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    Série D'exercices - Math HOMOTHETIES - S.A-S.G - 2ème Sciences (2012-2013) MR YOUSSEF BOULILA

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    EXERCICES HOMOTHETIES – SUITES 2SC Mr Y.

    BOULILA
    EXERCICE 1

    Soit un triangle ABC. On note I le milieu de [AB] et G le barycentre des points


    {(A ;2) ; (B ;2) ; (C ;-1)}.

    1°) Démontrer que les points I, G, C sont alignés.


    2°) Faire une figure.
    3°) A tout point M du plan on associe le point M’ définie par :
       
    MM'  2 MA 2 MB MC .
    Démontrer que les points G, M et M’ sont alignés.
    4°) Soit h l’homothétie de centre G et de rapport –2.
    a) Tracer l’image du triangle ABC par l’homothétie h.
    b) Démontrer que h(M) = M’
    c) Quel ensemble décrit le point M’ lorsque M décrit le cercle de diamètre [AB].

    EXERCICE2

    Soit ABC un triangle isocèle rectangle en A. On note I le milieu de [BC] et J le milieu


    de [AC].
    Soit p un paramètre réel ; à tout point M du plan on associe le point M’ tel que :
    MM'  2MA  MB  pMC

    1°) Dans cette question on suppose que p = -1.


    a) Démontrer que le vecteur MM' est un vecteur fixe que l’on déterminera.
    b) En déduire la nature de la transformation du plan qui à tout point M associe le
    point M’ dans le cas où p = -1.

    2°) Dans cette question on suppose que p = 2.


    a) Construire le point K barycentre des points pondérés (A ;2) et (B ;-1)
    b) Construire le point G barycentre des points pondérés (A ;2), (B ;-1) et (C ;2)
    c) Démontrer que G appartient à la droite (BJ).
    d) Exprimer le vecteur GM' en fonction du vecteur GM .
    e) En déduire la nature de la transformation du plan qui à tout point M associe le
    point M’ dans le cas où p = 2.

    3°) Le point M décrit le cercle de diamètre [BC]


    a) Quel est l’ensemble (E1) des points M’ dans le cas où p = -1 ? Le construire.
    b) Quel est l’ensemble (E2) des points M’ dans le cas où p = 2 ? Le construire.

    Exercice 3

    On considère la suite (un) définie pour tout nN par :



    u0  1  2

    u n1  1  u n  2u n  4

    2

    1°) a) Calculer u1 et u2.


    b) Justifier que pour tout n  1, un  1.

    2°) On pose vn = (un – 1)2.


    a) Démontrer que (vn) est une suite arithmétique
    b) Calculer vn puis un en fonction de n.

    Exercice 4

    On considère la suite (un) définie pour tout nN par :


    u 0  2


    n
    2
    u n1  u n   
     3
    1°) a) Calculer u1 , u1 , u3 ; la suite (un) est-elle géométrique ?

    2°) Soit vn = un+1 – un ; montrer que (vn) est une suite géométrique.

    3°) On pose Sn = v0 + v1 + … + vn.


    a) Calculer Sn en fonction de n.

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