Exercices Logarithme Corriges
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1. 1. Vrai-Faux
Fesic 2002, exercice 1
x 1
Soit f la fonction dfinie par f ( x) = , D son ensemble de dfinition et C sa courbe reprsentative.
2 ln( x )
a. On a D = ]0, +[.
b. La courbe C admet une droite asymptote en +.
x
c. Pour tout x D, on a : f ( x) < .
2
1 2
d. Pour tout x D, on a : f '( x) = + .
2 x(ln x)2
Correction
a. Faux : On doit avoir x 1 et x>0 donc D= ]0, 1[]1, + [ .
1 x x
b. Vrai : lim f ( x) = + = + et lim f ( x) = 0 donc y = est asymptote de C.
x + + x + 2 2
x 1
c. Faux : f ( x) < si < 0 , soit ln( x ) > 0 donc quand x >1 x >1.
2 ln( x )
'
1 u' x 2
d. Vrai : Rappelons que = et remarquons que f ( x) = ; nous avons donc
u u 2 ln x
1 1/ x 1 1
f '( x) = 2 2
= + 2 2
.
2 (ln x) 2 x(ln x)
1. 2. Fonction ln, EPF 2006
x
1. On considre la fonction f : x 2
. Montrer que f est dfinie et drivable sur et dterminer la
x + x +1
fonction drive f de f.
ln x
2. On considre la fonction g : x et on dsigne par sa courbe reprsentative dans un
( ln x ) 2
+ ln x + 1
repre orthonormal dunits graphiques 1 cm.
a. Exprimer g en fonction de f et prciser lensemble de dfinition de g.
b. Dterminer la fonction drive g de g (on pourra utiliser la question 1.).
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c. Etudier le signe de g .
d. Dterminer les limites de g en 0 et + .
e. Dresser le tableau des variations de g.
f. Construire la courbe en prcisant la tangente au poiint dabscisse 1.
Correction
1. f est un quotient de fonctions drivables et le dnominateur ne sannule pas, elle est donc continue et
drivable sur .
x2 + x + 1 x ( 2 x + 1 ) x2 + 1
f '( x ) = = .
( ) ( )
2 2
x2 + x + 1 x2 + x + 1
ln x
2. a. g ( x ) = = f ( ln x ) donc, comme f est dfinie sur , g est dfinie sur ] 0 ; + [ .
ln 2 x + ln x + 1
1 1 ln 2 x + 1
b. (f g ) ' = g ' ( f ' g ) . g ' ( x ) = f ' ( ln x ) = .
x
(
x ln 2 x + ln x + 1 )
c. Le signe de g dpend de celui de 1 ln 2 x = ( 1 ln x )( 1 + ln x ) .
x 0 1/e e +
1 ln x + + 0
1 + ln x 0 + +
g(x) 0 + 0
0 1
3
g(x)
1 0
ln x 1 1
d. En + g se comporte comme les termes de plus haut degr en ln, soit = = 0 ; en 0 cest
2
ln x ln x +
pareil car ln x tend vers , donc encore 0 comme limite.
f. Tangente au point dabscisse 1 : y = x 1 .
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1
3. Soit un lment de lintervalle 0 ; .
e
Prouver lexistence dun unique nombre rel a de lintervalle ]1 ; e[ et dun unique nombre rel b de
lintervalle ]e ; + [ tel que h( a) = h(b) = .
Ainsi le couple ( a, b) est solution de (E).
4. On considre la fonction s qui, tout nombre rel a de lintervalle ]1 ; e[ , associe lunique nombre rel b
de lintervalle ]e ; + [ tel que h( a) = h(b) (on ne cherchera pas exprimer s( a) en fonction de a).
Par lecture graphique uniquement et sans justification, rpondre aux questions suivantes :
a. Quelle est la limite de s quand a tend vers 1 par valeurs suprieures ?
b. Quelle est la limite de s quand a tend vers e par valeurs infrieures ?
c. Dterminer les variations de la fonction s. Dresser le tableau de variations de s.
5. Dterminer les couples dentiers distincts solutions de (E).
Correction
ln x ln y
1. (E) : x y = y x ln( x y ) = ln( y x ) y ln x = x ln y
= : pour la premire galit, ln est bijective, x
x y
et y sont strictement positifs ; la deuxime est une proprit de ln, le reste est du calcul.
ln x ln x 1
2. a. lim = 0 ; lim = lim ln x = + = .
x x x 0+ x x 0 + x
1
x ln x
1 ln x ln e 1
b. h '( x) = x 2 = 2
; 1 ln x 0 ln x 1 x e = x0 ; h(e) = = .
x x e e
c. h( x) = 0 ln x = 0 x = 1 .
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1
3. h est continue, monotone strictement croissante de ]1 ; e[ vers 0 ; (voir les variations de h) ; il
e
existe donc un unique rel a tel que h( a) = ; de mme h est continue, monotone strictement
1
dcroissante de ]e ; + [ vers 0 ; (voir les variations de h) ; il existe donc un unique rel b tel que
e
h(b) = (sur chacun des intervalles considrs h est bijective, mme si elle ne lest pas globalement).
4. s(a) = b.
a. Quand a tend vers 1, tend vers 0, donc b tend vers + .
b. Quand a tend vers e infrieurement, tend vers 1/e, donc b tend vers e suprieurement.
c. Lorsque a varie de 1 e, b varie de + e, donc s est dcroissante.
5. Entre 1 et e il ny a que deux entiers : 1 et 2 ; pour a = 1, b = + pour a = 2, b semble valoir 4.
Vrifions en remplaant dans (E) : 24 = 16, 42 = 16 ok !
0 ,5 y
0 ,4 5
0 ,4
0 ,3 5
0 ,3
0 ,2 5
0 ,2
0 ,15
0 ,1
0 ,0 5
x
0
0 a 2 4 6 b 8 10 12
1. 4. Drives et ln
Calculer la drive des fonctions suivantes :
1. f ( x) = ( ln x ) 6 ln x + 5 .
2
x +1
2. f ( x) = 2 x + ln .
x
x + ln x
3. f ( x) = .
x
Correction
1 1 2ln x 6
1. f '( x) = 2 ln x 6 = .
x x x
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x +1
2. f ( x) = 2 x + ln = 2 x + ln( x + 1) ln x
x
1 1 2 x( x + 1) + x x 1 2 x + 2 x 1 1 1
f '( x) = 2 + = = = 2x + 2 = 2 .
x +1 x x x x x( x + 1)
x + ln x 1 ln x
3. f ( x) = = + ,
x x x
1
x ln x 2 x
1 x 1 x 2 x ln x 1 1 2 ln x 1 2ln x x
f '( x) = + = + = + = .
x x4 x x4 x x3 x3
1. 5. Primitives et ln
3+ x
1. Calculer la drive de la fonction f dfinie par f ( x) = ln sur ]0 ; 3[.
3x
4x
2. a. Dterminer toutes les primitives de la fonction h dfinie par : h( x) = .
(3 x + 2)3
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1 x
4. f ( x) = ln :
x +1
1 x 1 ( x + 1) (1 x) 1 x 1 1 + x 2
f ( x) = ln ( u( x) ) avec u( x) = et u '( x) = = = ;
x +1 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)
2
u '( x) ( x + 1) 2 x +1 2 2 2
f '( x) = = = = = = .
u( x) 1 x ( x + 1) 1 x (1 + x)(1 x) (1 + x)( x 1) x 1
x +1
x +1
5. f ( x) = . Soit u(x) = x + 2x, on a : u'(x) = 2x + 2 = 2(x + 1) et
( x + 2 x )3
x +1 1 2( x + 1) 1 u '( x) 1
f ( x) = = = 3 = u '( x) u3 ( x)
( x + 2 x ) 3
2 ( x + 2 x)3
2 u ( x) 2
1
qui est de la forme u '( x) un1( x) avec n 1 = 3, ou n = 2.
2
Les primitives de telles fonctions sont de la forme :
1 un ( x) 1 ( x + 2 x)2 1 1
F( x) = = = (+ constante).
2 n 2 2 4 ( x + 2 x)2
(ln x)2 1 1 ln x ln x
6. a. Drivons u( x) = , u '( x) = .2. .ln x = donc u est bien une primitive de .
2 2 x x x
Toutes les primitives sont alors de la forme u(x)+K.
(ln1)2
b. u(1) + K = 0 K = u(1) = =0.
2
1. 6. Calcul de limites
1
cos( x ) +
1. Soit f ( x) = 3 2 ; calculer lim f ( x) .
x 1 x 1
ex + 3
2. f ( x) = ln ; calculer xlim f ( x) .
x+5 +
x + 3
3. f ( x) = ln ; calculer xlim f ( x) .
ex +
2 ln x + 1
4. lim .
x + 2x
1
5. lim x ln 1 + .
x+ x
Correction
1
cos( x ) +
3 2 = lim f ( x) f (1) = f '(1) f ( x) = cos( x 3 )
1. lim avec .
x1 x 1 x 1 x 1 f (1) = cos( ) = cos( 2 ) = 1
3 3 2
2 2 3
On calcule donc f '( x) = 2 x sin( x ) d'o f '(1) = 2 sin( ) = 2 sin = = 3 .
3 3 3 2
ex + 3 ex + 3
2. lim = e lim ln = ln e = 1 .
x + x+5 x + x+5
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x + 3 ln( x + 3) ln ex = lim ln( x 1 + ) x = lim ln x + ln 1 + x ,
3 3
3. lim ln x = xlim
x + e + x + x x + x
3 ln x ln x
or lim ln 1 + = ln1 = 0 et xlim (ln x x) = lim (2 ln x x) = lim x 2 1 = car lim =0.
x + x + x + x + x x + x
2 ln x + 1 ln x 1 ln x 1
4. lim = lim + lim = 0 car lim = 0 et lim =0
x + 2x x + x x + 2 x x+ x x + 2 x
1
ln 1 +
1 x ln(1 + X )
5. lim x ln 1 + = lim = lim = 1 daprs le cours.
x + x x+ 1 X 0 + X
x
1. 7. Rsolution (in)quations
1. Rsoudre lquation : ln( x2 3 x 2) = ln(2 x 6) .
1
2ln +1
2. Rsoudre linquation : e x > 2e .
ln x ln y = 1
3. Rsoudre dans le systme : .
x + y = 2e
4. Rsoudre linquation : ln(1 + x) ln(1 x) > ln 2 x ln(1 + x) .
5. Rsoudre : 1 + ln(x + 3) = ln(x + 2x 3).
6. Rsoudre : ln(x 4e) < 1 + ln(3x).
Correction
3 17 3 + 17
1. Domaine de dfinition : D1 = ; ; + , par ailleurs 2x 6 > 0 si et seulement
2 2
3 + 17 3 + 17
si x > 3. On a donc Df = D1 ]3 ; + [= ; + car 3, 56 .
2 2
x 2e
= y=
ln x ln y = 1 ln ln e x = ye 1+ e
3. y . Les deux solutions sont positives donc cest
x + y = 2 e x + y = 2e ye + y = 2 e x = 2e
1+ e
bon.
4. Attention lensemble de dfinition : 1 + x > 0, 1 x > 0, 2 x > 0 x > 1, x < 1, x > 0 x ] 0 ; 1 [ .
1+ x 2x 1 + x 2x 1 + 2 x + x2 2 x + 2 x2 1 + 3 x2
On a alors ln > ln >0 >0 >0.
1 x 1+ x 1 x 1+ x (1 x)(1 + x) (1 x)(1 + x)
Le numrateur et le dnominateur sont positifs sur ]0 ; 1[, la solution est donc lintervalle ]0 ; 1[.
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5. 1 + ln(x + 3) = ln(x + 2x 3) : il faut que x > 3 et que x + 2x 3 = (x 1)(x + 3 ) >0 ( lextrieur
des racines) donc D = ] 3 ; + [.
1 + ln(x + 3) = ln(x + 2x 3) ln e + ln(x + 3) = ln(x + 2x 3) ln e(x + 3) = ln(x + 2x 3)
e(x + 3) = x + 2x 3.
ln est une bijection : x + (2 e)x 3(1 + e) = 0 ,
= (2 e) + 12(1 + e) = 4 4e + e + 12 + 12e = e + 8e + 16 = (e + 4).
(2 e) ( e + 4)
x= , x1 = 3 D ou x2 = e + 1 D. S = {e + 1}.
2
6. ln(x 4e) < 1 + ln(3x)
Il faut que x 4e >0 et que 3x > 0 i.e. x >0 et x > 4e c'est--dire (x > 0) et (x > 2e ou x<2e).
D = ]2e ; + [.
ln(x 4e) < 1 + ln(3x) ln(x 4e) < lne + ln(3x) ln(x 4e) < ln(3ex) x 4e < 3ex
(E) x 3ex 4e < 0.
3 e 5e
= 9e + 16e = 25e = (5e), x = ; (E) e < x < 4e. S = ]2e ; 4e[.
2
1. 8. Avec ROC
1. La fonction g est dfinie sur ]0 ; + [ par g( x) = 2 x x 3 ln x + 6 .
En utilisant les variations de g, dterminer son signe suivant les valeurs de x.
2. La fonction numrique f est dfinie sur ]0,+[ par
3 ln x
f ( x) = + x 1 .
x
a. Dmonstration de cours : au choix
ln x ex
- dmontrer que lim = 0 et en dduire que lim = +
x+ x x + x
ou bien
ex ln x
- dmontrer que lim = + et en dduire que lim =0.
x + x x+ x
1. 9. Drivation et encadrement
Le plan P est muni dun repre orthonorm (O ; i , j ) (unit graphique 3 cm).
ln( x + 1)
f ( x) = si x > 0
1. On considre la fonction dfinie sur [0, +[ par : x
f (0) = 1
x2 x3
Calculer g(0) et en dduire que sur + : ln(1 + x) x + .
2 3
x2
b. Par une tude analogue, montrer que si x 0 , alors ln(1 + x) x .
2
1 ln(1 + x) x 1 x
c. tablir que pour tout x strictement positif on a 2
+ .
2 x 2 3
1
En dduire que f est drivable en zro et que f '(0) =
2
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x
3. a. Soit h la fonction dfinie sur [0, +[ par h( x) = ln(1 + x) .
x +1
tudier son sens de variation et en dduire le signe de h sur [0, +[ .
h( x)
b. Montrer que sur [0, +[ , f '( x) = .
x2
c. Dresser le tableau de variation de f en prcisant la limite de f en +
d. On dsigne par C la reprsentation graphique de f. Construire la tangente T C au point d'abscisse 0.
Montrer que C admet une asymptote. Tracer la courbe C.
Correction
ln( x + 1)
f ( x) = si x > 0
1. x ; f est continue en 0 ssi lim f ( x) = f (0) , or le cours donne justement la limite
x 0
f (0) = 1
ln(1 + x)
lim =1.
x 0 x
1 1 x + x + x2 x2 x3 x3
1
2. a. g '( x) =
1+ x
(
1 x + x2 = ) 1+ x
=
1+ x
0 . Donc g est dcroissante et comme
x2 x3
g(0)=0, on a galement g( x) 0 , soit ln(1 + x) x + .
2 3
x2 1 1 1 x + x + x2 x2
b. On prend k( x) = ln(1 + x) x + k '( x) = 1+ x = = 0 et k(0) = 0 donc
2 1+ x 1+ x 1+ x
x2
k( x) 0 , soit ln(1 + x) x .
2
x2 x3 x2 x2 x3 x2 1 x ln(1 + x) x 1
c. x + ln(1 + x) x + ln(1 + x) x + 2
.
2 3 2 2 3 2 2 3 x 2
ln(1 + x)
1
f ( x) f (0) x ln(1 + x) x
f drivable en zro : on calcule lim = lim = lim ; or le rsultat prcdent
x0 x0 x 0 x x 0 x2
1
montre que cette limite est prcisment qui est donc f(0).
2
x 1 1 1 x 1 x
3. a. h( x) = ln(1 + x) , h '( x) = = = 0 ; on a h(0) = 0 et h dcroissante
x +1 ( x + 1)2
x + 1 ( x + 1)2
( x + 1)2
donc h( x) 0 .
1
x ln(1 + x)
1 + x h( x)
b. f '( x) = = 2 0.
x2 x
ln(1 + x) ln x
c. lim f ( x) = lim lim =0.
x x x x x
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1. 10. Fonction+quation, Am. Nord 06/2008, 6 pts
1
Soit f la fonction dfinie sur lintervalle ] 1 ; + [ par f ( x ) = ln x .
ln x
On nomme (C) la courbe reprsentative de f et ( ) la courbe dquation y = ln x dans un repre
orthogonal (O ; i , j ) .
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1. tudier les variations de la fonction f et prciser les limites en 1 et en + .
2. a. Dterminer lim f ( x ) ln x . Interprter graphiquement cette limite.
x +
d. En dduire lexistence dune tangente unique la courbe (C) passant par le point O.
La courbe (C) et la courbe ( ) sont donnes ci-dessus. Tracer cette tangente le plus prcisment possible
sur cette figure.
4. On considre un rel m et lquation f ( x ) = mx dinconnue x.
Par lecture graphique et sans justification, donner, suivant les valeurs du rel m, le nombre de solutions de
cette quation appartenant lintervalle ]1 ; 10].
Correction
1
1. On a f = u , avec u ( x ) = lnx , drivable et qui ne sannule pas sur ] 1 ; + [ . Donc f est drivable sur
u
] 1 ; + [ en tant que diffrence de deux fonctions drivables sur ] 1 ; + [ .
1
1 u u 1 1 1 1
f = u = u 2 = u + 2 avec u ( x ) = . Donc f ( x ) = + x = 1 + .
u u u x x ( ln x )2 x ( ln x )2
1 1
Comme x > 1 , > 0 et 1 + > 0 , cest--dire f ( x ) > 0 . f est strictement croissante sur ] 1 ;+ [ .
x ( ln x )2
1
lim ( ln x ) = 0 + do lim = + , donc lim f ( x ) = (par somme des limites).
x 1
x >1
x 1
x >1
( ln x ) x 1
x >1
1
lim ( ln x ) = + do lim = 0 , donc lim f ( x ) = + (par somme des limites).
x+ x + ( x)
ln x +
1
2. a. lim ( f ( x ) ln x ) = xlim ln x = 0 . Les courbes ( C ) et ( ) sont asymptotes en + .
x+ +
1
b. f ( x ) ln x = ; or, pour x > 1 , ln x > 0 ; donc f ( x ) ln x < 0 , ( C ) est en dessous de ( ) .
ln x
3. a. Ta a pour quation y = f ( a )( x a ) + f ( a ) = f ( a ) x + ( f ( a ) af ( a ) ) ; Ta passe par lorigine du
repre si 0 = f ' ( a ) 0 + f ( a ) af ( a ) f ( a ) af ( a ) = 0 .
1 1 1
b. g ( x ) = 0 quivaut f ( x ) xf ( x ) = 0 ; or f ( x ) = 1+ et f ( x ) = ln x , soit :
x ( ln x )2 ln x
1 1 1
= 0 ln x 1 1 1 ( ln x )3 ln x ( ln x )2 1 .
ln x x 1+ = 0 =0
ln x x ( ln x )2 ln x ( ln x )2 ( ln x )2
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Par consquent les quations g ( x ) = 0 et ( ln x ) ( ln x ) ln x 1 = 0 ont les mmes solutions.
3 2
1
c. u ( t ) = 3t2 2t 1 = ( t 1 )( 3t + 1 ) . u ( t ) 0 pour t appartenant ; [ 1 ; + [ et u ( t ) 0
3
1
pour t appartenant ; 1 .
3
1
x 1 +
3
u ( t ) + 0 0 +
22 +
27
u
2
Avant 1 le maximum de u est ngatif ; aprs 1, u passe de 2 + , on en dduit que la fonction u sannule
une seule fois sur R.
laide de la calculatrice, on trouve a0 6,29 : il nexiste quune seule tangente (C) passant par lorigine
du repre.
4. Par lecture graphique : rsoudre f ( x ) = mx revient chercher lintersection entre (C) et les droites
f ( 10 )
passant par lorigine et de pente m ; on a donc pour 1 x 10 et m0 = :
10
- si m m0 lquation f ( x ) = mx admet une seule solution ;
- si m0 0,187 m f ( a0 ) 0,2 lquation f ( x ) = mx admet deux solutions ;
- si m > f ( a0 ) lquation f ( x ) = mx nadmet aucune solution.
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1. 11. Ln et exp+intgrale Polynsie 09/2008 6 pts
( )
On considre la fonction f dfinie sur R par f ( x ) = ln ex + 2e x .
La courbe (C) reprsentative de la fonction f dans un repre orthogonal est donne ci-dessous.
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Partie A - tude de la fonction f
( )
1. Montrer que, pour tout rel x, f ( x ) = x + ln 1 + 2e2 x .
2. Calculer lim f ( x ) et montrer que la droite (d) d'quation y = x est asymptote (C).
x+
3
4. tudier les variations de la fonction f. Montrer que le minimum de la fonction f est gal ln 2 .
2
5. Tracer les droites (d) et (d) sur la figure.
Partie B - Encadrement d'une intgrale
3
On pose I =
2
f ( x ) x dx .
Correction
Partie A
( )
1. f ( x ) = ln ex + 2e x = ln ex 1 + 2e2 x ( ( ) ) = ln e x
( ) (
+ ln 1 + 2e2 x = x + ln 1 + 2e2 x . )
Remarque : si on met en facteur e x la place de ex , on a f ( x ) = x + ln ( 2 + e ) .
2x
( )
2. lim f ( x ) = lim x + ln 1 + 2e2 x = + + ln ( 1 + 2 0 ) = + ;
x+ x+
( )
lim f ( x ) x = lim ln 1 + 2e2 x = ln ( 1 + 2 0 ) = 0 : la droite (d) d'quation y = x est asymptote (C).
x + x+
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(
3. lim f ( x ) = lim x + ln 2 + e2 x = + + ln ( 2 + 0 ) = + ;
x x
)
x x
( )
lim f ( x ) + x = lim ln 2 + e2 x = ln 2 lim f ( x ) ( x + ln 2 ) = 0 : la droite (d)
x
y = x + ln 2 est
asymptote (C).
ex 2e x 1
4. f ' ( x ) = x x
; f ' ( x ) 0 e x 2e x e2 x 2 2 x ln 2 x ln 2 .
e + 2e 2
ln 2 1 ln 2 1
ln 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1/2
= ln eln 2
1/2
1 1/2
f = ln e 2 + 2 e 2 + 2 eln 2 1/2
= ln 2 + 2 2 = ln 2 21/2 = ln 23/2 .
2
Partie B - Encadrement d'une intgrale
1. I reprsente laire comprise entre (C), la droite (y=x), les droites x=2 et x=3.
( )
2. ln ( 1 + X ) X ln 1 + 2e2 x 2e2 x car 2e2 x > 0 . Par ailleurs on a f ( x ) x I 0 .
3 3 3 3
2 2 x
I=
2
f ( x ) x dx =
2
(
ln 1 + 2e2 x dx ) 2
2e2 x dx =
2
e = e6 + e4 0,015 ; 0,01 est une
2
estimation de I d'amplitude 0,02.
1. 12. Sommes partielles srie harmonique, N. Caldonie 2007
7 points
k= 2 n
k = n + n + 1 + ... + 2n .
1 1 1 1
Soit (un) la suite dfinie sur * par un =
k= n
PARTIE A
3n 2
1. Montrer que pour tout n de * , un+1 un = .
n ( 2n + 2 )( 2n + 1 )
2. En dduire le sens de variation de la suite (un).
3. tablir alors que (un) est une suite convergente.
Lobjectif de la partie B est de dterminer la valeur de la limite de la suite (un).
PARTIE B
1 x
Soit f la fonction dfinie sur lintervalle ]0 ; + [ par : f ( x ) = + ln .
x x +1
1 n+1 1 1
1. a. Justifier pour tout entier naturel n non nul lencadrement :
n+1
n x
dx
n
.
n+1 1 1
b. Vrifier que
n x
dx =
n
f ( n).
1
c. En dduire que pour tout entier naturel n non nul, 0 f ( n ) .
n( n + 1 )
2. On considre la suite (Sn) dfinie sur * par
k= 2 n
k ( k + 1 ) = n ( n + 1 ) + ( n + 1 )( n + 2 ) + ... + 2n ( 2n + 1 ) .
1 1 1 1
Sn =
k= n
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n+1
c. En dduire lgalit Sn = .
n ( 2n + 1 )
d. En utilisant les questions prcdentes, dterminer alors la limite quand n tend vers + de
k= 2 n
f ( k ) = f ( n ) + f ( n + 1 ) + ... + f ( 2n ) .
k= n
1
e. Vrifier que pour tout entier n > 1, f ( n ) + f ( n + 1 ) + ... + f ( 2n ) = un ln 2 + .
n
f. Dterminer la limite de la suite (un).
Correction
k= 2 n
k = n + n + 1 + ... + 2n .
1 1 1 1
un =
k= n
PARTIE A
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1. un+1 un = + ... + + + + + ... + = + do
n + 1 2 n 2 n + 1 2 n +2 n n + 1 2 n 2 n + 1 2 n + 2 n
3n 2
un+1 un = .
n ( 2n + 2 )( 2n + 1 )
2. La suite (un) est dcroissante puisque 3n 2 < 0 .
3. La suite est positive puisque somme de termes positifs ; elle est dcroissante et minore, elle converge
bien.
PARTIE B
1 1 1 1 n+1 1 1
1. a. n x n + 1
n+1 x n n+1
n x
dx
n
.
n+1 1
n+1
n+1
b. dx = [ ln x ] n = ln ( n + 1 ) ln n = ln ;
n x n
1 1 1 n n+1 a b
par ailleurs f ( n ) = ln = ln car ln = ln .
n n n n+1 n b a
1 n+1 1 1
c. Comme
n+1
n x
dx
n
, on a :
1 1 1 1 1 1 1 1
f ( n) f ( n ) 0 0 f ( n ) = .
n+1 n n n+1 n n n + 1 n( n + 1 )
2. a. Comme
1
0 f ( n) ,
n( n + 1 )
1
0 f ( n+1) ,
( n + 1 )( n + 2 )
...,
1
0 f ( 2n ) ,
2n ( 2 n + 1 )
on somme toutes ces ingalits et on obtient :
1 1 1
0 f ( n ) + f ( n + 1 ) + ... + f ( 2n ) + + ... + = Sn .
n ( n + 1 ) ( n + 1 )( n + 2 ) 2n ( 2n + 1 )
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1 1 1
b. On a dj le rsultat au 1.c. : =
n n + 1 n( n + 1 )
k= 2 n
k = n + n + 1 + ... + 2n ;
1 1 1 1
e. un =
k= n
1 n 1 n+1 1 2n
f ( n ) + f ( n + 1 ) + ... + f ( 2n ) = + ln + + ln + ... + + ln
n n + 1 n + 1 n+2 2 n 2n + 1
1 1 1 n n + 1 2n
= + + ... + + ln ...
n n+1 2n n + 1 n + 2 2n + 1
n 2n + 1 1
= un + ln = un ln = un ln 2 + .
2n + 1 n n
Les logarithmes se simplifient car tous les termes du produit lintrieur du crochet sliminent.
f. On sait dj que f ( n ) + f ( n + 1 ) + ... + f ( 2n ) tend vers 0 ; le logaritheme tend vers ln2 donc un tend
vers ln2.
1. 13. Fonction+aire+suite, Liban 2006
7 points
Partie A : tude dune fonction
Soit f la fonction dfinie sur lintervalle [ 0 ; + [ par f(x) = x ln(x +1).
Sa courbe reprsentative (C) dans un repre orthogonal (O ; u, v ) est donne ci-dessous.
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1 x2
2. On pose I =
0 x +1
dx .
x2 c
a. Dterminer trois rels a, b et c tels que, pour tout x 1 , = ax + b + .
x +1 x +1
b. Calculer I.
3. laide dune intgration par parties et du rsultat obtenu la question 2, calculer, en units daires,
laire A de la partie du plan limite par la courbe (C) et les droites dquations x = 0, x =1 et y = 0.
4. Montrer que lquation f(x) = 0,25 admet une seule solution sur lintervalle [0 ; 1]. On note cette
solution. Donner un encadrement de damplitude 102.
Partie B : tude dune suite
1
La suite (un) est dfinie sur par un =
0
xn ln ( x + 1 ) dx .
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1 1 1
1 n+1 ln 2
2. On a ln ( x + 1 ) < ln 2 sur [0 ; 1] donc un =
0
x n ln ( x + 1 ) dx
0
x n ln 2 dx = ln 2
n+1
x =
0 n+1
.
ln 2 ln 2
On a donc bien 0 un . Comme tend vers 0 linfini, la suite converge vers 0.
n+1 n+1
1. 14. Logarithme+ expo+ acc finis
Partie A
Le but de cette partie est d'tudier la fonction f dfinie sur ]0 ; + [ par
2ln x
f ( x) = x + .
x
(C) est la courbe reprsentative de f dans un repre orthonormal (O ; i, j ) (unit graphique : 1 cm).
g(x) 3
g(1) = 1 + 2 2 0 = 3.
b. 3 est un minimum de la fonction g sur ]0 ; + [ donc la fonction g est positive quel que soit x.
1
2ln x ln x ln
ln x X = lim ( X ln X ) = .
2. a. lim f ( x) = lim ( x + ) = lim x + 2 lim = car lim = lim
x 0 + x 0 + x x 0 + x 0 + x x0 + x X + 1 X +
X
2ln x ln x ln x
lim f ( x) = lim ( x + ) = lim x + 2 lim = + car lim =0.
x + x + x x + x + x x+ x
1
2 x 2ln x 1
x x + 2 2ln x g( x)
b. f '( x) = 1 + = = du signe de g(x), cest dire positif !
x x x
f est donc strictement croissante sur ]0 ; + [.
x 0 +
f (x) +
+
f (x)
2ln x
c. lim ( f ( x) x) = lim = 0 + , donc la droite dquation y = x est asymptote la courbe. Lorsque x < 1
x + xx +
la courbe est en dessous de , lorsque x > 1, la courbe est au-dessus.
d. (C) admet en A une tangente de coefficient directeur 1 ssi f '( x A ) = 1 :
g( x A )
f '( x A ) = 1 = 1 x A + 2 2 ln x A = x A 2 2 ln x A = 0 2ln x A = 2 ln x A = 1 x A = e ;
xA
2ln e 2
f ( x A ) = f (e) = e + = e + 3,45 .
e e
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y
15
10
0
0 4 8 12 16
y
0
0 2 4 6
e e ln x 1
3. Il faut calculer
1
( f ( x) x)dx = 2
1 x
dx ; or
x
est la drive de ln x, donc on a quelque chose de la
e e ln x e
1 2 1 1
forme u '.u dont une primitive est
2
u :
1
( f ( x) x)dx = 2
1 x
dx = 2 (ln x)2 = 2 0 = 1 .
2 1 2
4. La fonction f est continue, strictement croissante, sur ]0 ; + [, cest donc une bijection de ]0 ; + [ sur
. Il existe bien une valeur x0 appartenant ]0 ; + [ telle que f(x0) = 0.
1
2ln
1 1
f = + 2 = 1 4 ln 2 < 0 et f (1) = 1 + 2ln1 = 1 > 0 donc 1 x 1 .
0
2 2 1 2 1 2
2
1. 15. Logarithme+primitive
L'objet de ce problme est d'tudier une fonction l'aide d'une fonction auxiliaire et den dterminer une
primitive.
Partie A
x
Soit f la fonction dfinie sur l'intervalle ]1 ; + [ par : f ( x) = 2ln( x + 1) .
x +1
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1. Calculer f(x), tudier son signe et en dduire le tableau de variation de la fonction f.
2. Calculer f(0). Montrer que l'quation f(x) = 0 admet exactement deux solutions dont l'une, que l'on
dsigne par , appartient [0,72 ; 0,71].
3. Donner le signe de f(x), pour x appartenant ]1 ; + [.
Partie B
ln( x + 1)
Soit g la fonction dfinie sur l'ensemble D = ]1 ; 0[ ]0 ; + [ par : g( x) = .
x
1. tude de g aux bornes de son ensemble de dfinition.
a. Calculer les limites de g(x) quand x tend vers 0 par valeurs infrieures et quand x tend vers 0 par valeurs
suprieures.
b. Calculer lim g( x) et lim g( x) .
x 1 x+
x >1
2. Sens de variation de g
a. Calculer g (x) et dduire, l'aide de la partie A, son signe.
1
b. Montrer que g( ) = . En dduire une valeur approche de g( ) en prenant 0,715 .
2 ( + 1)
3. Tableau et reprsentation graphique de g.
a. Dresser le tableau de variation de la fonction g.
b. Reprsenter graphiquement la fonction g dans le plan rapport un repre orthonormal (unit
graphique 2 cm).
4. Calcul dune primitive de g :
ln( x + 1) 1
Soit h la fonction dfinie sur D par : h( x) = .
x x( x + 1)
a. Dterminer des fonctions u et v telles que lon puisse crire h( x) = u '( x).v( x) + u( x).v '( x) et en dduire une
primitive de h.
1 1 1 1
b. Aprs avoir vrifi que = , dterminer une primitive de .
x( x + 1) x x + 1 x( x + 1)
c. Dduire des questions prcdentes, une primitive de g.
Correction
Partie A
x
f ( x) = 2ln( x + 1) , Df = ]1 ; + [.
x +1
x
1. f est drivable comme somme de fonctions drivables : en effet, u : x est drivable sur Df et
x +1
v : x x + 1 = y 2ln y est drivable sur Df.
x +1 x 1 1 2( x + 1) 2 x 1
f '( x) = 2 = = .
( x + 1) x +1 ( x + 1) ( x + 1)
1
2. f '( x) 0 2 x 1 0 x .
2
1
x 1 +
2
f(x) + 0
f(-1/2)
f(x)
Terminale S 23 F. Laroche
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x 2( x + 1)ln( x + 1)
lim f ( x) = lim = car lim X ln X = 0 .
x 1 x 1 x +1 X 0
x >1 x >1
x x
lim 2ln( x + 1) = car lim = 1 et lim 2ln( x + 1) = .
x+ x +1 x + x + 1 x+
1/ 2 1
f (1/ 2) = 2 ln = 1 + 2ln 2 0,39 , f(0) = 0.
1/ 2 2
3. f est continue et strictement croissante sur lintervalle ]1 ; 1/2[ et f(x) change de signe sur cet
intervalle ; il existe donc un nombre de ]1 ; 1/2[ tel que f ( ) = 0 .
f (0,71) 0,027 et f (0,72) 0,025 donc 0,72 < < 0,71 .
Signe de f(x) :
x 1 0 +
f(x) 0 + 0
Partie B
ln( x + 1)
g( x) = , D = ]1 ; 0[ ]0 ; + [ .
x
ln( x + 1) 1 ln( x + 1) 1
1. a. lim g( x) = lim = car lim = 1 et lim = .
x 0 x 0 x x x 0 x x 0 x
x<0 x<0 x <0
ln( x + 1) 1
De mme lim g( x) = lim = + .
x 0 x 0 x x
x >0 x >0
ln( x + 1) x + 1 ln X x +1
b. lim g( x) = et lim g( x) = lim = 0 car lim = 0 et lim =0.
x 1 x + x + ( x + 1) x X + X x + x
1 x
x ln( x + 1) 2 x 2 ln( x + 1)
x + 1 x +1 f ( x)
2. a. g '( x) = 4
= 3
= 3 .
x x x
x 1 0 +
f(x) 0 + 0
x3 +
g(x) + 0
ln( + 1)
b. g( ) = ; or on sait que f ( ) = 0 donc 2 ln( + 1) = 0 ln( + 1) = .
+1 2( + 1)
ln( + 1) 1 1
On dduit que g( ) = = = 2, 455 .
2( + 1) 2 ( + 1)
x 1 0 +
g(x) + 0
g(x) +
0
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5 y
x
0
1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2
5
ln( x + 1) 1 1 1 1
4. a. h( x) = . u = ln( x + 1), u ' = , v ' = , v = h = uv '+ u ' v .
x x( x + 1) x +1 x x
ln( x + 1)
La fonction uv = est une primitive de h.
x
1 1 ( x + 1) x 1 1
b. = = donc la fonction ln( x) ln( x + 1) est une primitive de .
x x +1 x( x + 1) x( x + 1) x( x + 1)
ln( x + 1) 1 ln( x + 1)
c. Une primitive de la fonction g( x) = = h( x) + est + ln x ln( x + 1) .
x x( x + 1) x
1. 16. Logarithme
On considre la fonction f dfinie sur l'intervalle [0 ; + [ par :
1
f ( x) = x ln 1 + si x > 0 et f (0) = 0 .
x
2. Etude de f en 0
1
a. Montrer que x ln 1 + tend vers 0 quand x tend vers 0 par valeurs suprieures. Que peut-on en
x
conclure ?
b. Etudier la drivabilit de f en 0.
c. Prciser la tangente la courbe de f au point O.
3. Donner lquation de la tangente au point dabscisse 1.
4. Donner lallure de (C).
Correction
1
1. a. g est drivable comme somme de fonctions drivables. En effet, ln 1 + est drivable comme
x
2
compose de fonctions drivables, de mme que .
x + 1
2x 2
4
2 2x 3 4x 2 4x 2 ( x + 1 ) + 4 x 2( x 1)
g '( x) = x + = x + = + = = .
1+
1 ( x + 1 ) 2 x + 1 ( x + 1 ) 2
x ( x + 1 ) ( x + 1 ) 2
( x + 1 )2 ( x + 1 )2
x x
b. Le signe de g'(x) est celui de x2 1 = ( x 1)( x + 1) . Comme g' est dfinie sur *+ , on a :
si 0 < x < 1, g'(x) est ngatif ;
si x > 1, g'(x) est positif.
1
= 0 donc lim ln 1 + = ln1 = 0 et lim
2 1 1 2
2. lim g( x) = lim ln 1 + xlim ; lim =0
x+ x + x + x + 1 x + x x + x x + x +1
donc lim g( x) = 0
x +
1 2 1 1
3. lim g( x) = lim ln 1 + lim ; lim = + donc lim ln 1 + = lim ln X = + avec
x 0 x 0 x x 0 x + 1 x 0 x x0 x X +
1 2
X = 1+ et lim = 2 donc lim g( x) = + .
x x 0 x + 1 x 0
4. a.
x 0 1 +
g'(x) 0 +
+ 0 0
g(x) 0,3
1 2
g(1) = ln(1 + ) = ln 2 1 0,3 .
1 1 + 1
Terminale S 26 F. Laroche
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4. b. La fonction est continue et drivable sur ]0 ; 1], de plus elle est strictement dcroissante sur cet
intervalle en changeant de signe, donc il existe une valeur > 0 telle que g( ) = 0 .
On a g(0, 5) 0,009438 et g(0,6) 0,141452 donc g(0, 5) > 0 = g( ) > g(0,6) et comme g est
dcroissante,
0,5 < < 0,6.
5. Pour 0 < x < , alors g(x) est positif ; pour x > alors g(x) est ngatif.
1 2 3 4
-1
1
ln 1 + 2
1
1. a. lim xf ( x) = lim x ln 1 + 2 = lim x = lim ln(1 + X ) = 1 (cours).
x + x + x x+ 1 X 0 X
x
1
b. lim xf ( x) = 1 lim f ( x) = lim =0.
x+ x + x + x
2x 2
4 3
1 1 1 1 2
2. f ( x) = x ln(1 + ) , f '( x) = 1.ln(1 + ) + x. x = ln(1 + ) + x. x = ln(1 + ) = g( x) .
x x 1 x x + 1 x x + 1
1+
x x
x 0 +
f '(x) + 0
f(x) f( )
0
1 x + 1
3. a. lim x ln 1 + = lim x ln = lim ( x ln( x + 1) x ln x ) ,
x0 x x 0 x x 0
x >0 x >0 x >0
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1
2 ln
2 ln x 2 ln x 1 x = lim 2 ln X = 0 avec X = 1 .
lim x ln x = lim = lim + = lim
x0 x 0 1 x 0 1 x 0 1 X + X x
x >0 x >0 x >0 x >0
x x x
1
Conclusion : lim x ln 1 + = 0 .
x 0 x
x >0
Remarque :
On a vu dans la partie A que g'(1) = 0, or g'(1) = f "(1), c'est--dire la drive seconde de f en 1 : la courbe
admet un point d'inflexion pour x = 1.
1. 17. Logarithme+ asymptote+primitives
x +1
Soit la fonction dfinie sur l'intervalle I = ]4 ; + [ par : f ( x) = 2 x + 5 + 3 ln et (C) sa courbe
x4
reprsentative dans le repre orthonormal (O ; i, j ) , unit graphique : 1 cm.
1. tude de f
a. tudier les limites de la fonction f aux bornes de I.
b. Montrer que sur I, f (x) est strictement ngatif et dresser le tableau de variation de f.
c. Montrer que la droite (D) d'quation y = 2x + 5 est une asymptote (C). Prciser la position de (C)
par rapport (D).
2. Tracer la courbe (C) et la droite (D) dans le repre (O ; i, j ) .
Terminale S 28 F. Laroche
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9
3. Dterminer les coordonnes du point de (C) o la tangente a un coefficient directeur gal .
2
Donner une quation de et la tracer dans le repre (O ; i, j ) .
4. Calcul d'aire
a. Dterminer, l'aide d'une intgration par parties, les primitives sur ]0 ; + [ de la fonction x ln x.
b. Montrer que la fonction G : x (x + 1) ln (x + 1) x est une primitive de la fonction g : x ln (x + 1)
sur I.
c. Montrer que la fonction H : x (x 4) ln (x 4) x est une primitive de la fonction h : x ln (x 4)
sur I.
d. Dduire des questions prcdentes le calcul de l'aire A du domaine plan dlimit par la courbe (C), la
droite (D) et les droites d'quations respectives x = 5 et x = 6.
On donnera la valeur exacte de A puis une valeur approche 10 2 prs.
5. Intersection de (C) et de l'axe des abscisses
a. Montrer que l'quation f(x) = 0 admet dans I une unique solution, note x0.
b. Dterminer graphiquement un encadrement de x0 d'amplitude 0,5.
c. l'aide de la calculatrice, dterminer un encadrement de x0 d'amplitude 10 2. On explicitera la mthode
employe.
Correction
x +1 x +1
1. a. Lorsque x tend vers 4, tend vers + ainsi que ln donc f tend vers + .
x4 x4
x +1 x +1
Lorsque x tend vers + , tend vers 1, ln tend vers 0, 2x+5 tend vers donc f tend vers
x4 x4
.
x + 1 1 1 2( x + 1)( x 4) 15
b. f '( x) = 2 + 3 ln = 2 + 3 [ ln( x + 1) ln( x 4) ] = 2 + 3 = .
x 4 x + 1 x 4 ( x + 1)( x 4)
Lorsque x > 4, x+1 est positif, x4 est positif donc le numrateur est ngatif et le dnominateur est
positif. Moralit, f est ngative.
x +1
c. f ( x) (2 x + 5) = ln
; nous avons dit que ce terme tend vers 0 lorsque x tend vers + donc la droite
x4
x +1
(D) est une asymptote (C). Lorsque x > 4, > 0 donc (C) est au-dessus de (D).
x4
1 1
2. a. On pose u = ln x, v ' = 1 u ' =
x
, v = x do une primitive de ln x est x ln x
x
xdx = x ln x x .
1
b. On drive G : G '( x) = 1.ln( x + 1) + ( x + 1) 1 = ln( x + 1) .
x +1
c. Exactement pareil.
6 6
c. On cherche A =
5
f ( x) ( 2 x + 5)dx =
5
ln( x + 1) ln(4 x)dx = [G(6) G(5)] [ H(6) H(5)] ;
G(6) G(5) = 7 ln 7 6 6 ln 6 + 5 = 7 ln 7 6 ln 6 1 ,
H(6) H(5) = 2ln 2 6 1ln1 + 5 = 2ln 2 1 ,
et le rsultat A = 7 ln 7 6 ln 6 2ln 2 1, 48 U .
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Soit la fonction f dfinie sur ] 0 ; + [ par : f ( x) = ax + (bx + c)ln x avec a, b et c des rels. La courbe (C) de f
est donne ci-dessous.
1 2x = 0 1
4. a. (1 2 x)ln x = 0 x = ou x = 1 : la courbe coupe la droite en ces deux points.
ln x = 0 2
1
b. g( x) x = (1 2 x)ln x est positif sur ; 1 : C au-dessus de ; sinon C est en dessous de .
2
1. 19. Une fonction assez simple
On considre la fonction f dfinie sur *+ par :
ln x + xe
f ( x) =
x
On note (C) la courbe reprsentative de f dans un repre (O ; u, v ) , unit graphique 2 cm.
Partie A : Etude dune fonction auxiliaire
On considre la fonction g dfinie sur *+ par : g(x) = 2ln x xe + 1.
1. Dterminer les limites de g en 0 et en + .
2. Etudier le sens de variation de g.
3. Montrer que dans [0,5 ; 1] lquation g(x) = 0 admet une solution unique dont on dterminera une
valeur approche 102 prs.
4. En dduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x.
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lim g( x) = lim ( 2ln x xe + 1 ) = 2 lim ln x e lim x + 1 = + .
x 0 x 0 x 0 x 0
1 2 ex
2. g '( x) = 2 e = du signe de 2 ex ; 2 ex > 0 x < 2/e ce qui est impossible puisque x
x x
est positif. La fonction g est donc ngative quel que soit x positif. Donc la fonction g est strictement
dcroissante sur *+.
3. g(0,5) 1,027 et g(1) 1,718 ( la calculatrice). La fonction g est continue, strictement dcroissante,
et change de signe sur lintervalle [0,5 ; 1] donc il existe une valeur unique de cet intervalle telle que
g( ) = 0. A la calculatrice : 0,67 .
4. On en dduit que, quel que soit x < on a g(x) positif, et x > , g(x) ngatif.
ln x + xe ln x e ln x 1 ln x e
B. 1. lim f ( x) = lim = lim + lim = 0 car lim lim lim = 0 et lim = 0 .
x + x + x x + x x + x x + x x + x x + x x + x
ln x ln x
x +e +e
ln x + xe x
lim f ( x) = lim = lim = lim x = .
x0 x 0 x x0 x x0 x
x>0 x >0 x>0 x >0
|| 0
Courbe de g
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5
3
a
2
1 2
-1
-2
-3
-4
-5
Courbe de f
1. 20. Logarithmes
7 points
Partie A
On considre la fonction g dfinie sur ]0 ; + [ par g ( x ) = 2 x2 1 + ln x .
Partie C (version 1)
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1 1
1. Vrifier que la fonction F dfinie sur ]0 ; + [ par F ( x ) = x2 + x ( ln x ) est une primitive de f.
2
2 4
e
2. Calculer lintgrale I =
1
f ( x ) dx (on donnera la valeur exacte).
3. a. Hachurer sur le graphique la partie E du plan limite par la courbe C, laxe des abscisses et les droites
dquations x =1 et x = e.
b. Dduire de la question 2. de la partie C. la valeur exacte de laire S de E en cm2, puis en donner la valeur
arrondie en cm2, au mm2 prs.
Partie C (version 2)
1. Dmontrer quil existe une unique tangente C parallle , prciser les coordonnes du point de
contact J et lquation de cette tangente T. Tracer T dans le repre prcdent.
2. Soit x un rel suprieur ou gal 1. M et N sont les points dabscisse x situs respectivement sur C et sur
.
a. Prciser, en fonction de x, la valeur de la distance MN.
1 ln x
b. Etudier sur [1 ; + [ les variations de la fonction h dfinie sur [1 ; + [ par h ( x ) = .
2 x
c. Dduire des questions prcdentes que la distance MN est maximale lorsque M est en J et prciser la
valeur de cette distance maximale.
Correction
Partie A
1 1 4 x2 ( 1 2 x )( 1 + 2 x )
1. g ( x ) = 2 x2 1 + ln x , g ' ( x ) = 4 x +
= = . Sur ]0 ; + [ seul le terme 1 2x
x x x
change de signe : positif avant 1/2, ngatif aprs 1/2.
2.
x 0 1/2 +
g(x) +
3
ln 2
2
g(x)
3 1 3
3. Le maximum de g est ln 2 donc g ( x ) g = ln 2 < 0 .
2 2 2
Partie B
1 ln x ln x 1 1
1. a. f ( x ) = x + 1 : = ln x ; or en 0 ln x tend vers et tend vers + . Conclusion, f
2 x x x x
tend vers + quand x tend vers 0 ; la droite x = 0 est asymptote de C.
ln x
b. On sait que tend vers 0 quand x tend vers + donc f tend vers car x + 1 tend vers .
x
1 ln x 1 ln x
c. f ( x ) ( x + 1 ) = x + 1 + x 1 =
x +
0 donc la droite y =x+1 est asymptote la
2 x 2 x
courbe C.
1 ln x
d. Lorsque x > 1 , < 0 car ln x > 0 . Donc sur [ 1 ; + [ C est au-dessus de ; sur ] 0 ; 1 ] C est en
2 x
dessous de .
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1
x ln x
1 x 2 x2 1 + ln x g ( x )
2. a. b. c. f ' ( x ) = 1 = = . Donc f est ngative et f dcroissante.
2 x2 2 x2 2 x2
x 0 1 +
f(x)
+
f(x) 0
d. f(1) = 0 : lorsque x est infrieur 1, f ( x ) > f ( 1 ) = 0 car f est dcroissante. Lorsque x est suprieur 1,
f ( x ) < f (1) = 0 .
3. 10 y
x
0
0 1 2 3 4 5 6
-2
-4
-6
Partie C (version 1)
( 2 x ) + 1 2 ln x = x + 1
1 1 1 1 ln x
1. F ' ( x ) = = f ( x ) : F est une primitive de f.
2 4 x 2 x
e
1 1 2 1 1 2 1 3
2. I =
1
f ( x ) dx = F ( e ) F ( 1 ) = e2 + e ( ln e ) 12 + 1 ( ln1 ) = e2 + e 1,726 .
2 4 2 4 2 4
3. b. Lunit daire est 1 cm 2 cm = 2 cm 2 ; on prend la valeur absolue de lintgrale multiplie par lunit
3
daire, ce qui nous fait e2 2e + , soit environ 3,45 cm2 au mm2 prs.
2
Partie C (version 2)
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1. Pour avoir une tangente parallle , il faut trouver x tel que f ' ( x ) = 1 , soit
2
2 x 1 + ln x 1
2
= 1 ln x = 1 x = e . Lordonne est alors f ( e ) = e + 1 ; lquation de T est
2x 2e
1 1
y = x + e e + 1 = x + 1 .
2e 2e
1 ln x
2. a. Comme C est en dessous de , on a MN = ( x + 1 ) f ( x ) = = h( x ) .
2 x
1 1 ln x
b. h ' ( x ) = qui change de signe en x = e ; la distance MN est maximale lorsque M est en J et cette
2 x2
ln e 1
distance vaut h ( e ) = = .
2e 2e
1. 21. Ln+second degr+intgrale, Antilles 2001
Le plan est rapport un repre orthonormal (O ; i , j ) . On considre la fonction f, dfinie sur lintervalle
]0 ; + [ par :
f ( x ) = 3 ln x + 2 ( ln x ) .
2
a. Calculer I1 .
3
5 2 5
b. Montrer que I2 = e .
4 e
3
e2
c. Calculer I =
e
1
f ( x ) dx . En dduire laire, en units daire, de lensemble des points M(x ; y) du plan
3
1
tels que x e 2 et f ( x ) y 0 .
e
Correction
Partie A f ( x ) = 3 ln x + 2 ( ln x ) .
2
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3
1. a. f ( x ) = 3 ln x + 2 ( ln x ) = 0 : on pose
2
X = ln x do 3 X + 2 X 2 = 0 X1 = 1, X2 = do
2
3
1
x=e ou x = e2 .
3 3
b. 3 X + 2 X 2 > 0 X = ln x ] ; 1 [ ; + x 0 ; e1 e 2 ; + .
2
2. a. Toujours avec X = ln x , lorsque x tend vers 0, X tend vers donc 3 X + 2 X 2 se comporte comme
2X 2 qui tend vers + ; lorsque x tend vers + , X tend vers + donc 3 X + 2 X 2 se comporte comme
2X 2 qui tend vers + .
1 1 1 + 4ln x
b. f ' ( x ) = + 2 2 ln x = .
x x x
1
c. f est croissante lorsque 4ln x 1 > 0 ln x >
1
4
( ) 1 1
x > e 4 . f e1/ 4 = 3 + 2 =
4 16
25
8
.
x 0 1 +
e4
Signe de f'(x) 0 +
+ +
Variation de f
25
8
5
5 1 + 4
25 24 10 + 25
3. f e 4
5
= 3 + 2
4 16
=
8
9
8
5
= ; f '
4
=
e5/4 ( )
4 = 4e5 / 4 ; y = 4e5 / 4 x e5 / 4 9 .
8
4.
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Partie B
1. Restitution organise des connaissances : on fait une intgration par parties en posant u ' = 1 et v = ln x
1
do on tire ln xdx = x ln x x dx = x ln x 1dx = x ln x x .
x
3 3
e2 e2
2. On pose I1 =
e 1
ln xdx et I2 =
e
1 ( ln x )2 dx .
3
e2 3 3 3
e3 /2 3 2 1 1 1 2
a. I1 =
e 1
ln xdx = [ x ln x x ] 1/ e = e 2
2
e ( 1 ) + = e 2 + .
e e 2 e
3
e2 1
e ( ln x )2 dx : intgration par parties en posant u ' = 1 et v = ( ln x ) , soit u = x , v ' = 2 ln x , soit
2
b. I2 = 1
x
3 3
3 3 3 3
e2 e3 / 2 e2 9 1 9 1 4 5 5
e ( ln x ) dx = x ( ln x )
e
2 2
I2 = 2ln xdx = e 2 2 I1 = e 2 e 2 = e 2 .
1 1/ e 1
4 e 4 e e 4 e
3
e2 3 1 3
3 1 2 2 5 2 5
3 3 3
9
( ) 2
c. I = 3 ln x + 2 ln x dx = 3 e 2 I + 2 I = 3 e 2 +
1 2 e + + 2 e = e 2 .
1
e
e 2
e 4
e e
e
3
1
Comme on a pu le remarquer les bornes x e 2 correspondent prcisment aux valeurs de x pour
e
lesquelles f sannule. La valeur de I est ngative car f est ngative sur cet intervalle ; on a donc laire, en
3
9
units daire, gale I = e 2 + 7,8 .
e
1. 22. Ln et calculatrice, N. Caledonie 2005
6 points
Le plan est rapport un repre orthonormal (O ; i , j ) .
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b. laide de la calculatrice determiner une valeur approche par dfaut 102 prs de la plus grande
solution de lquation f (x) = 0.
1 3
x 1,1x2 2, 2 x + 2, 2( x + 1)ln( x + 1) .
5. Soit F la fonction dfinie sur ]1 ; + [ par F( x) =
3
a. Dmontrer que F est une primitive de f sur ]1 ; +[.
b. Interprter graphiquement lintgrale
0
f ( x)dx
c. Calculer
0
f ( x)dx et exprimer le rsultat sous la forme b 3 + c 2 (b et c rels).
Correction
f sur ]1 ; + [ par : f ( x) = x2 2,2 x + 2,2 ln( x + 1) .
1.
2. a. f semble croissante.
b. Il semble ny avoir quune solution lquation f (x) = 0, mais cest douteux.
2, 2 2 x2 + 2 x 2, 2 x 2, 2 + 2, 2 2 x2 0, 2 x x(2 x 0, 2)
3. a. f '( x) = 2 x 2, 2 + = = = ; on a deux racines, 0 et
x +1 x +1 x +1 x +1
0,1 ; le signe du trinme donne f croissante avant 0,
dcroissante entre 0 et 0,1 puis de nouveau croissante.
x 1 0 0,1 +
b. En 1, ln( x + 1) tend vers de mme que f ; en +
f + 0 0
les croissances compares donnent le terme x2 gagnant et
f tend vers + . 0 +
c. f sannule donc deux fois : en 0 videmment puis une
deuxime fois aprs 0,1 puisque f est croissante entre 0,1 et f
+ et passe dun nombre ngatif des valeurs positives. 0,0003
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d. Evidemment non
4. a. Le minimum est aux environs de 0,0003, et on peut prendre f (0, 2) 0, 0011 en positif.
b. On a 0,1517 , soit 0,15 102 prs.
1 3
5. F( x) = x 1,1x2 2, 2 x + 2, 2( x + 1)ln( x + 1) .
3
a. On drive F :
1 1
F '( x) = .3 x2 1,1.2 x 2, 2 + 2, 2 1. ln( x + 1) + ( x + 1) = x2 2, 2 x 2, 2 + 2, 2 ln( x + 1) + 2, 2 = f ( x) .
3 x + 1
b.
0
f ( x)dx reprsente laire algbrique (ici ngative) comprise entre la courbe de f, les droites x = 0 et
x = .
1
c.
0
f ( x)dx = F( ) F(0) = 3 1,1 2 2, 2 + 2, 2( + 1)ln( + 1) ; comme f ( ) = 0 , on a
3
2 2, 2 + 2, 2 ln( + 1) = 0 2, 2 ln( + 1) = 2, 2 2 ,
soit
0
1
( 2
)
f ( x)dx = 3 1,1 2 2, 2 + ( + 1) 2, 2 2 = 3 + 0,1 2 .
3 3
Terminale S 40 F. Laroche
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