Courant Transitoires
Courant Transitoires
Courant Transitoires
Courants transitoires -
Dipôles RC et RL
L1 C
R
L2
R
Figure 1
i i
i i
Échelon de tension
Une source idéale de tension e(t) (en V)
délivre un échelon de tension si
la tension produite par la source E
est de la forme :
e(t) = 0 pour t < 0
(1)
e(t) = E pour t 0
0 t (en s)
UR
R
i
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
E C u
+ B
Figure 3
i i
i i
u + UR = E (2)
u + Ri = E (3)
du du 1 E
u + RC = E ou + u=
dt dt RC RC
i i
i i
u = Aeat + b
Si u = Aeat + b est solution de l’équation différentielle, elle doit donc satisfaire cette
équation.
du
Comme u = Aeat + b, alors = Aaeat .
dt
du
On injecte les expressions de u et dans l’équation différentielle, d’où :
dt
1 E
Aaeat + ( Aeat + b) =
t t
Soit :
at 1 1 E
Ae a+ + b. =
t t t
L’égalité précédente est vraie quel que soit t si et seulement si :
1 1
a+ =0 a=−
t t
et , soit et
1 E
b. = b=E
t t
En remplaçant a et b par leur valeur il s’ensuit :
u = Ae− t + E
t
A + E = 0, soit A = −E
− tt
Ainsi, u = −Ee + E, soit :
u = E(1 − e− t )
t
(5)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
dt t
Ainsi :
E −t E t
e t = e− t = Imax e− t
t
i =C
t R
La figure 4 donne l’évolution de la tension aux bornes du condensateur au cours de la
décharge ainsi que l’intensité du courant dans le circuit.
4
i i
i i
0 τ t (en s) 0 τ t (en s)
a) b)
Figure 4
2
∞ ∞
E −t E2 ∞
E 2 t −2 t
∞
e−2 t dt =
t
EJ = Ri 2 dt = R e t dt = − e t
0 0 R R 0 R 2 0
Décharge du condensateur
Initialement le condensateur est chargé sous la d.d.p. E = V A − VB > 0.
L’armature ( A) porte la charge Q A = Q 0 = C E, et l’armature (B) une charge
Q B = −Q 0 .
À t = 0, on relie les armatures du condensateur à un conducteur ohmique de
résistance R.
i i
A
u R
C UR
B +
Figure 5
i i
i i
dq du
Comme U R = Ri et i = − = −C , alors l’équation 4.6 devient :
dt dt
du du 1
u + RC = 0 ou + u=0 (7)
dt dt t
•
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
E
i(t) = Imax e− t avec Imax =
t
i i
i i
u(t) (en V)
E
i(t) (en A)
0 τ t (en s) 0 τ t (en s)
a) b)
- Imax
Figure 6
Bobine d’induction
Nous admettrons que la tension u aux bornes d’une bobine idéale (r = 0) et l’intensité
i du courant qui la traverse vérifient la relation :
i i
u = L di e = -L di
dt dt
Figure 7
Cas d’une bobine réelle : c’est l’association en série d’une bobine idéale et d’un
conducteur ohmique de résistance r .
7
i i
i i
uR
R
i
K
E uL
+
Figure 8
L
En posant t = : constante de temps du circuit R, L, on obtient l’équation
R
différentielle à laquelle obéit i(t), intensité du courant dans le circuit :
di 1 E
+ i= (9)
dt t L
L’équation 9 est une équation différentielle du premier ordre, qui donne après
intégration :
−t
t
i(t) = Ae
+ B
(solution générale de l’équation sans second membre) (solution particulière)
i i
i i
E E
ip =B=t =
L R
(solution particulière)
E
A = −B = − .
R
E L
(1 − e− t ) avec t =
t
i(t) = (10)
R R
soit
u L = Ee− t
t
(11)
dE = Pdt = Lidi .
Par conséquent :
E t
E représente l’énergie électro- 1 2
magnétique emmagasinée par la E= dE = Lidi = Li (12)
bobine à la datet. 0 0 2
i i
i i
QCM
1 On réalise le montage représenté sur la figure 9. ❑ b) L’intensité du courant dans le circuit à la date
E = 10 V
t est donnée par le coefficient directeur de la
C1 = 1 µF tangente au point de la courbe d’abscisse t.
C2 = 2,5 µF ❑ c) À la date t = 0, l’intensité du courant dans le
circuit est i 0 = 10 mA.
K1
❑ d) La valeur de la résistance R est de 10 kV.
K2
❑ e) L’énergie stockée dans le condensateur, pour un
E C1 C2 temps infiniment lent, vaut 5.10−5 J.
P A
R
i K
Figure 9
1. On bascule l’interrupteur en position 1 :
C
❑ a) la tension aux bornes du condensateur de capa- UPN = E uC
cité C1 est u C1 = 10 V ;
10
i i
i i
Exercices
1. Concours Kiné ASSAS 2007 2. Décharge d’un condensateur à travers un
On considère le montage électrique représenté sur la figure condensateur
ci-dessous (Fig 12) : Un condensateur de capacité C1 = 10 mF est chargé sous
une tension constante E = 50 V. Dès que la charge est
(2) K (1)
P terminée, on sépare le condensateur de la source de tension
i et on connecte ses armatures à celles d’un condensateur non
A
chargé de capacité C2 = 30 mF monté en série avec un
q conducteur ohmique de résistance R2 (Fig 13).
3E C
E
i
i
K1 K2 C2 C2 u2
E C1 C1 u1
B R2 R uR
N R R
Figure 12
a) b)
Figure 13
On notera C la capacité du condensateur et R la résistance
des résistors. Déterminer :
Dans tout le problème on étudiera la charge q portée par 1. La tension finale aux bornes des deux condensateurs ;
l’armature A du condensateur. 2. La charge finale de chaque condensateur ;
Dans un premier temps, on charge le condensateur sous une 3. L’énergie finale emmagasinée dans les deux condensa-
tension E (l’interrupteur K est en position (1) depuis très teurs. La comparer à l’énergie initiale emmagasinée dans le
longtemps). condensateur de capacité C1 .
1. Donner l’expression de la charge Q 0 prise par l’arma-
ture A. 3. Charge et décharge d’un condensateur
Un dipôle AB comporte un générateur de tension de f.é.m.
À l’instant t = 0 on bascule K en position (2) de telle sorte E et un interrupteur K 1 . On monte en série avec ce dipôle
que le condensateur se trouve relié à un générateur de tension AB une résistance R1 et un ensemble de condensateurs de
idéal de force électromotrice 3E. capacité C1 (Fig. 14).
2. a) Quelle est la charge initiale q(0) de l’armature A ? R1
A D
b) Lorsque K est en position (2) depuis très longtemps,
quelle est l’expression de la charge finale q(∞) du condensa- K1 K2
teur ? C1 uS R2
E
3. a) Exprimer l’intensité i(t) du courant et les tensions
dq
u AB (t) et u B N (t) en fonction de q(t) et de .
dt B
b) En déduire l’équation différentielle à laquelle obéit q(t). Figure 14
c) La solution de cette équation différentielle est de la forme
t 1. À l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur K 1 .
q(t) = A + Be− t où A, B et t sont des constantes.
a) Quels sont les comportements du condensateur à l’instant
En utilisant les résultats de la question 2, exprimer A et B en t = 0, puis au bout d’un temps très long?
fonction des données du problème. Comment se nomme t ? En déduire les valeurs correspondantes de u S , de l’intensité
Donner son expression. i et de la charge du condensateur de capacité C1 .
d) Représenter le graphe de q(t). Faire figurer la constante t. b) On pose t1 = R1 C1 .
4. a) Quelle est l’expression de l’intensité i(t) du courant ? Pour t > 0 :
Préciser la valeur initiale de celle-ci. b1) Écrire l’équation différentielle à laquelle obéit u S .
b) Représenter le graphe de i(t). Faire figurer la constante t. b2) Indiquer l’unité de t1 .
11
i i
i i
Exercices
4. Circuit RL 0 t
E t
2. Ayant utilisé un conducteur de résistance R1 = 500 V, on
i= 1 − e− t a obtenu sur l’écran de l’oscillographe la courbe 1. On rem-
R
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
i i
i i
voie B
G R
Figure 17
d) Déduire des expressions précédentes u B M et u AM que :
L du AM
A uBM = −
R dt
voie A
Figure 16 e) Justifier la forme de l’oscillogramme de la voie B par
rapport à celle de l’oscillogramme de la voie A.
Après avoir réglé les niveaux zéros des deux voies, on obtient 2. Les réglages de l’oscilloscope sont :
les oscillogrammes de la figure 17.
• Voie A : 2 V/ div
1. On appelle i l’intensité instantanée du courant qui traverse
• Voie B : 200 mV/div
le circuit ; son sens positif de circulation est indiquée sur la
• Base de temps : 0,2 ms/div
figure 16.
• La ligne médiane horizontale de l’écran correspond à 0 V.
a) Le GBF utilisé doit avoir une certaine particularité.
Laquelle ? Justifier la réponse. À partir des oscillogrammes :
b) Exprimer littéralement la tension u B M en fonction de i et a) calculer la période et la fréquence des tensions observées ;
de L. b) calculer les valeurs entre lesquelles varient ces tensions ;
c) À partir du circuit de la figure 16, montrer que c) en justifiant le raisonnement, calculer la valeur de l’induc-
u AM = −Ri. tance L.
13
i i
i i
Corrigés
QCM
1 1. Bonnes réponses : 1.a, 1.c 3. L’énergie finale emmagasinée dans les deux condensateurs
est :
En régime permanent, u C1 = E. Comme E = 10 V, alors 1 1 1
u C1 = 10 V. E f = C1 U 2 + C2 U 2 = (C1 + C2 )U 2 .
2 2 2
La charge Q est telle que : Q = C1 .u C1 , soit numériquement
L’énergie initiale emmagasinée par le condensateur de capacité
Q = 1.10−6 × 10 = 1.10−5 C. C1 est :
1 1
L’énergie emmagasinée est E1 = C1 u C1 2
, Ei = C1 E 2 .
2 2
1
soit numériquement : E1 = × 1.10−6 × 102 = 5.10−5 J. Numériquement :
2 ⎧
Lorsqu’on bascule l’interrupteur en position (2), on a une ⎪ 1 −6 −5
⎪
⎨ Ei = 2 × 1,0.10 × 10 = 5,0.10 J
2
décharge du condensateur de capacité C1 à travers le condensa-
teur de capacité C2 . ⎪
⎪
⎩ E f = 1 × 3,5.10−6 × 2,862 = 1,43.10−5 J
Lorsqu’on relie le condensateur chargé au condensateur
2
déchargé, le premier condensateur se décharge partiellement
jusqu’à ce que l’état d’équilibre soit atteint. La tension finale U L’énergie perdue par les condensateurs est E per due = 3,6.10−5 J.
atteinte dans ce nouvel état d’équilibre est la même aux bornes Cette énergie a été transformée en chaleur dans la résistance du
des deux condensateurs. circuit lors de la décharge partielle du premier condensateur.
Soient Q 1 et Q 2 les nouvelles charges des deux condensateurs.
La conservation de la charge impose : 2 Bonnes réponses : a, b, e
Qf
Q 1 = Q 1 + Q 2 , soit : C1 E = C1 U + C2 U . La charge finale du condensateur est Q f = C E, soit E = .
C
Il en résulte donc : Numériquement :
U =
C1
E. 10−5
E= = 10 V
C1 + C2 1.10−6
Application numérique : dq
Par définition : i = . L’intensité i représente donc la pente
dt
1,0
U = × 10 2,86 V. de la tangente à courbe q = f (t).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
1 + 2,5
10−5
2. Les charges finales sont : i= = 0,1 A, soit 100 mA.
0,1.10−3
Q 1 = C1 U t
Comme t = RC, alors R = .
Q 2 = C2 U C
Graphiquement : t = 0,1 ms.
Application numérique : 0,1.10−3
Ainsi R = = 100 V
1.10−6
Q 1 = 1.10−6 × 2,86 = 2,86.10−6 C
1 1
Q 2 = 2,5.10−6 × 2,86 = 7,15.10−6 C E= C E 2, soit E= 1.10−6 × 102 = 5.10−5 J
2 2
14
i i
i i
Exercices
1 1. À l’instant t = 0, le condensateur étant complé- Conclusion :
t t
tement déchargé, on a donc Q 0 = 0 et u C (0) = u AB (0) = 0. q(t) = 3EC − 2C Ee− t = C E(3 − 2e− t )
Pour un temps infiniment long (t −→ ∞), le condensateur est avec t = RC : constante de temps du circuit.
complètement chargé, soit Q 0 = C E et u C = E.
d) À t = t, q(t) = C E(3 − 2e−1 ) 2,26.C E.
2. a) À l’instant t = 0, on bascule l’interrupteur en position (2).
dq t
La charge initiale de l’armature A est donc q(0) = Q 0 = C E. 4. a) Comme i = et q(t) = C E(3 − 2e− t ), alors :
dt
b) Pour un temps infiniment long, la charge finale est
2C E − tt E t
q(∞) = C × 3E = 3C E. i= e = 2 e− t
t R
3. a) Le condensateur est en convention récepteur, donc :
E
dq À t = 0, i(0) = 2
i= R
dt q(t) (en C)
Tensions :
q
u C = u AB =
C 3EC
et
dq
u B N = u R = Ri = R
dt 2EC
La loi des mailles, appliquée au circuit , donne
3E − u AB − u B N = 0, soit : EC
q dq dq 1 E
3E − −R = 0 ou encore + q=3
C dt dt RC R 0 τ t (en s)
Figure 18
c) La solution de l’équation différentielle s’écrit sous la forme :
i(t) (en A)
t dq 1 t
q(t) = A + Be− t avec = − Be− t
dt t 2E
R
dq
En injectant les expressions de q(t) et celle de dans
dt
l’équation différentielle, on obtient :
1 0 τ t (en s)
1 t t E
− Be− t + A + Be− t = 3
t RC R Figure 19
soit :
t 1 1 A E 2 1. La charge initiale emmagasinée par le condensa-
Be− t − + =3
RC t RC R teur de capacité C1 est Q 1 = C1 E.
L’égalité précédente est vraie quel que soit t si et seulement si : Lorsqu’on relie le condensateur chargé au condensateur
1 1 déchargé, le premier condensateur se décharge partiellement
− =0 t = RC jusqu’à ce que l’état d’équilibre soit atteint. La tension finale U
RC t
et , soit et atteinte dans ce nouvel état d’équilibre est la même aux bornes
A E A = 3EC des deux condensateurs.
=3
RC R Soient Q 1 et Q 2 les nouvelles charges des deux condensateurs.
La solution cherchée s’écrit donc : La conservation de la charge impose : Q 1 = Q 1 + Q 2 , soit :
t C1 E = C1 U + C2 U .
q(t) = 3EC + Be− t avec t = RC
C1
Appliquons à présent les conditions initiales : Il en résulte donc : U = E.
C1 + C2
À t = 0, q(0) = Q 0 = C E, d’où q(0) = 3EC + B = C E, 10
soit B = −2C E. Application numérique : U = × 50 = 12,5 V.
10 + 30
15
i i
i i
Corrigés
t
2. Les charges finales sont : Après intégration de l’équation 14, on obtient : i(t) = Ae− t .
q1 (0) q2 (0)
Q 1 = C1 U À t = 0, + + R2 i(0) = 0,
Q 2 = C2 U C1 C2
q (0) Q0 E
soit i(0) = − 1 =− =− .
Application numérique : R2 C 1 R2 C 1 R2
E − tt
Q 1 = 10.10−6 × 12,5 = 1,25.10−4 C La solution cherchée est donc : i(t) = − e .
R
Q 2 = 30.10−6 × 12,5 = 3,75.10−4 C
3 1. a) À l’instant t = 0, le condensateur étant
3. L’énergie finale emmagasinée dans les deux condensateurs
complétement déchargé, on a donc Q 0 = 0 et u S (0) = 0.
est :
1 1 1 Pour un temps infiniment long (t −→ ∞), le condensateur est
E f = C1 U 2 + C2 U 2 = (C1 + C2 )U 2 . complétement chargé, soit q∞ = C1 E et u S = E.
2 2 2
L’énergie initiale emmagasinée par le condensateur de capacité La loi des mailles, appliquée au circuit de charge (Fig. 20),
C1 est : donne :
1 E − R1 i − u S = 0,
Ei = C1 E 2 .
2 soit
Numériquement : E − uS
i= (15)
⎧ R1
⎪
⎨ Ei = 1 × 10.10−6 × 502 = 12,5 mJ A D
2 R1
⎪ 1
⎩ E f = × 40.10−6 × 202 = 8,0 mJ i
K1
2
L’énergie perdue par les condensateurs est E per due = 4,5 mJ.
Cette énergie a été transformée en chaleur dans la résistance
lors de la décharge partielle du premier condensateur. C1 us
E
Complément.
Donner la loi d’évolution de l’intensité du courant dans le
circuit.
On a :
⎧
⎨ q1 + q2 = Q 1 (Conservation de la charge) B
Figure 20
⎩ q1 − q2 − R2 i = 0 (d’après la loi des mailles)
C1 C2
On peut donc dresser le tableau ci-dessous :
q1 q2
De la relation − − R2 i = 0 on en déduit tension u S charge q intensité
C1 C2 instant
(en V) (en C) (en A)
1 dq1 1 dq2 di
− − R2 = 0. E
C1 dt C2 dt dt
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
i0 = ;
dq dq t=0 0 0 R1
Comme i = − 1 = 2 , il en résulte : i 0 = 10 mA
dt dt
E − uS
1 1 di t uS q = C1 u S i=
+ i + R2 =0 (13) R1
C1 C2 dt
q∞ = C1 E;
t −→ ∞ E = 10 V i∞ = 0
Les deux condensateurs étant associés en série, on a donc : q∞ = 10 mC
1 1 1 b) On pose t1 = R1 C1 .
+ = .
C1 C2 Ce
b1) On a établi l’équation E − R1 i − u S = 0.
1 di dq du s
L’équation 13 donne i + R2 = 0, c’est à dire : Comme i = = C1 (charge du condensateur), alors
Ce dt dt dt
di 1 du s
+ i = 0 où t = R2 Ce (14) E − R1 C 1 − u S = 0,
dt t dt
16
i i