Polycopié Mécanique - Boukli
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Polycopié
Cinématique et dynamique du
point matériel
(Cours et exercices corrigés)
Introduction .................................................................................................................... i
I. Calcul vectoriel ......................................................................................................... 1
1. Introduction ........................................................................................................... 1
2. Le vecteur unitaire ................................................................................................. 1
3. Composantes d’un vecteur suivant les coordonnées cartésiennes......................... 1
4. Les opérations sur les vecteurs .............................................................................. 2
➢ La somme des vecteurs ................................................................................... 2
➢ La soustraction des vecteurs ........................................................................... 3
➢ Le produit scalaire entre deux vecteurs .......................................................... 3
➢ Le produit vectoriel entre deux vecteurs......................................................... 3
➢ Le produit mixte .............................................................................................. 5
5. Les opérateurs différentiels ................................................................................... 5
5.1. Définitions ....................................................................................................... 5
5.2. Les opérateurs ................................................................................................. 6
➢ Opérateur Nabla .............................................................................................. 6
➢ Le gradient ...................................................................................................... 6
➢ Le divergent .................................................................................................... 6
➢ Le rotationnel .................................................................................................. 6
➢ Le laplacien ..................................................................................................... 7
II. Cinématique du point matériel ............................................................................. 8
1. Introduction ............................................................................................................ 8
2. Étude descriptive du mouvement d’un point matériel ........................................... 8
2.1. La position du mobile .................................................................................... 8
2.2. La trajectoire .................................................................................................. 9
2.3. Le vecteur déplacement ................................................................................. 9
2.4. Le vecteur vitesse ........................................................................................ 10
2.5. Le vecteur accélération ................................................................................ 10
3. Différents types de mouvements et les différents systèmes de coordonnées ....... 11
3.1. Le mouvement rectiligne .............................................................................. 11
➢ Le mouvement rectiligne uniforme .............................................................. 11
➢ Le mouvement rectiligne uniformément varié............................................. 11
➢ Le mouvement rectiligne varié .................................................................... 12
➢ Le mouvement rectiligne sinusoïdal ............................................................ 13
3.2. Le mouvement dans le plan .......................................................................... 14
➢ Les coordonnées polaires ............................................................................. 14
➢ Le mouvement curviligne ............................................................................ 16
➢ Le mouvement circulaire ............................................................................. 17
3.3. Le mouvement dans l’espace ........................................................................ 18
➢ Mouvement suivant les coordonnées cartésiennes ...................................... 18
➢ Mouvement suivant les coordonnées cylindriques ...................................... 19
➢ Mouvement suivant les coordonnées sphériques ......................................... 20
4. Le mouvement relatif........................................................................................... 22
4.1. La position ..................................................................................................... 22
4.2. La vitesse ....................................................................................................... 22
4.3. L’accélération ................................................................................................ 23
➢ Cas d’un repère en mouvement de translation ............................................. 24
➢ Cas d’un repère en mouvement de rotation sans translation ....................... 25
III. Dynamique du point matériel.............................................................................. 26
1. Introduction .......................................................................................................... 26
2. Notion de force ..................................................................................................... 26
3. Principe d’inertie .................................................................................................. 27
➢ Référentiel d’inertie ou galiléen ................................................................... 24
4. Concept de masse ................................................................................................. 28
5. La quantité de mouvement ................................................................................... 28
6. Les lois de Newton ............................................................................................... 28
➢ 1ière loi de Newton ......................................................................................... 29
➢ 2ième loi de Newton ........................................................................................ 29
➢ 3ième loi de Newton ........................................................................................ 29
➢ Loi de gravitation universelle ....................................................................... 30
➢ Champs gravitationnel .................................................................................. 30
7. Force de liaison ou force de contact ..................................................................... 31
7.1. Réaction d’un support ................................................................................... 31
7.2. Forces de frottement ..................................................................................... 31
➢ Forces de frottement statiques ...................................................................... 31
➢ Forces de frottement dynamiques ................................................................ 32
➢ Forces de frottement dans les fluides ............................................................ 33
8. Forces élastiques .................................................................................................. 34
9. Forces d’inertie ou pseudo-forces ........................................................................ 34
10. Moment cinétique .............................................................................................. 35
➢ Théorème du moment cinétique ................................................................... 35
11. Conservation du moment cinétique et forces centrale ....................................... 36
Exercices corrigés......................................................................................................... 37
Bibliographie ............................................................................................................... 47
Introduction i
Introduction
___
La première partie est consacrée à un rappel mathématique sur l’analyse vectorielle qui
est nécessaire pour exprimer les lois physiques. Nous déterminons la notion de
vecteur, ensuite nous montrons les opérations sur les vecteurs : la somme, la
soustraction et le produit des vecteurs et nous terminons cette partie par les opérateurs
différentiels (opérateur nabla, gradient, divergent, rotationnel et le laplacien).
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Calcul vectoriel 1
Le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 est caractérisé par : B
- L’origine (A) A
- Le support (la droite (AB))
- La direction ou le sens du vecteur (de A vers B) ⃗⃗⃗⃗⃗
Figure 1 : Vecteur 𝐴𝐵
- Le module ou la norme du vecteur : valeur numérique réelle qui représente la
longueur du vecteur (la distance entre A et B)
2. Le vecteur unitaire :
Le vecteur unitaire est un vecteur dont le module est égal à 1. On exprime un vecteur
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ tel que :
𝐴𝐵 parallèle au vecteur unitaire 𝑈
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵 𝑈
𝐴𝐵 ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝐴𝐵 et ‖𝑈
Avec ‖𝐴𝐵 ⃗‖=1
⃗ s’écrit :
Le vecteur 𝑉 Vy
⃗ = ⃗⃗⃗
𝑉 𝑉𝑥 + ⃗⃗⃗
𝑉𝑦 ⃗
𝑉
𝑗 α
Avec : ⃗⃗⃗
𝑉𝑥 = 𝑉𝑥 𝑖 ; ⃗⃗⃗
𝑉𝑦 = 𝑉𝑦 𝑗 O 𝑖
x
Vx
𝑉𝑥 = 𝑉 cos 𝛼 ; 𝑉𝑦 = 𝑉 sin 𝛼 Figure 2 : Projection d’un vecteur dans le
plan (O, 𝑖,𝑗)
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Calcul vectoriel 2
⃗ s’écrit :
Le vecteur 𝑉
θ ⃗
𝑉
⃗ = ⃗⃗⃗
𝑉 𝑉𝑥 + ⃗⃗⃗
𝑉𝑦 + ⃗⃗⃗
𝑉𝑧 ⃗
𝑘 ⃗⃗⃗
𝑉𝑦
β
O y
Avec : ⃗⃗⃗
𝑉𝑥 = 𝑉𝑥 𝑖 ; ⃗⃗⃗ 𝑉𝑧 = 𝑉𝑧 𝑘⃗
𝑉𝑦 = 𝑉𝑦 𝑗 ; ⃗⃗⃗ 𝑗
𝑖 α
⃗⃗⃗𝑥
𝑉
Vx= V cos α
Vy= V cos β
Vz= V cos θ
Figure 3 : Projection d’un
x
vecteur dans l’espace (O, 𝑖,𝑗,𝑘⃗)
⃗⃗⃗
𝑉2 𝑆
𝑆 = (𝑥1 + 𝑥2 )𝑖 + (𝑦2 + 𝑦2 )𝑗
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Calcul vectoriel 3
⃗ =𝑉
𝐷 ⃗⃗⃗1 + (−𝑉
⃗⃗⃗2 )
⃗ = (𝑥1 − 𝑥2 )𝑖 + (𝑦2 − 𝑦2 )𝑗
𝐷
⃗⃗⃗
𝑉2
⃗ comme suit :
On obtient le module de 𝐷
⃗⃗⃗
𝑉1
𝐷 = √(𝑥1 − 𝑥2 )2 + (𝑦1 − 𝑦2 )2 ⃗⃗⃗2
−𝑉
Ou ⃗
𝐷 ⃗⃗⃗2
−𝑉
⃗⃗⃗1 , 𝑉
𝐷 = √𝑉12 + 𝑉22 − 2𝑉1 𝑉2 cos (𝑉 ⃗⃗⃗2 )
Exemple :
𝑉1 = 2𝑖 + 3𝑗 − 𝑘⃗ ,⃗⃗⃗⃗⃗
Soit deux vecteurs⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉2 = 2𝑖 + 2𝑗 − 𝑘⃗
Le produit scalaire 𝑉 ⃗⃗⃗1 . 𝑉
⃗⃗⃗2 = 4 + 6 + 1 = 11
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Calcul vectoriel 4
Le produit vectoriel entre deux vecteurs 𝑉⃗⃗⃗1 et 𝑉⃗⃗⃗2 est un vecteur perpendiculaire au plan
formé par ces deux vecteurs.
⃗⃗⃗ = 𝑉
𝑊 ⃗⃗⃗1 × 𝑉 ⃗⃗⃗2
B
A
⃗⃗⃗
𝑊 ⃗⃗⃗
𝑉2
α
O ⃗⃗⃗
𝑉1 C
⃗⃗⃗ est trouvée par la règle des trois doigts de la main droite.
La direction du vecteur 𝑊
⃗⃗⃗
𝑉1
⃗⃗⃗
𝑉2
⃗⃗⃗
𝑉1 × ⃗⃗⃗
𝑉2
⃗⃗⃗1 × 𝑉
𝑊 = |𝑉 ⃗⃗⃗2 | = 𝑉1 𝑉2 sin (𝑉
⃗⃗⃗1 , 𝑉
⃗⃗⃗2 )
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Calcul vectoriel 5
𝑖 × 𝑖 = 𝑗 × 𝑗 = 𝑘⃗ × 𝑘⃗ = 0 ⃗
|𝑖 × 𝑗| = |𝑖 × 𝑘⃗ | = |𝑗 × 𝑘⃗ | = 1
𝑖 × 𝑗 = 𝑘⃗, 𝑖 × 𝑘⃗ = 𝑗, 𝑗 × 𝑘⃗ = 𝑖
Exemple :
𝑉1 = 2𝑖 + 3𝑗 − 5𝑘⃗ ,⃗⃗⃗⃗⃗
Soit deux vecteurs ⃗⃗⃗⃗ 𝑉2 = 2𝑖 + 2𝑗
𝑖 −𝑗 𝑘⃗
Le produit vectoriel⃗⃗⃗⃗⃗
𝑊=𝑉 ⃗⃗⃗1 × 𝑉
⃗⃗⃗2 est : 𝑊
⃗⃗⃗ = 𝑉
⃗⃗⃗1 × 𝑉
⃗⃗⃗2 = |2 3 −5|
2 2 0
⃗⃗⃗ = 10 𝑖 − 10 𝑗 + (−2)𝑘⃗
𝑊
𝑥1 𝑦1 𝑧1
⃗⃗⃗1 . (𝑉
𝑉 ⃗⃗⃗2 × 𝑉
⃗⃗⃗3 ) = |𝑥2 𝑦2 𝑧2 |
𝑥3 𝑦3 𝑧3
⃗⃗⃗1 . (𝑉
𝑉 ⃗⃗⃗2 × 𝑉
⃗⃗⃗3 ) = (𝑦2 𝑧3 − 𝑧2 𝑦3 )𝑥1 − (𝑥2 𝑧3 − 𝑧2 𝑥3 )𝑦1 + (𝑥2 𝑦3 − 𝑦2 𝑥3 )𝑧1
Exemple :
𝑉1 = 2𝑖 + 3𝑗 − 𝑘⃗ ;⃗⃗⃗⃗⃗
Soit trois vecteurs: ⃗⃗⃗⃗ 𝑉2 = 2𝑖 + 2𝑗 − 𝑘⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉3 = 𝑖 + 2𝑗
⃗⃗⃗1 . (𝑉
𝑉 ⃗⃗⃗2 × 𝑉
⃗⃗⃗3 ) = (3.0 − (−1).2)2 − (2.0 − 0.1)𝑦1 + (2.2 − 2.1)(−1)
⃗⃗⃗1 . (𝑉
𝑉 ⃗⃗⃗2 × 𝑉
⃗⃗⃗3 ) = (2)2 − (0)3 + (2)(−1) = 2
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Calcul vectoriel 6
𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓
𝑑𝐹 = 𝑑𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓
Avec , 𝑒𝑡 sont des différentielles partielles.
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
Exemple :
𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 − 2𝑦 + 4𝑧
Sa différentielle totale est :
𝑑𝑓 = 2𝑥𝑑𝑥 − 2𝑑𝑦 + 4𝑑𝑧
Il existe des fonctions algébriques à plusieurs variables et des fonctions vectorielles à
plusieurs variables
⃗ = 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑖 + 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑗 + ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑘⃗
𝑉
⃗ est une fonction vectorielle à plusieurs variables.
𝑉
5.2. Les opérateurs :
- Opérateur nabla
L’opérateur nabla ⃗∇ est un vecteur qui agit sur les fonctions comme suit :
𝜕 𝜕 𝜕
⃗∇= 𝑖+ 𝑗 + 𝑘⃗
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
- Le gradient
Le gradient est un opérateur qui agit sur les fonctions algébriques et les transforme en
fonctions vectorielles par l’opérateur nabla. On définit le vecteur gradient de la
fonction algébrique f comme suit :
𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 = ⃗∇𝑓 = 𝑖+ 𝑗+ 𝑘⃗
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
Exemple :
Soit f(x,y,z)= xyz2.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 = 𝑦𝑧 2 𝑖 + 𝑥𝑧 2 𝑗 + 2𝑥𝑦𝑧𝑘⃗
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Calcul vectoriel 7
- Le divergent
Le divergent est un opérateur qui agit sur les fonctions vectorielles et les transforme en
fonctions algébriques par l’opérateur nabla. Il est définit comme suit :
𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑉
⃗ = ⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑖𝑣𝑉 ∇ 𝑉 ⃗ = 𝑥+ 𝑦+ 𝑧
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
Exemple :
⃗V(x, y, z) = 2𝑥𝑦𝑖 + 𝑥𝑦𝑧𝑗 − 𝑥𝑦𝑧 2 𝑘⃗
⃗ = 2𝑦 + 𝑥𝑧 − 2𝑥𝑦𝑧
𝑑𝑖𝑣 V
- Le rotationnel
Soit un vecteur ⃗V = 𝑉𝑥 𝑖 + 𝑉𝑦 𝑗 + 𝑉𝑧 𝑘⃗. On définit le rotationnel de ⃗V comme suit :
𝑖 −𝑗 𝑘⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑟𝑜𝑡𝑉 ⃗ = || 𝜕
⃗ = ⃗∇ × 𝑉 𝜕 𝜕|
|
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
𝑉𝑥 𝑉𝑦 𝑉𝑧
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∂V ∂V ∂V ∂V ∂V ∂V
𝑟𝑜𝑡𝑉 ⃗ = ( z − y ) i − ( z − x ) j + ( y − x ) ⃗k
∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y
Exemple :
⃗ (x, y, z) = 2𝑥𝑦𝑖 + 𝑥𝑦𝑧𝑗 − 𝑥𝑦𝑧 2 𝑘⃗
V
𝑖 −𝑗 𝑘⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑟𝑜𝑡𝑉 ⃗ = || 𝜕
⃗ = ⃗∇ × 𝑉 𝜕 𝜕 |
|
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
2𝑥𝑦 𝑥𝑦𝑧 −𝑥𝑦𝑧 2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑟𝑜𝑡𝑉 ⃗ = (−xz 2 − xy)i − (−yz 2 − 0)j + (yz − 2x)k ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑟𝑜𝑡𝑉 ⃗
⃗ = (−xz 2 − xy)i + yz 2 j + (yz − 2x)k
- Le laplacien
⃗ 𝜕2𝑉
𝜕2𝑉 ⃗ 𝜕2𝑉⃗
⃗ ∇
∇ ⃗ (𝑉
⃗)=∇
⃗ 2 (𝑉
⃗)= + +
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2
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Cinématique du point matériel 8
𝑧 M(t0) M(t1)
M(t2)
M(t)
𝑟
M(tn)
⃗
𝑘 𝑦
O y
𝑗
𝑖
𝑥
x
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dans les coordonnées cartésiennes
Figure 7 : Vecteur position 𝑂𝑀
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Cinématique du point matériel 9
M1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀1 𝑀2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀1 M2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀2
𝑗
O x
𝑖
Figure 8 : Vecteur déplacement ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀1 𝑀2 dans les coordonnées cartésiennes
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Cinématique du point matériel 10
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀2 −𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝑀
𝑣 = 𝑙𝑖𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑚 = 𝑙𝑖𝑚 =
∆𝑡→0 ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑑𝑡
⃗⃗⃗⃗
𝑣2 −𝑣⃗⃗⃗⃗1 ⃗
∆𝑣
𝑎𝑚 =
⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝑡2 −𝑡1 ∆𝑡
Le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑚 est // à ∆𝑣 et il se dirige vers la concavité de la trajectoire.
➢ L’accélération instantanée
L’accélération instantanée est l’accélération à un instant t donné :
∆𝑣 𝑣2 − 𝑣
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗1 𝑑𝑣 𝑑 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀
𝑎 = 𝑙𝑖𝑚 = 𝑙𝑖𝑚 = =
∆𝑡→0 ∆𝑡 ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2
Les coordonnées du vecteur accélération suivant les coordonnées cartésiennes sont:
Soit:
𝑂𝑀 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
𝑣= = 𝑖 + 𝑗 + 𝑘⃗
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑣 𝑑 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 𝑑 2 𝑥 𝑑2 𝑦 𝑑2 𝑧
𝑎= = = 2 𝑖 + 2 𝑗 + 2 𝑘⃗
𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡
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Cinématique du point matériel 11
𝑥 (𝑡 ) = 𝑣 (𝑡 − 𝑡0 ) + 𝑥0
Cette équation est appelée l’équation horaire du mouvement rectiligne uniforme
x(t) = v t + x0 v=constante
x0
t t a=0 t
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Cinématique du point matériel 12
𝑑𝑥 = 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡
𝑥(𝑡) 𝑡 𝑡
∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑣 (𝑡 )𝑑𝑡 = ∫ [𝑎(𝑡 − 𝑡0 ) + 𝑣0 ] 𝑑𝑡
𝑥0 𝑡0 𝑡0
𝑎
𝑥 (𝑡 ) = (𝑡 2 − 𝑡02 ) + (𝑣0 − 𝑎𝑡0 )(𝑡 − 𝑡0 ) + 𝑥0
2
Si t0=0, l’équation horaire du mouvement rectiligne uniformément varié devient :
𝑎
𝑥 (𝑡 ) = 𝑡 2 + 𝑣0 𝑡 + 𝑥0
2
x0
v0
t t t
Le mouvement rectiligne varié est caractérisé par une accélération qui dépend du
temps.
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Cinématique du point matériel 13
Exemple :
Soit un mobile se déplace à une accélération a = 2t-1.
𝑑𝑣
𝑎=
𝑑𝑡
𝑣(𝑡) 𝑡 𝑡
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑎 𝑑𝑡 = ∫ (2𝑡 − 1) 𝑑𝑡
𝑣0 𝑡0 𝑡0
𝑡3 𝑡2
− 𝑥 (𝑡 ) =
3 2
➢ Le mouvement rectiligne sinusoïdal
L’équation horaire du mouvement rectiligne sinusoïdal s’écrit sous la forme
sinusoïdale en fonction du cosinus ou sinus tel que :
𝑥 (𝑡 ) = 𝑥𝑚 cos (𝜔𝑡 + 𝜑)
xm est l’amplitude maximale
ω est la pulsation du mouvement
φ est la phase initiale et elle est déterminée par les conditions initiales
La vitesse est la dérivée de x(t) tel que:
𝑑𝑥 (𝑡 )
𝑣 (𝑡 ) = = −𝑥𝑚 𝜔 sin (𝜔𝑡 + 𝜑)
𝑑𝑡
L’accélération est la dérivée de la vitesse telle que :
𝑑𝑣
𝑎= = −𝑥𝑚 𝜔2 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) = −𝜔2 𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
- Diagramme du mouvement rectiligne sinusoïdal :
a (t)
x (t), v(t) et a (t)
v(t)
t(s)
0
x(t)
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Cinématique du point matériel 14
M
𝑅⃗
⃗⃗⃗⃗ 𝑗
𝑈𝜃 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑈𝑅
θ
O x
𝑖
⃗⃗⃗⃗⃗𝑅 , ⃗⃗⃗⃗
Figure 9: la base polaire (𝑈 𝑈𝜃 )
La base cartésienne est une base fixe alors que la base polaire est une base qui dépend
du mobile M qui est en mouvement en fonction du temps.
Suivant les coordonnées cartésiennes, le vecteur position s’écrit :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 𝑅⃗ = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗
Suivant les coordonnées polaires, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 s’écrit comme suit :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 𝑅 ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝑅
Les composantes de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 sont (x, y) dans la base cartésienne alors que dans la base
polaires les composantes de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 sont (R, 0).
- Lien entre le système de coordonnées cartésiennes et le système de coordonnées
polaires et vice versa :
𝑥 = 𝑅 cos 𝜃
𝑦 = 𝑅 𝑠𝑖𝑛 𝜃
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √𝑥 2 + 𝑦 2
𝑅 = |𝑂𝑀
𝑦 𝑥 𝑦
tan 𝜃 = , cos 𝜃 = 2 2 ou sin 𝜃 =
𝑥 √𝑥 +𝑦 √𝑥 2 +𝑦 2
La base polaire s’écrit en fonction de la base cartésienne comme suit :
⃗⃗⃗⃗
𝑈𝑅 = cos 𝜃 𝑖 + sin 𝜃 𝑗
⃗⃗⃗⃗
𝑈𝜃 = − sin 𝜃 𝑖 + cos 𝜃 𝑗
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Cinématique du point matériel 15
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝑀 𝑑(𝑅 ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝑅 )
𝑣= =
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑅 ⃗⃗⃗⃗𝑟
𝑑𝑈
𝑣= ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝑅 + 𝑟
𝑑𝑡 𝑑𝑡
La dérivée du vecteur ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝑅 par rapport au temps :
𝑑𝑈⃗⃗⃗⃗𝑅 𝑑
= (cos 𝜃 ⃗𝑖 + sin 𝜃 𝑗)
𝑑𝑡 𝑑𝑡
⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑈𝑅 𝑑𝜃
= (− sin 𝜃 ⃗𝑖 + cos 𝜃 𝑗)
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑈⃗⃗⃗⃗𝑅 𝑑𝜃
= ⃗⃗⃗⃗
𝑈
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜃
C’est la règle de dérivation d’un vecteur unitaire tournant :
La dérivée par rapport au temps d’un vecteur unitaire 𝑢 ⃗ qui tourne par un angle θ est
obtenue en multipliant la vitesse angulaire 𝜃̇ = 𝜔 par le vecteur qui est directement
⃗ (rotation de π/2 dans le sens positif)
perpendiculaire à 𝑢
Exemples :
y
⃗⃗⃗⃗𝑟
𝑑𝑈 ⃗⃗⃗⃗ +
= 𝜃̇ ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝜃 𝑈𝑟
𝑑𝑡
θ x
𝑑 3 ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝑟 𝑑 2 ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝜃
𝑑2 ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝑟 𝑑𝑈 ⃗⃗⃗⃗𝜃 = = −𝜃̇⃗⃗⃗⃗
𝑈𝜃
= = −𝜃̇⃗⃗⃗⃗
𝑈𝑟 𝑑𝑡 3 𝑑𝑡 2
𝑑𝑡 2 𝑑𝑡
Figure 10 : Dérivation successive par rapport au
temps d’un vecteur unitaire
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Cinématique du point matériel 16
➢ Le mouvement curviligne
Le mouvement curviligne est caractérisé par une trajectoire curviligne qui nécessite la
connaissance du rayon de courbure R et le centre C (figure 10).
y y
M1
M1 S
R
M2 θ M2
C
𝑟 𝑗
𝑗
O x O x
𝑖 𝑖
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Cinématique du point matériel 17
Si |𝑣| est constant donc l’accélération tangentielle at est nulle. On dit que le
𝑣2
mouvement et curviligne uniforme : 𝑎 = ⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑛 = 𝑈 ⃗⃗⃗⃗𝑛
𝑅
𝑑𝑣 𝑣2
𝑎×𝑣 =( ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝑡 + ⃗⃗⃗⃗ 𝑈 ) × 𝑣 ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝑡
𝑑𝑡 𝑅 𝑛
𝑣3
𝑎 × 𝑣 = (𝑈 ⃗⃗⃗⃗ × ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝑡 )
𝑅 𝑛
𝑣3
|𝑎 × 𝑣 | =
𝑅
D’où
𝑣3
𝑅=
|𝑎 × 𝑣 |
➢ Le mouvement circulaire
Le mouvement circulaire est un mouvement dont la trajectoire est un cercle de rayon R
constant. L’équation de la trajectoire est comme suit :
(𝑥 − 𝑥0 ) + (𝑦 − 𝑦0 ) = 𝑅2
R est le rayon du cercle et (x0, y0) sont les coordonnées du centre du cercle.
Le vecteur position s’écrit suivant les coordonnées polaires comme suit :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 𝑅 ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝑅
Le vecteur vitesse est :
𝑣 = 𝑅 𝜃̇ ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝜃
Le vecteur accélération est :
𝑎 = −𝑅 𝜃̇ 2 ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝑅 + 𝑅 𝜃̈ ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝜃
L’accélération est la somme de l’accélération tangentielle 𝑎𝜃 = 𝑅 𝜃̈ et l’accélération
normale 𝑎𝑟 = 𝑅 𝜃̇ 2 qui s’écrient suivant la base de Frenet comme suit :
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Cinématique du point matériel 18
𝑎𝑛 = 𝑅 𝜔2 ⃗⃗⃗⃗
𝑎 = ⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑛
On définit l’accélération angulaire par 𝜔̇ = 𝛼. Si α est constante, on dit que le
mouvement est circulaire uniformément varié.
3.3. Le mouvement dans l’espace
M
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀
⃗
𝑘 y
O Y
𝑗
𝑖
x
m
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑚𝑀 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘⃗
𝑂𝑚 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣= = 𝑥̇ 𝑖 + 𝑦̇ ⃗𝑗 + 𝑧̇ 𝑘⃗
𝑑𝑡
𝑑 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 𝑑𝑣
𝑎= = = 𝑥̈ 𝑖 + 𝑦̈ ⃗𝑗 + 𝑧̈ 𝑘⃗
𝑑𝑡 2 𝑑𝑡
➢ Mouvement suivant les coordonnées cylindriques
𝑈𝜃 , 𝑘⃗ ). Voir figure 13
⃗⃗⃗⃗𝑟 , ⃗⃗⃗⃗
La base cylindrique est déterminée par les vecteurs unitaires (𝑈
Le vecteur position ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 s’écrit suivant les coordonnées cylindriques comme suit :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑚 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑟 + 𝑧 𝑘⃗
𝑚𝑀 = 𝑟 ⃗⃗⃗⃗
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Cinématique du point matériel 19
z
r
M
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀
⃗
𝑘
y
O Y
𝑗 ⃗⃗⃗⃗
θ r 𝑈𝜃
x 𝑖
m
⃗⃗⃗⃗
𝑈𝑟
X
𝑈𝜃 , 𝑘⃗ )
⃗⃗⃗⃗𝑟 , ⃗⃗⃗⃗
Figure 14 : Vecteur Position suivant les coordonnées cylindriques (O,𝑈
𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2
𝑦 𝑦
tan 𝜃 = 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝜃 = arctan
𝑥 𝑥
𝑧=𝑧
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃
𝑦 = 𝑟 sin 𝜃
𝑧=𝑧
La base cylindrique s’écrit en fonction de la base cartésienne comme suit :
⃗⃗⃗⃗
𝑈𝑟 = cos 𝜃 𝑖 + sin 𝜃 𝑗
⃗⃗⃗⃗𝜃 = − sin 𝜃 𝑖 + cos 𝜃 𝑗
𝑈
𝑘⃗ = 𝑘⃗
- Expression du vecteur vitesse suivant les coordonnées cylindriques
𝑑𝑂𝑀 𝑑
𝑣= = (𝑟𝑈 ⃗⃗⃗⃗𝑟 + 𝑧𝑘⃗ )
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑟 ⃗⃗⃗⃗𝑟 𝑑𝑧
𝑑𝑈
𝑣= ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝑟 + 𝑟 + 𝑘⃗
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡
Nous rappelons que :
̇
𝑈𝑟̇ = 𝜃̇⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝜃̇ = −𝜃̇ ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝜃 ; ⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑟 ; 𝑘⃗ = 0
Donc le vecteur vitesse est :
𝑈𝜃 + 𝑧̇ ⃗⃗⃗𝑘
𝑈𝑟 + 𝑟𝜃̇ ⃗⃗⃗⃗
𝑣 = 𝑟̇ ⃗⃗⃗⃗
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Cinématique du point matériel 20
z ⃗⃗⃗⃗⃗𝑅
𝑈
r ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝜃
M
R ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑈𝜑
⃗ φ
𝑘
y
O Y
𝑗
θ r
x 𝑖
m
Un point mobile M est repéré par les coordonnées sphériques : (R, θ, φ) et le vecteur
position s’écrit :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 𝑅 ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝑅
- Lien entre les coordonnées cartésiennes et les coordonnées sphériques
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃
𝑦 = 𝑟 sin 𝜃
𝑧 = 𝑅 cos 𝜑
Sachant que 𝑟 = 𝑅 sin 𝜑 , donc :
𝑥 = 𝑅 sin φ cos 𝜃
𝑦 = 𝑅 sin 𝜑 sin 𝜃
𝑧 = 𝑅 cos 𝜑
D’où :
𝑅 = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2
𝑧
𝜃 = arccos
𝑅
𝑦
𝜑 = arctan
𝑥
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Cinématique du point matériel 21
⃗⃗⃗⃗
𝑈𝜃 ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝑟
m
⃗⃗⃗⃗
𝑈𝜃 r
θ
x
Figure 16 : Projection du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑈𝜃 suivant les
coordonnées cartésienne
⃗⃗⃗⃗
𝑈𝜃 = − sin 𝜃 𝑖 + cos 𝜃 𝑗
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Cinématique du point matériel 22
UṘ = φ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ Uφ + θ̇ sin φ ⃗⃗⃗⃗
Uθ
D’où :
𝑈𝑅 + 𝑅 𝜃̇ sin 𝜑 ⃗⃗⃗⃗
𝑣 = 𝑅̇ ⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝜃 + 𝑅 𝜑̇ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑈𝜑
z ⃗⃗⃗ y’
𝑘′
M O’𝑗′
𝑖′
x’
𝑘⃗ y
O𝑗 Repère mobile
𝑖
x
Repère fixe
4.1. La position :
La position de M par rapport au repère fixe R est dite position absolue :
𝑂𝑀 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
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Cinématique du point matériel 23
4.3. L’accélération
L’accélération absolue est l’accélération de M par rapport au repère fixe R :
𝑑 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 𝑑 2 𝑥 𝑑2 𝑦 𝑑2 𝑧
𝑎𝑎 =
⃗⃗⃗⃗ = 2 𝑖 + 2 𝑗 + 2 𝑘⃗
𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡
2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 ⃗′ 2 ⃗⃗′ 2 ⃗⃗⃗′ ⃗ 𝑑𝑦′ 𝑑𝑗′
⃗ ⃗⃗⃗
𝑑 𝑂𝑂′ ′
𝑑 𝑖 ′
𝑑 𝑗 ′
𝑑 𝑘 𝑑𝑥′ 𝑑𝑖′ 𝑑𝑧′ 𝑑𝑘′
𝑎𝑎 = [
⃗⃗⃗⃗ + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ] + 2 [ + + ]
𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑 2 𝑥′ ′ 𝑑 2 𝑦′ ′ 𝑑 2 𝑧′ ′
+ [ 2 ⃗𝑖 + 2 𝑗⃗⃗ + 2 ⃗⃗⃗ 𝑘]
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡
L’accélération est composée de l’accélération relative⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎𝑟 , l’accélération
d’entrainement ⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑒 , et l’accélération de Coriolis ⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑐 , tel que :
𝑑 2 𝑥′ ′ 𝑑 2 𝑦′ ′ 𝑑 2 𝑧′ ′
𝑎𝑟 =
⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑖 + 𝑗⃗⃗ + 2 ⃗⃗⃗ 𝑘
𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡
𝑑 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑂′ ′
𝑑 2 ⃗𝑖′ ′
𝑑 2 𝑗⃗⃗′ ′
𝑑 2 ⃗⃗⃗
𝑘′
𝑎𝑒 =
⃗⃗⃗⃗ + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧
𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2
𝑑𝑥′ 𝑑𝑖′ ⃗ 𝑑𝑦′ 𝑑𝑗′ ⃗ 𝑑𝑧′ 𝑑𝑘′⃗⃗⃗
𝑎𝑐 = 2 [
⃗⃗⃗⃗ + + ]
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑎𝑎 = ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ 𝑎𝑟 + ⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑒 + ⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑐
Le mouvement du repère R’ peut être en translation ou en rotation par rapport au
repère fixe R. La vitesse relative ne change pas mais la vitesse d’entrainement change
et par conséquent l’accélération d’entrainement change et l’accélération de Coriolis
change.
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Cinématique du point matériel 24
Remarque :
L’accélération de Coriolis s’annule si le repère mobile R’ est en translation par rapport
au repère fixe R ou si le mobile M est fixe par rapport au repère mobile R’
𝑑𝑥′ 𝑑𝑦′ 𝑑𝑧′
= = =0
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡
➢ Cas d’un repère en mouvement de rotation sans translation
On suppose que le repère R’ est en rotation par rapport à l’axe z avec une vitesse
𝜔𝑅′ /𝑅 = 𝜔𝑘⃗ et on considère que 𝑂 ≡ 𝑂′.
angulaire ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
N’importe quel vecteur en rotation par rapport à un axe perpendiculaire sa dérivée
dans le temps est le produit vectoriel de sa vitesse angulaire 𝜔 ⃗ et vecteur tournant:
⃗⃗
𝑑𝑖′ ⃗⃗⃗
𝑑𝑗′ ⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑘′
=𝜔⃗ × ⃗𝑖′ ; ⃗ × ⃗𝑗′ ;
=𝜔 ⃗ × ⃗⃗⃗
=𝜔 𝑘′
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡
⃗⃗⃗ ⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑒 = 𝜔 𝑂′𝑀
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Cinématique du point matériel 25
D’où :
𝑑 2 ⃗𝑖′ 𝑑𝜔 ⃗ ⃗
𝑑𝑖′
= ( × ⃗𝑖′ ) + (𝜔 ⃗ × )
𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡
′
𝑑 2 ⃗𝑖′ ′
𝑑 2 𝑗⃗⃗′ ′
𝑑 2 ⃗⃗⃗
𝑘′
𝑎𝑒 = 𝑥
⃗⃗⃗⃗ +𝑦 +𝑧
𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2
𝑑𝜔
⃗ ⃗
𝑑𝑖′ 𝑑𝜔 ⃗ ⃗
𝑑𝑗′
𝑎𝑒 = 𝑥 ′ [(
⃗⃗⃗⃗ × ⃗𝑖′ ) + (𝜔⃗ × )] + 𝑦 ′ [( × 𝑗⃗⃗′ ) + (𝜔
⃗ × )]
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝜔
⃗ ⃗⃗⃗
𝑑𝑘′
+𝑧 ′
[( ⃗⃗⃗′
× 𝑘 ) + (𝜔
⃗ × )]
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝜔
⃗ ⃗
𝑑𝑖′ 𝑑𝜔⃗ ⃗
𝑑𝑗′
𝑎𝑒 = [(
⃗⃗⃗⃗ ⃗ ′
× 𝑥′𝑖 ) + (𝜔⃗ × 𝑥′ )] + [( ⃗⃗′
× 𝑦′𝑗 ) + (𝜔
⃗ × 𝑦′ )]
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝜔
⃗ ⃗⃗⃗
𝑑𝑘′
+ [( ⃗⃗⃗′ ) + (𝜔
× 𝑧′𝑘 ⃗ × 𝑧′ )]
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝜔
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑒 = (
⃗⃗⃗⃗ × 𝑂′𝑀) + (𝜔 ⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ × (𝜔 𝑂′𝑀))
𝑑𝑡
⃗ 𝑑𝑦′ 𝑑𝑗′
𝑑𝑥′ 𝑑𝑖′ ⃗ ⃗⃗⃗
𝑑𝑧′ 𝑑𝑘′
𝑎𝑐 = 2 [
⃗⃗⃗⃗ + + ]
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑎𝑐 = 2 (𝜔
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗𝑟 )
⃗ ×𝑣
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Dynamique du point matériel 26
1. Introduction
Nous avons étudié dans le chapitre précédent le mouvement des corps sans tenir
compte des causes qui provoquent ou modifient le mouvement et ce qu’on a appelé la
cinématique du point matériel. Dans ce chapitre on s’intéresse à la dynamique du point
c'est-à-dire nous étudions les causes du mouvement et repérer le mouvement pour des
causes données. La question qui se pose est : Qu’est ce qui fait bouger une particule ou
un point matériel ? Pour répondre à cette question nous introduisons la notion de force.
2. Notion de force
Un point matériel est en mouvement à cause des interactions entre la particule et son
environnement qui les subits. Ces interactions sont appelées forces. Ces forces
dépendent de la nature de la particule et de la nature de son environnement.
La force est représentée par un vecteur, tel que :
- Son Origine est le point de contact (force/corps)
- Sa direction: est la direction du mouvement supportée sur le fil pour le cas par
exemple de la force : tension du fil
- Sont module : est la valeur de la force en Newton (N)
Les forces exercées sur un corps quelconque est la somme vectorielle de toutes les
forces qui lui sont appliquées.
2.1. Différentes forces
➢ Forces de poids : force de gravitation due à a masse du corps.𝑃⃗ = 𝑚 𝑔
➢ Forces de contacts : forces d’interactions entre deux corps en contact et lorsque
les deux corps sont en mouvement relatif l’un par rapport à l’autre on aura une
force de frottement c’est une force qui s’oppose toujours au mouvement du
corps considéré.
➢ Forces de tension : ce sont les forces qui tirent sur un élément d’un corps :
tension du fil, tension du ressort
➢ Autres forces : forces électriques, forces magnétiques,…
Exemple : un corps glisse sur une surface horizontale par un fil (figure). Les forces
exercées sur ce corps sont : force de poids, tension du fil, force de réaction et la force
de frottement
𝑅⃗
⃗⃗𝑓⃗𝑐 ⃗
𝑇
𝑃⃗
Figure 16 : force exercées sur un corps
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Dynamique du point matériel 27
3. Principe d’inertie
Enoncé : un corps isolé mécaniquement (un corps dont la résultante des forces qui lui
sont appliquées est nulle ∑ 𝐹 = ⃗0 reste au repos s’il est initialement au repos ou il
garde son mouvement rectiligne uniforme (𝑎 = ⃗0) tant que la résultante des forces est
nulle et ceci par rapport à un repère ou référentiel d’inertie.
Exemple :
On jette une balle sur le sol et on étudie son mouvement sans prendre en compte les
forces de frottements. On remarque que la balle est en mouvement rectiligne uniforme.
Si on étudie les forces exercées sur la balle, nous avons :
𝑃⃗ + 𝑅⃗ = ⃗0
𝑅⃗
𝑃⃗
Si la balle touche un mur (reçois un obstacle), la balle est soumise à une autre force car
son mouvement change. Dans ce cas on aura :
𝐹𝑐 ≠ ⃗0
𝑃⃗ + 𝑅⃗ + ⃗⃗⃗
𝑅⃗
⃗⃗⃗
𝐹𝑐
𝑃⃗
La balle change de direction à cause de la force de contact de la balle avec le mur ⃗⃗⃗
𝐹𝑐
D’autre part, si la balle est au repos, elle reste au repos si ∑ 𝐹 = ⃗0
Un référentiel d’inertie est un repère dans lequel le principe d’inertie est réalisé. C'est-
à-dire il garde son inertie : il reste au repos s’il est repos et il garde son mouvement
rectiligne uniforme tan que ∑ 𝐹 = ⃗0
Le repère de la terre n’est pas réellement galiléen à cause de son mouvement orbital et
son mouvement autour du soleil et de sa propre rotation autour de son axe. Mais dans
la plus grande majorité des expériences, on le considère comme étant un repère
galiléen car on fait des études avec des temps faibles.
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Dynamique du point matériel 28
Un corps est sur un plateau d’un camion en mouvement rectiligne uniforme. Le corps
est au repos si le camion garde son mouvement rectiligne uniforme.
Si le plateau est lisse et le camion fait un virage, le corps glisse.
Donc :
Le camion n’a pas conservé son mouvement rectiligne uniforme car il est devenu en
mouvement curviligne (virage) et le corps n’a pas conservé son repos d’où le principe
d’inertie n’est pas appliqué sur le camion.
4. Concept de masse
On sait tous que plus la masse d’un corps est grande, plus il est difficile de changer
son vecteur vitesse ou changer son mouvement (sa direction).’’Il est facile pour une
personne de faire bouger une table que de faire bouger une armoire’’.
La masse est une grandeur physique scalaire qui représente la quantité de la matière
qui compose une particule et elle représente l’inertie du corps.
5. La quantité de mouvement
On a vu précédemment que le mouvement d’un corps peut être influencé par la masse
du mobile. La quantité de mouvement est un vecteur qui est déterminé par le produit
entre la masse et la vitesse. La quantité de mouvement nous permet de distinguer entre
les particules en mouvement de même vitesse et de masses différentes.
𝑃⃗ = 𝑚 𝑣
𝑃⃗ = ∑ ⃗⃗𝑃𝑖
𝑖=1
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Dynamique du point matériel 29
𝑑𝑣
∑𝐹 =𝑚
𝑑𝑡
∑𝐹 = 𝑚 𝑎
Cette relation associe le terme cinétique qui est l’accélération et le terme dynamique
qui est les forces exercées donc si on connait les forces (la résultante des forces) on
peut déterminer la nature du mouvement d’un point matériel donné.
Lorsque deux corps sont en interaction, ils exercent l’un sur l’autre des forces
opposées en sens mais égale en intensité.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹1/2 m1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹2/1
m2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹1/2 = − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹2/1
Remarque :
La force exercée sur un corps est appelée action et la force exercée sur l’autre corps est
appelée réaction.
Toute force est associée à une réaction.
Les forces sont de même nature. Il ne faut pas confondre avec la force du pois et la
force de réaction (ces deux forces ne sont pas de même nature).
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Dynamique du point matériel 30
M2
m1 r
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹2/1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹1/2
➢ Champs gravitationnel
À la surface de la terre :
La terre (m)
rt
mt
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Dynamique du point matériel 31
(m)
La terre h
rt
mt
𝑚 𝑚𝑡
𝐹𝑔′ = 𝑚 𝑔′ = 𝐺
𝑟2
Tel que r = rt + h
D’où :
′
𝑟𝑡2
𝑔 =𝑔 2
𝑟
7. Forces de liaison ou forces de contact
La force de contact est toute force qui a lieu une fois on a le contact entre deux
surfaces planes.
7.1. Réaction d’un support
On considère un corps solide posé sur une surface horizontale.
𝑅⃗
𝑃⃗
La force de réaction 𝑅⃗ est l’action du support sur lequel repose le système et qui
l’empêche de s’enfoncer vers le bas sous l’action de son poids.
Exemple : soit les forces exercées sur un corps :⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 𝑃⃗et la force de frottement
𝐹, 𝑅,
⃗⃗⃗𝑠 (figure 18). La force de frottement est la force qui s’oppose au mouvement
statique 𝐹
du corps sur une surface plane. Dans le cas statique, le corps est au repos.
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Dynamique du point matériel 32
𝑅⃗ 𝐹
⃗⃗𝑓𝑠 θ x
𝑃⃗
Figure 18 : force exercées sur un corps
⃗
Corps au repos : ∑ 𝐹 = 0
Tout juste avant d’arracher le corps, la force statique atteint sa valeur maximale tel
que :
𝑓𝑠 = 𝜇𝑠 𝑅
𝑓𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝜇𝑠 𝑅 = 𝜇𝑠 (𝑃 − 𝐹 sin 𝜃)
𝑓𝑐 = 𝜇𝑐 𝑅
𝐹 cos 𝜃 − 𝑓𝑐 = 𝑚 𝑎
𝑅 = 𝑃 − 𝐹 sin 𝜃
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Dynamique du point matériel 33
Exemple :
y
𝑅⃗ 𝐹
⃗⃗𝑓⃗𝑐 θ x
𝑃⃗
Figure 18 : force exercées sur un corps
∑ 𝐹 = 𝑓𝑐 + 𝑅⃗ + 𝑃⃗ + 𝐹 = 𝑚 𝑎
𝑓𝑐 = 𝜇𝑐 𝑅
𝑅 = 𝑃 − 𝐹 sin 𝜃
D’où
𝑓𝑐 = 𝜇𝑐 (𝑃 − 𝐹 sin 𝜃)
Application numérique :
𝑓𝑐 = 12.87 𝑁
En projetant les forces sur (ox) :
𝐹 cos 𝜃 − 𝑓𝑐
𝑎=
𝑚
Application numérique :
𝑎 = 0.12 𝑚/𝑠 2
Quand un corps solide se déplace dans un fluide (un gaz ou liquide) avec une faible
vitesse relative, la force de frottement est :
𝑓𝑓 = −𝐾 𝑛 𝑣
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Dynamique du point matériel 34
8. Forces élastiques
𝑎 = −𝜔2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀
La résultante de toute force d’un point matériel en mouvement rectiligne sinusoïdal est
proportionnelle au vecteur position et de sens contraire :
𝐹 = −𝑘 𝑥
9. Forces d’inertie ou pseudo forces
Dans ce cas nous étudions la dynamique du point par rapport à un repère non-galiléen.
𝑎𝑟 = ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ 𝑎𝑎 − ⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑒 − ⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑐
⃗⃗⃗⃗𝑒 et ⃗⃗⃗⃗
𝑎 𝑎𝑐 sont l’accélération d’entrainement et l’accélération de Coriolis
respectivement.
D’où :
𝑑𝑣
⃗⃗⃗𝑟
𝑚 (𝑎
⃗⃗⃗⃗𝑎 − ⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑒 − ⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑐 ) = 𝑚
𝑑𝑡
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Dynamique du point matériel 35
𝑑𝑣
⃗⃗⃗𝑟
𝑚 ⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑎 = 𝑚 + 𝑚𝑎
⃗⃗⃗⃗𝑒 + 𝑚𝑎
⃗⃗⃗⃗𝑐
𝑑𝑡
D’où
𝑑𝑣
𝑚 = 𝐹 + ⃗⃗⃗
𝐹𝑒 + ⃗⃗⃗
𝐹𝑐
𝑑𝑡
La loi de la dynamique peut être appliquée dans un référentiel non galiléen à condition
d’ajouter la force d’entrainement et la force de Coriolis.
10. Moment cinétique
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐿 ⃗
/𝑂 = 𝑟 × 𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐿/𝑂 = 𝑚 𝑟 × 𝑣
𝐿/𝑂 = 𝑚. 𝑟. 𝑣
Posant : 𝑣 = 𝜔 𝑟
𝐿/𝑂 = 𝑚. 𝑟 2 . 𝜔
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Le vecteur 𝐿 /𝑂 a le même sens que le vecteur vitesse angulaire. On peut écrire :
𝐿/𝑂 = 𝑚. 𝑟 2 . 𝜔
⃗
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Dynamique du point matériel 36
𝑑𝑟
⃗
× 𝑃⃗ = 𝑣 × 𝑚 𝑣 = 0
𝑑𝑡
𝑑𝑃⃗
𝑟× =𝑟×𝐹
𝑑𝑡
/𝑂 (𝐹 ) = 𝑟 × 𝐹
𝜏⃗⃗⃗⃗⃗
D’où :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝐿 /𝑂
/𝑂 (𝐹 )
= 𝜏⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑡
Une force centrale est la force est la force qui à chaque instant, la droite support de
cette force passe constamment par un point fixe O.
a. La particule est isolée :⃗⃗⃗𝐹 = 0⃗ ce qui signifie que le moment cinétique d’une
particule libre est constant.
b. Si la force ⃗⃗⃗𝐹 est centrale : 𝐹 est parallèle à 𝑟. Donc le moment cinétique par
rapport au centre de forces est constant. Le contraire est vrai c’est à dire si le
moment cinétique est constant donc la force est centrale.
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Exercices corrigés 37
Exercices corrigés
___
Exercice 1 :
𝐴 = 2i − 3j = 2(cos 𝜃 ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝑟 − sin 𝜃 ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝜃 ) − 3 (sin 𝜃 ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝑟 + cos 𝜃 ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝜃 )
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Exercices corrigés 38
|𝑎 × 𝑣 | = 1
D’autre part :
|𝑎 × 𝑣 | = 𝑎. 𝑣. sin(𝑎, 𝑣 ) = sin(𝑎, 𝑣 )
𝛼 = 𝜋/2
6)- Vecteur vitesse et vecteur accélération en coordonnées polaire :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 𝑅 ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝑟 , R=1m est constant et θ = t
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝑀
𝑣= = 𝜃̇ 𝑅 ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝜃 = ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝜃
𝑑𝑡
Le module de la vitesse en coordonnées polaire v=1m/s
𝑑𝑣
𝑎= = −𝜃̇ ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝑟 = −𝑈 ⃗⃗⃗⃗𝑟
𝑑𝑡
D’où a=1m/s2
Exercice 3 :
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Exercices corrigés 39
Solution :
x2+ y2=9
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝑀
𝑣= 𝑈𝜃 + 8 𝑘⃗
= 6 ⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑡
v=10 m/s
𝑑𝑣
𝑎= = −12 ⃗⃗⃗⃗
𝑈𝑟
𝑑𝑡
a=12 m/s2
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Exercices corrigés 40
Exercice 4 :
Solution
N
⃗⃗⃗𝑟
𝑣
𝑣𝑒 60°
⃗⃗⃗
O E
𝑣𝑎
⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑎 = ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑒 + 𝑣
⃗⃗⃗𝑟
𝑣𝑒 = ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ 𝑣𝑎 − 𝑣
⃗⃗⃗𝑟
𝑣𝑒 = 𝑣𝑎 2 + 𝑣𝑟 2 − 2 𝑣𝑎 𝑣𝑟 cos 30°
𝑣𝑒 = 2.52 𝑘𝑚/ℎ
Sa direction :
Il faut trouver l’angle α entre ⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑎 et ⃗⃗⃗
𝑣𝑒 :
𝑣𝑟 𝑣𝑒
=
sin 𝛼 sin 30
𝑣𝑟
sin 𝛼 = sin 30
𝑣𝑒
𝛼 = 23.6°
Exercice 5 :
Soit un repère mobile R’(O’, x’, y’, z’) en mouvement de translation par rapport à un
𝑣𝑒 = (1,0,0) et R//R’. On suppose que
autre repère fixe R (O, x, y, z) avec une vitesse ⃗⃗⃗
les coordonnées de M par rapport à R’ sont : x’= 6t2+3t, y’=-3t2, z’=3 et on suppose
qu’à t=0s, les coordonnées de M par rapport à R sont O(0,0,0)
1. Donner la vitesse relative de ce point ainsi que sa vitesse absolue ?
2. En déduire les coordonnées du point M par rapport à R ?
3. Déterminer l’expression de l’accélération relative et absolue ?
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Exercices corrigés 41
Solution :
𝑣𝑎 = ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑒 + 𝑣
⃗⃗⃗𝑟
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂′𝑀
𝑣
⃗⃗⃗𝑟 =
𝑑𝑡
𝑣𝑒 = ⃗𝑖′
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝑀
𝑣𝑎 =
⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑡
𝑡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ∫ ⃗⃗⃗⃗
∫ 𝑑𝑂𝑀 𝑣𝑎 𝑑𝑡
0
𝑥 = 6𝑡 2 + 4𝑡 + 𝑐1
𝑦 = −3𝑡 2 + 𝑐2
𝑧 = 𝑐3
Un corps de poids égale à 8N, posé sur un plan rugueux incliné d’angle θ = 35°. Le
coefficient de frottement cinétique est 0.40. On prend g =10m/s2.
1)- Trouver l’angle d’inclinaison pour que le corps glisse avec une vitesse constante ?
2)- Quelle set la force normale pour un angle d’inclinaison de θ = 35° ?
3)- Quelle est la force de frottement pour un angle d’inclinaison de θ = 35° ?
4)- Quelle est l’accélération pour un angle d’inclinaison de θ = 35° ?
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Exercices corrigés 42
Solution :
⃗⃗⃗𝑓𝑐
𝑅⃗
𝑃⃗
y x
θ
1)- L’angle d’inclinaison pour que le corps glisse avec une vitesse constante :
Pour que la vitesse soit constante, il faut que la somme des forces soit nulle
⃗ + ⃗⃗⃗𝑓𝑐 = 0
𝑃⃗ + 𝑇 ⃗
Nous avons :
𝑓𝑐 = 𝜇𝑐 𝑅
tan 𝜃 = 𝜇𝑐
𝜃 = 21.8 °
𝑅 = 𝑚 𝑔 cos 𝜃
R= 6.55 N
𝑓𝑐 = 𝜇𝑐 𝑅
𝑓𝑐 = 2.62 𝑁
𝑚 𝑔 sin 𝜃 − 𝑓𝑐 = 𝑚 𝑎
𝑚 𝑔 sin 𝜃 − 𝑓𝑐
𝑎= = 2.46 𝑁
𝑚
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Exercices corrigés 43
Exercice 7 :
θ
⃗
𝑇
⃗⃗⃗⃗
𝑈𝜃
⃗⃗⃗⃗
𝑈𝑟
𝑃⃗
∑𝐹 = 𝑚 𝑎
𝑃⃗ + 𝑇
⃗ =𝑚𝑎
𝑎 = (𝑟̈ − 𝑟𝜃 2̇ )𝑈
⃗⃗⃗⃗𝑟 + (2𝑟̇ 𝜃̇ + 𝑟 𝜃̈)⃗⃗⃗⃗
𝑈𝜃
−𝑇 + 𝑚𝑔 cos 𝜃 = −𝑚𝑙𝜃 2̇
−𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 = 𝑚𝑙𝜃̈
D’où
𝑔
𝜃̈ + sin 𝜃 = 0
𝑙
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Exercices corrigés 44
𝑑𝐿⃗
= ∑ 𝜏(𝐹 )
𝑑𝑡
𝐿⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 × 𝑚 𝑣
𝑂𝑀 × 𝑃⃗ = −𝑚 𝑙 𝑔 sin 𝜃 𝑘⃗
𝜏 ( 𝑃⃗) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝜏(𝑇 ⃗ ) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 × 𝑇 ⃗ =0 ⃗
𝑑𝐿⃗
= 𝜏 ( 𝑃⃗) + 𝜏 ( 𝑇
⃗)
𝑑𝑡
𝑚 𝑙2 𝜃̈ = −𝑚 𝑙 𝑔 sin 𝜃
𝑔
𝜃̈ + sin 𝜃 = 0
𝑙
Exercice 8 :
Chariot au repos, son toit O’A’ est incliné de l’horizontale avec un angle θ. Il se
déplace sur l’horizontale avec une accélération constante a0. On lâche sur le toit de ce
chariot à partir du point O’ une masse M sans vitesse initiale. On néglige les
frottements et R’ est le repère du chariot.
y’
O’
M
θ x’
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Exercices corrigés 45
Solution :
y’
𝑅⃗
O’
M
𝑃⃗
θ x’
𝑃⃗ + 𝑅⃗ + ⃗⃗⃗
𝐹𝑒 + ⃗⃗⃗
𝐹𝑐 = 𝑚 ⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑟
⃗⃗⃗
𝐹𝑒 est la force d’entrainement tel que :
⃗⃗⃗
𝐹𝑒 = −𝑚 ⃗⃗⃗⃗𝑎𝑒 = −𝑚 ⃗⃗⃗⃗
𝑎0
⃗⃗⃗
𝐹𝑐 est la force de Coriolis. Dans ce cas elle, est nulle.
𝑃⃗ + 𝑅⃗ − 𝑚 ⃗⃗⃗⃗
𝑎0 = 𝑚 ⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑟
On projette sur (Ox) :
𝑚 𝑔 sin 𝜃 − 𝑚 𝑎0 cos 𝜃 = 𝑚 𝑎𝑟
𝑎𝑟 = 𝑔 sin 𝜃 − 𝑎0 cos 𝜃
𝑑𝑣
⃗⃗⃗𝑟
𝑎𝑟 =
⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑡
𝑣𝑟 𝑡
∫ 𝑑𝑣𝑟 = ∫ 𝑎𝑟 𝑑𝑡
0 0
𝑣𝑟 = 𝑔 sin 𝜃 − 𝑎0 cos 𝜃) 𝑡
Nature du mouvement :
𝑑𝑥′
𝑣𝑟 =
𝑑𝑡
𝑥′ 𝑡
∫ 𝑑𝑥′ = ∫ 𝑣𝑟 𝑑𝑡
0 0
1
𝑥 ′ = (𝑔 sin 𝜃 − 𝑎0 cos 𝜃)𝑡 2
2
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Exercices corrigés 46
− 𝑃 cos 𝜃 + 𝑅 − 𝑚 𝑎0 sin 𝜃 = 0
𝑅 = 𝑃 cos 𝜃 + 𝑚 𝑎0 sin 𝜃
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Bibliographie 47
Bibliographie
____
[1] Michel Henri et Nicolas Delorme, Mini manuel de mécanique du point, édition Dunod,
Paris, (2008).
[2] AHMED FIZAZI, Cahier de la Mécanique du Point Matériel, Office des Publications
Universitaires, Algérie, (2013).
[5] ALAIN GIBAUD ET MICHEL HENRY, Cours de Physique Mécanique du Point, 2ième
édition, Dunod, Paris, (1999-2007).
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