CHAPITRE VI

ETUDE DYNAMIQUE
CHAPITRE VI ETUDE DYNAMIQUE

I. Introduction
Toutes les structures ont un comportement dynamique lorsqu’elles sont soumises à des
forces ou des déplacements.
Le but de cette étude est de déterminer les caractéristiques dynamiques de la structure,
qui sont représentées par la fréquence ou période ou pulsation propre ainsi que par le vecteur
déplacement propre de chaque mode de vibration. Il est indispensable de connaître les
vibrations d’une structure causées par les actions éoliennes (vent), les actions sismiques, les
actions mécaniques (machines industrielles) et toute action qui peut être à l’origine d’un
mouvement de la structure hors de sa position d’équilibre.

 Effet du séisme :

L’excitation sismique provoque une accélération dynamique au niveau du sol, de ce fait

il y a création d’accélération affectant les masses de la structure liée au sol qui produisent des
forces d’inertie opposées à ces mêmes accélérations

 Modélisation :

La modélisation consiste à rechercher un modèle simplifié qui nous rapproche le plus

possible du comportement réel de la structure
La modélisation de la structure étudiée sera représentée par une console verticale
flexible rigidement encastrée à la base, où les masses sont concentrées au niveau des
planchers. Nous obtenons ainsi un modèle à 9 masses concentrées. Chaque masse présente un
degré de liberté qui est le déplacement horizontal.

m 9

m 8

m 7

m 6

m 5

m 4

m 3

m 2

m 1

Figure VI-1 : Modèle brochette à 9 degré de liberté

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CHAPITRE VI ETUDE DYNAMIQUE

II. Méthode de calcul

Pour le calcul dynamique des structures, il existe une méthode exacte et des méthodes
approximatives. L’analyse dynamique exacte des systèmes à plusieurs degrés de liberté est
difficile, car elle nécessite un calcul très laborieux, surtout si ce dernier est fait manuellement
Mais compte tenu du degré d’approximation qui caractérise les modèles de calcul de la
théorie des structures ; l’utilisation de la méthode exacte n’est pas absolument nécessaire et
consiste dans la plupart des cas une certaine complication.
Il est possible de passer outre ces complications par l’utilisation des méthodes
approximatives numériques ; qui permettent de trouver rapidement et avec une précision
satisfaisante, les caractéristiques dynamiques de vibration.

Les méthodes approximatives les plus utilisées sont :

 Méthode"VIANELLO STODOLA ".
 Méthode"HOLZER".
 Méthode"MODELE CONTINU".
Dans le cadre de notre étude nous nous attèlerons à l’utilisation de la méthode de VIANELLO
STODOLA et la méthode du MODELE CONTINU car étant les mieux adoptées à notre
structure, en raison de leur précision et leur simplicité.

II.1 Principe de la méthode de STODOLA :

La méthode de STODOLA est basée sur le calcul itératif ; elle consiste à faire une
hypothèse initiale sur l’allure du mode recherché et de l’améliorer par itérations successives
jusqu'à l’obtention d’une approximation satisfaisante du mode étudié.

II.2 Etapes de calcul :

 Détermination de la matrice M  .
 Détermination de la matrice de souplesse S  .
 Détermination de la matrice dynamique D  .
 Détermination des trois premiers modes.
 Détermination de coefficient de participation (α)

 Détermination de la matrice masse:

C’est une matrice carrée diagonale de dimensions 9×9 dont les éléments sont les
différentes masses revenant à chaque niveau de la structure et qui ont été déterminées
précédemment

 M 11 0 0  0 
 0 M 22 0 0 
 
M    0 0  0 
 
    
 0 0   M 99 

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 Détermination de la matrice de souplesse [S] :

Les termes"𝛿𝑖𝑗" de la matrice de souplesse [S] représentant la flèche au niveau « i »
induite par une force unitaire appliqué au niveau « j » sont déterminés suivant l'intégrale de
Maxwell -Mohr comme suit :

h h
MiM j TiT j
 ij   M
ij   
T
ij dx   dx :
0
EI 0
G.S r

δij: Déplacement du point « j » causé par une force unitaire appliquée en « i »

δijM : déplacement dû au moment fléchissant M.

δijT : déplacement dû a l'effort tranchant T.

E : Module d’élasticité longitudinal

Le théorème de réciprocité des permet d'écrire : δij = δji

1 1 δij= δijM 1
i j i j

Xi δij
Xj

T(x)
Xi 1
Xi
Xi
M(x)

Xi T(x)
1
Xj Xj
M(x)

 δij= 1/3EI (hR+ (i-1) hC) 3 pour i=j

 δij= 1/6EI (hR+ (j-1) hC) 2{(i-j) hC+2[(i-1) hC+hR]} pour i>j

 δij= 1/6EI (hR+ (i-1) hC) 2{(j-i) hC+2[(j-1) hC+hR]} pour i<j

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CHAPITRE VI ETUDE DYNAMIQUE

hR: hauteur de RDC

hC hauteur de l’étage courant
avec : hC = hR

II.3 Détermination des modes :

 Détermination du 1ér mode : (fondamental)

 1ére itération :
- Choix de la 1ére approximation 1(1) .  
- Calcul de la matrice dynamique D  S M  .

 
(1) ( 2) ( 2) (1)
 
- D  1  1 1 Avec 1  ( w (1) )²  w1   (1)
1 (1) 1
1 1

 2ére itération :
- Choix de la 2éme approximation 1( 2) .  
D 1(2)   1(3) 1(3)  Avec 1( 2)  1
 w1( 2)  
1
( 2)
( w )²
1 1( 2)

 nére itération :
- Choix de la néme approximation 1( n1) .  
D  1     
( n 1) ( n)
1 1
( n)


Si 1( n1)     et
1
( n)
w1n1  w1n
 
Nous arrêtons l’itération et 1( n ) sera le vecteur propre du 1er mode.

 Détermination du 2émemode
On supprime le 1er mode (qui est prépondérant) en considérant le déplacement en
coordonnées principales.
Ainsi cette méthode converge vers le 2éme mode qui deviendra prépondérant.
D1 1   i i  Avec D1   D T 
T  Est appelée la matrice de passage du mode 1.
 1 a12 a13  a1n 
 
 0 1 0 0
 ii mn
T     1  0  Avec ain 
ii m1
 
   
 1 
 0

On procède de la même manière de 1er mode jusqu'à convergence

USTHB 2019 83
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 Détermination du 3éme mode

Pour converger vers le 3éme mode, nous devrons éliminer le 1er et le 2éme mode en
prenant : X1p =0 et X2p = 0.
Donc :
D2 1   i i 
Avec :
D2   D1  T  et T  est la matrice de passage du mode 2.

1 0   0
0 1 b23  b2 n 
 m (   i 2 n1 )
T      Avec b2 n  n ii n 2
  mn (ii 22  i 2 n1 )
  
 1 

On répète le même procédé des modes 1 et 2 jusqu'à convergence.

II.4 Détermination du coefficient de participation (α) :

Ce coefficient correspond à un mode de vibration propre, il définit le pourcentage

d’énergie absorbée. Son calcul est nécessaire pour pouvoir limiter le nombre de mode à
calculer.

i 
W  ²
Ki Ki

1
W Ki Ki ²   WKi

D’après l’article 4.3.4 du RPA99/V2003 : le nombre de modes à prendre en compte est

tel que la somme des coefficients de participation de ces modes soit au moins égale à 90
  90 0
0

USTHB 2019 84
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III. Application numérique :

 Matrice de Masse (t):
C’est une matrice de dimension 9×9 dont ces composantes sont les masses des
différents plancher de la structure qui ont étais déjà calculé dans ce qui précède.

635,362 0 0 0 0 0 0 0 0
0 635,362 0 0 0 0 0 0 0
0 0 635,362 0 0 0 0 0 0
0 0 0 635,362 0 0 0 0 0
632.02
M= 0 0 0 0 0 0 0 0
632.02
0 0 0 0 0 0 0 0
632.02
0 0 0 0 0 0 0 0
627.63
0 0 0 0 0 0 0 0
592.58
0 0 0 0 0 0 0 0

SENS X-X : Iy = 15.36m4

 Matrice de souplesse : S ×𝟏𝟎−𝟔 (m/KN)

0,01933 0,04833 0,07733 0,10633 0,13532 0,16432 0,19332 0,22232 0,25132

0,04833 0,15466 0,27065 0,38664 0,50263 0,61863 0,73462 0,85061 0,96661
0,07733 0,27065 0,52197 0,78295 1,04393 1,30492 1,5659 1,82688 2,08787
0,10633 0,38664 0,78295 1,23725 1,70123 2,1652 2,62917 3,09314 3,55711
S=
0,13532 0,50263 1,04393 1,70123 2,41651 3,14147 3,86642 4,59137 5,31633 × 10−6
0,16432 0,61863 1,30492 2,1652 3,14147 4,17573 5,21967 6,2636 7,30754
0,19332 0,73462 1,5659 2,62917 3,86642 5,21967 6,63091 8,05182 9,47273
0,22232 0,85061 1,82688 3,09314 4,59137 6,2636 8,05182 9,89804 11,7539
0,25132 0,96661 2,08787 3,55711 5,31633 7,30754 9,47273 11,7539 14,0931

USTHB 2019 85
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 MODE 1 :

 Matrice dynamique : 𝑫𝟏 × 𝟏𝟎−𝟔 (m/KN)

11,7398 29,3495 46,9592 64,5689 81,7269 99,2398 116,753 133,288 144,965

29,3495 93,9185 164,357 234,796 303,557 373,609 443,66 509,973 557,556
46,9592 164,357 316,975 475,462 630,465 788,081 945,697 1095,28 1204,32
64,5689 234,796 475,462 751,348 1027,42 1307,63 1587,84 1854,45 2051,81 × 10−6
82,1786 305,235 633,95 1033,1 1459,41 1897,23 2335,06 2752,69 3066,56
𝐷1 =
99,7884 375,674 792,437 1314,86 1897,23 2521,86 3152,32 3755,25 4215,13
117,398 446,113 950,924 1596,61 2335,06 3152,32 4004,62 4827,36 5464,05
135,008 516,551 1109,41 1878,37 2772,88 3782,79 4862,75 5934,23 6779,88
152,617 586,99 1267,9 2160,12 3210,7 4413,25 5720,89 7046,9 8129,17

 Pulsations et périodes:
W= 6,66 (rad/s)
T=0,94 (s)

 MODE 2 :

 Matrice de passage 𝑻𝟏 :

0 -3,796 -8,083 -13,56 -19,84 -26,84 -34,24 -41,57 -47,35

0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0
𝑇1 = 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0
 0 0 0 0 0 0 0 0 1

 Matrice dynamique : 𝑫𝟐 × 𝟏𝟎−𝟔 (m/KN)

0 -15,21 -47,94 -94,67 -151,2 -215,8 -285,3 -354,7 -411

0 -17,49 -72,88 -163,3 -278,8 -414,1 -561,4 -710 -832,3
0 -13,89 -62,61 -161,5 -301,4 -472,3 -662,4 -856,6 -1019
𝐷2 = 0 -10,3 -46,46 -124,5 -253,9 -425,3 -623,3 -829,4 -1006 × 10−6
0 -6,703 -30,32 -81,57 -171,3 -308,4 -479,1 -663,1 -825
0 -3,107 -14,17 -38,68 -82,94 -156,4 -264,9 -392,5 -510,3
0 0,4876 1,9712 4,2176 5,4445 1,4702 -15,61 -52,36 -95,3
0 4,0827 18,116 47,114 93,826 159,31 239,49 322,55 386,63
0 7,6778 34,26 90,009 182,21 317,14 494,59 703,26 902,01

USTHB 2019 86
CHAPITRE VI ETUDE DYNAMIQUE

 Pulsations et périodes:
W= 41,81 (rad/s)
T=0,15 (s)

 MODE 3 :
 Matrice de passage 𝑻𝟐 :
1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 -4,388 -11,23 -21,96 -36,64 -54,5 -73,9 -91,02
0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0
𝑇2 = 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1


 Matrice dynamique : 𝑫𝟑 × 𝟏𝟎−𝟔 (m/KN)

0 0 18,825 76,239 182,87 341,5 543,79 769,52 973,76

0 0 3,8626 33,163 105,22 226,59 391,64 582,35 759,5
0 0 -1,64 -5,419 3,7299 36,718 94,719 170,03 245,13
0 0 -1,272 -8,782 -27,71 -48,07 -62,1 -68,43 -68,52
𝐷3 = 0 0 -0,904 -6,275 -24,12 -62,81 -113,8 -167,8 -214,9 × 10−6
0 0 -0,536 -3,768 -14,69 -42,52 -95,52 -162,9 -227,5
0 0 -0,169 -1,26 -5,264 -16,39 -42,18 -88,4 -139,7
0 0 0,1992 1,2468 4,1627 9,7322 16,994 20,852 15,009
0 0 0,5669 3,754 13,589 35,858 76,171 135,89 203,16

 Pulsations et périodes:
W= 117,42 (rad/s)
T=0,05 (s)

USTHB 2019 87
CHAPITRE VI ETUDE DYNAMIQUE

 Vecteurs propres dans le sens X-X :

MODE 1 MODE 2 MODE 3

φ1 φ2 φ3
0,020 -0,133 0,341
0,076 -0,424 0,866
0,162 -0,723 1,000
0,272 -0,906 0,557
0,400 -0,892 -0,209
0,541 -0,653 -0,802
0,691 -0,214 -0,810
0,844 0,362 -0,165
1,000 1,000 0,866
w² 44,35 w² 1 748,32 w² 13 790,09
w(rad/s) 6,66 w(rad/s) 41,81 w(rad/s) 117,43
T (s) 0,94 T (s) 0,15 T (s) 0,05

Tableau VI-1 : Vecteurs propres dans le sens X-X.

USTHB 2019 88
CHAPITRE VI ETUDE DYNAMIQUE

SENS Y-Y : Iy = 14m4

 Matrice de souplesse : S ×𝟏𝟎−𝟔 (m/KN)

0,02121 0,05303 0,08484 0,11666 0,14847 0,18029 0,2121 0,24392 0,27573

0,05303 0,16968 0,29694 0,4242 0,55146 0,67872 0,80598 0,93324 1,0605
0,08484 0,29694 0,57267 0,85901 1,14534 1,43168 1,71802 2,00435 2,29069
0,11666 0,4242 0,85901 1,35745 1,86649 2,37553 2,88457 3,39361 3,90265
0,14847 0,55146 1,14534 1,86649 2,65126 3,44664 4,24202 5,03739 5,83277
S= × 10−6
0,18029 0,67872 1,43168 2,37553 3,44664 4,58138 5,72672 6,87207 8,01741
0,2121 0,80598 1,71802 2,88457 4,24202 5,72672 7,27506 8,834 10,3929
0,24392 0,93324 2,00435 3,39361 5,03739 6,87207 8,834 10,8596 12,8957
0,27573 1,0605 2,29069 3,90265 5,83277 8,01741 10,3929 12,8957 15,4621

 MODE 1 :

 Matrice dynamique : 𝑫𝟏 × 𝟏𝟎−𝟔 (m/KN)

12,8802 32,2006 51,521 70,8413 89,6661 108,88 128,094 146,236 159,047

32,2006 103,042 180,323 257,605 333,046 409,902 486,759 559,513 611,719
51,521 180,323 347,767 521,65 691,71 864,638 1037,57 1201,68 1321,31
70,8413 257,605 521,65 824,336 1127,23 1434,66 1742,08 2034,59 2251,13
𝐷1 = 90,1617 334,886 695,533 1133,46 1601,18 2081,53 2561,89 3020,1 3364,45 × 10−6
109,482 412,168 869,417 1442,59 2081,53 2766,84 3458,55 4120,05 4624,59
128,802 489,449 1043,3 1751,71 2561,89 3458,55 4393,64 5296,3 5994,84
148,123 566,731 1217,18 2060,84 3042,24 4150,26 5335,13 6510,7 7438,5
167,443 644,012 1391,07 2369,97 3522,6 4841,97 6276,63 7731,45 8918,86

 Pulsations et périodes:
W= 6,36 (rad/s)
T=0,99 (s)

USTHB 2019 89
CHAPITRE VI ETUDE DYNAMIQUE

 MODE 2 :

 Matrice de passage 𝑻𝟏 :

0 -3,796 -8,083 -13,56 -19,84 -26,84 -34,24 -41,57 -47,35

0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0
𝑇1 =
0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1

 Matrice dynamique : 𝑫𝟐 × 𝟏𝟎−𝟔 (m/KN)

0 -16,69 -52,59 -103,9 -165,9 -236,8 -313 -389,1 -450,9

0 -19,19 -79,96 -179,2 -305,9 -454,3 -615,9 -778,9 -913,1
0 -15,24 -68,69 -177,2 -330,7 -518,1 -726,7 -939,8 -1118
0 -11,3 -50,98 -136,6 -278,5 -466,7 -683,8 -910 -1104
× 10−6
𝐷2 = 0 -7,354 -33,26 -89,5 -188 -338,3 -525,6 -727,5 -905,1
0 -3,409 -15,55 -42,44 -90,99 -171,6 -290,6 -430,6 -559,9
0 0,535 2,1627 4,6273 5,9734 1,613 -17,13 -57,45 -104,6
0 4,4793 19,875 51,69 102,94 174,78 262,75 353,89 424,18
0 8,4236 37,588 98,753 199,91 347,95 542,63 771,58 989,63

 Pulsations et périodes:
W= 39,92 (rad/s)
T=0,16 (s)

USTHB 2019 90
CHAPITRE VI ETUDE DYNAMIQUE

 MODE 3 :

 Matrice de passage 𝑻𝟐 :

1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 -4,388 -11,23 -21,96 -36,64 -54,5 -73,9 -91,02
0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0
𝑇2 =
0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1

 Matrice dynamique : 𝑫𝟑 × 𝟏𝟎−𝟔 (m/KN)

0 0 20,653 83,645 200,63 374,68 596,62 844,27 1068,3

0 0 4,2378 36,384 115,44 248,6 429,68 638,92 833,29
0 0 -1,799 -5,946 4,0922 40,285 103,92 186,55 268,95
0 0 -1,395 -9,635 -30,4 -52,74 -68,13 -75,07 -75,18
𝐷3 = 0 0 -0,992 -6,884 -26,46 -68,91 -124,9 -184,1 -235,8 × 10−6
0 0 -0,588 -4,134 -16,12 -46,65 -104,8 -178,7 -249,6
0 0 -0,185 -1,383 -5,776 -17,99 -46,28 -96,98 -153,3
0 0 0,2185 1,368 4,567 10,678 18,645 22,877 16,468
0 0 0,622 4,1187 14,91 39,342 83,57 149,09 222,89

 Pulsations et périodes:
W= 111,019 (rad/s)
T=0,06 (s)

USTHB 2019 91
CHAPITRE VI ETUDE DYNAMIQUE

 Vecteurs propres dans le sens Y-Y

MODE 1 MODE 2 MODE 3

φ1 φ2 φ3
1,00 1,00 0,87
0,84 0,36 -0,17
0,69 -0,21 -0,81
0,54 -0,65 -0,80
0,40 -0,89 -0,21
0,27 -0,91 0,56
0,16 -0,72 1,00
0,08 -0,42 0,87
0,02 -0,13 0,34
w² 40,43 w² 1 593,52 w² 12 564,97
w(rad/s) 6,36 w(rad/s) 39,92 w(rad/s) 112,09
T (s) 0,99 T (s) 0,16 T (s) 0,06

Tableau VI-2 : Vecteurs propres dans le sens Y-Y.

 Détermination du facteur de participation modale (les deux sens) :

 MODE 1 :

N φji Mi (t) φji*Mi φji² φji²*Mi

Terrasse 1,00 576,82 576,82 1,00 576,82
8 0,84 599,54 506,30 0,71 427,57
7 0,69 603,93 417,12 0,48 288,10
6 0,54 603,93 326,92 0,29 176,97
5 0,40 603,93 241,71 0,16 96,74
4 0,27 607,27 165,22 0,07 44,95
3 0,16 607,27 98,46 0,03 15,96
2 0,08 607,27 46,24 0,01 3,52
1 0,02 607,27 12,18 0,00 0,24
Sommes 5 417,24 2 390,98 1 630,88
α 64,71

Tableau VI-3 : Facteur de participation modale du mode 1.

USTHB 2019 92
CHAPITRE VI ETUDE DYNAMIQUE

 MODE 2 :
N φji Mi (t) φji*Mi φji² φji²*Mi
Terrasse 1,00 576,82 576,82 1,00 576,82
8 0,36 599,54 217,09 0,13 78,61
7 -0,21 603,93 -129,02 0,05 27,56
6 -0,65 603,93 -394,11 0,43 257,18
5 -0,89 603,93 -538,56 0,80 480,26
4 -0,91 607,27 -550,30 0,82 498,67
3 -0,72 607,27 -439,17 0,52 317,60
2 -0,42 607,27 -257,40 0,18 109,10
1 -0,13 607,27 -80,52 0,02 10,68
Sommes 5 417,24 -1 595,15 2 356,48
α= 19,93

Tableau VI-4 : Facteur de participation modale du mode 2.

 MODE 3 :

N φji Mi (t) φji*Mi φji² φji²*Mi

Terrasse 0,87 576,82 499,49 0,75 432,52
8 -0,17 599,54 -99,04 0,03 16,36
7 -0,81 603,93 -489,44 0,66 396,65
6 -0,80 603,93 -484,11 0,64 388,05
5 -0,21 603,93 -126,17 0,04 26,36
4 0,56 607,27 338,47 0,31 188,65
3 1,00 607,27 607,27 1,00 607,27
2 0,87 607,27 525,96 0,75 455,54
1 0,34 607,27 207,21 0,12 70,71
Sommes 5 417,24 979,65 2 582,11
α= 6,86

Tableau VI-5 : Facteur de participation modale du mode 3.

αtot =91,50 % > 90%

USTHB 2019 93
CHAPITRE VI ETUDE DYNAMIQUE

 Allure de la déformée: (les deux sens)

1,00 0,87
9 1,00 9 9
0,36
-0,17
8 0,84 8 8
-0,21
-0,81
7 0,69 7 7
-0,65
6 0,54 6 -0,80 6
-0,89
5 0,40 5 -0,21 5

-0,91 0,56
4 0,27 4 4
1,00
3 0,16 -0,72 3 3

2 0,08 -0,42 0.87

2 2

-0,13
1 0,02 1 1 0,34

MODE 1 MODE 2 MODE 3

Figure VI-2 : Allure de la déformée de la structure

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