Chap4 NDDL
Chap4 NDDL
Chap4 NDDL
structures
O. Ben Mekki
ENIT, 2017 1
Analyse
Statique Modale
Equivalente
2
Equation d’équilibre dynamique (différentielle)
Système formé de 5
équations couplées
-Vecteur de direction de séisme
- Déplacement dans la direction
3
de degrés de liberté
Matrice de masse
M= Symétrique définie positive
pas de mouvement sans énergie cinétique
Matrice de rigidité
K= Symétrique définie positive
Système stable : pas de mécanisme
c1 c 2 c 2 0 0 0
c c 2 c3 c3 0 0
2
C= 0 c3 c3 c 4 c 4 0 Matrice d’amortissement
0 0 c 4 c 4 c 5 c 5
0 0 0 c5 c5
U=
Vecteur déplacement relatif
4
On considère un vecteur
problème plan 2D direction
Avec une excitation
Selon la direction x
5
Cas d’un bâtiment 3D
6
Calcul des modes propres
Base modale
Non amorti
Système à N-DDL
Vibration libre
La solution peut être vu comme la superposition des vibrations libres
de chaque mode naturel:
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Equation caractéristique est un polynôme d’ordre N (=5) en
• Vecteur propre
• ième déformée modale
de la structure
(dépond de position de l’étage)
9
10
Orthogonalité des modes
ki si i j
*
i K j
T Rigidité généralisée de ième mode
0 si i j
mi si i j
*
i M j
T
Masse généralisée de ième mode
0 si i j
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Décomposition sur la base des modes propres
La projection du déplacement U(x,t) sur la base modale nous
permet de déterminer une estimation modale de déplacement sur
les N premiers modes propres :
N
U ( x, t ) i (t ) i ( x)
i 1
Déplacement de Déplacement de
différent étage dû différent étage dû
au 1er mode au 5ième mode
U ( x1 , t ) U1 ( x1 , t ) U 5 ( x1 , t )
U ( x , t ) U ( x , t ) U ( x , t )
2 1 2 5 2
U ( x3 , t ) U1 ( x3 , t ) ... U 5 ( x3 , t )
U ( x 4 , t ) U 1 ( x 4 , t ) U 5 ( x 4 , t )
U ( x5 , t )
U1 ( x5 , t )
U 5 ( x5 , t14 )
Déformées modales : Modes propres des vibrations
1( x5 ) 2 ( x5 ) 3 ( x5 ) 4 ( x5 ) 5 ( x5 )
1 ( x 4 ) 2 ( x4 ) 3 ( x4 ) 4 ( x4 ) 5 ( x4 )
1( x3 ) 2 ( x3 ) 3 ( x3 ) 4 ( x3 ) 5 ( x3 )
1 ( x 2 ) 2 ( x2 ) 3 ( x2 ) 4 ( x2 ) 5 ( x2 )
1 ( x1 ) 2 ( x1 ) 3 ( x1) 4 ( x1 ) 5 ( x1)
N N N
j M i i C i i K i i M .U .xg
T
i 1 i 1 i 1
D’après la propriété d’orthogonalité des modes :
N
m*j j Tj Cii k *j j Tj M .U .xg 16
i 1
Amortissement proportionnel
Tj C i c ij
Amortissement de Rayleigh
C M K
m*j k *j c*j 1
2 j j j j
m*j m*j j
2
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Projection des équations d’équilible sur la base
des modes propres
rj
j 2 j j j j j .
* g
x j 1à 5
mj 18
Comparaison entre un système à 1DDL et un
système à plusieurs DDl
Système à 1DDL
rj
Système à 5-DDL j 2 j j j j j *
.xg
Après décomposition mj
modale
chaque équation représente la vibration d’un seul mode de vibration avec une
excitation = facteur de participation x excitation sismique 19
Le processus de
décomposition modale peut
être illustré de la manière
suivante : noter bien
l’influence des facteurs de
participation modale qui
modifient l’amplitude de
l’accélération du sol de chaque
mode
1 (t )
2 (t )
3 (t )
4 (t )
5 (t )
20
• Calcul de déplacement
rj
Max ( j (t )) S d ( j , j ) rj 1
m*j
Max ( j (t )) S a ( j , j )
t
rj t
*
mj j
2
Max ( j (t )) S a ( j , j )
t m*j 21
• Calcul de déplacement
1. Déplacement modal maximal par étage
Max[U i ( x j )] i ( x j ) Max [ i (t )]
t
iième mode i=1 à 5 jième étage j=1 à 5
2
N
Max[U ( x j )] Max [U i ( x j )]
i 1 t
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t
• Calcul des sollicitations
Les forces maximum ne peuvent pas être directement calculées avec les
déplacements relatifs maximum. Il faut déterminer les forces maximales
dans chaque modes à partir de la matrice de rigidité. Ensuite, pour
chercher la force totale il est recommandé d’utiliser aussi SRSS des
forces modales
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Avec par exemple
Max [U1 ( x1 )]
t
Max [U1 ( x2 )]
t
= Max [U1 ( x3 )]
t
Max [U1 ( x4 )]
t
Max [U1 ( x5 )]
t
24
• Calcul des sollicitations
N
V F j , max, tot
j 1
• Moment fléchissant
26
27
28
29
30
Masse modale participante
2
rj *
m mod
j
* mj j 1à N
mj
31
Masse modale participante
N N
m mod
j m j M tot
j 1 j 1
Le nombre des modes à retenir dans la réponse de la structure sont tel
que la somme de leurs masses modales doit être supérieure à 90% de
la masse totale de la structure.
k
m mod
j 0.9 M tot avec k N
j 1 32
• Exemple: mode de vibration 2D-3D
33
• Exemple: mode de vibration 2D-3D
34
• Exemple: mode de vibration 2D-3D
35
Base shear for mode j:
Fj max MΦj j gS a ( T j , j )
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DRAIN-2DX
(http://nisee.berkeley.edu/software/drain2dx)
IDARC-2D
(http://civil.eng.buffalo.edu/idarc2d50)
SeismoStruct (http://www.seismosoft.com)
OpenSees (http://opensees.berkeley.edu)
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