L3 GCI

Relation de Bernoulli

Relation de Bernoulli et pertes de charge

I- Remplissage d’un réservoir

Pour remplir un réservoir R, on puise de l’eau (ρ = 103 kg/m3) dans un bassin B à l’aide
d’une pompe P branchée sur une conduite de diamètre D et de longueur droite équivalente L.
La pompe qui assure un débit constant égal à Q = 100 l/s est située au niveau zP = 0 (voir
figure). La surface libre du bassin est située à l’altitude zb. Le niveau d’eau dans le réservoir est
tel que l’extrémité S (Zs) de la conduite est noyée (Z = 10 m). On donne g = 9,81 m.s-2.

z
L

Z
Zs Q
R P
ZB

B
1) En statique, exprimer la pression Pr(z) à l’altitude z dans le réservoir en fonction de Z
Pr(z) + ρ .g.z = Pr(Z) + ρ .g.Z = Patm + ρ .g.Z
 Pr(z) = Patm + ρ .g.(Z-z)

2) Calculer la vitesse débitante U dans la conduite.

U = Q/S = 4.Q/(π D²)

3) L’eau étant considérée comme un fluide non visqueux, donner l’expression puis la
valeur numérique de la pression effective p à la sortie de la pompe dans les deux situations
suivantes :
a) la conduite de diamètre D débouche directement dans l’eau
Bernoulli entre sortie de pompe et z = Zs :
p + 0 + ρ U²/2 = p(Zs) + ρ gZs + ρ U²/2 = ρ g(Z – Zs) + ρ gZs + ρ U²/2
p = ρ gZ

b) la sortie de la conduite est munie d’un diffuseur qui ramène la vitesse de sortie à
zéro.

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Relation de Bernoulli
p + 0 + ρ U²/2 = p(Zs) + ρ gZs + 0 = ρ g(Z – Zs) + ρ gZs
p = ρ gZ - ρ U²/2

4) Calculer la pression réelle à l’entrée de la pompe en fonction de zB et U. On prendra

Patm = 101300 Pa. Que se passe t’il lorsque zB est supérieur à 10m.

Bernoulli entre B et l’entrée de la pompe :

0 + ρ gZB + 0 = pe + 0 + ρ U²/2  pe = ρ gZB - ρ U²/2

5) Calculer la puissance P fournie au fluide par la pompe dans les deux situations de
sortie précédentes (a et b).
P = Q.( p – pe)
a) p – pe = ρ g(Z − ZB) + ρ U²/2  P = Q.( ρ g(Z − ZB) + ρ U²/2)
b) p – pe = ρ g(Z − ZB)  P = Q.( ρ g(Z − ZB))

6) Dans le cas où les pertes par frottement visqueux sont prises en compte entre la pompe
et le réservoir, calculer pour le débit Q donné :
a) la perte de charge ∆ h dans la conduite. Le coefficient Λ de perte de charge
linéaire sera pris estimé à partir des abaques de Moody Mourine (ci dessous) pour une rugosité
équivalente de 0,001 mm et une viscosité cinématique ν = 10-6 m2/s.
b) la puissance P’ fournie au fluide par la pompe avec et sans diffuseur.
Re = U.D/ν ; Re = 1.3 106  Λ = 0.02
∆ h = Λ . L/D. ρ U²/2
a) P’ = Q.( p – pe) = Q.( ρ gZ + ρ U²/2 + ∆ h)
b) P’ = Q.( p – pe) = Q.( ρ gZ + ∆ h)

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Relation de Bernoulli

Groupe 1 2 3 4 5 6 7 8
L (m) 30 20 40 10 30 20 40 10
ZB (m) -1 -5 -3 -8 -2 -6 -4 0
D (mm) 100 125 175 150 125 175 150 100

Débit rho
(m^3.s-1) 0.1 Z (m) 10 g (m.s-2) 9.81 (kg.m^3) 1000
Patm (Pa) 101300 nu 1.00E-06

Vitesse débitante U (m.s-1)

12.7 8.1 4.2 5.7 8.1 4.2 5.7 12.7

pression effective en sortie de pompe (Pa)

sans diffuseur 98100 98100 98100 98100 98100 98100 98100 98100
avec diffuseur 17043 64899 89458 82089 64899 89458 82089 17043

Pression réelle en entrée de pompe (Pa)

10433 19049 63228 6809 48479 33798 46049 20243

Puissance délivrée au fluide par la pompe

(W)
sans diffuseur 18897 18035 13617 19259 15092 16560 15335 17916
avec diffuseur 10791 14715 12753 17658 11772 15696 13734 9810

perte de charge
Reynold 1273240 1018592 727565 848826 1018592 727565 848826 1273240
coeff de pdc 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02
delta P (Pa) 486342 106243 39508 21348 159364 19754 85393 162114

Puissance délivrée au fluide par la pompe

(W)
sans diffuseur 67531 28659 17568 21394 31029 18536 23874 34127
avec diffuseur 59425 25339 16704 19793 27708 17671 22273 26021

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Relation de Bernoulli

II- Dimensionnement de réseau aéraulique

On se propose d’explorer 2 méthodes de dimensionnement de réseau aéraulique.
Le réseau est réalisé à partir de conduits circulaires, en tôle galvanisée. Un exemple de ce
réseau est représenté sur la figure ci-dessous. Les sorties de conduits sont constituées par des
grilles présentant entre A’ et A (Resp. B’ et B) une perte de charge de 30 Pa. Les deux
bouches de sortie débitent chacune 3000 m3/h dans deux salles à la pression atmosphérique
(PB = PA = Patm). Les coudes (dont le nombre pour chaque branche est donnée dans le tableau
ci-dessous) sont à R/D = 1 soit un coefficient de perte de charge singulière ξ coude=0,22. La
dérivation est constituée par un assemblage dont les pertes de charge singulières pour chaque
branche ξ valent respectivement ξ Α = 0,56 et ξ Β = 0,18. La masse volumique de l’air est
ρ = 1,2 kg/m3, et la viscosité dynamique est µ = 1,5.10-5.
Gpe 1 2 3 4 5 6 7 8
Nb coude
10 m
2 R 4
R B 2
12 m
4 2 4 2 4
B V
Nb coude 2 1
A
RA 2 1 1 2 1 2

1m 3m
4m A’ B’
A B
3m

L (B) 15 20 30 25 15 20 30 25
L(A) 3 5 3 5 3 5 3 5

La première méthode consiste à obtenir une vitesse constante de l’air dans chacun
des conduits.

1) Déterminer le diamètre des conduits pour une vitesse U=10m/s (ce qui évite d’avoir trop
de bruit).
Q = U.S = U.π .D2/4  D = (4Q/(Uπ ))1/2

2) Déterminer les pertes de charges de chaque branche du réseau. Vous remplirez pour
cela le tableau 1 de la feuille réponse. Vous utiliserez le diagramme de Moody Mourine pour
calculer le coefficient de perte de charge linéaire, à partir du calcul du Reynolds et des valeurs
de rugosités équivalentes données dans le tableau 1.
∆ preg = λ .L/D.ρ U2/2 ; ∆ psing = ξ sing. ρ U2/2

3) Ce réseau est il équilibré (même perte de charge dans les branches A et B à 10 Pa

près) ?
Il me semble que la réponse est NON puisque pour tous les groupes il y a un écart
considérable entre ∆ HA et ∆ HA supérieur à 10 Pa.

Les réseaux ne pouvant fonctionner que de manière équilibrée, si les pertes de charges
dans l’une et l’autre branche ne sont pas identiques, il en résulte une modification des débits

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Relation de Bernoulli
dans chaque branche, et donc le non respect du cahier des charges. Dans le cas ou ce réseau
ne serait pas équilibré, proposez une solution qui permette de respecter le cahier des charges
et d’avoir une vitesse constante dans tout le réseau.
Augmenter la perte de charge dans la branche la moins chargée (choisir une
bouche qui permette ce réglage).

4) Déterminer la hauteur manométrique du ventilateur à installer (∆ P en Pa) pour assurer

l’écoulement dans toutes les branches du réseau après équilibrage (les pertes de charge sont
alors les mêmes dans les tronçons A et B).
C’est la somme des pertes de charges de la circulation la plus résistive
∆ P = Ps – Pe
Pe + ρ U2/2 = Patm
Ps = Patm +P ∆ PB + ∆ PR - ρ U2/2
∆ P = Ps – Pe = ∆ PB + ∆ PR

5) En supposant un ventilateur de rendement global η g=0.5, calculer la puissance

électrique absorbée.
P = Q.∆ P = Q.( ∆ PB + ∆ PR)/ η g ;

La deuxième méthode proposée est celle dite « du regain de pression statique ».

L’objectif de cette méthode est d’obtenir une pression statique quasi-constante à chaque nœud
du réseau (les nœuds d’un réseau sont les points où apparaissent des dérivations ou des
jonctions). Ceci est effectué en adaptant les diamètres des tronçons qui relient les différents
nœuds.

6) on souhaite qu’aucun point du tronçon B (qui est le tronçon le plus résistif : plus de
coude, plus long) ne soit en dépression (par rapport à P atm). Les pertes de charge le long du
conduit font baisser la pression. Celle ci sera donc minimum en B’. En imposant la condition
précédente et en écrivant la relation de Bernoulli entre B’ et B, calculer la vitesse UB dans le
tronçon B. En déduire le diamètre DB du conduit B.
ρ UB2/2 + PB = Patm + 0 + ∆ Pbouche . On souhaite (c’est la méthode) PB = 0.
 UB

7) En appliquant la relation de Bernoulli généralisée entre le point R situé juste à l’amont

de la dérivation et le point B’ situé juste à l’amont de la bouche B (dans la conduite) montrer
U2 πU B
que l’on peut écrire la relation suivante : ( 1 − ξ B ) R2 = 1 + Nbcoudeξ coude + λ L
UB 4QB
reliant les pertes de charges aux vitesses UR et UB sachant que l’on souhaite réaliser PR = PB’.
Calculer la valeur de la vitesse UR du tronçon racine. En déduire le diamètre DR du conduit
racine.
ρ UR2/2 + PR = PB’ + ρ UB2/2 + ∆ PB ; avec PB = 0;  UR

8) recalculer les pertes de charges dans les tronçons R et B. Vous rassemblerez les
résultats dans le tableau 2 de la feuille réponse.

9) Le tronçon B étant le plus résistif, le concepteur, pour équilibrer le réseau, prévoit une
bouche d’aération entre A’ et A qui permettra d’obtenir une perte de charge pour la branche A
identique à la perte de charge pour la branche B (∆ Ptot_A = ∆ Ptot_B). Dans ces conditions,
déterminer la hauteur manométrique du ventilateur à installer (en Pa),

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Relation de Bernoulli
C’est la somme des pertes de charges de la circulation la plus résistive
∆ P = ∆ PB + ∆ PR

10) En supposant un ventilateur de rendement global η g=0.5, calculer la puissance

électrique absorbée.
P = Q.∆ P = Q.( ∆ PB + ∆ PR)/ η g ;

Groupe 1 2 3 4 5 6 7 8
Nb coude B 2 4 2 4 2 4 2 4
Nb coude A 2 1 2 1 1 2 1 2
L (B) (m) 15 20 30 25 15 20 30 25
L (A) (m) 3 5 3 5 3 5 3 5

L (racine) (m) 10

Débit par bouche (m^3/h) 3000 ksi A 0.56 ksi coude 0.22 rho 1.2
Débit par bouche (m^3/s) 0.83 ksi B 0.18 mu 1.50E-05
eps relatif A-B 0.00028
eps relatif racine 0.00019
rendement global ventilateur 0.5

0.0001

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Relation de Bernoulli
Méthode 1 : Vitesse constante dans les conduites

Vitesse dans les conduits (m.s-1) 10

Diamètre des conduites

A 0.33
B 0.33
Racine 0.46

Pertes de charge : branche A

Reynold 2.61E+05
λ 0.017
∆ Pl (Pa) 9.39 15.66 9.39 15.66 9.39 15.66 9.39 15.66
∆ Pderiv (Pa) 33.6 33.6 33.6 33.6 33.6 33.6 33.6 33.6
∆ Pbouche (Pa) 30 30 30 30 30 30 30 30
∆ Pcoude (Pa) 26.4 13.2 26.4 13.2 13.2 26.4 13.2 26.4

∆ Ptotal (Pa) 99.39 92.46 99.39 92.46 86.19 105.66 86.19 105.66

Pertes de charge : branche B

Reynold 2.61E+05
λ 0.017
∆ Pl (Pa) 46.97 62.63 93.94 78.28 46.97 62.63 93.94 78.28
∆ Pderiv (Pa) 10.8 10.8 10.8 10.8 10.8 10.8 10.8 10.8
∆ Pbouche (Pa) 30 30 30 30 30 30 30 30
∆ Pcoude (Pa) 26.4 52.8 26.4 52.8 26.4 52.8 26.4 52.8

∆ Ptotal (Pa) 114.17 156.23 161.14 171.88 114.17 156.23 161.14 171.88

Pertes de charge : branche racine

Reynold 3.69E+05
λ 0.016
∆ Pl (Pa) 20.84 20.84 20.84 20.84 20.84 20.84 20.84 20.84

Hauteur manométrique du ventilateur

∆ Pv (Pa) 135.01 177.07 181.98 192.72 135.01 177.07 181.98 192.72

Puissance électrique ventilateur

P (W) 450.03 590.22 606.60 642.41 450.03 590.22 606.60 642.41

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Relation de Bernoulli
Méthode 2 : Regain de pression statique

Branche B
Vitesse en B' 7.07
Diamètre B 0.39

Branche racine
reynold dans
B 2.19E+05
λ dans B 0.017
vitesse dans
R 11.31 12.97 12.96 13.47 11.31 12.97 12.96 13.47
Diamètre R 0.43 0.40 0.40 0.40 0.43 0.40 0.40 0.40

Pertes de charge :
branche B
Reynold 2.19E+05
λ 0.017
∆ Pl (Pa) 19.75 26.33 39.50 32.91 19.75 26.33 39.50 32.91
∆ Pderiv (Pa) 13.82 18.16 18.15 19.61 13.82 18.16 18.15 19.61
∆ Pbouche (Pa) 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00
∆ Pcoude (Pa) 13.20 26.40 13.20 26.40 13.20 26.40 13.20 26.40

∆ Ptotal (Pa) 76.77 100.89 100.85 108.92 76.77 100.89 100.85 108.92

Pertes de charge : branche racine

Reynold 3.92E+05 4.20E+05 4.20E+05 4.28E+05 3.92E+05 4.20E+05 4.20E+05 4.28E+05
λ 0.017 0.017 0.017 0.017 0.017 0.017 0.017 0.017
∆ Pl (Pa) 30.13 42.40 42.38 46.66 30.13 42.40 42.38 46.66

Hauteur manométrique du ventilateur

∆ Pv (Pa) 106.90 143.29 143.23 155.58 106.90 143.29 143.23 155.58

Puissance électrique ventilateur

P (W) 356.32 477.64 477.43 518.59 356.32 477.64 477.43 518.59

Cohard 10/11 8/8