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    sur 8

    D'après concours commun ENTPE PSI 1997

    Considérons le schéma cinématique d'une pompe hydraulique à cylindrée auto-réglable :

    Un barillet (1) , entraîné en rotation par rapport au bâti (0), possède neuf ensembles pistons-patins 2-3
    en liaison pivot glissant avec ce même barillet (1) et en liaison plane de normale avec la plaque de
    glissement (4). Lors de l'entraînement en rotation du barillet, les patins (3) sont astreints à rester au
    contact de la plaque (4) et les pistons (2) sont entraînés en rotation autour de l'axe fixe ; ce
    qui provoque leur translation par rapport au barillet. Ce mouvement est utilisé pour aspirer un fluide
    dans une lumière d'aspiration et pour ensuite le refouler dans une lumière de refoulement.
    L'inclinaison de la plaque (4) autour de l'axe détermine la cylindrée de la pompe. Une fois
    le réglage d'inclinaison effectué, la plaque (4) est liée de façon encastrée au bâti(0). Le schéma
    cinématique dans notre cas de figure est réduit à l'étude d'un seul ensemble piston-patin.
    On note :
    Le torseur cinématique associé à la liaison sera noté :
    Déterminer, en fonction des paramètres proposés le torseur cinématique
    Exprimer , , et en fonction des constantes et paramètres : et
    Si désigne la section d'un piston, quelle est l'expression de la cylindrée totale de la pompe
    notée en fonction de et ?
    En utilisant la notation torseur imposée, exprimer les éléments de réduction des torseurs
    cinématiques suivants : , , , . Donner leur expression en fonction de

    et .On aura soin de préciser la démarche de résolution utilisée.

    Déterminer le débit instantané d'un piston de cette pompe noté en fonction de

    et
    Pour quelles valeurs de le piston étudié est-il en phase de refoulement et en phase
    d'admission ?
    Déterminer les éléments de réduction au point D, du torseur cinématique en fonction de

    et

    Que représente le vecteur ? Quelle est la valeur ?

    D'après la composition des torseurs cinématiques : ce qui

    entraîne . Le torseur cinématique

    traduisant les mobilités de (4) par rapport à (2) est donc


    qui est le torseur représentatif

    d'une liaison ponctuelle en C de normale .

    Pour déterminer les différentes relations géométriques, projetons la relation vectorielle :

    on obtient par combinaison des relations précédentes les expressions scalaires suivantes :

    Pour déterminer la cylindrée, déterminons la course d'un piston sur un tour de barillet. La

    course sera
    La cylindrée sera le volume de fluide aspiré et refoulé sur un tour :

    Cherchons les différents torseurs cinématiques

    En utilisant la composition des torseurs cinématiques :

    . On choisit comme point de

    réduction le point C et la base de décomposition :

    + + +
    =

    On obtient les relations scalaires suivantes :

    Ce qui permet d'écrire :

    on peut résoudre le système d'équations en rajoutant deux relations , qui


    sont les paramètres cinématiques traduisant deux mobilités internes du mécanisme et qui ne
    participent pas à la chaîne cinématique principale. Dans ce cas le système précédent donne :
    On retrouve l'expression de trouvée à la question 2.

    Pour déterminer le débit instantané , utilisons le résultat de la question précédente

    donnant la vitesse de déplacement d'un piston par rapport au barillet (1) :

    et donc . Le débit aura pour expression :

    et donc

    Le piston sera en refoulement si ; ce qui sera vérifié pour

    Le piston sera en aspiration si ; ce qui sera vérifié pour

    Pour étudier le torseur glissement de (4) par rapport à (3), , cherchons :

    *le vecteur :

    On a d'après les modélisations précédentes,

    *Dans un second temps, cherchons :


    Nous avons toujours d'après la modélisation précédente,

    . D'après la relation liant les


    vitesses de deux points d'un même solide

    . Le torseur est donc le suivant :

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