EC3 RLC Serie
EC3 RLC Serie
EC3 RLC Serie
2 quation diffrentielle
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3
4
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5
5
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<0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
8
11
11
Electrocintique
1. Introduction
Introduction
A la fin du chapitre prcdent, nous avons tudi les rgimes transitoires des circuits du
premier ordre RC et RL dont on a rsolu les quations diffrentielles pour trouver les expressions
des tensions et intensits.
Nous allons ici tudier dans le mme esprit le rgime transitoire du circuit RLC srie qui
comme nous allons le voir donne naissance des oscillations lectriques.
Le circuit RLC tant du deuxime ordre, ce sera aussi le cas de son quation diffrentielle.
Elle fera alors apparatre la notion de rgimes : selon lamortissement du circuit par effet Joule,
le rgime transitoire est diffrent.
quation diffrentielle
On tudie le circuit RL soumis une tension e(t), on
sintresse la tension aux bornes du condensateur
et lintensit qui parcourt le circuit. La bobine est
idale. On applique la loi des mailles :
e = Ri + L
Comme i = C
di
+u
dt
d2 u
du
+ RC
+u=e
2
dt
dt
(2)
du
, on a :
dt
LC
(1)
Cette quation diffrentielle est une quation du second ordre coefficient constant, le circuit RLC srie
est appel circuit du second ordre.
Nous allons nous intresser dans un premier temps au comportement du circuit lorsque
le condensateur t pralablement charg sous la tension E du gnrateur, et lorsquil se
dcharge dans la bobine et la rsistance.
Lquation diffrentielle correspondant ce rgime libre (appel aussi rgime propre) est la
suivante :
d2 u
du
LC 2 + RC
+u=0
(3)
dt
dt
On cherche donc une solution de cette quation qui est une quation homogne. Cette
solution est du type u = Aert avec A une constante.
Si on injecte cette solution dans (3) et que lon limine la solution u = 0 qui na pas de sens
physique, on obtient :
LCr2 u + RCru + u = 0 r2 +
R
1
r+
=0
L
LC
(4)
Electrocintique
3.1
Cette dernire quation est appele polynme caractristique de lquation diffrentielle (3).
Trouver les solutions de ce polynme permet de trouver les solutions de lquation diffrentielle.
Pour claircir la rsolution, nous allons utiliser des variables dites "rduites" :
3.1
Lintrt des variables rduites est dutiliser des variables de mme dimension dans la
rsolution de lquation. On peut donc appliquer sa rsolution dans nimporte quel systme
dunit.
3.1.1
Pulsation propre
Celle-ci correspond la pulsation des oscillations en labsence de "frottements" (amortissement par effet Joule ici) :
0 =
1
LC
(5)
Y
1 ou s1
_
] 0 : pulsation propre exprime en rad.s
_
[C : capacit du condensateur exprime en Farad (F)
En effet, la dfinition du radian dit que dans un cercle, langle en radian est le rapport de la
longueur de larc que dcrit langle par le rayon. Il sagit du rapport de deux longueurs.
3.1.2
Facteur damortissement
Il va tre li la rsistance globale du circuit. Plus ce facteur sera grand, plus lamortissement
sera lev :
R
=
2L
3.1.3
(6)
Y
_
]
Coefficient damortissement
Il peut tre intressant de travailler avec une grandeur sans dimension. On dfinit alors le
coefficient damortissement par :
=
(7)
0
Ce coefficient peut tre exprime en fonction des valeurs des composants du circuit :
R
=
2
C
L
(8)
3.1.4
Electrocintique
3.2
Facteur de qualit
Pour caractriser un circuit, on utilise souvent une autre grandeur appele facteur de qualit.
Elle est relie toutes les grandeurs dont on vient de parler :
Q=
1
L0
1
=
=
2
R
RC0
(9)
3.2
r2 + 20 r + 02 = 0
ou
(10)
b +
b
x1 =
x2 =
si > 0
(11)
a
a
b + j
b j
x1 =
x2 =
si < 0
(12)
a
a
Le j est la notation complexe utilise en physique pour ne pas confondre le nombre complexe
classique avec lintensit du courant.
Ici, le discriminant rduit a pour expression :
= 2 02
ou
Rgime apriodique :
= 02 (2 1)
(13)
>0
L
1
Q <
C
2
Racines du polynme
Le polynme admet deux racines ngatives, on a :
r1 = +
r2 =
2 02 = 0 + 0 2 1
2 02 = 0 0 2 1
4
(14)
(15)
Electrocintique
3.2
(16)
Les racines tant toutes deux ngatives, on sassure que la solution u(t) ne tend pas vers linfini,
cela naurait pas de signification physique.
Dtermination des constantes
On peut utiliser les conditions initiales pour expliciter les constantes A1 et A2 . Cest parce
que le circuit est du deuxime ordre quexistent ces deux constantes et quil faut deux conditions
initiales pour les dterminer.
La continuit de la tension aux bornes du condensateur implique que u(t = 0) = E.
La continuit de lintensit dans la bobine implique que i(t = 0) = 0.
On obtient alors deux quations deux inconnues qui nous permettent de dterminer A1 et A2
:
u(t = 0) = A1 + A2 = E
(17)
i(t = 0) = r1 A1 + r2 A2 = 0 A2 =
r 1 A1
r2
(18)
(19)
A1
A1 =
(20)
r2 E
r2 r 1
(21)
r1 E
r2 r1
(22)
Finalement :
r2 E r 1 t
r1 E r 2 t
u(t) =
e
e
r2 r1
r2 r1
(23)
Electrocintique
3.2
du
Grce la relation i(t) = C , on trouve lexpression
dt
de lintensit :
i(t) =
3.2.2
Si
r2 r1 EC r1 t
(e er2 t )
r 2 r1
Rgime critique :
(24)
=0
= 0 alors = 0 , = 1 R = 2
L
1
= RC Q =
C
2
Racines du polynme
Le polynme admet une racine double ngative, on a :
r1 = = 0
(25)
(26)
(27)
(28)
On exprime i(t) :
(29)
(30)
(31)
(32)
Le rgime critique tant le premier rgime apriodique, lallure de la courbe est identique
celle du rgime apriodique, le "retour lquilibre" se fait plus rapidement.
Electrocintique
3.2
du
, on trouve :
dt
i(t) = EC2 tet
(33)
Rgime pseudo-priodique :
<0
L
1
Q >
C
2
Racines du polynme
Le polynme admet deux racines complexes conjugues. Si on pose 2 =
r1 = + j
on a :
r2 = j
(34)
(35)
u1 + u2
2
u4 =
u1 u2
2j
(36)
Donc :
et (cos t + j sin t) + et (cos t j sin t)
= et cos(t)
2
et (cos t + j sin t) et (cos t j sin t)
u4 =
= et sin(t)
2j
u3 =
(37)
(38)
(39)
Electrocintique
3.2
On exprime i(t) :
u(t = 0) = E A1 = E
(40)
(41)
(42)
Deuxime condition :
i(t = 0) = A2 A1 = 0 A2 =
(43)
Electrocintique
3.2
sin(t))et
(44)
2
sin(t) + cos(t) cos(t)
sin(t)
(45)
i(t) = CE(
2 + 2 t
)e
sin(t)
(46)
Figure 5 Intensit dans le
circuit en rgime
pseudopriodique libre du
circuit RLC srie
2
2
=
0 1 2
(47)
Figure 6 Dfinition de la
pseudo-prriode
La pseudo-priode est voisine mais plus grande que la priode propre du circuit (celle qui
correspond un circuit non amorti (R=0)).
Plus lamortissement est fort ( ), plus la pseudo-priode sloigne de la priode propre.
Electrocintique
di
+u=0
dt
(49)
du
:
dt
Ri2 + Li
Ri2 +
1
2
2 Li
dt
di
du
+ Cu
=0
dt
dt
d
1
2
2 Cu
dt
=0
(50)
(51)
10