Cours Calcul des Structures 28

Enseignante : Selsebil Soltane

Chapitre 4

Sollicitations composées

Introduction

Dans le cas général une section de structure peut être soumise à l’action des six composantes de
l’effort internes à savoir (N, Vx, Vy, Mx, My, Mz) et qui ont été classées sous quatre catégories de
sollicitation: traction et compression (N), cisaillement (Vx, Vy) torsion Mx, et flexion (My, Mz).
Dans la pratique courante, les structures peuvent être soumises à des sollicitations simples ou
bien à différents types de combinaisons de six composantes des efforts internes. Sous les
hypothèses de la résistance des matériaux, ces combinaisons peuvent être analysées en utilisant le
principe de superposition des efforts. Dans ce chapitre on étudiera la flexion simple, la
combinaison de la flexion simple et la traction (ou compression) dite flexion composée et la
combinaison de deux flexions dite flexion déviée.

I. Principe de superposition
Si une structure est soumise à plusieurs sollicitations, les vecteurs contraintes et les vecteurs
déformations qui en résultent sont respectivement les sommes géométriques des vecteurs
contraintes et des vecteurs déformations dus à chaque sollicitation simple agissant séparément et
telles que les contraintes maximales résultantes restent inférieures à la limite élastique.

II. Flexion simple

Une poutre est sollicitée en flexion simple lorsque le torseur des efforts internes au centre de
gravité G de chaque section droite de la poutre se réduit à un effort tranchant et un moment de
flexion.

1. Contrainte normale de flexion plane simple

La contrainte normale en un point d'une section droite (s) est proportionnelle à la distance y entre
ce point et la fibre moyenne passant par G.

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M z ( x)
 y
Iz

On note par :
 Mz(x) : moment de flexion
 IZ : moment d’inertie de la section suivant l’axe principal fort
Exemple : On considère une section rectangulaire (bxh) de centre de gravité G d’une poutre
sollicitée en flexion simple. On se propose de tracer le diagramme de la distribution des
contraintes développées dans la section la plus sollicitée.

y
σc
Zone où les fibres
sont comprimées
h/2

σ
-h/2 Zone où les fibres sont
tendues

σt
b

Figure 1: Diagramme de la répartition de la contrainte normale en flexion simple

La distribution de la contrainte est linéaire. Trois points particuliers sont considérés afin de tracer
la droite.



 y  0   0
 h M max h 6M max
 y    3  2
c
 2 bh 2 bh
12
 h M max h 6M max
y       3  t
 2 bh 2 bh 2
 12

On désigne par :

 σc : la contrainte extrême en compression

 σt : la contrainte extrême en traction
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D’après le diagramme de la distribution de la contrainte, on observe que les contraintes extrêmes

sont au niveau des fibres les plus éloignées de la fibre moyenne.
Remarque :
V
Les contraintes tangentielles (   ) sont très petites comparées aux contraintes normale
A
provoquée par la flexion. Par suite, la contrainte tangentielle est négligée.

2. Condition de résistance
Pour vérifier la résistance d'une poutre, il s'agit de calculer la contrainte maximale à l'endroit où
elle subit le moment de flexion maximum.
Pour des raisons de sécurité, la contrainte due à la flexion doit rester inférieure à une résistance
admissible relative au matériau constituant la poutre.

  c   ad
c


  t   ad
t

Avec :
 ec
  adc 
s
 et
  t
ad 
s
 c
σ e et σte sont respectivement les résistances élastiques du matériau en compression et en
traction.
 s est un coefficient de sécurité

III. Flexion composée

Un élément de structure est sollicité en flexion composée lorsqu’il est soumis à la fois à un
moment fléchissant (Mz ou bien My), un effort tranchant V et un effort normal N passant par le
centre de gravité de la section.
1. Analyse des contraintes
Les contraintes développées sont normales (les contraintes tangentielles sont négligées).
a. Contrainte normale de traction/compression
Dans chaque section de la poutre, les contraintes sont normales à celle-ci et uniformément
réparties dans la section.

Figure 2 : Distribution de contrainte à l’état traction/compression

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N
La contrainte normale due à la traction/compression est  
A
 N : effort normal dans la section considérée
 A : L’aire de la section
 N<0 en compression N>0 en traction

b. Contrainte en flexion composée

En vertu du principe de superposition, la contrainte en flexion composée s’exprime par :
N M
   (traction)   ( flexion)    y
A Iz

La position de la fibre neutre ne se situe plus suivant l’axe de symétrie de la pièce mais suivant la
ligne ou σ est nulle.

Figure 3 : Diagramme de la répartition de contrainte en flexion composée

Sur la figure 3.a, on montre les contraintes uniformes dues à un effort normal N qui s’ajoutent
algébriquement aux contraintes dues au moment fléchissant M agissant sur la section de
l’élément.

La figure 3.b montre que l’axe neutre est déplacé. Il est parallèle à la position de l’axe neutre
lorsqu’il n’ya qu’une flexion simple, mais il ne passe pas par le centre de gravité de la section
comme dans le cas de la flexion simple.

c. Position de l’axe neutre

 Cas d’une traction
On considère un effort normal de traction N, on détermine la position de l’axe neutre (A.N). Soit
y0 la distance qui sépare l’A.N par rapport à l’axe passant par G (centre de gravité de la section).
On a σ(y0)=0
N M
Avec  ( y 0 )   y0  0
A I

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NI
 y0  
MA
 Cas d’une compression
N M
 ( y0 )  
 y0  0
A I
NI
 y0 
MA

d. Condition de résistance
La condition de résistance est :


N M max

 
y  lim
A Iz s
Avec :
  lim  : Contrainte limite /admissible
 s : coefficient de sécurité

IV. Flexion déviée

1. Analyse de contrainte
La flexion déviée est le résultat de l'action des forces extérieures agissant suivant un plan différent
de ceux des axes principaux de la poutre. On considère, à titre d’exemple, une panne (poutre en
acier) d'une toiture inclinée soumise à une charge verticale q.

y-y

qy
y z-z
qz

z
My

qz

MZ

qy
q

Figure 4 : Panne sollicitée en flexion déviée

Le chargement est incliné par rapport à l’un des axes principaux, la décomposition de ce
chargement en deux composantes parallèle aux axes principaux (z et y) produit une flexion

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déviée. L’étude de la flexion déviée revient à décomposer les sollicitations en deux flexions
planes suivant les plans principaux.

qy
z

qz

Figure 5 : Décomposition du chargement dans le plan principal d’inertie

Pour une action simultanée de My et Mz, les contraintes en un point de coordonnées y et z se

déterminent par la formule :
Mz My
 y z
Iz Iy
Ce résultat est établi directement en considérant que la flexion déviée comme la somme de deux
flexions dirigées suivant les axes centraux d'inertie et en appliquant le principe de superposition.

Figure 6 : Distribution des contraintes en flexion déviée

2. Position de l’axe neutre

L’axe neutre, défini par σ=0, a pour équation :
M M
  z y y z0
Iz Iy
M y IZ
 y z
Mz Iy

3. Condition de résistance
Le calcul de vérification de la résistance s'effectue à la base des données sur la contrainte totale
maximale.
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D'après le diagramme de distribution de contrainte montré à la figure 6, les contraintes

maximales se localisent aux points les plus éloignés de l'axe neutre. Pour une section symétrique
on a:

 ymax   zmax 
 lim 
s

Avec
  zmax : est la contrainte maximale développée dans le plan de flexion y-y

 ymax
 : est la contrainte maximale développée dans le plan de flexion z-z

  lim  : Contrainte limite /admissible

 S : coefficient de sécurité

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