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Physique TC
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Terminale C
Table des matières
I. MECANIQUE ........................................................................................................................... 1
Chapitre I: LA CINEMATIQUE ..................................................................................................... 1
1. Notion de référentiel .............................................................................................................. 1
2. Repérage d’un point .............................................................................................................. 1
CHAPITRE 2 LES CHAMPS ET INTERACTIONS UNIVERSELLES .................................. 11
I. Interaction gravitationnelle ................................................................................................ 11
1) Loi de gravitation ........................................................................................................ 11
2) Champ de gravitation.................................................................................................. 11
II. Les forces électriques et le champ électrique ............................................................ 13
III. Le champ magnétique ................................................................................................. 17
Chapitre 3 : LA RELATION FONDAMENTALE DE LA DYNAMIQUE .............................. 21
1. Notions sur la dynamique des points matériels................................................................. 21
2. Enoncé des lois de Newton sur le mouvement.................................................................. 21
3. Le théorème de l’énergie cinétique .................................................................................... 23
4. Les différentes applications ................................................................................................ 23
Chapitre 4 : APPLICATION DES LOIS DE NEWTON ............................................................ 34
I. Mouvement dans le champ de gravitation ........................................................................ 34
II. Mouvement dans un champ uniforme indépendant du temps ................................ 35
III. Mouvement d’une particule chargée ......................................................................... 40
Chapitre 5: AUTO-INDUCTION .................................................................................................. 47
1. Mise en induction expérimentale de l’auto-induction ...................................................... 47
2. Un courant induit ................................................................................................................ 47
3. Le flux magnétique .............................................................................................................. 47
4. La loi de Lenz....................................................................................................................... 48
5. Force électromagnétique auto-induite ............................................................................... 49
6. Auto-inductance d’une bobine ........................................................................................... 49
7. Loi de Faraday-Lenz ........................................................................................................... 50
8. Tension aux bornes de la bobine ........................................................................................ 50
II. ELECTRICITE ...................................................................................................................... 54
Chapitre VI : LES OSCILLATIONS ELECTRIQUE ................................................................ 54
1. Les condensations ................................................................................................................ 54
2. Oscillations électriques : circuit LC ................................................................................... 57
3. Oscillations électriques en régime forcé ............................................................................ 58
Chapitre 8 : EFFET PHOTO ELECTRIQUES ........................................................................... 68
1. Spectres atomiques .............................................................................................................. 68
2. Interprétation des Spectres ................................................................................................. 68
3. Spectre de l’hydrogène ........................................................................................................ 70
Chapitre 9 : DECROISSANCE RADIOACTIVE ........................................................................ 72
1. Le noyau de l’atome ............................................................................................................ 72
2. La Radioactivité ................................................................................................................... 73
3. Lois de conservation et équation d’une désintégration nucléaire ................................... 73
4. Décroissance radioactive ..................................................................................................... 74
5. Réaction nucléaire provoquée ............................................................................................ 77
6. Noyaux, masse et énergie .................................................................................................... 79
Bibliographie .............................................................................................................................. 1
I. MECANIQUE
Chapitre I: LA CINEMATIQUE
Définition : la Cinématique étudie les mouvements indépendamment des causes qui les
engendrent ou les modifient.
1. Notion de référentiel
La description d’un mouvement d’un point est relative au référentiel d’espace choisi. Dans
l’étude d’un mouvement, il importe de toujours préciser le référentiel choisi.
La trajectoire d’un point est l’ensemble des positions successives qu’il occupe au cours de son
déplacement par rapport à un repère d’espace donné.
Plus généralement, si un point décrit est une droite, sa trajectoire est dite rectiligne.
Plus généralement, quand la trajectoire d’un point n’est pas rectiligne, elle est dite curviligne.
2.2.Vecteur-Position
La position d’un point 𝑀 au cours de son mouvement peut être définie soit par :
Pour décrire les caractéristiques d’un mouvement, il faut utiliser un repère d’espace et un
repère temps :
un repère d’espace est déterminé par un point 𝑂 lié au référentiel d’observation et une
base.
un repère temps permet de mesurer.
2.3.1. Repérage sur une droite
𝑥
𝑀(𝑥)
𝑂
𝑖⃗
𝑥′
Le vecteur-position ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 𝑥𝑖⃗
𝑥
𝑀( )
𝑦
𝑦
𝑗⃗
𝑥′ 𝑂 𝑥 𝑥
𝑖⃗
𝑦′
𝑧
𝑥
𝑀 (𝑦)
𝑧
𝑘⃗⃗
𝑗⃗ 𝑦
𝑖⃗
𝑥 𝑦
Le vecteur –position est repérée par ses coordonnées 𝑥, 𝑦, 𝑧 telles que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ .
𝑂𝑀 = 𝑥𝑖⃗ + 𝑦𝑗⃗ + 𝑧𝑘
Les coordonnées cartésiennes 𝑥 = 𝑓(𝑡), 𝑦 = 𝑔(𝑡) 𝑒𝑡 𝑧 = ℎ(𝑡) sont les équations horaires ou
paramétriques de la trajectoire.
2
Dans le plan, l’équation cartésienne 𝑦 = 𝑓(𝑥) s’obtient en éliminant la variable 𝑡 dans les
expressions algébriques des deux lois horaires 𝑥(𝑡) 𝑒𝑡 𝑦(𝑡) .
𝑥2
𝑦= +𝑥
8
3. Vecteur-vitesse
𝑀1 (𝑡1 )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀1 𝑀2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 𝑢
⃗⃗ 𝑀2 (𝑡2 )
𝑘⃗⃗ 𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2
𝑂𝑀
𝑖⃗ 𝑦
𝑂 𝑗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀 𝑀
Le quotient 𝑡 1−𝑡2 est le vecteur-vitesse moyen du point mobile pendant la durée 𝑡2 − 𝑡1 .
2 1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀 𝑀 𝑂𝑀 −𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉𝑚 = 𝑡 1−𝑡2 = 𝑡2 −𝑡 1 . C’est une grandeur vectorielle.
2 1 2 1
3
⃗⃗ du point en 𝑀 à la date 𝑡 (dit vecteur-vitesse instantanée)
Par définition, le vecteur-vitesse 𝑉
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀1 𝑀2
⃗⃗ = 𝑙𝑖𝑚
est la limite de ce quotient lorsque 𝑡2 𝑡𝑒𝑛𝑑 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑡1 :𝑉 𝑡 →𝑡 2 1 𝑡2 −𝑡1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ est la dérivée par rapport au temps du vecteur-position ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Le vecteur –vitesse 𝑉 𝑂𝑀 ; 𝑉 ⃗⃗ = 𝑑𝑂𝑀
𝑑𝑡
⃗⃗
𝑉
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ = 𝑑𝑂𝑀 = 𝑑 (𝑥𝑖⃗ + 𝑦𝑗⃗ + 𝑧𝑘
𝑉 ⃗⃗ ) = 𝑑𝑥 𝑖⃗ + 𝑑𝑦 𝑗⃗ + 𝑑𝑧 𝑘
⃗⃗
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
En notant 𝑉𝑥 = = 𝑥̇ , 𝑉𝑦 = = 𝑦̇ 𝑒𝑡 𝑉𝑧 = 𝑧̇ ,
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡
⃗⃗
𝑇 𝑣⃗
𝑀
(+)
⃗⃗
𝑁
4
⃗⃗, 𝑁
Le vecteur -vitesse du point 𝑀 dans la base (𝑇 ⃗⃗ ) est donnée par l’expression
⃗⃗ = 𝑑𝑆 𝑇
𝑉 ⃗⃗
𝑑𝑡
⃗⃗, 𝑁
Dans la base (𝑇 ⃗⃗), le vecteur vitesse 𝑉
⃗⃗ est déterminé par les composantes :
𝑑𝑆
𝑉𝑇 = 𝑉𝑆 = = 𝑆 𝑒𝑡 𝑉𝑁 = 0
𝑑𝑡
𝑉 = 𝑅𝑊
4. Le vecteur –accélération 𝒂
⃗⃗
Le vecteur-accélération d’un point mobile 𝑀 est égal à la dérivée par rapport au temps de son
vecteur vitesse en 𝑀.
⃗⃗
𝑑𝑽 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝑀 𝑑2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀
𝑎⃗ = ⃗⃗ =
. 𝑑𝑒 𝑝𝑙𝑢𝑠 𝑉 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑎⃗ =
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2
𝑑2 𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎⃗ = 𝑑𝑡 2
Le vecteur-accélération d’un point mobile 𝑀 est égal à la dérivée seconde par rapport au
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
temps de son vecteur position 𝑂𝑀
⃗⃗
𝑑𝑽 𝑑
𝑎⃗ = = 𝑑𝑡 (𝑉𝑥 𝑖⃗ + 𝑉𝑦 𝑗⃗). 𝑖⃗ 𝑒𝑡 𝑗⃗ sont des vecteurs constants.
𝑑𝑡
𝑑𝑉𝑥 𝑑𝑉𝑦 𝑑2 𝑥 𝑑2 𝑦
𝑎⃗ = 𝑖⃗ + 𝑗⃗ = 𝑖⃗ + 𝑗⃗ = 𝑥̈ 𝑖⃗ + 𝑦̈𝑗⃗
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2
𝑎𝑦 𝑗⃗
𝑗⃗
𝑎
𝑖⃗ 𝑎𝑥 𝑖⃗ 5
En coordonnées cartésiennes,
𝑜 les coordonnées du vecteur-accélération, sont égales :
𝑑2 𝑥 2 𝑑2 𝑦 2
‖𝑎⃗‖ = √𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦2 = √( 2 ) + ( 2 )
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑎⃗𝑇
⃗⃗
𝑁
𝑎⃗
𝑗⃗
𝑜 𝑖⃗
𝑎⃗𝑁
⃗⃗, 𝑁
Dans la base de Frenet (𝑇 ⃗⃗) et par rapport au repère d’espace (𝑜, 𝑖⃗ , 𝑗⃗⃗),on a :
⃗⃗ + 𝑎𝑁 𝑁
𝑎⃗ = 𝑎 𝑇 𝑇 ⃗⃗
𝑑𝑉
𝑎𝑇 =
𝑑𝑡
𝑎⃗ | 𝑉2
𝑎𝑁 =
𝑅
𝑑𝑉 𝑉2
On admet que 𝑎 𝑇 = (accélération tangentielle) et 𝑎𝑁 = (accélération normale) où 𝑅 est
𝑑𝑡 𝑅
𝑉2
le rayon de courbure de la trajectoire > 0, l’accélération normale est toujours positive donc
𝑅
le vecteur-accélération est toujours dirigé vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire.
(𝐷) 𝑖⃗ 𝑀 ⃗⃗
𝑉
6
La position du mobile 𝑀 est définie par son abscisse 𝑥. Le vecteur-position ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀, le vecteur-
⃗⃗ et le vecteur-accélération s’écrivent : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
vitesse 𝑉 ⃗⃗ = 𝑉𝑥 𝑖⃗ 𝑒𝑡 𝑎⃗ = 𝑎𝑥 𝑖⃗
𝑂𝑀 = 𝑥𝑖⃗ , 𝑉
⃗⃗ = 𝑉𝑥 𝑖⃗
𝑉 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑜𝑢 𝑉
𝑑𝑉
𝑎= = 0 𝑑′ 𝑜𝑢 𝑎𝑥 = 0
𝑑𝑡
Dans un mouvement rectiligne uniforme, l’abscisse est une fonction affine du temps.
𝑉 2 − 𝑉02 = 2𝑎(𝑥 − 𝑥0 )
Un mouvement est retardé si le produit 𝑎⃗. 𝑣⃗ est négatif, soit 𝑎𝑥 . 𝑣𝑥 < 0 selon (𝑜, 𝑖⃗).
𝑎𝑥 𝑒𝑡 𝑣𝑥 ont donc de signes contraires.
7
5.3.Mouvement circulaire uniforme
𝑥
𝑀( )
𝑔
𝑦
𝑎⃗
𝑅 𝜃
𝑥
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ {𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑂𝑀
𝑦 = 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃
Vitesse angulaire
La vitesse angulaire en 𝑟𝑎𝑑/𝑠 est la dérivée par rapport au temps, de l’abscisse angulaire
𝑑𝑦
𝑥 = 𝑅𝑆𝑖𝑛𝑤𝑡 ⇒ 𝑉𝑦 = = 𝑅𝑊𝐶𝑜𝑠𝑤𝑡
𝑑𝑡
⃗⃗ = 𝑉𝑥 𝑖⃗ + 𝑉𝑦 𝑗⃗ = 𝑅𝑊𝑠𝑖𝑛𝑤𝑡𝑖⃗ + 𝑅𝑊𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡𝑗⃗
𝑉
𝑉 = 𝑅𝑊
Accélération du mobile
8
𝑑𝑉𝑥 𝑑𝑉𝑦
𝑎𝑥 = = −𝑅𝑊 2 𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 𝑒𝑡 𝑎𝑦 = − 𝑅𝑊 2 𝑠𝑖𝑛𝑤𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑎⃗ = −𝑊 2 (𝑅𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡𝑖⃗ + 𝑅𝑠𝑖𝑛𝑤𝑡𝑗⃗)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎⃗ = −𝑊 2 𝑂𝑀
La période 𝑇 d’un mouvement circulaire uniforme est la durée pendant laquelle le mobile
effectue un tour.
2𝜋
Pour un tour, 𝜃 = 2𝜋 𝑒𝑡 𝑡 = 𝑇 𝜃 = 𝑤𝑡 ⇒ 2𝜋 = 𝑤𝑇 ⇒ 𝑇 = 𝑤
2𝜋
𝑇= 𝑤
𝑁 est en 𝐻𝑧 𝑒𝑡 𝑇 𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒𝑠
Définition : un point est animé d’un mouvement rectiligne sinusoïdal si sa trajectoire est
rectiligne et si la loi horaire est une fonction sinusoïdale du temps.
𝑥 = 𝑥𝑚 cos(𝑤𝑡 + 𝜑)
𝑣⃗ 𝑜 𝑎⃗
𝑖⃗ 𝑀1 (𝑥𝑚 )
𝑀2 (−𝑥𝑚 )
9
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 𝑥𝑖⃗ 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑥 = 𝑥𝑚 cos(𝑤𝑡 + 𝜑)
⃗⃗ = 𝑑𝑥 𝑖⃗ 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑉𝑥 = 𝑥̇ − 𝑥𝑚 𝑤𝑠𝑖𝑛(𝑤𝑡 + 𝜑)
𝑉 𝑑𝑡
𝑑𝑉𝑥
𝑎⃗ = 𝑎𝑥 𝑖⃗ = 𝑖⃗ 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎𝑥 = 𝑥̈ = −𝑥𝑚 𝑤 2 cos(𝑤𝑡 + 𝜑)
𝑑𝑡
𝑎𝑥 = 𝑥̈ − 𝑤 2 𝑥𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡 + 𝜑) = −𝑤 2 𝑥
𝑥̈ = 𝑤 2 𝑥 𝑜𝑢 𝑥̈ + 𝑤 2 𝑥 = 0
2𝜋𝑡 𝜋
Exemple : 𝑥 = 3 cos ( ) ; 𝑥𝑚 = 3 ; 𝜑 = 0 𝑒𝑡 𝑤 =
6 3
2𝜋
𝑥(𝑡) = 3 cos ( 6 ) 𝑡
̇ 2𝜋
𝑥(𝑡) = −𝜋 sin ( 6 𝑡)
−𝜋 2 2𝜋
{𝑥̈ (𝑡) = 3
cos ( 6 𝑡)
10
CHAPITRE 2 LES CHAMPS ET INTERACTIONS UNIVERSELLES
I. Interaction gravitationnelle
1) Loi de gravitation
𝑚𝐵
𝑚𝐴 𝐵
𝑢
⃗⃗𝐴𝐵 𝐹⃗𝐴/𝐵
𝐴 𝐹⃗𝐵/𝐴
Deux corps ponctuels A et B de masses 𝑚𝐴 et 𝑚𝐵 exercent l’un sur l’autre des forces
d’attraction directement opposées, dirigées suivant la droite (𝐴𝐵), de valeurs proportionnelles
aux masses et inversement proportionnelles au carrée de leur distance :
𝑚 𝑚 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹⃗𝐴/𝐵 = −𝐹⃗𝐵/𝐴 = −𝐺 𝐴𝑟 2 𝐵 𝑢
⃗⃗𝐴𝐵 avec 𝑟 = 𝐴𝐵 𝑒𝑡 𝑢
⃗⃗𝐴𝐵 = 𝑟 vecteur unitaire
𝑃
𝑔⃗(𝑃)
𝑚
𝐹⃗
𝑢
⃗⃗𝑜𝑝
𝑂
𝑀
Le vecteur 𝑔⃗(𝑃) est appelé vecteur champ de gravitation créé par la masse M en tout point P
de l’espace. Il caractérise la propriété de l’espace due à la présence de l’objet ponctuel de
masse M situé en O ; il ne dépend pas de la masse placée en P. La valeur du champ de
gravitation s’exprime en 𝑁. 𝑘𝑔−1 𝑜𝑢 𝑒𝑛 𝑚/𝑠 2
11
2.2 Force exercée sur un objet placé dans un champ de gravitation
Un objet ponctuel de masse m, placée en P dans le champ de gravitation 𝑔⃗(𝑃), est soumis à
une force : 𝐹⃗ = 𝑚𝑔⃗(𝑃)
Exemple : Pour évaluer la constante de gravitation G, Cavendish, en 1798, mesure la force qui
s’exerce entre deux sphères : l’une de platine, de masse 50g, l’autre de plomb, de masse 30kg.
𝐹 = 4,45. 10−9 𝑁
Elle est donc en tout point P, située à une distance 𝑂𝑝 = 𝑟 ≥ 𝑅𝑇 , un champ de gravitation :
𝑀
𝑔⃗(𝑃) = −𝐺 𝑟 2 𝑢
⃗⃗𝑜𝑝
Champ de Pesanteur
12
La relation entre 𝑔ℎ et 𝑔0
𝑀𝑇 𝐺𝑀𝑇
Nous pouvons établir 𝑔ℎ = 𝐺 (𝑅 2 et 𝑔0 = 2
𝑇 +ℎ) 𝑅𝑇
𝐺𝑀𝑇
𝑔ℎ (𝑅𝑇 +ℎ)2 𝐺𝑀𝑇 𝑅2 2
𝑅𝑇
= 𝐺𝑀𝑇 = (𝑅 × 𝐺𝑀𝑇 = (𝑅
𝑔0 𝑇 +ℎ)2 𝑇 𝑇 +ℎ)
2
𝑅2
𝑇
2
𝑔 𝑅𝑇
⇒ 𝑔ℎ = (𝑅 2
0 𝑇 +ℎ)
2
𝑅𝑇
Nous en déduisons que 𝑔ℎ = 𝑔0 × (𝑅 2
est l’intensité du champ de pesanteur terrestre à
𝑇 +ℎ)
l’altitude ℎ = 0 (au niveau de la mer).
𝑞𝐵 > 0
𝑢
⃗⃗𝐴𝐵
𝐹⃗𝐴→𝐵
𝑞𝐴 > 0 𝐵
𝑂
𝐴
𝐹⃗𝐴→𝐵
𝑞 𝑞 1 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹⃗𝐴→𝐵 = 𝑘 𝐴𝑟 2 𝐵 𝑢
⃗⃗𝐴𝐵 𝑜ù 𝑘 = 4𝜋𝜀 = 9. 109 𝑚/𝐹 ; 𝑢
⃗⃗𝐴𝐵 = 𝑟
0
Exemple : Dans une molécule d’hydrogène, les protons constituant les noyaux de deux
atomes sont distancés de 74,1𝑝𝑚.
a) Calculer la valeur de la force d’interaction électrique entre les deux protons sachant
que 𝑞 = 𝑒 = 1,6. 10−19 𝑐.
b) La comparer à la force de gravitation s’exerçant entre les deux protons.
𝑚𝑝 = 1,67. 10−27 𝑘𝑔 et 𝐺 = 6,67. 10−11 𝑆. 𝐼
Solution
13
a) Calculons la valeur de la force d’interaction électrique en appliquant la loi de
Coulomb.
1 𝑞𝐴 𝑞𝐵 𝑒2
𝐹𝑒 = 4𝜋𝜀 ⇒𝐹𝑒 = 9. 109 (𝑑2 )
0 𝑟2
(1,6.10−19 )2
AN : 𝐹𝑒 = 9. 109 ((74,1.10−12 )2 )
𝐹𝑒 = 4,2. 10−8 𝑁
b) La force de gravitation
𝑚𝑝2 (1,6.10−19 )2
𝐹𝑔 = 𝐺 AN : 𝐹𝑔 = 9. 109 (74,1.10−12 )2
𝑑2
𝐹𝑔 = 3,39. 10−44 𝑁
𝐹𝑒
= 1,24. 1036 ⇒ 𝐹𝑒 = 1,24. 1036 𝐹𝑔
𝐹𝑔
2) Champ électrique
𝑞′ > 0 𝐸⃗⃗ 𝐹⃗
𝑢
⃗⃗𝑜𝑝
𝑃
𝑞>0 𝐸⃗⃗ 𝑃
𝑢
⃗⃗𝑜𝑝 𝑞′ > 0
𝐹⃗
𝑞<0
La force électrique exercée par la charge q sur la charge q’ est donnée par la relation
𝑞𝑞′
𝐹⃗ (𝑃) = 𝑘 𝑟 2 𝑢
⃗⃗𝑜𝑝
Où 𝐸⃗⃗ (𝑃) est un vecteur champ électrique créé par la charge q au point P de l’espace.
La valeur du champ électrique E s’exprime en volt par mètre de symbole 𝑉/𝑚 ou 𝑉. 𝑚−1
* Champ uniforme
14
Si le champ est uniforme, les lignes du champ sont des droites parallèles.
* Dans le cas d’un condensateur plan à air, le champ électrique a pour valeur :
𝑈 𝑞
𝐸= =𝜀 avec d, la distance entre les armatures en m et S la surface d’une armature en m2.
𝑑 0𝑆
+ + + +
Les lignes du champ 𝐸⃗⃗ sont parallèles entre elles, perpendiculaires aux armatures et orientées
de la plaque positive vers la plaque négative ou du potentiel le plus élevé vers le potentiel le
moins élevé.
Exemple 1 : Les armatures d’un condensateur plan ont une surface S=1dm2 et sont séparées
par une couche d’air d’épaisseur d=5mm. Une tension U=4kv est appliquée entre les
armatures.
𝐸 = 8. 105 𝑉/𝑚
𝑞
b) 𝐸 = 𝜀 ⇒𝑞 = 𝐸 × 𝜀0 × 𝑆
0𝑆
1
Sachant que 𝑘 = 4𝜋𝜀 = 9. 109 𝑆. 𝐼 ⇒ 𝜀0 = 8,84. 10−2 𝑆. 𝐼
0
𝑞 = 71𝑛𝑐
Exemple 2 : La boule d’un pendule électrique, de masse m=2,5g porte une charge 𝑞 = 0,5𝜇𝑐
1) Quel doit être la valeur du champ électrique E horizontal pour que le fil s’incline d’un
angle de 30° par rapport à la verticale ?
2) De quel angle le fil s’inclinera-t-il par rapport à la verticale, si le champ a pour valeur
10v/m ? Prendre g=10ms2
15
Solution :
⃗⃗
𝑇
𝛼
⃗⃗⃗⃗
𝐹𝑒 𝑥
𝑃⃗⃗
1) La valeur de E
- Système : la boule de masse m
- Référentiel
- Bilan des forces : 𝑃⃗⃗ , 𝑇
⃗⃗, 𝐹⃗𝑒
⃗⃗ + 𝐹⃗𝑒 = ⃗0⃗
Condition d’équilibre : 𝑃⃗⃗ + 𝑇
Sur 𝑥′𝑥, on a : 𝑃𝑥 + 𝑇𝑥 + 𝐹𝑒 𝑥 = 0
⇒ 𝑞𝐸 − 𝑇𝑠𝑖𝑛𝛼 = 0
⇒ 𝑇𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑞𝐸
Sur 𝑦′𝑦, on a : 𝑃𝑦 + 𝑇𝑦 + 𝐹𝑒 𝑦 = 0
⇒ −𝑃 + 𝑇𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0
⇒ 𝑇𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑃
𝑞𝐸 𝑞𝐸
𝑡𝑎𝑛𝛼 = ⇒ 𝑡𝑎𝑛𝛼 = 𝑚𝑔
𝑃
𝑚𝑔𝑡𝑎𝑛𝛼
⇒𝐸= 𝑞
2,5.10−3 ×10×𝑡𝑎𝑛30°
AN : 𝐸 = 0,5.10−6
0,5.10−6 ×104
AN : 𝛼 ′ = 𝑡𝑎𝑛−1 ( 2,5.10−3 ×10 )
16
𝛼 ′ = 11,3°
𝑁 𝑆 𝑆 𝑁 𝑆 𝑁 𝑆 𝑁
𝑅𝑒𝑝𝑢𝑙𝑠𝑖𝑜𝑛 𝐴𝑡𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛
𝑆 𝑁 𝑁 𝑆
𝑅𝑒𝑝𝑢𝑙𝑠𝑖𝑜𝑛
Plus généralement, les interactions électromagnétiques se manifestent entre les fils ou des
bobines parcourues par des courants et entre les diamants.
Des pôles des aimants de même nom se repoussent et des pôles de noms différents s’attirent.
Des bobines ou des fils parcourus par un courant de sens contraire se repoussent et ils
s’attirent s’ils sont de même sens.
On appelle champ magnétique, une région de l’espace dans laquelle une aiguille aimantée ou
un objet ferromagnétique est soumis à des forces magnétiques.
Le vecteur champ magnétique 𝐵 ⃗⃗ est une grandeur associée à une région de l’espace. Les
caractéristiques du vecteur champ magnétique sont les suivantes :
- Direction et sens : on utilise une aiguille aimantée pour les déterminer. Ainsi, la
direction du champ magnétique 𝐵 ⃗⃗ est celle de l’axe Sud-Nord de l’aiguille aimantée.
Le sens est du Sud vers le Nord.
- L’intensité du vecteur champ magnétique 𝐵 ⃗⃗ est mesurable avec un tesla mètre et
s’exprime en tesla de symbole T.
17
𝑆𝑒𝑛𝑠
𝑆𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛
𝑆 𝑁
𝑆
𝑆 𝑆
𝑀 𝑁
𝑆𝑆𝑎𝑖𝑔𝑢𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑎𝑖𝑚𝑎𝑛𝑡é𝑒
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑆 𝑆
On appelle ligne de champ une courbe qui en chacun des points est tangente au vecteur champ
magnétique.
Lorsque les lignes de champ sont des droites parallèles comme celles du champ magnétique
entre les branches d’un aimant en U, ce champ magnétique est dit uniforme.
⃗⃗⃗
3.2.3) Orientation du champ 𝑩
𝐼
⃗⃗
𝐵
18
⃗⃗
𝐵
𝑑
𝑀
𝐼
* Champ créé par une bobine plate ou conducteur circulaire de N spires et de rayon
𝑁
R 𝐵 = 2𝜋. 10−7 𝑅 𝐼
𝐵 = 6,28. 10−3 𝑇
2.10−2 ×0,6
AN : 𝑁 = 4×3,14.10−7 ×8
𝑁 = 1200 𝑠𝑝𝑖𝑟𝑒𝑠
19
- Module 𝐹 = 𝐼𝑙𝐵𝑠𝑖𝑛(𝑙⃗, 𝐵 ⃗⃗ )
- Point d’application : le milieu de la portion rectiligne du conducteur plongé dans le
champ 𝐵⃗⃗
Remarque : on peut aussi trouver le sens de la force de Laplace en utilisant entre autres la
règle des trois doigts de la main droite.
𝐹⃗ = 𝑞𝑉
⃗⃗ ˄𝐵
⃗⃗
⃗⃗ 𝑡 et 𝐼 = 𝑞
𝑙⃗ = 𝑉 𝑡
⃗⃗ devient 𝐹⃗ = 𝑞 𝑉
𝐹⃗ = 𝐼𝑙⃗˄𝐵 ⃗⃗ 𝑡˄𝐵
⃗⃗
𝑡
𝐹⃗ = 𝑞𝑉
⃗⃗ ˄𝐵
⃗⃗
20
Chapitre 3 : LA RELATION FONDAMENTALE DE LA DYNAMIQUE
1. Notions sur la dynamique des points matériels
1.1.Le point matériel
Un point matériel est un point de l’espace auquel on lui affecte une masse 𝑚. Les dimensions
d’un point matériel sont négligeables par rapport aux autres dimensions dans le référentiel.
1.2.Système matériel :
La distinction entre ces deux types de forces dépend des limites arbitrairement choisi pour
définir le système.
Lorsque la somme vectorielle des forces appliquées au système est nulle, son centre d’inertie
est :
21
2.3.La Quantité de mouvement
a) Définition : Pour le point matériel, de masse 𝑚 et dont la vectrice vitesse est 𝑣⃗, le
vecteur quantité de mouvement 𝑝⃗ obtient par la relation vectorielle : 𝑃⃗⃗ = 𝑚. 𝑣⃗
𝑃⃗⃗ a une même direction et même sens que 𝑣⃗ ( car 𝑚 > 0) , sa norme 𝑃 porte le nom de
𝑚 ∶ 𝑒𝑛 𝑘𝑔
quantité de mouvement du point matériel 𝑃 = 𝑚𝑣 { 𝑣 ∶ 𝑒𝑛 𝑚/𝑠
𝑝: 𝑒𝑛 𝑘𝑔𝑚/𝑠 −1
Le vecteur quantité de mouvement d’un solide est celui de son centre d’inertie
𝐺(vecteur vitesse 𝑉⃗⃗𝐺 ) ou serait concentrée la masse totale 𝑀 su solide.
𝑃⃗⃗ = 𝑀𝑉
⃗⃗𝐺
Dans un repère galiléen, le vecteur quantité de mouvement d’un solide isolé ou pseudo-isolé
est constant.
⃗⃗𝐺 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃⃗⃗ = 𝑀𝑉 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
La loi de conservation
Lors d’un choc, le vecteur-quantité de mouvement d’un système de deux solides isolés ou
pseudo-isolés demeure constant.
Sous cette forme, la deuxième loi de Newton est appelée relation fondamentale de la
𝑑𝑃⃗⃗
dynamique : ∑ 𝑓⃗ 𝑒𝑥𝑡 = 𝑑𝑡
22
⃗⃗
𝑃⃗⃗ = ∑𝑛𝑖=1 𝑃⃗⃗𝑖 = ∑𝑛𝑖=1 𝑚𝑖 𝑉 ⃗⃗𝑐𝑡 ∑𝑛𝑖=1 𝑚𝑖 avec 𝑀 = ∑𝑛𝑖=1 𝑚𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑡 𝑑𝑉𝐺 = 𝑎⃗𝐺
⃗⃗𝑖 = 𝑉
𝑑𝑡
Si un corps 𝐴 exerce sur un corps 𝐵 une force 𝐹⃗𝐴/𝐵 (appelle action), simultanément le corps,
𝐵 exerce sur le corps 𝐴 une force 𝐹⃗𝐵/𝐴 (dénommée réaction) et ces deux forces ont la même
ligne d’action, des sens inverses et de même intensité.
𝐹⃗𝐵⁄𝐴 𝐹⃗𝐴⁄𝐵
𝐵 𝐴
𝐹⃗𝐵/𝐴 = −𝐹⃗𝐴/𝐵
23
Bac 2013 et 2019
Exemple1 : un Skieur de masse 𝑚 = 80𝑘𝑔 , équipement compris, prend le départ sur une
piste de descente rectiligne incliné d’un angle 𝛼 = 300
1) La piste étant verglacée, on néglige tout frottement sur la piste et dans l’air
a) Calculer l’accélération 𝑎1 du skieur dans la descente. On prendra 𝑔 = 9,8𝑚/𝑠 2
b) On suppose que le skieur part avec une vitesse initiale 𝑉0 = 𝑚/𝑠 . Calculer sa vitesse
𝑉1 lorsqu’il a parcouru la distance 𝑑 = 25𝑚
2) La piste est maintenant recouverte de neige fraiche créant une force de frottement.
L’ensemble des forces de frottement agissant sur le skieur est équivalent à une force
unique et constante 𝑓 = 90𝑁 de même direction que sa vitesse et de sens opposé.
a) Calculer la nouvelle accélération 𝑎2 du skieur dans la descente.
b) On suppose que ce dernier part toujours avec la même vitesse initiale 𝑉0 . calculer la
nouvelle vitesse 𝑉2 lorsqu’il a parcouru la distance 𝑑 = 25𝑚.
Solution :
𝑥′
𝑅⃗⃗
𝑃⃗⃗ 𝛼 𝑥
𝑦′
24
𝑠𝑖𝑛𝑥 ′ 𝑥 𝑜𝑛 𝑎: 𝑃𝑥 + 𝑅𝑥 = 𝑚𝑎1
𝑃𝑠𝑖𝑛𝛼 + 0 = 𝑚𝑎1
𝑎1 = 4,9𝑚/𝑠 2
𝑉1 = √𝑉02 + 2𝑔𝑑𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑉1 = 15,8𝑚/𝑠
𝑥′ 𝑅⃗⃗𝑁
𝑓⃗
𝑃⃗⃗ 𝛼 𝑥
𝑦′
25
Appliquons le théorème du centre d’inertie : ∑ 𝑓⃗ 𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝑎⃗𝐺 ⇒ 𝑃⃗⃗ + 𝑅⃗⃗𝑁 + 𝑓⃗ = 𝑚𝑎⃗𝐺
𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 + 0 − 𝑓 = 𝑚𝑎2
𝑓
𝑎2 = 𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝑚
1 90
AN : 𝑎2 = 9,8 𝘹 2 − 80 = 3,8𝑚/𝑠 2
𝑎2 = 3,8𝑚/𝑠 2
𝑉2 = 14,1𝑚/𝑠
Exemple 2 :
a) On suppose qu’un skieur glisse sans frottement le long d’une piste 𝐴𝐵. On donne les
altitudes des points 𝐴 𝑒𝑡 𝐵 : ℎ𝐴 = 1850𝑚 𝑒𝑡 ℎ𝐵 = 1780𝑚 . Le skieur part de 𝐴 avec
une vitesse 𝑉𝐴 = 1,5𝑚/𝑠
Calculons la valeur de la force de frottement qui s’exerce sur le skieur si l’on suppose qu’elle
reste constante.
ℎ𝐴
𝐵
ℎ𝐵
26
Solution
𝑃⃗⃗ ⃗⃗
𝐷𝐸𝐶 = ∑ 𝑓⃗ 𝑒𝑥𝑡. 𝐸𝐶𝐵 − 𝐸𝐶𝐴 = 𝑊𝐴→𝐵 𝑅
+ 𝑊𝐴→𝐵
𝑉𝐵 = √𝑉𝐴2 + 2𝑔(ℎ𝐴 − ℎ𝐵 )
𝑉𝐵 = 37,1𝑚/𝑠
⃗⃗⃗⃗𝐴→𝐵
𝐷𝐸𝐶 = ∑ 𝑊 𝑒𝑥𝑡
1 1
𝑚𝑉′2𝐵 − 2 𝑚𝑉𝐴2 = 𝑊 𝑃⃗⃗ + 𝑊 𝑓⃗ + 𝑊𝑅⃗⃗𝑁 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠𝑞𝑢𝑒 𝑊𝑅⃗⃗𝑁 = 0
2
1 1
𝑚𝑉′2𝐵 − 2 𝑚𝑉𝐴2 = 𝑚𝑔(ℎ𝐴 − ℎ𝐵 ) − 𝑓𝑙
2
2𝑓𝑙
𝑉′2𝐵 − 𝑉𝐴2 = 2𝑔(ℎ𝐴 − ℎ𝐵 ) − 𝑚
2𝑓𝑙
= 𝑉𝐴2 − 𝑉𝐵′2 + 2𝑔(ℎ𝐴 − ℎ𝐵 )
𝑚
𝑚
𝑓 = 2𝑙 (𝑉𝐴2 − 𝑉𝐵′2 + 2𝑔(ℎ𝐴 − ℎ𝐵 ))
𝑓 = 56,5𝑁
27
Exemple3
Un skieur assimilé à un point 𝐺, de masse 𝑚 = 80𝑘𝑔, glisse sur une piste formée de deux
parties 𝐴𝐵 𝑒𝑡 𝐵𝐶 situées dans un même plan vertical. L’arc 𝐴𝐵̂ de rayon 𝑟 = 50𝑚 et 𝐵𝐶
est la partie rectiligne horizontale de longueur = 50𝑚 . Le skieur part sans vitesse initiale de
̂
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜋
𝐴 tel que (𝑂𝐵 𝑂𝐴) = 𝛼 = 3
𝛼
𝐴
𝛼𝐸
Solution
⃗⃗⃗⃗𝐴→𝐵
𝐷𝐸𝐶 = ∑ 𝑊 𝑒𝑥𝑡
1 1
𝑚𝑉𝐸2 − 2 𝑚𝑉𝐴2 = 𝑚𝑔(𝑧𝐸 − 𝑧𝐵 ) = 𝑚𝑔𝑟(𝑐𝑜𝑠𝛼𝐸 − 𝑐𝑜𝑠𝛼)
2
1
𝑚𝑉𝐸2 = 𝑚𝑔𝑟(𝑐𝑜𝑠𝛼𝐸 − 𝑐𝑜𝑠𝛼)
2
𝑉𝐸 = √2𝑔𝑟(𝑐𝑜𝑠𝛼𝐸 − 𝑐𝑜𝑠𝛼)
28
√3 1
𝐴𝑁: 𝑉𝐸 = √2 𝘹 10 𝘹 50 ( 2 − 2) ≃ 19,13𝑚/𝑠
𝑉𝐸 = 19,13𝑚/𝑠
1
𝐴𝑁: 𝑉𝐵 = √2 𝘹 50 𝘹 10 (1 − 2) = √500 = 22 ,36𝑚/𝑠
𝑉𝐵 = 22,36𝑚/𝑠
⃗⃗⃗⃗𝐴→𝐵
𝐷𝐸𝐶 = ∑ 𝑊 𝑒𝑥𝑡
1
80 𝘹 10(1− ) 400
2
𝐴𝑁: 𝐹 = 𝜋 = 3,14 = 195,43𝑁
+1 +1
3 3
𝐹 = 195,43𝑁
Exemple 4
𝜃
𝑅
Solution
⃗⃗⃗⃗𝐴→𝐵
𝐷𝐸𝐶 = ∑ 𝑊 𝑒𝑥𝑡
1 1
𝑚𝑉𝑆2 − 𝑚𝑉𝐴2 = 𝑊 𝑃⃗⃗ + 𝑊 𝐹⃗ 𝑜𝑟 𝑊 𝐹⃗ = 0
2 2
1
𝑚𝑉𝑆2 = 𝑚𝑔ℎ 𝑜𝑟 ℎ = 𝑅 − 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑅(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)
2
1
𝑚𝑉𝑆2 = 𝑚𝑔𝑅(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)
2
𝑉𝑆 = √2𝑔𝑅(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)
∑ 𝐹⃗𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝑎⃗
𝑃⃗⃗ + 𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗
𝑉𝑆2
𝑃𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝐹 = 𝑚 𝑅
(2𝑔𝑅(1−𝑐𝑜𝑠𝜃)
𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝐹 = 𝑚 𝘹 ⇒ 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 − 2𝑚𝑔 + 2𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐹
𝑅
𝐹 = 𝑚𝑔(3𝑐𝑜𝑠𝜃 − 2)
30
3) Déterminons la position du solide au moment où il quitte la sphère
2
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 cos 3 = 48, 180
2 2
𝑉 = √2𝑔𝑅 (1 − 3) = √3 𝑔𝑅
2
𝑉 = √3 𝑔𝑅
Montons qu’un tel mouvement n’est possible que si la vitesse angulaire 𝑤 est supérieure à la
valeur 𝑤0 que l’on calculera.
Déterminons alors la valeur de l’angle d’inclinaison 𝜃 que prend le fil par rapport à l’axe ∆,
ainsi que la tension du fil.
Solution
⃗⃗
La réaction 𝑇
Appliquons le théorème de l’énergie cinétique
⃗⃗
𝑇
𝜃
𝐵
𝑛⃗⃗
𝑡⃗
31
∑ 𝑓⃗ 𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝑎⃗𝐺 ⇒ 𝑃⃗⃗ + 𝑅⃗⃗ = 𝑚𝑎⃗𝐺 𝑟 = 𝑙𝑠𝑖𝑛𝜃
(1) 𝑤 2 𝑙𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 ∶ 𝑇𝑎𝑛𝛼 =
(2) 𝑔
𝑔 𝑔
D’où 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑤2 𝑙 𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 < 1 ⇒ 𝑤2 𝑙 < 1
𝑔
Le pendule ne s’écarte de la vitesse que si 𝑤 > 𝑤0 = √ 𝑙
𝑔
Si 𝑤 > 𝑤0 le pendule prend une inclinaison 𝜃 déterminée par 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑤2 𝑙
𝑚𝑔 𝑚𝑔 𝑚𝑔 𝘹 𝑤 2 𝑙
𝑇 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑔 = = 𝑚𝑤 2 𝑙
𝑔
𝑤2 𝑙
𝑇 = 𝑚𝑤 2 𝑙
Exemple 6 : Un pendule est constitué par une petite boule de petite dimension, de masse 𝑚,
suspendue à un point fixe par un fil inextensible de longueur 𝑙. Lae pendule est écarté d’un
angle 𝜃 de sa position d’équilibre et abandonné sans vitesse initiale.
Solution
𝑙 ⃗⃗
𝑇 ⃗⃗
𝑇
𝜃
𝐵′
𝑚𝑎⃗
𝐵
𝑃⃗⃗
𝑃⃗⃗
32
a)Déterminer la vitesse 𝑉du pendule lorsqu’il passe par sa position d’équilibre.
Système : boule de masse 𝑚
Référentiel terrestre supposé galiléen
Bilan des forces :
Le poids 𝑃⃗⃗
La réaction 𝑇⃗⃗
Appliquons le théorème de l’énergie cinétique
𝐷𝐸𝐶 = ∑ 𝑊𝐹⃗𝑒𝑥𝑡
1
𝑚𝑉 2 = 𝑚𝑔ℎ = 𝑚𝑔𝑙(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)
2
𝑉 = √2𝑔𝑙(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)
∑ 𝑓⃗ 𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝑎⃗𝐺
(1−𝑐𝑜𝑠𝜃)
𝑇 = 𝑚𝑔 + 𝑚(2𝑔𝑙 𝑙
𝑇 = 𝑚𝑔(3 − 2𝑐𝑜𝑠𝜃)
33
Chapitre 4 : APPLICATION DES LOIS DE NEWTON
I. Mouvement dans le champ de gravitation
1.1) Première Loi de Kepler
Par rapport au référentiel héléocentrique (ou de Copernic), les trajectoires des planètes sont
des ellipses dont le soleil occupe le foyer. En réalité, ces ellipses sont très proches des cercles.
Remarque : une planète est soumise essentiellement à l’attraction du soleil et l’action des
autres ne se manifeste que par de très faibles perturbations qui sont négligeables par la suite.
𝑑𝑉 𝑉
𝑎𝑡 = = 0 ⇒ 𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑡 𝑤 =
𝑑𝑡 𝑅
* La 3e loi
Le carré de la période de révolution est proportionnel au cube du rayon de la trajectoire.
2𝜋𝑅 4𝜋 2 𝑅2 𝑉2 𝐺𝑀
𝑇= ⇒ 𝑇2 = 𝑒𝑡 𝑎 = 𝑔0 = =
𝑉 𝑉2 𝑅 𝑅2
𝐺𝑀𝑅 𝐺𝑀
⇒𝑉 2 = =
𝑅2 𝑅
4𝜋 2 𝑅2 4𝜋 2 𝑅 2
L’expression devient 𝑇 2 = 𝐺𝑀 = 𝐺𝑀
𝑅
𝑇2 4𝜋 2
D’où 𝑅3 = 𝐺𝑀
34
∑ 𝑓⃗𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝑎⃗𝐺 ⇒ 𝑚 𝑔⃗ = 𝑚𝑎⃗𝐺
⇒ 𝑎⃗𝐺 = 𝑔⃗
⃗⃗, 𝑁
Dans la base de Frenet (𝑇 ⃗⃗ ), on a :
𝑍
𝑅𝑇 ⃗⃗
𝑁
⃗⃗
𝑇
𝑑𝑉
𝑑𝑉 𝑉 2
𝐺⃗ (𝑔0 ) et 𝑎⃗𝐺 (𝑉𝑑𝑡2 ), donc 𝑑𝑡 = 0 et 𝐺 = 𝑟 avec 𝑟 = 𝑅𝑇 + 𝑍
𝐹
𝑉2
Le mouvement étant uniforme, 𝐺 = ⇒ 𝑉 = √𝑟𝐺
𝑟
𝐺𝑀 𝑟2
⇒ 𝑉 = √𝐺(𝑅𝑇 + 𝑍) or 𝐺 = (𝑅+𝑍)2 = 𝐺0 (𝑅+𝑍)2
0 𝑔
D’où 𝑉 = 𝑅√(𝑅+𝑍)
𝑉2 𝑅2 𝑔
0 𝑅𝑔
𝑎𝐺 = = 𝑅(𝑅+𝑍) = 𝑅+𝑍0
𝑅
𝑅𝑔
𝑎𝐺 = 𝑅+𝑍0
Ainsi, pour une altitude donnée Z=300km, on trouve (V=7,72km/s). La période ou la durée
2𝜋(𝑅+𝑍) (𝑅+𝑍)3
d’un tour du satellite est : 𝑇 = = 2𝜋√ pour Z=300km, 𝑇 = 5429𝑠 ≅ 1ℎ30𝑚𝑖𝑛
𝑉 𝑔0 𝑅 2
35
𝑦 𝐺
⃗⃗0
𝑉 𝑃⃗⃗ 𝑔⃗
𝑗⃗ 𝛼
𝑜
𝑖⃗ 𝑥
⃗⃗ = 𝑔⃗𝑡 + 𝑉
𝑉 ⃗⃗0 : Equation 2
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗0 𝑡 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐺 = 2 𝑔⃗𝑡 2 + 𝑉 𝑂𝐺0 : Equation 3
3. Equations horaires
⃗⃗ ) le mieux adapté pour déterminer les coordonnées des vecteurs
Choisissons le repère (𝑜, 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘
accélération, vitesse et position du centre d’inertie.
𝐺 𝑔⃗
𝐺′′
𝑉0
𝑗⃗ 𝑃⃗⃗
𝑘⃗⃗
𝑖⃗ 𝐺′ 𝑥
36
* Le point G’ décrit l’axe horizontal (𝑜, 𝑖⃗) avec un mouvement uniforme.
* Le point G’’ décrit l’axe vertical (𝑜, 𝑗⃗) avec un mouvement uniformément varié.
* L’axe (𝑜, 𝑗⃗) vertical ascendant, alors 𝑔⃗ = −𝑔𝑗⃗ avec ‖𝑔⃗‖ = 𝑔
* ⃗⃗0, caractérisé
L’axe (𝑜, 𝑖⃗) horizontal, le plan (𝑖⃗, 𝑗⃗) contenant le vecteur vitesse initiale 𝑉
par la mesure de l’angle (𝑖⃗̂ ⃗⃗0 ) telle que 0 < 𝛼 ≤ 𝜋.
,𝑉 2
𝑉 = 𝑉0 𝑐𝑜𝑠𝛼
⃗⃗0 { 0𝑥
Alors, 𝑉 𝑉0𝑦 = 𝑉0 𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑎𝑥 = 0 𝑉𝑥 = 𝑉0 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑥 = 𝑉0 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ {𝑦 = − 1 𝑔𝑡 2 + 𝑉0 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑡
⃗⃗𝐺 {𝑉𝑦 = −𝑔𝑡 + 𝑉0 𝑠𝑖𝑛𝛼 ; 𝑂𝐺
𝑎⃗ {𝑎𝑦 = −𝑔 ; 𝑉
2
𝑎𝑧 = 0 𝑉𝑧 = 0 𝑧=0
Les équations horaires du mouvement nous montrent que :
Pour 𝛼 = 𝜋/2, le vecteur vitesse initiale est parallèle à 𝑔⃗ ; le mouvement est rectiligne,
1
uniformément varié, selon la verticale : 𝑦 = − 2 𝑔𝑡 2 + 𝑉0 𝑡
4. Etude de la trajectoire
𝜋
⃗⃗ ),s’obtient en
Pour 0 < 𝛼 < 2 , l’équation cartésienne de la trajectoire dans le repère (𝑜, 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘
éliminant le temps t entre les expressions 𝑥(𝑡) et 𝑦(𝑡), il vient :
𝑥 1 𝑔
𝑡 = 𝑉 𝑐𝑜𝑠𝛼 d’où 𝑦 = − 2 𝑉 2 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 𝑥 2 + 𝑥𝑡𝑎𝑛𝛼
0 0
1
Soit avec = 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝛼, on obtient :
𝑐𝑜𝑠2 𝛼
𝑔
𝑦 = − 2𝑉 2 (1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝛼)𝑥 2 + 𝑥𝑡𝑎𝑛𝛼
0
La trajectoire est une parabole située dans le plan de tir (𝑜, 𝑖⃗, 𝑗⃗) et dont la concavité est tournée
vers le bas.
37
𝑀
𝑦𝑀 ⃗⃗𝑚
𝑉
⃗⃗0
𝑉
𝑗⃗
𝑥𝑀 𝐶
𝑜
𝑖⃗ 𝑑
1 𝑉0 𝑠𝑖𝑛𝛼 2 𝑉0 𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑦𝑀 = ℎ = − 2 𝑔 ( ) + 𝑉0 𝑠𝑖𝑛𝛼 ( )
𝑔 𝑔
𝑉02 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 1
⇒ℎ= (− 2 + 1)
𝑔
𝑉02 𝑠𝑖𝑛2 𝛼
⇒ 𝑦𝑀 = ℎ = 2𝑔
𝜋
La flèche est évidemment maximale pour 𝛼 = (𝑡𝑖𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙)
2
1 𝑔𝑥𝑐
⇒ 𝑥𝑐 (− 2 + 𝑡𝑎𝑛𝛼) = 0
2 𝑉0 𝑐𝑜𝑠2 𝛼
2𝑉02 𝑠𝑖𝑛2𝛼
Donc, 𝑥𝑐 = 𝑔
Pour une vitesse initiale 𝑉0 donnée, la portée est maximale pour 𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 1 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝛼 = 45°
38
𝑉02
D’où 𝑑𝑚𝑎𝑥 =
𝑔
𝑔𝑑
Pour 𝑑 < 𝑑𝑚𝑎𝑥, 𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 𝑉 2
0
Exemple : un projectile est lancé dans le champ de pesanteur avec une vitesse 𝑉0 = 200𝑚/𝑠
9,8×2500
AN : 𝑠𝑖𝑛2𝛼1 = = 0,6125
(200)2
𝑉02 𝑠𝑖𝑛2 𝛼
2) La flèche ℎ = 2𝑔
* Avec 𝛼1 = 18,9°, ℎ = 214𝑚 (tir tendu)
* Avec 𝛼2 = 74,1°, ℎ = 1825𝑚 (tir en cloche)
3) La durée du tir
1
𝑍𝐶 = − 2 𝑔𝑡 2 + 𝑉0 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑡 = 0
1
⇒ 𝑡(− 2 𝑔𝑡 + 𝑉0 𝑠𝑖𝑛𝛼) = 0
2𝑉0 𝑠𝑖𝑛𝛼
⇒ 𝑡 = 0 𝑜𝑢 𝑡 = 𝑔
39
4) La vitesse lors de l’impact
𝑥̇ 𝑐 = 𝑉0 𝑐𝑜𝑠𝛼
{𝑦̇ 0 = −𝑉0 𝑠𝑖𝑛𝛼 d’où, 𝑉𝑐 = √𝑥̇ 𝑐2 + 𝑦̇𝑐2 + 𝑧̇𝑐2 = 𝑉0 = 200𝑚/𝑠
𝑧̇𝑐 = 0
𝑉𝑐 = 𝑉0 = 200𝑚/𝑠
Une particule de masse m et de charge q est lancé dans ce champ à partir du point O avec une
⃗⃗0.
vitesse initiale 𝑉
− 𝐶
+
− − − − − − −
⃗⃗0
𝑉 𝐸⃗⃗
𝑂
+ + + + + + + +
𝐴
Accélération
La seule force appliquée à la particule est la force électrique 𝐹⃗ , son poids est négligeable.
Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, on peut écrire : ∑ 𝑓⃗𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝑎⃗𝐺
𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗𝐺 𝑜𝑟 𝐹⃗ = 𝑞𝐸⃗⃗
𝑞𝐸⃗⃗
D’où 𝑞𝐸⃗⃗ = 𝑚𝑎⃗𝐺 𝑒𝑡 𝑎⃗𝐺 = 𝑚
Vitesse
⃗⃗𝐺 tel que
La vitesse du centre d’inertie de la trajectoire dans la zone où règne le champ est 𝑉
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑉 𝐺
= 𝑎⃗𝐺 ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉𝐺 = ⃗⃗⃗⃗⃗𝑡
𝑎𝐺 + 𝑉⃗⃗0 où 𝑉
⃗⃗0 est la vitesse initiale du centre d’inertie de la particule à la
𝑑𝑡
date prise comme origine des dates.
Position
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ où O est l’origine
La position du centre d’inertie de la particule est donnée par le vecteur 𝑂𝐺
du repère d’espace choisi.
40
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est tel que 𝑑𝑂𝐺 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐺 𝑉𝐺 = ⃗⃗⃗⃗⃗𝑡
𝑎𝐺 + 𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 ⃗⃗⃗⃗⃗𝑡
⃗⃗0 ⇒ 𝑂𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗0
⃗⃗0 𝑡 + 𝑂𝐺
𝑎𝐺 2 + 𝑉
𝑑𝑡 2
Trajectoire
Les équations paramétriques de la trajectoire du centre d’inertie de la particule s’obtiennent en
faisant les projections sur les axes du repère d’espace du vecteur position. On a donc :
1
𝑥 = 2 𝑎𝐺𝑥 𝑡 2 + 𝑉0𝑥 𝑡 + 𝑥0
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐺 = 𝑦 = 2 𝑎𝐺𝑦 𝑡 2 + 𝑉0𝑦 𝑡 + 𝑦0
1
𝑧 = 2 𝑎𝐺𝑦 𝑡 2 + 𝑉0𝑦 𝑡 + 𝑦0
{
Les conditions initiales du mouvement peuvent apporter des simplifications qui permettent de
déterminer la nature géométrique de la trajectoire de la particule.
+ −
𝐸⃗⃗
+ −
+ −
⃗⃗0
𝑉
−
+ 𝐸⃗⃗ −
+ −
+ 𝐸⃗⃗ −
Considérons une particule de charge q et de masse m qui pénètre à une date prise comme
origine des dates dans un espace où règne un champ électrique uniforme 𝐸⃗⃗ , avec une vitesse
⃗⃗0 de même direction que 𝐸⃗⃗ .
𝑉
⇒ 𝑞𝐸⃗⃗ = 𝑚𝑎⃗𝐺
𝑞𝐸⃗⃗
⇒ 𝑎⃗𝐺 = 𝑚
41
Faisons la projection de 𝑎⃗𝐺 sur les axes du repère d’étude et nous obtenons :
𝑞𝐸
𝑎𝑥 = 𝑚
𝑎⃗𝐺 { 𝑎𝑦 = 0
𝑎𝑧 = 0
De cette projection, on peut obtenir les composantes du vecteur vitesse du centre d’inertie de
la particule :
𝑞𝐸
𝑉𝑥 = 𝑚 𝑡 + 𝑉0
⃗⃗𝐺 {
𝑉 𝑉𝑦 = 0
𝑉𝑧 = 0
𝑦
+ + + + + +
⃗⃗0
𝑉
𝑥′ 𝐸⃗⃗ 𝑥
𝐸⃗⃗
− − − − − −
𝑦′
Considérons une particule de charge q et de masse m qui pénètre à une date prise comme
origine des dates dans un espace où règne un champ électrique 𝐸⃗⃗ , avec une vitesse 𝑉
⃗⃗0
orthogonal à 𝐸⃗⃗ . Prenons comme origine des espaces le point d’entrée de la particule dans la
région et comme axes des coordonnées de la direction du champ 𝐸⃗⃗ , celle de 𝑉⃗⃗0 et une
direction qui leur est normale.
⇒ 𝑞𝐸⃗⃗ = 𝑚𝑎⃗𝐺
42
𝑞𝐸⃗⃗
⇒ 𝑎⃗𝐺 =
𝑚
𝑎𝑥 = 0 𝑉𝑥 = 0 𝑥 = 𝑉0 𝑡 (1)
𝑞𝐸 𝑞𝐸
𝑎⃗𝐺 {𝑎𝑦 = − 𝑚 d’où 𝑉 𝑚
𝑂𝐺 {𝑦 = − 1 𝑞𝐸 𝑡 2 (2)
⃗⃗𝐺 {𝑉𝑦 = − 𝑡 et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2𝑚
𝑎𝑧 = 0 𝑉𝑧 = 0 𝑧=0
1 𝑞𝐸𝑥 2
𝑦 = − 2 𝑚𝑉 2 (4)
0
Déviation et déflexion
𝑉𝑠𝑦
𝑃
⃗⃗𝑠
𝑉
𝑑 + + + +
𝑆 𝑉𝑠𝑥
𝐸⃗⃗ 𝑄
𝐹⃗
𝑂 𝐻
𝑁 𝐸
− − − − −
𝑙
𝐷
⃗⃗0
𝑉
Considérons une particule de charge 𝑞 < 0 et de masse m animée d’un vecteur vitesse 𝑉 ⃗⃗0
horizontale qui pénètre entre les armatures d’un condensateur plan chargé sous une tension U.
La distance entre les armatures est d et leur longueur l.
A la sortie du condensateur la particule frappe un écran en P. L’écran est situé à une distance
D de O.
* Equation du mouvement
La particule est soumise à la force électrostatique 𝐹⃗ = 𝑞𝐸⃗⃗ de même direction que 𝐸⃗⃗ et de sens
opposé, d’intensité 𝐹 = 𝑞𝐸. Le mouvement se fait dans le plan xoy.
43
𝑞𝐸⃗⃗
La 2e loi de Newton donne 𝑎⃗𝐺 =
𝑚
𝑎𝐺𝑥 = 0 𝑉𝐺𝑥 = 𝑉0 𝑥 = 𝑉0 𝑡
𝑎⃗𝐺 { 𝑞𝐸 ⃗⃗𝐺 {
d’où 𝑉 𝑞𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ {
et 𝑂𝐺 1 𝑞𝐸
𝑎𝐺𝑦 = 𝑉𝐺𝑦 = 𝑡 𝑦 = 2 𝑚 𝑡2
𝑚 𝑚
L’équation de la trajectoire
𝑥
𝑥 = 𝑉0 𝑡 ⇒ 𝑡 = 𝑉
0
1 𝑞𝐸𝑥 2
Donc 𝑦 = − 2 𝑚𝑉 2 Pour x=l, on a :
0
1 𝑞𝐸𝑙2
𝑦=− la trajectoire est un arc de parabole.
2 𝑚𝑉0 2
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑞𝐸𝑙 𝑈 𝑞𝑈𝑙
𝑉𝑠𝑥 = = 𝑉0 et 𝑉𝑠𝑦 = = 𝑚𝑉 or 𝐸 = 𝑑 d’où 𝑉𝑠𝑦 = 𝑚𝑉 𝑑
𝑑𝑡 𝑑𝑡 0 0
𝑞𝑈𝑙 2
⇒ 𝑉𝑠 = √𝑉02 + (𝑚𝑉 𝑑)
0
∆𝐸𝑐 = ∑ 𝑊𝑓𝑒𝑥𝑡
1 1
𝑚𝑉𝑠 2 − 2 𝑚𝑉02 = 𝐹𝑦
2
1 1 𝑞𝐸𝑙2
𝑚𝑉𝑠 2 − 2 𝑚𝑉02 = 𝑞𝐸 × 2𝑚𝑉 2
2 0
𝑞2 𝑈 2 𝑙2
𝑉𝑠 2 − 𝑉02 = 𝑚2 𝑉 2 𝑑2
0
𝑞2 𝑈 2 𝑙2
𝑉𝑠 2 = 𝑉02 − 𝑚2 𝑉 2 𝑑2
0
𝑞2 𝑈 2𝑙2
⇒ 𝑉𝑠 = √𝑉02 − 𝑚2 𝑉 2 𝑑2
0
* Déviation et déflexion
Entre l’entrée et la sortie S du champ E, la trajectoire de la particule est déviée d’un angle 𝛼
appelé déviation. La distance HP est la déflexion.
𝑞𝑈𝑙
𝑉𝑠𝑦 𝑚𝑉0 𝑑 𝑞𝑈𝑙
𝑡𝑎𝑛𝛼 = 𝑉 = = 𝑚𝑉 2 𝑑 (1)
𝑠𝑦 𝑉0 0
44
𝐻𝑃 𝑦(𝑃) 𝑦𝑆
𝑡𝑎𝑛𝛼 = 𝑙 = 𝑙 (2)
𝐻𝑁 𝐷−
2 2
𝑞 𝑦(𝑃)𝑉02 𝑑
La charge massique est déterminée par la relation : 𝑚 =
𝑈𝑙(𝐷−𝑙⁄2)
𝑞𝑈𝑙2 𝑑 𝑞𝑈𝑙2
Soit 𝑦 = 2𝑚𝑑𝑉 2 < ⇒ <1
0 2 𝑚𝑑2 𝑉02
𝑞𝑈𝑙2
Pour la tension U donnée, les particules sortent du champ si 𝑉02 > . Sinon, elles sont trop
𝑚𝑑2
déviées et heurtent une des armatures.
(page 9 et 10 manquantes)
D’après ∆𝐸𝑐
1 2𝑞𝑈0
𝑚 𝑉 2 = 𝑞𝑈0 ⇒ 𝑉1 = √
2 1 1 𝑚1
𝑚1 𝑉1 𝑚1 2𝑞𝑈0 𝑚2 2𝑞𝑈
On sait que 𝑅1 = = √ = √𝑚1 𝑞2 𝐵02
𝑞𝐵 𝑞𝐵 𝑚1 1
2𝑚1 𝑈0 1 2𝑚1 𝑈0
𝑅1 = √ = 𝐵√
𝑞𝐵2 𝑞
1 2𝑞𝑈0
On a : 2 𝑚𝑉22 = 𝑞𝑈0 ⇒ 𝑉2 = √ 𝑚2
𝑚2 𝑉2 𝑚2 2𝑞𝑈0 1 2𝑚2 𝑈0
Or 𝑅2 = = √ = 𝐵√
𝑞𝐵 𝑞𝐵 𝑚2 𝑞
1 2𝑚2 𝑈0
𝑅2 = 𝐵 √ 𝑞
𝑅 𝑚 𝑚 𝑅 2
Le rapport 𝑅1 = √𝑚1 ⇒ 𝑚1 = 𝑅1 2
2 2 2 2
45
Ce dispositif permet de séparer les isotopes. Les particules de plus grandes masses tombent
plus loin que les particules de petites masses.
46
Chapitre 5: AUTO-INDUCTION
1. Mise en induction expérimentale de l’auto-induction
Le circuit est constitué par un générateur de tension continue, une bobine emportant un noyau
de fer doux, une lampe et un interrupteur.
Lorsque l’on ferme le circuit en baissant l’interrupteur, la lampe ne brille de tout, son
éclat qu’après 1 à 2 secondes. Jl y’a donc un retard à l’établissement du courant
électrique dans le circuit.
Lorsque l’on ouvre le circuit en soulevant l’interrupteur, la lampe brille encore
pendant 1 à 2 secondes avant de s’éteindre. Il y’ a donc un retard à la coupure du
courant dans le circuit.
2. Un courant induit
Quand approche rapidement le pôle nord de l’aimant de l’une des forces de la bobine, le
galvanomètre détecte le passage d’un bref courant dans un sens déterminé.
Le courant est apparu dans un circuit qui ne compte pas un générateur. ce courant porte le
nom de courant induit : le phénomène physique qui l’engendre s’appelle l’induction
électromagnétique. Le circuit dans lequel il apparait (la bobine) constitue l’induit et l’aimant
qui permet de le créer est l’inducteur.
Un courant induit apparait dans un circuit si on déplace un aimant dans son voisinage
ou si on déplace le circuit devant un aimant
le courant induit s’annule lorsque le déplacement relatif cesse
3. Le flux magnétique
Lorsqu’un circuit parcouru ou non par un courant est plongé dans un champ magnétique que
l’on note 𝛷
47
Sens : vers la gauche du bonhomme d’ampère couché sur le circuit de façon que le
sens positif choisi entre par ses pieds et sort par la tête et qui regarde l’intérieur du
circuit.
Norme : égale à la surface S du circuit.
⃗⃗ . 𝑆⃗ = 𝐵. 𝑆. cos 𝜃
𝛷=𝐵
⃗⃗̂
𝜃 = (𝐵 . 𝑆⃗) 𝑒𝑡 0 < 𝜃 < 1800
𝐵 𝑒𝑛 𝑇 ; 𝑆 𝑒𝑛 𝑚2 𝑒𝑡 𝛷 𝑒𝑛 𝑤𝑏
Exemple : Une bobine plate d’aire 𝑆 = 30 𝑐𝑚2 comporte 𝑁 = 50 𝑠𝑝𝑖𝑟𝑒𝑠. Elle est placée
dans un champ magnétique uniforme d’intensité 𝐵 = 0,02 𝑇 , comme l’indique la figure
ci-dessous.
⃗⃗ , 𝑛⃗⃗) = 600
Traçons un vecteur normal 𝑛⃗⃗ tel que (𝐵
𝛷 = 1,5. 10−3 𝑤𝑏
𝛷 = −1,5. 10−3 𝑤𝑏
4. La loi de Lenz
Le sens du courant induit est tel que le flux magnétique qu’il crée à travers l’induit s’oppose à
la variation du flux qui lui donne naissance.
𝛷𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝛷 + 𝛷′ = 𝑁𝑆(𝐵 − 𝐵 ′ )
48
⃗⃗ diminue, le courant induit crée un champ 𝐵
Quand le champ magnétique inducteur 𝐵 ⃗⃗ ′ de
même sens que 𝐵⃗⃗.
𝛷𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝛷 + 𝛷′ = 𝑁𝑆(𝐵 − 𝐵 ′ )
⃗⃗ . 𝑆⃗ = 𝐵. 𝑆 (1) 𝑐𝑎𝑟 𝜃 = 0
𝛷𝜑 = 𝐵
𝛷𝑝 = 𝐿𝑖
A travers 𝑁 𝑠𝑝𝑖𝑟𝑒𝑠
𝑁
𝛷𝜑 = 𝑁𝐵𝑆 𝑜𝑟 𝐵 = 𝜇0 𝑛𝑖 = 𝜇0 𝑖
𝑙
𝑁 𝑁2
𝛷𝜑 = 𝑁𝜇0 𝑙 𝑆𝑖 = 𝜇0 𝑆𝑖
𝑙
𝑁2
𝛷𝜑 = 𝜇0 𝑆𝑖 (1)′
𝑙
𝑁2 𝜇0𝑁2 𝑆
𝐿𝑖 = 𝜇0 𝑆𝑖 ⇒ 𝐿 =
𝑙 𝑙
Exemple : calculer l’inductance d’un solénoïde dont la longueur 𝑙 est très grande devant
le rayon 𝑟. Le nombre de spires par unité de longueur est 𝑛.
Application numérique
49
Solution
𝐵 = 𝜇0 𝑛𝑖
(1) = (2)
𝐿𝑖 = 𝜇0 𝑛2 𝑙𝜋𝑟 2 𝑖
𝐿 = 𝜇0 𝑛2 𝑙𝜋𝑟 2
𝐿 = 0,5 𝐻
7. Loi de Faraday-Lenz
La force électromagnétique d’auto-induction 𝑒 est proportionnelle à l’imposée de la dérivée
de l’intensité du courant par rapport au temps.
𝑑𝛷
𝑒= 𝑜𝑟 𝛷 = 𝐿𝑖
𝑑𝑡
𝑑𝑖
𝑒 = −𝐿 𝑑𝑡
𝑈𝐴𝐵 = 𝑟𝑖 − 𝑒
𝑑𝑖
𝑈𝐴𝐵 = 𝑟𝑖 + 𝐿 𝑑𝑡
Si 𝑅 est la résistance d’un circuit induit en l’absence de toute autre force électromotrice dans
𝑒 1 𝑑𝛷
le circuit, l’intensité algébrique du courant induit est donnée par la relation : 𝑖 = 𝑅 = − 𝑅 𝑑𝑡
50
Si 𝑖 > 0 , le courant induit circule dans le sens positif d’orientation ; 𝑠𝑖 𝑖 < 0, il circule dans
le sens inverse.
𝑑𝛷 𝑒
Remarque : Le plus souvent, on se borne à calculer |𝑒| = | 𝑑𝑡 | 𝑒𝑡 |𝑖| = |𝑅| , le sens du
courant induit étant directement donné par la loi Lenz.
Exemple : Un conducteur rectiligne 𝐶𝐷 de longueur 𝑙 est posé sur deux rails parallèles et
horizontaux, perpendiculairement à ceux-ci. L’ensemble est placé dans 𝑙′ entre fer d’un
aimant en 𝑈. Les lignes du champ uniforme 𝐵 ⃗⃗ sont perpendiculaires au plan des rails. Un
milliampèremètre, branché aux extrémités 𝐸 𝑒𝑡 𝐹, ferme le circuit 𝐹𝐶𝐷𝐸𝐹. On provoque le
déplacement de la bande 𝐶𝐷 le long des rails : le microampèremètre détecte un courant
induit. La résistance du circuit, supposée constante est égale à 𝑅
Solution
Etablissons l’expression de 𝑖
⃗⃗ . 𝑛⃗⃗ 𝑙𝑥
𝛷 = 𝛷0 + 𝐵
𝑑𝛷 𝑙𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑒 = − 𝑑𝑡 = −𝐵 𝑜𝑟 =𝑣
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑒 𝐵𝑙𝑣
Soit 𝑒 = −𝐵𝑙𝑣 𝑑 ′ 𝑜𝑢 𝑖 = 𝑅 = 𝑅
0,1 ×5.10−2 × 1
𝐴𝑁: 𝑖 = = 2,5. 10−5 = 25 𝜇𝐴
200
𝑖 = 25 𝜇𝐴
51
9. Etablissement et annulation du courant dans un circuit induit ; constante de
temps.
𝑑𝑖
En posant 𝑅 = 𝑟 + 𝑟′ résistance totale du circuit : 𝐿 𝑑𝑡 + 𝑅𝑖 = 𝑒0
𝑑𝑖 𝑅
= − 𝐿 𝑑𝑡
𝑖
𝑅
𝑙𝑛 𝑖 = − 𝐿 𝑡
−𝑅
𝑡
𝑖 = 𝐴𝑒 𝐿
−𝑅
𝑒 𝑡
𝑖 = 𝑅 (1 − 𝑒 𝐿 )
−𝑅
𝑒 𝐿
En posant 𝐼0 = 𝑅 𝑒𝑡 𝜏 = 𝑅 , 𝑜𝑛 𝑎 𝑖(𝑡) = 𝐼0 (1 − 𝑒 𝜏 )
𝐿
𝜏=𝑅 est appelée constance temps du circuit et s’exprime en seconde
52
La durée d’établissement du courant augmente avec la constance de temps du circuit :
(𝜏2 > 𝜏1 )
Annulation du courant
Conclusion
Energie emmagasinée
1 2
ℇ𝑚 = 𝐿𝑖
2
53
II. ELECTRICITE
Chapitre VI : LES OSCILLATIONS ELECTRIQUE
1. Les condensations
Définition : Un condensateur est un ensemble de deux conducteurs qui se font face et qui sont
séparés par une faible épaisseur de substance isolante. Les conducteurs s’appellent armatures
du condensateur et l’isolant est un diélectrique.
𝐼 1 0 2
+
+ + + 𝐴
−
− − −
Quand l’interrupteur est dans la position 1, le courant électrique circule dans le sens de
flèche c’est-à-dire du générateur vers l’armature 𝐴 . On dit que le condensateur se
charge. La circulation des charges se traduit par : la plaque 𝐴 se charge positivement
et la plaque 𝐵 négativement.
Quand l’interrupteur est en position 2, les porteurs de charge circulent dans l’autre
sens : On dit que le condensateur se décharge. La charge de l’armature 𝐴 diminue et
s’annule à la fin de la décharge.
1.2.Relation entre la charge 𝒒 et l’intensité 𝒊
L’intensité 𝑖 du courant qui arrive sur l’armature d’un condensateur portant la charge 𝑞 est
égale à la dérivée de la charge par rapport au temps.
𝑖: 𝑒𝑛 𝐴
𝑑𝑞
𝑖= {𝑞 ∶ 𝑒𝑛 𝐶
𝑑𝑡
𝑡: 𝑒𝑛 𝑆
𝑖 > 0; 𝑙𝑎 𝑐ℎ𝑎𝑟𝑔𝑒
𝑖 < 0; 𝑙𝑎 𝑑é𝑐ℎ𝑎𝑟𝑔𝑒
1.3.Capacité du condensateur
54
𝜀 est le coefficient de proportionnalité appelé permittivité du diélectrique.
1
Pour le vide 𝜀 est noté 𝜀0 qui est la permittivité du vide. 𝜀0 = 36𝜋.109 = 8,84. 10−12 𝐹. 𝑚−1
Unité de la capacité
Dans le système international, l’unité de la capacité est farad de symbole 𝐹. Le farad est
l’unité très grande pour les condensateurs usuels. On utilise couramment :
Solution
8 25𝜋.10−4
𝐶= 𝘹 = 5,56. 10−10 𝐹
36𝜋.109 10−3
b. Calculons la charge
𝑞 = 2,78. 10−7 𝐶
c. Si on retire le mica
𝑆 𝐶
𝐶 ′ = 𝜀0 𝑑 𝑜𝑢 𝐶 = 8𝐶 ′ ⇒ 𝐶 ′ = 8
55
𝐶 ′ = 6,93. 10−11 𝐹
La nouvelle charge
𝑞′ = 𝐶′𝑈
𝑞 ′ = 3,47. 10−8 𝐶
𝐴 𝐶1 𝐵
𝐴 𝐵
=
𝐶𝑒
𝐶2
𝑞 = 𝑞1 + 𝑞2
𝐶𝑒 = 𝐶1 + 𝐶2
𝑈 = 𝑈1 + 𝑈2 𝑒𝑡 𝑞 = 𝑞1 + 𝑞2
𝑞 𝑞 𝑞 1 1 1
=𝐶 +𝐶 ⇒ =𝐶 +𝐶
𝐶𝑒 1 2 𝐶𝑒 1 2
56
L’inverse de la capacité du condensateur équivalent à l’association des condensateurs en série
1 1 1
est égal à la somme des inverses des capacités de ces deux condensateurs. 𝐶 = 𝐶 + 𝐶
𝑒 1 2
1 1
pour 𝑛 condensateurs de capacités différentes, on a : 𝐶 ∑𝑛𝑖=1 𝐶
𝑒 𝑖
𝐶0
Dans le cas où l’on associe 𝑛 condensateurs identiques de capacité 𝐶0 , 𝑜𝑛 𝑎 : 𝐶𝑒 = 𝑛
1.4.3. Energie emmagasinée dans le condensateur
2.1.Etude théorique
Soit un circuit constitué d’une bobine et d’un condensateur initialement chargé. Choisissons
le sens positif arbitrairement. 𝑞𝐴 est la charge de l4armature rncontr2e en tournant dans le
sens positif.
𝑞
A l’instant 𝑡 𝑈𝐴𝐵 = 𝐶 aux bornes des condensateurs.
𝑑𝑖 𝑞𝐴 𝑑𝑖
La tension aux bornes de la bobine est : 𝑈𝐴𝐵 = 𝐿 𝑑𝑡 = −𝑈𝐴𝐵 ; 𝑑𝑜𝑛𝑐 = −𝐿 𝑑𝑡
𝐶
𝑑𝑞𝐴 𝑑𝑖 𝑑 2 𝑞𝐴
𝑖= 𝑒𝑡 =
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2
𝑞𝐴 𝑑 2 𝑞𝐴
Nous déduisons que =−
𝐶 𝑑𝑡 2
57
Nous retrouvons l’équation différentielle analogue à celle obtenue par le pendule élastique.
L’oscillateur 𝐿𝐶 est un oscillateur harmonique.
1 1
Posons : 𝑊02 = 𝐿𝐶 ⇒ 𝑊0 =
√𝐿𝐶
𝑄𝑚 est l’amplitude maximale de la charge qui est constante et dépend des conditions initiales.
𝜋
𝑖 = 𝐼𝑚 cos (𝑊0 𝑡 + 2 )
2.2.Etude énergétique
𝑞2 2
𝑄𝑚
𝜀𝑐 = 2𝐶𝐴 = 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑊0 𝑡 + 𝜑)
2𝐶
1 1 1 1
𝜀𝑏 = 2 𝐿𝑖 2 = 2 𝐿𝑄𝑚
2
𝑊02 𝑠𝑖𝑛2 (𝑊0 𝑡 + 𝜑) = 2 𝐿𝑄𝑚 𝐿𝐶 𝑠𝑖𝑛2 (𝑊0 𝑡 + 𝜑)
𝑄𝑚
𝜀𝑏 = 𝑠𝑖𝑛2 (𝑊0 𝑡 + 𝜑)
2𝐶
2
𝑄𝑚
𝜀𝑡 = 𝜀𝑐 + 𝜀𝑏 = [𝑐𝑜𝑠 2 (𝑊0 𝑡 + 𝜑) + 𝑠𝑖𝑛2 (𝑊0 𝑡 + 𝜑)]
2𝐶
2
𝑄𝑚
𝜀𝑡 = = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
2𝐶
58
L’excitation est un dispositif qui impose à l’oscillateur sa fréquence propre 𝑁0 subit ainsi la
fréquence 𝑁.
La fonction 𝑖(𝑡) telle que 𝑖(𝑡) = 𝐼𝑚 𝑐𝑜𝑠 (𝑤𝑡) est l’expression d’une intensité alternative
sinusoïdale. Un courant alternatif sinusoïdal change de sens deux fois pendant une période.
De la même façon, une tension alternative sinusoïdale se présenté par des fonctions telles
que :
c. Notion de Phase
Définition : La phase 𝜑 de la fonction 𝑈(𝑡) est par définition la phase de 𝜇(𝑡) par rapport à
la fonction 𝑖(𝑡). 𝜑 est exprimée en radians
On dit que :
𝜑 mesure l’avance de phase de 𝜇(𝑡) par rapport à 𝑖(𝑡) ou le retard de phase de 𝑖(𝑡)
par rapport 𝜇(𝑡). L’angle 𝜑 est algébrique.
Lorsque l’angle 𝜑 est nul, les deux grandeurs sinusoïdales sont en phase.
𝜋
Exemple : 𝑖 = 𝐼𝑚 𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 𝑒𝑡 𝜇 = 𝑈𝑚 cos (𝑊𝑡 + 2 ) = −𝑈𝑚 𝑠𝑖𝑛𝑊𝑡
59
𝑈𝑚 𝐼𝑚
𝑈𝑒𝑓𝑓 = 𝑒𝑡 𝐼𝑒𝑓𝑓 =
√2 √2
3.2.Notion d’impédance
L’impédance d’un dipôle est le quotient de la tension maximale 𝑈𝑚𝑎𝑥 à ses bornes par
l’intensité maximale 𝐼𝑚𝑎𝑥 du courant qui le traverse.
𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑈𝑒𝑓𝑓
𝑍= =
𝐼𝑚𝑎𝑥 𝐼𝑒𝑓𝑓
𝑖 𝐴 𝐵
𝑅
𝑢𝐴𝐵
Posons : 𝑈𝑚 = 𝑅𝐼𝑚
𝑍 = 𝑅 𝑒𝑡 𝜑 = 0
L’impédance d’un conducteur ohmique est égale à sa résistance. La tension à ses bornes est
en phase de l’intensité du courant qui le traverse.
60
3.3.2. Le Condensateur
𝑖 𝐴 𝐵
𝑢𝐴𝐵
𝑑𝑞𝐴
𝑖= . Donc 𝑞𝐴 est la primitive de 𝑖
𝑑𝑡
𝐼𝑚
𝑖 = 𝐼𝑚 𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 𝑒𝑡 𝑞 = 𝑠𝑖𝑛𝑤𝑡 𝘹 𝐴
𝑤
𝑞𝐴
Nous savons que 𝑞𝐴 = 𝐶𝑈𝐴𝐵 ⇒ 𝑈𝐴𝐵 = 𝐶
𝑚 𝐼 𝜋
Donc 𝜇 = 𝐶𝑤 cos (𝑤𝑡 − 2 ) − 𝑈𝑚𝑎𝑥 cos(𝑊𝑡 + 𝜑)
𝑚 𝐼
En identifiant les deux expressions, on a : 𝑈𝑚 = 𝐶𝑤
1
𝑍 = 𝐶𝑊
𝜋
Le déphasage de la tension par rapport à l’intensité est donc 𝜑 = 2
𝑖
− 𝜋⁄2
1
𝑍=−
𝑐𝑤
61
𝜋
La tension aux bornes du condensateur est en retard de phase par rapport à l’intensité : 𝜑 =
2
3.3.3. La Bobine
𝑑𝑖
Posons 𝑖 = 𝐼𝑚 𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 𝑒𝑡 𝜇 = 𝑈𝐴𝐵 = 𝑅𝑖 + 𝐿 𝑑𝑡
⃗⃗2
𝑉
⃗⃗ 𝐿𝑤𝐼𝑚
𝑉
+
𝜑
0
𝑅𝐼𝑚 ⃗⃗1
𝑉 𝑥
2 2 (𝑅 2
𝑈𝑚 = 𝐼𝑚 + 𝐿2 𝑊 2 ) ⇒ 𝑈𝑚 = 𝐼𝑚 √𝑅 2 + 𝐿2 𝑊 2
62
L’impédance d’une bobine de résistance 𝑅 et d’inductance 𝐿 est :
𝑈𝑚 𝐼𝑚 √𝑅 2 +𝐿2 𝑊 2
𝑍= = = √𝑅 2 + 𝐿2 𝑊 2
𝐼𝑚 𝐼𝑚
𝑍 = √𝑅 2 + 𝐿2 𝑊 2
𝑉 𝐿𝑊𝐼𝑚 𝐿𝑊
Le déphasage 𝜑 de la tension par rapport à 𝑖 l’intensité est alors : 𝑡𝑎𝑛𝜑 = 𝑉2 = =
1 𝑅𝐼𝑚 𝑅
𝐿𝑊
𝑡𝑎𝑛𝜑 = 𝑅
𝑉1 𝑅𝐼𝑚 𝑅
𝐶𝑜𝑠𝜑 = = √𝑅 2 +𝐿2 𝑊 2
=𝑍
𝑉 𝐼𝑚
𝑅
𝐶𝑜𝑠𝜑 = 𝑍
𝜋
Remarque : Pour une inductance pure, (𝑅 = 0), on a : 𝑍 = 𝐿𝑊, 𝑡𝑎𝑛𝜑 = +∞ 𝑒𝑡 𝜑 = + 2
𝑑𝑞 𝑑𝑖 𝑑2 𝑞 𝑞
𝑈1 = 𝑅𝑖 = 𝑅 𝑑𝑡 ; 𝑈2 = 𝐿 𝑑𝑡 = 𝐿 𝑑𝑡 2 𝑒𝑡 𝑈3 = 𝐶
On obtient l’équation différentielle d’un circuit 𝑅𝐿𝐶 série qui est la suivante :
𝑑2 𝑞 𝑅𝑑𝑡 𝑞
𝑈 = 𝐿 𝑑𝑡 2 + +𝐶
𝑑𝑡
Impédance et déphasage
𝑚 𝜋 𝐼 𝜋
𝑈 = 𝑅𝐼𝑚 𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 + 𝐿𝑊𝐼𝑚 cos (𝑤𝑡 + 2 ) + 𝐶𝑊 cos (𝑤𝑡 − 2 )
63
On associe à la tension 𝑈2 un vecteur 𝑉 ⃗⃗2 de norme
𝜋
⃗⃗2 ‖ = 𝐿𝑤𝐼𝑚 𝑒𝑡 𝜑2 = 𝑜𝑥
‖𝑉 ⃗⃗2 = 𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑉 2
On associe à la tension 𝑈3 un vecteur 𝑉 ⃗⃗3 de nome
𝐼𝑚 𝜋
⃗⃗3 ‖ =
‖𝑉 𝑒𝑡 𝜑3 = 𝑜𝑥 ⃗⃗2 = − 𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑉
𝐶𝑤 2
On associe à la tension 𝑈 un vecteur 𝑉 ⃗⃗ de norme
⃗⃗ ‖ = 𝑈𝑚 𝑒𝑡 𝜑 = ( 𝑜𝑥
‖𝑉 ⃗⃗ ) 𝑒𝑡 𝑉
⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑉 ⃗⃗ = 𝑉
⃗⃗1 + 𝑉
⃗⃗2 + 𝑉
⃗⃗3
1 2
2
𝑈𝑚 = [𝑅 2 + (𝐿𝑤 − 𝑐𝑤) ] 𝐼𝑚
2
1
𝐿𝑊−
𝐶𝑊
𝑡𝑎𝑛𝜑 = 𝑅
𝑉1 𝑅𝐼 𝑅
Ou 𝑐𝑜𝑠𝜑 = = 𝑍𝐼𝑚 =
𝑉 𝑚 𝑍
𝑅
𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝑍
Remarque :
1
Si 𝜑 > 0 𝑐 ′ 𝑒𝑠𝑡 − à − 𝑑𝑖𝑟𝑒 𝐿𝑤 > 𝐶𝑤 , la tension est en avance sur l’intensité. Le
circuit est dit inductif
64
1
Si 𝜑 < 0 𝑐 ′ 𝑒𝑠𝑡 − à − 𝑑𝑖𝑟𝑒 𝐿𝑤 > 𝐶𝑤 , l’intensité est en avance sur la tension. Le
circuit est capacitif
Puissance en alternatif
65
𝑈 𝑈
𝐼= ⇒ 𝐼(𝑤) = 2
𝑍
√𝑅 2 +(𝐿𝑤− 1 )
𝐶𝑤
1
Le signe de la dérivée est celui de – (𝐿𝑤 − 𝐶𝑤)
𝑑𝐼 1 1
= 0 ⇒ 𝐿𝑤 − 𝐶𝑤 = 0 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑤 =
𝑑𝑤 √𝐿𝐶
Tableau de variation
𝑢
𝐼𝑅 (𝑤0 ) = 𝑅
𝑤 < 𝑤0 ; 𝑤 = 𝑤0 ; 𝑤 > 0
1
𝑤 < 𝑤0 ⇒ 𝐶𝑤 > 𝐿𝑤. L’effet de capacité l’emporte sur l’effet d’inductance.
1
𝑤 > 0 ⇒ 𝐿𝑤 > 𝐶𝑤 .L’effet d’inductance l’emporte sur l’effet de capacité
66
La résonance correspond au maximum de la courbe. A la résonance, la fréquence imposée par
le générateur est égale à la fréquence propre de l’oscillateur : 𝑁 = 𝑁0
Fréquence à la résonance
1 2
L’impédance d’un circuit 𝑅𝐿𝐶 série 𝑍 = √𝑅 2 + (𝐿𝑤 − 𝐶𝑤)
67
Chapitre 8 : EFFET PHOTO ELECTRIQUES
1. Spectres atomiques
1.1.Spectres d’émission :
Les spectres atomiques d’émission sont constitués de raies fines correspondant à des
radiations monochromatiques bien déterminées. Les spectres d’émission sont caractéristiques
des atomes qui les produisent.
1.2.Spectres d’absorption
Les spectres atomiques d’absorption sont formés de raies noires et fines dans le spectre
continu de la lumière blanche. Les longueurs d’ondes correspondantes ont des valeurs bien
déterminées.
Chaque élément chimique donne un spectre d’émission de raies caractéristique et qui permet
de l’identifier
L’énergie d’un atome d’un atome ne peut prendre que certaines valeurs bien déterminée des
électrons d’un atome. On dit que l’atome est dans un niveau d’énergie.
1
Mécanique classique : 𝐸𝐶 = 2 𝑚𝑉 2
Le passage d’un atome d’un niveau d’énergie à un autre est une transition électronique.
68
2.3.L’énergie d’un Photon
Un faisceau lumineux dans le vide, peut être considéré comme un onde qui se propage ou bien
un ensemble de photons en mouvement à la vitesse C. La longueur d’onde vaut alors :
𝜆 𝐶(𝑚)
𝑚
= Ʋ(𝐾𝑧).
ℎ est une constance universelle qui porte le nom de constante de planch : ℎ = 6,62. 10−34 𝑆𝐼
Solution
1,99.10−18 𝐽 × 1 𝑒𝑟
ou 𝐸 = = 12, 𝑢 𝑒𝑣
1,6.10−19 𝑗
6,63.10−34 × 3.108
AN : 𝐸 = = 3,38. 10−19 𝑗
589.10−19
3,38.10−19 × 1ev
𝑜𝑢 𝐸 = = 2,11 𝑒𝑣
1,6.10−19
Photon infrarouge :
𝐶
𝐸 = ℎ𝜆
6,63.10−38 × 3.108
AN : 𝐸 = = 1,99. 10−20 𝐽
3.10−6
1,99.10−20 × 1 ev
ou 𝐸 = = 0,124 𝑒v
1,610−19
69
2.4.Transition électronique avec émission ou absorption d’un photon
𝐸 = 𝐸𝑛 − 𝐸𝑝 = ℎƲ𝑛𝑝
𝐸 = 𝐸𝑛 − 𝐸𝑝 = ℎƲ𝑛𝑝
L’énergie du photon produit ou abordé est égale à l’énergie des transactions électronique
mise en jeu.
Cette radiation apparait dans le spectre sous forme d’une raie fine et brillante.
Les raies brillantes des spectres d’émission correspondent aux transitions électroniques au
cours desquelles l’énergie de l’atome diminue.
3. Spectre de l’hydrogène
3.1.Niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène
L’atome d’hydrogène étant le plus simple de tous les atomes, son spectre est relativement
facile à interpréter. Nous allons donc admettre la formule qui donne l’énergie des niveaux de
l’atome d’hydrogène. L’électron de l’atome se situe dans la couche (𝑛 = 1) , c’est l’état
fondamental ou de plus base énergie. Dans les états excités, il se place dans la couche
𝐿(𝑛 = 2) , dans la couche 𝑀(𝑛 = 3)…
70
𝐸0
𝐸𝑛 = − ; 𝑛 𝜖 𝑁∗
𝑛2
2,18.10−18 𝐽
𝐸𝑛 Joules : 𝐸0 = 2,18. 10−18 𝐽 ; 𝐸𝑛 = 𝑛2
13,6 𝑒𝑣
𝐸𝑛 électronvolt : 𝐸0 = 13,6 𝑒𝑣 ; 𝐸𝑛 = 𝑛2
𝑛 = 1 ∶ 𝐸 = 𝐸1 − 𝐸0 = 13,6 𝑒𝑣. (é𝑡𝑎𝑡 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙)
−𝐸0
𝑛 = 2 ∶ 𝐸 = 𝐸2 = = −3,4 𝑒𝑣
4
(𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟 é𝑡𝑎𝑡 𝑒𝑥𝑐𝑖𝑡é, 𝑙 ′ é𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑢𝑐ℎ𝑒 𝐿
−𝐸0
𝑛 = 3: 𝐸 = 𝐸3 = = −1,51 𝑒𝑣.
9
(𝑠𝑒𝑐𝑜𝑑 é𝑡𝑎𝑡 𝑒𝑥𝑐𝑖𝑡é, 𝑙 ′ é𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑢𝑐ℎ𝑒 𝐿
𝑛2 > 𝑃2 𝑒𝑡 𝑛 > 𝑝
1 1
𝐸𝑛 − 𝐸𝑝 = 𝐸0 (𝑛2 − 𝑃2 ) = ℎƲ𝑛𝑝
−𝐸0 1 1 𝐸0 1 1
Ʋ𝑛𝑝 = (𝑛2 − 𝑃2 ) = (𝑃 2 − 𝑛 2 )
ℎ ℎ
71
Chapitre 9 : DECROISSANCE RADIOACTIVE
1. Le noyau de l’atome
1.1. La composition d’un noyau
12.10−3 𝑘𝑔
1𝜇 = = 1,66054. 10−27 𝑘𝑔
12 × 6,02.1023
Charge + 𝑒 0 − 𝑒
Deux noyaux isotopes possèdent le même nombre de protons, mais différent par leur nombre
de neutrons plus généralement les noyaux 𝐴𝑍𝑋 𝑒𝑡 𝐴′
𝑍′𝑋 sont des noyaux isotopes de
l’élément 𝑋 .
L’abondance naturelle est le pourcentage en masse de chacun des isotopes dans le mélange
naturel d’un élément.
16 35
8 0 99,76% 17 𝑐𝑙 75,4%
17 37
8 0 0,04% 17 𝑐𝑙 24,6%
18
8 0 0,2%
72
2. La Radioactivité
Un noyau radioactif est un noyau instable qui se désintègre spontanément en donnant un
noyau différent et en émettant des particules 𝛼 𝑜𝑢 𝛽 et, souvent, un rayonnement. Le noyau
qui se désintègre est appelé noyau-père et le noyau obtenu est appelé noyau-fils.
La somme des nombres de charge du noyau-fils et de la particule qui sont formés est égale au
nombre de charge du noyau désintégré (noyau-père) 𝑍 = 𝑧1 + 𝑧2
La somme des nombres de nucléons du noyau-fils et de la particule qui sont formés est égale
aux nombres de nucléons du noyau désintégré (noyau-père) 𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2
Exemple :
𝐴 𝐴−4
o Radioactivité 𝜶 𝑍𝑋 ⟶ 𝑍−2𝑋 + 42𝐻𝑒
238 234
Exemple : 92 𝑈 ⟶ 90 𝑇ℎ + 42𝐻𝑒
On constate que cette équation de désintégration vérifie les deux lois énoncées ci-dessus.
𝐴=𝐴1 +𝐴2
Conservation du nombre de nucléons : 238=234+4
𝑍=𝑧1 +𝑧2
Conservation du nombre de charges 92=90+2
Les particules 𝛼 sont émises avec des vitesses de l’ordre de 20.000𝑘𝑚/𝑠. Ce sont des
noyaux d’hélium 42𝐻𝑒
o Radioactivité 𝜷− : Ce sont des électrons, notés −10 𝑒. Ils sont émis à très grandes
vitesse de l’ordre de 280.000𝑘𝑚/𝑠. et possèdent une grande énergie. L’équation
s’écrit : 𝐴𝑍𝑋 ⟶ 𝑍−1𝐴
𝑋 + −10 𝑒
60 60
Exemple : 27𝐶0 ⟶ 28𝑁𝑖 + −10 𝑒
Dans la classification périodique, le noyau-fils est placé dans la case suivante de celle du
noyau-père
32𝑃⟶ 32
15 16
𝑆 + −10 𝑒
𝑃ℎ𝑜𝑠𝑝ℎ𝑜𝑟𝑒 ⟶ 𝑆𝑜𝑢𝑓𝑟𝑒
14 𝑆⟶ 14
6 7
𝑁 + −10 𝑒
73
𝐶𝑎𝑟𝑏𝑜𝑛𝑒 ⟶ 𝑎𝑧𝑜𝑡𝑒
o Radioactivité 𝜷+ :
Dans la radioactivité 𝛽1+ il y’a émission de position ( +10 𝑒). Le bilan s’écrit donc :
𝐴 𝐴 0
𝑍𝑋 ⟶ 𝑍−1 𝑋 + +1 𝛽
Dans la classification périodique, le noyau-fils est placé dans la case précédant de celle
du noyau-père.
Exemple :
13
7
𝑁 ⟶ 13
6
𝐶 + +10 𝑒
30
15
𝑃 ⟶ 30 𝑆 + +10 𝑒
14 𝑖
19
𝑁
10 𝑖
⟶ 19
9
𝐹 + +10 𝑒
o Désintégration 𝜕
L’énergie 𝐸 du photon est liée à la fréquence 𝜗 ou à la longueur d’onde 𝜆 de l’onde par les
formules :
𝐶
𝐸 = ℎ𝜗 = ℎ 𝜆
𝐴′ 𝐴′
𝑍′ 𝑋∗ ⟶ 𝑍′𝑋 +𝜕
4. Décroissance radioactive
Le nombre de noyau (ou d’atome) d’une source radioactive diminue constamment au cours du
temps par transformation en d’autres noyaux. La loi de décroissance radioactive permet le
calcul du nombre de noyaux (atomes) restant à un instant 𝑡 quelconque.
Lors de la désintégration, notons 𝑁0 le nombre initial des noyaux radioactifs 𝑋(𝑡 = 0); 𝑁
leur nombre à l’instant 𝑡 𝑒𝑡 𝑁 + 𝑑𝑁 leur nombre à l’instant infiniment voisin 𝑡 + 𝑑𝑡:
74
𝑋 ⟶ 𝑌+𝑃
𝑡=𝑜 𝑁0
𝑡 𝑁
𝑡 + 𝑑𝑡 𝑁 + 𝑑𝑁
𝑁 − (𝑁 + 𝑑𝑁) = −𝑑𝑁
𝜆 est une constante de proportionnalité qui dépend de la nature du noyau 𝑋 et porte le nom de
constante radioactive du nucléide.
La fonction 𝑁(𝑡) est une exponentielle décroissante. C’est pourquoi on utilise l’expression
décroissance radioactive
75
b) Relation entre 𝝀 𝒆𝒕 𝑻
𝑁
Utilisons la loi de décroissance radioactive sous la forme 𝑙𝑛 𝑁 = −𝜆𝑡
0
𝑁0
𝑁0 1
𝐴𝑡 = 0 le nombre est 𝑁0 et à 𝑇, il vaut donc 2
= −𝜆𝑡 ; 𝑙𝑛 2 − 𝜆𝑡
2 𝑁0
−𝑙𝑛 = −𝜆𝑡
𝑙𝑛2 0,69
𝑇= ≃
𝜆 𝜆
Remarque : L’ancienne unité d’activité : le curie (𝐶𝑖) est encore utilisée ; c’est l’activité de
1𝑔 de radium et 1 𝐶𝑖 = 3,7. 1010 𝐵𝑞
Soit 𝐴 l’activité d’une source à l’instant 𝑡 . Avec −𝑑𝑁 le nombre de désintégration pendant
−𝑑𝑁 −𝑑𝑁
le temps 𝑑𝑡, en 1𝑠, le nombre de désintégration vaut donc .Ainsi : 𝐴 =
𝑑𝑡 𝑑𝑡
76
b) La période (ou demi-vie) du thorium 227 vaut : 𝑇 = 18,3 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠 . Calculer l’activité
𝐴0 d’un échantillon de masse 1𝑚𝑔 de thorium 227 90
𝑇ℎ. 𝑁 = 6,02. 1023 𝑚𝑜𝑙 −1
c) Quelle masse de thorium 227 de l’échantillon. Considéré a-t-elle disparu au bout de
36h ? Quelle est alors l’activité de l’échantillon ?
Solution :
La courbe conduit à :
227 = 4 + 𝐴 𝐴 = 223
{ ⇒{
90 = 2 + 𝑍 𝑍 = 88
𝑙𝑛2 0,693
𝜆= = 18,3 = 4,38. 10−7 𝑆 −1
𝑇 × 24 ×3600
10−3
𝑁0 = × 6,02. 1023 = 2,65. 1018 𝑛𝑜𝑦𝑎𝑢𝑥
227
𝐴0 = 1,16. . 1012 𝐵𝑞
𝑚 = 0,945𝑚𝑔
𝑚′ = 1 − 0,945 = 0,055𝑚𝑔
5.1. La Fission
Il y’a fission ‘un noyau lorsque le choc avec un neutron le brise en deux noyaux plus légers.
77
235 94 140
Exemple : 10𝑛 + 92 𝑢 ⟶ 38 𝑆𝑟 + 54 𝑋𝑒 + 2 10𝑛
𝑈𝑟𝑎𝑛𝑖𝑢𝑚 𝑆𝑡𝑟𝑜𝑛𝑡𝑖𝑢𝑚 𝑋é𝑛𝑜𝑛
1 235 91 140
0𝑛 + 92 𝑢 ⟶ 𝐾𝑟 +
36 56 𝐵𝑎 + 3 10𝑛
𝑈𝑟𝑎𝑛𝑖𝑢𝑚 𝐾𝑟𝑖𝑝𝑡𝑜𝑛 𝑏𝑎𝑟𝑦𝑢𝑚
La fission de l’Uranium s’effectue en chaine, car elle produit d’avantage de neutrons qu’elle
consomme. Les réactions de fission de l’uranium sont provoquées par des neutrons
thermiques.
Il y’a fusion lorsque deux noyaux légers s’unissent et constituent un noyau plus lourd.
2𝐻 + 2𝐻
1 1 ⟶ 31𝐻+ 11𝐻
𝐷𝑒𝑢𝑡é𝑟𝑖𝑢𝑛 𝑇𝑟𝑖𝑡𝑜𝑛
Exercice d’application
78
Solution :
1) a- L’unité légale d’activité d’un corps radioactif est le becquerel (𝐵𝑞). La constante 𝜆
est la constante radioactive.
𝐴(𝑡)
𝐴𝑡 = 0, 𝑜𝑛 𝑎 𝑁 = 𝑁0 𝑑 ′ 𝑜ù 𝐴0 = 𝜆𝑁0 . Il convient 𝐴(𝑡) = 𝐴0 𝑒 −𝜆𝑡 𝑑 ′ 𝑜ù = 𝑒 −𝜆𝑡
𝐴0
c- La période radioactive est la durée 𝑇 au bout de laquelle la moitié des noyaux initialement
présents dans l’échantillon a disparu.
𝑁0 1
𝑁= 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡 = 𝑇 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑒 𝑁 = 𝑁0 𝑒 −𝜆𝑡 𝑜ù 𝑜𝑛 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑒 −𝜆𝑡 = 2
2
𝑙𝑛2
𝑇= 𝜆
2) a- L’équation
14
7𝑁 + 10𝑛 ⟶ 14
6𝐶 + 11𝐻
b- 14
6𝐶 ⟶ 14
7𝑁 + −10𝑒
𝑇 𝐴0
𝑡 = 𝑙𝑛2 𝑙𝑛 𝐴
5590 1350
AN : 𝑡 = 𝑙𝑛 = 11484 𝑎𝑛𝑛é𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑣𝑖𝑟𝑜𝑛
𝑙𝑛2 325
Cette réaction nucléaire libère de l’énergie sous deux formes : l’énergie cinétique et de
l’énergie rayonnante.
79
Après la réaction : 𝑚𝑎 𝑝 = 𝑚( 226𝑅𝑛 ) + 𝑚( 4𝐻𝑒 )
𝑚𝑎 𝑝 = 221,970 + 4,0015 = 225,9718 𝜇
Conclusion : Dans toute réaction nucléaire spontanée, la masse des noyaux après la réaction
est inférieure à la masse des noyaux avant la réaction
C’est la perte de masse qui est à l’origine de l’énergie libérée par une réaction nucléaire.
Toute particule de masse 𝑚 possède au repos, une énergie 𝜀0 donnée par la relation :
𝜀0 = 𝑚𝑐 2 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑐 = 3. 108 𝑚/𝑠
On appelle défaut de masse d’un noyau, la différence entre la masse des nucléons séparés et
au repos, et la masse du noyau au repos
L’énergie de liaison 𝐸𝑒 d’un noyau du nucléide 𝐴𝑍𝑋 est l’énergie libérée, lois de sa formation
à partir des nucléons sépares et au repos : 𝐸𝑒 = [𝑍𝑚𝑃 + (𝐴 − 𝑍)𝑚𝑛 ]. 𝑐 2 − 𝑚 × 𝑐 2
L’énergie de liaison 𝐸𝑒 d’un noyau est l’énergie qu’il faut lui fournir lorsqu’il est au repos,
pour le dissocier en ses nucléons isolés et séparés.
80
6.3.2. Fission et fusion
La fission est une réaction nucléaire provoquée au cours de laquelle un noyau lourd
éclate généralement en deux fragments sous l’impact de neutron. La fission de
certains noyaux libère de l’énergie.
La fusion est une réaction nucléaire provoquée au cours de laquelle deux noyaux
légers fusionnent pour former des noyaux plus lourds.
L’énergie 𝑄 libérée sous la forme d’énergie cinétique et de rayonnement lors d’une réaction
nucléaire est égale au produit de la perte de masse par : 𝑐 2
𝑄 = (𝑚𝑎 𝑉 − 𝑚𝑎 𝑃)𝑐 2
Exemple : Le combustible des réactions de fusion dans les futures centrales est un mélange de
deutérium (𝑑) et de tritium (𝑡). La réaction de fusion est la suivante :
2
1𝐻 + 31𝐻 ⟶ 42𝐻𝑒 + 10𝑛
Données :
𝑚(𝑑) = 2,01355 𝑈 ;
𝑚(𝑡) = 3,01550 𝑈;
𝑚(𝑛) = 1,00866 𝑈 ;
𝑚( 42𝐻𝑒 ) = 4,00150 𝑈
Solution :
= 1,889. 10−2 𝑈
𝑄 = (𝑚𝑎 𝑉 − 𝑚𝑎 𝑃)𝑐 2
81
2) L’énergie libérée lors de la formation d’une mole d’hélium vaut :
𝐸 = 𝑁𝐴 × 𝑄
Solution
92 ≠ 38 + 𝑧
⇒ 𝑍 = 54
235 94
L’équation est 92𝑈 + 10𝑛 ⟶ 38𝑆𝑟 + 140 1
54 𝑋𝑒 + 2 0𝑛
2) a- La perte de masse
𝑚𝑎 𝑉 − 𝑚𝑎 𝑃 = 0,19826 𝑈
b- Energie
𝜀 = (𝑚𝑎 𝑉 − 𝑚𝑎 𝑃)𝐶 2
82
𝜀 = 2,9588. 10−11 𝐽
𝑒𝐴 − 𝑀𝑒𝑉
2,9588.10−11
𝜀 = 1,6022.10−13 = 184,67𝑀𝑒𝑉
83
Bibliographie
Guy Fontaine, Physique Terminale D, Nathan, 1989
J Bourdais, Physique Terminale CE, Bordas 1989
Physique Terminale CE, Collection Eurin-Gie, Hachette 1989
L’Essentiel Terminale CDE, BETTENG, 2006
2