Devoir de Synthèse N°2 2018 2019 (Pilote Monastir)

Lycée Pilote Monastir Devoir de Synthèse n°:2 3 Math
MATHEMATIQUES
Profs :Mr Zemni – Mr Krir Durée : 3 h Le 6/3/2019
Exercice 1:(5 points)

2
Soit le nombre complexe a =
1 i 3
0,25 1) a) Ecrire a sous forme algébrique.

0,5 b) Montrer que a² = a et que 1 + a + a² = 0.
0,5 c) Ecrire a sous forme trigonométrique.
0,25 2) a) vérifier que z - 2 2 z = (z – 2 ) – 2

2 2
0,5 b) Résoudre alors dans , l’équation z2 – 2 2 z + 4 = 0.

3) Soit b = 1 – i
0,25 a) Ecrire b sous forme trigonométrique.
b) En déduire la forme trigonométrique du nombre complexe c = a3

0,5 b
 
0,75 c) Déterminer alors les valeurs exactes de cos et sin .
12 12
 
4) Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé (O ; u , v ).Soient les points A, B et M
d’affixes respectives a, b et z, (z Ê)
 
0,5 a) Placer les points A et B dans (O, u , v ).
1 b) Déterminer et construire chacun des ensembles suivants : E = {M  P, |iz – i – 1| =|a – b|},

1 i 3
F = {M  P, | z  i  1 | = z  }.
2
Exercice 2: (5,5 points)

2x²  x  2
I) Soit f la fonction définie sur par f(x) = . On désigne par (Cf) sa représentation
x²  1
graphique dans un repère orthonormé (O,i, j) .
1  x²
0,25 1) a) Vérifier que pour tout réel x, f'(x) =
(x²  1)²
0,5 Dresser alors le tableau de variation de f.


b) Soient  et  deux réels de ] ,  [ avec  < .
2
0,5 Comparer f(cos) et f(cos).
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0,5 2) a) Montrer que I(0,2) est un centre de symétrie de (Cf).
0,25 b) Ecrire une équation de la tangente (T) à (Cf) au point I.
0,5 c) Etudier la position relative de (Cf) et (T).

3) Tracer (Cf) et (T).
0,75
4) Soit [ 0,2 [.
Déterminer graphiquement et suivant les valeurs du réel m le nombre de solutions de
0,5
cos 
l'équation (Em) :  m.
1  cos²
f(x) si x  0
II) Soit g la fonction définie sur par g(x) = 
 x²  2x  4 si x > 0
1) a) Etudier la dérivabilité de g en 0.
0,5 b) Montrer que la droite D : y = x – 1 est une asymptote oblique à (Cg) au voisinage de (+õ).
0,5 2) Dresser le tableau de variation de g
0,5 3) Tracer (Cg) dans le même repère.(On tracera les demi-tangentes à (Cg) au point I.
0,75
Exercice 3 : (5 points)
 (1  cos(x))
f(x)  x
si x < 0
Soit f la fonction définie sur Ë par : 
f(x)  3x si x  0
 x 2
On désigne par (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i, j) .
0,5 A) 1) a) Montrer que f est continue en 0..
0,75 b) Etudier la dérivabilité de f en 0. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
0,5 2) Calculer lim f(x) . Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

x
0,5 3) Etudier la position relative de (Cf) par rapport à la droite  : y = x sur [0,+  [.
1
B) Soit (un) la suite definie par uo = et un+1 = f(un).
3
0,5 1) a) Montrer que pour tout entier naturel n on a : 0 ≤ un ≤ 1.
0,5 b) Montrer que (un) est croissante.
6
0,5 2) a) Montrer que pour tout entier naturel n on a : 1 - un+1 ≤ (1  un ) .
7
n
2 6 
0,5 b) En déduire que pour tout entier naturel n on a : 1 - un ≤   .
3 7 
Calculer alors la limite de (un).
0,25 n 1
3) Soit (Sn) la suite définie sur É* par Sn = (1  u ) .
k 0
k
0,25 a) Montrer que (Sn) est croissante .

0,5 b) On admet que (Sn) est convergente , donner un encadrement de sa limite.
Exercice 4 : (4,5 points)

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Le plan étant orienté dans le sens direct. ABC est un triangle isocèle ,rectangle en A et de sens
direct . Soit D un point du segment [BC] tel que BD = AB.
0,5 1)a) Montrer qu’il existe une unique rotation R qui transforme A en B et B en D.
b) Déterminer une mesure de son angle et construire son centre I .
0,5
2) Soit f = RoR
a) Donner les éléments caractéristiques de f.
0,25
0,5 b) Déterminer f(A) et déduire la nature du triangle AID.
3) Soit D’ = R(D)
0,5 a) Déterminer f(B). Construire alors le point D’.
0,25 b) Déterminer l’image de la droite ( AB ) par f
0,25 c) Prouver que ACDD’ est un parallélogramme.
0,5 4) a) Montrer que les points A ,B , D et D’ sont situés sur un même cercle 𝜁 à déterminer.
0,25 b) Vérifier que le cercle 𝜁 est globalement invariant par f .
5) Soient ΓA et ΓB les cercles de centres respectifs A et B et passant par le point I; les cercles ΓA et
ΓB se recoupent en un point J. Soit M ∈ ΓA\ {I, J} et soit M’ = R(M)
0,5 a) Montrer que les points M , J et M’ sont alignés.
0,5 b) Soit J’ = R(J). Montrer que la droite (JJ’) est tangente au cercle ΓA.
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Exercice 1:(5 points)

0,25 1) a) Ecrire a sous forme algébrique.

0,5 c) Ecrire a sous forme trigonométrique.

0,25 2) a) vérifier que z - 2 2 z = (z – 2 ) – 2

0,5 b) Résoudre alors dans , l’équation z2 – 2 2 z + 4 = 0.

0,25 a) Ecrire b sous forme trigonométrique.

b) En déduire la forme trigonométrique du nombre complexe c = a3

1 b) Déterminer et construire chacun des ensembles suivants : E = {M  P, |iz – i – 1| =|a – b|},

Exercice 2: (5,5 points)

0,5 Dresser alors le tableau de variation de f.

0,5 Comparer f(cos) et f(cos).

0,25 b) Ecrire une équation de la tangente (T) à (Cf) au point I.

0,5 c) Etudier la position relative de (Cf) et (T).

0,75 b) Etudier la dérivabilité de f en 0. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

0,5 2) Calculer lim f(x) . Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

0,25 a) Montrer que (Sn) est croissante .

Exercice 4 : (4,5 points)

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