Module d’Optique

2ème partie : Optique géométrique

 Fabrice Sincère (version 4.0.3)

http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere 1
La lumière est représentée par des “rayons lumineux” :

2
 Chapitre 1
Réflexion et réfraction de la lumière
1-1- Propriétés
• Principe de Fermat
Le chemin suivi par la lumière est celui qui prend le moins de
temps.
• Principe de retour inverse
Le chemin suivi par la lumière est indépendant du sens de
parcours.
• Dans un milieu homogène, la lumière se propage en ligne
droite.
3
1-2- Lois de Snell-Descartes

Le rayon incident et la normale au point d’incidence définissent

le plan d’incidence.
4
• 1ère loi : le rayon réfléchi et le rayon réfracté sont dans le plan
d’incidence.
• 2ème loi (loi de la réflexion) : l’angle de réflexion est égal à
l’angle d’incidence.
r = i1
• 3ème loi (loi de la réfraction) :
n1 sin i1 = n2 sin i2
avec : ni = indice de réfraction du milieu i

Réfringence
Un milieu est d’autant plus réfringent que son indice de
réfraction est important.
5
Passage de la lumière dans un milieu plus réfringent : n2 > n1

Le rayon réfracté se rapproche de la normale : i2 < i1

i2 ≤ iC (angle critique)
sin iC = n1 / n2
A.N. passage de l’air (n1 ≈ 1) dans l’eau (n2 ≈ 1,33) :
iC ≈ 49° 6
Passage de la lumière dans un milieu moins réfringent : n2 < n1

Le rayon réfracté s’écarte de la normale (fig. 4a) : i2 > i1

sin iC (angle critique) = n2 / n1 (fig. 4b)
Si i1 > iC il n’y a pas de rayon réfracté : on parle de réflexion totale
(fig. 4c).
A.N. passage diamant (n1 = 2,42) → air : iC ≈ 24°
7
Application de la réflexion totale : fibre optique à “saut d’indice”
Une fibre optique est un guide de lumière.

• deux conditions pour avoir réflexion totale en I :

a) indice du cœur (1,48) > indice de la gaine (1,46)
b) angle d’incidence (i1) > angle critique (iC ≈ 80°)

8
1-3- Aspect énergétique de la réflexion et de la réfraction
La lumière transporte de l’énergie.

• Coefficient de réflexion :

énergie du faisceau réfléchi

R=
" " incident

• Coefficient de transmission (réfraction) :

énergie du faisceau réfracté

T=
" " incident

9
• Loi de conservation de l’énergie : R + T = 1
• Formule de Fresnel (sous incidence normale) :
2
 n 2 − n1 
R =  
 n 2 + n1 

A.N. passage air ↔ verre (indice 1,5) :

R = 0,04 = 4 % T = 96 %

10
1-4- Réflexion et diffusion

• surface plane (rugosité < λ/4) : la lumière est réfléchie dans la

direction donnée par la loi de la réflexion (fig. 6a).
Ex. miroir, vitre, métal poli ...

11
• surface rugueuse : la lumière est réfléchie (diffusée) dans toutes
les directions (fig. 6b).
Ex. peau, écran de projection, verre dépoli …

12
Chapitre 2 Le prisme

A est l’angle du prisme.

2
2-1- Marche d’un rayon lumineux

n = indice du prisme / indice du milieu environnant

On suppose n > 1.
La lumière est déviée vers la base.

• Formules du prisme :
sin i = n sin r sin i’ = n sin r’
A = r + r’ D = (i - r) + (i’ - r’) = i + i’ - A 3
2-2- Variation de la déviation D avec l’angle d’incidence i

Fig.3
Dm

i
im 90°

4
Au minimum de déviation, on montre que l’angle d’émergence
est égal à l’angle d’incidence :

i’ = i = im
r’ = r = rm = A / 2
Dm = 2im - A d’où : im = (A + Dm) / 2
5
2-3- Application : mesure de l’indice de réfraction d’un milieu
On réalise un prisme dans le milieu considéré.
On mesure au goniomètre A et Dm.

sin im = n sin rm d’où :

 A + Dm 
sin  
n=  2 
A
sin  
2
Exemple : A = 60 ° 0’ λ = 589,3 nm Dm = 62 ° 41’
 60 + 62 + 60
41

sin  
n=   = 1,7550 ( verre fl int SF4)
2
 60 
sin   6
 2 
2-4- Variation de la déviation avec l’indice
On constate que la déviation augmente avec l’indice de réfraction
du prisme.
2-5- Dispersion de la lumière
• Expérience de Newton
lumière
blanche

infrarouge

rouge
orange
jaune
vert
prisme bleu
en verre indigo
violet

ultraviolet
Fig.5
7
• Observation
La lumière est décomposée par le prisme.
Le violet est plus dévié que le rouge.
• Explication : phénomène de dispersion
D(couleur) : λ
D
D(n) : n D
Finalement : λ
n

n dépend de λ : le milieu est dispersif.

Le seul milieu non dispersif est le vide (n0 = 1).

8
• La courbe n(λ) est appelée courbe d’indice (fig. 6).

Courbe d'indice du verre Schott SF4

1,81

1,80

1,79
indice de réfraction

1,78

1,77

1,76

1,75

1,74

1,73
0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80

longueur d'onde (µm)

• Formule de Cauchy : n ≈ a + b/λ

λ²
9
 nd −1
• Nombre d’Abbé (ou constringence) : Vd =
nF − nC
Tableau 1

indice de réfraction (à 20 °C)

désignation de Longueur eau verre verre flint fluorure de

Fraunhofer d’onde crown SF4 magnésium
dans l’air (µm) BK7 MgF2
F (raie bleue de 0,486 1 1,340 1,522 1,775 1,380
l’hydrogène)
d (raie jaune de 0,587 6 1,334 1,517 1,755 1,378
l’hélium)
C (raie rouge de 0,656 3 1,330 1,514 1,747 1,377
l’hydrogène)
Nombre d’Abbé 33 64 28 106

dispersion  Vd
10
• Arc-en-ciel
Dispersion de la lumière du Soleil par des gouttes d’eau :

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 Chapitre 3 Systèmes optiques
Un système optique est un assemblage de milieux transparents
(dioptres) ou de miroirs (fig. 1) :

face face de
d'entrée sortie

système
optique

sens de propagation
de la lumière

Exemples : œil, lentille, microscope, rétroprojecteur, webcam ...

2
3-1- Objets et images
Un système optique donne d’un point objet A un point image A’
(fig. 2) :

A système
A'
optique

3
1er exemple : lentille (fig. 3)

2ème exemple : miroir (fig. 4)

4
Nature réelle ou virtuelle

Tableau 1
Position
Objet réel Avant la face d’entrée
Objet virtuel Après la face d’entrée
Image réelle Après la face de sortie
Image virtuelle Avant la face de sortie

Une image est réelle quand on peut l’observer sur un écran.

5
3-2- Association de systèmes optiques

Fig.5a (S') (S'')

A''
A
objet image
réel réelle

Le système (S) est constitué de l’association des lentilles (S’) et (S’’).

Objet A → image A’’

6
• Lentille (S’) : objet A → image A’

• L’image A’ devient un objet pour (S’’) : objet A’ → image A’’

• Finalement :
A → A’(image intermédiaire) → A’’ (image finale) 7
3-3- Stigmatisme

3-4- Astigmatisme
Les systèmes optiques sont généralement astigmatiques :

A système
optique
astigmatique

Fig.6b

Il y a un ensemble d’images : l’image est floue. 8

3-5- Stigmatisme approché
Pour corriger ce défaut, il faut se placer dans les conditions de
Gauss c.a.d. conserver les rayons voisins de l’axe optique (rayons
paraxiaux) :

9
 Chapitre 4
Lentille mince sphérique

Une lentille est un milieu transparent limité par deux surfaces

dont l’une au moins n’est pas plane.

2
4-1- Les différents types de lentilles sphériques
On suppose que : n lentille > n environnant
• Lentille à bords minces ou lentille convergente

plan- ménisque
bi-convexe symbole
convexe convergent
Figure 1a

3
• Lentille à bords épais ou lentille divergente

plan- ménisque
bi-concave symbole
concave divergent
Figure 1c

4
4-2- Propriétés de la lentille mince sphérique
On suppose que :
• lentille mince
• conditions de Gauss respectées (stigmatisme approché)
Centre optique
Un rayon passant par le centre optique O n’est pas dévié :

5
Foyers
• Foyer image F’
C’est l’image d’un objet réel situé sur l’axe optique, à l’infini :

6
Distance focale d’une lentille :

f ' = OF' = x F' − x O

• lentille convergente : F’ réel f ’> 0

• lentille divergente : F’ virtuel f ’< 0

7
• Foyer objet F
C’est le point objet qui donne une image réelle sur l’axe optique,
à l’infini :

F et F’ sont symétriques par rapport à O.

8
Marche d’un rayon
• Propriété :
Un faisceau parallèle incident converge en un point du plan focal
image :

9
10
• Marche d’un rayon
Exemple :

11
Construction de l’image d’un objet plan AB
• 1er exemple

Figure 6a +
+
B
F' A' +
A F O

B'

Il suffit de construire l’image B’ du point objet B.

L’image est réelle, agrandie et renversée (principe des
projecteurs).
12
• 2ème exemple

L’image est virtuelle, agrandie et droite (principe de la

loupe).

13
Relations de conjugaison
• Origine en O
On note p = OA et p' = OA'

• p < 0 : objet réel

• p’ > 0 : image réelle

1 1 1 pf '
On montre que : − = p' =
p' p f ' p+f '

• Origine aux foyers

FA ⋅ F' A ' = −f '²

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• Formule de grandissement

Grandissement transversal :
A' B' taille algébrique de l' image
γ= =
AB taille algébrique de l' objet
p'
On montre que : γ=
p

• γ > 1 : image agrandie

• γ > 0 : image droite

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Vergence d’une lentille
• La vergence C est l’inverse de la distance focale :
1
C=
f'

Unité : m-1 ou dioptries δ

• La vergence d’une lentille dépend de sa géométrie :

L1 est plus convergente que L2 : C1 > C2 (f ’1 < f ’2)

16
  1 1 
• On montre que : C = (n − 1) − 
S C S C 
 1 1 2 2 

n = n lentille / n environnant

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Association de lentilles minces
Considérons des lentilles accolées.
• Théorème des vergences :
C eq = ∑ Ci
i

• Exemple : L
L1 L2

=
Figure 9

L1 : f ’1= + 200 mm C1 = + 5 δ
L2 : f ’2= - 250 mm C2 = - 4 δ
L: Ceq= C1 + C2 = +1 δ f ’eq = + 1000 mm 18
 Chapitre 5 Miroirs et dioptres
5-1- Miroir sphérique
• Miroir sphérique concave (convergent)

• Miroir sphérique convexe (divergent)

2
• Rayons particuliers

• Construction de l’image d’un objet plan AB

3
• Formules de conjugaison
On note R = SC le rayon algébrique.
On note f ' = SF' la distance focale.
R
Les foyers sont au milieu du segment [SC] : f '=
2
Miroir concave : R > 0 f ’> 0
Miroir convexe : R < 0 f ’< 0
Position de l' objet p = SA (p > 0 : objet réel)
Position de l' image p' = SA' (p' > 0 : image réelle)
1 1 2 1
+ = =
p' p R f '
On montre que :
A' B' p'
γ= =−
AB p 4
• Cas particulier : miroir plan

R=∞
⇒ p’ = - p
γ = +1 (grandissement transversal)

5
 5-2- Miroir parabolique
Pour un objet situé à l’infini, le miroir parabolique est
stigmatique :

Fig. 6 Stigmatisme du miroir Fig. 7 Astigmatisme du miroir

parabolique ☺ sphérique

6
Applications :
• télescope
• projecteur
• antenne parabolique

Fig. 8

7
5-3- Dioptre plan
Un dioptre est un système optique formé par l’association de deux
milieux transparents.
• Exemple : dioptre eau / air

p' n'
• On montre que : =
p n
γ = +1
n' indice de l' air 1 3 3
= = ≈ SA' ≈ SA
n indice de l' eau 1,33 4 4
8
Conséquence : rapprochement apparent (ex. : aquarium).