Cours Telecom5

Cours :
Télécommunications
Filière SMP-S6
Option : Electronique
S.IBNYAICH
SMP-S6-Electronique Télécommunications
Sommaire
Chapitre I : Théorie du signal -Traitement analogique du signal……………..…..….……3
Chapitre II : Théorie du signal -Traitement numérique du signal…………..….………..22
Chapitre III : Filtrage Numérique…………………………………………………………36
Chapitre IV: Théorie des communications………………………………………………..42
Chapitre V: Communications numériques………………………………………………..55
2
Chapitre I : Théorie du signal -Traitement analogique du signal
I-Introduction à la théorie du signal :

I-1 Définitions :
I-1-1 : Signal et bruit :
Un signal est la représentation physique de l’information. Sa nature physique peut être
très variable : acoustique, électronique, optique, etc.
Le mot signal est pratiquement toujours associé au mot bruit. Ce dernier est utilisé dans le
langage commun, mais il revêt, dans la théorie du signal, un sens bien particulier.
Un bruit est une perturbation indésirable qui se superpose au signal et aux données
utiles, dans un canal de transmission ou dans un système de traitement de l’information.
Ainsi, il apparaît évident qu’un problème fondamental en traitement du signal sera
d’extraire
le signal utile du bruit. La difficulté du problème dépend en particulier de la proportion
entre signal et bruit. Ceci est mesuré par le rapport signal à bruit (RSB).
RSB est le rapport signal à bruit est le rapport des puissances du signal, PS, et du
bruit,PB :
𝑷𝑺
𝑹𝑺𝑩 =
𝑷𝑩
Ou en dB :
𝑷𝑺
𝑹𝑺𝑩𝒅𝑩 = 𝟏𝟎𝑳𝒐𝒈𝟏𝟎 ( )
𝑷𝑩
Le RSB mesure donc la qualité du signal.
I-1-2: La théorie du signal et la théorie de l’information :
FIG. 1.1 – Position des théories de l’information et du signal dans une chaîne de
transmission de l’information.
Les mots signal et information sont communs dans le langage courant. Dans le monde
scientifique, ces mots ont des significations bien précises : en particulier, théorie de
l’information, théorie du signal et traitement du signal correspondent à des notions
différentes, illustrées à la Figure 1.1.
Dans le cadre d’une chaîne de communications. De façon encore plus générale :
3
La théorie du signal est l’ensemble des outils mathématiques qui permet de décrire les
signaux et les bruits émis par une source, ou modifiés par un système de traitement,
La théorie de l’information est l’ensemble des outils mathématiques qui permet de
décrire la transmission de messages véhiculés d’une source vers un destinataire,
Le traitement du signal est l’ensemble des méthodes et des algorithmes qui permet
d’élaborer ou d’interpréter les signaux porteurs d’information.
I.1.3 Principales fonctions du traitement de signal
Les principales fonctions du traitement de signal sont :
L’analyse : On cherche à isoler les composantes essentielles d'un signal de forme
complexe, afin d'en mieux comprendre la nature et origines.
Le filtrage : C'est une fonction qui consiste à éliminer d'un signal certaines composantes
indésirables ou extraire un signal noyé dans le bruit.
La détection : Par cette opération on tente d'extraire un signal utile du bruit de fond qui lui
est superposé.
L’identification : C'est un procédé souvent complémentaire qui permet d'effectuer un
classement du signal observé.
La synthèse : Opération inverse de l'analyse, consiste à créer un signal de forme
appropriée en procédant, par exemple, à une combinaison de signaux élémentaires.
La modulation et le changement de fréquence : Sont essentiellement des moyens
permettant d'adapter un signal aux caractéristiques fréquentielles d'une voie de
transmission, d'un filtre d'analyse ou d'un rapport d'enregistrement.
II-Classification des signaux :
II-1 Signaux physiques ou mathématiques :
II-1-1 Signaux Mathématiques :
Un signal mathématique est une fonction d’un certain nombre de paramètres.
- Cette fonction peut être discontinue (le signal carré)
- Cette fonction peut avoir une énergie infinie.
- Elle a un support temporel infini.
- Elle est à valeurs dans R ou dans C
- Elle a un spectre à support fréquentiel infini.
II-1-2 Signaux Physiques :
Un signal physique est un signal expérimental physiquement réalisable et mesurable par
un capteur (ex : un oscilloscope pour un signal électrique)
- Ce signal est continu, avec une énergie finie.
- Son amplitude maximale est bornée.
- Son support temporel est fini.
- Ce signal est réel et causal (il est nul si le temps t est négatif).
- Son spectre a un support fréquentiel fini mesurable par exemple par un analyseur de
spectre.
II-2 Classification des signaux
On peut classer les signaux selon différentes approches, ce qui induit des
recouvrements entre les classes ainsi définies. Par exemple, on peut considérer :
– le caractère déterministe (certain) ou aléatoire des signaux,
– la dimension des signaux (1D, 2D, 3D…).
– le caractère continu ou discret du signal x(t),
4
– le caractère spectral : signaux basse ou haute fréquence, large bande, bande étroite,
etc.
– le caractère énergétique : signaux à énergie finie ou à puissance moyenne finie,
II-2-1 Classification temporelle:
Signaux
Déterministes Aléatoires
Non Non
Périodiques périodiques Stationnaires Stationnaires
Non
Pseudo-
Transitoires Ergodiques Ergodiques
périodiques
FIG. 1.2. – Représentation graphique de la classification temporelle des signaux
 Les signaux déterministes: On qualifie un signal de déterministe si on sait le prévoir à

partir de lois simples. Exemple: La sortie d’un filtre électronique RC
 Les signaux aléatoires : Par opposition, on dira qu’un signal est aléatoire s’il est
impossible de le reproduire identique à lui même.
Exemple: Le bruit de fond d’un circuit électronique, les cours de la bourse, ...
 Signaux périodiques : Un signal x(t) est périodique s’il existe un réel T > 0, tel que :
x(t) = x(t + kT), ∀k ∈ Z. T est appelée période du signal.
 Signaux quasi-périodiques : Les signaux quasi-périodiques sont produits par la
somme ou le produit de signaux sinusoïdaux de périodes incommensurables, c’est-à-
dire dont le rapport n’est pas rationnel. Ainsi, le signal :
2𝜋𝑡 2𝜋𝑡
𝑥 𝑡 = sin + sin⁡( )
𝑇1 𝑇2
Avec T1/T2 ∈ Q, est quasi-périodique.
 Signal transitoire : Par définition, un signal transitoire est un signal variable de durée
définie, qui s'établit généralement entre deux états permanents. En fait n'importe quel
signal peut passer par un état transitoire.
 Signal stationnaire : Un signal aléatoire x(t) est stationnaire, si ses caractéristiques
statistiques sont invariantes dans le temps (il répond de la même manière dans le
temps).
 Signal ergodique : Un signal aléatoire x(t) est ergodique si les valeurs moyennes
statistiques (moyennes d’ensemble) sont égales aux valeurs moyennes temporelles
(sur une réalisation).
II-2-2 Classification dimensionnelle :
Détermination du Nombre de variables libres (paramètres).
5
Signaux 1D : x(t) (signal reçu par un microphone monophonique),

Signaux 2D : I(x, y) (image, signal reçu par un microphone stéréophonique)
Signaux 3D : I(x, y, z) (image volumique en tomographie ou IRM, I(x, y, f) (image hyper
spectrale),
Signaux 4D ou 3D +t (séquence d’images 3D, en IRM par exemple),
Signaux N-D, typiquement reçus par un réseau de capteurs (réseaux d’antennes, ou de
microphones).
Exemples :
Tension électrique V(t) = signal unidimensionnel
Image statique noir et blanc  brillance B(x,y) = signal bi-dimensionnel
Film noir et blanc  B(x,y,t) = signal tri-dimensionnel
Remarque: La théorie du signal est indépendante de la nature physique du signal et des
variables libres
II-2-3 Classification énergétique:
Toute transmission d'information est liée à un transfert d'énergie.
On considère l'énergie des signaux. On distingue :
 Les signaux à énergie finie : il possède une puissance moyenne nulle et une
énergie finie.
 Les signaux à puissance moyenne finie : il possède une énergie infinie et sont
donc physiquement irréalisable.
Comment calcule-t-on l’énergie et la puissance d'un signal?
Soit un signal s(t) défini sur −∝, +∝ , et T un intervalle de temps.
a- L’énergie d’un signal :
L’énergie d’un signal continu s(t) réel ou complexe est défini par :
 
2
E  s(t )s * (t )dt   s( t ) dt
 
s*(t) représente le signal complexe conjugué de s(t).
Si cette intégrale est finie on dit que le signal s(t) est à énergie finie.
b- Puissance d’un signal :
- La quantité p(t) = s(t)s*(t) s’appelle la puissance instantanée de s(t).
dE
C’est la densité d’énergie : p( t ) 
dt
- La puissance moyenne P d’un signal continu s(t) réel ou complexe est définie par :
T
1 2
P  lim  s( t )s * ( t )dt
T  T T

2
Si cette intégrale est finie on dit que le signal s(t) est à puissance moyenne finie.
Un signal d’énergie E finie a une puissance moyenne P nulle.
- Dans le cas des signaux périodiques, la puissance moyenne P est la puissance
moyenne calculée sur une période T :
6
1
T T
P s(t ) s * (t )dt
- Un signal d’énergie nulle (E=0) est considéré comme égal à 0 (signal nul)
- 2 signaux x(t) et y(t) sont égaux si l’énergie de leur différence est nulle:

2
 x ( t )  y( t ) dt  0

- Tous les signaux physiques sont à énergie finie mais on peut les modéliser comme
des signaux mathématiques dont on observe une certaine durée. Par exemple la
tension sinusoïdale aux bornes d’une prise de courant.
- Il existe des signaux d’énergie et de puissance moyenne infinie.
II-2-4 Classification morphologique :
De manière générale, les signaux peuvent être classés dans les catégories suivantes
(figures suivante) :
1. Signaux continus en temps et en amplitude: x(t). On les appelle également signaux

analogiques (a) ; ils proviennent généralement de processus physiques.
2. Signaux discrets en temps, continus en amplitude: xe(t = nTe). Ce sont les signaux
échantillonnés (b). Ils ne sont définis qu'à des instants déterminés multiples de la
période d'échantillonnage Te, mais leur amplitude peut varier de manière continue.
3. Signaux discrets en temps et en amplitude: xq[n]. De tels signaux sont quantifiés en

amplitude; ils ne peuvent prendre que des valeurs déterminées, généralement, multiples
d'un pas de quantification. Ce sont les valeurs numériques fournies par les
convertisseurs analogiques - numériques (CAN). Ils ne sont définis qu'aux instants
d'échantillonnage et correspondent aux signaux numériques (c).
4. Signaux continus en temps, discrets en amplitude: xq(t). Ce sont des signaux

quantifiés similaires à ceux décrits en 3, dont la valeur est maintenue par un bloqueur
d'ordre zéro entre 2 périodes d'échantillonnage (d). Ces signaux correspondent à ceux
fournis par les convertisseurs numériques analogiques (CNA).
7
III- Signaux et fonctions de base « continu »:

On va présenter la description mathématique de signaux élémentaires, souvent
idéaux (en ce sens qu’ils ne sont pas réalisables physiquement) mais très pratiques pour la
description de modèles mathématiques. Tous ces modèles seront largement utilisés dans la
suite de ce cours, et de façon plus générale en traitement du signal et des images.
III-1 Signaux usuels :
a. Fonction signe (singleton) :
La fonction signe, notée sgn est une fonction réelle de la variable réelle définie par :
FIG. 1.3 – Fonctions signe, sgn(t)

Usuellement, on prend sgn(0) = 0. Avec cette convention, la fonction sgn est une fonction
impaire :
b. Fonction échelon unité(Heaviside)

La fonction échelon unité, ou simplement échelon est une fonction réelle de la variable
réelle définie par :
FIG.1.4 Fonctions échelon
8
Avec, par convention,
On montre facilement les relations :
c. Fonction rampe
La fonction rampe, notée r(t), est une fonction réelle de la variable réelle définie par :
Cette fonction est définie aussi par : r(t) =t.u(t)
FIG. 1.5 – Fonction rampe, r(t)
D’où :
d. Fonction rectangle ( Porte)

Fonction rectangle unité est une fonction porte, de largeur 1, est une fonction réelle de la
variable réelle définie par :
La fonction rectangle de largeur T est une fonction porte, de largeur T, est une fonction
réelle de la variable réelle définie par :
FIG. 1.6 – Fonctions rectangle, de largeur unité (à gauche) et de largeur T (à droite)
9
FIG. 1.7 – Fonctions rectangle de largeur unité et de largeur T, translatées de τ

e. Fonction triangle
La fonction triangle unité, notée tri, est une fonction réelle de la variable réelle définie par
:
FIG. 1.8 – Fonctions triangle unité (à gauche), triangle unité translatée de τ (au milieu) et triangle
d’aire 2T translatée de τ (à droite)
f. Impulsion de Dirac
La notion de distribution est un complément mathématique indispensable de la notion de
fonction, notamment pour décrire des événements infiniment brefs mais de puissance finie
non nulle ou le phénomène d’échantillonnage.
FIG. 1.9 – Distributions de Dirac : unité (à gauche), translatée de τ (au milieu), translatée de τ et
d’amplitude 2 (à droite)
g. Fonction sinus cardinal

Cette fonction est très courante en traitement du signal où elle intervient comme
transformée de Fourier d’une fonction rectangle. Une fonction rectangle permet de
représenter par exemple des opérateurs idéaux de filtrage.
10
La fonction sinus cardinal, notée sinc(u), est définie par :
FIG. 1.10. – Représentation graphique de la fonction sinc(u)
h. La fonction exponentielle décroissante:
FIG. 1.11 Représentation graphique de la fonction exponentielle décroissante
C’est une fonction définie par :

x(t )  e t u(t )
Dans le cas où 0 <  < 1, on obtient une exponentielle décroissante alors que
pour || > 1, l'amplitude de la séquence ne cesse d'augmenter.
IV- Les fonctions d’auto corrélation et d’inter corrélation :

Pour comparer deux signaux entre eux, ou faire ressortir une caractéristique d’un signal
noyé dans le bruit, on compare le signal x(t) pris à un instant « t », à un signal y(t) pris à
un instant « t=t-τ».
IV-1 La fonction d’auto corrélation :
L’auto corrélation réalise une comparaison entre un signal x(t) et ses copies retardées. On
définit la fonction d’auto corrélation d’un signal à énergie finie comme:

C ss ()   s(t )s * (t  )dt

Pour un signal à puissance moyenne finie, la fonction d’auto corrélation devient :
11
T
1 2
C ss ()  lim  s(t )s * ( t  )dt
T  T T

2
1
et pour un signal périodique : C ss () 
TT
 s(t )s * (t  )dt
IV-2 La fonction d’inter-corrélation :
L'inter corrélation compare deux signaux réels x(t) et y(t) retardée, elle traduit la
ressemblance de forme entre eux. On définit la fonction d’inter-corrélation de 2 signaux
à énergie finie par:

C xy ()   x(t ) y * (t  )dt (avec (*) conjugué)

Pour 2 signaux à puissance moyenne finie, la fonction d’inter corrélation devient :
T
2
C xy ()  lim
T  T
 x (t ) y * (t  )dt

2
Exemple : Si y( t ) est une version retardée de t 0 de x( t ), donc C x,y(t) sera maximale pour
t = -t 0 ; en examinant son temps de pic, on peut estimer le décalage entre x et y
(Application en radar)
IV-3 Propriétés de corrélation :
- La fonction d’auto corrélation traduit la similitude d’un signal au niveau de la forme
en fonction du décalage temporel .
- C’est une mesure de la ressemblance du signal avec lui même au cours du temps.
- Si le signal est périodique mais noyé dans du bruit, sa fonction d’autocorrélation le
sera aussi et permettra de détecter cette périodicité.
- Le principe de la corrélation est de pouvoir extraire l’information prédictive future à
partir des valeurs précédentes du signal.
- La fonction d’auto corrélation en 0 représente l’énergie du signal à énergie finie:
C ss (0)  E  0
- La fonction d’auto corrélation d’un signal réel est paire : Css ()  Css ()
- La fonction d’auto corrélation est maximale en 0: Css ()  Css (0)
D’où la possibilité de normaliser les fonctions d’auto corrélation pour les comparer
entre elles et d’obtenir la fonction d’auto corrélation normalisée :
C ()
 ss ()  ss
C ss (0)
VI- Signaux et fonctions de base « discret »:

VI-1 Signaux usuels :
Parmi l'infinité de signaux que l'on peut imaginer, il y en a quelques un qui sont
fondamentaux pour l'analyse des signaux et des systèmes discrets. Ce sont :
12
a. Impulsion de Dirac :
On l’appelle également «impulsion unité» :
FIG. 1.12 Représentation graphique de l’impulsion de Dirac
Un aspect important de cette séquence est qu'elle peut servir à définir n'importe quelle
autre séquence. En effet, toute séquence peut être considérée comme une somme
d'impulsions décalées [n−k] et d'amplitude x[k]. La suite x[n] peut donc être décrite par
l'expression suivante:
x (n )  ....... x (2)(n  2)  x (1)(n  1)  x (0)(n )  x (1)(n  1)  x (2)(n  2)  ...

 x (n )   x (k )(n  k )
k  
De manière équivalente, on a :

u (k )   (n  k )
k 0
Inversement, l'impulsion unité peut être décrite par la différence de deux sauts unités:
(n)  u(n)  u(n  1)
b. Echelon unité :
Ou fonction de Heaviside
FIG. 1.13 Représentation graphique de l’Echelon unité
c. Rampe unité :
La fonction rampe unité est définie par :
FIG. 1.14 Représentation graphique de la rampe unité
13
d. Fonction exponentielle :
La fonction exponentielle discrète est définie par :
FIG. 1.15 Représentation graphique de l’exponentielle

Dans le cas où 0 < < 1, on obtient une exponentielle décroissante ;
alors que pour |  | > 1, l'amplitude de la séquence ne cesse d'augmenter avec n.
e. Fonction rectangle
FIG. 1.16 Représentation graphique du rectangle

On montre facilement la relation :
VI-2 Définitions, transformations et propriétés

VI-2-1 Energie et puissance :
Par analogie avec le cas des signaux continus on nommera énergie d’un signal discret la
quantité positive définie par :
La puissance moyenne d’un signal non périodique,
La puissance moyenne d’un signal périodique est d’ailleurs égale à la puissance moyenne
calculée sur une période :
14
VI-3 Opérations sur les signaux discrets :

VI-3-1 Inter-corrélation et auto-corrélation
L’objectif premier du calcul de la fonction d’intercorrélation de deux signaux
déterministes est de mesurer le degré de ressemblance entre ces deux signaux et de
déterminer la translation nécessaire à la meilleure coïncidence.
La fonction d’inter-corrélation entre les signaux numériques x(n) et y(n) à énergie finie
est le signal numérique Cxy(n) défini par :
Cxy(n)
Ou encore :
Cxy(n)
La fonction d’intercorrélation entre les signaux numériques x(n) et y(n) à puissance finie
périodique est le signal numérique Cxy(n) défini par :
Cxy(k)
Si les signaux sont périodiques alors :

Cxy(k)
Il est évident dans ce cas sont des signaux numériques que les signaux x(n) et y(n)
périodiques de même période N.
Il est aussi évident que dans le cas de la fonction d’auto-corrélation et dans toutes les
expressions précédentes on remplace y par x donc on aura Cxx au lieu de Cxy.
VI-3-2 Autres opérations :
a. Renversement du temps :
x(t) x(-t) et x[n]  x[-n]
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b. Changement de l’échelle du temps :
x(t)x(2t) et x[n]  x[2n] : raccourcissement

x(t)x(t/2) et x[n]  x[n/3] : dilatation
c. Décalage :
x[n]  x[n-no]
x[n]  x[n+no]
x[n-2]
x[n] x[n+3]
n n n
d. Parité et imparité des signaux :

Un signal x[n] (x(t)) est pair si x[n] = x[-n], le signal est symétrique par rapport à l’axe
n=0
Un signal x[n] (x(t)) est impair si x[n] = - x[-n] le signal est symétrique par rapport à
l’origine (0,0)
Tout signal x[n] est la superposition d’un signal pair et d’un signal impair.
 1
 x pair (t )  ( x(t )  x(t ))
x(t )  x pair (t )  ximp (t ) avec  2
1
 ximp (t )  ( x(t )  x(t ))
 2
 1
 x pair [ n ]  ( x[n]  x[n])
x[n]  x pair[n]  ximp [n] avec 2
 1
 ximp [n]  ( x[n]  x[n])
 2
16
VII – Les Systèmes :

VII-1 Définition :
De manière générale, on appelle système toute entité qui accepte des signaux d’entrée
et qui produit des signaux de sortie.
On distingue :
- les systèmes analogiques dont les signaux d’entrée-sortie sont analogiques.
- les systèmes discrets dont les signaux d’entrée-sortie sont discrets.
signal analogique
5 signal analogique de sortie
5
4
4
3
3
2
2
1
Système
amp. en Volts
amp. en Volts
0
Analogique
0
-1 -1
-2 -2
-3 -3
-4 -4
-5 -5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
temps en sec. temps en sec.
signal discret signal discret de sortie

5 5
4 4
3 3
2 2
Système
1
amp. en Volts
1
amp. en Volts
0
0
-1
-2
Discret -1
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 temps en sec.
temps en sec.
FIG. 1.17 Système analogique et système discret

Un système numérique est une fonction ou un algorithme prédéfini qui opère sur un
signal numérique (appelé l'entrée ou l'excitation) et qui produit un autre signal numérique
nommé la sortie ou la réponse du système.
VII-2 Exemples de systèmes discrets
Considérons des systèmes simples décrits par les équations suivantes :
a. y[n] = x[n] : système identité
b. y[n] = x[n-1] : décalage arrière d'un pas
c. y[n] = x[n+1] : décalage avant d'un pas
A chacun de ces systèmes, on applique le signal :
x[n] = {↑0, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 0, 0, 0, · · ·}
Les réponses de chacun des systèmes sont alors les suivantes :
a. y[n] = {· · · 0, 0, ↑0, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 0, 0, 0, · · ·}
b. y[n] = {· · · 0, 0, ↑0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 0, 0, · · ·}
c. y[n] = {· · · 0, 0, ↑1, 2, 3, 4, 5, 0, 0, 0, 0, 0, · · ·}
FIG. 1.18 Représentation successive des exemples a,b et c.
17
VII- 3 Propriétés des systèmes

1. Système statique (sans mémoire) : Un système statique ou sans mémoire est un
système dont la sortie y[n] ne dépend que du signal d'entrée à l'instant n. Exemple:
y[n] = a x[n] + n x2[n]
2. Système dynamique (avec mémoire) : Inversement, un système tenant compte de ce
qui s'est passé ou se passera est dit dynamique ou avec mémoire. Exemple: y[n] =
(x[n − 1] + x[n] + x[n + 1]
3. Système linéaire : Un système linéaire satisfait au principe de superposition :
y[n] = S{a x1[n] + b x2[n] }= a S{x1[n]} + b S{x2[n] } = y1[n] + y2[n]
4. Système invariant dans le temps : Un système est invariant dans le temps si son
comportement se reproduit de façon identique au cours du temps: si à une entrée x(t),
on obtient en sortie y(t) alors à l’instant t-, on obtient la sortie y(t-). (S{x[n]} = y[n]
alors S{x[n -k]} = y[n -k])
5. Système causal : Un système est causal si la séquence de sortie ne dépend que des
valeurs actuelles ou passées de la séquence d'entrée.
6. Système stable : Un système est stable si, quelle que soit la séquence d'amplitude finie
appliquée à l'entrée, sa sortie est d’amplitude finie.
VII- 4 Interconnexions des systèmes
a. Connexion en cascade (série) :
b. Connexion en parallèle:
y[n] = y1[n] + y2[n]  y[n] = H1{x[n]} + H2{x[n]}
Cascade
Parallèle
FIG. 1.19 Connexion Cascade et Parallèle
Conclusion : Les systèmes linéaires et temporellement invariants (systèmes LTI)
constituent une classe importante des systèmes.
VII- 5 Réponse impulsionnelle et produit de convolution
VII-5-1 Cas discret
La réponse impulsionnelle, notée h(n), est la sortie du système lorsqu’on lui
applique une impulsion unité [n] :
18
[n] Système LTI h[n]
FIG. 1.20 Représentation graphique d’un système discret
h[n] = S{[n]}
Or x[n] peut s’exprimer en fonction de [n] :

x[n]   x[k][n - k]
k - 
Quelle est la sortie y[n] d’un système dont l’entrée est x[n] : y[n] = S{x[n]}
   linéarité  in var iant  

y[n]  S  x[k][n - k]   x[k]S[n - k]   x[k]h[n - k]
k -  k - k -
Cette relation importante porte le nom de produit de convolution numérique.

y[n]   x[k]h[n - k]  x[n] * h[n]
k - 
Un système LTI est totalement caractérisé par sa réponse impulsionnelle h[n] et le
calcul de la réponse à un signal quelconque peut alors se faire dans le domaine temporel.
Pour déterminer le produit de convolution on réalise les étapes suivantes :
1. retourner le signal h[k] autour de l'ordonnée afin d'obtenir h[−k].
2. décaler h[−k] en n pour obtenir h[n − k] ;
3. effectuer sa multiplication avec x[k] pour obtenir x[k] · h[n − k] ;
4. sommer la suite de valeurs ainsi obtenues.
VII-5-1-1 Propriétés :
a. Associativité Le produit de convolution est associatif :
b. Distributivité par rapport à l’addition Cette propriété est également évidente et elle
s’énonce comme suit
:
c. Elément neutre de la convolution L’élément neutre du produit de convolution est la

suite de
Dirac :
VII-5-2 Cas continu

La réponse impulsionnelle, notée h(t), est la sortie du système lorsqu’on lui applique
une impulsion unité (t) :
(t) Système LTI h(t)
FIG. 1.21 Représentation graphique d’un système Continu

Or x(t) peut s’exprimer en fonction de (t):
19

x(t)   x()(t - )d
-
  linéarité  in var iant 

y(t)  S  x()(t - )d   x( )S(t - ) d   x()h(t - )d
-   - -
Equation générale de convolution :
VII-5-2-1 Propriétés :
A partir de la définition du produit de convolution, on montre facilement que le produit
de
Convolution est :
– Commutatif : x1(t) ∗ x2(t) = x2(t) ∗ x1(t),
– Associatif : x1(t) ∗ (x2(t) ∗ x3(t)) = (x1(t) ∗ x2(t)) ∗ x3(t),
– Distributif par rapport à l’addition : x1(t) ∗ (x2(t)+x3(t)) = x1(t) ∗ x2(t)+x1(t) ∗
x3(t).
VII-6 Propriétés :
VII-6-1 Propriétés de (t) :
Le dirac (t) ou impulsion de dirac n’est pas une fonction mais une distribution ou
fonction généralisée.
o s(t ).(t )  s(0).(t )
o s(t ).(t  t 0 )  s(t 0 ).(t  t 0 )
o s(t )  (t )  s(t ) Elément neutre pour la convolution
o s(t )  (t  t 0 )  s(t  t 0 )
o (t  t1 )  (t  t 2 )  (t  t1  t 2 )
VII-6-2 Propriétés du produit de convolution :
 Le produit de convolution est commutatif: un simple changement de variable
permet d’écrire:
 
y ( n)   x ( k ) h( n  k ) 
n  
 h( k ) x ( n  k )
n  
 x(n) * h(n)  h(n) * x(n)
 Le produit de convolution est associatif :

x[n] * h1[n] * h 2 [n]  x[n] * h1[n]* h 2 [n]
 Le produit de convolution est distributif par rapport à l’addition :

x[n] * h1[n]  h 2 [n]  x[n] * h1[n]  x[n] * h 2 [n]
 (n) est l’élément neutre pour le produit de convolution

x(n) * (n)  x(n)
 Translation temporelle
20
x(n) * (n  n o )  x(n  n o )

VII-6-3 Conséquences :
x[n] z[n] y[n] x[n] y[n]
h1[n] h1[n]  h1[n] * h 2 [n]
x[n] y[n] x[n] w[n] y[n]

 h 2[n] * h1[n]  h2[n] h1[n]
h1[n]
x[n] y[n] x[n] y[n]
  h1[n] + h2[n]
h2[n]
FIG. 1.23 Représentation graphique de quelques exemples de produit de convolution
21
Chapitre II : Théorie du signal -Traitement numérique du signal
I Propriétés fréquentielles
La représentation naturelle d’un signal est sa représentation dans le domaine temporel.
Il existe une autre représentation non moins importante, qui est la représentation dans le
domaine fréquentiel, qu’on appelle communément spectre du signal.
Cette représentation permet de voir le niveau de chaque composante harmonique
constituant le signal.
I.1. Transformation de Fourier des fonctions périodiques : Série de Fourier
L’introduction de la transformée et de la Série de Fourier permet de donner une autre
représentation des signaux très intéressante pour la théorie de l’information et du signal
.Cette décomposition exponentielle ou trigonométrique permet d’exprimer le signal en
fonction de ses harmoniques.
I.1.1. Décomposition sous une forme trigonométrique
Un signal périodique s(t) de période T, continu par morceaux et vérifiant les condition de
Dirichlet, peut être décomposé en Série de Fourier selon la Décomposition
trigonométrique suivante, pour tout signal s(t) réel où s(t) = s ( t + T 0), (avec : T0=1/F0) on
peut écrire :
Avec :
A0 est la valeur moyenne de s(t).

Remarque :
 Si s(t) est paire => Bn = 0 pour n ϵ N*
 Si s(t) est impaire => An = 0 pour n ϵ N (A0 = 0).
L’expression précédente peut s’écrire :
Avec :
22
 Spectre du signal périodique

Le spectre en fréquence d’un signal périodique est constituer de la composante continue à
la fréquence nulle d’amplitude a0, du fondamental à la fréquence F0 d’amplitude C1 et des
différents harmoniques situés aux fréquences f = nF0 d’amplitude respectives Cn.
Le spectre d’une fonction périodique, de période T0 , est discontinue et composé de raies
dont l’écart minimum est F0, sur l’axe des fréquences,.
Représentation spectrale unilatéral
A partir de l’expression précédente, on peut construire la représentation spectrale du signal
dans un plan amplitude –fréquence.
C’est la succession de pics ou raies d’amplitude Cn et positionnés aux fréquences nF0.
a0
Figure. 1 -Représentation unilatéral spectrale du signal s(t).

I.1.2. Décomposition sous une forme exponentielle
Un signal périodique s(t) de période T0, continu par morceaux, peut être décomposé en
Série de Fourier selon la décomposition exponentielle suivante :
Avec :
Les valeurs négatives de n sont introduites dans un but de simplification, s(t) étant réel
d’où nous avons :
S(nF0) représente les composantes du spectre en fréquence de s(t),grandeur en général

complexe, qui a pour:
L’expression du spectre S(f) est :
Représentation spectrale bilatéral

A partir de l’expression précédente, on peut construire la représentation spectrale du signal
dans un plan amplitude –fréquence.
23
C’est la succession de pics ou raies d’amplitude S (nF0) et positionnés aux fréquences

nF0.
Figure. 2 - Représentation bilatérale du spectre d’un signal périodique.

 Propriétés
Si s(t) est paire => Bn = 0 et Sn = S-n
Si s(t) est impaire => An = 0 et Sn = -S-n
I.2. Transformation de Fourier des fonctions non périodique :TF
La transformée de Fourier permet d’obtenir une représentation en fréquence
(représentation spectrale) des signaux déterministe, continus et non périodique. Elle
exprime la répartition fréquentielle de l’amplitude, de la phase et de l’énergie (ou de la
puissance) des signaux considérés.
I.2.1 Définition
Soit x(t) un signal déterministe non périodique, sa transformée de Fourier est :
X(f) indique quelle "quantité" de fréquence f est présente dans le signal x(t) sur l'intervalle
−∞, +∞
X(f) est une fonction de f, généralement complexe :
Le module est l’amplitude du spectre :
La transformation inverse est donnée par :
24
 Cas particulier : Transformée de Fourier de Dirac
 Transformée de Fourier du produit de convolution
Remarque :
df
II. Traitement numérique :

II.1 Définitions et principes :
Les calculateurs et autres systèmes numériques opèrent sur des nombres et non sur
des grandeurs continues. Les capteurs extraient, par exemple, la température ou la tension
qui sont des signaux analogiques. Si l’on veut traiter ces signaux par voies numériques, il
faut les représenter au préalable par une suite de nombre de valeurs ponctuelles prélevées
régulièrement. Un tel prélèvement est appelé échantillonnage et l’opération qui consiste à
faire correspondre au signal analogique une suite de nombres généralement codés sous
forme binaire est appelée conversion analogique numérique.
25
Si le pas de prélèvement des échantillons est constant, on parle d’échantillonnage

régulier. L’intervalle entre deux échantillons successifs est appelé pas d’échantillonnage.
L’opération qui consiste à remplacer la valeur exacte de l’amplitude de l’échantillon par la
valeur la plus proche approximative multiple d’un pas est appelé quantification.
Ainsi la conversion analogique numérique est la représentation numérique des
échantillons dont le principe est basé sur la quantification et le codage. Souvent la
conversion analogique numérique est appelée numérisation.
x(t) x(t) x(t)
Signal analogique t Echantillonnage réel t Signal numérique t
Figure.3 Schéma de structure de l’échantillonnage et la numérisation
Numérisation Système Reconstruction

x(t) y(t)
(CAN) numérique (CNA)
Figure.4 : Schéma de principe d’un système de traitement numérique

Pour conclure, la conversion analogique numérique est la succession de trois effets sur le
signal analogique de départ :
 L’échantillonnage pour rendre le signal discret
 La quantification pour associer à chaque échantillon une valeur
 Le codage pour associer un code à chaque valeur.
II. 2 Echantillonnage des signaux :
II.2.1 Définition :
L’échantillonnage consiste à prélever à des instants précis, le plus souvent équidistants, les
valeurs instantanées d’un signal. Le signal analogique s(t), continu dans le temps, est alors
représenter par un ensemble de valeur discrète : Se(t) = S(n.Te)
Avec : n : entier.
Te : période d’échantillonnage.
Cette opération est réalisée par un échantillonneur souvent symbolisé par un interrupteur.
Figure.5 :L’échantillonnage d’un signal s(t).
26
II.2.2. Echantillonnage idéal

L’échantillonnage idéal est modélisé par la multiplication du signal continu s(t) et d’un
peigne de Dirac de période Te.
ᵟ t)
Te(
Te t
Le spectre du signal échantillonné
Le spectre du signal échantillonné est donc le suivant :
On obtient donc un spectre infini qui provient de la périodisation du spectre du signal

d’origine autour des multiples de la fréquence d’échantillonnage fe, avec fe=1/Te
Figure. 6- Spectre d’un signal échantillonné.

Remarque :
On voit sur le spectre du signal échantillonné qu’il est possible de restituer le signal
original par un simple filtrage passe-bas.
Le recouvrement :
Si fM, la fréquence maximale du spectre du signal à échantillonner, est supérieure à fe/2, la
restitution du signal original sera impossible car il va apparaître un recouvrement
spectral lors de l’échantillonnage. On dit qu’on est en sous-échantillonnage
Figure. 7- Spectre d’un signal sous-échantillonné.

Ce résultat est prévisible, en effet la convolution d’un signal X(f) avec un peigne de Dirac
n’est autre que sa duplication dans l’espace fréquentiel. Ainsi la Transformée de Fourier
d’un signal échantillonné au pas de Te est une fonction périodique dans l’espace
fréquentiel, sa période est fe. Ce résultat confirme la dualité temps fréquence :
27
 Un signal périodique ou périodisé a un spectre de raies.

 Un signal échantillonné (raies temporelles) a un spectre périodique.
Périodisation dans l’espace temporelle Echantillonnage dans l’espace
fréquentiel
Echantillonnage dans l’espace temporel Périodisation dans l’espace
fréquentiel
Exemple :
xe(t)
x(t) e(t)
Te
X(f) ш(f) Xe(f)
1/Te
fe
Peigne de Dirac Echantillonnage Espace temporel

Signal

TF (Signal)  Peigne de Dirac Périodisation Espace fréquentiel
II.2.3. Le théorème de SHANNON :

Le théorème de SHANNON montre que la reconstitution correcte d’un signal nécessite
que la fréquence d’échantillonnage fe soit au moins deux fois plus grande que la plus
grande des fréquences fM du spectre du signal : fe ≥ 2 fM
28
Lorsqu’il y a recouvrement spectrale, nous avons vu qu'il était impossible de reconstruire

correctement le signal. Pourtant dans la plupart des situations, le spectre du signal à
échantillonner s'étale sur tout le domaine des fréquences (tout en diminuant du coté des
hautes fréquences), mais il n'existe pas une fréquence fmax au-
II.2.4 Filtre anti-repliement
Souvent, un signal peut contenir une composante large bande due à la présence
additionnelle du bruit de fond généré dans le milieu de la mesure (capteur, circuit
d’amplification,… par exemple). Il est indispensable d’introduire un pré filtrage du signal
analogique avant de l’échantillonner afin de supprimer tout risque de recouvrement du
spectre après échantillonnage évitant d’imposer une fréquence d’échantillonnage trop
élevé. Ceci est réalisé avec un filtre anti-repliement passe bas idéal de bande passante
fe fe
[ , ]
2 2
II.2.5 Echantillonnage réel
En pratique, l’échantillonnage s’effectue en commandant un interrupteur par un train
d’impulsions étroites. Il est donc impossible d’obtenir des échantillons de durée quasiment
nulle. La modélisation de l’échantillonnage par un peigne de Dirac est donc erronée. En
fait, chaque impulsion va avoir une durée très courte τ. L’échantillonnage peut donc être
modélisé par la multiplication du signal par une suite de fonction rectangle (ou porte) de
largeur τ.
Figure. 8- Echantillonnage réel.
L’expression du signal d’échantillonnage devient donc :
Par conséquent, sa transformée de Fourier est égale à :
Comme l’expression du signal échantillonné est :

s e (t) = s(t) . y(t)
Sa transformée de Fourier devient :
29
On retrouve la même allure de spectre modulé en amplitude par une fonction en sinus
cardinale.
Figure.9- Représentation de s(f) et se(f).

Remarques :
- Pour se rapprocher d’un échantillonnage idéal et qu’ainsi le signal soit facilement
reconstructible, il faut que τ soit le plus petit possible.
- Dans le cas où τ est du même ordre de grandeur que fe, il faudra fe >> 2fM.
II.2.6 Echantillonnage-blocage
En pratique, on n'échantillonne pas un signal pour le reconstruire juste après.
L'échantillonnage est utilisé pour prélever le signal à des instants multiples de T e et ensuite
convertir les échantillons sous forme d'un code binaire (8, 12, 16 bits, ...). Cette conversion
est effectuée par l’intermédiaire d’un convertisseur analogique-numérique (CAN). Cette
conversion n’est pas instantanée. Si le signal à convertir varie trop rapidement, il est
nécessaire de procéder au blocage du signal pour avoir une conversion sans erreur. On
utilise donc un échantillonneur-bloqueur qui mémorise la tension à convertir et la
maintient constante pendant toute la durée de conversion.
L’effet de blocage peut être modélisé par une fonction porte décalée de τ/2 :
L’échantillonnage-blocage consiste donc à la multiplication du signal par y(t). La

transformée de Fourier du signal échantillonné est donc :
Remarques :
Le spectre est identique au précédent. Le terme en e- jπf τ traduit un déphasage entre le
signal initial et le signal échantillonné. En principe, on maintient la valeur de l’échantillon
sur toute la période d’échantillonnage donc τ = Te. Ainsi, pour f = fe, on a un déphasage
de -π.
II.2 Quantification et codage :
II.2 .1Quantification
II .2.1.1 – Définition
« Quantifier une valeur xe c’est remplacer cette valeur par une valeur xq appartenant
à un ensemble dénombrable de valeurs entières suivant une certaine loi. »
30
Exemple : xe xq
Les formes de quantification les plus largement répandues sont l’arrondi et la troncature.
II .2.1.2 – Caractéristiques
a – Arrondi
Dans ce type de quantification, l’erreur due à la quantification est donnée par la
q q
relation suivante :   x q  xe  où q est le pas de quantification.
2 2
xq
2q
q
xe
q 2q
b – Troncature
C’est la quantification la plus largement répandue, l’erreur due à la quantification
est donnée par la relation suivante :  q  xq  xe  0 .
La quantification est une fonction non linéaire. En effet :
( x  y) q  xq  y q xq
2q
q
xe
q 2q
II .2.1.3 Bruit de quantification
Lors de la quantification du signal analogique en un signal numérique on introduit
une erreur e(k) sur le signal échantillonné tel que : xq (k )  xe (k )  e(k ) . Le signal e(k) est
appelé bruit de conversion analogique numérique (A/N). C’est un signal aléatoire
stationnaire et ergodique.
31
II .2.1.4 Pas de quantification

Soit M le nombre de niveaux de quantification et n est la longueur de mots des
échantillons de xq(k). Le signal est limité par –V et V, par conséquent :
2V 2V
 V  x q (k )  V  q où M  2 n  q
M 2n
II.2 .2 Codage
Le codage consiste à associer à un ensemble de valeurs discrètes un code composé
d’éléments binaires.
Les codes les plus connus : code binaire naturel, code binaire décalé, code complément à
2, code DCB, code Gray.
Exemple sur 4 bits :
II.3 Transformée de Fourier des signaux discret :

La transformée de Fourier discrète est une méthode qui permet de décrire un signal discret
en fonction de la fréquence. On verra ici dans cette section comment se servir de la
transformée de Fourier discrète (DFT) pour analyser le contenu fréquentiel d'un signal.
II.3.1 Transformée de Fourier à temps discret TFTD :

a. Définition :
Un signal discret est défini par une suite d’échantillons espacés entre eux d’une période
Te :
La T.F de xe(t) est :
La TF d'un signal échantillonné est une combinaison linéaire d'exponentielles complexes

pondérées par la valeur des échantillons.
Après normalisation de la période d'échantillonnage Te=1, on obtient:
Il faut remarquer que la variable f est continue et donc la fonction X e(f) est une fonction
continue.
32
b. Condition d'existence :
La TF d'un signal discret x[n] existe si le signal est absolument sommable. L'existence de
la TFTD est donc liée à la convergence absolue de la série x[n].
c. Transformée de Fourier à temps discret inverse

Soit X(f) la TFTD du signal discret x[n], on a :
Donc Xe(f) est périodique de période 1. Toute l’information spectrale du signal est
comprise dans l’intervalle de fréquence
Comme la TF des signaux discrets est périodique de période 1, l'expression de la TF

inverse est donnée par :
d. Propriétés de la TFTD :
Globalement, la TFTD possède les mêmes propriétés que la TF. X(f) est une fonction
Complexe. | X(f)| est le spectre d’amplitude et arg (X(f)) est le spectre de phase.
33
II.3.2 La transformé de Fourier discrète TFD (où bien DFT=Discrete Fourier

Transform)) :
L’objectif de la Transformée de Fourier Discrète est d’effectuer les transformations
sur un nombre fini de données à traiter et pour un nombre fini de fréquences pour
lesquelles on calcule la transformée.
a. Définition
La Transformée de Fourier d’un signal discret (TDFT) présente deux difficultés quant
à son utilisation par un système de traitement numérique :
 La fréquence f est continue.
 Le nombre d’échantillons x[n] à calculer est infini.
Solution :
 Discrétisation de la fréquence. f est discontinu.
 Limitation de la durée du signal.  Le nombre d’échantillon est fini.
La Transformée de Fourier Discrète X[k] d’un signal numérique x[n] est définie par :
N 1 2
 jk n k k
X[k]   x[n] e N avec k [0,1,...N  1] f (normé)  ou f  fe
n 0 N N
De même la Transformée de Fourier Discrète inverse est donnée par :

kn
1 N1  2 j
x[n ]   X[k ]e N avec n  [0,1,...N  1]
N k 0
Remarques :
 Toutes les propriétés de la TFTD d’un signal discret sont valables pour la DFT.
II.3.3 Transformée de Fourier Rapide (Fast Fourier Transform = FFT)
La Transformée de Fourier Rapide (FFT) est un algorithme efficace et rapide de

calcul de DFT, découvert par Cooley et Tukey en 1965 (IBM). Les bases théoriques des
algorithmes de calcul de la FFT ont été établies en 1939 avant même l’avènement des
ordinateurs !
Le calcul de la FFT exploite les propriétés de wnk dans l’expression de la DFT.
34
Le calcul de X[k] exige, dans le cas où x[n] est réel, N2 additions et 2N2 multiplications
(puisque wnk est complexe). La FFT est un algorithme qui ne requiert que N.n (ou Nlog 2N)
N n
addition et (n  1) multiplications (N = 2 ).
2
Principe : Le principe de la FFT est de décomposer la TFD d’ordre N en m TFD d’ordre
m
Ni avec N   N i . La FFT est formulée sous deux formes principales dites décimation
i 1
dans le temps (entrelacement) et décimation dans les fréquences. Dans la première
méthode, l’opération se réalise sur le signal x[n], alors que dans la seconde méthode, la
même opération est réalisée sur les coefficients de X[k]. Dans les deux cas le principe est
le même.
Décimation dans le temps :
On décompose le signal x[n] en deux parties : x[2n] et x[2n+1] :
N N
1 1 2 j
2 2 
X[k ]   x[2n ]w 2Nkn   x[2n  1]w (N2n 1) k avec wN  e N Comme : w 2N  w N
n 0 n 0 2
N N
1 1
2 2
X[k ]   x[2n]w knN  w kN  x[2n  1]w knN k  0,...N  1  X[k ]  X1[k ]  w nN X 2 [k ]
n 0 2 n 0 2
X1[k] et X2[k] sont périodiques de période N/2.

N
Le calcul des X [k ] est décomposé ainsi en 2 calculs de TFD d’ordre qui requiert
2
chacun :
N 2 N
( ) additions et 2( ) 2 multiplications (w est complexe)
2 2
Auquel s’ajoutent, pour la multiplication par w nN , N additions et 2N multiplications (w est
complexe)
La même procédure sera réalisé sur X1[k] et X2[k] et ainsi de suite.
En choisissant N = 2m, nous pouvons décomposer le calcul d’une DFT d’ordre N en
(m – 1) calculs de DFT d’ordre, N , N ,… 2.
2 4
35
Chapitre III : Filtrage Numérique
I. Introduction :
Les filtres numériques constituent les systèmes les plus utilisés en traitement des
signaux numériques. Le traitement numérique des filtres est réalisé grâce à des
additionneurs, des multiplieurs et des mémoires. Ainsi la précision peut être améliorée
indéfiniment : il suffit d’augmenter la taille des mémoires et la vitesse d’exécution des
opérations par les microprocesseurs.
Historiquement, les filtres numériques ont été développés et étudiés dans le but de
simuler les filtres analogiques sur ordinateur. Outre les résultats bien établis pour la
simulation, des méthodes propres, pour l’étude et la synthèse des filtres numériques ont
été, également, développés. Ceci est rendu possible vu les progrès actuels de la
technologie des circuits intégrés.
Les principaux avantages de l’utilisation des filtres numériques par rapport aux filtres
analogiques sont :
 Reproductibilité des systèmes.
 Stabilité : Pas de dérive en température, en temps. Pas de bruit, pas de
vieillissement.
 Adaptabilité et souplesse d’emploi : Modification du programme, même matériel.
 Fiabilité : Circuit à très grande intégration
 Rapidité : Temps réel
Les principaux inconvénients sont :
 On ne peut pas les utiliser pour des fortes puissances,
 Donne lieu à des circuits complexes même pour des filtres simples,
 Plus de consommation électrique
II. Systèmes linéaires discrets invariant dans le temps :

Il existe plusieurs types de systèmes qui peuvent être classés selon leurs représentations,
leurs réponses et leurs comportements. Chaque classe de système possède ses propres
outils d’étude , d’analyse et de synthèse. Nous dans ce chapitre on va s’intéresser aux
filtres numériques SLDI systèmes linéaires discrets invariant dans le temps.
 Un système est discret, si à la suite d'entrée discrète x(n) correspond une suite
de sortie discrète y(n).
36
 Un système est linéaire, si à la suite ax1( n) + bx2(n) correspond la suite ay1( n)

+ by2(n)
 Un système est invariant dans le temps, si à la suite x(n -m) correspond la suite
y(n - m)
Si δ(n) est la suite unitaire :
Alors toute suite x(n) peut s'écrire:
Si h(n) est la réponse d'un système discret linéaire et invariant dans le temps à la
suite δ(n) alors :
On reconnaît alors une équation de convolution:
Ainsi dès qu'un système peut être considéré comme linéaire, discret et invariant dans le
temps, il en découle qu'il est :
 Régi par une équation de convolution ;
 Entièrement déterminé par la réponse h(n) qu'il fournit lorsqu'il est excité par la
suite impulsionnelle δ(n). Cette suite h(n) constituant la réponse impulsionnelle du
système.
III. La Transformée en z :
III.1 Définition :
La transformée en z d’une séquence x(n), notée X(z), est définie par la relation
suivante :

X( z)   x (n ).z n
n  
où z est une variable complexe.

C’est la généralisation de la transformée de Fourier des signaux à temps discret.
Cette transformée est aussi qualifiée de bilatérale par opposition à unilatérale.
La transformée en z unilatérale est définie par X+(z) calculée comme suit :
37

X  (z)   x(n ).z n
n 0
Dans le cas de séquences causales, ces deux transformations sont les mêmes.
En représentant z sous sa forme polaire : z = r.ej2f , on peut écrire :
 
X(r.e j2 f )   x(n).(r.e j2f ) n   [x(n).r n ].e  j2fn
n   n  
C’est la transformée de Fourier de [x(n)r-n]
III.2 - Domaine de convergence (Région de convergence)
La transformée en z est une série infinie, elle n’existe que pour les valeurs de z
pour lesquelles cette série converge. Le domaine de convergence (DC) est l’ensemble des
valeurs de z pour lesquelles la série prend une valeur finie.
La convergence de la transformée en z est assurée si la séquence [x(n)r-n] est
absolument sommable, c’est-à-dire :

 x(n).r n 
n 0
Exemples :
 x(n) = anu(n)
 
 X( z)  a n
u (n ).z n
  (a.z 1 ) n
n   n 0
 n
X(z) existe si  a.z 1   a.z 1  1  z  a.
n 0
 1 z
X( z)   (a.z 1 ) n  1

za
, za
n 0 1  a.z
Le domaine de convergence est l’extérieur du cercle de centre O et de rayon Ra
On a un pôle à z = a et un zéro z = 0. Le pôle n’appartient pas au domaine de convergence.
IV – CLASSIFICATION DES FILTRES

IV .1 – Représentation des filtres
Un filtre numérique est un système linéaire et invariant dans le temps. La principale
opération réalisée par un SLTI est le filtrage des signaux. C’est pourquoi on l’appelle filtre
numérique. Un filtre numérique est représenté par :
N M
 L’équation aux différences :  n 0
a n y ( k  n)  b
m 0
m x( k  m)
 La réponse impulsionnelle : (k)  SLTI  h(k)
38
Y( f )
 La réponse en fréquence : H ( f )  TF[h(k )]  X ( f )
Y ( z)
 La fonction de transfert : H ( z )  TZ[h(k )]  X ( z )
L’équation aux différences et la réponse impulsionnelle sont des représentations

temporelles, alors que la réponse en fréquence et la fonction de transfert sont des
descriptions fréquentielles. Dans tout ce qui suit, nous nous intéressons aux filtres
dynamiques stables et causaux. Parmi les filtres dynamiques nous distinguons deux types
de filtres : ceux qui sont à réponse impulsionnelle finie et ceux qui sont à réponse
impulsionnelle infinie.
IV .2 – Filtres à réponses impulsionnelle finie RIF

Ce sont des filtres définis par l’équation aux différences dans laquelle N = 0. En
M
posant a0 = 1. Pour simplifier l’expression : y (k )  b
m 0
m x(k  m) . M est appelé l’ordre du
filtre.
M
La réponse impulsionnelle est donnée par : h(k )  b

m 0
m  (k  m) , la fonction de transfert
b  2jfm
M
est : H ( z)  b mz
m
et la réponse en fréquence est : H ( f )  me
m 0 m 0
Le fait que h(k) soit de durée finie, (M+1) éléments, justifie l’appellation de filtre
RIF. Ce type de filtre est bien entendu stable (toutes les valeurs de bm sont finies) et
causal. Les filtres RIF sont appelés aussi filtres non récursifs.
IV .3 – Filtres à réponses impulsionnelle infinie RII

Ce sont des filtres définis par l’équation aux différences générales dans laquelle N ≠
N M
0 et M ≠ 0 En posant a0 = 1, nous avons : y(k )   a y ( k  n)   b

m1
n
m 0
m x( k  m) .
b mz
m
Par suite : H ( z)  m 0
N
1 a
n 1
nz
n
39
Les filtres RII sont appelés aussi filtres récursifs. Quelle que soit la valeur de M, les
M
 (z  z ) i
filtres RII sont à durée infinie. H(z) possède M zéros et N pôles. H ( z )  b0 i 1
N
z N M
 (z  p
j 1
j)
zéros de H(z)  H(zi) = 0 et pôles de H(z)  H(pj) = 0
L’ordre du filtre RII est le sup(N,M).
IV .4 – Comparaison des filtres RIF et RII
RIF RII
________________________________________________________________________
_____
Stabilité Toujours Pas toujours
Structure Non récursive Récursive
H(z) zéros zéros et pôles
Ordre élevé peu élevé plus efficace

________________________________________________________________________
______
V – ANALYSE DES FILTRES

V.1 – Structure de réalisation des filtres
Les équations récurrentes qui définissent les filtres RIF et RII sont présentés sous
formes de trois opérations élémentaires simples. Ainsi un filtre numérique peut être réalisé
à l’aide de ces trois opérations élémentaires. On réalise un filtre numérique RIF ou RII à
partir de ces schémas bloc suivants qui sont :
z--1
Le retard : La fonction de transfert d’un système effectuant un retard est : z-1.
Equivaut à effectuer la multiplication par bm
+
Equivaut à effectuer la somme par le signal entrant
40
a – Réalisation non récursive
Dans cette structure, il n’y a pas de boucle de contre réaction. Cette structure est
utilisée pour réaliser uniquement des filtres RIF.
b0
x(k) + y(k)
z-1 b1
+
z-1
b2
+
z-1
bM
+
b – Réalisation récursive
Dans cette structure, il existe une boucle de contre réaction. Cette structure est
utilisée pour réaliser des filtres RII et parfois aussi des filtres RIF.
b0
x(k) y(k)
+ +
z-1 b1 z-1
-a1
x(k-1) + + y(k-1)
z-1
b2
-a2 z-1
x(k-2) +
+ y(k-2)
z-1 -aN z-1

bM
x(k-M)
y(k-N)
Il existe d’autres structures de réalisations récursives et non récursives faisant appels
à des blocs retard possédant un nombre minimum. On les appelle formes canoniques d’une
réalisation.
41
Chapitre IV: Théorie des communications
I-Introduction à la théorie de communication :

L’information est au cœur de nos sociétés modernes : presse, téléphonie, données
météorologiques, Internet… De nombreux vecteurs concourent à nous transmettre les
messages porteurs de ces informations. Les machines associées à des outils informatiques
sont elles aussi soumises à un flux de données provenant de capteurs susceptibles
d’améliorer leur performance et leur sécurité. Les flux d’information sont ainsi
omniprésents dans notre quotidien.
Au-delà du traitement qui est fait de ces informations tant par l’humain que par la
machine, il importe avant tout que celle-ci soit communiquée en toute fidélité à son
destinataire. En d’autres termes, il faut impérativement que le message reçu soit l’exacte
réplique du message émis.
II- Communication analogique:
II.1- Chaine de communication analogique :
La chaîne de transmission de l’information, dans sa structure fonctionnelle la plus simple,
est constituée :
 D’un émetteur ;
 D’un canal de transmission ;
 D’un récepteur.
Transducteur Emetteur Canal de Transducteur
Récepteur
transmission
émission réception
Figure 1 Principe de la chaîne de transmission de l’information

Par analogie avec l’humain, l’émetteur « parle » au récepteur en utilisant le canal de
transmission. Pour se comprendre, ils doivent aussi utiliser la même « langue ».
a) Transducteur à l’émission
Le transducteur à l’émission permet de convertir le signal original (voix, image,…) en un
signal électrique utile pour l’émetteur. Certains utilisent le terme « encodeur », cela peut
induire une confusion avec le convertisseur utilisé dans le canal de transmission qui réalise
la conversion de la nature du signal.
ransducteur Signal original
Microphone Voix humaine
Clavier Touche pressée
Capteur CCD Mouvement objet
Thermocouple Mesure de
température
Figure 2 Transducteur à l'émission
Son choix doit être compatible avec les caractéristiques (amplitude, spectre) du signal à
convertir.
42
b) L’émetteur
L’émetteur a pour fonction d’adapter le signal issu du transducteur en vue de le
transmettre au canal de transmission. Il peut simultanément remplir plusieurs fonctions :
 Coder le signal issu du transducteur (tension) en nombres, dans le cas d’une
conversion analogique numérique ou/et de chiffrage ;
 Moduler ;
 Amplifier…
b) Le canal de transmission
Le canal de transmission permet au récepteur de recevoir l’information émise par
l’émetteur. De nombreux supports sont utilisés :
 les supports avec guide physique (câbles, fibres, ...) ;
 les supports sans guide physique (ondes radio, ondes lumineuses).
Ces différents supports sont choisis en prenant en compte :
 le débit d’information à transmettre ;
 les caractéristiques du signal (bande passante, codage…) ;
 la distance entre l’émetteur et le récepteur ;
 les possibilités de mise en œuvre.
c) Le récepteur
Son rôle est à la fois de recevoir le signal émis ainsi que de le rendre compatible avec le
transducteur servant à la réception. Les actions réalisées par le récepteur sont alors les
suivantes :
 Filtrer le signal reçu (éliminer la partie inutile du signal reçu pour ne garder
que l’information) ;
 Décoder :
o soit en réalisant une conversion numérique analogique ;
o soit un déchiffrage ;
 Démoduler ;
 Amplifier le signal pour le rendre utilisable par le transducteur de sortie.
d) Transducteur à la réception
Son rôle est de fournir une information exploitable par le destinataire sous la forme d’un
signal.
Transducteur Information
Haut-parleur Son
Ecran Image
Signal de Commande actionneur
commande
Il ne faut pas confondre le terme transducteur avec celui de décodeur qui a pour but de
déchiffrer un signal crypté en une information « claire ».
43
II.2- Modulation analogique :

a) Moduler ou pas ?
La question de la modulation se pose lorsque :
 l’on veut faire passer plusieurs informations simultanément dans le même
canal de transmission ;
 l’on veut transmettre l’information à des distances importantes ;
 l’on veut diminuer le bruit dont est victime l’information lors de sa
transmission.
La modulation consiste alors à adapter l’information à transmettre à un canal de
communication mais ce n’est pas une obligation.
Moduler, c’est le moyen de séparer des informations provenant de différentes sources et
ayant le même spectre qui utilisent le même support de transmission de façon à permettre
à différents émetteurs de retrouver l’information qui les concerne.
b) Transmission en bande de base

La transmission en bande de base consiste à transmettre directement le signal sur le
support sans transposition de fréquence.
Dans la plupart des cas, les harmoniques supérieures à un certain rang peuvent ne pas être
transmises sans qu'on note une altération inacceptable du signal. Les harmoniques d'un
signal transmis sur une ligne sont diversement atténués, suivant leur fréquence, par la
bande passante de la ligne. Si l'ensemble des harmoniques utiles du signal à transmettre se
situent dans la bande passante de la ligne que l'on souhaite utiliser, on peut appliquer ce
signal directement à l'entrée de la ligne. Il sera transmis sans atténuation notable à l'autre
extrémité.
Les inconvénients majeurs de ce mode de transmission sont ;
 Sensibilité aux parasites
 Coût élevé pour la transmission sur fibre optique ou câble coaxial ;
 Impossibilité de partage direct d’un même canal par plusieurs sources (on ne
peut pas suivre plusieurs conversations à la fois ) ;
 Impossibilité de transmission à l’air de signaux basse fréquences (exemple : le
son dont les fréquences vont de 20 à 20 kHz soit des longueurs d’onde de 15 à
15000 km ).
c) Transmission en bande transposée
La transmission en bande transposée dite aussi modulation consiste à transmettre le signal
de l’information en lui faisant subir une modification préalable de son spectre.
La modulation utilise deux signaux :
 Le signal modulant de basse fréquence qui contient l’information et qui peut-
être analogique (voix) ou numérique (données informatiques) ;
 Un signal porteur de haute fréquence dont l’un des paramètres (amplitude,
fréquence, phase) varie en fonction des évolutions du signal modulant.
Il existe différents modes de modulation qui peuvent consister à réaliser :
 soit une transposition plus ou moins directe du spectre du message vers les
hautes fréquences (modulation d’amplitude, de fréquence) ;
44
 soit une modification radicale du signal lui-même en utilisant des moyens

numériques, notamment l’échantillonnage (modulation par impulsions) ;
 diminuer la présence de bruit lors de la transmission ;
 transmettre de signaux par voie hertzienne (exemple : la radio) ;
 transmettre simultanément sur le même support plusieurs informations sans
« télescopage » par multiplexage fréquentiel.
Sa mise en œuvre est toutefois :
• plus complexe : risque d’augmentation de la dégradation du signal due aux
équipements ;
• plus consommatrice de bande passante que pour le message d’origine. La bande de
fréquences à l’émission est plus importante que celle du message d’origine
(transposition vers les hautes fréquences).
III- Les différentes grandes catégories de modulation "analogique"
III.1- Généralités
La représentation symbolique d’un modulateur qui sera adoptée par la suite est représentée
sur la figure suivante :
a) Porteuse p(t)
Le signal porteur p(t) peut être un signal sinusoïdal, ou éventuellement une suite
d’impulsions.
Nous nous restreindrons par la suite au cas d’une porteuse sinusoïdale :
p(t) = A0 cos (2𝜋f0t)
Où f0 est la fréquence de la porteuse. Notons que nous avons choisi de considérer la phase
2𝜋f0t comme la référence de phase (pas de terme de déphasage supplémentaire dans
l’expression de p(t)).
b) Signal modulant x(t)
Le signal x(t) contenant de l’information, à valeurs réelles , possède une transformée de
Fourier.
45
[Fm ; FM] constitue la bande de base de x(t).
c) Signal modulé s(t)

La sortie s(t) du modulateur peut s’écrire sous la forme :
Où :
 A(t) est l’amplitude instantanée du signal modulé s(t),
 ɸ(t) sa phase instantanée,
 𝝋(t) la déviation de phase vis-à-vis de la référence 2𝝅f0t (phase instantanée de
la porteuse).
Le signal modulant x(t) agit :

 soit sur A(t), on parle alors de modulation d’amplitude AM,
 soit sur ɸ (t), on parle alors de modulation de phase PM,
 soit sur la fréquence instantanée fi(t) de s(t), on parle alors de modulation de
fréquence FM.
 La fréquence fi(t) est définie par rapport à ɸ( (t) par la relation :
 Soit enfin sur plusieurs de ces paramètres à la fois.
III.2 : Modulation d'amplitude AM :

III.2.1 : Modulation d'amplitude à double bande latérale "à porteuse supprimée" :
a)Principe
L’idée la plus simple pour réaliser une modulation AM consiste à utiliser un multiplieur de
tensions comme illustré ci-dessous:
b) Evolution temporelle
Dans le cas d’un signal modulant sinusoïdal, soit x(t) = Am cos(2πf mt), l’allure du signal
modulé s(t) obtenu est représentée sur la figure ci-dessous. L’enveloppe de s(t) suit
l’évolution de x(t) pour s(t) > 0 et celle de -x(t) pour s(t) < 0. Ces commentaires restent
valables dans le cas d’une modulante véritablement "quelconque.
46
c) Aspect spectral
Si x(t) est un signal modulant quelconque (mais dont on peut calculer la transformée de
Fourier), la transformée de Fourier S(f) de s(t) s’écrit :
Soit encore :
Le spectre du signal modulé reproduit donc celui du signal modulant mais décalé de +f0
pour
f > 0 et de -f0 pour f < 0. La figure suivante représente les allures des spectres de e(t) et
s(t).
III.2.2 : Modulation d'amplitude à double bande latérale "à porteuse conservée" :

a) Principe
Ce type de modulation permet dans certains cas l’utilisation d’une méthode de
démodulation très simple.
47
Ecrivons x(t) sous la forme a.e(t) avec a la valeur maximale de x(t) et donc |e(t)| max = 1, on
obtient en sortie de l’additionneur :
Où on a posé m = k a. Ce coefficient m, positif et sans dimension, est défini comme le taux

de modulation.
Des exemples de formes temporelles de signaux modulés obtenus dans ce cas sont donnés
sur la figure suivante pour 3 valeurs possibles de m, une inférieure à 1 (a), m = 1 (b), et
une dernière supérieure à 1 (c).
 Le signal modulé est compris entre les enveloppes (1 + m e(t)) et -(1 + m e(t)).
 Si e(t) est symétrique l’amplitude du signal modulé varie entre A0 (1 + m) et -
A0 (1 + m) tant que m est inférieur à 1.
 Pour m = 1, ces commentaires sont toujours valables, on a de plus un passage
par 0 des enveloppes pour e(t) = -1.
 Enfin, quand m > 1 on dit qu’il y a surmodulation. L’enveloppe pour s(t) > 0
n’est alors plus forcément (1 + m e(t)), mais parfois -(1 + m e(t)) sur certains
48
intervalles temporels. Dans ce dernier cas, il semble tout à fait délicat de

détecter l’enveloppe du signal modulé.
b) Aspect spectral
Pour x(t) signal modulant quelconque (possédant une transformée de Fourier), la
transformée de Fourier S(f) de s(t) s’écrit :
II.3- Démodulation d’amplitude :

La démodulation consiste à récupérer l’information x(t) à une constante multiplicative
près.
Nous verrons les cas des modulations d’amplitude à double bande latérale, à porteuse
supprimée ou conservée.
II.3.1 - Détection d'enveloppe :
a) Principe
En modulation d’amplitude, l’information se trouvant dans l’enveloppe, une première
méthode consiste donc à réaliser un détecteur d’enveloppe. Il existe plusieurs possibilités
pour réaliser cette fonction, comme prendre le module ou encore la racine carrée, mais la
réalisation pratique la moins onéreuse et la plus courante est le détecteur à diode, dont le
schéma est donné sur la Figure suivante :
On ne s’intéresse ici qu’au montage typique de base et on admettra que la diode est idéale
en première approximation.
Dans ces conditions, si le signal n’est pas modulé (porteuse seule) et si :
49
(la décharge de C à travers R doit être très lente vis-à-vis des variations de p(t)), on obtient
u(t) = A0, amplitude de la porteuse, à une petite ondulation près et ce après une période
transitoire d’au plus un quart de période quand la diode est idéale et de quelques périodes
dans les cas réels (réponse à l’échelon car en fait on a s(t) = h(t) A0 cos2πf0t, où h(t) est
ici la fonction d’Heaviside, valant 0 pour t négatif et 1 sinon). Quand RC tend vers l’infini,
on réalise ainsi un détecteur de crête.
Pour le signal modulé, si de plus on a grossièrement
(charge de la capacité C instantanée vis-à-vis du signal modulant), où FM est la pulsation
maximale de e(t), u(t) suit l’évolution de l’enveloppe de s(t) pour s(t) > 0 comme illustrée
sur la Figure suivante, c’est-à-dire e(t) à une constante additionnelle A0 près, qui peut être
éliminée à l’aide d’un filtre passe-haut.
Démodulation d'enveloppe obtenue dans le cas idéal.

Notons que cette méthode de démodulation ne peut être appliquée dans le cas d’une
modulation à double bande latérale à porteuse supprimée ou à porteuse conservée avec m
> 1 (surmodulation). Il est clair que la détection d’enveloppe ne peut fonctionner
correctement lorsque l’enveloppe tend vers 0 (points "anguleux").
b) Dimensionnement
Pour une modulation AM à double bande latérale à porteuse conservée, si m reste
strictement
inférieur à 1 mais en est trop proche, il sera très difficile de bien choisir la constante RC de
telle sorte que la détection d’enveloppe fonctionne correctement aux voisinages des
minima de l’enveloppe de s(t) pour s(t) > 0, comme illustré sur la Figure ci-dessous :
50
De plus, dans ce cas, l’influence du bruit intervient plus fortement. En pratique, on doit
avoir :
Ce critère peut être établi en analysant l’évolution du signal détecté en fonction des pentes
relatives des signaux s(t) et u(t) : on cherche alors à savoir si après le blocage de la diode
et le début de la décharge de C à travers R le signal u(t) croise bien s(t) à l’alternance
suivante du signal modulé.
II.3.2 : Démodulation cohérente ou synchrone :

a) Principe
Pour récupérer l’information on utilise le montage multiplieur comme pour la modulation.
Cette démodulation est absolument nécessaire pour la modulation d’amplitude sans
porteuse, mais elle est aussi valable pour la modulation AM avec porteuse.
Le signal sr(t) correspond au signal modulé s(t) transmis par un canal quelconque, reçu,
amplifié et translaté par un mélangeur dans le domaine de la fréquence intermédiaire
porteuse. Son expression est donnée par :
Suivant que l’on s’intéresse à une modulation AM à porteuse supprimée ou conservée.

Si le signal pr(t) reproduit exactement les variations de la porteuse initiale p(t) avec un
déphasage nul par rapport à celle-ci, on a en sortie du multiplieur :
Où A1 est l’amplitude de pr(t).

Dans le cas de la modulation à porteuse supprimée, cas illustré par les spectres de la figure
suivante, le signal u(t) a deux composantes spectrales : le spectre du signal e(t) ramené
51
dans sa bande de base, et ce même spectre qui a "glissé" autour de la fréquence 2f 0. Il

suffit alors de filtrer u(t) par un filtre passe-bas de bande passante légèrement supérieure à
la fréquence maximale FM apparaissant dans le spectre de e(t) pour retrouver le signal
modulant x(t) à un facteur multiplicatif près. On a bien réalisé une démodulation.
Démodulation cohérente d'un signal modulé en amplitude avec porteuse supprimée,

aspect spectral
III.4- Modulations angulaires FM et PM :

III.4.1- Définitions :
Reprenons la représentation symbolique d’un modulateur :
On considère toujours un signal porteur p(t) sinusoïdal de fréquence f0, soit :
On écrit le signal modulant sous la forme x(t) = a e(t), où a (en V) est la valeur maximale
de
|x(t)|et e(t) un signal sans dimension. On a donc par définition |e(t)|max = 1. Enfin, on note
FM
(resp. Fm) la fréquence maximale (resp. minimale) apparaissant dans le spectre de x(t) (ou
de e(t)).
Le modulateur fournit en sortie le signal :
52
Où l’amplitude A du signal modulé est une constante (en V) et où l’angle ɸ(t) est une
fonction du signal modulant x(t) : ɸ(t) = g(x(t)). L’expression précédente de s(t) est la
représentation d’une modulation angulaire à porteuse sinusoïdale. Le choix de la fonction
g définit le type de modulation obtenu.
On désigne également :
 2πf0t + (t) comme la phase instantanée de s(t) et (t) comme la déviation de
phase,
 la fréquence instantanée : de s(t) et la

déviation de fréquence :
III.4.2- Modulation de phase (PM):

On dit que l’on a une modulation de phase si la déviation de phase (t) est proportionnelle
à x(t), soit :
Le coefficient kP s’exprime en rd.V-1 et l’excursion en phase Δɸ en rd.

La figure suivante rappelle l’évolution du signal modulé s(t) dans le cas d’une modulante
sinusoïdale, on a une "dilatation" de la période de la porteuse p(t), qui tend à augmenter
quand x(t) décroît avec le temps et tend à se réduire quand x(t) croît.
III.4.3- Modulation de fréquence (FM) :

On dit que l’on a une modulation de fréquence si la déviation de fréquence
Varie proportionnellement à x(t), soit :
Le coefficient kF s’exprime en Hz.V-1, et l’excursion en fréquence Δf en Hz. Dans ce cas

la fréquence instantanée devient :
Enfin, la Figure ci-dessous rappelle l’évolution du signal modulé s(t) dans le cas d’une
modulante x(t) sinusoïdal, les variations temporelles du signal modulé ressemblent à (mais
53
ne sont pas strictement identiques à) celles obtenues dans le cas de la modulation PM dans
les mêmes conditions à un déphasage de π/2 près.
54
Chapitre V: Communications numériques
Aujourd’hui, tous les nouveaux systèmes de transmission sont numériques. Pour des
raisons essentiellement historiques, mais aussi technologiques, les systèmes analogiques
sont très largement minoritaires, mais existent encore.
Les temps ont beaucoup changé et les communications numériques nécessitent aujourd’hui
des compétences multiples.
La question qui se pose est qu’elle est la différence entre la transmission analogique et
numérique :
La transmission analogique: consiste à faire circuler des informations sur un support
physique de transmission sous la forme d’une onde. La transmission des données se fait
par l’intermédiaire d’une onde porteuse dont le seul but est de transporter les données par
la modification de l’une de ses caractéristiques (amplitude, fréquence ou phase).
La transmission Numérique: consiste à faire circuler les informations sur le support
physique de communication sous forme de signaux numériques.
Ainsi, les données analogiques devront d’abord être numérisées avant de les transmettre.
Toutefois, il faut savoir que les informations numériques ne peuvent pas circuler sous
forme de 0 et 1 directement, on doit donc passer par une étape qui consiste à les coder sous
forme d’un signal électrique.
I-1 Eléments de base d’une chaine de transmission numérique :
Schéma général dune transmission numérique
Chaque élément de base d’une transmission numérique a une fonction bien précise :
 CAN :Le convertisseur Analogique Numérique il permet la représentation
numérique du message analogique
- Echantillonnage
- Quantification
- Format / Codage
 Codage de source : Sont rôle principal est la compression du message
numérique
- Adaptation de l’alphabet du message au canal
- Suppression de la redondance du message ou suppression d’informations
peu significatives
55
 Codage de canal :
- Ajout d’information pour immuniser le message aux erreurs du canal
 Modulation :
- Conversion du message numérique en un message analogique transportable
sans distorsion par le canal.
A la réception, les opérations inverses sont effectuées afin de retrouver le message

analogique initial.
I-2 Caractéristiques du support de transmission :
Les supports de transmission (canal), quels qu’ils soient, ne sont malheureusement pas
parfaits. Ils ont une bande passante limitée, supportent divers bruits et ont de ce fait une
capacité à transmettre les signaux limités.
I-2 -1 Bande passante :

Ils ont une bande passante limitée, c’est-à-dire que certains signaux se propagent
correctement dans le support (ils sont affaiblis et déformés mais encore reconnaissables à
l’autre extrémité), mais d’autres ne le traversent pas du tout (ils sont tellement affaiblis ou
déformés qu’on ne les retrouve plus à la sortie). La bande passante d’un support est la
bande de fréquences des signaux dont la puissance à la sortie, après traversée du support,
est supérieure à un seuil donné. On caractérise un support par sa bande à 3 dB, c’est-à-dire
par la plage des fréquences à l’intérieur de laquelle la puissance de sortie d’un signal
sinusoïdal est, au pire, divisé par deux.
Plus un support a une bande passante large, plus il pourra transporter d’information par
unité de temps.
I-2 -2 Bruits et distorsions :
Les supports de transmission déforment les signaux qu’ils transportent même lorsque
ceux-ci ont des fréquences adaptées. En effet, plusieurs sources de bruit perturbent les
signaux et des distorsions peuvent s’avérer gênantes pour la reconnaissance des signaux en
sortie. Par ailleurs, la distance est un facteur d’affaiblissement, particulièrement important
pour les liaisons par satellite et un facteur de distorsion important pour les liaisons par
fibres optiques. Enfin, certaines perturbations de l’environnement peuvent également
introduire des bruits. Même lorsque les signaux sont adaptés aux supports de transmission,
on ne pourra pas garantir à 100 % leur exactitude à la réception.
I-2 -3 Capacité limitée :
La capacité du canal est la quantité d'informations maximale que le canal peut transporter
par unité de temps (bits/sec).Shannon a montré que la capacité d'un canal C est :
B est la bande passante, exprimée en Hz, S/N est le rapport signal sur bruit, la base du
logarithme est deux servant à exprimer l’information en bit, la capacité est donc exprimée
en bits/s.
56
Exemple :
Une liaison téléphonique a une bande passante de 3,10 kHz et un rapport signal à bruit de
32 dB. Sa capacité est :
I-3 Utilisation des différentes gammes de fréquences :

Une bonne manière de classifier les canaux de transmission est de les répertorier en
fonction de la bande de fréquence dans laquelle ils sont exploitables.
I-4 . Technique de partage de Canal (Le multiplexage)

Lorsque la bande passante d’un support est nettement plus large que le spectre du signal à
transmettre, il est intéressant d’utiliser un même support pour transmettre parallèlement
plusieurs signaux. On parle du multiplexage. Le démultiplexage consiste à reconstituer les
différents signaux à partir du signal multiplexé.
I-4-1 Multiplexage fréquentiel (FDMA)
Le multiplexage fréquentiel est utilisable dans les transmissions analogiques et
numériques. Il consiste à transposer les n signaux d’entrée (ce qui revient à une
57
modulation), chacun ayant une fréquence porteuse différente. On parle alors d’Accès
Multiple à Répartition de Fréquence (AMRF ou FDMA en anglais).
Le multiplexage fréquentiel est utilisé pour les transmissions sur fibre optique où les
opérations de multiplexage et de démultiplexage peuvent se faire de manière
complètement optique. On parle alors de multiplexage en longueur d’onde (WDM :
Wavelengh Division Multiplexing).
I-4-2 Multiplexage temporel

Le multiplexage temporel est appelé Accès Multiple à Répartition dans le Temps (AMRT
ou TDMA en anglais).
Si on considère n signaux numériques, le multiplexage consiste à transmettre d’abord un
ou plusieurs bits de la voie 1, puis de la voie 2 et ainsi de suite jusqu’à la voie n pour
former une trame TDMA. Le signal multiplexé est composé de plusieurs trames. Si le
débit des entrées est D bits/s, alors le débit du multiplex est de n´D, ce qui signifie que le
spectre de ce multiplex est étalé. Pour pouvoir démultiplexer, il est nécessaire de
transmettre des éléments de synchronisation afin de réaffecter correctement l’entrée à la
voie correspondante.
L’AMRT est utilisé dans le réseau téléphonique. On parle alors de voie MIC, Modulation
par Impulsions et Codage (ou PCM, Pulse Code Modulation). La voix humaine est
numérisée sous la forme d’un signal à 64 kbits/s, soit 1 octet transmis toutes les 125 μs,
puis codée en bande de base. En Europe, on multiplexe temporellement 30 voies. Le signal
multiplexé contient 30 intervalles de temps ou IT contenant chacun une voie.
A ces 30 IT, on ajoute un élément de synchronisation (IT0) et un élément de signalisation
(en général IT16). On obtient donc un total de 32 IT et un débit brut de 32´64 = 2048
kbits/s, capable de transporter 30 communications.
58
I-4-3 Multiplexage par codage
Une troisième méthode de multiplexage et d’accès, envisageable en particulier dans les

réseaux de distribution, est l’Accès Multiple à Répartition par Code (AMRC ou Code
Division Multiple Access, CDMA).
Ce multiplexage est basé sur l’affectation d’un code à chaque utilisateur. Chaque bit
correspondant au «1» est remplacé par une séquence de M créneaux, différente pour
chaque utilisateur et définie comme la signature de celui-ci. Seul le destinataire possédant
la bonne clé pourra décoder le signal qui lui est adressé parmi toutes les informations
transmises .
Cette technique connaît un véritable essor dans le domaine de la téléphonie mobile et des
recherches sont en cours pour l’appliquer dans le domaine optique.
I-5 Modulation Numérique:

La plupart des supports de transmission ne permettent pas la transmission directe d’un
signal numérique en bande de base. Ils aboutissent à des pertes de symboles au cours de la
transmission. D’autre part, il est nécessaire que le spectre de fréquence des signaux émis
coïncide avec la bande passante du support afin que ces derniers ne soient pas filtrés.
On utilise alors la modulation du signal primaire porteur de l’information par un ou des
paramètres d’une porteuse qui est en général un signal sinusoïdal. Le résultat est appelé
signal modulé ou signal secondaire.
Donc la modulation numérique a pour objectif d'adapter le signal à émettre au canal de
transmission :
59
Cette opération consiste à modifier un ou plusieurs paramètres d'une onde porteuse :

A cos(2πf0t+ϕ0) en fonction du signal qui constitue l'information à transmettre, appelé
signal modulant.
Les paramètres modifiables sont :
 L'amplitude : A
 La fréquence : f0=w0 / 2π
 La phase: ϕ0
Les types de modulation les plus fréquemment rencontrés sont les suivants :
 Modulation par Déplacement d'Amplitude MDA (Amplitude Shift Keying
ASK).
 Modulation par Déplacement de Fréquence MDF (Frequency Shift Keying
FSK).
 Modulation par Déplacement de Phase MDP (Phase Shift Keying PSK).
 Modulation d'amplitude de deux porteuses en quadrature MAQ (Quadrature
Amplitude modulation QAM)
État binaire 0 1 1 0 1 1
modulant
porteuse
Amplitude A0 A1 A1 A0 A1 A1
ASK Signal
modulé
Fréquence F0 F1 F1 F0 F1 F1
FSK Signal
modulé
Phase φ0 φ1 φ1 φ0 φ1 φ1
PSK Signal
modulé
60

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Chapitre I : Théorie du signal -Traitement analogique du signal……………..…..….……3

Chapitre II : Théorie du signal -Traitement numérique du signal…………..….………..22

Chapitre III : Filtrage Numérique…………………………………………………………36

Chapitre IV: Théorie des communications………………………………………………..42

Chapitre V: Communications numériques………………………………………………..55

Chapitre I : Théorie du signal -Traitement analogique du signal

I-Introduction à la théorie du signal :

FIG. 1.2. – Représentation graphique de la classification temporelle des signaux

 Les signaux déterministes: On qualifie un signal de déterministe si on sait le prévoir à

Signaux 1D : x(t) (signal reçu par un microphone monophonique),

s*(t) représente le signal complexe conjugué de s(t).

1. Signaux continus en temps et en amplitude: x(t). On les appelle également signaux

3. Signaux discrets en temps et en amplitude: xq[n]. De tels signaux sont quantifiés en

4. Signaux continus en temps, discrets en amplitude: xq(t). Ce sont des signaux

III- Signaux et fonctions de base « continu »:

FIG. 1.3 – Fonctions signe, sgn(t)

b. Fonction échelon unité(Heaviside)

FIG.1.4 Fonctions échelon

Avec, par convention,

On montre facilement les relations :

Cette fonction est définie aussi par : r(t) =t.u(t)

FIG. 1.5 – Fonction rampe, r(t)

d. Fonction rectangle ( Porte)

FIG. 1.6 – Fonctions rectangle, de largeur unité (à gauche) et de largeur T (à droite)

FIG. 1.7 – Fonctions rectangle de largeur unité et de largeur T, translatées de τ

g. Fonction sinus cardinal

La fonction sinus cardinal, notée sinc(u), est définie par :

FIG. 1.10. – Représentation graphique de la fonction sinc(u)

h. La fonction exponentielle décroissante:

FIG. 1.11 Représentation graphique de la fonction exponentielle décroissante

C’est une fonction définie par :

IV- Les fonctions d’auto corrélation et d’inter corrélation :

VI- Signaux et fonctions de base « discret »:

FIG. 1.12 Représentation graphique de l’impulsion de Dirac

FIG. 1.13 Représentation graphique de l’Echelon unité

FIG. 1.14 Représentation graphique de la rampe unité

FIG. 1.15 Représentation graphique de l’exponentielle

FIG. 1.16 Représentation graphique du rectangle

VI-2 Définitions, transformations et propriétés

La puissance moyenne d’un signal non périodique,

VI-3 Opérations sur les signaux discrets :

Si les signaux sont périodiques alors :

x(t) x(-t) et x[n]  x[-n]

b. Changement de l’échelle du temps :

x(t)x(2t) et x[n]  x[2n] : raccourcissement

d. Parité et imparité des signaux :

VII – Les Systèmes :

signal discret signal discret de sortie

FIG. 1.17 Système analogique et système discret

FIG. 1.18 Représentation successive des exemples a,b et c.

VII- 3 Propriétés des systèmes

y[n] = y1[n] + y2[n]  y[n] = H1{x[n]} + H2{x[n]}

[n] Système LTI h[n]

FIG. 1.20 Représentation graphique d’un système discret

   linéarité  in var iant  

c. Elément neutre de la convolution L’élément neutre du produit de convolution est la

VII-5-2 Cas continu

(t) Système LTI h(t)