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    sur 2

    INSAT 2022/2023

    TD - Analyse Numérique
    Interpolation polynômiale
    IMI3 Feuille d’exercices n◦ : 2

    Exercice 1

    1. Déterminer les fonctions de base de Lagrange associées à trois points équidistants de [−1, 1].

    2. Déterminer les fonctions de base de Newton associées à trois points équidistants de [−1, 1].

    3. Déterminer le polynôme p(x), sous deux formes, tel que:

    p(−1) = 8, p(0) = 3, p(1) = 6.

    Exercice 2
    On considère les points A0 (−2, 3); A1 (−1, 1); A2 (1, 5); A3 (2, 11) et on désigne par Pn le polynôme
    d’interpolation de Lagrange passant par les points A0 , ..., An , (n ∈ {1, 2, 3}).

    1. Calculer P1 (x) et P2 (x).

    2. Sans calculer P3 (x), montrer que P3 (x) = P2 (x).

    Exercice 3

    1. (a) Calculer le polynôme d’interpolation, P , aux points: (-1,2), (0,1), (1,2) et (2,3).
    (b) Soit Q le polynôme d’interpolation aux points (-1,2), (0,1), (1,2). Montrer qu’il existe un réel λ
    tel que:
    Q(x) − P (x) = λx(x + 1)(x − 1).

    2. Déterminer φ ∈ V ec 1 + x2 , x4 le polynôme d’interpolation aux points (0,1) et (1,3).


    

    Exercice 4
    On considère la suite de n + 1 points (xk )0≤k≤n de [a, b]. Soient α ̸= β deux réels de [a, b]. Soit f une
    fonction à valeurs réelles définie sur [a, b] et soit pi le polynôme d’interpolation de f aux points x0 , . . . , xn et
    i avec i ∈ {α, β}.
    On note par P le polynôme dinterpolation de f aux points x0 , . . . , xn , α, β. Exprimer P en fonction de pα
    et pβ .

    Exercice 5
    On veut calculer une valeur approchée de Ln(529, 62) en connaissant:

    Ln(529) = 6.271, Ln(530) = 6.273

    1. Déterminer une approximation de Ln(529, 62) par une interpolation linéaire,

    2. Déterminer alors l’erreur commise dans ce cas.


    2 Analyse Numérique – Série 2

    Exercice 6
    Soient x0 , x1 , ...xn (n+1) points d’un intervalle [a, b].

    1. Montrer que les polynômes de Lagrange L0 , L1 , ..., Ln associés aux points x0 , x1 , ...xn forment une
    base de Rn [X].
    n
    X
    2. Montrer que Li (x) = 1, ∀x ∈ [a, b].
    i=0
    n
    X
    3. Montrer que xi Li (x) = x, ∀x ∈ [a, b].
    i=0

    Exercice 7
    1
    Soit a ∈ R\[−1, 1]. On considère f la fonction réelle définie sur [−1, 1] par f (x) = .
    x−a
    1. Calculer les dérivées successives de f .
    2
    2. Soit m ∈ N. On pose, xk = −1 + k pour 1 ≤ k ≤ m.
    m
    (a) On note par pm le polynôme d’interpolation de f aux points (xk ). Montrer que si |a| > 3, alors
    lim sup |f (t) − pm (t)| = 0.
    m→∞ −1≤t≤1

    (b) Soit Πm f le polynôme d’interpolation de f de degrès 1 sur [xk , xk+1 ] où 0 ≤ k ≤ m − 1.


    i. Déterminer l’expression de Πm f (x) sur [xk , xk+1 ].
    C
    ii. Montrer q’il existe C > 0 telle que sup |f (t) − Πm f (t)| ≤ . Expliciter C.
    −1≤t≤1 m2

    Exercice 8
    x
    On considère la fonction f (x) = sin( ) pour x ∈ I = [0, 1].
    3
    1. Soit Πn f le polynôme interpolant f aux nœuds x0 , . . . , xn équidistribués. Estimer l’erreur d’interpolation
    En (f ) = maxx∈I |f (x) − Πn f (x)| sur l’intervalle I, en fonction du degé n du polynôme et étudier son
    comportement quand n −→ +∞

    2. Trouver le nombre minimal de nœuds équirépartis pour avoir En (f ) ≤ 10−4 .

    3. Déterminer le nombre minimal N d’intervalles uiniformes (de longeur h = 1/N ) pour que le polynôme
    linéaire par morceaux interpole la fonction par intervalles donne une erreur ≤ 10−5 .

    Exercice 9
    L’espérance de vie dans un pays a évolué dans le temps selon le tableau suivant :

    Année 1975 1980 1985 1990


    Espérance 72.8 74.2 75.2 76.4

    Estimer l’espérance de vie en 1977, 1983 et 1988 à l’aide de l’interpolation de Lagrange. La comparer
    avec une interpolation linéaire par morceaux.

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