Série3 Rayleigh 2020

Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene 2019/2020
Faculté de Génie Mécanique & Génie des Procédés

Département de Construction Mécanique & Productique
Série 4. Systèmes continus – Méthode de Rayleigh

Exercice 1
Pour mesurer la première fréquence propre d’une
lame encastrée de longueur l, de section uniforme
à moment d’inertie I, de module d’élasticité E et
de masse linéique μ1, on dispose d’un
accéléromètre de masse ma monté à l’extrémité
de cette lame (Figure 1). On désire connaître la Figure 1
fréquence propre de la barre seule.
1) Calculer par la méthode approchée de Rayleigh la fréquence propre du modèle du montage, en

prenant comme déformée approximative la déformée statique y sous l’action d’une force P
appliquée à l’extrémité libre (Figure 2):
𝑦 3𝑙𝑥 𝑥 et 𝛿
Figure 2
2) Montrer que l’erreur du résultat obtenu par rapport à la fréquence exacte fe est petite dans le
cas où la masse ma est nulle.
1 3.52 𝐸𝐼
𝑓
2𝜋 𝑙 𝜇
3) Connaissant la fréquence mesurée fm, utiliser le résultat trouvé au point (1) pour déterminer la
fréquence propre de la lame seule.
Application numérique : fm = 95 Hz, μ1 = 1.6 kg/m, l = 30 cm, ma = 20 g.
Exercice 2
Une poutre uniforme de longueur L, de section droite de surface S, de moment d’inertie par rapport à
l’axe de rotation I, de masse volumique  et de module d’Young E, est encastrée aux deux extrémités
(x=0 et x=L) (Figure 3).
Figure 3
1) Déterminer l’équation caractéristique aux fréquences propres de la poutre en vibrations

transversales.
2) Donner la pulsation fondamentale exacte et la forme propre correspondante.
Donnée : la première solution de l’équation cos 𝛼 cosh 𝛼 1 0 est 𝛼 4.730041 rad


On veut déterminer la fréquence propre fondamentale en utilisant le quotient de Rayleigh. Pour cela,
on donne deux fonctions d’essai pour approcher la forme modale fondamentale :
𝜌𝑆
𝑌 𝑥 𝑥 𝑙 𝑥
24𝐸𝐼
𝐹
𝑌 𝑥 𝑥 3𝑙 𝑥
6𝐸𝐼
3) Est-ce que les deux fonctions conviennent pour la poutre encastrée-encastrée ? Justifier.
4) Calculer la pulsation propre fondamentale en utilisant le quotient de Rayleigh. Calculer
l’erreur commise en pourcentage.
Exercice 3
On veut déterminez la fréquence fondamentale de

vibration transversale d’une poutre uniforme (Figure
4). La poutre est fixée à 𝒙 𝟎 et porte une masse
concentrée 𝒎 reposant sur un ressort linéaire de
raideur 𝒌 à 𝒙 𝒍. Figure 4
1) Déterminer analytiquement l’équation caractéristique aux fréquences propres sous la forme
suivante :
𝒂𝟏𝟏 ⋯ 𝒂𝟏𝒏
𝒅é𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒏𝒕 ⋮ ⋱ ⋮ 𝟎
𝒂𝒏𝟏 ⋯ 𝒂𝒏𝒏
2) On remarque que le calcul analytique est très long. Alors on préfère utiliser la méthode de
Rayleigh. Quelle est la fonction adéquate parmi les deux suivantes ? justifier votre réponse.
𝑭 𝟐
𝒀𝟏 𝒙 𝒙 𝟑𝒍 𝒙
𝟔𝑬𝑰
𝝆𝑺 𝟐
𝒀𝟐 𝒙 𝒙 𝒍 𝒙 𝟐
𝟐𝟒𝑬𝑰
3) Déterminer, en utilisant la fonction adéquate choisie en (2), la première pulsation propre de la
structure.
Exercice 4
On veut déterminer la fréquence propre

fondamentale de vibration longitudinale d’une
barre conique fixée à 𝒙 𝟎 et connectée à un
ressort linéaire de rigidité 𝒌 à 𝒙 𝒍 (Figure
5). Pour cela, on utilise la méthode de Rayleigh
𝝅𝒙
avec la fonction 𝒚 𝒙 𝑪 𝒔𝒊𝒏 comme
𝟐𝒍
forme modale.
Figure 5
La variation de la section droite de la barre est donnée par la relation suivante :
x
A x A 1
2l


1. Calculer l’énergie cinétique maximale ;
2. Calculer l’énergie potentielle maximale ;
3. En déduire la pulsation propre fondamentale du système.
Exercice 5
On s’intéresse aux mouvements de vibration de flexion dans le plan (x, y) d’une

tige flexible AB encastrée en A, libre en B et supportant une masse M en son
centre C (Figure 6). La tige a une longueur 2L et elle est modélisée par une poutre
de Bernoulli. Les sections de la tige ont une surface S et une inertie quadratique
autour de z notée I. Le module de d’Young du matériau de la tige est E et  est sa
masse volumique. On note w(x, t) le déplacement transversal (direction y) d’une
section de la tige située à l’abscisse x (l’origine des abscisses étant prise en A).
Les effets de pesanteur sont négligés. Figure 6
1. Calculer la première pulsation propre en utilisant le quotient de Rayleigh en prenant comme
déformée
𝑣 𝑥 𝐿𝑥 𝑝𝑜𝑢𝑟 0 𝑥 2𝐿
2. Sans faire de calcul, expliquer comment on peut améliorer l'approximation du quotient de
Rayleigh

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