Ce document contient des exercices d'analyse numérique portant sur l'interpolation polynomiale, la dérivation, les erreurs d'approximation et la convergence de méthodes itératives pour résoudre des systèmes linéaires. Les exercices demandent de déterminer des polynômes d'interpolation, des expressions d'erreurs et de comparer les vitesses de convergence de méthodes itératives.
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Pr M.
El Kyal Année universitair e 2020 I 2021
Université Ibn Zohr , ENSA d'Agadir Première année G.E.E, G.M et B.T.P.
D.S. d'Analyse numérique
Durée th3Omn
tr;*"tdil (6 pts) *x',tt*\^ ˤ\L. -?.-** I \ *^PF Soit les points suivants r :
..*'r *l--t* ü f* \è ' =')-
x:i 0 1 2 3 4 0 2 36 252 1040 .§-§n- È= n-\-.*§'a T@e) o...^. On veut avoir une peilleure approximalion de /(1,5). -+s' \t'rirt^v' 1. Donner le polynôme de degré 2 qui interpole la fonction /. nL;.* ' '. '*\'- 2. Donner l'expression analytique de l'erreur au point 1,5. ..,v %$ r'Q -Bt\rtt) 3. Donner une approximation de /(1,5) ainsi que une approximation de cet erreur. {oF{"- Oxrve**U \§À* r'rrer-\§*"v^ o5*r...-r.\^ ,v\^ l'\R-,-è "-§,. \* -",\* L, ( d \-.r.uu..,r- 'L, \ p*re-xu^'g\ v çr<t--\:s "*F- 'Ji--.:Ï a.- $*1 -- L*--\^qL(r-ô = ly-/4b 4 -'n T 1- ./ ,*-t^- f,L,l,s)rz P-U ) s-\ 1- 5ê/ (6 pts) Considérons n * 1 réels deux à deux distincts fro1"'x)n de l'intervalle [-1,1], un réel a l1 et / une fonction de classe ç@+t) sur [-1,1] définie par
vr e [-1, l], r@)
Soit p, le polynôme qui interpole / aux points fry, ' ' ' , xin. 1. Pour k Ç N*, donner l'expression de la dérivée k-ème de / (/tt); 2. Montrer qu'il existe ( e [-1,1] tel que ll@) - p,(r)l <+l: al(-al1""' 3. En déduire que pour a ) 3, quelque soit le choix des points n1t"' ,trn de l'intervalle [-1,1],
f crrn.s- \t* (s=
nt^ _= A_ ;5- R- \'r.--a'l \<--§:---:---l ( rft\-^ *\i-"r\2 z \!_r\ \!_ Jl L.^ ) el-t,nf t\ d)B 1 .^§*- 1-- < L \: -.\ '----r..\= e*tr\ =§ !11 ^Jt'" tr-"r"t"- 3l (8 pts) Pour a donné dans -R, on considère le système linéaire Aor : b avec
/t o o\ A.:l o I a I
\o a t) 1. Pour quelles valeurs de a la matrice Ao est inversible. 2. Donner la matrice d'itération de Jacobi, pour quelles valeurs de o la méthode de Jacobi est convergente. 3. Donner la matrice d'itération de Gauss-Seidel, pour quelles valeurs de a la méthode de Gauss- Seidel est convergente. 4. Comparer les vitesses de convergence des deux méthodes en justifiant votre réponse.
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