Cours Echantillonnage Et Estimation PDF
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Semestre 3
THEORIE D’ECHANTILLONNAGE
I. ROLE DE L’ECHANTILLONNAGE
Lorsqu’on souhaite collecter les informations sur une population, deux possibilités s’offrent :
La première solution consiste à observer ou interroger tous les éléments de la population, c’est
ce qu’on appelle une enquête complète ou enquête exhaustive ou recensement. La seconde
solution consiste à observer ou interroger une partie de la population, c’est ce qu’on appelle
enquête partielle ou sondage. Les éléments de la population qui sont réellement observés
constituent l’échantillon et l’opération qui consiste à choisir ces éléments est appelée
échantillonnage.
Par rapport à l’enquête complète, l’enquête partielle offre une série d’avantages. Le coût global
de l’enquête partielle est en général plus réduit que le coût global d’une enquête complète.
L’enquête par sondage est plus rapide que l’enquête complète, surtout lorsque la caractéristique
étudiée présente des modifications assez importantes au cours du temps. Les erreurs
d’observations sont plus réduites que dans l’enquête exhaustive. En fin dans certaines situations
particulières, l’enquête partielle est la seule solution possible, c’est le cas lorsque l’observation
présente un caractère destructif.
II. VOCABULAIRE
Enquête : ensemble des opérations de collecte et de traitement de données relatives à quelques
domaines que ce soit.
Recensement : Enquête complète ou enquête exhaustive, c’est une enquête au cours de laquelle
toutes les unités de base de la population sont observées.
Echantillon : ensemble des unités de base sélectionnées et réellement observées au cours d’un
sondage.
Erreur d’échantillonnage : écart entre les résultats obtenus auprès d’un échantillon et ce que
nous apprendrait un recensement comparable de la population. Plus la taille de l’échantillon est
grande plus l’erreur d’échantillonnage diminue.
Fraction ou taux de sondage : proportion des unités de la population qui font partie de
l’échantillon. C’est le rapport entre la taille de l’échantillon n, et la taille de la population N.
f = n x100
N
La taille de l’échantillon doit être celle qui permet d’atteindre le meilleur équilibre entre le
risque de commettre des erreurs d’échantillonnage, le coût induit par ces erreurs, et le coût de
l’échantillonnage lui-même.
P( X −m < ) 1− ²
−
n²
avec :
n : taille de l’échantillon ;
: précision souhaitée ;
−
X : moyenne de l’échantillon ;
m : moyenne de la population.
: Ecart- type d’échantillon, il est souvent inconnu, il faut avoir des informations
antérieures ou mener une étude pilote.
Pour obtenir un maximum de fiabilité dans les résultats, on commence par se fixer une marge
d'erreur "" que l'on accepte. On se fixe ensuite un seuil de confiance (1-), qui représente la
probabilité minimale pour que la moyenne calculée à partir de l’échantillon ne s’écarte pas de
la moyenne de la population de plus de . Ceci s’écrit :
−
P( X −m < ) 1-
1− ² = 1-
n²
et donc :
n = ²
²
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Cours Echantillonnage et Estimation
Exemple :
Un parc de loisirs souhaite estimer à 10dh prés le montant moyen d’achats effectués par chaque
visiteur, c’est à dire on se fixe une marge d'erreur de 10 dans l'analyse des résultats :
= 10
Une étude pilote menée sur 50 visiteurs choisis au hasard a montré que l’écart- type des achats
est : = 100 dh.
n = 100² = 2000
10²0,05
3.1.2. Taille d’échantillon pour estimer une proportion
pq
P( fn − p < ) 1−
n²
avec :
n : taille de l’échantillon ;
: précision souhaitée ;
fn : proportion ou fréquence relative dans l’échantillon ;
p : proportion dans la population (q = 1 – p). Elle est souvent inconnue, il faut avoir des
informations antérieures ou mener une étude pilote, sinon on utilise une proportion de 50 %.
Pour obtenir un maximum de fiabilité dans les résultats, on commence par se fixer une marge
d'erreur "" que l'on accepte. On se fixe ensuite un seuil de confiance (1-), qui représente la
probabilité minimale pour que la fréquence calculée à partir de l’échantillon ne s’écarte pas de
la proportion dans la population de plus de . Ceci s’écrit :
P( fn − p < ) 1-
pq
1−
n² = 1-
et donc :
pq
n =
²
Exemple :
Le parc souhaite estimer la proportion des visiteurs qui font des achats à cinq points prés, c’est
à dire on se fixe une marge d'erreur de 5% dans l'analyse des résultats :
= 0,05
n = 0,650,35 = 1820
0,05²0,05
3.2. UTILISATION DE LA LOI NORMALE
On applique cette méthode si la variable suit une loi normale ou si elle peut être approchée par
la loi normale.
a) Cas des prélèvements dans une population finie avec remise ou dans une
population infinie sans remise :
Pour obtenir un maximum de fiabilité dans les résultats, on commence par se fixer une marge
d'erreur "" que l'on accepte. On se fixe ensuite un seuil de confiance (1-), qui représente la
probabilité minimale pour que la moyenne calculée à partir de l’échantillon ne s’écarte pas de
la moyenne de la population de plus de . Ceci s’écrit :
−
P( X −m < ) 1-
avec :
: précision souhaitée ;
−
X : moyenne de l’échantillon ;
m : moyenne de la population.
−
D’après le théorème central limite, la variable aléatoire X suit une loi normale dont les
paramètres sont :
−
E( X n ) = m
V( X n ) = ²
−
n
L’écart type de la moyenne est donc : X=
−
−
P( X −m < ) 1-
−
P(− X −m) 1-
−
P(− X −m − ) 1-
n n n
P(− n Z n ) 1-
( n ) 1-
2
n = Z²1−2 ²
²
Exemple :
Reprenons l’exemple du parc de loisirs qui souhaite estimer à 10dh prés le montant moyen
d’achats effectués par chaque visiteur, c’est à dire on se fixe une marge d'erreur de 10 dans
l'analyse des résultats : = 10
Une étude pilote menée sur 50 visiteurs choisis au hasard a montré que l’écart- type des achats
est : = 100 dh.
−
E( X n ) = m
V( X n ) = N −n ²
−
N −1 n
L’écart type de la moyenne est donc : X = N −n 1− n
−
N −1 n n N
De la même manière, on arrive à :
n N Z1−
N −n =
2
n =Z
N −n 1− 2 N
n =Z² ²
N −n 1− 2 ²N
n=Z²1− ² − n Z²1− ²
2 ² 2 ²N
n(1+Z²1− ² ) =Z²1− ²
2 ²N 2 ²
Z²1-2 ² N
n=
² N + Z²1-2 ²
Pour obtenir un maximum de fiabilité dans les résultats, on commence par se fixer une
marge d'erreur "" que l'on accepte. On se fixe ensuite un seuil de confiance (1-), qui
représente la probabilité minimale pour que la fréquence calculée à partir de l’échantillon ne
s’écarte pas de la proportion dans la population de plus de . Ceci s’écrit :
P( fn − p < ) 1-
avec :
n : taille de l’échantillon ;
: précision souhaitée ;
fn : proportion ou fréquence relative dans l’échantillon ;
p : proportion dans la population (q = 1 – p). Elle est souvent inconnue, il faut avoir des
informations antérieures ou mener une étude pilote, sinon on utilise une proportion de 50 %.
D’après le théorème central limite, la variable aléatoire f n suit une loi normale dont les
paramètres sont :
a) Cas des prélèvements dans une population finie avec remise ou dans une
population infinie sans remise :
E( f n ) = p
pq
V( f n ) =
n
pq
L’écart type de la fréquence est donc : f =
n
n
P( fn − p < ) 1-
fn − p
P(− − ) 1-
pq pq pq
n n n
P(− n Z n ) 1-
pq pq
( n )−(− n ) 1-
pq pq
( n )−[1−( n )] 1-
pq pq
( n ) 1-
pq 2
n = Z²1−2 pq
²
Exemple :
Reprenons l’exemple du parc de loisirs qui souhaite estimer la proportion des visiteurs
qui font des achats à cinq points prés, c’est à dire on se fixe une marge d'erreur de 5%
dans l'analyse des résultats :
= 0,05
E( f n ) = p
V( f n ) = N −n
pq
N −1 n
n N = Z
1−
pq N −n 2
n =Z pq
N −n 1− 2 N
n =Z² pq
N −n 2 ²N
1−
pq pq
n=Z²1− − n Z²1−
2 ² 2 ²N
pq pq
n(1+Z²1− ) =Z²1−
2 ²N 2 ²
Z²1-2 p q N
n=
² N + Z²1-2 p q
L’échantillon choisi doit être le plus représentatif possible de la population étudiée, c’est à dire
le degré de correspondance entre l’information recueillie et ce que nous apprendrait un
recensement comparable de la population dépend en grande partie de la façon dont l’échantillon
a été choisi.
Un échantillonnage est aléatoire si tous les individus de la population ont la même chance de
faire partie de l’échantillon; il est simple si les prélèvements des individus sont réalisés
indépendamment les uns des autres.
En particulier, si la population est finie, cette définition correspond au tirage aléatoire avec
remise, qui permet de traiter les populations finies comme des populations infinies.
- Constituer la base de sondage qui correspond à la liste complète et sans répétition des
éléments de la population ;
- Numéroter ces éléments de 1à N ;
- Procéder, à l’aide d’une table de nombres aléatoires ou d’un générateur de nombres
pseudo aléatoires à la sélection des unités différentes qui constitueront l’échantillon.
Exemple :
L’échantillonnage stratifié est une technique qui consiste à subdiviser une population
hétérogène, d’effectif N, en P sous populations ou « strates » plus homogènes d’effectif Ni de
telle sorte que N= N1+N2+……. +Np. Un échantillon, d’effectif ni, est par la suite, prélevé
indépendamment au sein de chacune des strates en appliquant un plan d’échantillonnage au
choix de l’utilisateur. Le plus souvent, on procédera par un échantillonnage aléatoire et simple
à l’intérieur de chaque strate.
La stratification peut entraîner des gains de précision appréciables, elle facilite en outre les
opérations de collecte des données et fournit des informations pour différentes parties de la
population.
Pour la répartition de l’effectif total n de l’échantillon dans les différentes strates, on utilise une
répartition proportionnelle, elle consiste à conserver la même fraction d’échantillonnage dans
chaque strate ou à tenir compte du poids de chaque strate.
f=n wi = Ni
N N
le nombre d’unités à choisir dans chacune des strates est donc :
ni = wi n = f Ni
Exemple :
Dans une population de 10000 entreprises, réparties en 500 petites entreprises, 3000 moyennes
entreprises et 2000 grandes entreprises, on souhaite avoir un échantillon de 500 entreprises.
L’échantillonnage par degrés regroupe toute une série de plans d’échantillonnage caractérisés
par un système ramifié et hiérarchisé d’unités.
Dans le cas de deux degrés, par exemple, on considère que la population est constituée d’un
certain nombre d’unités de sondage du premier degré (unités primaires), chacune de ces unités
étant constituée d’un certain nombre d’unités du second degré. (unités secondaires)
On réalise d’abord un échantillonnage d’unités du premier degré. Ensuite, dans chaque unité
sélectionnée au premier degré, on prélève un échantillon d’unités du second degré. Le mode de
sélection pouvant varier d’un degré à l’autre.
L’échantillonnage par degrés s’impose lorsqu’il est impossible d’inventorier les éléments de
toute la population et qu’il est possible d’énumérer les unités prélevées au premier degré. Il
permet une concentration du travail sur le terrain et donc une réduction des coûts.
Pour un même nombre total d’observations, il faut citer sa plus faible efficacité que
l’échantillonnage aléatoire et simple.
Exemple :
L’échantillonnage systématique est une technique qui consiste à prélever des unités
d’échantillonnage situées à intervalles égaux. Le choix du premier individu détermine la
composition de tout l’échantillon.
Connaissant k, on choisit le plus souvent, pour débuter, un nombre aléatoire, i, compris entre 1
et k. le rang des unités sélectionnées est alors i, i+2k, i+3k, …
L’échantillonnage systématique est facile à préparer et, en général facile à exécuter, il réduit le
temps consacré à la localisation des unités sélectionnées.
Exemple :
k =1800 =60
30
Ainsi on va tirer une entreprise toutes les 60 en partant d’un nombre tiré aléatoirement entre 1
et 60.
Supposons ce nombre est le 15. On va donc sélectionner la 15éme entreprise puis la 75éme, la
135éme. jusqu’à la 1755éme ce qui nous donnera l’échantillon de 30 entreprises.
Exemple :
- Enquêtés réalisées dans la rue, les lieux publics, en sortie de super marché …
- Questionnaires figurant dans les magasines et renvoyés spontanément.
C’est un échantillonnage par jugement à priori. Il consiste à sélectionner des individus dont on
pense, avant de les interroger, qu’ils peuvent détenir l’information.
Cette méthode est réservée aux populations composées d’individus dont l’identification est
difficile ou qui possèdent des caractéristiques rares.
La méthode consiste à faire construire l’échantillon par les individus eux-mêmes. Il suffit d’en
identifier un petit nombre initial et de leur demander de faire appel à d’autres individus
possédant les mêmes caractéristiques.
L’échantillonnage par quotas consiste à étudier la structure de la population selon des critères
choisis (quotas) empiriquement. L’échantillon est ensuite construit de manière à constituer une
reproduction en miniature de la population sur ces critères.
L’échantillonnage par quotas est une forme simplifiée de l’échantillonnage stratifié à fraction
de sondage constante. Les quotas représentent les variables de stratification.
Une fois les quotas sont fixés, les individus sont sélectionnés à la convenance de l’enquêteur.
Les critères servant de base à la définition des quotas ne doivent pas être nombreux. Au-delà
de 3 critères, la démarche devient complexe. Les quotas doivent être construits sur une base de
données fiable ( statistiques disponibles ) indiquant la répartition de la population sur les critères
choisis. Les critères les plus utilisés dans les études de marché sont économiques et socio-
démographiques en particulier l’âge, le sexe, la catégorie socioprofessionnelle, …
Exemple :
1) Age
Age Structure de la population Répartition de l’échantillon
20 à 29 ans 40 % 400
30 à 49 ans 35 % 350
50 à 60 ans 25 % 250
Total 100 % 1000
2) Sexe x Age
Structure de la population
Age Sexe Masculin Féminin Total
20 à 29 ans 48 % 52 % 100 %
30 à 49 ans 49 % 51 % 100 %
50 à 60 ans 45 % 55 % 100 %
Répartition de l’échantillon
Structure de la population
AGE CSP Sans Etudiant Agric Artisans Prof Employés Ouvriers Total
Sexe libérales
20-29 M 10% 30% 5% 6% 9% 25% 15% 100%
F 15% 25% 2% 10% 8% 30% 10% 100%
30-49 M 8% 5% 15% 22% 15% 15% 20% 100%
F 20% 4% 10% 16% 14% 24% 12% 100%
50-60 M 6% 2% 25% 22% 18% 17% 10% 100%
F 35% 1% 20% 20% 6% 13% 5% 100%
Répartition de l’échantillon
AGE CSP Sans Etudiant Agric Artisans Prof Employés Ouvriers Total
Sexe libérales
20-29 M 19 58 10 12 17 48 28 192
F 31 52 4 21 17 62 21 208
30-49 M 14 9 26 38 26 26 33 172
F 36 7 18 28 25 43 21 178
50-60 M 7 2 28 25 20 19 12 113
F 48 1 27 27 8 18 8 137
V. DISTRIBUTIONS D’ECHANTILLONNAGE
La notion de distribution d’échantillonnage est à la base des méthodes d’inférence statistique
dont les deux principales applications sont les problèmes d’estimation et les tests d’hypothèses.
Les premiers ont pour but d’estimer, à partir d’un échantillon, la valeur numérique d’un ou de
plusieurs paramètres de la population, et de déterminer la précision de cette ou de ces
estimations. Les seconds ont pour but de vérifier la véracité d’une hypothèse émise au départ
au sujet d’une ou de plusieurs populations.
A tout paramètre de population , on peut associer une série infinie de valeurs observées t, t’,
t ‘’, …, calculées à partir d’échantillons successifs de même effectif, prélevés dans des
conditions identiques. Ces valeurs peuvent être considérées comme des valeurs observées d’une
même variable aléatoire T, et cette variable est fonction des différentes variables aléatoires
correspondant à chacun des individus de l’échantillon :
En supposant que l’échantillon est aléatoire et simple, la variable aléatoire T possède une
distribution de probabilité, dite distribution d ‘échantillonnage. On peut donc calculer
l’espérance E(T) et la variance V(T) de cette distribution.
La distribution d’échantillonnage est donc la distribution des différentes valeurs que peut
prendre la variable aléatoire T, pour les différents échantillons possibles. Son écart type T est
appelé erreur standard.
− xi
x = i =1
n
Si on prélève, dans les mêmes conditions, un deuxième échantillon de même effectif :
− x'i
La moyenne correspondante x' = i =1 sera généralement différente de la première moyenne
n
observée.
Il en sera de même pour les moyennes d’autres échantillons prélevés dans les mêmes
conditions :
x1’’, x2’’, x3’’, ………., xn’’
n
− xi''
x'' = i =1
n
On peut considérer la suite des premières observations x 1, x1’, x1’’, … des différents
échantillons comme des valeurs observées d’une même variable aléatoire X1, la suite des
deuxièmes observations des différents échantillons comme des valeurs observées d’une même
variable aléatoire X2, etc.
− − −
Les moyennes observées x , x' , x'' , … sont alors des valeurs observées d’une même variable
−
aléatoire X qui est fonction de X1, X2, …, Xn.
n
− Xi
X = i =1
n
−
Comme X1, X2, …, Xn, la variable aléatoire X possède une distribution de probabilité, dite
distribution d ‘échantillonnage de la moyenne. On peut donc calculer l’espérance et la variance
de cette distribution, en supposant que l’échantillon est aléatoire et simple, les variables
aléatoires X1, X2, …, Xn ont toutes la même distribution de probabilité, dont la moyenne est
désignée par m et la variance par ².
E(Xi) = m et V(Xi) = ²
On démontre alors :
n
− Xi n
E( X ) = E( i =1
) = 1 E(Xi) = 1 nm = m
n n i =1 n
n
− Xi
) = 1 V(Xi) = 1 n ² = ²
n
i =1
V( X ) = V(
n n² i =1 n² n
X=
− est appelé erreur standard de la moyenne d’un échantillon aléatoire est simple
n
Adil EL MARHOUM Page 19
Cours Echantillonnage et Estimation
Dans le cas d’une population finie d’effectif N, au sein de laquelle est prélevé, sans remise, un
échantillon aléatoire est simple d’effectif n, la variance de la moyenne est :
− ²
V( X ) = N −n
N −1 n
Si par exemple, la population mère possède une distribution normale, on peut affirmer que la
distribution de la moyenne est elle-même normale de moyenne m et d’écart type X=
− .
n
Si la distribution de la population parent est inconnue, le théorème central limite permet
d’affirmer que la distribution de la moyenne est asymptotiquement normale. Pour un effectif
suffisamment élevé, la moyenne d’un échantillon peut toujours être considérée comme une
variable approximativement normale. C’est généralement le cas lorsque l’effectif est supérieur
à 30. Dans le cas contraire (n < 30), la moyenne d’un échantillon peut toujours être considérée
comme une variable de Student à (n-1) degré de liberté.
n −
(x − x)²i
v(x)= i =1
n
n −
(xi'− x')²
v(x')= i =1
n
n −
(x "− x")² i
v(x")= i =1
n
Ces variances peuvent être considérées comme des valeurs observées d’une même variable
aléatoire :
n −
(X − X )² i
V(X)= i =1
n
Comme X1, X2, …, Xn, la variable aléatoire V(X) possède une distribution de probabilité, dite
distribution d ‘échantillonnage de la variance. On peut donc calculer l’espérance mathématique
et la variance de cette distribution, en supposant que l’échantillon est aléatoire et simple, les
variables aléatoires X1, X2, …, Xn ont toutes la même distribution de probabilité, dont la
moyenne est désignée par m et la variance par ².
E(Xi) = m et V(Xi) = ²
n − n − n −
(X i − X )²
i =1
(X i −m− X +m)²
i =1
[(X i −m)−(X −m)]²
i =1
E(V(X)) = E( ) = E( ) = E( )
n n n
n − −
[(X −m)²−2(X −m)(X −m)+(X −m)²]
i =1
i i
E(V(X)) = E( )
n
n − n n −
(X i −m)²−2(X −m)(X i −m)+(X −m)²
i =1 i =1 i =1
E(V(X)) = E( )
n
n n n −
(X i −m)² − (X i −m) (X −m)²
E(V(X)) = E( i =1 − 2(X −m) i =1 + i =1 )
n n n
n
(X i −m)² − − −
E(V(X)) = E( i =1 − 2(X −m)(X −m) + (X −m)² )
n
−
E(V(X)) = E( ²−(X−m)² )
−
E(V(X)) = E( ² ) – E( (X−m)² )
E(V(X)) = ² - ²
n
E(V(X)) = n−1 ²
n
2(n−1) 4
V(V(X)) = E[(V(X) – E(V(X)))²] = E[(V(X) – n−1² )²] = .
n n²
Dans le cas d’une population finie d’effectif N, au sein de laquelle est prélevé, sans remise, un
échantillon aléatoire est simple d’effectif n, l’espérance mathématique de la variance est :
E(V(X)) = N n−1 ²
N −1 n
En ce qui concerne la forme de la distribution d’échantillonnage de la variance, on peut
n −
(xi − x)²
démontrer que dans le cas particulier d’une population normale, la variable aléatoire i =1
²
possède une distribution khi deux à (n-1) degré de liberté.
On désigne par p la proportion des individus possédant, dans la population, le caractère étudié.
De la même manière que la moyenne et la variance, chacun des échantillons possède une
fréquence :
fn = X n
n
fn'= X n'
n
fn"= X n"
n
Ces fréquences peuvent être considérées comme des valeurs observées d’une même variable
aléatoire :
Fn = X n
n
La variable aléatoire Fn possède une distribution de probabilité, dite distribution
d ‘échantillonnage de la proportion. On peut donc calculer l’espérance et la variance de cette
distribution, en supposant que l’échantillon est aléatoire et simple.
E(Fn) = E( X n ) = 1 E( X n ) = 1 n p = p
n n n
pq
V(Fn) = V( X n ) = 1 V( X n ) = 1 n p q =
n n² n² n
pq
Fn = est appelé erreur standard de la fréquence d’un échantillon aléatoire est simple
n
Dans le cas d’une population finie d’effectif N, au sein de laquelle est prélevé, sans remise, un
échantillon aléatoire est simple d’effectif n, la variance de la fréquence est :
V(Fn) = V( X n ) = 1 V( X n ) = 1 N −n n p q = N −n
pq
n n² n² N −1 N −1 n
2. Quelle est la probabilité que la moyenne d'un échantillon de 12 observations provenant d'une
population de distribution uniforme définie dans l'intervalle (0, 1) soit comprise entre 0,4 et
0,6?
3. Calculez la moyenne et l'écart type de la variance S², ainsi que la probabilité P(10 < S²<20), en
supposant que S² désigne la variance observée d'échantillons aléatoires et simples d'effectif 10
extraits d'une population normale de moyenne égale à 15 et écart type égal à 4.
4. On suppose que les poids de 3000 étudiants d'une université suivent une loi normale de
moyenne 68,0 kilogrammes et écart type 3,0 kilogrammes. Si l'on extrait 80 échantillons de 25
étudiants chacun, quelle est la moyenne et écart type théoriques de la distribution
d'échantillonnage des moyennes pour (a) un échantillonnage non exhaustif, (b) un
échantillonnage exhaustif ?
5. 500 pignons ont un poids moyen de 5,02 grammes et un écart type de 0,30 grammes. Trouver
la probabilité pour qu’un échantillon de 100 pignons choisi au hasard ait un poids total (a)
compris entre 496 et 500 grammes. (b) plus grand que 510 grammes.
6. Chacune des personnes d’un groupe de 500 individus lance 120 fois une pièce de monnaie
parfaite. Combien de personnes signaleront-elles que (a) le nombre de faces qu’elles obtiennent
se trouve compris entre 40 et 60. (b) 5 sur 8 ou plus de leurs jets correspondent à des faces ?
7. Les ampoules électriques d'un fabricant A ont une durée de vie moyenne de 1400 heures avec
un écart-type de 200 heures, et celles d'un fabricant B ont une durée de vie moyenne de 1200
heures avec un écart-type de 100 heures. Si l'on teste des échantillons de 125 ampoules pour
chaque marque, quelle est la probabilité pour que la marque d'ampoules A ait une durée de vie
moyenne qui soit au moins supérieure de (a) 160 heures, (b) 250 heures à celle de la marque
d'ampoules B ?
8. Un certain type d’ampoule électrique a une durée de vie moyenne de 1500 heures et un écart
type de 150 heures. Trois ampoules sont branchées de telle manière que, si l’une d’elles est
grillée, les autres continuent à fonctionner. En supposant que les durées de vie suivent une loi
de Laplace Gauss, quelle est la probabilité pour que l’éclairage fonctionne (a) au moins pendant
5000 heures. (b) au plus pendant 4200 heures ?
9. Les poids des colis reçus dans un grand magasin ont une moyenne de 300 kg et un écart-type
de 50 kg, Quelle est la probabilité pour que 25 colis reçus au hasard et chargés sur un monte-
charge dépassent la limite de sécurité du monte-charge, qui est 8200 kilogrammes.
10. Trouver la probabilité pour que parmi les 200 prochains enfants à naître (a) il y ait moins de 40
% de garçons, (b) il y ait entre 43 % et 57 % de filles, (c) il y ait plus de 54 % de garçons. On
supposera que la naissance d'un garçon et la naissance d'une fille sont équiprobables.
11. Un fabricant expédie 1000 lots de 100 ampoules électriques chacun. Si 5 % des ampoules sont
normalement défectueuses, dans combien de lots peut-on avoir (a) moins de 90 bonnes
ampoules, (b) 98 bonnes ampoules ou davantage ?
12. Dans le but d’étudier l’intention d’achat d’un produit, on décide de réaliser un sondage.
Combien de personnes doit-on interroger pour que la fréquence empirique ne s’éloigne pas de
la vraie proportion de 1% et ce avec une probabilité au moins égale à 95%?
13. Une enquête sur l'emploi a pour but d’estimer le taux d'activité dans un pays. Dans les
statistiques disponibles, la population active du pays est estimée à 10000000 personnes sur une
population totale de 40 millions de personnes. Déterminer la taille de l'échantillon si l'on accepte
une erreur de 1% . avec une probabilité de 0,95.
14. Afin d’estimer le revenu mensuel moyen dans un secteur de production. Quelle doit
être la taille de l’échantillon de salariés à interroger pour que la moyenne empirique ne
s’éloigne pas de la moyenne de la population de 100 dh avec une probabilité au moins
égale à 0,95 sachant que l’écart type est de 500 dh par salarié ?
15. On souhaite réaliser une enquête sur la consommation des ménages afin d’estimer la
dépense moyenne par ménage. Quel doit être la taille de l’échantillon de ménages si la
population est composée de 5 millions de ménages et que l’erreur admise ne doit pas
dépasser 100 dh avec une probabilité de 0,99 ? l’écart type de la dépense des ménages
est de 2000 dh.
16. On souhaite réaliser une enquête sur l’emploi afin d’estimer le taux de chômage. La
population active est de 5 millions de personnes. Quelle doit être la taille de
l’échantillon pour que la fréquence empirique ne s’éloigne pas du vrai taux de chômage
et ce avec une probabilité de 0,95 de 2%. Une enquête récente avait donné un taux de
chômage de 12 %
17. Dans le cadre d'une étude socio-économique, on s'intéresse aux habitants de 18 unités urbaines,
réparties en deux régions. L'enquête devrait comporter 500 interviews. Comme on dispose de
10 enquêteurs et qu'on souhaite que chaque enquêteur n'opère que dans une seule unité urbaine,
on souhaite se limiter à l'étude de 10 unités urbaines. On considère qu'un enquêteur peut réaliser
10 interviews dans la même journée. En fonction de la répartition des unités urbaines par région
et de leurs nombres d'habitants, expliquez, de façon aussi détaillée que possible la manière dont
on pourrait organiser cette enquête, en précisant notamment dans quelles unités urbaines il y
aurait lieu d'envoyer les enquêteurs.
Région 1 Région 2
Unités urbaines Nombres d’habitants Unités urbaines Nombres d’habitants
1 93600 9 117100
2 45400 10 107100
3 38900 11 61200
4 36500 12 51000
5 35100 13 43800
6 32900 14 38900
7 28100 15 37800
8 26400 16 33500
17 25800
18 25300
18. Dans une région regroupant environ 3 millions d’habitants réunis en un peu plus de 1500
communes, on désire réaliser une enquête au cours de laquelle 0,5 pour mille des habitants
devraient être interrogés. En effectuant une stratification basée sur la distribution de fréquences
donnée ci-dessous, combien d’interviews devrait-on réaliser dans chacune des catégories de
communes. Si de plus pour des raisons de facilité, on décidait de ne pas effectuer moins de 10
interviews par commune, dans combien de communes différentes de chacune des catégories les
enquêteurs devraient-ils se rendre ?
19. Un sondage vise à étudier la notoriété d’une marque. Pour cela on dispose de 12 enquêteurs
durant un mois. (a) Sachant que le rendement par jour et par enquêteur est distribué selon une
loi normale de moyenne 5, et écart type 1, déterminer la taille de l'échantillon retenue no telle
que : P(n >no ) = 0,025. (b) On propose de stratifier la population selon l’âge. Sachant que la
population se répartit comme suit, déterminer la répartition de l'échantillon:
21. Le budget alloué à une enquête est de 132500 dh. Cette enquête est destinée à estimer
le taux de chômage qu’on a estimé à priori égal à 10 %. Les frais de déplacement
quotidien sont évalués à 1000 dh par enquêteur. La rémunération d’un enquêteur est de
170 dh par jour. Les charges fixes sont de 20000 dh. (a) Déterminer la taille de
l’échantillon si en tolère une erreur de moins de 1 % avec un niveau de confiance de
95% (b) Déterminer la taille maximale permise par le budget allouée si le rendement
par enquêteur est de 6 questionnaires par jour. (c) Quel niveau d’erreur faut-il accepter
si on réalise l’enquête avec le budget alloué ?
22. Une machine automatique fabrique des entretoises destinées à un montage de roulements. La
longueur de ces entretoises doit être comprise, au sens large, entre 37,45 et 37,55 mm. La
variable aléatoire X, qui associe à chaque entretoise sa longueur, est une variable gaussienne
de moyenne 37,50 mm.
1) Quel doit être l’écart type de la variable aléatoire X pour que 998 sur 1000 des pièces
fabriquées soient bonnes ?
2) On prélève un échantillon non exhaustif dans la production. Quel doit être l’effectif de
cet échantillon pour que la moyenne des longueurs des pièces prélevées appartienne à
l’intervalle [37,495 ; 37,505] avec une probabilité de 0,95 ?
I. ESTIMATION PONCTUELLE
L’estimation ponctuelle ou l’estimation de point d’un paramètre est la connaissance de la seule
valeur estimée de ce paramètre. Les paramètres les plus recherchés sont la moyenne, la variance
et la proportion.
Soit une population quelconque, dont la distribution de probabilité L(X) est fonction d’un
paramètre : L(X) = f(X, ) et un échantillon aléatoire et simple d’effectif n extrait de cette
population.
On appelle estimateur du paramètre , toute fonction aléatoire des valeurs observées, X1, X2,
…, Xn, susceptibles de servir à estimer .
On appelle estimations les valeurs numériques t1, t2, …de cette variable aléatoire Tn.
a) l’absence de biais
La première qualité d’un bon estimateur est l’absence d’erreur systématique ou de biais. Cette
qualité implique que la vraie valeur doit être retrouvée en moyenne :
E(Tn) =
Tout estimateur qui satisfait cette condition est dit sans biais ou non biaisé.
b) la variance minimale
Une deuxième qualité d’un bon estimateur est de posséder une précision suffisante. Cette
précision peut être mesurée par le moment d’ordre deux par rapport à .
E[(Tn - )²]
On peut démonter qu’à tout paramètre correspond une valeur minimum de E[(Tn - )²].
1
d log f(x,)
nE[( )²]
d
Un estimateur non biaisé dont la variance est égale à ce minimum est appelé estimateur non
biaisé de variance minimum ou estimateur efficace.
c) convergence en probabilité
0, lim P(Tn − ) = 0
n →
Ce ci signifie que l’écart entre le paramètre calculé à partir de l’échantillon et la vraie valeur du
paramètre de la population est très faible quand la taille de l’échantillon est grande. Cet écart
peut être mesuré par la variance. Ainsi on parle de convergence en probabilité si :
limV(Tn) = 0
n →
Pour un échantillon aléatoire et simple et pour une population définie par un seul paramètre ,
la fonction de vraisemblance est :
Ou
dL()
=0
d
ou en annulant la dérivée de son logarithme :
d log L()
=0
d
^ −
m = x
La dispersion des différentes estimations possibles autour de cette moyenne générale, est
mesurée par l’erreur standard de la moyenne :
X= −
n
Adil EL MARHOUM Page 30
Cours Echantillonnage et Estimation
f(x,m)= 1 e− 12 ( x−m)²
2
1 xi−m)²
n e− (
n
L(m) = ( 1
2
) 2 i =1
−n 1 n xi−m
Log L(m) = log(2 ²) - ( )²
2 2i=1
La dérivée de cette fonction par rapport à m est :
d logL(m) 1 n
(xi−m)
²i
=
dm =1
l’estimation du maximum de vraisemblance de la moyenne de la population, est telle que :
n
1 (xi−m) = 0
²i=1
n n
(xi−m) = xi−nm = 0
i=1 i=1
n
^ xi −
m= i=1 =x
n
On retrouve la moyenne de l’échantillon définie précédemment.
a) l’absence de biais
− X i
X= i =1
est un estimateur non biaisé de la moyenne m de la population puisqu’on a
n
démontré que :
− Xi n
E( X n ) = E( i =1
) = 1 E(Xi) = 1 nm = m
n n i =1 n
En effet, pour l’ensemble des échantillons qui peuvent être rencontrés, on doit retrouver, en
moyenne, la vraie valeur de la population.
b) la variance minimale
f(x,m)= 1 e− 12 ( x−m)²
2
d log f(x,m)
= x−m
dm ²
d log f(x,m)
nE[( )²] = n E[( x−m )²] = n E[(X-m)²] = n
dm ² 4 ²
1 = ²
d log f(x,m) n
nE[( )²]
dm
− X i
c) convergence en probabilité
− X i
X= i =1
est un estimateur consistant de la moyenne m de la population puisqu’on a
n
démontré que :
V( X n ) = ²
−
−
limV(X n) = 0
n →
n
− Xi
la moyenne X n = i =1 calculée à partir d’un échantillon de taille n converge en probabilité vers
n
m.
(xi−m)²
n
L(²) = ( 1 ) n e− i =1
2²
2²
d log L(²) n
= − n + 21 4 (xi−m)²
d² 2² i=1
n
− n + 21 4 (xi−m)² = 0
2² i=1
(xi −m)²
n
^
² = i=1
n
On retrouve la variance de l’échantillon V(X).
(xi −m)²
n
^
² = i=1 est un estimateur biaisé de la variance ² de la population puisqu’on a
n
démontré que :
E(V(X))= n−1²
n
le biais est :
E(V(X)) - ² = −²
n
n −
^ (x − x)²
i
²= n v(x) = i =1
n−1 n−1
^
²= n v(x) est appelée quasi-variance, c’est un estimateur sans biais de la variance ² de
n−1
la population. La quasi-variance est désignée par ²n−1
L’erreur standard de cette estimation est, dans le cas d’une population normale :
^ 2(n−1) 4 ² 2
v( ²) = v( n ²) = n =
n−1 n−1 n² n−1
La meilleure estimation de la proportion p d’une population, qui puisse être déduite d’un
échantillon aléatoire et simple, est la fréquence de l’échantillon fn.
^
p = fn
La dispersion des différentes estimations possibles autour de cette proportion générale, est
mesurée par l’erreur standard de la proportion :
fn(1− fn)
f =
−
n
n
x
L(p) = C n px (1-p)n-x
Log L(p) = log C nx + x log p + (n-x) log (1-p)
La dérivée de cette fonction par rapport à p est :
d logL(p) x n− x
-
p 1− p
=
dp
l’estimation du maximum de vraisemblance de la variance de la population, est telle que :
x - n− x = 0
p 1− p
(1-p) x – p (n-x) = 0
x – np = 0
^
p=x
n
La fréquence fn de l’échantillon est donc un estimateur du maximum de vraisemblance de la
proportion de la population.
a) l’absence de biais
En effet, pour l’ensemble des échantillons qui peuvent être rencontrés, on doit retrouver, en
moyenne, la vraie valeur de la population.
b) convergence en probabilité
pq
V( f n ) =
n
limV(fn) = 0
n →
p(T1 T2) = 1 -
L’intervalle [T1 , T2] est appelé intervalle de confiance.
Le risque total peut être réparti d’une infinité de manière. Généralement, on divise le risque
en deux parties égales, Les limites T1 et T2 sont telles que :
− −
Les limites X 1 et X 2 sont telles que :
− −
p( X 1 m X 2 ) = 1 -
− − − −
X 1 = X - d1 et X 2 = X + d2
on peut alors écrire :
− −
p(m < X - d1) = p(m > X + d2) = /2
− −
p( X - m > d1) = p(m - X > d2) = /2
−
Comme, pour une population normale, la variable X est elle-même normale de moyenne m et
d’écart type X=
− , on peut écrire :
n
− −
p( x−m d1 ) = p(m− x d2 ) =
2
n n n n
p(Z1 d1 ) = p(Z2 d2 ) =
2
n n
p(Z1 d1 ) = p(Z2 d2 ) = 1 -
2
n n
( d1 ) = ( d2 ) = 1 -
2
n n
Si on désigne par Z1− la valeur de la variable normale réduite lue dans la table :
2
d1 = d2 = Z
1−
2
n n
il en résulte :
d1 = d2 = Z1−
2 n
− − − −
X 1 = X - Z1− et X 2 = X + Z1−
2 n 2 n
−
X Z1−
2 n
Pour une population de distribution de probabilité inconnue (écart type inconnu), on utilise
la quasi-variance comme estimation de la variance de la population. L’intervalle de confiance
de la moyenne sera défini selon les cas.
Dans ce cas, la moyenne d’un échantillon peut toujours être considérée comme une variable T
de Student à (n-1) degré de liberté. La valeur Z1− sera remplacée par la valeur T1 − à (n-1)
2 2
degré de liberté. L’intervalle de confiance est alors :
− ^
X T1 −
2 n
Dans ce cas, la moyenne d’un échantillon peut toujours être considérée comme une variable
approximativement normale. L’intervalle de confiance est alors :
− ^
X Z1−
2 n
p(²1 ² ²2) = 1 -
n −
(xi − x)²
Comme, pour une population normale, la variable aléatoire i =1 possède une distribution
²
khi deux à (n-1) degré de liberté, on peut alors écrire :
n − n − n −
(xi − x)² (xi − x)² (xi − x)²
p( i =1 i =1 i =1 )=1-
² 2 ² ²1
ou encore :
n − n − n − n −
(xi − x)² (xi − x)² (xi − x)² (xi − x)²
p( i =1 < i =1 ) = p( i =1 > i =1 ) = /2
² ² 2 ² ²1
n − n − n −
(xi − x)² (xi − x)² (xi − x)²
p( i =1 i =1 ) = 1 - /2 i =1 = ²1−
² ²1 ²1 2
n − n − n −
(xi − x)² (xi − x)² (xi − x)²
p( i =1 < i =1 ) = /2 i =1 = ²
² ² 2 ² 2 2
n − n −
(xi − x)² (xi − x)²
²1 = i =1 et ²2 = i =1
²1− ²
2 2
p(p1 p p2) = 1 -
ou d’une autre façon :
p1= fn - d1 et p2 = fn + d2
on peut alors écrire :
Comme, la distribution de la proportion suit une loi normale de moyenne p et d’écart type
pq
Fn = à condition que la taille de l’échantillon soit supérieure ou égale à 30 (n 30) et le
n
produit n p 5, on peut écrire :
fn − p d1 ) = p( p− fn d2 ) =
p(
p(1− p) p(1− p) p(1− p) p(1− p) 2
n n n n
p(Z1 d1 ) = p(Z2 d2 ) =
p(1− p) p(1− p) 2
n n
p(Z1 d1 ) = p(Z2 d2 ) = 1 -
p(1− p) p(1− p) 2
n n
( d1 ) = ( d2 ) = 1 -
p(1− p) p(1− p) 2
n n
Si on désigne par Z1− la valeur de la variable normale réduite lue dans la table :
2
d1 = d2 = Z1−
p(1− p) p(1− p) 2
n n
il en résulte :
p(1− p)
d1 = d2 = Z1−
2 n
p(1− p) p(1− p)
p1= fn - Z1− et p2 = fn + Z1−
2 n 2 n
p(1− p)
fn Z1−
2 n
Dans une entreprise produisant un article déterminé on veut estimer sa durée de vie en heures.
À cette fin on a observé un échantillon aléatoire et simple de 16 unités dont les résultats sont
(en 1000 heures) :
16
^ − x
i =1
i
m=x= = 1,2
16
16 −
^ (x
i =1
i − x)²
= = 0,11
16 − 1
− ^
X T1 −
2 n
− ^
X T1 − = 1,2 2,131
0,11
2 n 16
− 0,11 − 0,11
X 1 = 1,2 – 2,131 = 1,14 et X 2 =1,2 + 2,131 = 1,26
16 16
n − n −
(xi − x)² (xi − x)²
²1 = i =1 et ²2 = i =1
²1− ²
2 2
L’écart type est la racine carrée de la variance, ses limites de confiance sont donc :
16 − 16 −
^ i =1
( xi − x)²
0,11² 15 ^ (x
i =1
i − x)²
0,11² 15
1 = = = 0,08 2 = = = 0,17
² 27,49 ² 6,26
1−
2 2
On étudie le pourcentage d'utilisation d'une machine. 400 observations ont été effectuées qui
ont donné le résultat suivant :
^
p = fn = 320 = 0,8
400
p(1− p)
fn Z1−
2 n
p(1− p) 0,8(1−0,8)
p1= fn - Z1− = 0,80 – 1,96 = 0,76
2 n 400
p(1− p) 0,8(1−0,8)
p2 = fn + Z1− = 0,80 + 1,96 = 0,84
2 n 400
Ex 1 : Soit X une variable de Poisson de paramètre (inconnu) m et (XI, … Xn) les observations
d’un échantillon de taille n. Écrire la fonction du maximum de vraisemblance associée à la
moyenne. Quel est l'estimateur du maximum de vraisemblance de la moyenne de la population
? Cet estimateur précédent est-il un estimateur efficace ?
Ex 2 : Soit X une variable aléatoire dont la densité de probabilité f est ainsi définie:
Ex 4 : lors d’un concours radiophonique, on note X le nombre de réponses reçues chaque jour.
On suppose que X suit une loi normale de paramètres m et . Durant les 10 premiers jours, on
a obtenu : x1 = 200 ; x2 = 240 ; x3 = 190 ; x4 = 150 ; x5 = 220 ; x6 = 180 ; x7 = 170 ; x8 = 230
; x9 = 210 et x10 = 210. Déterminer une estimation ponctuelle de m et .
13 ; 06 ; 12 ; 10 ; 10 ; 16 ; 02 ; 04 ; 11 ; 12 ; 12 ; 05 ; 07 ; 08 ; 13
a) Estimer la note moyenne et l'écart type des notes pour l'ensemble des étudiants de la faculté.
b) Donner des estimations par intervalle de confiance pour la moyenne et l'écart type. (=5%).
Ex 6 : Dans une entreprise produisant un article déterminé on veut estimer sa durée de vie en
heures. À cette fin on a observé un échantillon de 16 unités dont les résultats sont (en 1000
heures) :
Ex 8 : dans une station service, on suppose que le montant des chèques essence suit une loi
normale de paramètres m et . On considère un échantillon de taille n = 50 et on obtient une
moyenne de 130 Dh et un écart-type de 28 Dh. Donner une estimation de m et par un intervalle
de confiance au niveau de confiance 95%.
Ex 9 : on donne la répartition des masses de 219 ressorts provenant d’une même fabrication :
masses (g) [8,2 ; 8,4[ [8,4 ; 8,6[ [8,6 ; 8,8[ [8,8 ; 9[ [9 ; 9,2[ [9,2 ; 9,4[ [9,4 ; 9,6[
Nbre de 9 21 39 63 45 27 15
ressorts
X donnant le poids d’un ressort provenant de cette fabrication, donner une estimation
de E(X) et V(X). Donner pour E(X) et V(X) un intervalle de confiance au niveau de
confiance 95%.
Ex 11 : un confiseur vend des boites de bonbons d’un certain modèle. On note X la masse d’une
boite pleine. Les pesées de 8 boites ont conduit aux masses (en kg) :
a) On interroge un échantillon de 3238 ménages. On trouve parmi eux 1943 possesseurs d'une
voiture. Estimez, à partir de cet échantillon, la proportion des ménages ayant une voiture.
Degré de confiance 99 %.
b) À partir de la proportion estimée, combien de ménages faudrait-il interroger pour construire,
avec un risque d'erreur de 5 %, un intervalle de confiance d'amplitude 0,04 ?
a) Entre quelles limites peut-on fixer le taux d'utilisation de la machine avec un degré de
confiance de 95 % ?
b) On fait un plus grand nombre d'observations. On obtient le même pourcentage d'utilisation
ce qui permet, avec un risque d'erreur de 5 %, de fixer les limites de confiance à [78,4 % ;
81,6 %]. Combien a-t-on fait d'observations ?
Ex 15 : Un échantillon aléatoire de 50 notes (sur 100) dans une population de 200 a donné une
moyenne de 75 et un écart type de 10.
a) Quelles sont les limites de confiance à 95 % pour estimer la moyenne des 200 notes ?
b) Avec quel degré de confiance peut-on dire que la moyenne des 200 notes est de 75 plus
ou moins 1 ?
Ex 16 : Un échantillon de 150 lampes de marque A a donné une durée de vie moyenne de 1400
heures et un écart type de 120 heures. Un échantillon de 200 lampes de marque B a donné une
durée de vie moyenne de 1200 heures et un écart type de 80 heures. Déterminer les limites de
confiances à 95 % de la différence des durées de vie moyennes des marques A et B.
Ex 18 : Une compagnie fabrique des roulements à billes ayant un poids moyen de 0,638 Kg et
un écart type de 0,012 Kg Calculer les limites de confiance à 95 % des poids de lots comprenant
100 roulements chacun.
a) Aléatoire et simple ;
b) Stratifié.
x²
f(x,) = 1 e − 2 pour tout nombre réel x.
2
a) Reconnaître la loi de la variable X et en déduire, sans calcul, l’espérance mathématique
et la variance de X.
b) Déterminer un estimateur de maximum de vraisemblance de associé à un échantillon
aléatoire de taille n.
c) L’estimateur précédent est-il un estimateur sans biais ?
I. INTRODUCTION
Un test statistique est une méthode permettant de prendre une décision à partir d’informations
fournies par un échantillon.
Les tests statistiques ou les tests d’hypothèses ont pour but de vérifier, à partir de
données observées dans un ou plusieurs échantillons, la validité de certaines hypothèses
relatives à une ou plusieurs populations.
On peut distinguer différents types de tests, en fonction des hypothèses auxquelles on a affaire.
Les tests de comparaison à une norme ou tests de conformité sont destinés à comparer entre
eux une population théorique et un échantillon observé. Ils servent à vérifier si un échantillon
donné peut être considéré comme extrait d’une population possédant telle caractéristique
particulière (telle moyenne, telle variance, …). Le test se fait en vérifiant si la différence entre
la valeur observée et la valeur théorique du paramètre considéré peut être attribuée au hasard
ou non.
Les tests d’homogénéité ou d’égalité ont pour but de comparer entre elles un certain nombre
de populations, à l’aide d’un même nombre d’échantillons.
Les tests d’ajustement sont destinés à vérifier si un échantillon observé peut être extrait d’une
population donnée.
Les tests d’indépendance ont pour but de contrôler, à partir d’un échantillon, l’indépendance
de deux ou plusieurs critères de classification, généralement qualitatifs.
L’hypothèse qui diffère de H0 est dite hypothèse alternative, généralement désignée par H1.
Si cette probabilité est relativement élevée, on considère L’hypothèse nulle comme plausible et
on l’accepte. Par contre si la probabilité calculée est faible, l’écart observé apparaît comme peu
compatible avec l’hypothèse nulle et on rejette celle-ci.
L’ensemble des valeurs observées pour lesquelles l’hypothèse nulle est admissible forme la
région d’acceptation. Les autres valeurs constituent la région de rejet. Les valeurs limites sont
appelées valeurs critiques.
La décision dépend donc de l’échantillon. Ainsi qu’elle que soit la décision prise, le hasard de
l’échantillonnage peut fausser les conclusions. Quatre situations doivent en effet être
envisagées:
L’acceptation de l'hypothèse nulle alors qu'elle est vraie, le rejet de l'hypothèse nulle alors
qu'elle est vraie, l'acceptation de l'hypothèse nulle alors qu'elle est fausse, le rejet de l'hypothèse
nulle alors qu'elle est fausse.
Dans le premier et le dernier cas, la conclusion obtenue est correcte, mais il n'en est
malheureusement pas de même dans les deux cas intermédiaires. L'erreur qui consiste à rejeter
une hypothèse vraie est appelée erreur de première espèce et désignée par RH0/H0. Accepter
une hypothèse fausse est une erreur de seconde espèce, elle est désignée par AH0/H1.
Les probabilités d’aboutir à de telles conclusions erronées sont les risques de première et de
deuxième espèce, désignés respectivement par et .
= p(RH0/H0) = p(AH0/H1)
Le risque de première espèce est appelé aussi seuil de signification du test, fixé très souvent
à 5 %. La probabilité contraire de désigne le niveau de confiance du test.
1- = p(AH0/H0)
1- = p(RH0/H1)
Décision prise
Accepter H0 Accepter H1
H0 1- : erreur de première espèce
Hypothèse Niveau de confiance
Vraie H1 : erreur de deuxième espèce 1-
Puissance du test
Un test est dit bilatéral si la condition de rejet est indépendante du signe de l’écart observé entre
les caractéristiques comparées. Les hypothèses formulées du test bilatéral sont :
H0 : = t0 et H1 : t0
t0 = t0 t0
Région de rejet de H0 Région d’acceptation de H0 Région de rejet de H0
A1 A2
p(A1 t0 A2) = 1 -
Un test est dit unilatéral si l’hypothèse alternative désigne qu’une caractéristique est strictement
supérieure ou inférieure à l’autre. On parle respectivement de test unilatéral à droite ou à
gauche.
H0 : = t0 et H1 : > t0
t0 > t0
Région d’acceptation de H0 Région de rejet de H0
A
A désigne la valeur critique qui délimite la région d’acceptation.
p(t0 A) = 1 -
p(t0 > A) =
H0 : = t0 et H1 : < t0
< t0 t0
Région de rejet de H0 Région d’acceptation de H0
A
A désigne la valeur critique qui délimite la région d’acceptation.
La région d’acceptation est donc l’intervalle [A ; + [.
p(t0 < A) =
p(t0 A) = 1 -
pour récapituler, la démarche d’un test statistique est formée des étapes suivantes :
On attribue la valeur m0 pour moyenne dans une population dont la vraie moyenne m est
inconnue, et on veut juger la validité de cette hypothèse.
Ce test a pour but de vérifier si la moyenne m d’une population est ou n’est pas égale à une
valeur donnée m0, appelée norme.
Variable de décision :
Pour une population normale d’écart type connu, la variable de décision est elle-même
normale de moyenne m0 et d’écart type. La variable de décision centrée réduite est donc :
−
x−m0
VDR =
n
VDR est alors une variable normale réduite N(0 ; 1).
Région d’acceptation :
a) Test bilatéral :
H0 : m = m0 et H1 : m m0
Les valeurs critiques qui délimitent la région d’acceptation sont, pour une distribution normale
réduite ou asymptotiquement normale réduite, Z1 et Z2 telles que :
Remarque :
H0 : m = m0 et H1 : m > m0
La valeur critique qui délimitent la région d’acceptation est, pour une distribution normale
réduite ou asymptotiquement normale réduite, Z telle que :
p(VDR Z) = 1 - Z = Z1−
H0 : m = m0 et H1 : m < m0
La valeur critique qui délimitent la région d’acceptation est, pour une distribution normale
réduite ou asymptotiquement normale réduite, Z telle que :
p(VDR < Z) = Z = Z
Remarque :
Pour une distribution de probabilité inconnue, et lorsque l’effectif de l’échantillon est inférieur
à 30, la variable de décision réduite VDR peut toujours être considérée comme une variable de
Student à (n-1) degré de liberté. Les valeurs de Z sont remplacées par les valeurs de T de la loi
de Student avec (n-1) degré de liberté.
Exemple :
Le diamètre des billes fabriquées par une machine est en moyenne de 6 mm. Pour contrôler si
la machine est bien réglée, on a prélevé un échantillon de 50 billes et on a mesuré leur diamètre.
On a trouvé :
x i = 350 x ² = 2462
i
Pour répondre à cette question, on doit vérifier si le diamètre moyen des 50 billes observées,
est conforme à la norme de 6 mm. Il s’agit donc de faire un test de conformité de la moyenne.
Hypothèse nulle :
Variable de décision :
La variable de décision peut être considérée comme une variable approximativement normale.
−
²=
^ (xi − x)² n² 50 2462
= = ( −7²) = 0,24
n−1 n−1 49 50
^
= 0,24 = 0,49
−
VDR = x−^m0 = 7−6 = 14,43
0.49
50
n
Région d’acceptation :
Z = Z0,025 = -1,96
2
On rejette l’hypothèse nulle car la variable de décision réduite n’appartient pas à la région
d’acceptation. La machine n’est donc pas bien réglée au seuil de signification de 95 %
Ce test a pour but de comparer les moyennes de deux populations à l’aide de deux échantillons.
Soient deux échantillons aléatoires et non exhaustifs prélevés respectivement dans une
population 1 de moyenne inconnue m1 et dans une population 2 de moyenne inconnue m2. les
− −
moyennes observées des deux échantillons x1 et x 2 sont en général différentes, il s’agit
d’expliquer cette différence.
Ce test a pour but de vérifier si la moyenne m1 d’une population est ou n’est pas égale à la
moyenne m2 d’une autre population.
Variable de décision :
La variable de décision du test correspond à la différence entre les moyennes observées des
deux échantillons :
− −
VD = x1 - x 2
Une distinction est faite entre le cas de deux populations de variances inégales et le cas de deux
populations de variances égales.
− −
Pour des populations normales (variances connues), les variables x1 - x 2 sont des variables
normales de moyennes respectivement m1 et m2 et d’écarts type respectivement 1 et 2 .
n1 n2
La variable de décision est elle-même normale de moyenne (m1-m2) et d’écart type ²1 +²2
n1 n2
.
− −
(x1− x2)
VDR =
²1 +²2
n1 n2
Si les distributions des populations parents sont inconnues, pour des effectifs suffisamment
élevés, la variable de décision peut toujours être considérée comme une variable
approximativement normale. C’est généralement le cas lorsque les effectifs sont supérieurs à
30. Dans le cas contraire, la variable de décision réduite VDR peut toujours être considérée
comme une variable de Student à (n1 + n2 - 2) degré de liberté.
Dans le cas où les populations sont de variances égales, une estimation de la variance commune
aux deux populations est donnée par :
− −
^
² =
(xi − x1)²+(xi − x2)²
n1 + n2 −2
− − − −
(x1− x 2) (x1− x 2)
VDR = =
^ ^ ^
² + ² ² ( 1 + 1 )
n1 n2 n1 n2
− −
(x1− x2)
VDR =
− −
(xi − x1)²+(xi − x2)² ( 1 + 1 )
n1+n2 −2 n1 n2
Si les distributions des populations parents sont inconnues, pour des effectifs suffisamment
élevés, la variable de décision peut toujours être considérée comme une variable
approximativement normale. C’est généralement le cas lorsque les effectifs sont supérieurs à
30. Dans le cas contraire, la variable de décision réduite VDR peut toujours être considérée
comme une variable de Student à (n1 + n2 - 2) degré de liberté.
Région d’acceptation :
a) Test bilatéral :
H0 : m1 = m2 et H1 : m1 m2
Les valeurs critiques qui délimitent la région d’acceptation sont, pour des distributions normales
réduites ou asymptotiquement normales réduites, Z1 et Z2 telles que :
Remarque :
H0 : m1 = m2 et H1 : m1 > m2
La valeur critique qui délimitent la région d’acceptation est, pour des distributions normales
réduites ou asymptotiquement normales réduites, Z telle que :
p(VDR Z) = 1 - Z = Z1−
H0 : m1 = m2 et H1 : m1 < m2
La valeur critique qui délimitent la région d’acceptation est, pour des distributions normales
réduites ou asymptotiquement normales réduites, Z telle que :
p(VDR < Z) = Z = Z
Remarque :
Pour des distributions de probabilités inconnues, et lorsque les effectifs des échantillons sont
inférieurs à 30, la variable de décision réduite VDR peut toujours être considérée comme une
variable de Student à (n-1) degré de liberté. Les valeurs de Z sont remplacées par les valeurs de
T de la loi de Student avec (n-1) degré de liberté.
Exemple :
Pour savoir s’il existe une différence d’assiduité entre les filles et les garçons, on a choisi de
manière aléatoire et simple un premier échantillon de 10 filles et de façon indépendante, un
deuxième échantillon de 10 garçons. En fonction des résultats ci-dessous relatifs aux notes
d’assiduités (note sur 100), et en supposant que les variances des deux populations sont égales,
peut-on conclure, au seuil de 5 %, à l’existence d’une différence significative entre les deux
sexes ?
Assiduité 72 67 52 54 46 58 59 54 58 63
des filles
Assiduité 66 59 54 57 63 55 61 55 66 75
des garçons
Pour répondre à cette question, on doit réaliser un test de comparaison de deux moyennes.
Hypothèse nulle :
Ce test a pour but de vérifier si l’assiduité moyenne m1 des filles est ou n’est pas égale à
l’assiduité moyenne m2 des garçons.
H0 : m1 = m2 et H1 : m1 m2
Variable de décision :
Les deux échantillons sont indépendants, les populations sont de variances égales, la variable
de décision centrée réduite est donc:
− −
(x1− x2) 58,3−61,1
VDR = = = - 0,88
− − 514,1+390,9 1 1
(xi − x1)²+(xi − x2)² ( 1 + 1 ) ( + )
10+10−2 10 10
n1+n2 −2 n1 n2
Région d’acceptation :
VDR = 0,88
Pour = 0,05, la valeur de t1− avec 18 degrés de liberté est : t0,975 = 2,101
2
VDR < t1− , on accepte donc l’hypothèse nulle. C’est à dire, il n’y a pas de différence
2
significative entre l’assiduité des deux sexes.
Ce test a pour but de comparer les moyennes de deux populations à l’aide de deux échantillons
associés par paires. C’est le cas où on soumet les mêmes individus, choisis dans une population
donnée, à deux types d’observations.
Ce test a pour but de vérifier si une action a un effet sur une variable c’est-à-dire si la moyenne
des différences est nulle.
−
L’hypothèse nulle est donc : H0 d =0
Variable de décision :
Soient deux séries de n observations chacune, x1, x2, …, xn, et y1, y2, …, yn . On travaille avec
la série des différences :
di = xi – yi
Pour une population normale, la variable de décision est elle-même normale de moyenne. La
variable de décision centrée réduite est donc :
−
VDR = ^d
d
n
Région d’acceptation :
La région d’acceptation est identique à celle du test précédent. Elle dépend toujours de
l’hypothèse alternative H1.
a) Test bilatéral :
− −
H0 : d = 0 et H1 : d 0
Remarque :
Remarque :
Pour des distributions de probabilités inconnues, et lorsque les effectifs des échantillons sont
inférieurs à 30, la variable de décision réduite VDR peut toujours être considérée comme une
variable de Student à (n-1) degré de liberté. Les valeurs de Z sont remplacées par les valeurs de
T de la loi de Student avec (n-1) degré de liberté.
Exemple :
Un chef de produit souhaite tester l’effet d’un nouvel emballage sur les ventes d’un produit. Un
échantillon aléatoire de 20 magasins est constitué, puis scindé en deux échantillons de 10 unités,
couplés sur la base de leurs ventes hebdomadaires. L’un des magasins de chaque couple propose
le produit dans son nouvel emballage, tandis que l’autre magasin présente le produit dans
l’ancien emballage. Les ventes enregistrées sont indiquées dans le tableau ci-dessous. Peut-on
parler d’un effet positif du nouvel emballage ?
Pour répondre à cette question, on doit réaliser un test de comparaison de deux moyennes.
Hypothèse nulle :
Ce test a pour but de vérifier si, en moyenne, les ventes enregistrées avec le nouvel emballage
m1 sont ou ne sont pas égales aux ventes enregistrées avec l’ancien emballage m2.
Variable de décision :
Les deux échantillons sont associés par paires, la variable de décision centrée réduite est donc:
−
VDR = ^d = 320 = 2,462
410,96
d
10
n
Région d’acceptation :
VDR = 2,462
Pour = 0,05, la valeur de t1− avec 9 degrés de liberté est : t0,95 = 1,833
VDR > t1− , on rejette donc l’hypothèse nulle. C’est à dire, on peut conclure que le nouvel
emballage est plus performant que l’ancien.
C’est une méthode statistique pour tester l'égalité de plusieurs moyennes. La méthode repose
sur les postulats suivants: les échantillons aléatoires proviennent de populations distribuées
normalement et ayant la même variance. Comme ces suppositions de base ne sont pas toujours
satisfaites en pratique, l'analyste dispose aussi de méthodes dites non paramétriques pour comparer
les échantillons entre eux.
L'analyse de variance, sert à effectuer le test de l'égalité de plusieurs moyennes. On écrit comme
suit les hypothèses:
Ho: m1 = m2 = ... = mJ
En effet, l'analyse de variance est une technique d'analyse statistique qui permet de tester
globalement l'égalité des moyennes de J populations normales dans lesquelles on suppose que les
variances sont égales ( 12 = 22 =....= 2J = 2 ), même si elles demeurent inconnues. L'analyse de
variance constitue une extension à J populations normalement distribuées, J 2, du test de
comparaison des moyennes de deux échantillons indépendants.
On essaie de découvrir si un seul facteur peut expliquer ou non les variations constatées dans les
observations Yij. Au départ, on dispose d'échantillons prélevés aléatoirement dans des populations
normales dans lesquelles les variances sont supposées égales ( 1 = 2 = 3 =...= J ). Le tableau
2 2 2 2
suivant illustre la notation indicée: par exemple, Y21 représente la deuxième observation prélevée
de la première population. Dans chaque échantillon, on a aussi calculé le total des observations, la
moyenne et la variance.
POPULATION
P1 : N(m1,1) P1 : N(m2,2) … P1 : N(mj,j)
… … …
− − −
Moyenne Y1 Y2 … Yj
Variance S²1 S² 2 … S² j
L'analyse de la variance développée par Fisher repose sur la comparaison de deux estimateurs de la
variance commune aux J populations normales.
a) Estimation de par ˆ 2T
Un premier estimateur de , noté ˆ 2T , est obtenu à partir de l'ensemble des N = n1 + n 2 +...+n J
observations en divisant la somme totale des carrés, STC, par ses degrés de liberté, soit (N-1). La
statistique qui en découle est donnée par l'expression suivante:
J nj
(Y − Y)
2
ij
STC j=1 i =1
ˆ 2T = =
N −1 N −1
b) Estimation de par ˆ 2M
Un deuxième estimateur de , noté ˆ 2M , est obtenu cette fois en mesurant la variabilité existante
entre les moyennes des échantillons. On l'appelle parfois la moyenne des carrés inter-groupes, ou la
moyenne des carrés due aux traitements. Dans ce qui suit, on la nomme la moyenne des carrés due
au facteur (MCF); elle est calculée en divisant la somme des carrés due au facteur (SCF) par ses
degrés de liberté, (J-1):
J
n (Y − Y )
2
j j
SCF j =1
ˆ 2M = MCF = =
J −1 J −1
c) Estimation de par ˆ 2C
Un troisième estimateur de est obtenu cette fois en combinant les variances intra-échantillons (
2 2
S12 , S 22 , ..., S J ) déjà présentées dans le tableau des données. La pondération attribuée à S j sera égale
( )
aux degrés de liberté de cette statistique, soit n j − 1 , j=1, 2, ..., J. L'estimateur est appelé la
moyenne des carrés due à l'erreur (MCE) et il est donné par les expressions équivalentes suivantes:
J J nj
(n −1)S (Y − Yj )
2
2
j j ij
SCE j=1 i =1
ˆ 2C = MCE = = j=1
=
N−J N− J N−J
Les trois sommes de carrés présentées plus haut ne sont pas totalement indépendantes les unes des
autres. Il existe en effet un résultat important qui montre que la somme totale des carrés est égale à
la somme des deux autres sommes de carrés:
C'est cette relation qui s'appelle l'équation fondamentale de l'analyse de la variance. La variabilité
totale entre les observations est décomposée en une part due aux différences entre les modalités du
facteur et une part de variabilité résiduelle.
Formules équivalentes
Pour effectuer les calculs à l'aide d'une calculatrice électronique, il est préférable d'utiliser les
formules suivantes qui sont algébriquement équivalentes aux précédentes:
J nj
T2
STC = Yij2 −
j= i i =1 N
J 2
T T2
SCF = j
−
j =i nj N
Il est d'usage de présenter les résultats d'une analyse de variance à un seul facteur dans un tableau
comme celui-ci:
Analyse de variance à un facteur
Source de variation Somme des carrés Degrés de liberté Moyenne des carrés
Facteur SCF J-1 MCF MCF
MCE
Erreur SCE N-J MCE
Totale SCT N-1
Quand Ho est vraie, MCF et MCE constituent deux estimateurs indépendants de de sorte que le
MCF
rapport F˜ = obéit à une loi de Fisher avec ( J-1 ) et ( N-J ) degrés de liberté. En vertu même
MCE
de la construction du rapport F˜ , on devra rejeter l'hypothèse nulle de l'égalité des moyennes Ho :
MCF
µ1 = µ2 = ... = µJ au seuil si et seulement si la valeur de F˜ = est plus grande que la
MCE
valeur critique de la table F− (J-1) et (N-J) dl.
Exemple :
Un manufacturier japonais de puces électroniques songe à implanter une nouvelle usine au Maroc
afin de desservir tout le marché nord-africain. Il hésite entre trois villes: Tanger, Casablanca et
Eljadida. Selon son point de vue, le critère le plus important à prendre en considération pour
déterminer l'emplacement de cette nouvelle usine est l'assiduité au travail des ouvriers.
Le manufacturier a visité au hasard dans chacune des villes considérées cinq grandes usines de
fabrication et il a obtenu des administrateurs le taux d'absentéisme par 3500 journées de travail. Les
résultats sont reproduits dans le tableau ci-dessous.
Données numériques
A un seuil de 5%, peut-on conclure que le taux d'absentéisme au travail est le même en moyenne
dans ces 3 villes?
J nj
STC = Yij2 − T² = 141² + 127² +...+ 189² − 2170² = 8149,33
N 15
j =i i =1
J T2
j
SCF = − T² = 647² + 688² + 835² − 2170² = 3908,93
nj N 5 5 5 15
j =i
Source de variation Somme des carrés Degrés de liberté Moyenne des carrés
Facteur 3908,93 2 1954,467 5,53
Erreur 4240,40 12 353,367
Totale 8149,33 14
A un seuil = 5%, on ne peut pas conclure que l'assiduité des travailleurs à leur travail soit la
même en moyenne dans ces 3 villes puisque la valeur observée 5,53 de F est supérieure à la valeur
critique F 0,95 à 2 et 12 dl = 3,89 obtenue de la distribution de Fisher à 2 et 12 degrés de liberté.
Ce test a pour but de vérifier si la variance ² d’une population est ou n’est pas égale à une
valeur donnée ²0, appelée norme.
Variable de décision :
n −
(xi − x)²
i =1
VD = ² 0
La variable de décision possède une distribution khi deux à (n-1) degrés de liberté.
Région d’acceptation :
Test bilatéral :
H0 : ² = ²0 et H1 : ² ²0
Les valeurs critiques qui délimitent la région d’acceptation sont ²1 et ²2 telles que :
p(²1 VD ²2) = 1 -
Exemple :
5,1 5,2 5,2 5,4 5,9 6,3 6,3 6,8 6,9 6,9 7,0 7,0
Hypothèse nulle :
Variable de décision :
n −
(xi − x)²
6,6
VD = i =1 = = 3,37
² 0 1,96
Région d’acceptation :
Les valeurs critiques qui délimitent la région d’acceptation sont : ² et ²1−
2 2
Au seuil de signification de 95 % ( = 0,05)
Ce test a pour but de vérifier si la variance ²1 d’une population est ou n’est pas égale à la
variance ²2 d’une autre population.
Variable de décision :
Soient deux échantillons aléatoires et non exhaustifs prélevés dans les deux populations. La
variable de décision du test correspond au rapport des deux variances observées des deux
échantillons :
^
VD = ²1
^
² 2
La variable de décision sui une loi de Fisher avec (n1-1) et (n2-1) degré de liberté.
Les tables de la loi de Fisher ne donnent que des valeurs supérieures à l’unité. C’est la raison
pour laquelle la variable de décision correspond au rapport de variances qui est supérieur à
l’unité, d’où l’échantillon 1 est celui qui a la plus grande variance.
Région d’acceptation :
Le test d’égalité de deux variances est en général un test bilatéral. Il précède généralement le
test de comparaison des moyennes de deux échantillons indépendants.
Les valeurs critiques qui délimitent la région d’acceptation sont F1 et F2 telles que :
p(F1 VD F2) = 1 -
Les tables de la loi de Fisher ne donnent que des valeurs supérieures à l’unité, de telle sorte que
seule est possible la comparaison avec F1− , et on rejette l’hypothèse nulle si la variable de
2
décision est supérieure ou égale à F1− .
2
Exemple :
Pour savoir si les filles sont plus assidues que les garçons ou non, on a choisi de manière
aléatoire et simple un premier échantillon de 10 filles et de façon indépendante, un deuxième
échantillon de 10 garçons. En fonction des résultats ci-dessous relatifs aux notes d’assiduités
(note sur 100), peut-on supposer, au seuil de 5 %, que les variances des deux populations sont
égales ?
Assiduité 72 67 52 54 46 58 59 54 58 63
des filles
Assiduité 66 59 54 57 63 55 61 55 66 75
des garçons
Pour répondre à cette question, on doit réaliser un test de comparaison de deux variances.
Hypothèse nulle :
Ce test a pour but de vérifier si la variance ²1 de la population des filles est ou n’est pas égale
à la variance ²2 de la population des garçons.
Variable de décision :
^
VD = ²1 =
57,12
= 1,31
^ 43,43
² 2
Région d’acceptation :
La variable de décision est inférieure à F1− , on accepte donc l’hypothèse d’égalité des
2
variances des deux populations.
On attribue la valeur p0 pour proportion dans une population dont la vraie proportion p est
inconnue, et on veut juger la validité de cette hypothèse.
Ce test a pour but de vérifier si la proportion p d’une population est ou n’est pas égale à une
valeur donnée p0, appelée norme.
Variable de décision :
fn − p0
VDR =
p0(1− p0)
n
Région d’acceptation :
Test bilatéral :
H0 : p = p0 et H1 : p p0
Les valeurs critiques qui délimitent la région d’acceptation sont les valeurs d’une variable
normale réduite Z1 et Z2 telles que :
Remarque :
H0 : p = p0 et H1 : p > p0
La valeur critique qui délimite la région d’acceptation est la valeur d’une variable normale
réduite Z telle que :
p(VDR Z) = 1 - Z = Z1−
H0 : p = p0 et H1 : p < p0
La valeur critique qui délimite la région d’acceptation est la valeur d’une variable normale
réduite Z telle que :
p(VDR < Z) = Z = Z
Exemple :
Au cours des élections, un candidat est élu avec 52 % des voix. Plusieurs mois après l'élection,
un institut de sondage interroge 1600 électeurs, dont 800 déclarent qu'ils voteraient en cas
d'élection, pour le même candidat. Ce résultat est-il ou non significatif d'une désaffection des
électeurs pour l'élu ?
Pour répondre à cette question, on doit vérifier si le nouveau pourcentage obtenu par le sondage,
n’est pas inférieur à la norme de 52 %. Il s’agit donc de faire un test de conformité de la
proportion.
Hypothèse nulle :
Variable de décision :
VD = fn = 800 = 0,50
1600
pq
La distribution de la proportion suit une loi normale de moyenne p et d’écart type (la
n
taille de l’échantillon est supérieure à 30 et le produit n p > 5).
fn − p0 0,50−0,52
VDR = = = - 1,60
p0(1− p0) 0,52(1−0,52)
n 1600
Région d’acceptation :
Ce test a pour but de vérifier si la proportion p1 d’une population est ou n’est pas égale à la
proportion p2 d’une autre population.
Variable de décision :
Il s’agit de comparer deux proportions observées. Soient deux échantillons aléatoires de taille
respectivement n1 et n2 extraits de deux populations. Les fréquences observées fn1 et fn2
Sont généralement différentes, il s’agit d’expliquer cette différence.
f n1 = X1 et f n2 = X 2
n1 n2
La variable de décision du test correspond à la différence entre les fréquences observées des
deux échantillons :
VD = fn1 – fn2
Comme, les distributions des deux proportions suivent des lois normales de moyennes
p1 (1 - p1) p2 (1 - p 2)
respectivement p1 et p2 et d’écarts types respectifs et à condition que
n1 n2
la taille de l’échantillon soit supérieure ou égale à 30 (n 30) et le produit n p 5, la variable
de décision est elle-même normale de moyenne (p1-p2) et d’écart type
p1 (1− p1) p2 (1− p2)
+ .
n1 n2
Sous l’hypothèse nulle p1 = p2 , il y a la même proportion inconnue p dans les deux populations.
Cette proportion peut être estimée par la fréquence observée fn1+n2 dans l’échantillon unique qui
est la réunion des deux échantillons.
X1 + X 2 n1 f n1 + n2 f n2
fn1+n2 = n1 + n2 = n1 + n2
Sous l’hypothèse nulle, la variable de décision suit une loi normale de moyenne (p1-p2) = 0 et
d’écart type :
f n1 − f n2
VDR =
f n1 + n2(1− f n1 + n2)( 1 + 1 )
n1 n2
Région d’acceptation :
La région d’acceptation est identique à celle du test de conformité d’une proportion, elle dépend
de l’hypothèse alternative H1.
Test bilatéral :
H0 : p1 = p2 et H1 : p1 p2
Remarque :
H0 : p1 = p2 et H1 : p1 > p2
H0 : p1 = p2 et H1 : p1 < p2
Exemple :
Une enquête sur l’emploi a concerné 220 personnes dont 115 dans le milieu rural et 105 dans
le milieu urbain. Sur les 115 ruraux enquêtés, 74 se sont révélés actifs, alors que pour les
enquêtés urbains, 81 sont actifs. Peut-on admettre, au seuil de 5 %, qu’il n’y a pas de différence
significative entre les taux d’activités dans les deux milieux ?
Pour répondre à cette question, on doit réaliser un test de comparaison de deux proportions.
Hypothèse nulle :
Ce test a pour but de vérifier si la proportion p1 des personnes actives dans le milieu rural est
ou n’est pas égale à la proportion p2 des personnes actives dans le milieu urbain.
Variable de décision :
f n1 − f n2 0,64−0,77
VDR = = = -2,10
f n1 + n2(1− f n1 + n2)( 1 + 1 ) 1
0,70(1−0,70)( + ) 1
n1 n2 115 105
Région d’acceptation :
VDR > Z1− , on rejette donc l’hypothèse nulle. C’est à dire, il y a une différence significative
2
entre les taux d’activités dans les deux milieux.
Ce test a pour but de vérifier si les proportions p1, p2, ... pk de k populations sont égales. On écrit
comme suit les hypothèses:
Ho: p1 = p2 = ... = pk
Variable de décision :
Effectifs observés
Sous l’hypothèse nulle p1 = p2 = ... = pk, il y a la même proportion inconnue p dans les k
populations. Cette proportion peut être estimée par la fréquence observée f dans l’échantillon unique
qui est la réunion des k échantillons.
n11+n21+...+nk1
f = n1.+n2.+...+nk.
sous l’hypothèse nulle, les effectifs théoriques sont :
Effectifs théoriques
On est amené à confronter les effectifs observés et les effectifs théoriques. On calcule la variable
de décision VD :
On peut démontrer que la variable de décision est une variable aléatoire Khi deux avec (k-1)
degré de liberté.
Région d’acceptation :
La variable de décision est nulle lorsque les effectifs observés sont touts égales aux effectifs
attendus, c’est à dire, lorsqu’il y a concordance absolue entre la distribution observée et la
distribution théorique. La valeur de la variable de décision est d’autant plus grande que les
écarts entre les effectifs observés et attendus sont plus grands. La valeur critique qui délimite
la région d’acceptation est ² telle que :
Le test étant toujours unilatéral, la région d’acceptation est donc l’intervalle [0 ; ²1-[.
On rejettera donc l’hypothèse nulle lorsque la valeur de la variable de décision est supérieure
ou égale à ²1- avec (k-1) degrés de liberté.
Exemple :
Lors d’une campagne électorale, un parti politique a effectué un sondage pour évaluer les
intentions de vote en faveur de ce parti. Quatre échantillons indépendants ont été choisis dans
quatre villes différentes. On a obtenu les résultats suivants :
Ho: p1 = p2 = p3 = p4
Variable de décision :
Sous l’hypothèse nulle : p1 = p2 = p3 = p4, il y a la même proportion inconnue p dans les 4 villes.
Cette proportion peut être estimée par la fréquence observée f dans l’échantillon unique qui est la
réunion des 4 échantillons.
94+58+60+43
f = 334+288+312+240 = 0,22
Effectifs théoriques
VD =
(43−52,8)² (197−187,2)²
+ = 11,65
52,8 187,2
La variable de décision est une variable aléatoire Khi deux avec 3 degrés de liberté.
Région d’acceptation :
k k
H0 : ni = npi avec ni = npi = n
i =1 i =1
Variable de décision :
On distingue deux cas d’application de ces tests, selon que la distribution théorique est ou n’est
pas complètement définie. Dans le premier cas, la variable de décision peut être calculée
immédiatement. Dans le second cas, la distribution de probabilité de la population n’est définie
qu’en fonction d’un ou de plusieurs paramètres, ceux-ci doivent préalablement être estimés à
partir des données de l’échantillon.
Les effectifs attendus doivent être tous supérieurs ou égales à 5. quand cette condition n’est pas
remplie, on peut regrouper des classes voisines, de manière à augmenter les effectifs attendus.
On peut démontrer que la variable de décision est une variable aléatoire Khi deux avec (k-1)
degré de liberté. k correspond au nombre de calasses après regroupement.
k
ni ²
VD = npi - n
i =1
Lorsque la distribution théorique n’est pas complètement définie, le ou les paramètres qui
caractérisent cette distribution doivent tout d’abord être estimés. On peut calculer ensuite les
^ ^
probabilités estimées pi , les effectifs attendus correspondants n pi , et la valeur de décision :
k
ni ²
VD = i =1 ^ - n
n pi
Le nombre de degré de liberté (k-1) doit être réduit du nombre de paramètres estimés.
Région d’acceptation :
La variable de décision est nulle lorsque les effectifs observés sont touts égales aux effectifs
attendus, c’est à dire, lorsqu’il y a concordance absolue entre la distribution observée et la
distribution théorique. La valeur de la variable de décision est d’autant plus grande que les
écarts entre les effectifs observés et attendus sont plus grands. La valeur critique qui délimite
la région d’acceptation est ² telle que :
Le test étant toujours unilatéral, la région d’acceptation est donc l’intervalle [0 ; ²1-[.
On rejettera donc l’hypothèse nulle lorsque la valeur de la variable de décision est supérieure
ou égale à ²1-.
Exemple :
Le tableau suivant donne la distribution de fréquences des nombres de garçons observés dans
1600 familles de 4 enfants, considérées comme choisies au hasard au sein d’une très large
population. En fonction de ces résultats, peut-on affirmer, au seuil de 5 %, que le nombre de
garçons suit une loi binomiale ?
Pour répondre à cette question, on doit réaliser un test d’ajustement dans le but de comparer la
distribution observée à la une distribution binomiale.
Hypothèse nulle :
k k
H0 : ni = npi avec ni = npi = n
i =1 i =1
Variable de décision :
La probabilité d’avoir un garçon est supposée égale à 0,5, la loi binomiale qui caractérise le
nombre de garçons dans une famille de 4 enfants a pour paramètre 4 et 0,5.
p x q n− x
x
p ( x) = C n
x p(x)
0 0,0625
1 0,2500
2 0,3750
3 0,2500
4 0,0625
Total 1
Le tableau suivant regroupe les effectifs observés ni et les effectifs attendus ou théoriques
correspondants npi.
x ni npi
0 113 100
1 367 400
2 576 600
3 426 400
4 118 100
Total 1600 1600
Les effectifs théoriques sont tous supérieures à 5, on peut calculer la variable de décision :
k
VD = np
ni ²
i -n
i =1
VD =
113² + 367² + 576² + 426² +118² - 1600 = 10,3
100 400 600 400 100
Région d’acceptation :
Pour = 0,05, la valeur de ²1- avec 4 degrés de liberté est : ²0,95 = 9,49
La valeur de la variable de décision est supérieure à ²1- , on rejette donc l’hypothèse nulle.
Pour des échantillons aléatoires et simples, si les deux critères de classification sont
indépendants, les probabilités pij de la distribution à deux dimensions peuvent être estimées
par :
^ ni. n.j
pij = fi. f.j avec fi. =
n et f.j =
n sont les fréquences relatives marginales.
ni. et n.j sont les effectifs marginaux, et nij les effectifs conjoints.
Les effectifs attendus correspondants sont donc :
^
ni. n.j ni.n.j
n pij = n fi. f.j = n n n = n
les effectifs attendus doivent touts être supérieurs ou égales à 5.
^
H0 : nij = n pij
Variable de décision :
la comparaison des effectifs observés et attendus se fait comme pour les tests d’ajustement, en
calculant la variable de décision suivante :
p q
nij ²
VD = ^ -n
i =1 j =1n p
ij
On démontre que la variable de décision est une variable aléatoire Khi deux avec (p-1)(q-1)
degré de liberté.
Région d’acceptation :
Le test étant toujours unilatéral, la région d’acceptation est donc l’intervalle [0 ; ²1-[.
On rejettera donc l’hypothèse nulle lorsque la valeur de la variable de décision est supérieure
ou égale à ²1-.
Exemple :
Un tour opérateur souhaite segmenter son marché. Il se demande s’il existe un lien entre le
choix d’une destination de vacances et le niveau d’instruction. Les données recueillies ont été
structurées sous forme de d tableau de contingence.
Hypothèse nulle :
^
H0 : nij = n pij
Variable de décision :
^ ni.n.j
Les effectifs attendus sont estimés par la formule : n pij =
n
Niveau Destination de vacances
d’instruction Mer Montagne Désert Total
Primaire 270 112,5 67,5 450
Secondaire 210 87,5 52,5 350
Supérieur 120 50 30 200
Total 600 250 150 1000
p q
nij ²
VD = ^ - n = 300² + 50² +100² + 250² +...+ 30² - 1000 = 220,91
i =1 j =1n p 270 112,5 67,5 210 30
ij
Région d’acceptation :
Pour = 0,05, la valeur de ²1- avec 4 degrés de liberté est ²0,95 = 9,49.
La valeur de la variable de décision est supérieure à ²1- , on rejette donc l’hypothèse nulle.
On conclut donc que le niveau d’instruction a une influence sur le choix d’une destination
touristique.
Ex 1 : Un fabricant de tubes à essais pour laboratoire fonde sa publicité sur le fait que la durée
de vie de ses tubes correspond à 1500 heures de chauffage à l’aide d'un bec Bunzen. Un
laboratoire de contrôle de publicité constate que sur 100 tubes à essais, la durée moyenne de
vie est de 1485 heures de chauffage avec un écart-type de 110 heures. Au risque 5%, la durée
de vie des tubes à essais est-elle différente de 1500 heures de chauffage ?
Ex 2 : L'expérience suivante a été réalisée par Weldon : il a lancé un dé 315 672 fois, il a tiré
106 602 fois l'une des faces 5 ou 6 Peut-on accepter l'hypothèse selon laquelle le dé est équilibré,
au risque de 5% ?
Ex 3 : Le directeur de ventes d’un laboratoire pharmaceutique veut savoir s’il existe des
différences significatives entre les régions en terme de niveau d’accueil d’un nouveau produit.
Les résultats suivants ont été obtenus auprès d’un échantillon aléatoire de clients :
Régions
Niveau d’accueil Nord Est Sud Ouest
Faible 22 35 0 5
Modéré 84 55 8 24
Elevé 25 17 22 12
Ex 4 : Les moteurs des appareils électroménagers d'une marque M ont une durée de vie
moyenne de 3000 heures avec un écart-type de 150 heures. À la suite d'une modification dans
la fabrication des moteurs, le fabriquant affirme que les nouveaux moteurs ont une durée de vie
supérieure à celle des anciens. On a testé un échantillon de 50 nouveaux moteurs et on a trouvé
une durée de vie moyenne de 3250 heures avec un écart-type égal à 150 heures. Les nouveaux
moteurs apportent-ils une amélioration dans la durée de vie des appareils électroménagers au
risque de 1% ?
Ex 5 : Dans une grande ville d'un pays donné, une enquête a été réalisée sur les dépenses
mensuelles pour les loisirs. On a observé les résultats suivants:
• Sur 280 familles habitant le centre-ville, les dépenses mensuelles pour les loisirs sont en
moyenne de 640 dh avec un écart-type de 120 dh.
• Sur 300 familles habitant la banlieue, les dépenses mensuelles pour les loisirs sont en moyenne
de 610 dh avec un écart-type de 100 dh.
Peut-on dire au risque de 5 % que la part du budget familial consacré aux loisirs est différente
suivant que la famille habite le centre-ville ou la banlieue ?
Ex 8 : Pour une élection, on effectue un sondage pour évaluer les intentions de vote en faveur
du candidat M. Dans la ville de casa, sur 450 personnes interrogées, 52% ont l'intention de voter
pour M. Dans la ville de rabat, sur 300 personnes interrogées, 49 % ont l'intention de voter pour
M. Au risque de 5%, y a-t-il une différence d'intention de vote dans ces deux villes?
Ancienne méthode: 48, 46, 47, 43, 46, 45, 49, 46, 47, 44.
Nouvelle méthode: 56, 49, 53, 51, 48, 52, 55, 53, 49, 50.
La nouvelle méthode de promotion a-t-elle un effet positif sur les ventes ( = 5%)?
Ex 12 : Dans le but de contrôler le poids net des sachets d'un produit alimentaire, on a prélevé
deux échantillons respectivement de 10 et 12 sachets, on a obtenu les résultats suivant (en
grammes) :
Éch 1 190 200 202 195 194 208 205 196 198 206
Éch 2 210 204 203 189 194 195 206 205 200 201 198 197
Ces deux résultats sont-ils significativement différents en ce qui concerne le poids moyen %
Ex 13 : Au concours d’entrée à une école, l’épreuve de culture générale est notée de 0 à 50. on
tire au hasard un échantillon de 100 candidats et l’on relève que les notes qu’ils ont obtenues
se classent en cinq tranches de la manière suivante :
Le jury se demande s’il est justifié de considérer que la distribution des notes suit une
loi normale dans la population de tous les candidats.
Ex 16 : Une machine fabrique des pièces identiques. La moyenne des poids de 50 pièces
prélevées dans la production est 68,2 grammes avec un écart-type de 2,5 grammes. On effectue
un réglage sur la machine. On prélève un nouvel échantillon de 50 pièces. On trouve un poids
moyen de 67, 5 grammes avec un écart-type de 2, 8 grammes. Peur-on affirmer, au risque 5 %
que le réglage a modifié le poids des pièces ?
hommes femmes
Possèdent le bac 32 26
ne possèdent pas le bac 64 78
Ex 19 : Une enquête a été réalisée au près d’un échantillon de 500 individus prélevé au sein
d’une population cible de 4 millions d'individus. Les données que l'on possède sur cette
population sont les suivantes :
Au dépouillement, on a trouvé que les individus qui ont formé l’échantillon ont les
caractéristiques suivantes :
Ex 20 : Dans une population, on interroge un échantillon aléatoire de 400 personnes dont 160
sont âgées de 18 à 40 ans et 240 sont âgées de plus de 40 ans. On a trouvé que les pourcentages
des personnes propriétaires de leur logement dans les deux groupes sont respectivement 35%
et 45%. Ces deux résultats sont-ils significativement différents au seuil de signification de 5% ?
Nombres d’arrivées 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fréquences absolues observées 1 4 12 18 22 17 11 6 4 3 2
Au seuil de 5 %, testez l’hypothèse selon laquelle le nombre d’étudiants médiocres est le même
pour chaque examinateur.
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 05359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 05753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 06141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 06517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 06879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 07224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 07549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7703 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 07852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 08133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 08389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 08621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 08830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 090147
1,3 0,90320 0,90490 0,90658 0,90824 0,90988 0,91149 0,91309 0,91466 0,91621 0,91774
1,4 0,91924 0,92073 0,92220 0,92364 0,92507 0,92647 0,92785 0,92922 0,93056 0,93189
1,5 0,93319 0,93448 0,93574 0,93699 0,93822 0,93943 0,94062 0,94179 0,94295 0,94408
1,6 0,94520 0,94630 0,94738 0,94845 0,94950 0,95053 0,95154 0,95254 0,95352 0,95449
1,7 0,95543 0,95637 0,95728 0,95818 0,95907 0,95994 0,96080 0,96164 0,96246 0,96327
1,8 0,96407 0,96485 0,96562 0,96638 0,96712 0,96784 0,96856 0,96926 0,96995 0,97062
1,9 0,97128 0,97193 0,97257 0,97320 0,97381 0,97441 0,97500 0,97558 0,97615 0,97670
2,0 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,98030 0,98077 0,98124 0,98169
2,1 0,98214 0,98257 0,98300 0,98341 0,98382 0,98422 0,98461 0,98500 0,98537 0,98574
2,2 0,98610 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,98840 0,98870 0,98899
2,3 0,98928 0,98956 0,98983 0,99010 0,99036 0,99061 0,99086 0,99111 0,99134 0,99158
2,4 0,99180 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,99305 0,99324 0,99343 0,99361
2,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,99430 0,99446 0,99461 0,99477 0,99492 0,99506 0,99520
2,6 0,99534 0,99547 0,99560 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,99621 0,99632 0,99643
2,7 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,99702 0,99711 0,99720 0,99728 0,99736
2,8 0,99744 0,99752 0,99760 0,99767 0,99774 0,99781 0,99788 0,99795 0,99801 0,99807
2,9 0,99813 0,99819 0,99825 0,99831 0,99836 0,99841 0,99846 0,99851 0,99856 0,99861
3,0 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99897 0,99900
3,1 0,99903 0,99906 0,99910 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,99929
3,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,99940 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,99950
3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,99960 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965
3,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,99970 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976
3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983
3,6 0,99984 0,99985 0,99985 0,99986 0,99986 0,99987 0,99987 0,99988 0,99988 0,99989
3,7 0,99989 0,99990 0,99990 0,99990 0,99991 0,99991 0,99992 0,99992 0,99992 0,99992
3,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995
3,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997
Exemple :
k/p 0,0005 0,001 0,005 0,01 0,025 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4
1 0,06393 0,05157 0,04393 0,03157 0,03982 0,02393 0,0158 0,0642 0,148 0,275
2 0,02100 0,02200 0,0100 0,0201 0,0506 0,103 0,211 0,446 0,713 1,02
3 0,0153 0,0243 0,0717 0,115 0,216 0,352 0,584 1,00 1,42 1,87
4 0,0639 0,0908 0,207 0,297 0,484 0,711 1,06 1,65 2,19 2,75
5 0,158 0,210 0,412 0,554 0,831 1,15 1,61 2,34 3,00 3,66
6 0,299 0,381 0,676 0,872 1,24 1,64 2,20 3,07 3,83 4,57
7 0,485 0,598 0,989 1,24 1,69 2,17 2,83 3,82 4,67 5,49
8 0,710 0,857 1,34 1,65 2,18 2,73 3,49 4,59 5,53 6,42
9 0,972 1,15 1,73 2,09 2,70 3,33 4,17 5,38 6,39 7,36
10 1,26 1,48 2,16 2,56 3,25 3,94 4,87 6,18 7,27 8,30
11 1,59 1,83 2,60 3,05 3,82 4,57 5,58 6,99 8,15 9,24
12 1,93 2,21 3,07 3,57 4,40 5,23 6,30 7,81 9,03 10,2
13 2,31 2,62 3,57 4,11 5,01 5,89 7,04 8,63 9,93 11,1
14 2,70 3,04 4,07 4,66 5,63 6,57 7,79 9,47 10,8 12,1
15 3,11 3,48 4,60 5,23 6,26 7,26 8,55 10,3 11,7 13,0
16 3,54 3,94 5,14 5,81 6,91 7,96 9,31 11,2 12,6 14,0
17 3,98 4,42 5,70 6,41 7,56 8,67 10,1 12,0 13,5 14,9
18 4,44 4,90 6,26 7,01 8,23 9,39 10,9 12,9 14,4 15,9
19 4,91 5,41 6,84 7,63 8,91 10,1 11,7 13,7 15,4 16,9
20 5,40 5,92 7,43 8,26 9,59 10,9 12,4 14,6 16,3 17,8
21 5,90 6,45 8,03 8,90 10,3 11,6 13,2 15,4 17,2 18,8
22 6,40 6,98 8,64 9,54 11,0 12,3 14,0 16,3 18,1 19,7
23 6,92 7,53 9,26 10,2 11,7 13,1 14,8 17,2 19,0 20,7
24 7,45 8,08 9,89 10,9 12,4 13,8 15,7 18,1 19,9 21,7
25 7,99 8,65 10,5 11,5 13,1 14,6 16,5 18,9 20,9 22,6
26 8,54 9,22 11,2 12,2 13,8 15,4 17,3 19,8 21,8 23,6
27 9,09 9,80 11,8 12,9 14,6 16,2 18,1 20,7 22,7 24,5
28 9,66 10,4 12,5 13,6 15,3 16,9 18,9 21,6 23,6 25,5
29 10,2 11,0 13,1 14,3 16,0 17,7 19,8 22,5 24,6 26,5
30 10,8 11,6 13,8 15,0 16,8 18,5 20,6 23,4 25,5 27,4
k/p 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999 0,9995
1 0,455 0,708 1,07 1,64 2,71 3,84 5,02 6,63 7,88 10,8 12,1
2 1,39 1,83 2,41 3,22 4,61 5,99 7,38 9,21 10,6 13,8 15,2
3 2,37 2,95 3,67 4,64 6,25 7,81 9,35 11,3 12,8 16,3 17,7
4 3,36 4,04 4,88 5,99 7,78 9,49 11,1 13,3 14,9 18,5 20,0
5 4,35 5,13 6,06 7,29 9,24 11,1 12,8 15,1 16,7 20,5 22,1
6 5,35 6,21 7,23 8,56 10,6 12,6 14,4 16,8 18,5 22,5 24,1
7 6,35 7,28 8,38 9,80 12,0 14,1 16,0 18,5 20,3 24,3 26,0
8 7,34 8,35 9,52 11,0 13,4 15,5 17,5 20,1 22,0 26,1 27,9
9 8,34 9,41 10,7 12,2 14,7 16,9 19,0 21,7 23,6 27,9 29,7
10 9,34 10,5 11,8 13,4 16,0 18,3 20,5 23,2 25,2 29,6 31,4
11 10,3 11,5 12,9 14,6 17,3 19,7 21,9 24,7 26,8 31,3 33,1
12 11,3 12,6 14,0 15,8 18,5 21,0 23,3 26,2 28,3 32,9 34,8
13 12,3 13,6 15,1 17,0 19,8 22,4 24,7 27,7 29,8 34,5 36,5
14 13,3 14,7 16,2 18,2 21,1 23,7 26,1 29,1 31,3 36,1 38,1
15 14,3 15,7 17,3 19,3 22,3 25,0 27,5 30,6 32,8 37,7 39,7
16 15,3 16,8 18,4 20,5 23,5 26,3 28,8 32,0 34,3 39,3 41,3
17 16,3 17,8 19,5 21,6 24,8 27,6 30,2 33,4 35,7 40,8 42,9
18 17,3 18,9 20,6 22,8 26,0 28,9 31,5 34,8 37,2 42,3 44,4
19 18,3 19,9 21,7 23,9 27,2 30,1 32,9 36,2 38,6 43,8 46,0
20 19,3 21,0 22,8 25,0 28,4 31,4 34,2 37,6 40,0 45,3 47,5
21 20,3 22,0 23,9 26,2 29,6 32,7 35,5 38,9 41,4 46,8 49,0
22 21,3 23,0 24,9 27,3 30,8 33,9 36,8 40,3 42,8 48,3 50,5
23 22,3 24,1 26,0 28,4 32,0 35,2 38,1 41,6 44,2 49,7 52,0
24 23,3 25,1 27,1 29,6 33,2 36,4 39,4 43,0 45,6 51,2 53,5
25 24,3 26,1 28,2 30,7 34,4 37,7 40,6 44,3 46,9 52,6 54,9
26 25,3 27,2 29,2 31,8 35,6 38,9 41,9 45,6 48,3 54,1 56,4
27 26,3 28,2 30,3 32,9 36,7 40,1 43,2 47,0 49,6 55,5 57,9
28 27,3 29,2 31,4 34,0 37,9 41,3 44,5 48,3 51,0 56,9 59,3
29 28,3 30,3 32,5 35,1 39,1 42,6 45,7 49,6 52,3 58,3 60,7
30 29,3 31,3 33,5 36,3 40,3 43,8 47,0 50,9 53,7 59,7 62,2
Pour lire une valeur ²à k dl dans la table, il suffit de lire l'intersection entre la colonne
correspondante à la valeur de la probabilité cumulée F(²à k dl) et la ligne correspondante aux
degrés de liberté k.
Exemple :
La valeur de ²à 10 dl pour une probabilité de 0,95 correspond à l'intersection entre la colonne
correspondante à 0,95 et la ligne correspondante à 10, on peut lire la valeur 18,3.
²0,95 à 10 dl = 18,3
²0,05 à 20 dl = 10,9
k/p 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999 0,9995
1 0,325 0,727 1,376 3,078 6,314 12,71 31,82 63,66 318,3 636,6
2 0,289 0,617 1,061 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 22,33 31,60
3 0,277 0,584 0,978 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 10,22 12,94
4 0,271 0,569 0,941 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 7,173 8,610
5 0,267 0,559 0,920 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 5,893 6,859
6 0,265 0,553 0,906 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,208 5,959
7 0,263 0,549 0,896 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,785 5,405
8 0,262 0,546 0,889 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 4,501 5,041
9 0,261 0,543 0,883 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,297 4,781
10 0,260 0,542 0,879 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,144 4,587
11 0,260 0,540 0,876 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,025 4,437
12 0,259 0,539 0,873 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,930 4,318
13 0,259 0,538 0,870 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,852 4,221
14 0,258 0,537 0,868 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,787 4,140
15 0,258 0,536 0,866 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,733 4,073
16 0,258 0,535 0,865 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,686 4,015
17 0,257 0,534 0,863 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,646 3,965
18 0,257 0,534 0,862 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,611 3,922
19 0,257 0,533 0,861 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,579 3,883
20 0,257 0,533 0,860 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,552 3,850
21 0,257 0,532 0,859 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,527 3,819
22 0,256 0,532 0,858 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,505 3,792
23 0,256 0,532 0,858 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,485 3,767
24 0,256 0,531 0,857 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,467 3,745
25 0,256 0,531 0,856 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,450 3,725
26 0,256 0,531 0,856 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,435 3,707
27 0,256 0,531 0,855 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,421 3,690
28 0,256 0,530 0,855 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,408 3,674
29 0,256 0,530 0,854 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,396 3,659
30 0,256 0,530 0,854 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,385 3,646
40 0,255 0,529 0,851 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,307 3,551
60 0,254 0,527 0,848 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,232 3,460
80 0,254 0,527 0,846 1,292 1,664 1,990 2,374 2,639 3,195 3,415
100 0,254 0,526 0,845 1,290 1,660 1,984 2,365 2,626 3,174 3,389
200 0,254 0,525 0,843 1,286 1,653 1,972 2,345 2,601 3,131 3,339
500 0,253 0,525 0,842 1,283 1,648 1,965 2,334 2,586 3,106 3,310
0,253 0,524 0,842 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,090 3,291
Pour lire une valeur tàkdl dans la table, il suffit de lire l'intersection entre la colonne
correspondante à la valeur de la probabilité cumulée F(tà k dl) et la ligne correspondante aux
degrés de liberté k.
Exemple :
t 0,95 à 10 dl = 1,812
t 0,7 à 20 dl = 0,533
Pour lire une valeur Fà k1 et k2 dl dans la table, il suffit de lire l'intersection entre la colonne
correspondante à la valeur de k1 et la ligne correspondante à la valeur de k2.
Exemple :
La valeur de Fà 10 et 15 dl pour une probabilité de 0,95 correspond dans la table de la loi F pour
p=0,95, à l'intersection entre la colonne correspondante à 10 et la ligne correspondante à 15, on
peut lire la valeur 2,54.
F 0,95 à 10 et 15 dl = 2,54
F 0,975 à 15 et 20 dl = 2,57