Cours Mécanique Quantique SMP s4
Cours Mécanique Quantique SMP s4
Cours Mécanique Quantique SMP s4
1
I- Systèmes conservatifs
1- Introduction
2 2
i x, t x, t V x, t x, t H x, t E x, t
t 2m x 2
2 2
où H V x, t
2m x 2
2 2 (1)
i V ( x) H E
t 2m x 2
6
3- Cas d’un potentiel Constant: V
0
t
Dans le cas où V(x)=V=cte, l’E.S.I.T. peut s’écrire
comme suit
2m
'' ( x) 2
( E V ) ( x) 0
2 2 2
0 pour x x0 Région I
V ( x)
V pour x x0 Région II
0 pour x a Région I
V ( x) V pour a xb Région II
0 pour xb Région III
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Puits de potentiel (de profondeur V)
12
4- Méthodes de résolution quantique
A- On décompose l’espace en sous domaines où le potentiel
reste constant
1 ( x) Région I
Pour la marche ( x)
2 ( x) Région II
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C- On identifie les différents termes des solutions dans
chacune des régions.
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D- Conditions de Raccordements
E- Conditions de Normalisation:
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Les coefficients de réflexion et de transmission sont définis par les
relations suivantes:
t kt
2
r
2
R et T
i ki
2
i
2
R T 1
Autrement dit, l’onde incidente ne peut être que réfléchie ou
transmise.
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5- Application aux potentiels carré
A- Marche de potentiel
On a alors 2 régions
2m
E. S. I. T. ( x) 2 ( E V ) ( x) 0
''
2m
Région 1 V ( x) 0 '' ( x) 2
E ( x) 0
2m
Région 2 V ( x) V0 '' ( x) 2
( E V0 ) ( x) 0
18
1er cas: E>V0
Région I: V=0 E=Ec
2
2 mE P
E.S.I.T '' ( x) k12 ( x) 0 avec k12 2 12
k1 est le nombre d’onde dans la région (1)
La solution est de la forme : 1 ( x) Ae ik x Be ik x
1 1
19
Dans la région (1):
La solution comporte 2 termes:
Aeik1x onde incidente (sens des x >0)
Beik1x onde réfléchie (sens des x <0)
21
Conditions de Raccordement et Détermination de constantes
A,B et C
t kt
2 2
R T 1
4k1k2 C k2
T 2 2
i ki A k1 k1 k 2 2
23
2ème cas: 0< E<V0
Région I: V=0 E=Ec
2
2 mE P
E.S.I.T '' ( x) k12 ( x) 0 avec k12 2 12
k1 est le nombre d’onde dans la région (1)
La solution est de la forme : 1 ( x) Ae ik x Be ik x
1 1
2
Q n’est pas un nombre d’onde
La solution est réelle de la forme : 2 ( x) Ce qx De qx
24
Dans la région (1):
La solution comporte 2 termes:
Aeik1x onde incidente (sens des x >0)
Beik1x onde réfléchie (sens des x <0)
25
De-qx est l’onde évanescente qui tend vers 0 quand x tend vers
l’infini .
26
Conclusion
Du point de vue classique: la particule d’énergie E<V0 doit
être réfléchie entièrement en x=0 et repartir dans le sens
contraire avec une vitesse identique . La particule ne possède
pas assez d’énergie pour franchir la marche de potentiel. La
probabilité de trouver la particule dans la région (2) est nulle.
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B- Puits de potentiel infini
Résolution de l’E.S.I.T.
Région 1 et 3:
Le potentiel étant infini dans ces régions, la particule ne peut
pas franchir cette barrière infinie. Donc la particule sera
confinée dans le segment [0,a]. Elle ne pourra pas en sortir. 28
Autrement dit, la probabilité de trouver la particule à
l’extérieur du puits sera nulle. Par la suite la fonction d’onde
qui va représenter cette particule dans les régions 1 et 3 sera nulle
1 ( x) 3 ( x) si x 0, a
1 ( x) 0 pour x 0
2mE
( x) 2 ( x) A sin(kx ) 0 x a k 2
2
( x) 0 pour x a
3
Cela veut dire que la particule ne peut pas se trouver dans les
régions 1 et 3.
La particule est confinée ou piégée dans la région 2
30
Résultats expérimentaux
La particule oscille dans le puits.
Son énergie est quantifiée.
L’étude quantique est nécessaire
Conditions de raccordement
Continuité de (x) aux points x=0 et x=a
a a 2ma 2
avec n N 31
Ainsi, la solution de E.S.I.T. dans le puits correspond à la fonction
d’onde n(x), à une énergie En et un nombre d’onde kn quantifiés
n n
(2 ) n ( x) A sin k n x A sin x avec k n
a a
n
2 2 2
En 2
avec n N
2ma
A est une constante d’intégration obtenue en imposant à ce que la
fonction d’onde n(x) soit normée
nx
a a
0 n ( x) dx A 0 sin a dx 1
2 2 2
32
Ce qui permet de déterminer A
2 2 i
A A
2
e
a a
Donc, à un facteur de phase près, la fonction d’onde
stationnaire normée est donnée par;
nx
n x
2
sin
a a
33
34
35
C- Barrière de Potentiel
Une particule d’énergie E soumise à une
barrière de potentiel de largeur a de la
forme:
k 3 0
" 2 1 3
Région 3:
3 3
36
Région V=V0
2m( E V0 )
k 2 0
" 2 k
2
2
L’E.S.I.T s’écrit: 2 2
2
Les solutions dans les 3 régions sont:
37
Identification des différents termes de la solution
Dans la région 1: La solution est la somme d’une onde
incidente (Aeik1x) et d’onde réfléchie (Be-ik1x) (obstacle en x=0)
38
Les solutions finales dans les 3 régions seront :
Au x a '
2 ( a ) '
3 ( a )
2
ik ( Ce ik 2 a
De ik 2 a
) ik 1 Ee ik1a
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C’est un système de 4 équations à 5 inconnues. On fixe l’amplitude
A et on détermine B,C, D et E en fonction de A et par la suite les
coefficients de Réflexion R et de Transmission T:
R
1r
2
B
2
k 2
2 k 1
2 2
sin k 2 x
2
1i
2
A
2
4k k k k
1
2 2
2 2
2 1
2 2
sin 2 k 2 x
3 t k1
2 2
E 4k12 k 22
T
1i k1
2
A
2
4k k k k
1
2 2
2 2
2 1
2 2
sin k 2 x
2
R T 1
40
1er cas: 0<E<V0: Effet Tunnel
Région 1et 3: V=0
L’E.S.I.T s’écrit:
Région 1: 1" k121 0 2mE
avec k k 2
2 2
k 3 0
" 2 1 3
Région 3:
3 3
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Conditions de raccordement aux points de discontinuité du
potentiel
1 (0) 2 (0) A B C D
Au x 0 '
1 (0) 2 (0) ik1 ( A B) (C D)
'
Au x a '
2 ( a ) '
3 ( a )
(Ce a
De a
) ik 1 Ee ik1a
4 2 k12 4 E (V0 E )
T
2 2 2
2 2
4 k1 k1 sh a 4 E (V0 E ) V02 sh 2a
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