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Cours 2
Cours 2
Cours 2
Remarque. R et C sont des espaces métriques, munis de la distance d(x, y) = |x − y|. Tout ce qui suit
s’applique donc également au cas de R ou C.
Dans toute la suite on suppose que (E, d) est un espace métrique.
Définition. 1. Une partie U de E est un ouvert de E si pour tout x ∈ U il existe ε > 0 tel que
B(x, ε) ⊂ U .
2. Une partie F de E est un fermé de E si et seulement si son complémentaire F c dans E est ouvert.
Proposition. Soit E un espace métrique et F une partie de E. Alors F est fermé si et seulement si pour
toute suite (xn )n d’éléments de F qui converge vers un élément x ∈ E, alors x ∈ F .
Remarque. 1. On omet souvent dans la pratique de préciser l’espace relatif la notion de fermé ou
d’ouvert (par exemple on dira ”U est un ouvert” au lieu de ”U est un ouvert de R”).
2. Dans R, les intervalles ouverts sont des ouverts et les intervalles fermés sont des fermés. Plus
généralement, dans tout espace métrique E, toute boule ouverte est une partie ouverte et toute
boule fermée est une partie fermée.
1
S
4. Si I est fini alors Fi est un fermé.
i∈I
T S
Remarque. Par contre si I n’est pas fini i∈I Ui n’est pas nécessairement ouverte et i∈I Fi n’est pas
nécessairement fermée comme en témoignent les deux exemples suivants :
\ i 1 1h [h 1i
− , = {0} non ouvert, 0, 1 − = [0, 1[ non fermé.
n n n
n>0 n>0
∀ε > 0, B(x, ε) ∩ P 6= ∅.
1.4 Compacts
Définition. Soit K une partie d’un espace métrique E. On dit que K est compact si il vérifie la propriété :
Propriété de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement de K par des ouverts on peut extraire un sous-
recouvrement fini. S
Ceci se traduit de la manire suivante : si (Ui )i∈ISest une famille d’ouverts telle que K ⊂ i∈I Ui alors il
existe un sous-ensemble fini J ⊂ I tel que K ⊂ i∈J Ui .
Proposition. Soit K une partie d’un espace métrique E. K est compact si et seulement si il vérifie la
propriété suivante :
Propriété de Bolzano-Weierstrass : toute suite d’éléments de K admet une sous-suite convergente dans
K.
Proposition. Soit K une partie de R, C, Rn ou Cn . Alors K est compact si et seulement si K est une
partie fermée et bornée.
Exemple. Les segments de R sont compacts. Plus généralement, toute boule fermée de R ou C est com-
pacte.
Proposition. 1. Une union finie de compacts est compacte.
2. Une intersection de compacts est compacte.
2 Fonctions
2.1 Cas général
Soient (E, d) et (F, d0 ) deux espaces métriques.
Définition. Soit P une partie de E et f : P → F une fonction.
1. La fonction f est continue en x0 ∈ P si
2
2. La fonction f est dite continue sur P si elle est continue en tout point de P .
Proposition. Soit f : P → F une fonction. Les propositions suivantes sont équivalentes :
1. f est continue en a.
2. Pour toute suite {an }n∈N d’éléments de P ayant pour limite a, on a
lim f (an ) = f (a).
n→+∞
Proposition. Soit K un compact d’un espace métrique E. Alors toute fonction f : K → R est bornée et
atteint ses bornes.
Proposition. Soit f : E → F une fonction. Alors :
1. l’image réciproque par f d’un ouvert de F est un ouvert de E ;
2. l’image réciproque par f d’un fermé de F est un fermé de E ;
3. l’image directe par f d’un compact de E est un compact de F .
Définition. f : P → F est uniformément continue sur P si elle vérifie la propriété (UC) :
(UC) ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) > 0, ∀(x, y) ∈ P 2 , d(x, y) < δ ⇒ d0 (f (x), f (y)) < ε.
Il est important de noter que ici δ ne dépend que de ε.
Théorme (Heine). Toute fonction continue sur un compact est uniformément continue.
1
Exemple. La fonction x 7→ x2 n’est pas uniformément continue sur R, tout comme x 7→ sur ]0; 1[.
x
Définition. 1. Soit k ∈ R+ . On dit que f : P → F est k-lipschitzienne sur P si
∀(x1 , x2 ) ∈ P 2 , d0 (f (x1 ), f (x2 )) ≤ k d(x1 , x2 ).
2. On dit que f est lipschitzienne sur P s’il existe k ∈ R+ tel que f soit k-lipschitzienne sur P .
Proposition. Si f est lipschitzienne, alors f est uniformément continue.
Proposition. Théorme des valeurs intermédiaires Soient a < b ∈ R et f : [a, b] → R une fonction
continue valeurs dans R. Supposons que f (a) ≤ f (b). Alors :
∀γ ∈ [f (a); f (b)], ∃c ∈ [a, b], f (c) = γ.
3 Suites
Définition. Soit (E, d) un espace métrique et (xn )n une suite d’éléments de E.
La suite (xn )n est une suite de Cauchy si
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀p, q ≥ n0 , d(xp , xq ) ≤ ε.
Proposition. Toute suite convergente est de Cauchy.
Réciproque fondamentale : dans R et dans C, toute suite de Cauchy est convergente.
Définition. Soit (E, d) un espace métrique et (xn )n une suite d’éléments de E.
La suite (xn )n a une valeur d’adhérence x si toute boule ouverte B(x, ε) contient une infinité de
valeurs de la suite (xn ). Ceci s’écrit aussi :
∀ε > 0, ∀n0 ∈ N, ∃n ≥ n0 , d(xn , x) < ε.
Ceci est équivalent dire qu’il existe une sous-suite (xϕ(n) )n de (xn )n qui converge vers x (ϕ est ici une
injection croissante de N dans N). On dit également qu’on peut extraire une sous-suite de (xn )n (ou encore
qu’il existe une suite extraite de (xn )n ) qui converge vers x.
Proposition. 1. Une suite convergente a une unique valeur d’adhérence, qui est sa limite.
2. Dans R, C, Rn , Cn , la réciproque est vraie si la suite est bornée : une suite bornée ayant une seule
valeur d’adhérence est convergente.
Remarque. Il est utile dans la pratique de vérifier qu’une suite concrte n’est pas convergente en exhibant
deux valeurs d’adhérences.
3
4 Ordre sur R
Théorme. Soit A une partie non vide de R.
1. Si A a un majorant, alors A a un plus petit majorant, qu’on appelle borne supérieure de A.
2. Si A a un minorant, alors A a un plus grand minorant, qu’on appelle borne inférieure de A.