CHAPITRE 3

SERIES DE F OURIER

3.1 Séries trigonométriques

Définition 3.1.1 On appelle série trigonométrique réelle, toute série de fonctions de la forme :
∞
a0 X
+ an cos(nωx) + bn sin(nωx) (1)
2 n=1

avec x ∈ R, ω > 0 , an , bn ∈ R, pour tout n dans N.

Le problème est de déterminer l’ensemble ∆ tel que la série (1) soit convergente pour tout
x ∈ ∆.
Remarque 3.1.1
Supposons que la série (1) converge et posons
∞
a0 X
f (x) = + an cos(nωx) + bn sin(nωx).
2 n=1

Sachant que pour tous n ∈ N et k ∈ Z :

cos (nω(x + 2kπ/ω)) = cos(nωx + 2nkπ) = cos(nωx)

sin (nω(x + 2kπ/ω)) = sin(nωx + 2nkπ) = sin(nωx).

2kπ
Alors la série (1) converge en tout point de la forme x + , k ∈ Z.
ω !
2kπ
Si la série (1) converge dans R, on aura f (x) = f x + et par suite la fonction f est
ω
périodique de période T = 2π/ω. En conclusion, les propriétés suivantes sont équivalentes :
i. La série trigonométrique (1) converge dans R.
ii. La série trigonométrique (1) converge dans [0, 2π/ω] .
iii. La série trigonométrique (1) converge dans [α, α + 2π/ω], ∀α ∈ R

43

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 SERIES DE F OURIER

Proposition 3.1.1
X   X
Si les séries numériques an et bn sont absolument convergentes
alors la série trigonométrique (1) est normalement convergente sur R ; donc
absolument et uniformément sur R.

Preuve :
C’est évident puisque |an cos(nωx) + bn sin(nωx)| ≤ |an | + |bn |.

Proposition 3.1.2
Si les suites numériques (an ) et (bn ) sont décroissantes et tendent vers 0, alors
2kπ
la série trigonométrique (1) est convergente pour x , où k ∈ Z.
ω

Preuve :
C’est une application direct du théorème d’Abel. Pour cela il suffit tout simplement de
montrer que les sommes suivantes sont majorées indépendamment de m et n; n ≤ m.
p=m
X p=m
X
C= cos px S= sin px.
p=n p=n

On a pour t , 2kπ où k ∈ Z :
p=m
X p=m
X p=m
X
C + iS = cos pt + i sin pt = (cos pt + i sin pt)
p=n p=n p=n
p=m
X   1 − ei(m−n+1)t
= eipt = eint 1 + eit + e2it + · · · + ei(m−n)t = eint
p=n
1 − eit
(1 − cos(m − n + 1)t) − i sin(m − n + 1)t
= eint
(1 − cos t) − i sin t
(m − n + 1) (m − n + 1) (m − n + 1)
2 sin2 t − 2i sin t cos t
= eint 2 2 2
2 sin2 (t/2) − 2i sin(t/2) cos(t/2)

(m − n + 1) (m − n + 1)t (m − n + 1)t
!
.
−2i sin t cos + i sin
2 2 2
= eint
t t
 
−2i sin(t/2) cos + i sin
2 2

(m − n + 1)  (m − n + 1)t (m − n + 1)t 
 
sin t  cos + i sin 
= eint 2  2 2 

sin(t/2) t t
 
cos + i sin
 
2 2


(m − n + 1)
sin t (m − n)t (m − n)t
!
= 2 cos + i sin (cos nt + i sin nt).
sin(t/2) 2 2

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3.1 Séries trigonométriques

et finalement, on a :

(m − n + 1)
sin t (m + n)t (m + n)t
!
C + iS = 2 cos + i sin ·
sin(t/2) 2 2

D’où l’on tire :  (m − n + 1)t (m + n)t


 sin cos
2 2


C=


sin(t/2)








(m − n + 1)t (m + n)t


sin sin



2 2


S =

·
sin(t/2)


Remplaçons t par ωx, d’où pour tout m et n ∈ N, tout x dans R, On a les majorations
suivantes :
1 1
|C| 6 et |S| 6
| sin(ωx/2)| | sin(ωx/2)|·
Les deux sommes étant majorées indépendamment de m et n.
∞
X 2kπ
la série (an cos nωx + bn sin nωx) est donc convergente pour x , , k ∈ Z.
n=1
ω

Remarque 3.1.2 Le cas où ωx = 2kπ avec k ∈ Z donne tout simplement C = m − n et S = 0 ; donc

la somme C est divergente.

3.1.1 Représentation complexe d’une série trigonométrique

D’après les relations d’Euler :

einωx + e−inωx einωx − e−inωx

cos(nωx) = et sin(nωx) =
2 2i
la série (1) devient :
∞ " ∞ "
einωx + e−inωx einωx − e−inωx
# #
a0 X a0 X inωx an − ibn −inωx an + ibn
+ an + bn = + e + e
2 n=1 2 2i 2 n=1 2 2

En posant :
an − ibn an + ibn a0
cn = ; c−n = cn = et c0 = , la série devient :
2 2 2
X∞ ∞
X ∞
X
c0 + (cn einωx
+c−n e−inωx
) = c0 + cn einωx
+ c−n e−inωx
n=1 n=1 n=1

∞
X −1
X X
= c0 + cn einωx + cn einωx = cn einωx
n=1 n=−∞ n∈Z

Cette dernière expression est appelée forme complexe d’une série trigonométrique.

45 M r A  N -E 

 SERIES DE F OURIER

3.1.2 Calcul des cœfficients de la série trigonométrique.

Cas réel.
Mettons nous dans les conditions de convergence uniforme de la série trigonométrique
∞
a0 X
(1) et posons f (x) = + (ak cos(kωx) + bk sin(kωx)). Alors
2
k=1

∞
a0 X
f (x) cos(nωx) = cos(nωx) + [ak cos(kωx) cos(nωx) + bk sin(kωx) cos(nωx)]
2
k=1

∞
a0 X
f (x) sin(nωx) = sin(nωx) + [ak cos(kωx) sin(nωx) + bk sin(kωx) sin(nωx)]
2
k=1

LaZconvergence uniforme nous permet d’avoir :

2π/ω
a0 2π/ω
Z X ∞ Z 2π/ω
• f (x) cos(nωx)dx = cos(nωx)dx + ak cos(kωx) cos(nωx)dx
0 2 0 0
X∞ Z 2π/ω k=1
.
+ bk sin(kωx) cos(nωx)dx.
Z 2π/ω k=1Z 0
a0 2π/ω X∞ Z 2π/ω
• f (x) sin(nωx)dx = sin(nωx)dx + ak cos(kωx) sin(nωx)dx
0 2 0 0
X∞ Z 2π/ω k=1
.
+ bk sin(kωx) sin(nωx)dx.
k=1 0
Or on a : (À faire à titre d’exercices.)
Z 2π/ω
0 si k,n

cos(kωx) cos(nωx)dx =
0
π/ω si k=n
Z 2π/ω
0 si k,n

sin(kωx) sin(nωx)dx =
0
π/ω si k=n
Z 2π/ω
cos(nωx) sin(kωx)dx = 0.
0

On déduit alors les cœfficients par les expressions suivantes :

Z 2π/ω
ω
an = f (x) cos(nωx)dx
π 0

Z 2π/ω
ω
bn = f (x) sin(nωx)dx.
π 0

Ces expressions sont valables même pour n = 0.

Lemme 3.1.1
Soit f une fonction périodique de période T > 0 et intégrable dans l’intervalle
Z T Z α+T
[0, T]. Alors pour tout α ∈ R, on a f (t)dt = f (t)dt.
0 α

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3.2 Séries de F ourier

Preuve.
La relation de Chasles nous permet d’écrire :
Z α+T Z 0 Z T Z α+T Z α+T
f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt + f (t)dt. Dans l’intégrale f (t)dt on fait le
α a 0 T T
changement de variables y = t − T.
Z α+T Z α Z α
Ceci nous donne f (t)dt = f (y + T)dy = f (y)dy.
Z α+T T Z 0 0
Z T Z α 0 Z T
Donc f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt + f (t)dt = f (t)dt.
α α 0 0 0
Moyennant ce lemme, les cœfficients peuvent s’écrire :

ω 2π/ω ω α+2π/ω
Z Z
an = f (x) cos(nωx)dx = f (x) cos(nωx)dx ∀α ∈ R.
π 0 π α

ω 2π/ω ω α+2π/ω
Z Z
bn = f (x) sin(nωx)dx = f (x) sin(nωx)dx; ∀α ∈ R.
π 0 π α
En particulier si ω = 1, cas des fonctions 2π-périodique ;

1 2π 1 π
Z Z
an = f (x) cos(nx)dx = f (x) cos(nx)dx.
π 0 π −π

1 2π 1 π
Z Z
bn = f (x) sin(nx)dx = f (x) sin(nx)dx.
π 0 π −π

3.1.3 Calcul des cœfficients de la série trigonométrique.

Cas complexe.
∞
X
On a f (x) = ck eikωx .
k=−∞
Z 2π/ω ∞
X Z 2π/ω
f (x) e −inωx
dx = ck eiωx(k−n) dx.
0 k=−∞ 0
Or,
2π/ω
0
Z
si k , n

e iωx(k−n)
dx =
0
2π/ω si k = n.
Les cœfficients sont alors donnés par la relation :
Z 2π/ω Z α+2π/ω
ω ω
cn = f (x) e −inωx
dx = f (x) e−inωx ; n ∈ Z.
2π 0 2π α

3.2 Séries de F ourier

Dans cette partie, on ne va considérer que les fonctions de période 2π. A chaque fois on
précisera les formules pour une période quelconque. Z
Soit f : R 7→ R une application périodique de période T = 2π. On suppose que | f (t)|dt
I
converge sur un intervalle I = [α, α + 2π] de longueur 2π, ∀α ∈ R.

47 M r A  N -E 

 SERIES DE F OURIER

Définition 3.2.1
On appelle série de F ourier associée à f , la série trigonométrique
∞
a0 X
+ [an cos(nx) + bn sin(nx)]
2 n=1

2π 2π
1 1
Z Z
avec an = f (x) cos(nx)dx et bn = f (x) sin(nx)dx
π 0 π 0

Deux questions se posent :

1. La série de F ourier associée à f est-elle convergente ?
2. En cas de convergence, peut-on dire que la série converge vers f ?
Rappelons la notion de discontinuité de première espèce.

Définition 3.2.2
Une fonction f admet une discontinuité de première espèce en un point x0 si les limites
à droite et à gauche de x0 existent. (Celles-ci ne sont pas forcément égales sauf en cas de
continuité.)

Théorème 3.2.1 ( Dirichlet)

Soit f : R 7→ R une fonction périodique de période T = 2π satisfaisant aux

conditions suivantes (appelées conditions de Dirichlet) :
D1) Les discontinuités de f (si elles existent) sont de première espèce et sont en
nombre fini dans tout intervalle fini.
D2) f admet en tout point une dérivée à droite et une dérivée à gauche.
Alors la série de F ourier associée à f est convergente et on a :
∞
a0 X
+ [an cos(nx) + bn sin(nx)]
2 n=1

f (x) si f est continue en x





=

 f (x + 0) + f (x − 0) si f est discontinue en x


2
De plus la convergence est uniforme sur tout intervalle où la fonction f est
continue.

Les notations f (x + 0) et f (x − 0) représentent respectivement les limites à droite et à

gauche de f au point x.

Remarque 3.2.1
Il y a un autre théorème équivalent au théorème (3.2.1) dû à Jordan.

Théorème 3.2.2 (Jordan)

Soit f : R 7→ R une fonction périodique de période T = 2π satisfaisant aux

M r A  N -E  48

3.2 Séries de F ourier

conditions suivantes :
J1) Il existe M > 0 tel que | f (x)| ≤ M (i.e f est bornée)
J2) On peut partager l’intervalle [α, α + 2π] en sous-intervalles [α1 , α2 [,
[α2 , α3 [. . ., [αn−1 , αn ], avec α1 = α et αn = α + 2π tels que la restriction
f soit monotone et continue.
]α j ,α j+1 [
Alors la série de F ourier associée à f est convergente et on a :
∞
a0 X
+ [an cos(nx) + bn sin(nx)]
2 n=1

f (x) si f est continue en x





=

 f (x + 0) + f (x − 0) si f est discontinue en x


2
De plus, la convergence est uniforme sur tout intervalle où f est continue.
Remarque 3.2.2
Nous allons étudier quelques cas particuliers. Rappelons d’abord quelques propriétés.
f : [−k, k] 7→ R une fonction intégrable sur [−k, k].
Z k Z k
Si f est paire alors f (x)dx = 2 f (x)dx.
Z k −k 0

Si f est impaire f (x)dx = 0.

−k
Si f est développable en série de F ourier :
a) Si f est paire : Z
1 π 2 π
Z
• an = f (x) cos(nx)dx = f (x) cos(nx)dx
π −π π 0
car la fonction x 7→ f (x) cos(nx) est paire.
• bn = 0 car la fonction x 7→ f (x) sin(nx) est impaire
b) Si f est impaire :
• an = 0 car
Z la fonction x 7→ f (x)Zcos(nx) est impaire.
1 π 2 π
• bn = f (x) sin(nx)dx = f (x) sin(nx)dx
π −π π 0
car la fonction x 7→ f (x) sin(nx) est paire.
Résumé 1
f fonction paire :
π
2
Z
an = f (x) cos(nx)dx.
π 0

bn = 0, ∀n ∈ N.

f fonction impaire :
an = 0, ∀n ∈ N.
π
2
Z
bn = f (x) sin(nx)dx.
π 0

49 M r A  N -E 

 SERIES DE F OURIER

Exemple 3.2.1
Soit f :] − π, π] 7→ R une fonction périodique, T = 2π définie par f (x) = x.
1. Les discontinuités de f sont les points de la forme xk = (2k + 1)π, k ∈ Z et sont de
première espèce car f (π + 0) = π et f (π − 0) = −π
2. f est partout dérivable sauf aux points xk . En ces points nous avons :
f (x) − f (π) f (x) − f (π)
lim− = 1 et lim+ = 1.
x−→π x−π x−→π x−π
f vérifie les conditions de Dirichlet, donc développable en série de F ourier.
1 π 2 π (−1)n+1
Z Z
f est impaire donc a0 = an = 0 et bn = x sin(nx)dx = x sin(nx)dx = 2 et par
π −π π 0 n
suite
∞
X (−1)n+1
f (x) = 2 sin(nx)
n=1
n

Exemple 3.2.2
Soit f : [−π, π] 7→ R une fonction de période T = 2π, définie par f (x) = |x|.
1. On a | f (x)| ≤ π
2. f|[−π,0] est décroissante continue et f|[0,π] est croissante continue.
f satisfait les conditions du théorème de Jordan donc développable en série de F ourier. De
plus f est paire,
Z ce qui nousZdonne bn = 0.
1 π 2 π
a0 = f (x)dx = xdx = π
π −π π 0
 b2n = 0,

1
Z
2 π
Z  ∀n ∈ N.
4

an = π|x| cos(nx)dx = x cos(nx)dx ===⇒ 
π −π π 0  b2n+1 =
 , ∀n ∈ N.
π(2n + 1)
∞
π X cos(2n + 1)x
La série de F ourier converge alors vers f et on a f (x) = − .
2 n=1 (2n + 1)2
Puisque f est continue, la convergence est uniforme.
∞
π 4X 1
Remarquons enfin que l’égalité f (0) = 0 se traduit par = et par conséquent
2 π n=1 (2n + 1)2
∞
π2 X 1
= .
8 n=1
(2n + 1)2
Une des particularités des séries de F ourier est le calcul des sommes de certaines séries
numériques.

3.2.1 Développement en série de F ourier de fonctions non périodiques

Il est clair que le développement en série de F ourier se pratique sur les fonctions pério-
diques. Cependant, il est possible, dans certains cas, de faire de tels développements pour
des fonctions quelconques.
Soit f : [a, b] 7→ R une fonction non périodique définie sur l’intervalle [a, b]. Soit g : R 7→ R
une fonction périodique de période T ≥ b − a telle que la restriction g = f . Si g satisfait
[a,b]

M r A  N -E  50

3.2 Séries de F ourier

les conditions de Dirichlet, on aura :

∞
a0 X
g(x) = + [an cos(nωx) + bn sin(nωx)]
2 n=1
avec an et bn les cœfficients de F ourier associés à g. La somme de cette série coïncide partout
avec f dans l’intervalle [a, b] sauf peut-être aux points de discontinuités de f .
Remarque 3.2.3
Soit f :]0, ℓ[7→ R une fonction quelconque, et ℓ > 0. On suppose que f peut-être prolongée sur
] − ℓ, 0[ et que les conditions de Dirichlet ou de Jordan soient satisfaites. Dans ce cas, on a le
choix sur ce prolongement. On peut choisir soit un prolongement pair soit un prolongement
impair pour éviter les longs calculs des cœfficients.
Exercice 1
Donner une série de Fourier de période 2π qui coïncide sur ]0, π[ avec la fonction f (x) = ex .
Réponse :
Ici on ne précise que l’intervalle où la série de Fourier coïncide avec f , c’est à dire ]0, π[.
Comme la période de la série de Fourier est 2π, il y’a alors une infinité de réponses ;
examinons trois cas différents.
Notons f̃i , i = 1, 2, 3, le prolongement de f à R tout entier. f̃i sera une fonction de période
2π qui vaut exactement ex pour tout x dans ]0, π[.
e si
 x
x ∈]0, π[
a) Choisissons un prolongement pair et posons : f˜1 (x) = −x .
e si x ∈] − π, 0[
On vérifie aisément que f˜1 est une fonction paire. Posons f˜1 (0) = 1 et f˜1 (π) = eπ , on a
alors un prolongement continue sur R. Le graphe de f˜1 et celui de la série de Fourier
seront identiques.
Le calculπ des cœfficients donne :
2(e −1) (−1)n eπ −1
a0 = , an = 2 et bn = 0.
π 1 + n2
On a alors :
∞
eπ −1 X (−1)n eπ −1 e si x ∈ [0, π]
 x
S1 (x) = + 2 cos(nx) = −x
π n +1
2 e si x ∈ [−π, 0]
n=1

eπ

1
π
F. 3.1 – graphe de la fonction f (x)

eπ

1
π
F. 3.2 – graphe de la fonction S1 (x) identique à celui de f˜1

51 M r A  N -E 

 SERIES DE F OURIER

ex si x ∈]0, π[

b) Choisissons un prolongement impair et posons : f˜2 (x) = . On
− e−x si x ∈] − π, 0[
remarque que f˜2 est une fonction impaire mais n’est pas continue sur R . Elle est
discontinue en tout point de la forme kπ, k ∈ Z.
Le calcul des cœfficients donne : n π
2n (1 − (−1) e )
an = 0 ∀n ∈ N, bn = .
π(1 + n2 )
On a alors :
e si x ∈]0, π[
 x
∞
X 2n (1 − (−1)n eπ ) 
e si x ∈] − π, 0[

S2 (x) = sin(nx) = 
 −x
π(1 + n2 )
0 si x = 0 ou x = ±π


n=1

eπ

−3π −π 1
π 3π

− eπ

F. 3.3 – graphe de la fonction f˜2 (x)

eπ

−3π −π 1
π 3π

− eπ

F. 3.4 – graphe de la série S2 (x)

c) Choisissons un prolongement ni pair ni impair et posons : f˜3 (x) = ex si x ∈] − π, π[. On

remarque que f˜ est une fonction discontinue en tout point de la forme π + 2kπ, k ∈ Z.
On a le résultat final :
 ∞
  ex si x ∈] − π, π[
e − e  1
π −π
(−1)n
X   


S3 (x) = cos(nx) − n sin(nx)  = 
 
 +
 
 e +e
π −π
π 2 n=1 n2 + 1 

si x = ±π.
2
On a obtenu trois séries différentes qui valent exactement ex sur l’intervalle ]0, π[. On
pouvait choisir d’autres prolongements et obtenir d’autres séries.

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3.2 Séries de F ourier

eπ

1
−π π 3π

F. 3.5 – graphe de la fonction f˜3 (x)

eπ

eπ + e−π
• 2 • •
1
−π π 3π

F. 3.6 – graphe de la série S3 (x)

Remarque 3.2.4 Si on voulait une série de Fourier de période π, alors il n’y a qu’une seule
qui coïncide avec f sur ]0, π[.
On trouve ;
 ∞
  ex si x ∈]0, π[
2(e −1)  1
π
1
X   


S4 (x) = cos(2nx) − 2n sin(2nx)  = 

 2 +
 
1+e
π
π n=1
4n2 − 1 

si x = 0 ou x = π.
2

eπ
1 + eπ
• • • • • •
2
1
−2π −π π 2π 3π

F. 3.7 – graphe de la série S4 (x)

3.2.2 Égalité de Parseval

Théorème 3.2.3

Égalité de Parseval : Soit f une fonction développable en série de F ourier

2π
et de période T = > 0, alors on a pour α réel quelconque :
ω
a20 X ∞
ω α+2π/ω 2
Z X
2 2
+ (an + bn ) = f (x)dx = 2 |cn |2
2 n=1 π α n∈Z

an − ibn an + ibn
cn = et c−n = où n ∈ N.
2 2

53 M r A  N -E 

 SERIES DE F OURIER

Remarque 3.2.5 1. Si f est de période 2π, on a :

a20 ∞
1 2π
1 π
X Z Z
+ (a2n + b2n ) = 2
f (x)dx = f 2 (x)dx
2 n=1
π 0 π −π

2.
a20 ∞
2 π
X Z
f fonction paire =⇒ f 2
fonction paire =⇒ + a2n = f 2 (x)dx
2 n=1
π 0
∞ π
2
X Z
f fonction impaire =⇒ f 2
fonction paire =⇒ b2n = f 2 (x)dx
n=1
π 0

M r A  N -E  54

3.3 Applications

3.3 Applications
Exemple 3.3.1 f étant une fonction 2π-périodique telle que :

1 si x ∈]0, π[

f (x) =
−1 si x ∈] − π, 0[

-5π -4π -3π -2π -π 0 π 2π 3π 4π 5π

-1

F. 3.8 – graphe de la fonction f (x)

f étant une fonction impaire ===⇒ an = 0, ∀n ∈ N

2 π 2  b2n = 0 ∀n ∈ N
Z 
(1 − (−1) ) ===⇒  4

On a : bn = sin(nt)dt = n
π 0 nπ  b2n+1 =
 ∀n ∈ N
π(2n + 1)
La série de F ourier associée est :
∞
4 X sin(2n + 1)x 1 si x ∈]0, π[

S(x) = =
π n=0 2n + 1 0 si x = 0 ou si x = π

• • • • • • • • • • •
-5π -4π -3π -2π -π 0 π 2π 3π 4π 5π
-1

F. 3.9 – graphe de la fonction S(x)

∞ ∞
4 X sin(2n + 1)π/2 4 X (−1)n
Remarque 3.3.1 :Pour x = π/2 on a S(π/2) = 1 = = .
π n=0 2n + 1 π n=0 2n + 1
On tire :
∞
X (−1)n 1 1 1 π
= 1 − + − + ··· =
n=0
2n + 1 3 5 7 4
Appliquons l’égalité de Parseval :
π ∞
2 16 1
Z X
2
f (t)dt = 1 = ·
π 0 n=0
π2 (2n + 1)2

55 M r A  N -E 

 SERIES DE F OURIER

et l’on tire donc :

∞
X 1 π2
=
n=0
(2n + 1)2 8

∞
X 1
Remarque 3.3.2 Posons S = 2
série convergente d’après le critère de Riemann. En
n=1
n
∞ ∞
X 1 X 1
séparant les pairs et les impairs on a : S = + (⋆).
n=1
(2n) 2
n=0
(2n + 1)2
∞ ∞ ∞
X 1 X 1 1X 1 S
Comme = = = ; en substituant dans l’égalité (⋆) on a :
n=1
(2n)2
n=1
4n 2 4 n=1 n 2 4
∞ ∞ ∞
1X 1 X 1 S π2 3S π2 X 1 π2
S= + = + ⇐⇒ = ⇐⇒ S = =
4 n=1 n2 n=0 (2n + 1)2 4 8 4 8 n=1
n2 6

La méthode complexe :
−int 0
Z π Z 0 Z π 
−int π 
! 
1 1 1 e e
! !
e−int f (t)dt = − e−int dt + e−int dt =

cn =  +

2π −π 2π −π 2π  in 
0 −π
−in 0
1 − (−1)n
= −i = 1/2(an − ibn ), d’où l’on tire ; ∀n ∈ N.
πn

an = 0


 b2n = 0
 
1 (−1)n

 − 
4

 b
 n
 = 2 ===⇒ b
πn  2n+1 = ·
 
π(2n + 1)

Exemple 3.3.2 f étant une fonction 2π-périodique telle que :

f (x) = |x| si x ∈ [−π, π]

f étant une fonction paire ===⇒ bn = 0, ∀n !π∈ N

1 π 2 π 2 t2
Z Z
On a : a0 = |t|dt = t dt = = π.
π −π π 0 π 2 0
1 π 2 π
Z π
2 t sin nt π sin nt
Z Z   !
Puis on a : an = |t| cos nt dt = t cos nt dt = − dt
π −π π 0 π  n 0 0 n
−2 π 2 cos nt π 2   a2n = 0, ∀n ∈ N.
Z    

= sin nt dt = = (−1) n
− 1 ===⇒ −4
nπ 0 nπ n 0 πn2  a2n+1 = , ∀n ∈ N.


π(2n + 1)
La série associée est donc :
∞
π 4 X cos(2n + 1)x
S(x) = − .
2 π n=0 (2n + 1)2

f étant une fonction continue sur R, et admet partout des dérivées à droite et à gauche alors
f (x) = S(x), ∀x ∈ R.

M r A  N -E  56

3.3 Applications

+π

| · |
−2π −π 0 π 2π

F. 3.10 – graphe de la fonction f (x) et celui de S(x).

Remarque 3.3.3 pour x = 0 on a f (0) = 0 et comme f (0) = S(0) on tire :

∞ ∞
π 4X 1 X 1 π2
S(0) = 0 = − ⇐⇒ =
2 π n=0 (2n + 1)2 n=0
(2n + 1)2 8
L’égalité de Parseval donne :
Z π Z π ∞
1 2 1 π2 π2 1 16 X 1
f (t)dt = t2 dt = = + · 2
2π −π 2π −π 3 4 2 π n=0 (2n + 1)4
∞
X 1 π4
=
n=0
(2n + 1)4 96

∞ ∞ ∞
X 1 X 1 X 1
Remarque 3.3.4 En écrivant S = = + .
n=1
n 4
n=1
(2n)4
n=0
(2n + 1)4
∞
15S X 1 π4
On déduit alors : = =
16 n=0
(2n + 1)4 96

∞
X 1 π4
=
n=1
n4 90

Exemple 3.3.3 f étant une fonction 2π-périodique telle que :

f (x) = x si x ∈] − π, π[

−π

−2π 2π
+ + + · + + +
−3π −π 0 π 3π

−−π

F. 3.11 – graphe de la fonction f (x).

f est une fonction impaire, continue pour tout x ∈ R sauf aux points x = (2k + 1)π, k ∈ Z.
Elle admet en chaque point une dérivée à droite et une dérivée à gauche. elle admet un

57 M r A  N -E 

 SERIES DE F OURIER

développement en série de F ourier. f : impaire =⇒ an = 0, ∀n ∈ N, et l’on a :

2 π
Z π
2 −t cos nt π cos nt 2(−1)n+1
Z "  #
bn = t sin(nt)dt = + dt =
π 0 π n 0 0 n n

f (x) si x , (2k + 1)π avec k ∈ Z


∞
X (−1) n+1 

S(x) = 2 sin nx = 

n
0 si x = (2k + 1)π avec k ∈ Z


n=1

−π

−2π 2π
• + • · • + •
−3π −π 0 π 3π

−−π

F. 3.12 – graphe de la fonction S(x).

Remarque 3.3.5 En appliquant l’égalité de Parseval, on obtient :

∞ π ∞
1X 4 1 π2 X 1 π2
Z
2
= t dt = ⇐⇒ =
2 n=1 n 2 π 0 3 n=1
n2 6

Exemple 3.3.4 f étant une fonction 2π-périodique telle que :

f (x) = x2 si x ∈] − π, π]

f est une fonction paire, continue pour tout x ∈ R. Elle admet en chaque point une dérivée à
droite et une dérivée à gauche. elle admet un développement en série de F ourier.

y
- π2

+ + + + + + + + + + + + + x
-6π -5π -4π -3π -2π -π 0 π 2π 3π 4π 5π 6π

F. 3.13 – graphe de la fonction f (x) et celui de S(x)

f : paire =⇒ bn = 0, ∀n ∈ N, et l’on a :
2 π 2 2π2
Z
a0 = t dt =
π 0 3

M r A  N -E  58

3.3 Applications

#π Z π
2 π 2 2 t2 sin nt 2t sin nt
Z " !
an = t cos nt dt = − dt
π 0 π n 0 0 n
−4 π
Z π
−4 t cos nt π cos nt 4(−1)n
Z   !
= t sin nt dt = + dt =
π 0 π −n 0 0 n n2
Comme f est continue sur R ; on a donc f (x) = S(x) et donc :
∞
π2 X 4(−1)n
S(x) = + cos nx = f (x) ∀x ∈ R
3 n=1
n 2

Le graphe de f et celui de S sont identiques.

∞
X (−1)n+1 π2
Remarque 3.3.6 Pour x = 0, on a f (0) = S(0) = 0 ce qui donne =
n=1
n2 12

Exemple 3.3.5 f étant une fonction de périodique 2, telle que :

x si 0≤x<1




f (x) = 

1 si 1≤x<2


2

y
-1
-½
x
+ + + + + + + + + + + +
-6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6

F. 3.14 – graphe de la fonction f (x)

f n’est ni paire ni impaire et ne présente des discontinuités que pour les points d’abscisses
un nombre entier positif ou négatif. f admet alors un développement de F ourier.
2π
On a p = = 2 ⇐⇒ ω = π.
ω
Z π/ω Z 2 Z 1 Z 2
ω 1
a0 = f (t)dt = f (t)dt = t dt + dt = 1
π π/ω 0 0 1 2
Z 1 Z 2
cos nπt (−1)n − 1
an = t cos nπt dt + dt =
2 π2 n 2
Z0 1 Z 12
sin nπt (−1)n+1 − 1
bn = t sin nπt dt + dt =
0 1 2 2nπ
La série de F ourier associée à f est donc :
∞ ∞
1 2 X cos(2n + 1)πx 1 X sin 2nπx
S(x) = − 2 −
2 π n=0 (2n + 1)2 2π n=1 n

59 M r A  N -E 

 SERIES DE F OURIER

En prenant les demis sommes aux points de discontinuité on a pour x ∈ [0, 2[ :

1
 si x = 0
4






 x si 0 < x < 1


∞ ∞

1 2 X cos(2n + 1)πx 1 X sin 2nπx  
− 2 − =

2 π n=0 (2n + 1) 2 2π n=1 n  3
si x = 1


4





 1 si 1 < x < 2




2

y
-1
• • • 3/
4- • • •
-½
• • • 1/ • • • x
4
+ + + + + +
-6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6

F. 3.15 – graphe de la fonction S(x)

Exemple 3.3.6 Donner la série de F ourier en sinus de la fonction :

f (x) = cos x pour x ∈]0, π[.

On va faire un prolongement en fonction impaire de la fonction f. Comme la fonction sinus

est de période 2π, posons alors :
f (x) = cos x si x ∈]0, π[

f˜(x) =
− f (−x) = − cos x si x ∈] − π, 0[

La fonction f˜ est une fonction impaire de période 2π, continue partout sur R sauf aux points
x = kπ où k ∈ Z, où elle n’est pas définie, et coïncide avec la fonction f sur ]0, π[. Elle admet
donc un développement de F ourier.
CommeZ f˜ est impaire, an = 0, et Z on a:
π π
2 1 
bn = cos x sin nx dx = sin(n + 1)x + sin(n − 1)x dx
"π 0 π 0 #
π
1 − cos(n + 1)x − cos(n − 1)x 2n((−1)n + 1)
= + = si n , 1.
π n+1 n−1 0
π(n2 − 1)
Z π Z π
2 1
Pour n = 1, b1 = cos x sin x dx = sin 2x dx = 0
π 0 π 0
finalement on a :
8n
b2n+1 = 0 et b2n =
π(4n2 − 1)
∞
X 8n
∀x ∈]0, π[ cos x = sin 2nx
n=1
π(4n2 − 1)

M r A  N -E  60

3.3 Applications

Remarque 3.3.7 La demi somme aux points de discontinuité est égale à 0. On a donc :
[i h
cos x si x ∈ 2kπ, (2k + 1)π




∞ k∈Z

8 n sin 2nx 
X  [ i h

S(x) = = − cos x si x ∈ (2k + 1)π, (2k + 2)π

π n=1 4n2 − 1



k∈Z




0 si x = kπ, k ∈ Z


La fonction S(x) est périodique de période π.

• • • • •
-2π -π 0 π 2π
-1
F. 3.16 – graphe de la fonction S(x)

Quelques développements intéressants.

1. α ∈ R/Z et x ∈ [−π, π],

∞
 
2α sin πα  1 X cos nx
cos αx = (−1)n

 2 +  ·
π 2α n=1
π(n 2 − α2 ) 

2. Fonction impaire de période 2ℓ > 0.

 πx ℓ

 sin pour 0 ≤ x < ·
ℓ 2



∞

1 πx 4 (−1)n
2nπx 

X n 
 ℓ
sin − sin = 0 pour < x ≤ ℓ.
2 ℓ π n=1 4n − 1
2 ℓ 


 2
 1 ℓ



 pour x = ·
2 2
3.
 −π − x
 pour − 2π < x < 0.
 2


∞
sin nx 

X  π−x

= pour 0 < x < 2π.
n=1
n 


 2


0 pour x = 0, x = 2π, x = −2π.


61 M r A  N -E 

 SERIES DE F OURIER

4.
 3x2 + 6πx + 2π2
∞
 pour − 2π ≤ x ≤ 0.
cos nx  12
X 

=

2 2 2
n  3x − 6πx + 2π



n=1
pour 0 ≤ x ≤ 2π.

12
5.
 x3 + 3πx2 + 2π2 x
∞
 pour − 2π ≤ x ≤ 0.
sin nx 12
X 


=

n=1
n3 3 2 2
 x − 3πx + 2π x pour 0 ≤ x ≤ 2π.



12
Un cas particulier intéressant, est celui où on donne à x la valeur de π/2, on obtient ;
∞
X (−1)n π3
= ·
n=0
(2n + 1)3 32

Remarque 3.3.8 On sait calculer toutes les sommes EXACTES de la forme :

∞
X 1
∀p ∈ N∗ .
n=1
n2p

Exemple 3.3.7
∞ ∞ ∞
X 1 π2 X 1 π4 X 1 π6
= ≈ 1.6449, = ≈ 1.0823, = ≈ 1.0173,
n=1
n2 6 n=1
n4 90 n=1
n6 945
∞ ∞ ∞
X 1 π8 X 1 π10 X 1 691π12
= ≈ 1.0041, = ≈ 1.001, = ≈ 1.0002.
n=1
n 8 9 450 n=1
n 10 93 555 n=1
n 12 638 512 875

Mais il n’en est rien, des sommes de la forme :

∞
X 1
∀p ∈ N∗ .
n=1
n2p+1

Par contre, on sait les calculer avec n’importe quelle précision.

Exemple 3.3.8
∞ ∞ ∞
X 1 X 1 X 1
3
≈ 1.2021, 5
≈ 1.0369, 7
≈ 1.0083.
n=1
n n=1
n n=1
n

M r A  N -E  62