Corrections de l’examen de traitement du signal (signaux aléatoires)

du mercredi 21 novembre 2012.

Exercice 1 : Zoom spectral pour signaux déterministes

Enoncé
1) On considère un signal déterministe à énergie finie à valeurs réelles noté x(t) de transformée de
Fourier
X(f ) = A [ΛF (f − f0 ) + ΛF (f + f0 )]
avec

1 − |fF | si |f| < F
ΛF (f) =
0 sinon
et f0 > F > 0 (on notera que X(f ) est une fonction paire).
1) On forme le signal
x1 (t) = x(t) exp [−i2πf0 t]
Déterminer la transformée de Fourier de x1 (t) notée X1 (f).
2) On filtre le signal x1 (t) à l’aide d’un filtre passe-bas idéal de façon à ne conserver que la partie
du spectre de x1 (t) associée aux fréquences vérifiant |f | < F . Déterminer le signal résultant noté
x2 (t).
3) Le signal x2 (t) est comprimé de manière à obtenir

x3 (t) = x2 (M t) avec M > 1.

Expliquer pourquoi l’opération qui fait passer de x2 (t) à x3 (t) peut être qualifiée de “compression”.
Déterminer la transformée de Fourier de x3 (t) notée X3 (f).
4) Pour terminer, on module le signal x3 (t) de manière à générer

x4 (t) = x3 (t) exp [i2πf0 t]

Déterminer la transformée de Fourier de x4 (t) notée X4 (f).

5) Représenter graphiquement X1 (f ), X2 (f ), X3 (f) et X4 (f ) (pour toutes ces représentations graphiques,
on prendra f0 = 5kHz et F = 1kHz) et expliquer pourquoi l’opération qui transforme le signal x(t)
en x4 (t) peut être qualifiée de “zoom” spectral.

Réponses
1) La transformée de Fourier de x1 (t) s’écrit

X1 (f ) = X(f ) ∗ δ(f + f0 )
= X(f + f0 )
= A [ΛF (f) + ΛF (f + 2f0 )] .

2) Si on ne conserve que les fréquences appartenant à l’intervalle [−F, +F ], on obtient

X2 (f) = AΛF (f ).

Le signal filtré x2 (t) s’écrit donc

x2 (t) = T F −1 [X2 (f)] = AF sin c2 (πF t)

1
avec
sin x
sin c (x) =
.
x
3) Si le support temporel de x2 (t) est [−A, A], celui de x3 (t) est [−A/M, A/M ]; De plus, l’allure
temporelle des signaux x2 (t) et x3 (t) sont similaires. Le signal x3 (t) est donc bien obtenu par
compression du signal x2 (t) La transformée de Fourier de x3 (t) s’écrit
   
1 f A f
X3 (f) = X2 = ΛF .
M M M M
4) La transformée de Fourier de x4 (t) s’écrit
X4 (f ) = X3 (f ) ∗ δ(f − f0 )
= X3 (f − f0 )
 
A f − f0
= ΛF .
M M
5) En observant le spectre de x4 (t), on s’aperçoit que les opérations successives décrites dans les
questions 1), 2), 3) et 4) ont étalé le spectre situé autour de la fréquence f0 du signal d’origine, ce
qui correspond à un zoom spectral. Les opérations indiquées sont illustrées sur les figures ci-dessous

X(f)

f
- f0 - F -f 0 - f0 + F f0 - F f0 f 0+ F

X1(f)

-2f 0 - F -2f -2f 0 + F F F

0

X2(f)

F F

2
 X3(f)

-MF MF

X4(f)

f0-MF f0+MF

Exercice 2 : Zoom spectral pour signaux aléatoires

Enoncé
On considère un signal aléatoire stationnaire X(t) de moyenne nulle et de densité spectrale de
puissance
sX (f ) = A [ΛF (f − f0 ) + ΛF (f + f0 )]
avec

1 − |fF | si |f| < F
ΛF (f) =
0 sinon
avec f0 > F > 0. Pour toutes les représentations graphiques demandées dans cet exercice, on
prendra f0 = 5kHz et F = 1kHz.
1) Déterminer la fonction d’autocorrélation du signal X(t).
2) On forme le signal
x1 (t) = x(t) exp (−i2πf0 t)
Déterminer la fonction d’autocorrélation (notée R1 (τ )) et la densité spectrale de puissance (notée
s1 (f )) du signal x1 (t). Représenter graphiquement s1 (f ).
3) On filtre le signal x1 (t) à l’aide d’un filtre passe-bas idéal de façon à ne conserver que la partie du
spectre de x1 (t) associée aux fréquences vérifiant |f | < F . Déterminer la fonction d’autocorrélation
(notée R2 (τ )) et la densité spectrale de puissance (notée s2 (f )) du signal résultant noté x2 (t).
Représenter graphiquement s2 (f).
4) Le signal x2 (t) est comprimé de manière à obtenir

x3 (t) = x2 (M t) avec M > 1.

Déterminer la fonction d’autocorrélation (notée R3 (τ )) et la densité spectrale de puissance (notée

s3 (f )) du signal x3 (t). Représenter graphiquement s3 (f ).
5) Pour terminer, on module le signal x3 (t) de manière à générer

x4 (t) = x3 (t) exp [i2πf0 t]

3
Déterminer la fonction d’autocorrélation (notée R4 (τ )) et la densité spectrale de puissance (notée
s4 (f )) du signal x4 (t). Représenter graphiquement s4 (f ).
6) Expliquer pourquoi l’opération qui transforme le signal x(t) en x4 (t) peut être qualifiée de “zoom”
spectral.

Réponses
1) La fonction d’autocorrélation du signal X(t) est la transformée de Fourier inverse de sX (f ), soit
RX (τ ) = AT F −1 [ΛF (f − f0 ) + ΛF (f + f0 )]
= AT F −1 [ΛF (f)] exp (2πf0 τ ) + AT F −1 [ΛF (f )] exp (−2πf0 τ )
= 2AF sin c2 [πF τ ] cos (2πf0 τ ) .

2) La fonction d’autocorrélation du signal x1 (t) s’écrit

R1 (τ ) = E [x1 (t)x∗1 (t − τ )]
= E [x(t) exp (−i2πf0 t) x∗ (t − τ ) exp (i2πf0 (t − τ ))]
= exp (−i2πf0 τ ) E [x(t)x∗ (t − τ )]
= exp (−i2πf0 τ ) RX (τ )
d’où sa densité spectrale de puissance
s1 (f ) = T F [R1 (τ )]
= δ(f + f0 ) ∗ sX (f )
= sX (f + f0 )
= A [ΛF (f ) + ΛF (f + 2f0 )] .

3) Si on filtre le signal x1 (t) on obtient, en appliquant la relation de Wiener-Lee, un signal x2 (t) de

densité spectrale de puissance
s2 (f) = s1 (f ) |H(f )|2 .
Avec le filtre proposé, on obtient
s2 (f) = AΛF (f )
d’où
R2 (τ ) = AF sin c2 (πF τ ) .
4) La fonction d’autocorrélation du signal x3 (t) s’écrit
R3 (τ ) = E [x3 (t)x∗3 (t − τ )]
= E [x2 (Mt)x∗2 (M t − M τ )]
= R2 (Mτ )

d’où sa densité spectrale de puissance

s3 (f ) = T F [R3 (τ )]
 
1 f
= s2
M M
 
A f
= ΛF .
M M

4
5) Si on module le signal x3 (t) comme demandé, on obtient
R4 (τ ) = E [x4 (t)x∗4 (t − τ )]
= E [x3 (t) exp (i2πf0 t) x∗3 (t − τ ) exp [−i2πf0 (t − τ )]]
= exp (i2πf0 τ ) E [x3 (t)x∗3 (t − τ )]
= exp (i2πf0 τ ) R3 (τ )
d’où la densité spectrale de puissance
s4 (f ) = δ(f − f0 ) ∗ s3 (f )
= s3 (f − f0 )
 
A f − f0
= ΛF .
M M
6) On obtient la même expression qu’à la question 5) de l’exercice précédent. On a donc effectué
un zoom autour de la fréquence f0 sur la densité spectrale de puissance du signal d’origine.

Exercice 3 : Shot Noise

Enoncé
On considère un processus de Poisson homogène de paramètre λ noté {ti }i∈Z et le signal aléatoire
X(t) défini par


1 si − T2 ≤ t ≤ T2
X(t) = h(t − ti ) avec h(t) = ΠT (t) =
0 sinon
i

On rappelle que la loi de Poisson de paramètre λ est définie par

λk −λ
P [Y = k] = e , k ∈ N avec E [Y ] = λ.
k!
1) Rappeler le rôle du paramètre λ dans un processus de Poisson.
2) Représenter graphiquement une réalisation du signal aléatoire X(t).
3) On suppose que le signal 
Z(t) = δ(t − ti )
i

(où δ(.) est la distribution de Dirac) est un signal aléatoire stationnaire de moyenne E [Z(t)] = λ
et de fonction d’autocorrélation E [Z(t)Z(t − τ )] = λ2 + λδ(τ ).

• Déterminer la densité spectrale de puissance du signal X(t) puis sa fonction d’autocorrélation.

• Déterminer la moyenne et la variance du signal X(t).

4) Chaque impulsion h(t − ti ) est maintenant affectée par une amplitude ci supposée aléatoire de
moyenne E [c2i ] = µc et de variance var[ci ] = E [c2i ] − E 2 [ci ] = σc2 , ce qui conduit à définir le signal

Xc (t) = ci h(t − ti ).
i

On suppose que les amplitudes ci et cj (avec i = j) sont des variables aléatoires indépendantes.
On suppose également que les amplitudes {ci }i∈Z sont indépendantes des instants de Poisson {ti }i∈Z .

5
 • Déterminer la moyenne du signal Xc (t).

• Montrer que la variance du signal Xc (t) est donnée par l’expression suivante
 
var [Xc (t)] = µ2c + σc2 λT .

Correction
1) Une des propriétés d’un processus de Poisson est le fait que le nombre d’instants ti situés dans
un intervalle de largeur τ , par exemple [t, t + τ [ noté N (t, τ ) suit une loi de Poisson de paramètre
λ |τ |. Donc, pour un intervalle de largeur unité, c’est-à-dire tel que |τ | = 1, on a

E [N (t, τ )] = λ.

Le paramètre λ représente donc le moyen d’instants dans un intervalle de largeur unité.

2) Une réalisation du signal aléatoire X(t) est représentée ci-dessous

X(t)

t
t -2 t -1 t0 t1 t2

3) Le signal X(t) est clairement obtenu par filtrage linéaire de Z(t) par un filtre de réponse impul-
sionnelle h(t). En effet, 
Z(t) ∗ h(t) = δ(t − ti ) ∗ h(t) = X(t)
i

• La densité spectrale de puissance du signal X(t) peut donc s’obtenir à l’aide de la relation de
Wiener-Lee

sX (f) = sZ (f) |H(f )|2

 
= T F λ2 + λδ(τ ) T 2 sin c2 (πT f )
 2 
= λ δ(f ) + λ T 2 sin c2 (πT f )
 2 2
= λ T δ(f ) + λT 2 sin c2 (πT f )

On en déduit la fonction d’autocorrélation du signal X(t)

RX (τ ) = T F −1 [sX (f )]
= λ2 T 2 + λT ΛT (τ )

6
 • La moyenne du signal X(t) se détermine comme suit

E [X(t)] = E [Z(t) ∗ h(t)]


= E h(u)Z(t − u)du

= h(u)E [Z(t − u)] du

= λ h(u)du = λT

La variance de X(t) s’écrit

 
var [X(t)] = E X 2 (t) − E 2 [X(t)]
= RX (0) − λ2 T 2
= λT .

4)

• La moyenne du signal Xc (t) s’écrit


E [Xc (t)] = E [ci h(t − ti )] .
i

En utilisant l’indépendance entre les amplitudes {ci }i∈Z et les instants de Poisson {ti }i∈Z , on
en déduit

E [Xc (t)] = E [ci ] E [h(t − ti )]
i

= µc E [h(t − ti )]
i


= µc E h(t − ti )
i
= µc E [X(t)]
= λT µc .

• Le calcul de la variance du signal Xc (t) est similaire à celui effectué pour la moyenne

 2   
E Xc (t) = E ci h(t − ti ) cj h(t − tj )
i j

= E [ci cj h(t − ti )h(t − tj )]
i,j

7
en utilisant à nouveau l’indépendance entre les amplitudes {ci }i∈Z et les instants de Poisson
{ti }i∈Z , on obtient
  
E Xc2 (t) = E [ci cj ] E [h(t − ti )h(t − tj )]
i,j
    
= µ2c E [h(t − ti )h(t − tj )] + µ2c + σc2 E h2 (t − ti )
i=j i=j

    
= µ2c E h(t − ti ) h(t − tj ) + σc2 E h2 (t − ti )
i j i=j
    
= µ2c E X 2 (t) + σc2 E h2 (t − ti )
i

En utilisant le fait que

h2 (t − ti ) = h(t − ti )
on a
    
E Xc2 (t) = µ2c λT + λ2 T 2 + σc2 E [h(t − ti )]
i
 
= µ2c 2 2 2
λT + λ T + σc E [X(t)]
 
= µ2c λT + λ2 T 2 + λT σc2

d’où
 
var [Xc (t)] = E Xc2 (t) − E 2 [Xc (t)]
 
= λT µ2c + σc2