Chp3 Interferences - Deux - Ondes Goodprepa PDF
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1
2 Chapitre 4
(E)
avec :
ak0 ∆x
V (∆x) = sinc .
d
Quand X varie, l’intensité I oscille entre deux valeurs extrémales :
Imin = 2I1 [1 − |V (∆x)|]
Imax = 2I1 [1 + |V (∆x)|] .
D’où l’on déduit le contraste des franges :
Imax − Imin
κ= = |V (∆x)| .
Imax + Imin
Ce contraste est gouverné par la fonction V (∆x) dite pour cela visibilité des franges. Il est
maximal si V (∆x) = 1, c’est-à-dire pour ∆x → 0 ce qui correspond à une fente source F très
fine. Il est nul lorsque V (∆x) = 0 ; dans ce cas, le système de franges devient complètement
brouillé. Le premier zéro de la visibilité a lieu pour :
ak0 ∆x
=π , (5)
d
soit pour une largeur :
λ0 d
∆x =
2a
Eu égard à (4), on constate que ∆x = 2|x0 | : les deux valeurs de x0 correspondent ainsi aux
abscisses des deux bords de la fente primaire F.
Le brouillage des franges est négligeable si :
λ0 d
∆x .
2a
En posant :
2a
β=
d
représentant l’angle sous lequel on voit la fente source F en sa largeur à partir de l’origine O,
cette condition peut encore s’exprimer :
λ0
2a .
β
La quantité :
λ0
ls =
β
est appelé largeur de cohérence spatiale pour la radiation utilisée. Pour avoir un ordre de
grandeur, considérons par exemple une longueur d’onde λ0 ∼ 0.66 µm. Dans le cas du Soleil
pour lequel β ' 320 , on a ls ' 60 µm. Pour une planète telle que Vénus, β ' 10 et ls ' 2 mm.
Si maintenant, au lieu de faire croı̂tre la largeur ∆x de la source dans l’expression de
V (∆x), on augmente 2a, on obtient un brouillage des franges pour la première fois quand la
condition (5) est réalisée, c’est-à-dire pour :
λ0
2a = = ls .
β
On peut utiliser cette situation pour déterminer le diamètre apparent β d’objets très éloignés
tels que les étoiles ou les étoiles doubles. En effet, Michelson fut le premier, en 1918, à mesurer
le diamètre apparent d’une étoile en l’occurrence l’étoile α Orion. Il a utilisé le télescope de
2.4 m du Mont Wilson en Californie, muni d’un écran percé de deux ouvertures (figure 4).
À l’aide d’un système de quatre miroirs, il a pu mettre artificiellement la distance entre
INTERFÉRENCES À DEUX ONDES 5
Champ d’interférence
(E)
FIGURE 5 α
1
A I 2
α
S1 α+A
S2
2a = S1 S2 = 2d tg 12 (Sd
1 IS2) = 2d tg A ,
3 – Miroir de Lloyd
On éclaire un miroir unique (E)
Champ d’interférence
en incidence quasi-rasante (figure 6).
Une partie du faisceau issu de la
source S située à la distance a du plan S
du miroir, se réfléchit sur ce dernier a
et semble provenir de l’image S0 de
S, avec SS 0 = 2a. L’intersection de S0
la partie ainsi réfléchie avec la par-
tie non réfléchie constitue le champ
FIGURE 6
6 Chapitre 4
d
A
0
A S S1 I1
a
i i0 α A S I
r 0 A
r I0
FIGURE 8 FIGURE 9
L’image S0 de la source S par la face d’entrée du prisme est située sur la normale (SI0 ), à la
distance(∗) :
d1 = S 0 I 0 = nSI 0 ' S 0 I = nd (I0 ∼ I)
du prisme, soit à la distance :
S 0 S = (n − 1) d
de S. L’image S1 de S0 par la face de sortie est située sur la normale (S1 I1 ) à cette dernière,
à la distance :
d1
S1 I1 = =d,
n
c’est-à-dire à la même distance du prisme que la source S. La distance SS1 vaut :
SS1 = a = SS 0 sin A ' (n − 1) dA = αd .
Lorsque la source S éclaire les deux parties du biprisme, celles-ci engendrent respective-
ment deux images S1 et S2 situées de part et d’autre de S se comportant comme des sources
ponctuelles cohérentes séparées de la distance :
S1 S2 = 2a = 2dA(n − 1) .
Sur un écran (E) placé parallèlement à la face de sortie du biprisme de manière à intercepter les
faisceaux transmis, on observe dans le champ d’interférence un système de franges rectilignes
disposées parallèlement aux arêtes du biprisme [c’est-à-dire, perpendiculairement à la droite
(S1 S2 )].
5 – Bilentilles de Billet
On coupe une lentille mince convergente, de distance focale f 0 , suivant un de ses diamètres
et on écarte perpendiculairement à l’axe optique les deux moitiés d’une distance e petite
(figure 10). Une source ponctuelle S située sur l’axe de symétrie, à la distance p (< −f 0 )
des deux moitiés, donne deux images réelles S1 et S2 situées à la distance p0 qui, d’après la
relation de conjugaison des lentilles, est telle que :
1 1 1
0
− = 0 ,
p p f
soit :
pf 0
p0 = .
p + f0
(∗)
Pour un dioptre plan séparant deux milieux d’indices n1 et n2 , la formule de conjugaison s’écrit dans
l’approximation de Gauss :
n2 SI = n1 S 0 I
l’objet (S) se trouvant dans le milieu d’indice n1 , I étant le pied de la normale au dioptre passant par S.
8 Chapitre 4
Ces deux images se comportent comme deux sources ponctuelles cohérentes séparées de la
distance
e
S1S2 = 2a = (|p| + p0 ) .
|p|
Sur un écran (E) placé normalement à l’axe optique de sorte à intercepter les faisceaux
(E)
Champ d’interférence
e S1
FIGURE 10
S F F0
S2
la phase de l’onde correspondante. Le rayon (R2 ) en a subi une seule de ce type de réflexion.
Il s’ensuit que la différence de phase entre les deux ondes transmises est, au modulo 2π près :
∆φ = k0 δ + π
où δ = 2a cos θ est la différence de marche géométrique entre (R1 ) et (R2 ). De même, les
rayons (R01 ) et (R02 ) ont subi respectivement trois et une réflexion ce qui permet d’écrire la
différence de phase associée, au modulo 2π près :
∆φ0 = k0 δ .
Les ordres d’interférence correspondant à ces deux différences de phase s’écrivent :
∆φ 2πδ 1
p= = +
2π λ0 2
0
∆φ 2πδ
p0 = =
2π λ0
Ces deux ordres sont décalés l’un par à l’autre de 12 . Il en découle que les deux figures
d’interférence par transmission et par réflexion sont complémentaires : si, selon une direction
θ donnée, on observe une frange brillante pour l’une des figures, on observerait une frange
sombre pour l’autre figure.
(E0 )
0 (E)
(R02 ) (R1 )
S
(M1 ) (Σ)
a
θ
S2 S1 θ
O I
FIGURE 11 2a
(R1 )
(M02 ) a
(M01 ) (R2 )
(M2 )
S01
2a O
S02