Automatique

Avancée 
Commande
non-linéaire Automatique Avancée  Commande
P2:
Techniques
non-linéaire
de
linéarisation
exacte
P2: Techniques de linéarisation exacte
Plan
Introduction
Linéarisation
exacte par
retour de
sortie
Linéarisation Pascal Morin
exacte par
retour de pascal.morin@sorbonne-universite.fr
sortie
Limites de la
technique Sorbonne Université
1/44
 Plan

Automatique
Avancée 
Commande
non-linéaire
P2:
Techniques
de
linéarisation
exacte Introduction
Linéarisation exacte par retour de sortie
Plan
Linéarisation exacte par retour d'état
Introduction
Linéarisation Limites de la technique
exacte par
retour de
sortie
Linéarisation
exacte par
retour de
sortie
Limites de la
technique

2/44
 Introduction

Automatique
Avancée  Principe des techniques de linéarisation exacte:
Commande
non-linéaire Transformer un système non-linéaire en un système
P2: linéaire, via un changement de variables
Techniques
de
linéarisation
Le changement de variable peut porter sur l'état et/ou la
exacte commande
Avantages:
Plan Dans les nouvelles variables, on peut utiliser les techniques
Introduction linéaires classiques
Linéarisation
exacte par
On agrandit le domaine de stabilité (par rapport à une
retour de technique basée sur le linéarisé tangent)
sortie
On sait généralement spécier le domaine de convergence
Linéarisation
exacte par Inconvénients (plus de détails plus tard):
retour de
sortie Il faut avoir une bonne modélisation du système
Limites de la La technique peut conduire à compenser des termes
technique
naturellement stables (inecace et dangereux)
3/44
 Introduction

Automatique
Avancée 
Exemple 1:
Commande ẋ1 = x2

non-linéaire
P2:
ẋ2 = sin(x2 ) + x12 + u
Techniques
de On dénit une nouvelle "variable de commande"
linéarisation
exacte
v = sin(x2 ) + x12 + u
Plan Le système devient alors linéaire:
Introduction
ẋ1 = x2

Linéarisation
exacte par
retour de
ẋ2 = v
sortie
Linéarisation
Une commande stabilisante est dénie par
exacte par
retour de
v = −k1 x1 − k2 x2 , k1 , k2 > 0. On en déduit l'expression nale
sortie de la commande:
Limites de la
technique u = −k1 x1 − k2 x2 − (sin(x2 ) + x12 )
4/44
 Introduction

Automatique
Avancée 
Exemple 2:
Commande ẋ1 = x12 + x2

non-linéaire
P2:
ẋ2 = u
Techniques
de On commence par dénir un changement de variable d'état:
linéarisation
exacte
x1
 
x 7−→ z =
Plan
x12 + x2
Introduction
Le système devient alors:
Linéarisation
exacte par
ż1 = z2

retour de
sortie
Linéarisation
ż2 = u + 2z1 z2
exacte par
retour de
sortie On dénit une nouvelle variable de commande
Limites de la
technique v = u + 2z1 z2
5/44
 Introduction

Automatique
Avancée 
Commande
non-linéaire Exemple 2: (suite) Le système devient alors linéaire:
P2:
Techniques
ż1 = z2

de
linéarisation
exacte ż2 = v

Plan
Une commande stabilisante est dénie par
Introduction
Linéarisation
v = −k1 z1 − k2 z2 , k1 , k2 > 0
exacte par
retour de
sortie On en déduit l'expression nale de la commande:
Linéarisation
exacte par u = − k1 x1 + k2 (x2 + x12 ) + 2x1 (x2 + x12 )


retour de
sortie
Limites de la
technique

6/44
 Introduction

Automatique
Avancée 
Commande
non-linéaire
Remarques:
P2:
Techniques
de
Dans les exemples précédents, les changements de
linéarisation
exacte
variables
x z
   
7−→
u v
Plan
Introduction sont bien dénis partout et dénissent des
Linéarisation diéomorphismes globaux.
exacte par
retour de
sortie
Dans de nombreux cas, le diéomorphisme n'est que local.
Linéarisation
Le domaine de dénition du diéomorphisme dénit alors
exacte par
retour de
le domaine dans lequel la linéarisation est possible.
sortie
Limites de la
technique

7/44
 Linéarisation exacte par retour de sortie

Automatique
Avancée 
Objectif: On considère un système mono-entrée, ane en la
Commande
non-linéaire
commande, avec une sortie y:
ẋ = X0 (x ) + uX1 (x )

P2:
Techniques (1)
de y = h(x )
linéarisation
exacte
On souhaite "linéariser" la dynamique de y, i.e., transfomer
cette dynamique dans la forme
Plan
Introduction y (K ) = v
Linéarisation
exacte par où K est un entier à dénir, et v une nouvelle variable de
retour de
sortie commande.
Linéarisation Dans la suite, les champs de vecteurs X0 , X1 (applications
exacte par
retour de dénies d'un ensemble ouvert de Rn dans Rn ) et la fonction h
sortie
(dénie d'un ensemble ouvert de Rn dans R) sont supposées
Limites de la
technique susamment réguliers pour que les diérentiations à venir
soient possibles.
8/44
 Linéarisation exacte par retour de sortie

Automatique
Avancée 
Théorie:
Commande
non-linéaire Denition
P2:
Techniques
Etant donné une fonction régulière f : Rn −→ R et un champ
de de vecteur régulier X : Rn −→ Rn , on appelle dérivée de Lie de
f le long de X , la fonction LX f : x 7−→ LX f (x ) := ∂∂xf (x ).X (x ).
linéarisation
exacte

Par extension, on dénit la notation suivante:

Plan
Introduction LkX f := LX (LkX−1 f ) , k = 0, 1, · · · , avec L0X f = f
Linéarisation
exacte par
retour de
sortie Denition
Linéarisation
exacte par On dit que le système (1) est de degré relatif d (x0 ) en un point
retour de
sortie x0 s'il existe un voisinage U(x0 ) tel que:
Limites de la
technique
1 LX1 LkX h(x ) = 0, ∀0 ≤ k < d (x0 ) − 1, ∀x ∈ U(x0 ),
0

2 LX1 LdX(0x0 )−1 h(x0 ) 6= 0. 9/44

 Linéarisation exacte par retour de sortie

Automatique
Avancée 
Commande
non-linéaire Théorie:
P2: Remarques:
Techniques
de Le degré relatif n'est pas nécessairement déni partout,
linéarisation
exacte mais s'il est déni en un point x0 , alors il est déni dans
un voisinage de ce point.
Plan
Le degré relatif correspond au nombre de fois qu'il faut
Introduction
dériver la sortie y (par rapport au temps) pour que cette
Linéarisation
exacte par dérivée fasse explicitement apparaître l'entrée u.
retour de
sortie Exemple:
Linéarisation
ẋ = u

exacte par
retour de
sortie y = x3
Limites de la
technique

10/44
 Linéarisation exacte par retour de sortie

Automatique
Avancée 
Théorie:
Commande
non-linéaire Theorem
P2:
Techniques
On suppose que le degré relatif d (x0 ) en x0 est bien déni.
de
linéarisation
Alors,
1 d (x0 ) ≤ n;
exacte

2 Il existe n − d (x0 ) fonctions diérentiables

Plan
ϕ1 , · · · , ϕn−d (x0 ) : Rn → R telles que
Introduction
Linéarisation  ϕ 1 (x ) 
exacte par  . 
retour de 
 .
.


sortie
 ϕn −d (x0 ) (x ) 
 
 

Linéarisation h (x )
 
Ψ: x 7 → Ψ(x ) := 
−
 LX0 h(x ) 
 
exacte par

retour de
 
 . 
sortie .
 
.
 
d (x0 )−1
 
Limites de la L
X 0
h (x )

technique

dénisse un changement de coordonnées autour de x0 .11/44

 Linéarisation exacte par retour de sortie

Automatique
Avancée 
Théorie:
Commande
non-linéaire Theorem (Suite)
P2:
Techniques De plus, on peut choisir ϕ1 , · · · , ϕn−d (x0 ) telles que
de
linéarisation Lg ϕk (x ) = 0, ∀k = 1, · · · , n − d (x0 ), ∀x ∈ U(x0 ).
exacte
Supposons que d (x0 ) soit bien déni en x0 . Avec les notations
Plan ci-dessus, posons:
Introduction
h (x )
 
ϕ1 (x )
 
Linéarisation
 LX0 h(x ) 
exacte par
.. z .. (2)
retour de ξ= . , =
   
sortie .
  
ϕn−d (x0 ) (x )
LdX(0x0 )−1 h(x )
 
Linéarisation
exacte par
retour de
sortie
Le changement de coordonnées du Théorème s'écrit alors :
Limites de la  
technique ξ
Ψ : x 7−→ Ψ(x ) :=
z 12/44
 Linéarisation exacte par retour de sortie

Automatique
Avancée 
Commande Théorie:
non-linéaire En utilisant la dénition du degré relatif, on vérie que les
P2:
Techniques
composantes de z satisfont la dynamique suivante:
de
linéarisation
ż1 = z2

exacte

 ż2 = z3




..

Plan
.
Introduction
żd (x0 )−1 = zd (x0 )



Linéarisation d (x ) d (x )−1

żd (x0 ) = LX0 0 h(x ) + uLX1 (LX0 0 h)(x )

exacte par

retour de
sortie
Linéarisation Par dénition du degré relatif,
exacte par
retour de
sortie
LX1 (LdX(0x0 )−1 h)(x ) 6= 0 , ∀x ∈ U(x0 )
Limites de la
technique

13/44
 Linéarisation exacte par retour de sortie

Automatique
Avancée 
Commande
non-linéaire
P2:
Théorie:
Techniques
de
Par conséquent, si l'on pose
linéarisation
v := LdX(0x0 ) h(x ) + uLX1 (LdX(0x0 )−1 h)(x )
exacte
(3)
Plan
on a une relation bijective entre u et v pour tout x ∈ U(x0 ).
Introduction
Ceci dénit un changement de variable de commande et donne:
Linéarisation
exacte par
retour de
sortie z1(d (x0 )) = zd = y (d (x0 )) = v (4)
Linéarisation
exacte par
retour de
La dynamique de y a été linéarisée!
sortie
Limites de la
technique

14/44
 Linéarisation exacte par retour de sortie

Automatique
Avancée 
Théorie:
Commande
non-linéaire
Par ailleurs, la dynamique de ξ est indépendante de u si l'on a
P2:
choisi ϕ1 , · · · , ϕn−d (x0 ) telles que (voir Théorème):
Techniques
de LX1 ϕk (x ) = 0, ∀k = 1, · · · , n − d (x0 ), ∀x ∈ U(x0 )
linéarisation
exacte
C'est à dire que:
Plan ξ˙k = LX0 ϕk (x ) , ∀k = 1, · · · , n − d (x0 ) (5)
Introduction
Finalement, puisque Ψ est un changement de coordonnées,
Linéarisation
exacte par
 ξ˙ = γ(ξ, z )

retour de
sortie
ż = zk +1 (k = 1, · · · , d (x0 ) − 1) (6)
Linéarisation  k
exacte par ż(d (x0 )) = v
retour de
sortie
avec, d'après (5),
Limites de la
technique
γk (ξ, z ) = LX0 ϕk (Ψ−1 (ξ, z ))
15/44
 Linéarisation exacte par retour de sortie

Automatique
Avancée 
Commande Théorie:
non-linéaire
Remarques:
P2:
Techniques Puisque la dynamique de y a été linéarisée, i.e.
y (d (x0 )) = v, on peut utiliser les outils d'automatique
de
linéarisation
exacte
linéaire pour contrôler y. On peut alors résoudre le
problème de stabilisation d'une trajectoire de référence yr ,
Plan
Introduction
ainsi que le problème de planication d'une trajectoire de
Linéarisation
référence (voir plus loin).
exacte par
retour de Il convient de toujours faire attention au domaine de
sortie
dénition de la linéarisation (qui peut notamment amener
Linéarisation
exacte par des limitations sur y).
retour de
sortie Lorsque d (x0 ) = n, on voit que la dynamique complète de
Limites de la
technique
l'état se trouve linéarisée.

16/44
 Linéarisation exacte par retour de sortie

Automatique
Avancée 
Commande
Théorie:
non-linéaire Remarques: (Suite)
P2:
Techniques ξ n'est pas directement aectée par la commande (v ou
de
linéarisation u). En particulier, si l'objectif est de faire converger y vers
exacte
zéro, ceci va impliquer la convergence de tout z vers zéro.
A la limite, la dynamique de ξ devient donc
Plan
Introduction ξ˙ = γ(ξ, 0)
Linéarisation
exacte par
retour de
sortie
On appelle ceci la zéro dynamique (dynamique lorsque y
Linéarisation
est identiquement égale à zéro). En pratique, il est souvent
exacte par
retour de
souhaitable que cette dynamique soit asymptotiquement
sortie stable, ou au moins marginalement stable, an d'éviter que
Limites de la
technique
cette partie de l'état non directement contrôlée ne diverge.

17/44
 Linéarisation exacte par retour de sortie

Automatique
Avancée 
Application à la stabilisation de trajectoires:
Commande
non-linéaire
On se limite au cas mono-entrée/mono-sortie mais l'extension
P2:
au cas général ne pose pas de problème.
Techniques
de
Dénissons ỹ = y − yr avec yr la trajectoire de référence
linéarisation
exacte Puisque y (d (x0 )) = v, on a ỹ (d (x0 )) = v − yr(d (x0 ))
On pose alors:
Plan
Introduction
v = yr(d (x0 )) − k0 ỹ − k1 ỹ (1) − · · · − kd (x0 )−1 ỹ (d (x0 )−1)
Linéarisation
exacte par
La dynamique de ỹ est alors celle d'un système linéaire
retour de
sortie
asymptotiquement stable dès lors que les gains ki sont
Linéarisation
choisis tels que la matrice associée soit Hurwitz-Stable,
exacte par
retour de
i.e., tels que les racines de
P (λ) = λd (x0 ) + kd (x0 )−1 λd (x0 )−1 + · · · + k0
sortie
Limites de la
technique
soient à partie réelle < 0.
18/44
 Linéarisation exacte par retour de sortie

Automatique
Avancée 
Commande
non-linéaire
Application à la génération de trajectoires:
P2:
La linéarisation de la dynamique de y va aussi permettre de
Techniques
de
générer des trajectoires de référence yr . On considère le
linéarisation problème suivant:
exacte

Etant donné une condition initiale y0 = h(x0 ) et une condition

Plan nale yf pour la sortie y, déterminer une commande, dénie
Introduction sur un intervalle de temps [0, T ], telle que la sortie yr obtenue
Linéarisation
exacte par après application de cette commande à partir de la condition
retour de
sortie
initiale yr (0) = y0 satisfasse yr (T ) = yf .
Linéarisation
exacte par Ce problème, généralement dicile à résoudre dans les
retour de
sortie coordonnées de départ, va devenir assez simple après
Limites de la linéarisation.
technique

19/44
 Linéarisation exacte par retour de sortie

Automatique
Avancée 
Application à la génération de trajectoires:
On repart de la dynamique linéarisée y (d (x0 )) = v.
Commande
non-linéaire
P2:
Techniques
On oublie dans un premier temps la dynamique de ξ
de (partie de l'état dont la dynamique n'a pas été linéarisée).
linéarisation
exacte Le problème consiste à trouver une fonction
yr : [0, T ] −→ R, de classe C d (x0 ) (i.e., diérentiable et de
Plan dérivée continue jusqu'à l'ordre d (x0 ), telle que yr (0) = y0
Introduction et yr (T ) = yf .
Linéarisation
exacte par On considère une famille "assez large" de fonctions
retour de
sortie paramétrées par un vecteur de coecients constants
Linéarisation a0 , a1 , · · · . A titre d'exemple, on peut prendre la famille
exacte par
retour de des fonctions polynomiales en temps:
sortie
Limites de la t2 tN
technique ga (t ) = a0 + a1 t + a2 + · · · + aN
2 N!
20/44
 Linéarisation exacte par retour de sortie

Automatique
Avancée 
Commande
non-linéaire
P2:
Application à la génération de trajectoires:
Techniques
de On pose yr (t ) = ga (t ). Le problème se ramène donc à
linéarisation
exacte choisir a0 , a1 , · · · tels que ga (0) = y0 et ga (T ) = yf .
Mais il y a d'autres conditions sur a:
Plan 1 Les dérivées en t = 0 de ga jusqu'à l'ordre d (x0 ) doivent
Introduction correspondre à celle de h(x )
Linéarisation 2 Il faut spécier les dérivées en t = T de ga
exacte par
retour de 3 Il faut veiller à ce que la trajectoire générée reste dans le
sortie domaine de dénition de la linéarisation
Linéarisation
exacte par On considère dans la suite ces diérents problèmes.
retour de
sortie
Limites de la
technique

21/44
 Linéarisation exacte par retour de sortie

Automatique
Avancée 
Commande
Application à la génération de trajectoires:
non-linéaire
P2:
1 Les dérivées en t = 0 de ga jusqu'à l'ordre d (x0 ) doivent
Techniques
de
correspondre à celle de h(x )
linéarisation
exacte D'après la dénition du degré relatif, et puisque
h(x (t )) = z1 (t ), on a (voir Slides 12 et 13):
Plan
h(x (0)) = h(x0 )

Introduction
d

dt |t =0 h(x (t )) = LX0 h(x0 )


Linéarisation 

exacte par
..


retour de
.

sortie
d 0 )−1
h(x (t )) = LdX(0x0 )−1 h(x0 )
d (x
Linéarisation

dt t
0 )−1 | =0

exacte par d (x

d (x ) d (x )−1

retour de
 d

t h x (t )) = LX0 0 h(x0 ) + u (0)LX1 (LX0 0 h)(x0 )
d (x0 )

sortie (

dt
d (x0 )
| =0
Limites de la
technique

22/44
 Linéarisation exacte par retour de sortie

Automatique
Avancée 
Commande
Application à la génération de trajectoires:
non-linéaire
P2:
1 Les dérivées en t = 0 de ga jusqu'à l'ordre d (x0 ) doivent
Techniques
de
correspondre à celle de h(x )
linéarisation
exacte On peut, par exemple, imposer la condition u (0) = 0, ce qui
donne les conditions suivantes sur ga :
Plan
ga (0) = h(x (0)) = h(x0 ) = y0

Introduction
d

ga(1) (0) h(x (t )) = LX0 h(x0 )

= dt

|t = 0
Linéarisation 

exacte par
.. ..


retour de

sortie . .
ga(d (x0 )−1) (0) = d ( 0 )−1 d (x0 )−1 h(x )
dt ( 0 )−1 |t =0 h(x (t )) = LX0
d x
Linéarisation

0

exacte par

 d x

retour de
 g (d (x0 )) (0) d ( 0) d (x0 )

dt ( 0 ) |t =0 h(x (t )) = LX0 h(x0 )
 d x
sortie a

= d x

Limites de la
technique

23/44
 Linéarisation exacte par retour de sortie

Automatique
Avancée 
Commande
non-linéaire Application à la génération de trajectoires:
P2:
Techniques
de
1 Les dérivées en t = 0 de ga jusqu'à l'ordre d (x0 ) doivent
linéarisation
exacte
correspondre à celle de h(x )
2 Il faut spécier les dérivées en t = T de ga :
Plan
Introduction On a déjà ga (T ) = yf
Linéarisation Il n'y a pas de règle générale sur le choix des dérivées. Si
exacte par
retour de l'objectif est de stabiliser y à la valeur yf , on pourra poser
sortie

ga(k ) (T ) = 0
Linéarisation
exacte par ∀k = 1, · · · , d (x0 ),
retour de
sortie
Limites de la
technique

24/44
 Linéarisation exacte par retour de sortie

Automatique
Avancée 
Application à la génération de trajectoires:
Commande
non-linéaire 1 Les dérivées en t = 0 de ga jusqu'à l'ordre d (x0 ) doivent
P2: correspondre à celle de h(x )
Techniques
de 2 Il faut spécier les dérivées en t = T de ga
linéarisation
exacte 3 Il faut veiller à ce que la trajectoire générée reste dans le
domaine de dénition de la linéarisation
Plan
Introduction
Pas de stratégie générale pour aborder cette question, qui
Linéarisation devra être traitée au cas par cas
exacte par
retour de Si les restrictions sur le domaine de dénition portent sur
sortie
h(x ), LX0 h(x ), · · · , elles peuvent être prises en compte
Linéarisation
exacte par sous forme de contraintes sur la fonction ga
retour de
sortie Sinon (contraintes sur ξ ), il faudra étudier plus
Limites de la précisément la dynamique de ξ pour évaluer/résoudre le
technique
problème potentiel
25/44
 Linéarisation exacte par retour de sortie

Automatique
Avancée 
Commande
non-linéaire
P2: Application à la génération de trajectoires:
Techniques
de En résumé:
linéarisation
exacte On s'est ramené à la résolution d'un système d'équations
linéaires en les paramètres a0 , a1 , · · ·
Plan Ce système contient 2(d (x0 ) + 1) contraintes
Introduction
Linéarisation
Il faut donc au minimum 2(d (x0 ) + 1) paramètres pour
exacte par
retour de
qu'il exsite une solution
sortie On peut montrer (TD) que ce système admet alors bien
Linéarisation
exacte par une solution
retour de
sortie
Limites de la
technique

26/44
 Linéarisation exacte par retour de sortie

Automatique
Avancée 
Commande
non-linéaire Extension au cas multi-entrées/multi-sorties:
P2: Cette approche se généralise au cas des systèmes avec autant
Techniques
de de sorties que d'entrées:
linéarisation
exacte  m
 ẋ = X0 ( x ) + uk Xk (x )
 X
Plan k =1 (7)
y = h(x )

Introduction

Linéarisation
exacte par
retour de avec h : Rn → Rm .
sortie
Principe: l'idée consiste à dénir une matrice de découplage qui
va généraliser le terme LX1 LdX(0x0 )−1 h(x0 ) qui intervient dans la
Linéarisation
exacte par
retour de
sortie dénition du degré relatif.
Limites de la
technique

27/44
 Linéarisation exacte par retour de sortie

Automatique
Avancée 
Extension au cas multi-entrées/multi-sorties:
Commande
non-linéaire Denition
P2:
Techniques On dit que le système (7) est de degré relatif (vectoriel)
de
linéarisation {d1 (x0 ), · · · , dm (x0 )} en un point x0 s'il existe un voisinage
exacte
U(x0 ) tel que:
1 LX LkX hi (x ) = 0, ∀j = 1, · · · , m , ∀0 ≤ k <
Plan j 0

Introduction
di (x0 ) − 1, ∀x ∈ U(x0 ),
Linéarisation 2 La matrice
exacte par

LX Ld1 (x0 )−1 h1 (x ) · · · LX LdX10(x0 )−1 h1 (x )

retour de  
sortie
Linéarisation  1 X0 . ..
p

..
A(x ) =  ..

exacte par
retour de
. . 
d (x0 )−1 d (x0 )−1
 
sortie
LX1 LX0 m
hm (x ) · · · LX LX0
p
m
hm (x )
Limites de la
technique
est inversible en x0 .
28/44
 Linéarisation exacte par retour de sortie

Automatique
Avancée 
Commande
non-linéaire
P2:
Techniques Extension au cas multi-entrées/multi-sorties:
de
linéarisation Remarques:
exacte
Comme dans le cas mono-entrée, di (x0 ) (i = 1, · · · , m)
correspond au nombre de fois qu'il faut dériver yi par
Plan
Introduction
rapport au temps pour faire apparaître une entrée de
Linéarisation
commande.
exacte par
retour de Par continuité, le fait que A(x ) soit inversible en x0
sortie
implique qu'elle le sera dans un voisinage de x0 .
Linéarisation
exacte par
retour de
sortie
Limites de la
technique

29/44
 Linéarisation exacte par retour de sortie

Automatique
Avancée 
Extension au cas multi-entrées/multi-sorties:
Commande
non-linéaire
La matrice de découplage va permettre de généraliser les
P2:
calculs des slides 13 et 14. En eet, on vérie facilement que:
Techniques  (d1 (x0 ))   (d1 (x0 )) 
de
linéarisation
h1 (x (t )) LX0 h1 (x (t ))
exacte ..   ..  + A(x (t ))u (t )

. = .


(d (x0 ))
L(Xd0 (x0 )) hm (x (t ))
 
Plan hm m
(x (t )) m

Introduction
On peut donc poser (comparer avec (3)):
Linéarisation

L(d1 (x0 )) h1 (x )
exacte par  
retour de
sortie
 X0 .
v :=  .  + A(x )u

Linéarisation
exacte par
.
L(Xd0 (x0 )) hm (x )
 
retour de m
sortie
Limites de la
technique qui dénit un changement de variable de commande entre u et
v.
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 Linéarisation exacte par retour de sortie

Automatique
Avancée 
Extension au cas multi-entrées/multi-sorties:
Commande
non-linéaire
Ce changement de variable de commande donne donc
P2:
(comparer avec (4)):
Techniques
de
linéarisation ∀k = 1, · · · , m , yk(d (x0 )) = vk
k

exacte

Plan On a ainsi m systèmes linéaires indépendants, mono-entrée

Introduction On peut aussi dénir de nouvelles variables d'état (cf. (2)):
Linéarisation
exacte par
hk (x )
 
retour de
ϕ1 (x )
 
sortie  LX0 hk (x ) 
..  zk =  ..  (k = 1 , · · · , m )
Linéarisation ξ= . ,
 
exacte par .

retour de
ϕn̄ (x ) d (x0 )−1
 
sortie
LX0 k
hk (x )
Limites de la
technique Pm
avec n̄ = n − k =1 dk (x0 ).
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 Linéarisation exacte par retour de sortie

Automatique
Avancée 
Commande
non-linéaire
P2:
Techniques
de
linéarisation Extension au cas multi-entrées/multi-sorties:
exacte
A partir de là,
Plan
Tout le reste fonctionne comme dans le cas
Introduction
mono-entrée/mono-sortie
Linéarisation
exacte par
retour de
sortie
Linéarisation
exacte par
retour de
sortie
Limites de la
technique

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 Linéarisation exacte par retour d'état

Automatique
Avancée 
Commande
non-linéaire
Objectif: Transformer, autour d'un point d'équilibre, la
P2:
Techniques dynamique d'un système non-linéaire
de
linéarisation
exacte m
ẋ = X0 (x ) + uk Xk (x ) (8)
X

Plan k =1
Introduction
en une dynamique de système linéaire, via:
Linéarisation
exacte par
retour de
Un changement de variable d'état
sortie
Et un changement de variable de commande
Linéarisation
exacte par
retour de
A priori dénis localement seulement
sortie
Limites de la
technique

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 Linéarisation exacte par retour d'état

Automatique
Avancée  Denition
Commande
non-linéaire On considère le système (8) et l'on suppose que X0 (x0 ) = 0 de
P2: sorte que (x0 , u0 ) = (x0 , 0) est un point d'équilibre du système.
Techniques
de On dit que (8) est linéarisable par retour d'état (statique) au
linéarisation
exacte voisinage de x0 s'il existe:
Un voisinage U de x0
Plan
Un changement de variable d'état x 7−→ z = ϕ(x ) avec
ϕ : U −→ Rn telle que ϕ(x0 ) = 0,
Introduction
Linéarisation
exacte par
retour de
Un changement de variable de commande
sortie u 7−→ v = Ψ(x )u + β(x ) avec β : U −→ Rm et
Linéarisation
exacte par Ψ : Rn −→ Rm×m telle que Ψ(x ) soit inversible ∀x ∈ U
retour de
sortie tels que dans les coordonnées z, la dynamique du système soit
Limites de la linéaire:
technique
ż = Az + Bv
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 Linéarisation exacte par retour d'état

Automatique
Avancée 
Commande
non-linéaire
Comparaison avec la linéarisation par retour de sortie:
P2:
Techniques
de
Propriété plus exigeante puisque toute la dynamique est
linéarisation linéarisée
exacte
Linéarisable par retour de sortie et m k =1 dk (x ) = n =⇒
P

Plan
Linéarisable par retour d'état
Introduction Linéarisable par retour d'état et m = p = 1 =⇒ ∃y telle
Linéarisation
exacte par
que la dynamique de y soit linéarisable
retour de
sortie Dans le cas général, Linéarisable par retour d'état 6=⇒
Linéarisation ∃y1 , · · · , ym tels
P que la dynamique de chaque yk soit
exacte par
retour de linéarisable et m k =1 dk (x ) = n
sortie
Limites de la
technique

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 Linéarisation exacte par retour d'état

Automatique
Avancée 
Commande
non-linéaire
P2:
Techniques
Propriétés:
de
linéarisation Il existe des CNS (Conditions Nécessaires et Susantes)
exacte
portant sur les champs de vecteurs X0 , · · · , Xm pour
décider de la possibilité de linéariser un système
Plan
Introduction
Ces conditions sont cependant complexes à vérier dès
Linéarisation que les dimensions (n ou m) augmentent
exacte par
retour de Nous n'allons pas les introduire (on les trouve dans les
sortie
ouvrages du domaine), mais traiter q.q. exemples
Linéarisation
exacte par
retour de
sortie
Limites de la
technique

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 Linéarisation exacte par retour d'état

Automatique
Avancée 
Commande Exemple 1: Dynamique des robots manipulateurs
non-linéaire
P2:
Système mécanique composé de n corps rigides
Techniques
de
C1 , . . . , Cn , avec chaque corps lié au précédent par une
linéarisation
exacte
liaison à un degré de liberté
On suppose que le corps C1 est lié à un support xe
Plan Chacune des n liaisons est actionnée par le biais d'un
Introduction moteur délivrant une force ou un couple assimilable à une
Linéarisation
exacte par
variable de commande.
retour de
sortie Equations de Lagrange:
Linéarisation
exacte par
retour de
M (q )q̈ + C (q , q̇ )q̇ + G (q ) = u (9)
sortie
Limites de la
technique
avec...

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 Linéarisation exacte par retour d'état

Automatique
Avancée 
Commande Exemple 1: Dynamique des robots manipulateurs
non-linéaire
qi la variable articulaire associée à la liaison i
P2:
Techniques
de
M (q ) une matrice dénie positive (pour tout q) liée à
linéarisation
exacte
l'énergie cinétique T du système par la relation
2T = q̇ T M (q )q̇
Plan C (q , q̇ ) une matrice associée aux forces de Coriolis et
Introduction centrifuge
Linéarisation
exacte par
G (q ) un vecteur lié aux forces de gravité
retour de
sortie u ∈ Rn le vecteur de commande
Linéarisation
exacte par
On pose
retour de
sortie
u = C (q , q̇ )q̇ + G (q ) + M (q )v
Limites de la
technique
On obtient q̈ = v, i.e., n double-intégrateurs indépendants.

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 Linéarisation exacte par retour d'état

Automatique
Avancée 
Exemple 2: Dynamique angulaire d'un corps rigide
Commande
non-linéaire
Corps rigide en rotation dans l'espace
P2:
Muni de trois actionneurs générant chacun un couple dans
Techniques
de
une direction xe en repère corps
linéarisation
exacte
Equations d'Euler:
3
uk bk (10)
X
Plan Jω̇ = −ω × Jω +
Introduction k =1
Linéarisation avec
exacte par
retour de J: la matrice d'inertie
sortie
Linéarisation
ω : les composantes du vecteur vitesse angulaire exprimé
exacte par
retour de
en repère corps
sortie uk : les intensités des couples de commande
Limites de la
technique bk : les directions des couples de commande exprimées en
repère corps
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 Linéarisation exacte par retour d'état

Automatique
Avancée 
Commande
non-linéaire Exemple 2: Dynamique angulaire d'un corps rigide
P2:
Techniques On peut ré-écrire cette équation comme suit:
de
linéarisation
exacte Jω̇ = −ω × Jω + Bu

Plan avec B = (b1 b2 b3 )

Introduction Si les trois directions b1 , b2 , b3 sont indépendantes, B est
Linéarisation
exacte par
inversible. On peut alors poser:
retour de
sortie
−ω × Jω + Bu = v
Linéarisation
exacte par
retour de
sortie On obtient Jω̇ = v.
Limites de la
technique

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 Limites de la technique

Automatique
Avancée 
Commande
non-linéaire
P2: Les techniques de linéarisation sont puissantes pour
Techniques
de prendre en compte des linéarités
linéarisation
exacte Elles permettent d'obtenir des domaines de convergence
plus grands/linéarisés tangents
Plan Mais elles doivent être appliquées avec précaution
Introduction
Linéarisation
Exemple...
exacte par
retour de ẋ = −ax 3 + u , (a > 0)
sortie
Linéarisation On souhaite stabiliser x à zéro. On considère la méthode du
exacte par
retour de linéarisé tangent et la méthode par linéarisation exacte.
sortie
Limites de la
technique

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 Limites de la technique

Automatique
Avancée 
Commande
non-linéaire Stabilisation par le linéarisé tangent:
P2:
Techniques Le linéarisé tangent est donné par ẋ = u
de
linéarisation On pose u = −kx (k > 0)
exacte
On obtient en boucle fermée:
Plan
Introduction
ẋ = −kx − ax 3 = −(k + ax 2 )x
Linéarisation
exacte par L'équilibre x = 0 est globalement asymptotiquement
retour de
sortie stable, ceci ∀a.
Linéarisation
exacte par
En eet, ẋ > 0 si x < 0 et ẋ < 0 si x > 0, et donc |x (t )|
retour de
sortie
ne fait que décroitre et ne peut que converger vers 0.
Limites de la
technique

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 Limites de la technique

Automatique
Avancée 
Stabilisation par linéarisation exacte:
Commande
non-linéaire On pose v = −ax 3 + u =⇒ ẋ = v
P2: On pose v = −kx (k > 0)
Techniques
de
linéarisation
Ce feedback, appliqué au système de départ rend x = 0
exacte globalement asymptotiquement stable
Supposons maintenant que a est mal connu. On ne
Plan
connait qu'une approximation â
Introduction
Linéarisation
On pose donc v = −âx 3 + u =⇒ ẋ = (â − a)x 3 + v
exacte par
retour de Avec v = −kx on obtient
sortie
Linéarisation
exacte par
ẋ = −kx + (â − a)x 3
retour de
sortie
Si â > a, x = 0 n'est pas globalement asymptotiquement
Limites de la
technique stable. En eet, on remarque que le système admet alors trois
points d'équilibre!
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 Limites de la technique

Automatique
Avancée 
Commande
non-linéaire
P2:
Techniques
Morale:
de
linéarisation Il n'est pas toujours nécessaire, ni opportun, de linéariser
exacte
complètement le système
En particulier, il peut être préférable de ne pas compenser
Plan
des termes qui contribuent à la stabilité:
Introduction
D'une part parce que les compenser peut nuire à la
Linéarisation
exacte par stabilité (voir exemple)
retour de
sortie
D'autre part parce que cela induira un coût énergétique
Linéarisation
importante (grandes valeurs de u )
exacte par
retour de
sortie
Limites de la
technique

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