GELE3222 Notes5
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Magnetostatique
On peut resumer les cas ou sont produits les champs electriques et magnetiques :
Charge stationnaire : Une charge stationnaire ne produit quun champ electrique.
Donc, u ~ , 0 et B
~ = 0, E ~ = 0.
Charge en mouvement : Une charge en mouvement produit un champ electrique et un
champ magnetique. Dans ce cas-ci, u ~ , 0 et B
~ , 0, E ~ , 0. La vitesse de mouvement
est constante.
Charge en acceleration : Une charge qui accelere produit un champ electrique, un
champ magnetique, et un champ electromagnetique radiant. Dans ce cas-ci, u ~ , 0,
~ ~
E , 0 et B , 0.
Comme mentionne plus haut, un champ magnetique est produit par des charges en
mouvement (un courant electrique). La force appliquee sur un element de courant depend
de lamplitude du courant, du milieu et de la distance entre les courants, de facon similaire
1
CHAPITRE 5. MAGNETOSTATIQUE
a la force electrique. Cependant, puisque les courants ont des directions, lequation de la
force magnetique est un peu plus complexe que celle de la force electrique. Un element de
courant Id~l qui est soumis a un champ magnetique B subira une force d F ~ selon :
~ = Id~l B
dF ~ (5.1)
~
dF
Id~l
~
B
~ = Id~l aR
dH (5.3)
4R2
Gabriel Cormier 2 GELE3222
CHAPITRE 5. MAGNETOSTATIQUE
Id~l ~
R
~
dH
ou R doit pointer de lelement de courant vers le point P . Cette relation est independante
du milieu.
Chaque element de courant Id~l contribue au champ magnetique au point P . Pour avoir
le champ magnetique total, il faut faire lintegrale :
I ~
~ = Id l aR
H (5.4)
4R2
Exemple 1
Un fil infiniment long porte un courant I selon laxe z. Calculer le champ magnetique a
un point P quelconque.
r ~
H
Id~l R
et le vecteur unitaire aR :
~
R r a z az
aR = = r
~
|R| r 2 + z2
Id~l = Idz az
~ = Idz az (r ar z az )
dH 3
4(r 2 + z2 ) 2
En faisant le produit vectoriel, on obtient :
Irdz a
~ =
dH 3
4(r 2 + z2 ) 2
La loi dAmpere est semblable a la loi de Gauss, sauf que la loi dAmpere sapplique aux
champ magnetique : lintegrale de contour de la composante tangentielle du champ magnetique
sur un parcours ferme est egal au courant entoure par le parcours.
I
~ ~l = I
Hd (5.5)
On pourrait croire que cette equation est utilisee pour calculer le courant a partir
dun champ magnetique connu. Cependant, cest plutot linverse qui est vrai : on connat
habituellement le courant, et lequation permet de trouver le champ magnetique.
Pour utiliser la loi dAmpere, il doit y avoir une certaine symetrie au probleme. Deux
conditions sont necessaires :
Exemple 2
Utiliser la loi dAmpere pour calculer le champ magnetique du a un fil infiniment long
portant un courant I.
Cest le meme probleme que lexemple precedent. A chaque point sur le cercle, le champ
magnetique a la meme amplitude et est tangentiel. Donc :
I
~ ~l = H(2r) = I
Hd
donc,
~ = I a
H
2r
R
~
Si on reprend la loi dAmpere, mais quon definit le courant autrement : I = S ~Jd S
(selon le chapitre precedent). On obtient alors la relation suivante :
I Z
~
Hd l = ~Jd S
~ ~ (5.6)
S
On a une integrale de contour qui est egale a une integrale de surface. On peut alors utiliser
le theoreme de Stokes pour ecrire :
I Z
~ ~
Hd l = ( H)d ~ S ~ (5.7)
s
~ = ~J
H (5.8)
Une difference importante entre le flux magnetique et le flux electrique : les lignes de
flux magnetique sont des courbes fermees, sans point de depart ou de point de fin. Cest
different des lignes de flux electriques, qui commencent sur des charges positives et se
terminent sur des charges negatives. Tout le flux magnetique qui entre dans un corps (ou
surface) doit en ressortir. Mathematiquement, on exprime ceci par la relation suivante :
~=0
B (5.10)
Cest une autre equation fondamentale de lelectromagnetisme ; une des 4 equations de
Maxwell. On peut aussi ecrire lequation 5.10 comme suit :
I
~ d~s = 0
B (5.11)
~:
De facon similaire au potentiel electrique, on peut definir un potentiel magnetique A
~=B
A ~ (5.12)
Remarquer que le potentiel magnetique est un vecteur, contrairement au potentiel electrique.
~ et ensuite H.
A laide du potentiel magnetique, on peut calculer B, ~ est [Wb/m]
~ Lunite de A
ou [Tm].
On peut demontrer que le potentiel magnetique est obtenu selon lequation 5.13.
~J
Z
~ 0
A= dv (5.13)
4 v R
Le potentiel magnetique peut aussi etre utilise pour calculer le flux (a laide du theoreme
de Stokes) : I
= A ~ d~l (5.14)
I = ~J d~s (5.17)
Id~l = ~J d~sd~l = v u
~ d~sd~l = v dv u
~ = q~
u (5.18)
~ est uniforme dans une region et que la particule a une vitesse initiale
Si le champ B
normale au champ magnetique la particule decrira un cercle de rayon r. La force du champ
est damplitude F = |q|uB et est dirigee vers le centre du cercle. Lacceleration centripete est
damplitude 2 r = u 2 /r, et donc, par la deuxieme loi de Newton :
u2 mu
|q|uB = m r = (5.20)
r |q|B
Si un champ electrique est aussi present, une force supplementaire sera appliquee sur
la particule. On a donc :
~ = qE
F ~ + q~uB ~ = q(E
~ +u ~
~ B) (5.21)
Cest lequation de Lorentz.
5.8 Magnetisation
En labsence dun champ magnetique externe, les dipoles magnetiques dun materiau
sont orientes de facon arbitraire. Lapplication dun champ magnetique externe cause
lalignement des moments magnetiques. On definit alors un vecteur de magnetisation M ~
qui represente la somme des moments magnetiques individuels dans le materiau.
~Jm = M
~ [A/m2 ] (5.22)
~Jms = M
~ an [A/m] (5.23)
~ = m H
M ~ (5.24)
~ = 0 H
B ~ + 0 M
~ (5.25)
~ + 0 m H
= 0 H ~ = 0 (1 + m )H
~ (5.26)
~
= 0 r H (5.27)
De la meme facon que les champs electriques, ont peut demontrer comment se comporte
le champ magnetique aux frontieres entres deux materiaux.
Materiau r
or 0.99986
argent 0.99998
Diamagnetique
cuivre 0.999991
eau 0.999991
air 1.000004
Paramagnetique
aluminium 1.00002
cobalt 250
nickel 600
Ferromagnetique
fer (99.8% pur) 5000
(non-lineaire)
fer (99.96% pur) 280 000
Alliage Mo/Ni 1 000 000
~ = 0,
Pour la composante normale, puisque B
ce qui implique
H1n 2
= (5.30)
H2n 1
~1 H
an (H ~ 2 ) = ~Js (5.31)
ou encore :
H1t H2t = Jsn (5.32)
ou Jsn est la composante normale de la densite de courant superficielle.