ACinématique

« Le Praticien »
Sciences physiques Terminales Scientifiques
CINEMATIQUE
Exercice 1 :
Un point M est mobile sur un axe (’). Son accélération est à
chaque instant 2m/s², son abscisse initiale est 9m et sa vitesse initiale
- 10 m/s.
1. Ecrire l’équation du mouvement.
2. Déterminer l’abscisse minimum de M et l’instant correspondant
3. Calculer l’intervalle de temps qui s’écoule entre l’instant initial et
les deux passages à l’origine des abscisses.
4. Calculer la vitesse de M aux deux passages à l’origine des
abscisses.
5. Calculer la vitesse de m lorsqu’il passe à l’abscisse 3m.
Exercice 2:
Un mobile M supposé ponctuel, est assujetti à sa déplacer sur une
droite (’). son accélération est constante. A l’instant = 2 , il se
trouve au point d’abscisse = 5 et est animé d’une vitesse
= 4 / . A l’instant = 5 , M se trouve au point d’abscisse
= 35 et est animé d’une vitesse = 16 / .
1. Déterminer l’accélération du mouvement, la vitesse et l’abscisse à
l’instant zéro. Ecrire l’équation horaire du mouvement.
2. Déterminer l’instant où le mobile change de sens. Quelle est alors
sa position ?
3. Un deuxième mobile M’ se déplace sur la même droite d’un
mouvement uniforme. Aux instants = 2 et = 5 , il se trouve en
des points d’abscisses respectives ′ = 71 ′ = 57,5 .
Déterminer l’équation horaire du mouvement de M’.
4. A quel instant les deux mobiles se croiseront – ils ? En déduire le
lieu du croisement.
Prof : TEKPOLO Crédo 2

tekpolocredo@yahoo.fr
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Exercice 3:
Un mobile se déplace sur une trajectoire rectiligne. L’expression de
l’accélération du mouvement en fonction du temps est = −3 .
Sachant qu’à la date = 1 , la vitesse de ce mobile est 1 / et son
abscisse est de 4 , écrire sa loi horaire.
1. Soient deux axes rectangulaires () et (). Un point mobile
M se déplace dans le plan xOy. Ses projections m et m’ sur les axes
() et () ont les mouvements définis par :
= 1 + ; = !".
a) Quelle est l’équation cartésienne de la trajectoire. En déduire sa
forme.
b) Montrer que le mouvement de M est uniforme.
c) Calculer son accélération.
d) Si la troisième projection ’’ de M sur un axe (#),
perpendiculaire à () et () et tel que l’ensemble forme un
repère orthonormé était # = 2, quelle serait la forme de la
trajectoire ?
Exercice 4:
Cet exercice a pour but de montrer que dans un repère de FRENET,
l’accélération possède deux composantes %%%& $ et %%%%&
' en prenant
l’exemple d’un mouvement circulaire uniformément varié.
Considérons un point mobile M en mouvement circulaire non
uniforme, dans le repère cartésien (; (&; )&). Voir figure. M est repéré
à l’instant t par son abscisse angulaire ∝= (+,). Le rayon de la
trajectoire est R. Toutes les réponses seront données en fonction de R
et/ ou de ∝.
1. a/ dans le repère cartésien, donner les coordonnées des vecteurs & et
"%&.
b/ Dans le repère cartésien, donner les coordonnées du vecteur
position de M.

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2. a/ Dans le repère cartésien donner les coordonnées du vecteur

vitesse.
b/ en déduire, à l’aide de 1. a/ l’expression du vecteur vitesse dans la
base de FRENET.
3. a/ Dans le repère cartésien, donner les coordonnées du vecteur
accélération.
b/ En déduire à l’aide de 1. a/ que l’accélération possède dans le
repère de FRENET deux composantes, une tangentielle et l’autre
normale dont on établira les expressions en fonction de R et ∝.
&
"%& 1(2; 3)
$
%%%&
'
%%%%&
+ )&
&
/ (& 0
Exercice 5 :
Un solide en translation décrit une trajectoire rectiligne (- -’)
d’origine o et de vecteur unitaire i. le début du mouvement correspond
à l’instant t=0. Un point du solide est repéré par son abscisse X :
%%%%%%&
, = (&. L’équation horaire de sa trajectoire s’écrit :
= −3² + 24 − 36. L’unité de longueur est le mètre et l’unité de
temps est la seconde.
1. Déterminer les valeurs des vitesse et accélération du centre
d’inertie du solide
2. Quelles sont les conditions initiales portant sur le vecteur position
et le vecteur vitesse.

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3. A quelle date le mobile passe t –il par l’origine de l’axe ? Donner le

sens des vecteurs vitesses à ces dates.
4. A quelle date la vitesse s’annule t – elle ? Sur quels intervalles de
temps le mouvement est – il accéléré ? Retardé ?
Exercice 6 :
On repère le mouvement d’un point mobile M dans le repère
orthonormal 4; (& ; )& ; 5%& 6. On appelle %%%%%%&
, son vecteur position, & son
vecteur vitesse et & son vecteur accélération.
1. Donner les relations vectorielles qui définissent & en fonction de
%%%%%%&
, et & en fonction de &. En déduire la relation qui lie & et %%%%%%&
, .
Dans le repère 4; (& ; )& ; 5%&6, ,
%%%%%%& = 3 (& + (7 − 5 ))& où t est le
temps.
2. Montrer que le mouvement a lieu dans un plan que l’on précisera.
3. a/ Donner les équations horaires du mouvement. On appellera
, # les coordonnées du point M dans le repère 4; (& ; )& ; 5%& 6.
b/ Calculer à l’instant la distance ,.
4. Donner les expressions en fonction du temps des composantes
: pour
; 7 ; 8 du vecteur vitesse. On utilisera la notation 9()
désigner la dérivée de 9().
5. a/ Calculer la vitesse du point mobile à l’instant .
b/ Déterminer la vitesse minimum de et l’instant auquel
atteint cette valeur minimum.
c/ Indiquer quand le mouvement du point est accéléré et quand le
mouvement est retardé.
6. Déterminer les composantes de & à l’instant . On précisera la
direction de & à cet instant.
7. Déterminer la valeur de l’angle α que fait le vecteur vitesse avec
l’axe (Ox) à l’instant zéro.
8. a/ Donner les expressions en fonction du temps des composantes
; 7 ; 8 du vecteur accélération.
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b/ Donner l’expression vectorielle de & dans le repère 4; (& ; )& ; 5%& 6.
c/ Représenter sur un schéma le vecteur accélération.
Exercice 7 :
Un mobile est lance sur un plan incliné dans un repère 4; (& ; )& ; 5%&6 ;
le plan coïncide avec le plan ( ; (& ; )&). Le mobile est assimilé à un
point M situé à l’origine du repère à l’instant = 0. Le vecteur
, = (& + )& + # 5%& . Au cours du
position du mobile est %%%%%%&
mouvement, son accélération est & = − )& avec = 4 / ². A
l’instant du lancement sa vitesse est %%%%&
< = 2 (& + 4 )&.
1. Déterminer le vecteur vitesse à l’instant du mobile et le vecteur
%%%%%%& à l’instant . En déduire que le mouvement est plan.
position ,
2. Déterminer l’équation de la trajectoire. Donner l’allure de cette
trajectoire.
3. Le centre d’inertie du mobile coupe l’axe (xx’) en un point A à la
date .
a/ Déterminer => et .
b/ Déterminer le vecteur vitesse > ; le comparer à .
4. L’ordonnée de M passe par un maximum en un point S.
déterminer l’ordonnée et l’abscisse correspondante, l’instant de
passage en S et le vecteur vitesse en ce point.
Exercice 8 :
A la surface de la terre, on lance verticalement et vers le haut avec une
vitesse
%%%%&< un objet de masse m. on néglige les frottements de l’air. On
introduit un repère orthonormal 4; (& ; )& ; 5%& 6 fixe dans le référentiel
terrestre supposé galiléen. L’origine du repère coïncide avec la
position du centre d’inertie G au moment du lancement pris comme
instant initial. L’axe (Oz) de vecteur unitaire 5%& est vertical et pointant

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vers le haut. Tout au cours de son mouvement, l’objet est soumis à

l’accélération & = −? 5%& .
1. Préciser quels sont les vecteurs vitesse et position de G à l’instant
initial.
2. Déterminer : ; : ; #: les composantes de & vecteur vitesse de G.
3. En déduire la forme géométrique de la trajectoire de G.
4. Etudier la fonction #: (). On montrera que cette fonction s’annule
pour . On exprimera en fonction des composantes du problème
< ?.
Exercice 9 :
1. Une automobile décrit une trajectoire rectiligne dans un repère
(O ;I). son accélération est constante. A l’instant < = 0 l’automobile
part d’un point ,< . A l’instant = 3 l’automobile passe par le ,
d’abscisse = 59 à la vitesse algébrique = 6 / . Elle arrive
ensuite au point , d’abscisse = 150 à la vitesse algébrique
= 20 / .
a) Etablir l’équation horaire du mouvement de l’automobile.
b) A quel instant l’automobile passe t – elle par le point , ?
c) Calculer la longueur A du trajet effectué par l’automobile
pendant la phase d’accélération dont la durée est fixée à 20 .
2. A la date B = 1 , une moto se déplaçant sur la même trajectoire
à la vitesse constante C = 20 / passe par le point ,’ d'abscisse
C = −5 . Pendant toute la durée du mouvement fixé à 20 , la moto
va d abord dépasser l'automobile ; ensuite l’automobile va rattraper la
moto. Déterminer :
a) L’équation horaire du mouvement de la moto.
b) Les dates de dépassement et les abscisses de ces
dépassements.
c) La vitesse de l’automobile au moment où elle rattrape la
moto.

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d) La distance D parcourue par la moto entre les instants B = 1 et

la date où elle dépasse l’automobile.
Exercice 10 :
Sur une voie rectiligne, un élève dans un véhicule électrique, part d’un
point A avec une accélération de 0,90m/s². en B, il coupe le courant et
le mouvement devient uniformément retardé d’accélération 0,10m/s².
en C, à la distance +E = 450 , le véhicule s’arrête. Calculer la
vitesse en B, la distance AB et la durée du trajet AC.
Exercice 11 :
Un mobile est animé d’un mouvement de translation rectiligne dans
un repère (O,I). le mouvement comporte deux phases dont la première
dure 30s. Un chronomètre a relevé la vitesse en fonction du temps.
Après conversion on obtient le tableau suivant :
T(seconde) 0 10 20 30 40 50 100 150
V (m/s) 0 4 08 12 11 10 5 0
1. Tracer le graphiqueF = 9(). Echelle : 1cm pour 4m/s en ordonnée

et 1cm pour 20s en abscisse.
2. Etablir l’équation horaire du mouvement pour chaque phase.
Préciser la nature du mouvement pendant chaque phase. La position
du mobile est repérée à chaque instant par son abscisse comptée à
partir de l’origine O du repère.
3. a/ Calculer la longueur du trajet parcouru par le mobile pendant
toute la durée du mouvement.
b/ Montrer que cette distance est représentée par l’aire de la figure
donnée la graphique de la question 1.
4. Quelle est la distance parcourue à la date = 60 ?Quelle est alors
sa vitesse?

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Exercice 12 :
1. Une voiture de masse , = 12005? se déplace sur une route
horizontale rectiligne. Elle est soumise à des actions mécaniques
extérieures de deux types :
• Les actions motrices, modélisées par un vecteur force H& ,
parallèle à la route, d’intensité constante H = 3000I, appliqué au
centre d’inertie ;
• Les actions résistantes, modélisées, tant que la vitesse est
inférieure à 20 / , par un vecteur une force 9& d’intensité inconnue
mais constante, de sens opposé à celui du déplacement et appliqué au
centre d’inertie de la voiture. Afin de déterminer l’intensité de la force
9&, on procède à la mesure de la vitesse de la voiture à l différentes
dates, durant la phase de démarrage (vitesse inférieure à 20m/s). on
photographie les postions successives de la voiture toutes les
secondes. On a alors relevé les valeurs prises par la position de son
centre d’inertie G (tableau 1).
a) Indiquer une méthode pour évaluer la vitesse de la voiture à une
date donnée. Donner dans un tableau les valeurs de la vitesse ()
aux dates 1s ; 2s ; … ;6s.
b) Représenter graphiquement les variations de cette vitesse en
fonction du temps. Donner l’équation de la courbe (). Echelle : 1cm
pour 1s et 1cm pour 1m/s.
1. En utilisant des capteurs électroniques placés sur la transmission,
on enregistre directement la vitesse de la voiture durant son
mouvement, même dans un domaine de vitesses plus élevées. Ces
mesures sont consignées dans le tableau 2.
a) Tracer la courbe = 9() et montrer que qu’il est bien en
accord avec celui de la question 1.b/. Echelles : 1cm pour 5s et 1cm
pour 5m/s.
b) On observe l’hypothèse d’une force H& constante.. montrer que
l’allure de la courbe tracée dans ce graphe permet d’indiquer
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qualitativement comment évolue la valeur de la force 9& au fur et à

mesure que la vitesse augmente.
c) A partir du graphe, déterminer l’accélération pour une vitesse de
40 / . En déduire la valeur de 9& à cette vitesse.
t(s) 0 1 2 3 4 5 6 7
( ) 0 1 4 9 16 25 36 49
Tableau 1
t(s) 0 3 5 6 7,5 10 15 20 25 30 40 50 60
( / ) 0 6 10 12 15 20 27 32 37 40 45 48 49
Tableau 2
Exercice 13 :
Un élève lance un solide de centre d’inertie G et de masse = 500?
vers le haut de la ligne de la plus grande pente d’un plan incliné de
l’angle ∝= 30° sur l’horizontale. Un camarade filme la scène de profil
afin de pouvoir effectuer l’étude du mouvement de G sur le plan de
longueur +K = 2,00 . Mais le mobile sort du plan incliné en B avec
la vitesse L = 2,0 / , la vitesse initiale étant de 10,2 / .
Concernant le mouvement aérien du mobile, un logiciel de traitement
a permis d’obtenir l’enregistrement 1, 2 et 3 suivants :
3(R) 2(R) V3 (R/U)
S
° °° ° ° ° ° ° T(U)
M M, S M, X M, W
M, O °
° −P
°
M, N °
° S °°
° −N
M M, P
°
M, Q ° 2(R) °°
° ° −Q
−M, N M, N
° °°
° °
−M, O ° M° M, P M, N M, Q T(U)
Courbe 1 Courbe 2 Courbe 3

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[&
∝
Z&
A
O
a) Qualifier puis justifier le mouvement de la projection sur l’axe

horizontal au vu de la courbe 2.
En déduire les coordonnées du vecteur vitesse, du vecteur
accélération.
b) Calculer à partir de la vitesse L .
Comparer avec la valeur précédente.
c) Vérifier que la valeur initiale lue sur la courbe
3 s’accorde avec les données. Proposer une relation liant la
composante 7 et la date au vu de cette courbe. En déduire les
coordonnées 7 de l’accélération.
d) Retrouver l’équation de la trajectoire et justifier la forme de la
courbe 1. Tracer le vecteur accélération sur la courbe 1 aux dates
0,20 ; 0,60 ; 0,80 . Que pensez – vous des forces exercées sur le
mobile dans cette phase ?
e) Sur cette trajectoire, où se trouve le mobile aux dates
0,10 0,60 ? quelle est à chaque fois son altitude et sa
vitesse ?
f) Quel temps mettrait le mobile pour atteindre l’horizontale
= −0,20 s’il tombait de B sans aucune vitesse ? comparer au
temps mis ici.
Exercice 14 :
1. Un engin portant une balle de tennis effectue un trajet entre deux
stations. Partant de la première station, le conducteur lance son engin
avec une accélération de valeur = 0,85 / ². Au bout d’une durée
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\ , lorsqu’il juge la vitesse suffisante pour pouvoir atteindre l’autre

station,, il coupe définitivement le courant. Différentes forces de
frottements ralentissent l’engin avec une accélération =
0,05 / ² . L'engin s'arrête à la deuxième station séparée de la
première par une distance D = 1500 . Calculer :
a) Les durées \ et\ des deux phases du parcours.
b) Les longueurs A et A de ces deux phases.
c) La vitesse maximale de l’engin entre les deux stations.
d) Sans justifier le tracé et en utilisant les résultats des trois
premières questions, représenter graphiquement les fonctions :
= 9() Équation des espaces
= ?() Équation des vitesses
= ℎ() Équation des accélérations.
2. Quand l’engin s’est arrêté à la deuxième station, la balle se détache
de l’engin sans vitesse initiale. La balle va heurter le sol situé à
^ = 40 plus bas. La balle rebondit verticalement de telle sorte que
la hauteur de chaque rebond soit égale à 0,64 fois la hauteur du
précédent rebond.
a) Quel temps \< met la balle pour arriver au sol juste avant le
premier rebond ?
b) Quelle est la durée \′ que met la balle après le premier rebond,
pour monter et redescendre ?
c) Faire le même calcul pour déterminer \' après le nième rebond.
d) Quelle durée totale met la balle depuis son lâcher jusqu’à la fin
du nième rebond ?
e) En déduire que la suite de rebonds infinie a une durée finie que
l’on déterminera.

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Exercice 15 :
La position d’un mobile M se déplaçant dans un plan muni d’un
repère (; (&; )&) est déterminé à chaque instant par les équations
horaires suivantes :
%%%%%%& = b (c + d)e
, ∶ a avec b = 8 c = 2fgD. h .
= b !"(c + d)
1. Déterminer d sachant qu’à l’instant = 0 , le mobile se trouve
au point ,< de coordonnées (< = −b ; < = 0).
2. a/ Montrer que la valeur de la vitesse du mobile est constante.
b/ Montrer que la valeur de l’accélération du mobile est constante.
c/ Trouver la nature du mouvement du mobile.
3. a/ Montrer que les vecteurs accélération et position sont colinéaires.
b/ En déduire le sens du vecteur accélération.
4. a/ Représenter la trajectoire du mobile dans le repère (; (&; )&) à
l’échelle ij.
b/ Placer sur cette trajectoire les points ,< , , , , , ,k du mobile aux
instants
< = 0 , = 0,25 , = 0,5 , k = 1/8 .

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Chapitre I :
CINEMATIQUE
Exercice 1 :
= 2 / ² ; < = 9 ; F< = −10 /
≠ 0. Donc le mouvement est rectiligne uniformément varié.

1. Equation horaire
Alors :

= ² + F< + <
2 = T² − SMT + 4
2. Abscisse minimum de M
p
est minimum si : = = 0 et change de signe. On a :
: = 2 − 10 ⇒ 2 − 10 = 0
p$
T = WU. Alors : 2RÙé = −SQR/U

3. Temps ∆ ∆′ qui s’écoule entre < = 0 et les deux
passages par l’origine du repère.
ã' 0 <

Aux deux passages on a :

² − 10 + 9 = 0
∆C = 16 ; ∆T = SU et ∆TC = 4U.
A = 1 ; S = −OR/U
4. Vitesse de M aux deux passages

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= 9 ; P = OR/U
5. Vitesse de M en = 3
∆F² = 2∆ ⇔ F² − F< ² = 2( − < )
F² = F< ² + 2( − < )
= 7M ² + PÛ(2 − 2M )
= O, 8PR/U
Exercice 2 :
=
1. Accélération du mouvement
∆F = ∆ ⇔ F − F = ( − )
P hS
TP hTS
=Û
Û = NR/U²
• Vitesse F< et l’abscisse < à < = 0

= ² + F< + < . alors :

= ² + F< + <
9
e
= ² + F< + <
La résolution donne : M = −N&R/U et 2M = W&R.
: = 4 − 4 ⇒ 4 − 4 = 0 . soit T = SU
2. Instant où M change de sens
• Position du mobile à cet instant.

2 = X&R
3. Equation horaire de M’
Le mouvement est rectiligne uniforme. Donc :
C = F<C + < ′ . alors :

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⇒
C = F<C + < ′
a C <C = 80 ; F<C = −4,5 / e
= F< + < ′
C
Donc l’équation horaire est : 2C = −N, WT + OM

4. Date de croisement
Le croisement a lieu si : = ′
2² − 4 + 5 = −4,5 + 80 ⇔ 2² + 0,5 − 75 = 0 . on
obtient : Tu = QU
• Lieu du croisement
= −4,5 + 80 ⇒ 2u = WX&R
Exercice 3 :
1. = −3
= −3 ⇒ F = −1,5² + F< . Où F< est la vitesse à la

Loi horaire du mouvement :
l’instant = 0.
A = 1 , F = −1,5 ² + F<
F< = 2,5 /
Alors : F = −1,5² + 2,5 ⇒ = −0,5 k + 2,5 + <
= −0,5 k + 2,5 + < ⇒ < = 2
Donc l’équation horaire du mouvement est :
2 = −M, WTX + P, WT + P
2. = 1 + ; = !"
=1+ ⇒
a) Equation cartésienne de la trajectoire
=−1
² + !"² = 1 ⇔ (2 − S)P + 3² = S
• La trajectoire est un cercle
b) Montrons que le mouvement est uniforme

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⇒ F %& = p( :: = − !"e

%%%%%%& =1+ %%%%%%%&
, :
= !" p$ : =
ûF %& û = 7(− !") + ² = 1
ûF %& û = . D’où le mouvement est uniforme.
c) Accélération du mouvement
p
Le mouvement est circulaire et uniforme. Donc $ = p$
= 0.
²
Alors : = ' = ö
où b = 1 (rayon de la trajectoire)
Û = SR/U²
d) # = 2
Forme de la trajectoire :
( ; ) et rectiligne uniforme suivant l’axe (#), la

Le mouvement étant circulaire et uniforme dans le plan
trajectoire sera donc hélicoïdale.
Exercice 4 :
1. a/ Coordonnées des vecteurs & et "%&
& %%%%%%&
, = −, ÒÒÒÒÒ ∙ "%& = −b ∙ "%&
,
%é& = − %%%%%%%&
S S
/1 = − (2Z& + 3[&)
"%& à à
& étant normal à "%&, on a :
y
S
T& = − (3Z& − 2[&) à
b/ Coordonnées de M

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= b ye
,:
= g !"y
%&
2. a/ Cordonnées cartésiennes de F
%%%%%%& 2: = −à ;: UÙé;e
⇒ %& :
D,
3: = à ;: &æU;
%& =
F
D
%& :2: = − ;: 3e
3: = ;: 2
b/ Coordonnées de F %& dans la base de Frenet
A partir des expressions de & et "%& dans la base ((& ; "%&), on
déduit :
7 7
(& = − ö "%& − ö & et )& = − ö "%& + ö &.
Donc :
%& = −y: (& + y: )&
F
%& = −y: ù− "%& − 7 &ú + y: ù− 7 "%& + &ú
F ö ö ö ö
%& = <: (² + ²)&. Or ² + ² = b²
F ö
%& = <: × b²&
F ⇒ %& = ;: àT& dans la base de FRENET.

ö
3. a/ Coordonnées cartésiennes de &
%&
p
& = p$
& :
Ö = −byÖ !"y − by: ² y e
Ö = byÖ y − by: ² !"y
2Ö = −;Ö 3 − ;: ²2e
%& :
3Ö = ;Ö 2 − ;: ²3
Û
b/ Coordonnées de & dans la base de FRENET

& = (−yÖ − y: ² )(& + (yÖ − y: ²))&
7 7
& = (−yÖ − y: ² ) ù− ö "%& − ö &ú + (yÖ − y: ²) ù− ö "%& + ö &ú
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& = ö (yÖ + y: + yÖ − y: )& +

(y: ²² + yÖ + y: ²² − yÖ )"%&

ö
<Ö <: ²
& = ö ( + )& + (² + ²)"%&
%Û& = ;Ö à T& + ;: ²àé
ö
%& . D’où & a des composantes
tangentielle et normale. Soit : ÛT = ;Ö à et Ûé = ;: ²à
Exercice 5 :
1. Valeurs de et F
⇒ = −QT + PN
%%%%%%%&
%& = p(
F
p$
⇒
%&
p
& = p$
Û = −QR/U²
2. Conditions sur %%%%%%%%%&
,< et F %%%&<
On a : A = 0 , , %%%%%%%%%&< = −36(& et %%%&
F< = 24(&
3. Dates aux passages par = 0
= 0 ⇔ −3² + 24 − 36 = 0
= 2 et = 6
Sens des vecteurs vitesses :
%%%&
F = 12(& et F %%%& = −12(&
4. Date à laquelle F = 0
F=0 ⇔ −6 + 24 = 0
=4
Intervalle sur lequel le mouvement est accéléré et retardé :
& ∙ F%& = 36( − 4)
Pour ∈ >0 ; 4 >; & ∙ F
%& < 0. Alors le mouvement est retardé
sur >0 ; 4 >.

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Pour ∈ ?4 ; +∞>; & ∙ F

%& > 0. Alors le mouvement est

accéléré sur ?4 ; +∞>.
Exercice 6 :
1. Relation vectorielle entre :
• F%& et %%%%%%&
,
%& = Å/1
%%%%%%%&
ÅT
• & et %%%%%%&
,
%& %%%%%%%& %%%%%%%&
%& = p(. Donc : Û
& = . Or F
p
%& =
Å²/1
p$ p$ ÅT²
2. %%%%%%&
, = 3 (& + (7 − 5 ))&
• Montrons que le mouvement est plan :
En coordonnées cartésiennes on pose :
, = (& + )& + #5%&. Alors : # = 0 . donc pas de mouvement
%%%%%%&
sur l’axe (#). D’où le mouvement est plan dans
( ; (& ; )&)
3. a/ Equations horaires du mouvement
= 3
@ = 7 − 5²e
#=0
b/ Distance ,
, = 7² + ² = T74 + (8 − WT)²
4. Expression de F ; F7 ; F8
p
F = =3
⇒ %& A
%%%%%%%& p$
%& =
F
p(
F p7 e
p$ F7 = = 7 − 10
p$
F8 = 0
« Le Praticien »
5. a/ La vitesse F du mobile
F = Ý F ² + F7 ² + F8 ²
= 74 + (8 − SMT)²
b/ Déterminons F = Fã'
F est minimum 7 − 10 = 0 ⇒ TS = M, 8U
S = XR/U
c/ & = −10)& et & ∙ F%& = 10(10 − 7)
%& < 0. Le mouvement est alors retardé.
pour < , & ∙ F
%& > 0. Le mouvement est alors accéléré.
pour > , & ∙ F
6. Composantes de %%%& F
⇒ e
F =3
%%%& a
F %%%%&S = XZ&
F7 = 0
7. Angle y = ((& ; F %%%&< )
¸B
"y = ¸
"y = 2,33
; = QQ, O°
%%%&
F< F<7
)&
(& F<
8. a/ Composante de & en fonction du temps :

« Le Praticien »
= 0
& = p$ ⇒ & C 7 = −10e
%&
p
8 = 0
b/ Expression de vectorielle de &
%& = −SM[&
Û
c/ Représentation :
)&
&
−10
Exercice 7 :
1. Vecteur vitesse à la date
& = −)& ⇒ F
Par primitivation :
%& = −)& + F%%%&< .
Donc :
%& = PZ& + (N − ÛT)[&
• Vecteur position %%%%%%&
,
%& = 2(& + (4 − ))&
F ⇒ %%%%%%%& = PTZ& + (NT − S ÛT)[&
/1 P
• Déduisons que le mouvement est plan :
, = (& + )& + #5%&. On en déduit que # = 0. D’où
On pose : %%%%%%&
le mouvement a lieu dans le plan (, , ).
2. Equation de la trajectoire

« Le Praticien »
⇒

= 2 =
⇒
S
= 4 − 2² 3 = P2 − P 2²
• Allure de la trajectoire :
)&
(& +
3. a/ Ordonnée > du point + et l’instant en +
> = 0 ⇒ 4 − 2 ² = 0
TS = PU
b/ Vecteur vitesse F %%%%&
>
%%%%&
F > = 2(& − 4)& .
On a alors : F> = 2√5 / = F<
Au sommet : : = 0 ⇒ 4 − 4 = 0
4. Ordonnée et abscisse du sommet S :
T = SU
= 2 e %%%&
Donc : r a et F = 2(&
= 2
Exercice 8 :
%%%&< et %%%%%&
%& = F
1. A = 0, F ¡ = 0 %&
2. a/ Détermination : ; : et #:
« Le Praticien »
& = −?5%& ⇒ F
%& = −?5%& + F %%%&< = F< 5%&. Alors :

%%%&< . or F
%& = (−ÚT + M )§ %&
On en déduit que :
: = 0
@ : = 0 e
#: = −? + F<
b/ La trajectoire est rectiligne et verticale.
3. Expression de
#: = 0 ⇒ −? + F< = 0
M
TS = Ú
Exercice 9 :
A

¢ , < ,k
1. a/ Equation horaire du mouvement :
Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré. Donc :

= ² + F< + <
⇒
P2 ²hS2 ²
On a : F ² − F ² = 2( − ) Û= P(2P h2S )
Û = PR/U²
⇒
D’autre part :
F − F< = ( − < ) F< = F − ( − < )
M = M
⇒
S2 ²
F ² − F< ² = 2(−< ) 2 M = 2S − PÛ
2M = NSR
L’équation horaire est alors : 2 = T² + NS
b/ Calcul de au point ,
« Le Praticien »
= ² + 41 ⇒ = 7 − 1
TP = SM, NNU
c/ Longueur A de la phase d’accélération
A = k − <
A la date k = ∆ , k = ∆² + 41. Donc :
É = ∆T² = NMMR
2. a/ Equation horaire du mouvement de la moto
⇒ C = 20 + <C
le mouvement est rectiligne uniforme. Donc :
C = FC + <C
A = B , C = −5 ⇒ 20B + <C = −5
<C = −5 − 20B = −25
Alors : 2C = PMT − PW
b/ Dates et ′ des deux dépassements
Le dépassement a lieu s : = ′. Soit :
² + 41 = 20 − 25 ⇔ ² − 20 + 66 = 0
∆C = 100 − 66 = 34
Le premier dépassement a lieu à la date T = N, S8U
Le deuxième dépassement a lieu à la date : T′ = SW, OXU
• les abscisses et ′ des deux dépassements :
= 20 − 25 ; 2 = WO, NR
C = 20 C − 25 ; 2C = P4S, QR
c/ : = 2 ⇒ = XS, QQR/U
d/ Distance D parcourue par la moto entre B = 1 et le
premier dépassement :
D = − C ; Å = QX, NR

« Le Praticien »
Exercice 10 :
< = 0,90 / ² = −0,10 / ²

+ K E
+E = 450 ; F = 0
• Calcul de FL , +K et durée
⇒ KE = − Ð
²
Entre B et C : F ² − FL ² = 2 KE
i
Entre A et B : FL ² − F> ² = 2< +K ⇒ +K = Ð

²
¸
On a :
⇔
² ²
+K + KE = +E Ð¸
− Ð = +E
i
ùÐ − Ð ú = +E ⇒ t = D S S
² P0u
¸ i h
ÛM ÛS
t = 4R/U
²
+K = Ð
¸
0t = NWR
FL − 0 = < ∆ et 0 − FL = ∆
⇒
t
= ∆ + ∆ T= ÛM
− Ût
S
T = SMMU
Exercice 11 :
1. Graphique F = 9()

« Le Praticien »
F( / )
+
12
4
150 ( )
0 20 ^ 40 60 80 100 120 140 K
⇒ 2 = M, PT²
2. Equation horaire du mouvement pour chaque phase
1ère phase : F() = 0,4
F() = −0,1 + 15 ⇒ 2 = −M, MWT² + SWT + SOM

2ème phase:
3. a/ Longueur totale du trajet

0
⇒
i ² i ² S ² S S
D= − Å= ù − ú
Ði Ð¸ P ÛS ÛM
Å = 4MMR
b/ Montrons que D est représentée par l’aire A du triangle
+K
= 4MM ç. Û. d’où D est représentée par
(L×>*
!g(+K) =
l’aire du triangle +K.
4. Distance parcourue à = 60
A = 60 , = 900

« Le Praticien »
A = 150 , C = 1305
Donc : D C = D − ( C − )
ÅC = N4WR
• Vitesse à = 60
F C − F = ( C − ) avec F C = 0 ⇒ = ÛP (T − T′)
= 4R/U
Exercice 12 :
1. a/ Méthode des tangentes à la courbe au point d’abscisse

1 2 3 4 5 6
F 2 4 6 8 10 12
b/ Représentation de F = 9()

« Le Praticien »
V(m/s)
12
11
10
0 1 2 3 4 5 6 7 t(s)
2. H =
a) Courbe F = 9()
t(s) 0 3 5 6 7,5 10 15 20 25 30 40 50 60
( / ) 0 6 10 12 15 20 27 32 37 40 45 48 49

« Le Praticien »
V(m/s)
60
55
50
45
40
35
30
25
PX
20
15
10
-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 t(s)
Pour F ≤ 20 / , la force 9& varie uniformément au

b) Analyse de la courbe
cours du temps
Pour F ≥ 20 / , elle augmente peu en fonction de la
vitesse jusqu’à deveirconstante.
c) Détermination de pour F = 40 /
F = 40 / ⇒ = 30
<hk
= k<h<
Û = M, W8R/U²
• Déduisons la valeur de 9
« Le Praticien »
b%&
9& H&
%&
D’après le théorème du centre d’inertie on a :
%& + b%& + 9& + H& = &
⇒ Ø = ¤ − RÛ
Projection suivant le plan :
−9 + H =
Ø = PXSQ
Exercice 13 :
%%%%&
FL
FL7
K
FL
)&
y
+
(&
a) A l’observation de la courbe 2, le mouvement est
rectiligne et uniforme suivant l’axe ().
• Déduisons F et

« Le Praticien »
h<
De la courbe 2, on a : = et la pente = <,½h< = 1,7
⇒
p
Alors = 1,7 F = = 1,7
2 = S, 8R/U
p$
⇒ Û2 =
Å
F = 1,7 / ÅT
=M
b) Calcul de F à partir de FL
Le théorème de l’énergie cinétique suivant l’axe () donne :

F ² − FL ² = ∙ or = 0
F ² = FL ² = FL ² ²y. Soit : 2 = t &æU;

2 = S, 8R/U
c) Vérifions que la valeur initiale lue sur la courbe 3
Sur la courbe 3, on a : A = 0, F7 = 1 / or t =
3
s’accorde avec les données
D’où t = PR/U.
.
UÙé;
La valeur lue sur la courbe 3 s’accorde donc avec les valeurs

données de y et FL .
• Relation de F7 en fonction du temps :
De la courbe 3, on a :
<h
F7 = C + 1 et la pente C = = −10 / .
3 = −SMT + S
<,h<
• Déduction de 7
⇒
pB
F7 = −10 + 1 7 = p$
Û3 = −SMR/U²
⇒
d) Retrouvons l’équation de la trajectoire

= 1,7 = ,À
« Le Praticien »

= −5 ù,Àú + ,À + L avec L = +K ∙ !"y = 1 . D’où
3 = −S, 8X2² + M, W42 + S

l’équation de la trajectoire :
y(m)
1,2
&
0,8
0,6
0,4
0,2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4x(m)
Les forces extérieures sont des forces

constantes :
e) A = 0,1 , , :
= 0,17 e
= 1,05
S = S, 48R/U
A = 0,60 , , :
= 1,02 e
= −0,2
P = W, POR/U
« Le Praticien »
f) Temps que mettrait le mobile pour atteindre l’horizontale

= −0,2 avec FL = 0

K ^ = ?² or ^ = +K !"y − L

+K !"y − L = ?²
^ P(0tUÙé;h3t )
T=Ý Ú
T = M, N4WU
−0,2
• Comparons au temps ′ mis dans le problème.
C = 0,60 . ′ > .
Le mobile est donc soumis dans la réalité à des forces
résistantes.
Exercice 14 :
1. Figure
D D
F
a) Durées \ et \ des deux phases
⇒
²
F ² − 0 = 2 D D = Ði
⇒
i
i ²
0 − F ² = 2 D D = −
Ðj
⇒
i ² i ²
D = D + D D = Ð − Ð
i j
⇒ S = Ý
i ² PÅ ÛS ×ÛP
D=
ùÐ − Ð ú ÛP hÛS
S = SPR/U
i j

« Le Praticien »
D’autre part :
F − 0 = \ ⇒ S = ÛS ; S = SNU

Et : 0 − F = \ ⇒ P = −
S
S
; P = PNMU
ÛP
b) Longueurs D et D des deux trajets
²
D = Ði ; ÅS = ONR
i
²
D = − Ði ; ÅP = SNSQR
j
c) Vitesse maximale FÐ
FÐ = F = SPR/U
d) Représentation de , F et
( )
84
( )
14 240
F( )/
12
( )
14 240

« Le Praticien »
( /r²)

14 240
( )
2. a/ Temps \< que met la balle pour toucher le sol
⇒ M = ÝPÚ

^ = ?\< ²
M = P, OQU
^
b/ Durée \ ′ que met la balle pour monter et
⇒ 0,64^ = ?\²
redescendre

ℎ = 0,64^

,Ï* S,PO
\=Ý
. S = P = PÝ Ú
; S = N, W8U
c/ Expression de \' ′ après le nième rebond
ℎ' = 0,64ℎ'h ⇒ ℎ' = 0,64' ∙ ^
0,64' ∙ ^ = ?\' ² ⇒ \' ² = × (0,8)' = \< ² × (0,8)'
*
\' = \< × (0,8)'

é ′ = PM × (M, O)é

d/ Durée totale ∆\' que met la balle depuis son lâcher
∆é = M + é = M (S + P × M, Oé )
e/ Déduisons que la suite de rebond a une durée finie
la durée des rebonds est donnée par :

« Le Praticien »
' = ∑ ∆\' = \< + 2\< ×

h<,Ï,Gi
h<,Ï
' = \< + 2\< ×

h<,Ï,Gi
<,
lim 0,8'² = 0. Donc : 'Þã = \< +

®¸
TéÄÙR = 4M
'→I <,
Exercice 15 :
%%%%%%& = b (c + d)e
, a
= b !"(c + d)
1. Déterminons d
= b de
A = 0 , %%%%%%%%%&
,< a <
< = b !"d
.
b d = −b ⇒ d = −1
b !"d = 0 ⇒ !"d = 0 . Donc on a: ´ = JÛÅ
2. a/ Montrons que F =
%& = p( ⇒ F %& a: = −bc !"(c + d)e
%%%%%%%&
F p$ : = bc (c + d)
F = ûF %& û = 7: ² + : ²
F = bc7 (c + d) + !"²(c + d) ⇒ = àK = &Tè
b/ Montrons que =
& = p$ ⇒ & a
%&
p Ö = −bc² (c + d)e
Ö = −bc² !"(c + d)
= ‖&‖ = 7Ö ² + Ö ²
= bc²7 (c + d) + !"²(c + d) ⇒ Û = àK² = &Tè
c/ Nature du mouvement

« Le Praticien »
O p
² + ² = b²
on a : p$ = $ = 0 e
N
M
²
= ' = ö
Le mouvement est circulaire et uniforme.
3. a/ Montrons que & et %%%%%%&
, sont colinéaires.
Ö = −bc (c + d) = −c² e
& a
Ö = −bc !"(c + d) = −c²
& = −c²(& − c²)& = −c ((& + )&) ⇒ Û %%%%%%%&
%& = −K² /1
b/ & et %%%%%%&
, sont colinéaires et de sens opposés.


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« Le Praticien »

Sciences physiques Terminales Scientifiques

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Prof : TEKPOLO Crédo 3

2. a/ Dans le repère cartésien donner les coordonnées du vecteur

Prof : TEKPOLO Crédo 4

3. A quelle date le mobile passe t –il par l’origine de l’axe ? Donner le

Prof : TEKPOLO Crédo 6

vers le haut. Tout au cours de son mouvement, l’objet est soumis à

Prof : TEKPOLO Crédo 7

d) La distance D parcourue par la moto entre les instants B = 1 et

1. Tracer le graphiqueF = 9(). Echelle : 1cm pour 4m/s en ordonnée

Prof : TEKPOLO Crédo 8

qualitativement comment évolue la valeur de la force 9& au fur et à

Courbe 1 Courbe 2 Courbe 3

a) Qualifier puis justifier le mouvement de la projection sur l’axe

\ , lorsqu’il juge la vitesse suffisante pour pouvoir atteindre l’autre

Prof : TEKPOLO Crédo 12

Prof : TEKPOLO Crédo 13

Prof : TEKPOLO Crédo 166

 = 2 / ² ; < = 9 ; F< = −10 /

 ≠ 0. Donc le mouvement est rectiligne uniformément varié.

T = WU. Alors : 2RÙé = −SQR/U

Aux deux passages on a :

Prof : TEKPOLO Crédo 167

• Position du mobile à cet instant.

Prof : TEKPOLO Crédo 168

Donc l’équation horaire est : 2C = −N, WT + OM

 = −3 ⇒ F = −1,5² + F< . Où F< est la vitesse à la

Prof : TEKPOLO Crédo 169

⇒ F %& = p( :: = − !"e

( ; ) et rectiligne uniforme suivant l’axe (#), la

trajectoire sera donc hélicoïdale.

Prof : TEKPOLO Crédo 170

b/ Coordonnées de & dans la base de FRENET

& = ö (yÖ   + y:   + yÖ  − y:  )& +

(y: ²² + yÖ  + y: ²² − yÖ )"%&

Prof : TEKPOLO Crédo 172

Pour  ∈ ?4 ; +∞>; & ∙ F

%& > 0. Alors le mouvement est

8. a/ Composante de & en fonction du temps :

Prof : TEKPOLO Crédo 174

Prof : TEKPOLO Crédo 175

%& = −?5%& + F %%%&< = F< 5%&. Alors :

Prof : TEKPOLO Crédo 178

Entre A et B : FL ² − F> ² = 2< +K ⇒ +K = Ð

Prof : TEKPOLO Crédo 179

F() = −0,1 + 15 ⇒ 2 = −M, MWT² + SWT + SOM

3. a/ Longueur totale du trajet

Prof : TEKPOLO Crédo 180

Prof : TEKPOLO Crédo 181

Prof : TEKPOLO Crédo 182

Pour F ≤ 20 / , la force 9& varie uniformément au

Prof : TEKPOLO Crédo 184

La valeur lue sur la courbe 3 s’accorde donc avec les valeurs

3 = −S, 8X2² + M, W42 + S

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4x(m)

Les forces extérieures sont des forces

f) Temps que mettrait le mobile pour atteindre l’horizontale

Prof : TEKPOLO Crédo 187

1. Tracer le graphiqueF = 9(). Echelle : 1cm pour 4m/s en ordonnée

\ , lorsqu’il juge la vitesse suffisante pour pouvoir atteindre l’autre

= 2 / ² ; < = 9 ; F< = −10 /

≠ 0. Donc le mouvement est rectiligne uniformément varié.

= −3 ⇒ F = −1,5² + F< . Où F< est la vitesse à la

⇒ F %& = p( :: = − !"e

( ; ) et rectiligne uniforme suivant l’axe (#), la

b/ Coordonnées de & dans la base de FRENET

& = ö (yÖ + y: + yÖ − y: )& +

(y: ²² + yÖ + y: ²² − yÖ )"%&

Pour ∈ ?4 ; +∞>; & ∙ F

8. a/ Composante de & en fonction du temps :

%& = −?5%& + F %%%&< = F< 5%&. Alors :

Entre A et B : FL ² − F> ² = 2< +K ⇒ +K = Ð

F() = −0,1 + 15 ⇒ 2 = −M, MWT² + SWT + SOM

é ′ = PM × (M, O)é

' = ∑ ∆\' = \< + 2\< ×

' = \< + 2\< ×

lim 0,8'² = 0. Donc : 'Þã = \< +