Synthese-1 2

LYCEE IBN-ALHAITHEM BEN GARDENE PROF : NOBBIGH Dhaou
DEVOIR DE SYNTHESE N°01

MATHEMATIQUES 4ème MATHS 1 A S : 2015-2016 *** DUREE : 3heures
Le sujet comporte 4 pages
C
EXERCICE 1 5 points
Dans la figure ci-contre :

 ABC est un triangle équilatéral de centre O, tel que K I
    π O
 AB, AC    2π  .
  3
 I, J et K sont les milieux respectifs de  BC  ,  AB et  AC  . A B
J
 O  S AB  O  .
O’
1) Montrer que BOAO’ est un losange de centre J et que  BO'    BC  .
2) a) Montrer qu’il existe un seul déplacement φ vérifiant φ  B   C et φ  O   O .
b) Préciser l’angle de φ . En déduire que φ est une rotation dont on précisera le centre.
3) Soit g  t CB
  φ .
a) Vérifier que φ  S AI   S AB .

b) En déduire que g est une rotation dont on précisera l’angle et le centre.
4) Soit ψ l’antidéplacement tel que ψ  B   C et ψ  O'   O
a) Monter que ψ est une symétrie glissante d’axe  IJ  .

b) Déterminer S IJ   B  . En déduire le vecteur de u de ψ .
5) Soit Ω l’intersection de  BK  et  IJ  . On pose h  SΩ  ψ
a) Déterminer h  J  . En déduire que h est une symétrie orthogonale.
b) Vérifier que SΩ  S BK   S IJ . En déduire que : h  S BK   t JI

c) Déterminer l’axe de h.
EXERCICE 2 3 points
 
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O, e1 , e 2 . On appelle g l’application du
plan dans lui même qui à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ tel que z  iz  1  i .
1) Montrer que g est une isométrie.
2) a) Montrer que g n’admet pas des points fixes.
b) En déduire que g est une symétrie glissante.
3) On donne les points A, B, C et D d’affixes respectives z A  1 , zB  1  i , zC  1  2i
et zD  2  2i
a) Déterminer g  A  et  g  g   O  .
b) Caractériser alors g.
EXERCICE 3 6 points
2x  x 2
Soit f la fonction définie sur  0, 2 par f  x   .
2x

On désigne par C sa courbe dans un repère orthonormé O, i, j  
1) a) Etudier la dérivabilité de f à droite en 0. Interpréter graphiquement le résultat.
b) Monter que f est dérivable sur 0, 2 et que pour tout x  0, 2 , on a :
1
f   x 
 2  x 2x  x2
c) Dresser le tableau des variations de f.
d) Monter que f réalise une bijection de  0, 2 sur  0,  .
On note g sa fonction réciproque.
e) Montrer que g est dérivable à droite en 0.
2) a) Déterminer une équation de la tangente T à C au point d’abscisse 1.
b) Tracer dans le même repère C , T et C’ la courbe de g.
2x2
c) Montrer que pour x   0,  , on a : g  x   .
x2  1
4
On admet dans la suite que g est dérivable sur  3, 4  et que pour tout x  3, 4 , on a : g'  x   .
25
1
3) Montrer que l’équation g  x   x admet dans 3, 4 une solution unique α .
2
 α 
 U0   , 2 
4) On considère la suite U définie sur IN par  2 
U
 n  1  g  2U n 
α
a) Montrer que pour tout n  IN , on a :  Un  2 .
2
α 8 α
b) Montrer que Un 1   Un 
2 25 2
c) En déduire lim Un .
n 
EXERCICE 4 6 points
Dans la figure ci-jointe :

 π π
 C est la courbe d’une fonction f , continue et dérivable sur   ,  dans un repère orthonormé.
 2 4
 π   π
 La demi tangente à C au point A   , 0  passe par le point B  0,  .
 2   2
π
 La droite Δ : x  est une asymptote verticale à C.
4
1) Par lecture graphique :
f  x
a) Déterminer lim f  x  et lim .
π  π
 π
x x    x 
4  2 2
 π π
b) Montrer que f réalise une bijection de   ,  sur un intervalle J que l’on précisera.
 2 4
On note g sa fonction réciproque.
c) Justifier la dérivabilité de g sur J.
d) Tracer C’ dans le même repère.
e) Dresser le tableau des variations de g.
 π π 1
2) Dans la suite de l’exercice, on admet que pour tout réel x    ,  , on a : f  x   .
 2 4 1  tan x
 π π 1  tan 2 x
a) Montrer que pour x    ,  , on a : f '  x   .
 2 4  1 tanx  2
1
b) Montrer que pour tout x  0 , g  x   2
2x  2x  1
1 1
3) Soient h et k les fonctions définies sur 4,  par h(x)   et k  gο h .
2 x
1
a) Vérifier que si x  4,  alors 0  h  x   .
2
b) Montrer que k est dérivable sur 4,  et que pour tout x  4,  on a :
1
k ' x 
2x x  2  h(x)   2h(x)  1 
2
 
1  π π
c) Calculer que g   et montrer que k réalise une bijection de 4,  sur   ,   .
2  2 4
2
 π π  1  tan x 
d) Montrer que pour tout x    ,   , on a : k 1  x   4   .
 2 4  1  tan x 
Nom et prénom : …………………………………………………………4ème MATHS N° …………
C
π
Δ:x
4
 π
B  0, 
 2

j

 π  O i
A  ,0
 2 

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Dans la figure ci-contre :

a) Vérifier que φ  S AI   S AB .

Dans la figure ci-jointe :

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