TD MDF APPROFONDIE

Exercice 03
Considérons l’équation de Navier-Stokes sous la forme vectorielle :
 
dV V      1 
  (V .grad )V  Fv  gradP  V
dt t 
Puisque l’écoulement possède une géométrie plane, décomposons l’équation vectorielle de Navier-Stokes en
coordonnées cartésiennes, soit :

z
y
x

REMARQUE : Ce c’est z, c’est h

 du u u u u 1 P   2u  2u  2u 
suivant Ox :  u v w X   2  2  2 
 dt t x y y  x  x y z 
 dv v v v v 1 P   2v  2v  2v 
 suivant : Oy :   u  v  w  Y     2 2 2
 dt t x y y  y  x y z 
  2 
suivant : Oz : dv  w  u w  v w  w w  Z  1 P     w2   w2   w2 
2 2

 dt t x y y  z  x y z 
(1)

Fv  : est la résultante des forces de volume par unité de masse (N / kg ) . Rappelons que ces forces agissent à
distance.
D’après le système d’axes considéré, on :
      
Fv  X i  Y j  Zk  gcos i  gsin j  0k
Hypothèses :

0
- l’écoulement est permanent : t  ,

- L’écoulement est plan et se fait suivant l’axe des Ox , et donc le vecteur des vitesses ne dépend que la
composante u , soit :

: v( x , y , z )  w( x , y , z )  0
 
V  u ( x , y , z ); v( x , y , z ); w( x , y , z )   V  u( x, y , z ) 
Et donc :
Le système d’équation s’écrit :
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 u 1 P   2u  2u  2u 
 suivant Ox : u  gsin     2 2 2
 x  x  x y z 
 1 P
suivant : Oy : 0  gcos 
  y
 1 P
suivant : Oz : 0 
  z
(2)

La projection suivant montre que la pression P ne dépend de la direction suivant Oz

L’équation de continuité est :
u v w
  0
x y z
Avec
v  0 et w  0 , on obtient :

u
0
x la composante du vecteur de vitesse u ne dépend de la direction Ox

 2u  2u
 2
Hypothèses : La variation de u suivant z est négligeable la variation de u suivant y ( z y )
2

Le système d’équations (2) s’écrit:

 1 P  2u
 suivant Ox : 0  gsin    (3  1)
  x y 2

suivant : Oy : 0  gcos  1 P (3  2)
  y (3)

L’intégrale de l’équation (3.1)  donne : P   gcos y  A

P ( y  e )  Patm   gcos (e )  A , ou A  Patm   gcos (e )

P   gcos ( y  e )  Patm (4)

L’intégrale de l’équation (3.1) donne :

 2u ( y ) 1 P gsin
 
y 2  x 

P    gcos ( y  e )  Patm  ( y  e ) Patm

   gcos  0
x x x x
 2u ( y ) gsin

y 2

u ( y ) gsin
 yA
1ere intégrale :  y 
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gsin y 2
u(y )    Ay  B
2eme intégrale :  2
Conditions au limite :

A la paroi la vitesse est nulle : u ( y  0)  0  B

 du  gsin 
 ( y )   dy     y  A 
  
 du gsin
 ( y  e )  0    e  A
 dy y e 
 gsin
A   e
A la surface libre la contrainte de cisaillement est nulle : 
 

gsin y 2 gsin ge 2sin y 2 y

u(y )   ey  ( 2 2 )
 2  2 e e
Le débit est :

Qv   u ( y )dS
S

dS  largeurxdy  ldy

ge 2sin  y 3 y 2  ge 2 lsin  e e 
e e
e ge 2 sin y 2 y ge 3 lsin
Qv   u ( y )dS   ( 2  2 )ldy   2     
S 0 2 e e 2  3e 0 2e 0  2  3 2  12
 

ge 3lsin
Qv   3
12 (m / s )
Comme la valeur de la largeur n’est pas donnée, on détermine le débit par unité de largeur ( l  1 m ):

ge 3sin m 3 / s
Qv   ( )
12 m
La vitesse moyenne est : Comme la valeur de la largeur n’est pas donnée, on détermine le débit par unité de
largeur ( l  1 m ):

Qv Q ge 2sin
Vmoy   v 
S 1xeS 12 (m / s )
On peut aussi déterminer la contrainte de cisaillement :

du d  ge 2sin y 2 y  ge 2sin 2y 2 ge 2sin y

 (y )     ( 2  2 )  ( 2  ) ( 2  1)
dy dy  2 e e  2 e e  e

du ge 2sin y ge 2sin
 p ( y )   ( y  0)    (  1)       ge 2sin
dy y 0
 e y 0 
A la paroi :
Exercice 04
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Hypothèses :
(.)
0
- Ecoulement permanent : t
(.)
0
- Ecoulement à symétrie de révolution : 

(.)
0
- Ecoulement à symétrie de révolution : 
   
- Vecteur de vitesse :
V  V r n  V t  V k
z , l’écoulement se fait suivant l’axe x mais la vitesse varie

uniquement en fonction du rayon de la conduite r .

Vr (r , , z )  0  ; V (r , , z )  0  : Vz ( r , , z )  Vz (r )

L’équation différentielle est :

P * 1 d  dVz (r ) 
  r 0
x r dr  dr 

 dVz (r )  1 P
*
1d
r dr r dr    z

d  dVz (r )  1 P *
r  r
dr  dr   z
1ère intégrale

dVz (r ) r 2 P *
r  A
dr 2  z

dVz ( r ) r P * A
 
dr 2 z r
2ème intégrale

r 2 P *
Vz (r )   A ln r  B
4  z
Conditions aux limites

- Sur l’axe de symétrie (r  0) , on :

r 2 dP *
Vz (r )   A ln r  B  
4  dz
Physiquement ceci est impossible, il faut donc que la
constante A soit nulle ( A  0 ). L’équation du profil de
vitesses s’écrit :

r 2 dP *
Vz (r )  B
4  dz
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R 2 dP * R 2 dP *
V (r  r )  0  B  B  
- A la paroi (r  R ) , la vitesse est nulle : 4  dz 4  dz

Le profil de vitesses s’écrit :

R 2 dP * 2 R 2 dP * r2
Vz (r )  (r  R 2 )   (1  2 )
4  dz 4  dz R
Le débit est :

R R 2 dP * r2  R 2 dP * R r3
Qv   Vz (r )dS    (1  2 )2 rdr    (r  )dr
S 0 4  dz R 2 dz 0 R2
R
 R 2 dP * R r3  R 2 dP *  r 2 r 4   R 4 dP *  D 4 dP *
Qv  
2 dz 0
(r  2 )dr  
R
( 
2 dz  2 4R 2  0
)  
8  dz
 
128  dz
(1)

Détermination du gradient de pression :

dP * P2*  P1* P2   gh2  P1   gh1 P2  P1   g (h2  h1 )

  
dz z2  z1 z 2  z1 z 2  z1

P2  P1  0 , car la pression statique ou en un point est constante

dP *  g (h2  h1 )  g (z 2  z1 )sin
    gsin
dz z2  z1 z 2  z1
Les équations (1) et (2) donnent :
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 D4  D4
Qv   gsin   sin
128 128
La viscosité cinématique est :

 D4
  sin
128Qv

AN :

  0,012 
4

 10 x 0,0445  4.105 m 2 s
 20.10 
3
128  
 3600 

Exercice 06

r 2 P *
Vz (r )   A ln r  B
4  z
R12 P *
Vz (r  R1 )   A ln R1  B  0
4  z
R22 P *
Vz (r  R2 )   A ln R2  B  0
4  z

R12 P *
Vz (r  R1 )   A ln R1  B  0
4  z
R22 P *
Vz (r  R2 )   A ln R2  B  0
4  z
R12 P * R 2 P *
 A ln R1  2  A ln R2
4  z 4  z
R1 R22 P * R12 P * 1 P * 2
A ln    (R2  R12 )
R2 4  z 4  z 4  z
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R22 P * R12 P * 1 P * (R22  R12 )

A  
4  z 4  z 4  z ln R1
R2
 
R22 P *  1 P * (R22  R12 ) 
B   ln R2
4  z  4  z ln R1 
 R2 

 
1 P  *
(R  R1 )
2 2 
B  R22  2 ln R2 
4  z  R 
 ln 1 
 R 2 

 
r P
2
1 P (R  R )
* * 2 2
1 P  *
(R  R1 )
2 2 
Vz (r )   ln r 
2 1
 R22  2 ln R2 
4  z 4  z ln R1 4  z  R
ln 1 
R2  R 
 2 
 

1 P 2 (R2  R1 )
* 2 2
(R2  R1 )
2 2 
Vz (r )   r  ln r  R2 
2
ln R2 
4  z  R1 R1 
 ln ln 
 R2 R2 

 
Vz (r ) 1 P  *
(R  R1 ) 1 
2 2
  2r  2 0
dr 4  z  R1 r 
 ln 
 R2 

(R22  R12 ) 1 (R 2  R12 ) (R22  R12 )

2r   0  r2  2 r 
R R R
ln 1 r 2ln 1 2ln 1
R2 R2 R2

 

1 P 2 (R2  R1 )
* 2 2
(R  R1 )
2 2 
Qv   Vz (r )dS   r  ln r  R22  2 ln R2  dS
S S 4  z
 R R 
 ln 1 ln 1 
 R 2 R 2 
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 
R2 1 P  (R  R1 )
2 *2
(R  R1 )
2 2 
Qv   r2  2 ln r  (R22  2 lnR 2 ) 2 rdr
R1 4  z
 R R 
 ln 1 ln 1 
 R 2 R 2 
 
* 
2 P R2 3 (R2  R1 )
2 2
(R2  R1 )
2 2 
4  z R1 
Qv   r  r ln r  ( R 2
 ln R ) r dr
R1 2
R1 2

 ln ln 
 R 2 R 2 

 
 
*  
2 P R2 (R2  R1 ) R2
2 2
(R2  R1 )
2 2
R2

4  z  R1  R1 R1
Qv   r dr 
3
r ln rdr  (R2 
2
ln R2 ) rdr  
R1 R1
c
ln ln
 a R R2 
   2     
 b 
R2 R2
rdr   fg  f ' g  R2   r ( r ln r  r )  (r ln r  r )  R2  (r 2  r )(ln r  1)  R
R R R2
R1
r ln rdr   r ln
R1 
f dg
1 1 1

 R 
(r 2  r )(ln r  1)    (R22  R12 )  (R2  R2 )  (ln 2  1) 
R2

R1
 R1 

1 R24
a  ln 4
4 R1
(R22  R12 )  2 R 
b
R   (R2  R12 )  (R2  R1 )  (ln 2  1) 
R1
ln 1  
R2
(R22  R12 ) 1 R22
c  (R  2
ln R2 ) ln 2
2
R 2 R1
ln 1
R2
 

2 P 1 R2 (R2  R1 )  2
4 *2 2
R  (R  R1 )
2 2
1 R 2
Qv   ln 4 
4  z  4 R1 R   (R2  R12 )  (R2  R1 )  (ln 2  1)   ((R22  2
R1 R
ln R2 ) ln 22 
2 R1 
ln 1   ln 1
 R2 R2 