Épreuves Communes 2h
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DENON
23 / 11 / 2001
Exercice 1 : en indiquant les différentes étapes, calculer et donner le résultat sous la forme la plus
simple possible :
5 × 10 5 × ( 2 × 10 - 1 ) 3
A=(- + ):(7- ) B= C = 35 × ×
24 × 10 2
2) a) Factoriser 16 x ² - 9 .
b) En déduire une factorisation de E.
3) Résoudre l’équation ( 4x + 3 ) ( x + 2 ) = 0.
Exercice 3 : dans cet exercice, l’unité est le centimètre. La figure ci-dessous n’est pas à l’échelle.
Les points A, C, O et E sont alignés dans cet ordre. Les points B, D, O et F sont alignés dans cet ordre.
A
C O
E
01 / 03 / 2002
Exercice 1 :
On pose A = - 3 .
a) Ecrire A sous la forme a où a et b sont des entiers.
b) Montrer que A² est un nombre entier.
Exercice 2 :
On donne l’expression C(x) = ( 5x – 3 ) ² + 6 ( 5x – 3 ) .
a) Développer et réduire C.
b) Calculer C().
Exercice 3 :
Un parallélépipède a pour dimensions en cm : x , x , et 3 .
a) Calculer son volume en fonction de x.
b) Trouver x pour que le volume soit égal à 66 cm 3.
(11 points)
1) a)On donne x = et y = .
b) Ecrire x et y sous la forme a avec b entier le plus petit possible.
2) On donne A= - + 2 et B =( - )2
a)Ecrire A et B sous la forme a + b ( a ;b et c étant des nombres entiers relatifs)
b)Déduire que A – B est un entier relatif.
C
Exercice 2(9.points)
Dans un repère orthonormal(O.I.J),placer les points :
A ( 2 ; 5) , B( - 2 ; - 3) et C(6 ; 3).
(103 )
Exercice 1 : on donne :
A= B= 3
× 35 × C= -
D=7 E= + F=2 -
Exercice 2 : G = 25 x ² - ( 6 – x ) ².
a) Développer et réduire G.
b) Factoriser G.
c) Résoudre l’équation ( x – 1 ) ( 2x + 3 ) = 0.
Exercice 3 : Armelle a eu 5 notes en Histoire-Géographie au deuxième trimestre, mais elle ne se souvient que de 4 de ces
notes : 13 - 6,5 - 12 - 15. Sachant que sa moyenne en Histoire-Géographie au deuxième trimestre est de 11, calculer la
note qu’elle a oubliée.
La figure de l’exercice 1 et celle de l’exercice 2 sont à faire sur la feuille non quadrillée.
Exercice 1.
1) Construire sans utiliser de quadrillage et en laissant apparaître les traits de construction, un triangle IJK rectangle en
J tel que JI = 6, 4 cm et KI = 8 cm.
2) Calculer KJ.
3) Placer le point A sur le segment [JI] tel que IA = 4,8 cm et le point B sur le segment [KI] tel que IB = 6 cm.
Prouver que les droites (AB) et (JK) sont parallèles.
4) Calculer AB.
Exercice 2.
A x+1 B 12 E
x I
D C
1) a) Calculer l’aire du rectangle ABCD et l’aire du triangle BEI pour x =1 cm.
x 0 1 2 3 4 5
g(x)
c) Représenter graphiquement la fonction g dans le même repère que f ( pour x compris entre 0 et 5).
Exercice 1 : ( 5 points )
3.C = + 3 - . Ecrire C sous la forme a où a et b sont des nombres entiers, b le plus petit possible.
Exercice 2 : (5 points)
1. D = – 1 et E = + 1.
a)Développer D ² et E ² et donner les résultats sous la forme a + b
où a et b sont des entiers relatifs.
b)Démontrer que D × E est un nombre entier
1)Construire le point F symétrique de D par rapport à C, puis le point E image du point C par la
translation de vecteur
Pendant les soldes de janvier, un vendeur offre 15 % de remise sur l'ensemble de ses articles.
a) Calculer le prix réduit d’un article qui valait 240 € au mois de décembre .
b) On note x le prix d’un article quelconque.
Exprimer en fonction de x ,le prix réduit de cet article ( avec le même taux de 15 % ). Vous
simplifierez cette expression.
c) Calculer le prix initial d’un article vendu 51 € pendant les soldes.
Exercice 4 : ( 4 points )
c) Interpréter les résultats de la question 4b) en terme de prix réduit en fonction d’un prix initial
donné.
EPREUVE COMMUNE DE MATHÉMATIQUES
Exercice 2 : (5 points )
On donne l’expression E = ( 4x – 3 )² - ( 4x – 3 )( 3x – 1 ).
1)Développer, puis réduire l’expression E.
2)Factoriser E.
3)Résoudre l’équation (4x – 3)(x – 2) = 0.
Exercice 3 : ( 3 points )
1) Calculer ( – 2) ( + 2) (3 )
2) CAP est un triangle tel que : AP = – 2, AC = + 2 et CP = 3 .
Montrer que le triangle CAP est rectangle en A.
Exercice 1 : ( 8 points )
Sur la figure ci-dessous ( qui est volontairement construite avec des mesures fausses ),
•les points A, C et G sont alignés dans cet ordre, AC = 8 cm et CG = 5 cm.
•C 1 est le cercle de diamètre [ AC ] et C 2 est le cercle de diamètre [ CG ].
•F est un point du cercle C 2 tel que CF = 3 cm. La droite ( CF ) coupe le cercle C 1 en B.
B
A
Problème ( 10 points )
1ère partie.
On considère la fonction f définie par : x → x 2 - 4
1) Calculer les images des nombres - 2 et 1.
2) Résoudre l’équation x 2 - 4 = 5. En déduire les antécédents de 5 .
3) Compléter le tableau de valeurs :
x -3 -1 0 2 3 4
y = f(x)= x 2 - 4
A x U 2 cm B
On donne un carré AUVW dont la longueur du côté est AU = x .
( on suppose dans toute la suite x > 2)
3) En considérant la partie de courbe où x > 2, par lecture sur le graphique de la 1ère partie, trouver la
valeur de x pour laquelle l’aire A est égale à 4 cm² ( on donnera le résultat à 1 mm près et on fera
apparaître les pointillés ).
Correction partielle de l’épreuve commune de Mathématiques
Exercice 3 : ( 3 points )
1) ( – 2) = ( )² + 2 ² - 2 × × 2 = 5 + 4 – 4 = 9 – 4 De même, ( + 2) = 9 + 4
(3)=3 ×3 =9× ²=9×2 ( 3 ) = 18 il n’y a pas de double produit ici !
Exercice 1 : ( 8 points )
a) B est un point du cercle C 1 de diamètre [ AC ] donc ABC est un triangle rectangle en B.
F est un point du cercle C 2 de diamètre [ GC ] donc FGC est un triangle rectangle en F.
Exercice 2 : ( 9 points )
2) a) D ( 2 ; -3 ). b) D est l’ image du point C par la translation de vecteur , donc ABDC est un parallélogramme.
3) b) ( x A – x C ; y A – y C ). ( 0 – ( - 1 ) ; 2 – ( - 1 )) ( 1 ; 3 )
c) E est le symétrique du point C par rapport à A, donc = , ces deux vecteurs ont les mêmes coordonnées. On note E ( x E ;
yE )
(x E - 0 -; y E - 2 ) Or, ( 1 ; 3 ) donc x E - 0 = 1 et y E - 2 = 3 ......................... E ( 1 ; 5 ).
d) ( 1 ; 3 ) en calculant les coordonnées de , on trouve également ( 1 ; 3 ) , donc ces deux vecteurs ont les mêmes
coordonnées , on en déduit qu’ ils sont égaux et que AEFB est un parallélogramme.
Exercice 2 :
On donne C = 4 - + 2
Ecrire C sous la forme a où a et b sont des nombres entiers .
Exercice 3 :
On donne D = 3 + 2 , E = 6 - et F = 2 .
1)Calculer D², E² et F².
2)MOT est un triangle tel que MO = 3 + 2, OT = 6 - et MT = 2 .
Montrer que le triangle MOT est rectangle en O.
Exercice 4 :
On considère l’expression D = (3x – 2)² - (3x – 2)(x + 1)
1)Développer et réduire D.
2)Factoriser D.
3)Résoudre l’équation produit (3x – 2)(2x – 3 ) = 0
Exercice 5 :
Un magasin décide d'accorder une remise de 35 % sur la vente de ses vêtements d'été.
1)Combien sera vendu un pantalon dont le prix était de 60 € ?
2)Soit x le prix d'un autre vêtement ; exprimer son prix p(x) après réduction, en fonction de x.
3)Après réduction, un pull est vendu 18,20 €. Calculer son prix avant la réduction.
B 3 C
M N E
5
x x
x
A H D G P F
K
8 8
Première figure * ABCD est un trapèze rectangle de bases [ BC ] et [AD ] et de hauteur [ CH ]
* M est un point du segment [ AB ] et on note AM = x ( x est donc compris entre 0 et 5 )
* MNKA est un rectangle
* BC = 3 cm AD = 8 cm AB = 5 cm
1) Sur la feuille annexe, on a représenté les variations de l’aire du rectangle MNKA en fonction de x.
Répondre aux questions suivantes en lisant sur ce graphique ( laisser apparents les traits de lecture ) :
a)Lorsque x = 2,5 cm combien vaut l’aire de MNKA ?
b)Pour quelle valeur de x l’aire de ce rectangle est-elle égale à 3 cm ² ?
c)Quelle est la valeur maximale de l’aire de ce rectangle ? pour quelle valeur de x est-elle atteinte ?
Deuxième figure : EFG est un triangle, le côté [ FG ] mesure 8 cm et la hauteur [ EP ] mesure x cm.
3) Calculer l’antécédent de 24 par la fonction f (c’est-à-dire le nombre ayant pour image 24 par la fonction f ).
4) Représenter graphiquement cette fonction f sur la feuille annexe ( dans le même repère que la courbe ).
Vous expliquerez votre construction.
5) On appelle R le point d’intersection de ces deux courbes. Quelles sont les coordonnées du point R ?
Expliquer ce que représentent ces coordonnées.
Epreuve commune de mathématiques – 3ème
Pour chacune des questions, recopier la bonne réponse sur votre copie sans donner de justification.
Exercice 3 ( 3 points ) : toutes les étapes de calcul doivent être écrites sur votre copie.
Exercice 5 ( 2 points ) : un automobiliste roule à une vitesse moyenne de 75 km/h. Calculer le temps
qu'il mettra pour parcourir 80 km. Vous exprimerez le résultat en heures-minutes.
Parmi ces trois planètes, quelle est celle qui est la plus éloignée du soleil ? Justifier.
Activités géométriques ( 13 points )
Exercice 1 ( 7,5 points ) :
Pour cet exercice, la figure n’est pas en vraie grandeur et on ne demande pas de la reproduire.
On sait que :
A
•EO = 5 cm, OC = 3 cm et OA = 6 cm ;
•les points E, O et C sont alignés ;
N •les triangles ENO et OCA sont rectangles en E et en C ;
cm
30 °
E 1) Montrer que la longueur AC est égale à 3 3 cm.
5 cm O 3 cm C
2) a) Montrer que les droites ( NS ) et ( AC ) sont parallèles.
b) Calculer les valeurs exactes de OS et ES.
3) On sait que
NOE = 30°. Calculer la longueur ON au millimètre près.
Exercice 2 ( 5,5 points ) : Soit la figure ci-dessous ( les unités ne sont pas respectées ), sur laquelle les segments [ CE ] et
[SR ] se coupent en A.
Problème ( 12 points )
S E
Une entreprise fabrique des saladiers en faïence.
Partie A
On note f la fonction qui au nombre x de saladiers associe le prix f(x). Expliquer pourquoi f est une fonction linéaire.
Le responsable du supermarché a relevé le nombre de saladiers vendus par chacune des trois vendeuses en une semaine.
1) Armelle a vendu 10 % de plus que Sophie, combien de saladiers ont été vendus au total ?
de
MATHEMATIQUES
2) Quel nombre doit-on choisir pour que le résultat final soit égal à 31 ?
En précisant les étapes, écrire les nombres a et b sous la forme a 3 où a est un nombre entier.
Exercice 3 ( 8 points ) :
1) Calculer C = ( 5 + 1 ) ² et D = ( 5 − 1 ) ² c
a
2) On note a, b et c ( voir figure ci-contre ) les longueurs des côtés d'un triangle rectangle.
b
Soit deux triangles rectangles T1 et T2 dont on connaît les dimensions des côtés de l’angle droit.
Triangle T1 : a = 3 et b = 3 Triangle T2 : a = 5 + 1 et b = 5 − 1.
b) Calculer les aires de ces deux triangles. Lequel de ces deux triangles a la plus grande aire ?
Pourquoi ?
a)Vérifier que E = (x - 2) (x + 1)
b)Résoudre l’équation E = 0
Activités géométriques ( 12 points )
Exercice 1 ( 7 points ) :
● ( EF ) et ( BC ) sont parallèles ;
E
F ● AB = 5 et AC = 6,5 ;
B ● AE = 3 et EF = 4,8 ;
C
● AK = 2,6 et AG = 2.
a) Démontrer que BC = 8.
Exercice 2 ( 5 points ) :
A V 2x + 9 O
5x - 3
I U
S
1)On suppose que x = 1,5. Calculer VO et OU puis construire la figure en vraie grandeur.
2) On donne E = ( 2x + 9 ) ( 5x – 3 ) F = 2 ( 2x + 9 ) + 2 ( 5x – 3 ) et G = ( 5x – 3 ) ².
Que représentent, géométriquement, l'expression E ? l'expression F ? l'expression G ?
3)Développer et réduire E et F.
4)Calculer la valeur de x pour laquelle V est le milieu de [ AO ]. Dans ce cas-là, quelle est la nature de VOUS ?
Bonus :
300
•à quelles situations géométriques correspondent
chacune des deux valeurs trouvées à la question 5c) ?
100
0
0 1 2 3 4 5 6
x ( en cm )
Eléments de correction de l'épreuve commune
Partie numérique
Exercice 1 :
1 26
1) Si on choisit -5, le résultat sera – 2. Si on choisit ,il sera de
3 3
Si on choisit x, le résultat sera ( x + 2 ) × 4 – 2x , soit 2x + 8. Ne pas confondre double et carré.
2) On cherche le nombre x pour que le résultat soit 31, c'est-à-dire le nombre x qui vérifie l'équation 2x + 8 = 31.
3 × 3
b) L'aire du triangle T1 est égale à cm²,soit environ 2,6 cm² et l'aire du triangle T2 est égale à 2 cm² ( ne pas
2
oublier les parenthèses ) Donc l'aire de T1 est supérieure à celle de T2.
Partie géométrique
Exercice 1 :
a) En utilisant le théorème de Thalès.
b) Avec les vraies mesures
c) En utilisant la réciproque du théorème de Thalès.
d) En utilisant la contraposée du théorème de Pythagore.
Exercice 2 :
1.ABCD est un trapèze de bases [ AB ] et [CD], donc ( AB ) // ( CD ) . De plus , G appartient aux segments [ AC ] et
[ BD ], donc on peut appliquer le théorème de Thalès : ….
2.En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ADC...
AD 3 1
3.ACD est un triangle rectangle en D. tan ACD = = = ACD ≈ 27°
DC 6 2
Partie problème.
Bonus : * lorsque x = 0,6 cm, 5x-3 = 0, les points A et I sont confondus ainsi que les points V et S et les points
O et U? Le rectangle et le carré ont tous les deux une aire nulle.
* Si x < 0,6, 5x < 3 et 5x-3 < 0. Or, une distance ne peut pas être négative, donc x doit être supérieur à 0,6 cm.