Ran2 - Fonctions - Ex - Rev 2017

JFF-MATHOSAURE Mathématiques L2L3ingé – RAN2 - Fonctions
Remise à Niveau Mathématiques

Deuxième partie : Fonctions
Exercices
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L2L3ingé – RAN2 – Fonctions – Exercices - Rev 2017
1 Définitions
1.1 Fonction numérique
Déterminer le domaine de définition des expressions suivantes :
1 x 1
a. y = 2 x + 1 b. y = c. y = 2 d. y = e. y = x − 4 + 6 − x
x −2 x −1 x −2
2
f. y = (x 2
− 6 x + 5) x − 9 g. y = (
6 x 2 + 3 2 + 4 3 x − 12 ) h. y = x2 − 3 x + 4
1 1 1 1
i. y = j. y = k. y = l. w=
x2 − 4 x −2 x +2 2 x2 + 9 x + 2 t −1
x2 − 2 x − 1 x2 − 1
m. y = n. y = p. y = ln(− x2 + 3 x + 10) q. y = sin 3 x
( x − 1)( x + 5)
2
x −1
1
r. y = ln x s. y = t. y = x 1 x
ln x
1.2 Composition de fonctions

1.2.1 Soit la fonction d’expression f (x) = 3x² + 1, qu’on étudiera sur ℝ + . Quel est son domaine d’arrivée ?
Décrire sa fonction réciproque f -1.
1.2.2 On note f la fonction carré, g la fonction inverse et h la fonction x ֏ x −1 . Déterminer les
expressions des fonctions composées f o g, g o f, f o h, h o f, g o h, h o g.
1.2.3 Soit les fonctions f, g, h définies par : f ( x ) = x − 1 ; g ( x ) = x2 + 2 ; h ( x ) = x + 3
Exprimer la fonction f g h , puis la fonction h g f .
2 Propriétés
2.1 Parité
2.1.1 Quels sont les effets de la parité de deux fonctions sur celle de leur produit ou de leur quotient ?
2.1.2 Dire si les fonctions suivantes sont paires, impaires ou ni l'une ni l'autre :
1
x sin  
1 1  x
a. f ( x) = x3 − x7 b. f ( x) = x2 + 2 c. f ( x ) = x2 + d. f ( x ) =
x x 1 − x2
2.2 Sens de variation (ou croissance/décroissance) d’une fonction
2.2.1 Montrer que la fonction inverse est strictement décroissante sur ℝ*+ .
2.2.2 Montrer que la fonction racine carrée est strictement croissante sur ℝ + .
2.3 Périodicité
2.3.1 Etudier la parité et la périodicité de la fonction : f ( x ) = cos (2 x ) + 1
2.3.2 E désigne la fonction partie entière. Montrer que la fonction x ֏ x − E ( x ) est périodique.
2.3.3 Quelles sont les fonctions affines périodiques ?
2.4 Limites d’une fonction
− x2 + 1
2.4.1 Étudier la limite en +∞ de f : x ֏ − 2 x 2 + 2 x + 1 ; g : x ֏ ; h:x ֏ x − x .
3 x2 + x + 1
2+ x − 2−x x2 + 9 − 3
2.4.2 Étudier la limite en 0 de : f : x ֏ ; g:x֏
x x2
2.4.3 Un peu plus corsé : quelle est la limite en +∞ de x1/x ?
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2.5 Asymptotes
x2 + 4 x + 16
2.5.1 Étude de f : x ֏ : Df, limites, recherche d’asymptotes, tracer la courbe.
2 x 2 + 8 x + 12
x2
2.5.2 Étude de la fonction g : x ֏ . Démontrer que son expression peut s’écrire sous la forme :
x−2
c
g ( x ) = ax + b + , avec a, b et c à déterminer, limites, recherche d’asymptotes, courbe.
x −2
2.6 Continuité
x
2.6.1 Déterminer si f : x ֏ est continue sur ℝ .
x
sin x
2.6.2 Soit f : x ֏ . Cette fonction est-elle définie sur [0 ; 2π] ? Est-elle continue ?
sin x
2.6.3 Soit E la fonction qui fait correspondre à tout réel positif sa partie entière (l’entier immédiatement
inférieur à ce réel). Vérifier qu’elle n’est pas continue sur ℝ .
3 Dérivation
3.1 Expressions de dérivées de quelques fonctions
3.1.1 Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes, puis leur dérivée, en donnant le
résultat sous la forme la plus factorisée possible :
1 2 3 1
a. f (x) = x² + 3x b. g(x) = x² + 2x – 7 c. f (x) = x3 – x² + x d. g(x) = 3x² + 2x + 3
3 3 2 2
e. f (x) = (4x + 5)3 f. g(x) = x x g. f (x) = (3 – 2x) x h. g(x) = (2x² + x) x
1 1 3x x −5 x2 − 3x 3
i. f (x) = − j. g(x) = k. f (x) = l. g(x) = m. f (x) = 2
x+3 x x +2 x +2 x +1 x −1
x2 − 1 x3 − 1  x − 3 
n. g(x) = 2 o. f (x) = 2 p. g(x) = ln (1 – 2x) q. f (x) = ln  
x +x 3x + 1  x + 3 
2
r. g(x) = ln (x² – 1) s. f (x) = (1 + x) e1 – 2x t. g(x) = e2x – ex u. f (x) =
1 − e −2 x
3.1.2 Donner, grâce à un calcul de limite, l’expression de la dérivée de :
v. La fonction inverse ; w. La fonction racine carrée.
4 Étude de fonctions spécifiques

4.1 Fonctions en escaliers
4.1.1 Représenter graphiquement la fonction qui, à tout réel positif x, associe E(√x).
4.2 Fonctions affines
4.2.1 On compare les prix de deux agences de location de véhicules. Pour une même camionnette, le
loueur A propose le tarif suivant : forfait de 60 €, plus 2,5 €/km et le loueur B propose un forfait de
80 €, plus 1,5 €/km. On note x la distance, variable, que l’on pourrait parcourir, f (x) le prix que l’on
paierait chez A et g(x) le prix chez B. Représenter graphiquement les fonctions f et g, dire
graphiquement et par le calcul pour quelles distances le loueur B est moins cher que le loueur A.
4.3 Fonctions puissance mième de x
4.3.1 Soit la fonction du second degré d’expression f (x) = -2,5x² + 15x – 12. Donner sa dérivée, étudier le
signe de cette dérivée, dresser le tableau de variation de f en indiquant ses extremums locaux.
4.3.2 Soit la fonction du troisième degré d’expression f (x) = 0,1x³ - 2,5x² + 15x – 12. Dériver, étudier le
signe de cette dérivée, dresser le tableau de variation de f en indiquant ses extremums locaux.
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4.4 Fonctions racine mième de x

4.4.1 Étudier les variations de la fonction racine cubique.
4.5 Fonctions homographiques
4.5.1 La rentabilité d’un produit à la mode lancé à la date t = 0 décroît avec le temps, l’effet de mode
45
passant, suivant l’expression : f ( t ) = − 4t , où t est le temps exprimé en années et f (t) est la
t +2
rentabilité exprimée en M€/an. Montrer que f est une fonction décroissante du temps, déterminer
au bout de combien de temps la rentabilité devient nulle, déterminer les asymptotes à la courbe
de f, représenter cette fonction graphiquement.
4.6 Fonctions logarithme népérien et exponentielle
4.6.1 Simplifier au maximum : ( )
a = ln e3 ;
1
b = ln  2  ;
e 
( )
c = ln e e
4.6.2 Soit la fonction d’expression f (x) = – x² + 3x + 10. On s’intéressera à la composition g = ln o f. Donner

le domaine de définition de g, la dériver, étudier ses variations et ses limites, déterminer les
asymptotes à sa courbe.
4.6.3 Après l’analyse de nombreuses données statistiques, il est apparu que le pourcentage p de chances
qu’un commercial a de vendre son produit à un client potentiel dépend du temps t (en heures) qu’il
a consacré à présenter son produit, suivant la formule : p = 100 e − e
−t −2 t
(
. Calculer p(0), )
déterminer la limite de p en +∞, étudier les variations de p et dresser son tableau de variations en
y indiquant ses extremums éventuels et conclure sur le temps que le commercial doit consacrer à
la présentation de son produit pour que ses chances de le vendre soient maximales.
4.6.4 Résoudre les (in)équations suivantes :
a) lnx – ln(1 – x) = ln 2 b) ln(1 – x) = 3 c) ln(1 – x) + 3 = 0 d) lnx ≤ 3 e) ex – 3 = 1
f) ln(3x² – x) ≤ lnx + ln2 g) ex – 3 = e2 – 3x h) e0,01x + 4 = e2 i) 2e−2 x + 3 = 1 j) ex(ex + 1) = 0
ex + 1
k) =2 l) ex ≤ 3 m) e3 x −2 < e2 − x n) e < ex – 1 o) 1 – ex ≥ 0 p) 2 – e–2x + 1 ≤ 0
2e x − 1
2 2 (1 + ln x )
( ln x )
2
q) 3e− x − 2 ≥ 0 r) e0,5 x + 1 ≥ 1 s) e5x > ex t) + ln x − 6 = 0 u) =0
x
 x −1 
( ) (
v) ln x 3 + 2 = ln 2 x2 + x ) ( )
w) ln x3 − x2 − 3 x + 3 = ln x2 − 2 x + 1 ( ) x) ln  =0
 2x − 1 
y) (x – 3)(2 – x) ≥ 0 puis (ex – 3)(2 – ex ) ≥ 0
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1.2 Composition de fonctions

4 Étude de fonctions spécifiques

4.4 Fonctions racine mième de x

4.6.2 Soit la fonction d’expression f (x) = – x² + 3x + 10. On s’intéressera à la composition g = ln o f. Donner

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