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QUATIONS
TP info : Al Khwarizmi
http://www.maths-et-tiques.fr/telech/Alkhwa_Rech.pdf

La mthode de rsolution des quations (muadala) dcouverte par le perse Abu Djafar
Muhammad ibn Musa al Khwarizmi (Bagdad, 780-850) consiste en :
- al jabr (le reboutement, 4x - 3 = 5 devient 4x = 5 + 3), le mot est devenu "algbre" aujourdhui.
Dans lquation, un terme ngatif est accept mais al Khwarizmi sattache sen dbarrasser au
plus vite. Pour cela, il ajoute son oppos des deux cts de lquation.
- al muqabala (la rduction, 4x = 9 + 3x devient x = 9)
Les termes semblables sont rduits.
A cette poque, la famille des nombres est appele dirham et la famille des x est appele
chay (=chose), devenu plus tard xay en espagnol qui explique lorigine du x dans les quations.

I. Notion dquation
1) Vocabulaire

INCONNUE : cest une lettre qui cache un nombre cherch :

x
EQUATION : cest une opration trous dont les trous sont remplacs par une
inconnue : 10 x 2 = 2 x + 3
RESOUDRE UNE EQUATION : cest chercher et trouver le nombre cach sous linconnue.
SOLUTION : cest le nombre cach sous linconnue :
x = 0,625
Vrification :
10 x 0,625 - 2 = 2 x 0,625 + 3, donc 0,625 est solution.

Mthode : Vrifier si un nombre est solution dune quation

Vido https://youtu.be/PLuSPM6rJKI

Vrifier si 14 est solution de lquation 4( x 2) = 3x + 6

4(x 2) = 4 (14 - 2) = 4 x 12 = 48 et 3x + 6 = 3 x 14 + 6 = 42 + 6 = 48
14 vrifie lquation 4( x 2) = 3x + 6 donc 14 est solution !

Exercices conseills En devoir

Ex 1 (Page 8 de ce p88 n74
document)
p88 n71
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TP info : Recherche de la solution dune quation
http://www.maths-et-tiques.fr/telech/Rech_sol.pdf
http://www.maths-et-tiques.fr/telech/Rech_sol.ods (Feuille de calcul OOo)

II. Rsolution dquations

1) Introduction

Soit lquation : 2x + 5x 4 = 3x + 2 + 3x

But : Trouver x !
C'est--dire : isoler x dans lquation pour arriver :
x = nombre

Les diffrents lments dune quation sont lis ensemble par des oprations.
Nous les dsignerons liens faibles (+ et -) et liens forts (x et :). Ces derniers marquent
en effet une priorit opratoire. Pour signifier que le lien est fort, le symbole x peut tre
omis.
Dans lquation ci-dessus, par exemple, 2x et 5x sont juxtaposs par le lien faible . Par
contre, 2 et x sont juxtaposs par un lien fort x qui est omis.

Dans lquation 2x + 5x 4 = 3x + 2 + 3x, on reconnat des membres de la famille des x et

des membres de la famille des nombres juxtaposs par des liens faibles .

Pour obtenir x = nombre , on considrera que la famille des x habite gauche de la

barrire = et la famille des nombres habite droite.
Rsoudre une quation, cest clore deux petites rceptions o se sont runis des x et des
nombres. Une se passe chez les x et lautre chez les nombres. La fte est finie, chacun rentre
chez soi.
On sera ainsi mens effectuer des mouvements dun ct lautre de la barrire = en
suivant des rgles diffrentes suivant que le lien est fort ou faible.

2) Avec lien faible

Le savant perse Abu Djafar Muhammad ibn Musa al Khwarizmi (Bagdad, 780-850) est
lorigine des mthodes appeles al jabr (=le reboutement ; le mot est devenu "algbre"
aujourdhui) et al muqabala (=la rduction).

Elles consistent en :
- al jabr :
Dans lquation, un terme ngatif est accept mais al Khwarizmi sattache sen
dbarrasser au plus vite. Pour cela, il ajoute son oppos des deux cts de lquation.
Par exemple : 4x - 3 = 5 devient 4x - 3 + 3 = 5 + 3 soit 4x = 5 + 3.

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- al muqabala :
Les termes positifs semblables sont rduits.
Par exemple : 4x = 9 + 3x devient x = 9. On soustrait 3x de chaque ct de lgalit.

Mthode : Rsoudre une quation (1)

Vido https://youtu.be/uV_EmbYu9_E

Rsoudre : 2x + 5x 4 = 3x + 2 + 3x

1ere tape : chacun rentre chez soi !

2x + 5x 4 = 3x + 2 + 3x
2x + 5x 3x 3x = + 2 + 4

2e tape : rduction (des familles)

x=6
Pour un lien faible, chaque dplacement par dessus la barrire = se traduit par un
changement de signe de llment dplac.

Exercices conseills En devoir

p80 n2 Ex 3 (Page 8)
Ex 2, 4 (Page 8)
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3) Avec lien fort

La mthode qui sappelait al hatt consistait diviser les deux membres de lquation par
un mme nombre.

Mthode : Rsoudre une quation (2)

Vido https://youtu.be/mK8Y-v-K0cM

Rsoudre les quations suivantes :

x 7
1) 2 x = 6 2) =4 3) x = 2
3 9
7
1) 2 x = 6 2) x = 4 3) x = 2
3 9
6
x= x = 4 (3) 9
2 x = 2
x = 12 7
x=3
18
x=
7
Pour un lien fort, chaque dplacement par dessus la barrire = se traduit par une
inversion de llment dplac.
Exercices conseills En devoir
Ex 5, 6, 7 (Page 8) p80 n3
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4) Avec les deux

Mthode : Rsoudre une quation (3)

Vido https://youtu.be/QURskM271bE

Rsoudre : 4 x + 5 3 x 4 = 3 x + 2 + x

4 x + 5 3x 4 = 3x + 2 + x
4 x 3x x 3x = 2 + 4 5
3x = 1
1
x=
3
1
x=
3
Exercices conseills En devoir
p80 n6, 8, 9 p80 n7
p88 n72
p81 n11, 12
p83 n31
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Myriade 3 Bordas d.2016

5) Avec des parenthses

Mthode :
Vido https://youtu.be/quzC5C3a9jM

Rsoudre : 2( x + 3) = ( x + 3)

2( x + 3) = ( x + 3)
2x + 6 = x 3 1.

2 x + x = 3 6 2.

3 x = 9 3.

9
x= 4.
3
x = 3 5.

Etapes successives :
1. Se dbarrasser des parenthses
2. Chacun rentre chez soi : liens faibles
3. Rduction
4. Casser le dernier lien fort
5. Simplification (si besoin)

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Exercices conseills En devoir
Ex 8, 9 (Page 8) p273 n10
p88 n73 Equations
p82 n22
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Comment en est-on arriv l ?

Aujourdhui 4x2 + 3x 10 = 0
Ren Descartes Vers 1640 4xx + 3x 10
Franois Vite Vers 1600 4 in A quad + 3 in A aequatur 10
Simon Stevin Fin XVIe 4 2 + 3 1 egales 10 0
Tartaglia Dbut XVIe 4q p 3R equale 10N
Nicolas Chuquet Fin XVe 42 p 31 egault 100
Luca Pacioli Fin XVe Quattro qdrat che gioto agli tre n0 facia 10
(traduit par 4 carrs joints 3 nombres font 10)
Y
Diophante IIIe
(traduit par inconnue carr 4 et inconnue 3 est 10)
Babyloniens et
IIe millnaire avant J.C. Problmes se ramenant ce genre dquation.
Egyptiens

III. Equation produit

Si a x b = 0, que peut-on dire de a et b ?
Faire des essais sur des exemples, puis conclure !

Proprit : Si a x b = 0 alors a = 0 ou b = 0.
Si un produit de facteurs est nul, alors lun au moins des facteurs est nul.

Mthode : Rsoudre une quation-produit

Vido https://youtu.be/APj1WPPNUgo

Rsoudre les quations :

2 2
a) (4x + 6)(3 - 7x) = 0 b) 4x + x = 0 c) x 25 = 0

a) Si un produit de facteur est nul, alors lun au moins des facteurs est nul.
Alors : 4x + 6 = 0 ou 3 7x = 0
4x = 6 7x = 3
6 3
x= x=
4 7
3 3 3 3
x = x= S = ;
2 7 2 7

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b) 4x + x = 0
x (4x + 1) = 0
Si un produit de facteur est nul, alors lun au moins des facteurs est nul.
Alors : x = 0 ou 4x + 1 = 0
4x = 1
1
x=
4

1
S = ; 0
4
2
c) x 25 = 0
(x 5)( x + 5) = 0
Si un produit de facteur est nul, alors lun au moins des facteurs est nul.
Alors : x 5 = 0 ou x+5=0
x=5 x = 5

S = {5 ; 5}

Exercices conseills En devoir

p82 n20 p273 n11
Ex 10, 11, 12 Equations-produits
(Page 10)
p88 n75
p82 n21, 25,
24
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IV. Application la rsolution de problmes

Mthode : Mettre un problme en quation (2)

Vido https://youtu.be/flObKE_CyHw

Deux agriculteurs possdent des champs ayant un ct

commun de longueur inconnue. Lun est de forme carr,
lautre la forme dun triangle rectangle de base 100m.
Sachant que les deux champs sont de surface gale,
calculer leurs dimensions.

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On dsigne par x la longueur du ct commun.
Les donns sont reprsents sur la figure suivante :

100

Laire du champ carr est gale x2.

100x
Laire du champ triangulaire est gale = 50x
2
Les deux champs tant de surface gale, le problme peut se ramener rsoudre
lquation : x2 = 50x

Soit x2 - 50x = 0
x (x 50) = 0
Si un produit de facteurs est nul alors lun au moins des facteurs est nul.
Alors x = 0 ou x 50 = 0
x = 0 ou x = 50
La premire solution ne convient pas la situation du problme, on en dduit que le premier
champ est un carr de ct de longueur 50m et le deuxime est un triangle rectangle dont
les cts de langle droit mesure 100m et 50m.

Exercices conseills En devoir

p81 n15, 16 p89 n79
p88 n76, 77
p90 n94
p91 n97
p83 n33
p89 n78
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Myriade 3 Bordas d.2016

Activit de groupe : Moquettes !

http://www.maths-et-tiques.fr/telech/MOQUETTES.pdf

Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, mme partielle, autres que celles prvues l'article L 122-5 du code de
la proprit intellectuelle, ne peut tre faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur.
www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales

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EXERCICE 1
Vrifier si les nombres suivants sont solutions de lquation 6x 2 + 6x 36 = 0 :
10 ; 2 ; 0 ; -3 ; -5

EXERCICE 2
Rsoudre les quations :
a) 4x 5 = 6 + 3x b) 7x 3 = 4 + 6x c) 10x 6 = 5 + 9x + 1

EXERCICE 3
Rsoudre les quations :
a) 5x = 1+ 4x b) 3 4x + 5 = 5x c) x 6 = 4 2x + 1

EXERCICE 4
Rsoudre les quations :
a) 5x 4 + 6x = 5 + 10x b) 3 x + 5 = 3x 5 + x c) 7x 6 = 3 2x 1+ 8x

EXERCICE 5
Rsoudre les quations :
a) 14x = 7 b) 7x = 8 c) 12t = 48 d) 5x = 16 e) 3t = 27

EXERCICE 6
Rsoudre les quations :
1 x
a) 4x = 5 b) 2x = 6 c) y=5 d) = 25 e) 3t = 45
3 2

EXERCICE 7
Rsoudre les quations :
4 2 8
a) 8 = 4 y b) 10x = 100 c) x=2 d) x=9 e) x = 14
5 3 7

EXERCICE 8
Rsoudre les quations :
a) 3(x 5) + (8x + 2) = 7x 9 b) 2(x 3) (x + 5) = 4 c) 3(x + 1) 2(3x + 3) = 0

EXERCICE 9
Rsoudre les quations :
a) 2x 8(x 4) = 8x + 6 7 + 4x d) 6(3y 5) = (5 y)
b) (x + 5) = 5(1 2x) e) 7x 2x + 2x 9 + 7x = 14x
c) 9x 7x + 5 9x = 6 4x + 8x f ) (18 x) + 7(3x + 5) = (2 4x)

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EXERCICE 10
Rsoudre les quations-produits :
a) (4x 4)(8x + 2) = 0 b) (x 6)(x + 3) = 0 c) (x + 2)(3x + 3) = 0
d) (x 5)(6x 12) = 0 e) (x 3)(x + 1) = 0 f) (x + 6)(3x 4) = 0

EXERCICE 11
Rsoudre les quations-produits :
a) (3x + 9)(x 2) = 0 b) (4x + 6)(7x 49) = 0 c) (3x + 12)(2 + 3 x) = 0
d) (6x + 10)(1 2x) = 0 e) (x 3)(3x x) = 0 f) (x 6)(3x + 4) = 0

EXERCICE 12
Rsoudre les quations-produits :
a) (7x + 4)(1 x) = 0 b) 2(x 6) (6 3x) = 0 c) (3x 15)(11x + 11) = 0
d) 3(x 5)(6x + 12) = 0 e) 4(1 2x) (6x 12) = 0 f) (x + 1)(2x 4) = 0

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la proprit intellectuelle, ne peut tre faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur.
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