Mecanique
Mecanique
Mecanique
J. – Ph. Ansermet
1er semestre
31/10/01
Contenu
Contenu i
Préface 1
1. Cinématique 1
2. Balistique 2
3. Oscillateurs harmoniques 4
4. Cinématique générale 5
4.1. Référentiel 5
4.4. Repère 6
4.5. Coordonnées cylindriques et sphériques 7
5. Gravitation 10
6. Rotations 11
7.1. Positionnement 12
7.3. Inertie 14
8. Mouvement relatif 14
9. Conservation 15
9.1. Collisions 15
Préface
Polycopié : Physique Générale I et II littérature
Objectif :
1. Cinématique
1.1. Définitions de base
Modèle du point matériel :
□ et une masse
Dérivées :
déplacement
vitesse = et s’il y a une accélération ? Æ Il faut prendre
temps
des intervalles du temps assez petits.
∆x dx
Donc : v = lim = (dérivée de x par rapport à t)
∆t → 0 ∆t dt
∆v
Si la vitesse change dans le temps : a = lim .
∆t → 0 ∆t
x = v
x = ∫ vdt
x = v ⋅ t + x0
v = a
v = ∫ adt
v = a ⋅ t + v0 et
x = v = a ⋅ t + v 0
x = ∫ a ⋅ t + v0
x = 12 a ⋅ t 2 + v 0 ⋅ t + x 0
2. Balistique
2.1. Projectile sous pesanteur
1. On introduit un point matériel représentant le projectile et son masse.
m x = 0
m y = 0
m z = − mg
x = 0 → x = A → x = At + B
y = 0 → y = A′ → y = A′t + B ′
z = − g → z = − gt + C → z = − 12 gt 2 + Ct + D
r(0) = 0 Æ B = 0 ; B’ = 0 ; D = 0.
Donc : Fr = -b ⋅ v et F2 = m ⋅ g
e
2. 2 loi de Newton : F = m ⋅ a
x x
3. Cinématique : v = y , a = y
z z
m x = −b x
m y = −b y
m z = − mg − b z
3. Oscillateurs harmoniques
Modèle de force :
On a
poids
déplacement du ressort
Equation du mouvement :
mx = − kx
x = − mk x
ce n’est pas comme avant !
soit ω 2 = k
m
→ x = −ω 2 x
Disons à t = 0 : v = v0 et x = x0.
… Æ mx = − kx − bx
4. Cinématique générale
Trajectoire d’un point matériel : lieu géométrique des points.
4.1. Référentiel
Les vitesses et les accélérations sont mesurées par rapport à un solide.
dr dr ds dr
v= = ⋅ = ⋅ v = τˆ ⋅ v
dt ds dt ds
v (t + dt ) − v (t ) dv an
a = lim = = v
dt → 0 dt dt
dv dτˆ
v = v ⋅ τˆ → a = τˆ + v at
dt dt
dτˆ 1 dv v2
= (rayon du cercle tangeant) → a = τˆ + nˆ
ds R dt R
x2 y2
+ = 1 , donc la trajectoire est un cercle de rayon R.
R R
x =− Rω sin ωt
y = Rω cos ωt
v = Rω constante.
dv
at = τˆ = 0 ,
dt
x − Rω 2 cos ωt v2
a n = =
= −ω 2
r = −ω 2
Reˆ y = (−eˆ y )
y − Rω sin ωt
2
R
4.4. Repère
Convention : nous utilisons des repères orthonormaux directs. (Direct :
système droite, « loi de tire-bouchon ») produit vectoriel
v̂
P’ axe
û AP
P
On note que :
ρ cos φ
On prend Oxyz comme référentiel : r = ρ sin φ Æ cinématique
z
ρ cos φ − ρφ sin φ − ρφ sin φ − ρφ sin φ − ρφ 2 cos φ
dv
a= = ρ sin φ + ρφ cos φ + ρφ cos φ + ρφ cos φ − ρφ 2 sin φ
dt
z
eρ, eφ et ez sont des fonctions du temps subissant une rotation. Formule de Poisson
Physique générale I 8
tangente ⊥ rayon : er x eθ = eφ θ
z r eθ
eφ horizontal, eφ ⊥ plan OPP’
y
(P’ est la projection de P sur le plan x
Oxy) φ
Cinématique :
r = rer
de r
v= re r + r
dt
( ) (
e r = x − φ sin φ sin θ + θ cos φ sin θ + y φ cos φ sin θ + θ sin φ cos θ − zθ sin θ )
regrouper pour trouver les vecteurs unités du repères dans cette formule :
a= (r − rθ 2
) ( ) ( )
− rφ 2 sin 2 θ e r + rθ + 2rθ − rφ 2 cos θ sin θ e θ + rφ sin θ + 2rφθ cos θ + 2rφ sin θ e φ
repère associé,
coordonnées cylindrique
P;T
P = m⋅g⋅cosφ⋅eρ + m⋅g⋅sinφ⋅eφ
T = - T⋅eρ
(4) Liaisons :
z = constante Æ z = z = 0
ρ = L = constante Æ ρ = ρ = 0
Equations de mouvement :
m ⋅ ρ ⋅ φ
Æ + T = m ⋅ ρ ⋅ φ 2
tan φ
LO = ∑ OP
α
α ∧ pα
Moment de force : Soit une force Fα exercée au point Pα ; MOα = OPα ∧ Fα.
F = m ⋅ a.
dL Oα
Alors = v ∧ (m ⋅ v) + OP ∧ m ⋅ a = OP ∧ m ⋅ a = OP ∧ F = MO.
dt
Théorème de la quantité de mouvement et du moment cinétique pour un
système de points matériel :
dp α
mα ⋅ aα = =Fα
dt
dP dp α
=∑ = ∑ Fα = ∑ Fα + ∑ ∑ F ∑F
ext β →α ext e
Æ = α cf. 3 loi
dt α dt α α α β α
LO = ∑ OP α ∧ pα
Æ
dL O ext β −α
= ∑ OPα ∧ Fα = ∑ OPα ∧ Fα + ∑ F = ∑ OPα ∧ Fαext
dt α α α α
ext e
= MO cf. 3 loi
5. Gravitation
Kepler #1 : Les orbites des planètes autour du soleil sont des ellipses.
Mm r
Kepler 1+2+3 donne la loi de la gravitation : F = −G G : constante universelle
r2 r
Physique générale I 11
− GM α GM
g= ∑α r 2
er = −
R2
où R est le rayon de la sphère considérée.
6. Rotations
6.1. Théorème d’Euler
Tout mouvement d’un solide indéformable ayant des points fixes peut être
représenté par une rotation.
Théorème d’Euler : repère subit une rotation R, alors ei(t + dt) = R ei(t).
de i
Æ = A ⋅ ei où A est une certaine matrice. Que sait-on de A ?
dt
d (e i ⋅ e i ) de
= 0 = 2e i i = 2e i Ae i = 2A ii → A ii = 0
dt dt
□ tous les angles sont conservés :
d de j de
0= (e i ⋅ e j ) = e i + e j i = e i Ae j + e j Ae i
dt dt dt
Æ 0 = Aij + Aji
Finalement on obtient :
0 A 12 A 13 0 −ω3 ω2
A= − A 12 0 A 23 = ω 3 0 − ω 1
− A 12 − A 23 0 − ω 2 ω1 0
dr de de de
= r1 1 + r2 2 + r3 3 = r1 Ae 1 + r2 Ae 2 + r3 Ae 3
dt dt dt dt
Physique générale I 12
0 −ω3 ω2 − ω 3 r2 + ω 2 r3
dr
= r1 ω 3 0 − ω 1 + ... = ω 3 r1 − ω 1 r3 = ω ∧ r
dt
− ω 2 ω1 0 − ω 2 r1 + ω 1 r2
Que représente ω ? dφ
dr
= 0 pour tout r parallèle de ω. Æ les r r r’
dt
le long de ω ne varient pas, le vecteur ω
θ
est porté par l’axe de rotation.
ω x r)⋅dt
r(t + dt) – r(t) = (ω
ω||⋅||r||⋅dt⋅sinθ
||r(t + dt) – r(t)|| = ||ω
dφ
ω|| =
Donc : ||ω (vitesse angulaire) vecteur instantané de rotation
dt
ψ : précession
θ : nutation (inclinaison)
θ φ
φ : rotation propre
ψ
Physique générale I 13
d d d référentiel solide P
OP = OA + AP
dt dt dt
O
d A
v(P) = v(A) + AP
dt
||AP|| ne change pas. L’orientation de AP change parce que l’orientation
du solide change. On s’est convaincu qu’il existe un ω décrivant
l’évolution de l’orientation du solide.
d
AP = ω x AP
dt
Soit e1, e2, e3 le repère attaché au solide :
d d de i
dt
AP =
dt
∑ye
i
i i = ∑y
i
i
dt
= ∑ y (ω ∧ e ) = ω ∧ ∑ y e
i
i i
i
i i
d d
Æ AP = ω x AP Æ OP = v(A) + ω x AP
dt dt
OG =
∑ m OP
α α
ÆM⋅
dVG
=
dP
=F
ext
∑m α dt dt
Relation entre L0 et LG :
Æ L0 = OG x M ⋅ vG + LG
dL G
Théorème du moment cinétique pour LG : = M Gext
dt
Démo : voir 11-3/4
Physique générale I 14
7.3. Inertie
LG = ΣGPα x mα ⋅ (vG + ω x GPα) = ΣGPα x mα ⋅ (ω
ω x GPα)
LG1 I 11 0 0 ω 1
L = 0 I 22 0 ⋅ ω 2 Æ LG = I11ω ⋅ e1 + I22ω ⋅ e2 + I33ω ⋅ e3
G2
LG 3 0 0 I 33 ω 3
Ce repère est appelé repère d’inertie ; les axes portés par e1, e2, e3 sont
les axes principaux d’inertie.
8. Mouvement relatif
Procédé standard : vitesse par rapport au référentiel, projection dans le
repère. Référentiel d’inertie : état de libre force Æ MRU (Loi 1 de Newton).
On sait que F = ma ; … si le référentiel est un référentiel d’inertie.
dOA
vitesse absolue de P = va(P) = + ∑ y i e i + ∑ y i e i
dt
= va(P) + vrel(P) + Ω x AP (formules de Poisson)
Ω x vrel(P) ] + [ Ω x (Ω
aa(P) = aa(A) + arel(P) + [ 2Ω Ω x AP) ] + Ω’ x AP
9. Conservation
dPtot dL Otot
On se rappelle les équations = ∑ F ext et = ∑ M Oext .
dt dt
Principe de conservation pour un système isolé (pas de force extérieure):
De même façon on a :
M ext
O u
ˆ L Otot uˆ = cste.
ou ⇒ ou Exemples Æ feuille ext.
ext
F uˆ Ptot uˆ = cste.
9.1. Collisions
2 objets se rapprochent et subissent une interaction mutuelle : on peut
définir un « avant » et un « après ». Ainsi on a P(avant) = P(après).
dv dv dx dv dv
v = v(x(t)), alors = ⋅ =v Æ mv = F ( x(t )) .
dt dx dt dx dx
x2 x
d 1 d 1 2
( 2 mv 2 ) = F ( x) Æ ∫ dx ( 2 mv )dx = x∫ F ( x)dx .
2
dx x1 1
x2
1
2
mv 22 − 12 mv12 = ∫ F ( x)dx
x1
Physique générale I 16
Energie cinétique : K = 12 mv 2
x2
xs
V(x) = ∫ F ( x)dx .
x
x2 xs x2
Æ 1
2
mv 22 − 12 mv12 = V ( x1 ) − V ( x 2 ) ; 1
2
mv 22 + V ( x 2 ) = 12 mv12 + V ( x1 ) .
x2
xs x
dV
V(x) = ∫ F ( x)dx = – ∫ F ( x)dx Æ
x x2
dx
= − F (x)
d
Quand une force F « dérive d’un potentiel », alors F ( x) = − V.
dx
dv dv d 1
F = ma = m ⇔ Fv = mv = ( 2 mv 2 ) , par intégration vers dt :
dt dt dt
t2
∫ Fvdt =
t1
1
2
mv 22 − 12 mv12
t2 ( 2)
∫ Fvdt
t1
= ∫ Fdr = travail de F pour aller de (1) à (2).
(1) trajectoire
( 2)
K= 1
2
mv 2 = énergie cinétique.
Physique générale I 17
rs
( 2) rs ( 2)
Alors K2 – K1 = ∫ Fdr
(1)
= ∫ Fdr + ∫ Fdr = V(1) – V(2).
(1) rs
d ∂T ∂T ∂r
− = Qi = ∑ Fα
dt ∂q i ∂q i α ∂q i
∂r ∂r ∂V ∂x ∂V ∂y ∂V ∂z ∂V
a
Qi = F ⋅ = – ∇V ⋅ =– + + = – .
∂q i ∂q i ∂x ∂q i ∂y ∂q i ∂z ∂q i ∂q i
d ∂T ∂T ∂V d ∂T ∂ (T − V )
− =− ; − =0
dt ∂q i ∂q i ∂q i dt ∂q i ∂q i
d ∂L ∂L
Le lagrangien : L = T – V et − =0
dt ∂q i ∂q i