c’est-à-dire de déformer le corps.

III.2 ELEMENTS DE REDUCTION EN G DU TORSEUR DES EFFORTS DE COHESION

Pour déterminer les forces intérieures qui apparaissent dans un corps soumis à une
sollicitation, on se sert, en résistance des matériaux, de la méthode des sections. Cette
méthode consiste en ceci qui, à l’aide d’un certain plan, on coupe mentalement le corps
sollicité (Figure 1) en deux parties A et B.

Fig. III.1 Poutre (E) sollicité

Pour que chacune de ces parties se trouve en équilibre sous l’action des charges extérieures
qui lui sont appliquées, il faut remplacer l’action exercée par la partie enlevée par
découpage par système de forces d’interaction entre les parties du corps A et B. Les forces

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intérieures qui agissent dans la section du côté de la partie A seront, en accord avec la
troisième loi de Newton, égales en valeur et de direction opposée aux forces intérieures
agissant dans la section du côté de la partie B (Figure 2).

Fig. III.2 Equilibre du tronçon A

Tout comme n'importe quel système de forces, les efforts intérieurs répartis sur toute la
section peuvent être rapportés à un point (par exemple le centre de gravité de la section), et
de ce fait on distingue le vecteur force RG (N, Ty, Tz) et le vecteur moment MG (Mx, My, Mz)
résultant des forces intérieures dans la section. Il convient d'adopter les dénominations
suivantes pour les forces et moments agissant dans une section.

III.2.1 Effort Normal

La composante N de la résultante RG représente la somme des projections de toutes les
forces intérieures agissant suivant la normale de la section (ou suivant l'axe longitudinal de
l'élément). L'effort normal provoque une déformation longitudinale de l'élément. N est
considéré positif s'il s'agit d'une traction et négatif dans le cas contraire.

III.2.2 Efforts tranchants

Les forces transversales Tz, et Ty sont les sommes des projections de toutes les forces
intérieures dans la section sur les axes centraux principaux de cette dernière. Ces efforts
tranchants provoquent le cisaillement des bords de la section respectivement dans la
direction des axes Z et Y. Le sens de T sur le plan est positif par convention quand il tend à
faire tourner un élément entre deux sections dans le sens des aiguilles d'une montre comme
indiqué sur la Figure 2.

III.2.3 Moments Fléchissants

Les composantes Mfy, et Mfz du vecteur moment résultant représentent les sommes des
moments de toutes les forces intérieures dans la section, par rapport aux axes d'inertie
principaux de cette dernière Y et Z respectivement.

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III.2.4 Moment de torsion

Le moment de torsion Mx (ou Mt) est la somme des moments de toutes les forces intérieures
dans la section par rapport à l'axe de la barre X. Le moment de torsion est positif lorsqu'il
tend à tourner la section dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens
trigonométrique) en regardant la section du côté de la normale extérieure (Figure 2).
Pour calculer les efforts et moments dans n'importe quelle section, on coupe à l'endroit
voulu l'élément AB en deux parties. Les valeurs numériques des efforts N, T, et M sont égaux
aux sommes algébriques des projections et des moments des forces extérieures agissant sur
une des parties (gauche ou droite) de l'élément sectionné, généralement sur celle où les
projections et moments se calculent plus facilement.

⃗ ⃗ ⃗
 Par conséquent: |
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
Notons que : ⃗
⃗⃗
Par conséquent:
⃗
|
⃗⃗ ⃗⃗

N, Ty, Tz, Mt, Mfy et Mfz, sont les composantes algébriques de ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ dans (R). Ce sont des
fonctions de l'abscisse X du centre de surface G de (S).

III.3 CONVENTION DE SIGNE

Nous considérons les sollicitations positives somme illustré sur la figure ci-dessous.

III.4. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE (PFS)

III.4.1 Etude de l’équilibre du système (réaction)
Soit un solide (E) soumis à un système de forces extérieures modélisé parle torseur { ext}.

Soit {R} le référentiel associé à (E); (E) est en équilibre si et seulement si:

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{ ext}={⃗ }
L’égalité de deux torseurs entraînait l’égalité de leurs éléments de réduction. Soit O le point
choisi:
⃗ ⃗
{ } {⃗ } { } { } { }
⃗⃗ ⃗

Les équations (1) et (2) sont deux équations vectorielles qui donnent:
- 6 équations scalaires en l’espace ;
- 3 équations scalaires en plan.

III.4.2 Etude de l’équilibre du tronçon (effort de cohésion)

Le tronçon (A) de la poutre (E) est en équilibre sous l’action de deux torseurs d’action
mécanique (Figure 2).
Le torseur des actions mécaniques du milieu extérieur dont on donne les éléments de
réduction en G :

{ } { }

avec

⃗
{ } { }
⃗⃗

Appliquons à (tronçon A) le principe fondamental de la statique.

{ } { } {⃗ }

Les équations d’équilibre du tronçon (A) s’écrivent en G :

⃗
{ } { } {⃗ }
⃗⃗ ⃗⃗

Les éléments de réduction en G du torseur de cohésion peuvent s’écrire de deux façons :

a) cas le tronçon à droite de la coupe :

⃗
{ } { }
⃗⃗ ⃗⃗

b) cas le tronçon à gauche de la coupe :

⃗
{ } { }
⃗⃗ ⃗⃗

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III.5 DIAGRAMMES DES EFFORTS ET DES MOMENTS

En général, les efforts et moments agissant dans différentes sections varient le long de la
poutre. Entre autres les valeurs maximales et minimales de ces efforts et moments sont
d'une grande importance pour la sécurité de la poutre, on s'intéresse donc à tracer des
courbes qui montrent comment changent les efforts et les moments d'une section à une
autre, on appelle ces courbes les diagrammes des efforts et des moments.
On se limite dans cette section à l'étude des diagrammes des efforts et des moments dans
les poutres à deux dimensions (plan XOY), ce qui réduit le nombre des efforts et des
moments à trois, à savoir un effort normal N, un effort tranchant Ty, et un moment
fléchissant Mz.
III.5.1 Les zones des efforts internes dans une poutre
Les variations d'un effort ou moment dans une zone (ou tronçon) d'une poutre est
caractérisé par une même loi mathématique. En pratique l'extrémité d'une zone est imposée
par l'extrémité de la poutre (extrémité libre appuis de rive ou intermédiaire), changement
brutal de la charge, ou le changement brutal de la direction de l'axe de la poutre (Fig. 3)

a)
Section-III

Section-II
Section-I

O A z x

⃗⃗
Section-II

𝑷
Section-I

b)

O A B

c) Section-I Section-II

A L/3 B

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III.5.2 Application : exemple (c):

y
q

A B z x
L/3
L

Equivalence de la poutre :
RBy
qL/3
A RBx
L/6 B
MB
L

 Détermination des réactions: Principe Fondamental de la Statique (PFS)

∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∑ ⃗

― Projection suivant l’axe de :

― Projection suivant l’axe de :

― Moment au point A :

∑ ( )

 Expressions des efforts internes (effort de cohésion) :

― Tronçon de la section-I :

q
A G
x

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― Torseur de cohésion :

{ } { }
⃗⃗

⃗
{ } { }
⃗⃗ ⃗⃗

⃗ [⃗ ] | |

⃗⃗ [⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ] [| | ]

On en déduit les composantes algébriques des éléments de réduction en G des efforts de

cohésion.

{ } { }

― Tronçon de la section-II:

A P G B
L/3
x

⃗ [ ] [| ] |

( )
⃗⃗ [⃗⃗⃗⃗⃗ ] [| | ]

[| ] |
( ) ( )

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On en déduit les composantes algébriques des éléments de réduction en G des efforts de

cohésion.

{ }
( )
{ }

 Diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissant :

La figure ci-dessous donne les diagrammes des composantes algébriques N, Ty, Tz, Mt, Mfy et
Mfz en fonction de l’abscisse x de G.

⃗𝑥
𝑁 ⃗⃗ 𝑡
𝑀
A B A B
X
⃗𝑦
𝑇 𝑞𝐿 ⃗⃗ 𝑓𝑦
𝑀

⃗⃗ 𝑓𝑧 Y
𝑀
⃗𝑧
𝑇

𝑞𝐿
Z

𝑞𝐿

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