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    3e-Devoir N 3

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    Lycée de Japoma

    Département de Mathématiques Année scolaire : 2009/2010

    Classe : 3ème Durée : 2h ; coef : 4


    Janvier 2010
    Epreuve de Mathématiques. 3ème séquence

    L’épreuve comporte trois parties A, B et C toutes obligatoires. L’élève devra justifier autant que possible ses
    affirmations.

    A. Activités Numériques [7pts]

    I. On considère les expressions E = 4x(x + 3) et F = x2 + 6x + 9.


    1. Vérifie que F = (x + 3)2 , puis calcule la valeur de F pour x = −2.
    2. Développe E. Réduire E − F .
    √ √
    II. On pose L = 2 3 + 2 et ℓ = 2 3 − 2.
    1. Caclule L + ℓ et L × ℓ.
    2. L’unité de longueur étant le centimètre, les dimensions d’un rectangle sont respectivement
    L et ℓ.
    (a) Calcule son périmètre.
    (b) Calcule son aire.
    (c) Calcule le diamètre du cercle circonscrit à ce rectangle.
    √ √
    III. On donne 2, 236 < 5 < 2, 237 et 1, 732 < 3 < 1, 733.
    1
    1. Donne un encadrement de √ par deux nombres décimaux d’ordre 2 consécutifs.
    2+ 5
    √
    2. Donne un encadrement de 2 − 3 par deux nombres décimaux d’ordre 2 consécutifs.

    B. Activités Géométriques [6pts]

    I. .
    1. Construis un parallélogramme ABCD.
    2. Place le point I milieu de [AB] et le point J milieu de [DC].
    3. Place le point M , intersection de la droite (DJ) et la droite (AC), puis le point N ,
    intersection de la droite (BJ) avec la droite (AC).
    4. Montre que AM = M N = N C. (On utilisera la propriété de Thalès).
    II. ABC est un triangle isocèle de sommet A tel que AB = 2cm et BC = 1, 5cm. Calculer cos Ĉ.
    III. A, B, C, D, E, F, G, P et Q sont des points du plan.
    1. Simplifie l’écriture de chacune des sommes suivantes :
    −→ −−→ −−→ −→ 3 −→ −→
    (a) AB + CE + BC + EF ; (c) 4
    + 43 AB ;
    AB
    −→ −−→ −→ −−→ −→
    (b) AB + DE + BA + EG ; (d) (−3)(− 52 )AB.

    2. Complète chacune des égalités suivantes :


    −→ −→ −−→ −→ −→ −→ −−→
    (a) AB = AP + ...B ; (c) AB = A... + P Q + ...B ;
    −→ −→ −−→ −→ −→ −−→
    (b) AB = A... + ...B ; (d) AB = AG + ... + CB.

    1
    3. E et F sont deux points distincts du plan.
    −→ −→
    (a) Construis le point P tel que 2EP = 3EF .
    −→ −→ −→ −→
    (b) Exprime P F en fonction de EP , puis F E en fonction de P F .

    C. Problème [7pts]

    E
    L’unité de longueur est le centimètre. La fi-
    gure ci-contre n’est pas en vraie grandeur. Il
    n’est pas demandé de reproduire la figure.
    ABCD est un rectangle. C
    D
    CDE est un triangle rectangle. M
    On donne DE = 6 BC = 4 AB = 7,5.
    Le point M est situé sur le segment [DC].

    Première partie A B
    Dans cette partie, on prend DM = 2.
    1. Calculer l’aire du triangle DEM.
    2. Calculer l’aire du triangle BCM.

    Deuxième partie
    Dans cette partie, on prend DM = x.
    1. Montrer que l’aire du triangle DEM est égale à 3x.
    2. (a) Exprimer la longueur MC en fonction de x.
    (b) Montrer que l’aire du triangle BCM est égale à 15 − 2x.
    3. Pour quelle valeur de x l’aire du triangle DEM est-elle égale à l’aire du triangle BCM ?

    « Il faut d’abord faire ce qu’on sait faire, ensuite, faire ce qu’on peut faire. »
    Travaillez, travaillez par vous même, c’est là la clé du succès.

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