Epinay sur seine

23 Novembre 2016

Enseigner la géométrie
aux cycles 2 et 3

Marie-Lise PELTIER
Maître de conférences en didactique des mathématiques

Laboratoire de didactique André Revuz

Université Paris 7 Denis Diderot
Collection Euro Maths
et Opération Maths (Ed. Hatier)
 Équipe EuroMaths
et Opération Maths

• Marie-Lise Peltier, Laboratoire LDAR Université Paris Diderot

• Joël Briand, laboratoire DAEST Université Bordeaux 2
• Bernadette Ngono, Laboratoire CIVIIC Université Rouen
• Danielle Vergnes, Laboratoire LDAR Université Paris Diderot
• Yannis Ben Boujema, Professeur des écoles, maître formateur
• Marc Sampo, Professeur des écoles

2
ML Peltier
 Les programmes 2016

En mathématiques, 6 compétences se déclinent de la

maternelle à l’université pour contribuer à l’acquisition
des compétences du socle commun

Chercher
Modéliser
Représenter
Raisonner
Calculer
Communiquer

3
ML Peltier
 3 domaines de connaissances qui sont imbriqués

Nombres Grandeurs
et calcul et mesure

Espace
et géométrie

4
ML Peltier
 Espace et géométrie

- Les connaissances se construisent à partir de

problèmes

- Une nécessaire évolution dans

l’apprentissage des connaissances spatiales
et géométriques

- Les activités proposées permettent de passer

au cours des cycles d’un regard ordinaire porté
sur les objets puis sur les dessins au regard
géométrique sur les figures
5
ML Peltier
 En guise d’introduction…
Apprendre en résolvant des problèmes

6
ML Peltier
 Qu’est-ce qu’un problème?
« Un problème est généralement défini comme
une situation initiale, avec un but à atteindre,
demandant au sujet d’élaborer une suite
d’actions ou d’opérations pour atteindre ce but.
Il n’y a problème que dans un rapport
sujet/situation où la solution n’est pas disponible
d’emblée, mais possible à construire.
C’est dire aussi qu’un problème pour un sujet
donné peut ne pas être un problème pour un
autre sujet, en fonction de leur niveau de
développement intellectuel par exemple. »
BRUN Jean, Math-Ecole n° 141.
7
ML Peltier
 En géométrie,
est-ce possible?…

8
ML Peltier
 Un exemple : reproduire un napperon par pliage,
découpage

« Dans un carré de papier

réaliser un « napperon »
ressemblant* à celui-ci
par pliage et découpage »

*critères:
Même nombre de découpes
Mêmes formes
Mêmes positions relatives
Mêmes orientations relatives
9
ML Peltier
 10
ML Peltier
 Un autre exemple

Voici un patron de pyramide, incomplet.

Il faut tracer la face manquante

11
ML Peltier
 12
ML Peltier
 Un autre exemple : « restaurer » une figure en
partie effacée

13
ML Peltier
 Apprendre la géométrie
… c’est en « faire » !

C’est…
- Résoudre des problèmes en développant un
raisonnement
- Faire des prévisions
- Anticiper le résultat d’une action
- Faire des hypothèses, faire des essais,
- Les valider, les invalider
- Trouver des mots pour dire…
- S’entraîner
- Apprendre et retenir
14
ML Peltier
 Plan de l’exposé

• 1. Approche didactique de l’espace et de la géométrie

• 2. Des problèmes pour introduire des notions et
ponctuer leur étude
– Alignement
– Milieu d’un segment
– Angle droit, perpendiculaires, parallèles
– Symétrie axiale
• 3. Etude longitudinale d’un thème : les figures planes
• 4. Des liens avec d’autres disciplines

15
ML Peltier
 Cadre théorique de cette intervention

Apprentissage par adaptation

Approche socio constructiviste de l’apprentissage
(Piaget, Gréco, Vygotski, Bruner… )

En milieu scolaire
rôle des pairs et de l’enseignant

Approche didactique des relations entre

enseignement et apprentissage
(Brousseau, Chevallard, Douady, Vergnaud,…)

16
ML Peltier
 Partie 1
Approche didactique
sur l’espace et la géométrie
Brousseau, Galvez, Salin, Berthelot, Houdement
Kuzniak, Parsyz, Perrin Glorian…

17
ML Peltier
 Il s’agit
- d’étudier les conditions de construction et
d’acquisition de connaissances spatiales et
géométriques en milieu scolaire
- de concevoir ou mettre en œuvre des situations
d’apprentissages permettant de leur donnant du sens
et d’en comprendre la nécessité

18
ML Peltier
 A l’école primaire la géométrie est la modélisation de
l’espace
L’intérêt de ce domaine pour les élèves est multiple :
– La géométrie constitue un outil pour répondre à des
problèmes de l’espace physique, posés dans le
cadre de pratiques sociales, culturelles et plus tard
professionnelles
– La géométrie établit des « ponts » entre plusieurs
disciplines: mathématiques, géographie,
technologie, EPS, arts plastiques…
– La géométrie est un lieu privilégié de l’initiation au
raisonnement
19
ML Peltier
 Connaissances spatiales Connaissances
géométriques
Genèse Naturelle puis scolaire scolaire
Organisation spontanée, culturelle, peu théorique
connue
Langage et proches de la langue codés
vocabulaire naturelle, suivant les obéissant à des règles
mêmes principes de logique
Choix des issus de la réalité modélisation du réel ou
problèmes internes à la théorie

Mode de résolution pragmatique analyse, essais

instrumentée raisonnement

Validation perception globale/ langagière

instrumentée démonstartion

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ML Peltier
 Possibilité de classifier les situations
d’apprentissages en fonction du facteur « taille
de l’espace » déterminant les différents types
d’interactions possibles entre le sujet et le milieu
(G Brousseau)
- le micro espace, le sujet est en dehors de cet
espace, il manipule des petits objets qu’il contrôle
intégralement par la vue
- le méso espace, espace dans lequel le sujet se
trouve et se déplace, plusieurs « vues » sont souvent
nécessaires pour l’appréhender
- le macro espace dont la visualisation globale ne
peut être que le fait d’une construction mentale à
partir de visions locales. Très différent selon la densité
informationnelle : urbain, rural, maritime
21
ML Peltier
 Les situations relèvent de trois problématiques
(Salin Berthelot)
- La problématique pratique
- La problématique de modélisation
- La problématique de la géométrie
Chacune de ces trois problématiques se caractérise
de fait par des rapports avec des milieux
(considérés comme systèmes antagonistes du sujet)
de nature différente, régulés par des modes
différents :
- milieu de la vie courante
- milieu scientifique
- milieu mathématique.
22
ML Peltier
 Les situations proposées dans le meso espace et le
mico espace permettant des rapports spatiaux
effectifs sont insuffisantes à l’appropriation des
notions

Il est nécessaire de faire évoluer les situations pour

permettre la construction de rapports spatiaux
intériorisés permettant des actions effectuées par la
pensée sur des objets réels évoqués (images
mentales) ou directement sur des représentations
symboliques de ces objets

23
ML Peltier
 D’où un cadre… pour penser l’enseignement de la
géométrie (Houdement Kuzniak Parsysz)

• 4 niveaux déterminés en fonction :

- des objets
• physiques
• graphiques
• théoriques
- des modes de validation qui appartiennent à
différents registres
• la perception globale
• la perception instrumentée
• le raisonnement (déductif)
24
ML Peltier
 Et donc… plusieurs « géométries »
L’école primaire : passage progressif de G0 à G2

Houdement Kuzniak Parsysz

1999, 2002, 207
Berthelot Salin 1992
Exemple: l’évolution de la notion de carré de G0 à G2
25
ML Peltier
 2. Des problèmes pour
introduire des notions
et ponctuer leur étude

26
ML Peltier
 • Parler de « problème » pour introduire une notion, c’est
parler de « situation d’apprentissage » de la notion

• Construire une situation d’apprentissage, c’est construire

un dispositif adapté à l’âge, aux connaissances, et aux
intérêts des élèves concernés en se posant une question
d’ordre didactique et une d’ordre plutôt sociologique
• « Le savoir visé est-il la solution optimale du problème
traité dans ce dispositif ? »
• « Comment s’assurer que les élèves voient dans cette
suite d’activités une occasion d’apprendre ? »

27
ML Peltier
 Pour plusieurs notions, notamment celles
- d’alignement
- de distance
- de milieu
- d’orthogonalité, d’angle droit
- de parallélisme
- de symétrie axiale…
des aller-retour entre des problèmes posés
Ø dans l’espace environnant
Ø dans l’espace de la feuille de papier
permettent de mieux prendre en charge le passage de
la connaissance de l’espace à la géométrie.

28
ML Peltier
 Trois temps

Ø Émergence des connaissances spatiales à partir de

jeux, de manipulations, de résolution de problèmes
spatiaux

Ø Passage de ce qui est vécu dans le « méso espace »

à ce qui est représenté sur la feuille de papier,
importance du langage

Ø Étude instrumentée des relations géométriques dans

le « micro espace »,
mise en place du langage spécifique

29
ML Peltier
 2.1. La notion d’alignement
L’ alignement : les visées C2

1. Dans la classe ou dans la cour avec des tubes en

carton
- un élève vise un objet avec sa « lunette »
- les autres élèves font des hypothèses sur ce qu’il vise
- ces hypothèses sont relevées par l’enseignant
- la validation peut de faire en installant par exemple une
lampe torche dans le tube

30
ML Peltier
 2. sur la feuille de papier

31
ML Peltier
 L’alignement : les points alignés C2

1. jeu effectif
2. passage à la représentation

CE1
32
ML Peltier
 L’alignement : les visées C3
La droite : solution géométrique des problèmes d’alignement
Du « méso » au « micro »
Dans la cour : jeu de cache cache
En classe : placer sur le plan des croix à des endroits où se
cacher, puis délimiter toutes les zones où se cacher

33
ML Peltier
 Puis reprendre la question, en se décentrant

34
ML Peltier
 Les alignements…
les repérer permet de reproduire des figures … même
en modifiant l’échelle !

35
ML Peltier
 CM1

36
ML Peltier
 2.2. Le « milieu » d’un segment
CE2:
Du jeu du béret dans la cour aux propriétés du
milieu d’un segment dans le micro espace

37
ML Peltier
 CM : dans la cour, deux corbeilles symbolisent deux
panneaux de basket, recherche de l’emplacement du
ballon pour l’engagement
En classe

« Pour quelles raisons chacun des points A, B, C,

D ne peut-il pas être le milieu du segment [EF] ? »
38
ML Peltier
 2.3. Le concept d’angle droit
L’orthogonalité
Le parallélisme
Une progression par changement de points
de vue

39
ML Peltier
 • Au début du C2
Les rapports spatiaux effectifs conduisent à la
reconnaissance de directions privilégiées :
la verticale et l’horizontale

Un travail spécifique sur le passage du plan

vertical au plan horizontal est indispensable
Les photographies sont une aide

Le double pliage va permettre d’envisager l’angle

droit dans diverses positions

40
ML Peltier
 • Identifier les angles droits de figures
- Sur papier uni

CE1/CE2
41
ML Peltier
 • Mais attention risque de confusion entre
- activité cognitive « repérer les angles droits d’après
l’image mentale que l’on en a »
- et activité pragmatique « manipuler l’objet équerre et
passer en revue tous les angles pour voir si on peut
mettre dessus celui qui a la gommette »
Exemple: Faire coller une gommette sur l’angle droit de l’équerre,
contrôler le positionnement puis proposer l’exercice
« A l’aide de ton équerre, repère les angles droits et colorie-les

CE1/CE2 42
ML Peltier
 - Sur quadrillage

CE2
43
ML Peltier
 • Construire des angles droits:
Apprentissage du geste

CE1/CE2
44
ML Peltier
 Au CE2 :
La notion d’angle droit, encore fragile, doit être retravaillée

Pour construire le carré, il est nécessaire de construire des

angles droits qui sont alors envisagés comme outils pour
résoudre le problème de construction avant d’être objets d’étude
45
ML Peltier
 Au CE2 et au CM : nouveau point de vue
La notion de plus courte distance plus courte distance
pour envisager l’orthogonalité

46
ML Peltier
 De la situation spatiale à la situation géométrique

47
ML Peltier
 La perpendicularité est la solution experte de la recherche de
la plus courte distance d’un point à une droite

48
ML Peltier
 Droites parallèles
Deux points de vue

1. Deux droites perpendiculaires à

une même droite sont parallèles
Le triple pliage
Prévoir comment seront placés les plis sur la feuille
dépliée et les tracer à main levée avant de déplier

49
ML Peltier
 2. Droite parallèle à une droite : solution experte de la
recherche de l’ensemble des points à même distance
de cette droite

50
ML Peltier
 D’où deux procédés de construction

51
ML Peltier
 Parallèlement…
Les situations de reproduction
ou de restauration de figures
mettent en jeu les notions à
travailler : alignements,
milieux, orthogonalité,
parallélisme

52
ML Peltier
 2.4. La symétrie axiale
L’importance de l’anticipation
Symétrie axiale et reflets
Jeu du miroir

53
ML Peltier
 Symétrie axiale et pliages : du CE2 au CM2

54
ML Peltier
 Et on s’entraîne….
On connaît le pliage et les découpes
on cherche le résultat

1 axe

55
ML Peltier
 2 axes

56
ML Peltier
 4 axes

57
ML Peltier
 On connaît le modèle,
on cherche
le pliage et les découpes

58
ML Peltier
 Vers la recherche des axes de symétrie
des figures usuelles

59
ML Peltier
 Symétrie axiale et retournement
Un autre point de vue sur la symétrie

Jeu d’encastrement
Les pièces ont une face orange et une
face bleue
Prévoir celles qui pourront être mises
dans leur empreinte indifféremment sur
la face orange ou sur la face bleue,
puis vérifier avec le matériel
60
ML Peltier
Recherche
des propriétés
de figures symétriques
par rapport à un axe

61
ML Peltier
 Puis des assortiments d’exercices

Construire par symétrie

Sur quadrillage
un axe

62
ML Peltier
 Sur quadrillage
Sur quadrillage
Deux axes
un axe oblique

Sur papier uni

Un axe quelconque
63
ML Peltier
 3. Etude longitudinale d’un thème
Un exemple : les figures planes
Le thème « figures planes » est présent
dans tous les niveaux de l’école primaire
Comment en concevoir l’étude?
travail de l’équipe de cycle
64
ML Peltier
 forme

Figures planes convexité

objets d’un espace métrique
Alignement
(droite)
Perception visuelle
objet
physique polygone
Perception
kinesthésique
dessin
dénombrement
Reconnaissance
instrumentée figure Longueur
(égalité)

Connaissance Orthogonalité
abstraite ( propriétés) (angle droit)

milieu parallélisme
65
ML Peltier
 Au cycle 2 :
Des objets physiques aux dessins

Types de tâches
Reconnaissance, identification, description,
dénombrement, classement, tracés et reproduction
Activités
jeux d’assemblage : juxtaposition superposition
problème de reproduction ou de complétion
tracés avec des gabarits, avec la règle sur papier
quadrillé, avec la règle et l’équerre sur papier uni…

66
ML Peltier
 Identification des formes planes

Exemple au CP

67 67
ML Peltier
 anticipation avant la vérification avec le matériel

68
ML Peltier
 La question de la validation

Un exemple au C2
Assemblages de formes : le tangram
Les enfants doivent reproduire un modèle
Plusieurs étapes
1. Les pièces sont mises
sur le modèle

2. La reproduction
se fait à côté du modèle
La validation est nécessaire
Utilisation d’un transparent
69
ML Peltier
 3. Le modèle est plus petit
La validation est nécessaire
Utilisation d’un transparent
à taille réelle

4. Le modèle
est à même échelle,
mais le contour des pièces
est effacé,
les pièces sont mises
sur le modèle

70
ML Peltier
 5. La reproduction se fait à côté du
modèle (même taille ou plus petit)
et le contour des pièces
est effacé
La validation est nécessaire
Utilisation d’un transparent
71
ML Peltier
 CE1 identifier les polygones, et parmi eux les
figures usuelles

72
ML Peltier
 CE1 Vers la recherche des propriétés des
figures usuelles
propriétés des côtés : le jeu des longueurs

73
ML Peltier
 74
ML Peltier
 CE1 Vers la recherche des propriétés des figures
usuelles
propriétés des longueurs et des angles :
Construction et déconstruction des figures
usuelles

75
ML Peltier
 CP CE1 Construire les figures usuelles

Prévoir où placer les sommets manquants pour

construire
- un rectangle vert
- un carré rose

76
ML Peltier
 CE1 Prévoir où placer les sommets manquants
pour construire
- un rectangle vert
- un carré rose

77
ML Peltier
 CE2
Sans utiliser ton équerre mais en utilisant les points du
réseau et ta règle, tu dois construire un carré rouge, un carré
bleu, un carré vert. Pour chacun d’eux un côté est déjà tracé.
Trouve les sommets qui manquent, puis trace les côtés.
Vérifie avec ton équerre et une bande de papier

78
ML Peltier
 Au C2 identifier des formes planes
juxtaposer, superposer :
différentes « lectures » des figures complexes
lectures complémentaires

79
ML Peltier
 Et là?…. 4 figures?
2 figures?

Au C3, des formes juxtaposées

ou superposées…… à la figure

Une figure est

composée de lignes et
de points qui sont des
intersections de lignes

80
ML Peltier
 Au cycle 3 :
Des dessins aux figures
Types de tâches
Reconnaissance, identification, description,
classement, reproduction, construction
instrumentée
Activités
Recherche de propriétés
Problèmes de reproduction ou de complétion
Problèmes de construction sur papier quadrillé,
sur papier uni avec la règle et l’équerre
81
ML Peltier
 82
ML Peltier
 Pour chaque type de tâches :
variation grâce aux variables didactiques

Par exemple: reproduire une figure

Du côté du modèle :
- le modèle est affiché ? à disposition de chaque
élève ?
- le modèle est sur papier uni ? sur quadrillage ?
- une analyse des propriétés est nécessaire car
certains éléments ont été effacés ? cette analyse
met en jeu une (des) notion(s), lesquelles ?
Celle(s) dont l’apprentissage est visé ? d’autres?
83
ML Peltier
 Du côté de la reproduction
La reproduction est demandée
- en utilisant un gabarit ? un papier calque ?
- avec les instruments ?
- sur papier quadrillé ? sur papier uni ?
- à la même taille ? à une taille différente ?
- La validation se fait à l’œil ? par l’approbation
du professeur ? à l’aide d’un transparent ?
- il est possible de recommencer ?

84
ML Peltier
 5. Créer des liens avec d’autres
disciplines

Un exemple : les arts plastiques

85
ML Peltier
 Tracés à main levée

86
ML Peltier
 Tracés à la règle

87
ML Peltier
 Identification de formes

Auguste Herbin
vendredi
88
ML Peltier
 Angle droit

89
ML Peltier
 Parallèles et perpendiculaires

Mondrian

90
ML Peltier
 Carrés et rectangles

Van der Leck

91
ML Peltier
 Carrés et rectangles

Max Bill

92
ML Peltier
 Le cercle

Kenneth Noland
Mysteries: Excavate the past
2001

93
ML Peltier
 Le carré

F. Morellet
Négatif 11
D’après Steel life n°11
94
ML Peltier
 Les diagonales du carré

Théo Van Doesburg

Composition arithmétique 1930

95
ML Peltier
 Arcs de cercles et rectangles

Max Bill
Chronographie magique

96
ML Peltier
 Conclusion

97
ML Peltier
 Le but premier de l’enseignement de la
géométrie est de permettre aux élèves de
construire des « savoirs » en étant
confrontés à des situations qui leur donnent
du sens.

C’est dans les temps de prévision et

d’anticipation que s’élaborent les concepts
géométriques, essentiellement sous forme
d’images mentales.

98
ML Peltier
 Un travail trop centré sur le maniement des
instruments rend opaque ce qui caractérise les
mathématiques c’est à dire « la pensée ».
Ce travail est nécessaire, et même
indispensable, mais il ne peut se substituer à la
réflexion sur les concepts et les objets de la
géométrie.

99
ML Peltier
 Je souhaite vous avoir donné envie de faire
faire de la géométrie à vos élèves, c’est un
domaine passionnant qui permet de mêler
intuition, imagination, réflexion,
raisonnement, rigueur et précision!

Merci
de votre attention

100
ML Peltier