Solution de TD2 : circuit magnétique

Exercice 1
Une bobine de N spires parcourue par un courant I est enroulée autour d'un
noyau
ferromagnétique en forme d'un tore. Déterminer l'expression du champ
magnétique H au niveau de ce tore de rayon interne Ri et de rayon externe Re.

Exercice 1
Considérons le circuit magnétique de la figure ci-contre.
On suppose que le matériau garde une perméabilité
relative constante r = 2000.
La branche de droite comporte un entrefer d'épaisseur
BC = 0,3 mm et les 1000 spires sont parcourues par une
intensité de 0,8 A. On demande de calculer le champ B
dans l'entrefer.
Solution
Considérons le circuit magnétique de la Erreur ! Source du renvoi introuvable.. On suppose
que le matériau garde une perméabilité relative constante r = 2000.
La branche de droite comporte un entrefer d'épaisseur BC = 0,3 mm et les 1000 spires sont
parcourues par une intensité de 0,8 A. On demande de calculer le champ B dans l'entrefer.

1
circuit magnétique à 2 mailles
L'application de la loi d'Hopkinson montre que ce circuit magnétique se comporte comme le
circuit électrique de la fig.
1 représente la réluctance des branches DFA ou AB + CD (de même longueur 80 cm, et de
même section 10 cm2);
 2 représente la réluctance de la branche centrale AED;

e représente la réluctance de la branche BC (entrefer).

Les équations du circuit électrique, déduites des lois de Kirchhoff sont.

ni = 1 ( 1 +  2 ) + 2 2 (1)

2 2 = ( 1 + e ) 1 (2)

Calculons les réluctances.

0,8
1 = = 3,18 105 At/Wb
4 10  2000  10  10
−7 −4

0,3
2 = = 9,95 104 At/Wb
4 10  2000 12 10−4
−7

0,3 10−3
e = = 2,38 105 At/Wb
4 10 10 10
−7 −4

La relation 2 donne alors  2 = 5, 6  1 , soit, d'après la relation 1 où on connaît ni = 800 .

1 = 0,310 −3 Wb ;  2 = 1, 68  10 −3 Wb

2
B2 = = 1, 4 T
On en déduit le champ S2

1
B1 = = 0,3 T
S1
l'intérieur de la branche centrale AD, et le champ
dans l'entrefer (égale au champ dans la branche de droite AB, BC, BD).

Exercice 2
Soit un circuit magnétique en fonte, comportant un
entrefer et excité par un courant de 1,3 A circulant
dans une bobine de 1000 spires
Calculer le champs B dans l'entrefer, sachant que la
perméabilité relative de la fonte varie, en fonction
de B selon le tableau suivant .

2
Solution

 H  dl =H

f l + He  e = n i

En supposant que le flux  est le même dans le noyau et dans l'entrefer .


Bf = = Be d'où .  0  r H f =  0 H e
S
Les deux relations permettent de calculer les champs

ni
Hf =
l + r e
ni
H e = r
l + r e

On constate que c'est désormais l'excitation magnétique dans l'entrefer, He , qui est r fois plus
grande que l'excitation dans le fer, Hf . tout ce passe comme si on avait concentré dans le petit
espace de l'entrefer l'excitation due au courant i.
L'induction B (qui est la même partout) peut se calculer par la relation .

B l 
 e +  = ni
0   r 

 lf e 
ni =  + 
 0  r S 0 S 

Ou encore, en introduisant le champ B (section S supposée constante) .

 lf e 
ni =  + B
 0  r 0 

Soit, avec les valeurs numériques données.

1,3 1000  200 

= 1, 63 =  + 1 B
800000  0, 001  r 

On voit que B et r, reliés par la relation r(B) du tableau donné, doivent satisfaire
simultanément cette équation; on procède alors en faisant des essais, à priori .

 200 
Pour B = 0,6 T . 0, 6  + 1 = 1, 4
 150 

Cette valeur est trop faible, 1,4 étant inférieur à 1,63.

3
  200 
Pour B = 0,7 T . 0, 7  + 1  = 1,87
 120 

Cette valeur est trop importante.

On obtient donc, en interpolant entre ces deux valeurs . B = 0,65 T.

Exercice 3
Le circuit magnétique suivant. Le
courant I est 1.2A, la perméabilité
relative du matériau est µr = 3000, le
nombre de tours N est 100 et le noyau
a une profondeur de 4cm.
Calculer la densité de flux
magnétique B dans le circuit.

L’inductance est

100*100/92840=0.107 H

Exercice 4

4
Soit le circuit magnétique suivant. Le courant I est 2A, la perméabilité relative du
matériau est µr = 2500, le nombre de tours N est 250 et une profondeur
de 4cm. L’entrefer a une épaisseur de 0.5cm (l’entrefer est la section
ou il manque une petite partie du circuit).
*Calculer la densité de flux magnétique B dans le circuit.
*en réalité, les circuits magnétiques ont une relation B(H) non-linéaire
en sous basant à la courbe Refaire les calculs de la densité de flux B

Solution
Le circuit équivalent est :

5
Donc B = 1.01T (selon le graphe) et H ≈ 180 A/m.
Exercice 5
Soit le circuit suivant, en acier au silicium.
Calculer la
Force magnétomotrice (FMM) nécessaire pour
produire un flux (Φ) de 0.0014Wb dans la
section droite du circuit. Toutes les mesures
sont en mètres; la section du circuit est 0.05m×0.04m, sauf pour la partie
centrale, qui est 0.02m × 0.04m.

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calculer les sections et longueurs correspondantes.

Section b-a-d-e
A1 = 0.05 × 0.04 = 0.002m2
l1 = (2)(0.01) + 2(0.14) + 2(0.025) + 0.15 = 0.50m
Section b-e
A2 = 0.02 × 0.04 = 0.0008m2
l2 = 0.2 - 0.05 = 0.15m
Section b-c-f-e
A3 = 0.05 × 0.04 = 0.002m2
l3 = (2)(0.01) + 2(0.14) + 2(0.025) + 0.15 = 0.50m
Puisqu’on connait le flux dans la section b-c-f-e, on peut calculer la densité de flux .
B3 =Φ3/A3=0.0014/0.002= 0.7 Wb/m2
pour l’acier en silicium, on trouve que H3 ≈ 100 At/m.
La chute de potentiel au point b-e doit être la même que dans la section b-c-f-e .

𝛷2 𝑅2 = 𝛷3 𝑅3
H2l2 = H3l3
On peut donc trouver le champ magnétique dans la section 2 .
H2 = H3 l3 / l2 = 326.67 At/m
ce qui correspond à une densité de flux de B2 ≈ 1.18T. On peut maintenant trouver le flux
dans la section 2,
Φ2 = B2A2 = 0.00094 Wb
Le flux dans la section 1 est la somme des flux des sections 2 et 3,
Φ1 = Φ2 + Φ3 = 0.00234 Wb
La densité de flux dans la section 1 est .
B1 =Φ1/A1= 1.17 T

7
ce qui correspond à un champ magnétique de H ≈ 290 At/m.
La force magnétomotrice est donc.
F.M.M = H1l1 + H2l2 = 191.1 At

Exercice 7
Calculez la réluctance équivalente du
circuit magnétique de la figure ci-dessus
et de la densité de flux établie dans la
barre inférieure (armature mobile) de la
structure.

La force magnétomotrice fmm ou mmf ,turns nombre de spires

La longueur moyenne totale

Ou la longueur moyenne de chaque pièce séparément :

La section en m^2

Reluctance de la pièce en U, de la bar mobile et l’entrefer(gap) :

8
La reluctance totale

Le flux en weber

la densité de flux ou l’excitation magnétique B