Master I: Electrotechnique Industrielle

Matière: Modélisation et Identification des Systèmes Electriques

CHAPITRE II
Modèle Mathématique

II. Schéma bloc d'un système

II.1 Définition

Le schéma bloc dit aussi schéma de principe ou diagramme fonctionnel est un moyen de représentation
graphique utile et commode pour les systèmes linéaires. Le schéma bloc permet de déterminer d'une manière
simplifiée les relations fonctionnelles entre les différentes parties d'un système complexe comprenant
plusieurs unités (sous-systèmes) et leurs commandes. La représentation par le schéma bloc est souvent
utilisé en automatique, traitement du signale et au génie chimique.

II.2 Eléments d'un schéma bloc

Comme le montre la figure 2.1, le schéma bloc est essentiellement constitué de blocs fonctionnels, lignes
d'action, jonctions et des sommateurs.

Correcteur Actionneur
E(S) ε(S) U(S) S(S)
+ G1(S) G2(S)
-
Sommateur M(S) Jonction
Ligne d'action Bloc fonctionnel
Capteur
Gn+1(S)
G3(S)

Figure 2.1 Forme générale d'un schéma bloc

 Bloc fonctionnel: Il est appelé aussi "la transmittance", et c'est un élément rectangulaire
représentant une des fonctions du système et portant la fonction de transfert qui définisse le rôle de
l'élément dans le système (Correcteur, actionneur ou capteur). Parfois, le bloc fonctionnel est
accompagné d'une description représentant une fonction mathématique tels que, le dérivateur,
l'intégrateur et le gain.
 Ligne d'action: Les blocs fonctionnels sont reliés entre eux par des flèches appelés les lignes
d'action ou les liens, ces flèches portent les signaux entrants et les signaux sortants (ε(S), U(S), S(S))
décrivant les variables intermédiaires du système.
 Jonction: C'est un point de branchement qui permet le prélèvement d'une information (signal) en
une des lignes d'action.
 Sommateur: Le sommateur est un élément qui permet de réaliser algébriquement l'addition ou la
soustraction entre les différentes variables du système, Il comporte plusieurs entrées et une seule
sortie. lorsqu'il est utilisé pour le calcule de la différence de deux signaux, le sommateur sera appelé
"comparateur" (généralement utilisé dans les systèmes asservis (systèmes à boucle de régulation).

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II.3 Procédure de constitution d'un schéma bloc

Pour tracer le schéma bloc d'un tel système, il s'agit de Tirer le maximum d'équations différentielles
régissent le comportement du système et la simplification de ces équation afin d'obtenir un schéma
fonctionnel plus simple dans le domaine temporel. Puis déterminer la fonction de transfert de chaque
constituant afin de construire le schéma bloc dans le domaine fréquentiel (domaine de Laplace).
A titre d'exemple, nous allons construire le schéma bloc du circuit RL que l'on présente sur la figure 2.2 et
qu'on la suppose un système linéaire, ce que signifie que la valeur de L est complètement indépendante du
niveau de courant i(t).

R i(t)=S(t)

Ve(t)=E(t) L

Figure 2.2 Schéma électrique du circuit RL

𝑑𝑖 𝑡
𝑉𝑒 𝑡 = 𝑅 𝑖 𝑡 + 𝐿
𝑑𝑡
𝑑𝑖 𝑡 𝑅 1
= − 𝑖 𝑡 + 𝑉𝑒 𝑡
𝑑𝑡 𝐿 𝐿
→ On a obtenu une seule équation différentielle d'ordre 1, donc, le circuit mise à l'étude représente un
système du premier ordre.

𝑑𝑖 𝑡 1
= 𝑉𝑒 𝑡 − 𝑅 𝑖 𝑡
𝑑𝑡 𝐿

Gain 𝒅𝒊 𝒕 Integrateur
Ve(t) = E(t) Ve(t) - R.i(t) 𝒅𝒕 i(t) = S(t)
+ 𝟏 𝑳
-
R.i(t)

Gain

Figure 2.3 Schéma bloc du circuit RL dans le domaine temporel

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𝑆 𝑆 𝐼 𝑆
Maintenant, nous allons déterminer la fonction de transfert 𝐹𝑇 𝑆 = 𝐸 =𝑉
𝑆 𝑒 𝑆

𝑑𝑖 𝑡
𝑉𝑒 𝑡 = 𝑅 𝑖 𝑡 + 𝐿 𝑑𝑡
(1)
𝑖 𝑡 = 𝑆 𝑡 ; 𝑉𝑒 𝑡 = 𝐸 𝑡

On applique la transformée de Laplace (S) sur le système d'équation (1):

𝐸 𝑆 = 𝑉𝑒 𝑆 = 𝑅 𝐼 𝑆 + 𝐿 𝑆 𝐼 𝑆
(2)
𝑆 𝑆 =𝐼 𝑆

Après simplification on obtient le système d'équation suivant:

𝐸 𝑆 = 𝑉𝑒 𝑆 = 𝐼 𝑆 𝐿 𝑆 + 𝑅
(3)
𝑆 𝑆 =𝐼 𝑆

Remplaçant 𝑰 𝑺 par 𝑺 𝑺 dans l'expression de 𝑬 𝑺 :

𝐸 𝑆 =𝑆 𝑆 𝐿𝑆+𝑅 (4)

Donc,

𝑆 𝑆 1
𝐹𝑇 𝑆 = = (5)
𝐸 𝑆 𝐿𝑆+𝑅

Le schéma bloc dans le domaine fréquentiel de Laplace se représentera comme suite:

Ve(S) 𝟏 I(S)
𝑳𝑺+𝑹

Figure 2.4 Schéma bloc du circuit RL dans le domaine fréquentiel de Laplace

Remarques:

 Une règle de base implicitement impose la non-utilisation des dérivateur dans la construction des
schémas bloc qui sont physiquement irréalisables.
 Les éléments dynamiques à disposition dans la construction des schémas bloc ne sont que des
intégrateurs, des gains et comparateurs.
 Le nombre d'intégrateurs nécessaires à utiliser dans la construction des schémas bloc égale à n qui
représente le degré du système mise à l'étude et ainsi que le nombre d'équations différentielles qu'on
peut les tirer du système (un seul intégrateur utilisé dans le cas étudié).
 Pour la détermination du gain statique du système, on peut raisonner sur le schéma bloc obtenu dans
le domaine temporel d'où l'équilibre du système est atteint dés que le signal d'entrée à l'intégrateur est
𝑑𝑖 𝑡 1
nul ( dans le cas mise à l'étude = 0 ). On a donc, 𝑉𝑒 𝑡 − 𝑅 𝑖 𝑡 = 0, ce qui implique que
𝑑𝑡 𝐿
1 𝑅 𝑆 𝑡 1
𝑉𝑒 𝑡 = 𝐿 𝑖 𝑡 . Par conséquent, le gain statique définit par 𝐾 = 𝐸 à l'équilibre et égale à 𝑅 .
𝐿 𝑡

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II.4 Constitution d'un schéma bloc pour la moteur à courant continu

La figure 2.5 représente le schéma équivalent d'un moteur à courant continu à excitation indépendante
(séparée). Electriquement, le moteur à courant continu à excitation peut être modélisé un ensemble de
résistance, inductance et générateur montés en série, représentant la partie rotorique, alors que le stator est
représenté par une inductance.
ωi(t)=S(t)
Ri L i
ii(t)

Ui(t) = E(t) Ei(t) F Lexc(t) Uexc(t)

Figure 2.5 Schéma électrique équivalent de la machine à courant continu à excitation séparée

II.4.1 Dans le domaine temporel

basant sur l'application de la loi des mailles sur le schéma équivalant du moteur, on écrit l'équation
différentielle reliant le courant d'induit 𝒊𝒊 𝒕 à la tension de commande 𝑼𝒊 𝒕 dans le circuit rotorique
comme suite:
𝑑𝑖 𝑖 𝑡
𝑈𝑖 𝑡 = 𝑅𝑖 𝑖𝑖 𝑡 + 𝐿𝑖 + 𝐸𝑖 𝑡 (6)
𝑑𝑡

Le couple développé par lu moteur est proportionnel au courant circulant dans le circuit d'induit selon la
relation:

𝐶𝑒𝑚 𝑡 = 𝐾𝑐 . 𝑖𝑖 𝑡 (7)

Lorsque le rotor est mise en rotation, une force électromotrice est induite en opposition de la tension
d'alimentation, cette force est appelée la force contre-électromotrice qu'est proportionnel à la vitesse de
rotation de l'arbre du moteur selon la formule suivante:

𝐸𝑖 𝑡 = 𝐾𝐸 . 𝜔𝑖 𝑡 (8)

Les coefficients 𝑲𝒄 𝑒𝑡 𝑲𝑬 sont physiquement égaux et représentent la constante de couple du moteur qui
dépend du flux de l’inducteur et la constante de la force contre-électromotrice du moteur, respectivement.

La charge à entrainer par le moteur influe directement la vitesse de l'arbre, ces influences sont caractérisés
par l'inertie qu'elle ramène sur l'arbre du moteur 𝑱𝒊 𝒕 , le couple résistant qui s'oppose au mouvement de
rotation 𝑪𝒓 𝒕 et le couple de frottement due à la liaison pivot entre l'arbre et le flasque palier et qui est aussi
en opposition avec le mouvement de rotation et défini par:

𝐶𝑓 𝑡 = 𝐾𝑓 . 𝜔𝑖 𝑡 (9)

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la loi dynamique du mouvement est décrit par la relation suivante:

𝑑𝜔 𝑖 𝑡
𝐽𝑖 = 𝐶𝑒𝑚 𝑡 − 𝐶𝑟 𝑡 − 𝐾𝑓 . 𝜔𝑖 𝑡 (10)
𝑑𝑡

Pour tracer le schéma fonctionnel du moteur on doit déterminer tout d'abord l'expression du courant d'induit
qu'on peut la tirer à partir de la relation (1):

𝑑𝑖 𝑖 𝑡 1
= 𝑈𝑖 𝑡 − 𝑅𝑖 𝑖𝑖 𝑡 − 𝐸𝑖 𝑡 (11)
𝑑𝑡 𝐿𝑖

Remplaçant la force contre-électromotrice 𝑬𝒊 𝒕 par sa valeur qui est 𝑲𝑬 . 𝝎𝒊 𝒕 , on obtient la relation liant
la variable d'entrée qui est la tension de commande 𝑼𝒊 𝒕 et la variable de sortie 𝝎𝒊 𝒕 :

𝑑𝑖 𝑖 𝑡 1
= 𝑈𝑖 𝑡 − 𝑅𝑖 𝑖𝑖 𝑡 − 𝐾𝐸 . 𝜔𝑖 𝑡 (12)
𝑑𝑡 𝐿𝑖

la relation (12) nous permet de tracer une grande partie du schéma bloc dans le domaine temporel comme le
représente la figure 2.6.

Ri ii(t)
𝒅𝒊𝒊 𝒕 Partie à expliquer dans
Ui(t) = E(t) - Ui(t)- Ri ii(t)-Ei(t) 𝒅𝒕 ii(t) le reste de la section ωi(t) = S(t)
+ 𝟏 𝑳𝒊
-
Ei(t)= KE. ωi(t)
ωi(t)
KE

Figure 2.6 Schéma bloc tracé à partir de l'equation (12)

Puisque le signal du courant d'induit est disponible selon la figure 2.6, la partie de schéma bloc qui
représente le couple électromagnétique est donc possible à construire en utilisant l'équation (7):

ii(t) Kc
Cem(t)

Figure 2.7 Schéma bloc tracé à partir de l'equation (7)

A partir de loi dynamique on peut exprimer la dérivée de la vitesse de rotation (l'accélération) par l'équation
suivante:

𝑑𝜔 𝑖 𝑡 1
= 𝐶𝑒𝑚 𝑡 − 𝐶𝑟 𝑡 − 𝐾𝑓 . 𝜔𝑖 𝑡 (13)
𝑑𝑡 𝐽𝑖

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Cr(t) 𝒅𝝎𝒊 𝒕
Cem(t) - 𝒅𝒕
+
-
Cf(t)= Kf .ωi(t)
ωi(t)
ωi(t) Kf

Figure 2.8 Schéma bloc tracé à partir de l'equation (13)

Finalement, il suffit d'utiliser un intégrateur dont l'entrée est la dérivée de vitesse afin d'obtenir la le signale
de vitesse en sortie. Le schéma bloc finale devient comme le représente la figure 2.9.

Figure 2.9 Schéma bloc dans le domaine temporel d'un moteur à courant continu à excitation séparée

II.4.2 Dans le domaine fréquentiel

Pour tracer le schéma bloc dans le domaine fréquentiel, Nous devons appliquer la transformée de Laplace
sur toutes les variables, soit:

𝐿 𝑈𝑖 𝑡 = 𝑈𝑖 𝑆 ; 𝐿 𝜔𝑖 𝑡 = 𝜔𝑖 𝑆 ;

𝐿 𝐸𝑖 𝑡 = 𝐸𝑖 𝑆 ; 𝐿 𝐶𝑒𝑚 𝑡 = 𝐶𝑒𝑚 𝑆 ;

𝐿 𝑖𝑖 𝑡 = 𝐼𝑖 𝑆 ; 𝐿 𝐶𝑟 𝑡 = 𝐶𝑟 𝑆 ;

Pour transformer la première partie du schéma bloc représentée par la figure 2.6 du domaine temporel au
domaine fréquentiel, on applique la transformée de Laplace sur la relation (12) que nous avons l'utilisé pour
tracer cette partie schéma:

𝑑𝑖 𝑖 𝑡 1 𝐿 1
= 𝑈𝑖 𝑡 − 𝑅𝑖 𝑖𝑖 𝑡 − 𝐾𝐸 . 𝜔𝑖 𝑡 𝑆𝐼𝑖 𝑆 = 𝐿 𝑈𝑖 𝑆 − 𝑅𝑖 𝐼𝑖 𝑆 − 𝐾𝐸 . 𝜔𝑖 𝑆 (14)
𝑑𝑡 𝐿𝑖 𝑖

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Dans cette partie, on suppose que le signale de sortie est le courant 𝑰𝒊 𝑷 , la formule (14) devient:

1 𝑅
𝑆𝐼𝑖 𝑆 = 𝐿 𝑈𝑖 𝑆 − 𝐾𝐸 . 𝜔𝑖 𝑆 − 𝐿 𝑖 𝐼𝑖 𝑆 (15)
𝑖 𝑖

que l'on met sous la forme:

𝑅 1
𝐼𝑖 𝑆 𝑆 + 𝐿 𝑖 = 𝐿 𝑈𝑖 𝑆 − 𝐾𝐸 . 𝜔𝑖 𝑆 (16)
𝑖 𝑖

Après simplifications on écrit l'expression par la relation suivante:

1
𝐼𝑖 𝑆 = 𝑈𝑖 𝑆 − 𝐾𝐸 . 𝜔𝑖 𝑆 (17)
𝑅𝑖 +𝐿𝑖 𝑆

ce qui nous permet de tracer une grande partie du schéma bloc représentée la figure 2.10.

Partie à expliquer dans

Ui(S) = E(S) Ui(S) - Ei(S) 𝟏 Ii(S) le reste de la section ωi(S) = S(S)
+
- 𝑹𝒊 + 𝑳 𝒊 𝑺
Ei(S)= KE. ωi(S)
ωi(t)
KE

Figure 2.10 Schéma bloc représenatant le signale de courant Ii(S)

Tant qu'on a obtenu la variable 𝑰𝒊 𝑺 , il suffit d'appliquer la transformée de Laplace sur l'expression du
couple (7) pour obtenir le signale 𝑪𝒆𝒎 𝑺 définit par:

𝐶𝑒𝑚 𝑆 = 𝐾𝑐 . 𝐼𝑖 𝑆 (18)

Ii(S) Kc
Cem(S)

Figure 2.11 Schéma bloc représenatant le signale du couple électromagnétique Cem(S)

Appliquant la transformée de Laplace sur la loi dynamique exprimée par la relation (13):
1 1 1
𝑆 𝜔𝑖 𝑆 = 𝐽 𝐶𝑒𝑚 𝑆 − 𝐽 𝐶𝑟 𝑆 − 𝐽 𝐾𝑓 𝜔𝑖 𝑆 (19)
𝑖 𝑖 𝑖

que l'on récrir sous la forme:

1 1
𝑆 + 𝐽 𝐾𝑓 𝜔𝑖 𝑆 = 𝐽 𝐶𝑒𝑚 𝑆 − 𝐶𝑟 𝑆 (20)
𝑖 𝑖

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Alors, la vitesse de rotation qui représente la variable de sortie du moteur sera exprimé par:
1
𝜔𝑖 𝑆 = 𝐶𝑒𝑚 𝑆 − 𝐶𝑟 𝑆 (21)
𝐾𝑓 +𝐽 𝑖 𝑆

Schématiquement, on peut traduire cette expression au schéma bloc présenté sur la figure 2.12.

Cr(S)
Cem(S - 𝟏 ωi(S)
)
+ 𝑲𝒇 + 𝑱𝒊 𝑺

Figure 2.12 Schéma bloc représenatant le signale de la vitesse de rotation ωi(S)

À partir de ces schémas bloc élémentaires, on construit le schéma bloc final du moteur illustrée dnas la
figure ci-desssous.

Cr(S)
Ui(S) = E(S) Ui(S) - Ei(S) 𝟏 Ii(S) Cem(S) - Cem(S) - Cr(S) 𝟏 ωi(S)= S(S)
+ Kc +
- 𝑹𝒊 + 𝑳 𝒊 𝑺 𝑲𝒇 + 𝑱𝒊 𝑺
Ei(S)= KE. ωi(S)
ωi(t)

KE

Figure 2.13 Schéma bloc dans le domaine fréquentiel d'un moteur à courant continu à excitation séparée

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