Chap4 PDF
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noeuds K :
K
= {a
1
, . . . , a
N
un ensemble
de noeuds de K. Soit P un espace de polyn omes de dimension nie. On dit que le triplet (K,
K
, P) est un el ement
ni de Lagrange si
K
est P-unisolvant, cest ` a dire si pour tout (
1
, . . . ,
N
) IR
N
. Pour i = 1, . . . , N
K
= {a
1
, a
2
}, et P = P
1
(ensemble des polyn omes de degr e inf erieur ou egal ` a 1). Le triplet (K,
K
, P) est
unisolvant sil existe une unique fonction f de P telle que :
_
f(a
1
) =
1
f(a
2
) =
2
Or toute fonction f de P sexprime sous la forme f(x) = x + et le syst` eme
_
_
_
a
1
+ =
1
a
2
+ =
2
d etermine et de mani` ere unique.
De m eme si on consid` ere le cas d = 2. On prend comme el ement K un triangle et comme noeuds les trois sommets,
a
1
, a
2
, a
3
du triangle. Soit P = P
1
= {f : IR IR; f(x) = x
1
+ x
2
+ } lensemble des fonctions afnes.
Alors le triplet (K,
K
, P) est un el ement ni de Lagrange car f P est enti` erement d etermin ee par f(a
1
), f(a
2
)
et f(a
3
).
136
4.1. ESPACE DAPPROXIMATION CHAPITRE 4. EL
EM
1
a
1
a
2
a
3
2
a
1
a
2
a
3
3
FIGURE 4.1 fonctions de base locales pour l el ement ni de Lagrange P
1
en dimension 2
a1 a2
x
f(x)
FIGURE 4.2 Interpol ee P1 sur [a
1
, a
2
] (en trait pointill e) dune fonction r eguli` ere (en trait continu)
D enition 4.2 (Fonctions de base locales) Si (K,
K
, P) est un el ement ni de Lagrange, alors toute fonction f
de P peut s ecrire :
f =
N
i=1
f(a
i
)f
i
avec f
i
P et f
i
(a
j
) =
ij
. Les fonctions f
i
sont appel ees fonctions de base locales.
Pour l el ement ni de Lagrange P
1
en dimension 2 consid er e plus haut, les fonctions de base locales sont d ecrites
sur la gure 4.1
D enition 4.3 (Interpol ee) Soit (K,
K
, P) un el ement ni de Lagrange, et soit v C(K, IR). Linterpol ee de v
est la fonction v P d enie par :
v =
N
i=1
v(a
i
)f
i
On montre sur la gure 4.2 un exemple dinterpol ee pour l el ement ni de Lagrange P
1
en dimension 1. L etude
de v v va nous permettre d etablir une majoration de lerreur de consistance d(u, H
N
).
Remarque 4.4 Pour que le triplet (K,
K
, P) soit un el ement ni de Lagrange, ilfaut, mais il ne suft pas, que
dimP = card
K
. Par exemple si P = P
1
et quon prend comme noeuds du triangle deux sommets et le milieu
de lar ete joignant les deux sommets, (voir gure 4.3), (K,
K
, P) nest pas un el ement ni de Lagrange.
Proposition 4.5 (Crit` ere de d etermination) Soit (K, , P) un triplet constitu e dun el ement, dun ensemble de
noeuds et dun espace de polyn omes, tel que :
dimP = card = N
(4.1)
Analyse num erique des EDP, M1 137 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.1. ESPACE DAPPROXIMATION CHAPITRE 4. EL
EM
}f
i
P f
i
(a
j
) =
ij
(4.3)
alors (K, , P) est un el ement ni de Lagrange.
D emonstration : Soit :
: P IR
N
f (f(a
i
))
t
i=1,N
.
Lapplication est lin eaire de P dans IR
N
, et, par hypoth` ese card s = dimP. Donc est une application
lin eaire continue de P dans IR
N
) = N
avec dimP = N
) et P = {f : K IR; f F
P} (voir gure 4.4). Alors le triplet (K, , P) est un
el ement ni de Lagrange.
K
K
(x, y)
a
3
F
a
1
a
2
( x, y)
a
1
= F( a
1
)
a
3
= F( a
3
)
a
2
= F( a
2
)
FIGURE 4.4 Transformation F
Analyse num erique des EDP, M1 138 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.1. ESPACE DAPPROXIMATION CHAPITRE 4. EL
EM
), et soit (
1
, . . . ,
N
) IR
N
.
Or par hypoth` ese, (
,
P) est unisolvant. Donc il existe une unique fonction
f
P telle que
f( a
i
) =
i
, i = 1, . . . , N
,
(o` u ( a
i
)
i=1,...,N
.
Soit h = f g on a donc :
h(a
i
) = 0 i = 1 . . . N
.
On a donc h F( a
i
) = h(a
i
) = 0. Or h F
P, et comme (
,
P) est unisolvant, on en d eduit que h F = 0.
Comme, pour tout x K, on a h(x) = h F F
1
(x) = h F(F
1
(x)) = 0, on en conclut que h = 0.
D enition 4.7 (El ements afne- equivalents) . Sous les hypoth` eses de la proposition 4.6, si la bijection F est
afne, on dit que les el ements nis (
K,
,
P) et (K, , P) sont afne equivalents.
Remarque 4.8 Soient (
K,
,
P) et (K, , P) deux el ements nis affne equivalents. Si les fonctions de base
locales de (
K,
,
P). (resp. de (K, , P)) sont afnes, alors celles de K (resp.
K) le sont aussi, et on a :
_
_
_
f
i
= f
i
F,
f
i
=
f
i
F
1
,
i = 1, . . . , card
La preuve de cette remarque fait lobjet de lexercice 55.
Proposition 4.9 (Interpolation) Sous les hypoth` eses de la proposition 4.10 page 140, soient
K
et
K
les
op erateurs dinterpolation respectifs sur
K et K, voir d enition 4.3 page 137. Soient v C(K, IR),
K
v et
K
v les interpol ees respectives de v sur (
K,
P) et (K, P), alors on a :
K
v F =
K
(v F)
D emonstration : Remarquons tout dabord que
K
v F et
K
(v F) sont toutes deux des fonctions d enies de
K ` a valeurs dans IR, voir gure 4.5. Remarquons ensuite que, par d enition de linterpol ee,
K
v P. Comme
K
IR
K
F
Kv
K
v
F Kv
FIGURE 4.5 Op erateurs dinterpolation
K
et
K
Analyse num erique des EDP, M1 139 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.1. ESPACE DAPPROXIMATION CHAPITRE 4. EL
EM
K
v F
P
On a aussi, par d enition de linterpol ee :
K
(v F)
P. On en d eduit que
K
v F et
K
(v F) sont toutes
deux des fonctions de
P. Comme l el ement (
K,
P,
) est unisolvant (car cest un el ement ni de Lagrange), toute
fonction de
P est uniquement d etermin ee par ses valeurs aux noeuds de
. Pour montrer l egalit e de
K
v F et
K
(v F), il suft donc de montrer que :
K
(v F)( a
i
) =
K
v F( a
i
), i = 1, . . . , N
,
o` u N
= card
. D ecomposons
K
(v F) sur les fonctions de base locales (
f
j
), j = 1, . . . , N
. On obtient :
K
(v F)( a
i
) =
N
j=1
v F( a
j
)
f
j
( a
i
).
On a donc :
K
(v F)( a
i
) = v
_
_
N
j=1
F( a
j
)
f
j
_
_
( a
i
) = v F( a
i
) = v(a
i
).
Mais on a aussi :
K
v F( a
i
) =
K
v(F( a
i
)) =
K
v(a
i
) = v(a
i
).
Do` u l egalit e.
4.1.2 Construction de H
N
et conformit e
Nous allons consid erer deux cas : le cas o` u lespace H est lespace H
1
tout entier, et le cas o` u lespace H est
lespace H
1
0
Cas H = H
1
()
Placons-nous ici dans le cas o` u H = H
1
(), o` u IR
d
est un ouvert born e polygonal (si d = 2, poly` edrique
si d = 3). Soit T un maillage el ements nis, avec T = (K
)
=1,...,L
, o` u les el ements nis K
sont ferm es et
tels que
L
=1
K
=
. Soit S = (S
i
)
i=1,...,M
lensemble des noeuds du maillage el ements nis, avec S
i
, i = 1, . . . , M.. On cherche ` a construire une m ethode d el ements nis de Lagrange ; donc ` a chaque el ement
K
= S K
, et un espace P
, P
i
|
K
i = 1, . . . , M; = 1; . . . , L, (4.4)
et
i
(S
j
) =
ij
i = 1, . . . , M, j = 1, . . . , M. (4.5)
Chaque fonction
i
est d enie de mani` ere unique, gr ace au caract` ere unisolvant de (K
, P
), = 1, . . . , M.
On pose H
N
= V ect(
1
, . . . ,
M
). Pour obtenir une m ethode d el ements nis conforme, il reste ` a sassurer que
H
N
H
1
.
Une mani` ere de construire lespace H
N
est de construire un maillage ` a partir dun el ement de r ef erence, gr ace ` a la
proposition suivante, qui se d eduit facilement de la proposition 4.6 page 138
Proposition 4.10 (El ement ni de r ef erence) Soit T un maillage constitu e d el ements K. On appelle el ement
ni de r ef erence un el ement ni de Lagrange (
K,
,
P), o` u
est lensemble des noeuds de
K et
P un espace de
fonctions, de dimension nie, tel que, pour tout autre el ement K T , il existe une bijection F :
K K telle
que = F(
) et P = {f : K IR; f F
P} (voir gure 4.4). Le triplet (K, , P) est un el ement ni de
Lagrange.
Analyse num erique des EDP, M1 140 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.1. ESPACE DAPPROXIMATION CHAPITRE 4. EL
EM
)
=1,...,L
, un maillage el ements nis de , S = (S
i
)
i=1,...,M
lensemble des noeuds de maillage.
On se place sous les hypoth` eses de la proposition 4.10 ; soient (
i
)
i=1,...,M
les fonctions de base globales, v eriant
(4.4) et (4.5), et on suppose de plus que les hypoth` eses suivantes sont v eri ees :
Pour toute ar ete (ou face si d = 3) = K
1
K
2
, on a :
1
=
2
et P
1
|
= P
2
|
, (4.6)
o` u P
1
|
(resp. P
2
|
, (
, P
) et H
N
H
1
(). On a donc ainsi construit une m ethode d el ements nis conformes.
(Notons que les c ot es de K
) et H
N
H
1
(), il suft de montrer que pour chaque fonction
de base globale
i
, on a
i
C(
) et
i
H
1
(). Or par hypoth` ese, (4.4), chaque fonction
i
est polyn omiale
par morceaux. De plus, gr ace ` a lhypoth` ese (4.6), on a raccord des polyn omes sur les interfaces des el ements, ce
qui assure la continuit e de
i
. Il reste ` a montrer que
i
H
1
() pour tout i = 1, . . . , M. Comme
i
C(
), il
est evident que
i
L
2
() (car est un ouvert born e, donc
i
L
() L
2
().
Montrons maintenant que les d eriv ees faibles D
j
i
, j = 1, . . . , d, appartiennent ` a L
2
(). Par d enition, la
fonction
i
admet une d eriv ee faible dans L
2
() sil existe une fonction
i,j
L
2
() telle que :
_
i
(x)
j
(x)dx =
_
ij
(x)(x)dx, (4.8)
pour toute fonction C
1
c
() (on rappelle que C
1
c
() d esigne lensemble des fonctions de classe C
1
` a support
compact, et que
j
d esigne la d eriv ee classique par rapport ` a la j-` eme variable). Or, comme
=
L
_
=1
K
, on a :
_
i
(x)D
j
(x)dx =
L
=1
_
K
i
(x)D
j
(x)dx.
Sur chaque el ement K
, la fonction
i
est polyn omiale. On peut donc appliquer la formule de Green, et on a :
_
KL
i
(x)
j
(x)dx =
_
K
i
(x)(x)n
j
(x)d(x)
_
K
i
(x)(x)dx,
o` u n
j
(x) est la j-i` eme composante du vecteur unitaire normal ` a K
en x, ext erieur ` a K
. Mais, si on note E
int
lensemble des ar etes int erieures du maillage (i.e. celles qui ne sont pas sur le bord), on a :
X =
L
=1
_
K
i
(x)(x)n
j
(x)d(x) =
_
i
(x)(x)n
j
(x)d(x)
+
Eint
_
_
(
i
(x)(x)n
j
(x))
1
+ (
i
(x)(x)n
j
(x))
K
d(x).
o` u K
1
et K
2
d esignent les deux el ements dont est linterface.
Comme est ` a support compact,
_
i
(x)(x)n
j
(x)d(x) = 0.
Comme
i
et sont continues et comme n
j
(x)
1
= n
j
(x)
2
pour tout x , on en d eduit que X = 0. En
reportant dans (4.1.2), on obtient donc que :
_
i
(x)
j
(x)dx =
L
=1
_
K
i
(x)(x)dx.
Soit
i,j
la fonction de dans IR d enie presque partout par
ij
K
=
j
i
.
Comme
j
i
est une fonction polyn omiale par morceaux, on a
i,j
L
2
() qui v erie (4.8), ce qui termine la
d emonstration.
Analyse num erique des EDP, M1 141 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.2. EXEMPLES CHAPITRE 4. EL
EM
i
|
K
, i = 1, . . . , N, = 1, . . . , L (4.9)
i
(S
j
) =
ij
, j = 1, . . . , N, (4.10)
et on pose l` a encore H
N
= V ect{
1
, . . . ,
N
}. On a alors encore le r esultat suivant :
Proposition 4.12 (Crit` ere de conformit e, cas H
1
0
) Soit un ouvert polygonal (ou poly` edrique) de IR
d
, d = 2 ou
3. Soit T = (K
)
=1,...,L
un maillage el ements nis de , S = (S
i
)
i=1,...,M
= S
int
S
ext
lensemble des noeuds
du maillage. On se place sous les hypoth` eses de la proposition 4.6. On suppose que les fonctions de base globale
(
i
)
i=1,...,M
v erient (4.9) et (4.10), et que les conditions (4.6) et (4.7) sont v eri ees. Alors on a : H
N
C(
) et
H
N
H
1
0
()
D emonstration : La preuve de cette proposition est laiss ee ` a titre dexercice.
Remarque 4.13 (El ements nis conformes dans H
2
()) On a construit un espace dapproximation H
N
inclus
dans C(
). En g en eral, on na pas H
N
C
1
(
). Si on prend par exemple les polyn omes de degr e 2 sur les el ements, on na pas de
condition pour assurer le raccord, des d eriv ees aux interfaces. Pour obtenir ce raccord, les el ements nis de
Lagrange ne sufsent pas : il faut prendre des el ements de type Hermite, pour lesquels les degr es de libert e ne
sont plus seulement les valeurs de la fonction aux noeuds, mais aussi les valeurs de ses d eriv ees aux noeuds. Les
el ements nis de Hermite seront par exemple bien adapt es ` a lapproximation des probl` emes elliptiques dordre 4,
dont un exemple est l equation :
2
u = f dans
o` u est un ouvert born e de IR
2
,
2
u = (u), et avec des conditions aux limites ad equates, que nous ne
d etaillerons pas ici. On peut, en fonction de ces conditions aux limites, trouver un espace de Hilbert H et une
formulation faible de (4.13), qui s ecrit :
_
_
_
u(x)(x)dx =
_
f(x)(x)dx
u H, H.
Pour que cette formulation ait un sens, il faut que u L
2
() et L
2
(), et donc que H H
2
(). Pour
construire une approximation par el ements nis conforme de ce probl` eme, il faut donc choisir H
N
H
2
(), et le
choix des el ements nis de Hermite semble donc indiqu e.
4.2 Exemples
Pour chaque m ethode d el ement ni de Lagrange, on d enit :
1. un el ement de r ef erence
K
2. des fonctions de base locales sur
K
3. une bijection F
de K sur K
EM
)
=1,...,L
, et les polyn omes dapproximation sont de degr e
1.
El ement ni de r ef erence : on choisit le triangle
K de sommets (0, 0), (1, 0) et (0, 1), et
P = { : K
IR(x, y) ax +by +c, (a, b, c) IR
3
}.
Proposition 4.14 (Unisolvance) Soit
= ( a
i
)
i=1,2,3
avec a
1
= (0, 0), a
2
= (1, 0) et a
3
= (0, 1), et
,
P) est unisolvant.
D emonstration : Soit (
1
,
2
,
3
) IR
3
, et
P. On suppose que ( a
i
) =
i
, i = 1, 2, 3. La fonction est
de la forme (x, y) = a +bx +cy et on a donc :
_
_
_
a =
1
a +b =
2
a +c =
3
do` u c =
1
, b
1
=
2
1
et b
2
=
3
2
. La connaissance de aux noeuds ( a
i
)
i=1,2,3
d etermine donc
enti` erement la fonction .
Fonctions de bases locales.
Les fonctions de base locales sur l el ement ni de r ef erence
K sont d enies par
i
P
i
( a
j
) =
ij
, ce qui
d etermine les
; de mani` ere unique, comme on vient de le voir. Et on a donc
_
_
_
1
( x, y) = 1 x y
2
( x, y) = x
3
( x, y) = y.
Transformation F
( a
i
) = a
i
i = 1, . . . , 3
o` u = (a
i
)
i=1,2,3
est lensemble des sommets de K. Notons (x
i
, y
i
) les coordonn ees de a
i
, i = 1, 2, 3. Comme
F
( x, y) = (
1
+
1
x +
1
y,
2
+
2
x +
2
y)
et on cherche
i
,
i
,
i
, i = 1, 2 tels que :
_
_
_
F
((0, 0)) = (x
1
, y
1
)
F
((1, 0)) = (x
2
, y
2
)
F
((0, 1)) = (x
3
, y
3
).
Une r esolution de syst` eme el ementaire am` ene alors ` a :
F
( x, y) =
_
x
1
+ (x
2
x
1
) x + (x
3
x
1
) y
y
1
+ (y
2
y
1
) x + (y
3
y
1
) y
_
Dapr` es la remarque 4.8 page 139, si on note
k
, k = 1, 2, 3 les fonctions de base locales de l el ement de r ef erence
(
K,
,
P), et
()
k
, k = 1, 2, 3 les fonctions de base locales de l el ement (K
, P
), on a
()
k
=
k
F
1
Si on note maintenant (
i
)
i=1,...,N
les fonctions de base globales, on a :
=
()
k
,
o` u i = ng(, k) est lindice du k-i` eme noeud de l el ement dans la num erotation globale. Notons que l el ement
ni de Lagrange ainsi d eni v erie les crit` eres de coh erence 4.6 page 141 et (4.7) page 141. Pour compl eter la
d enition de lespace dapproximation H
N
, il ne reste qu` a d eterminer les noeuds li es, de la facon dont on a
trait e le cas de lespace H
1
0
().
Il faut egalement insister sur le fait que cet el ement est tr` es souvent utilis e, en raison de sa facilit e dimplantation
et de la structure creuse des syst` emes lin eaires quil g en` ere. Il est particuli` erement bien adapt e lorsquon cherche
des solutions dans lespace H
1
(). Il se g en eralise facilement en trois dimensions despace, o` u on utilise alors des
t etra` edres, avec toujours comme espace de polyn ome lespace des fonctions afnes.
Analyse num erique des EDP, M1 143 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.2. EXEMPLES CHAPITRE 4. EL
EM
1
,
2
,
3
tels que :
x =
1
a
1
+
2
a
2
+
3
a
3
.
Dans le cas du triangle de r ef erence
K de sommets (0,0), (1,0) et (0,1), les coordonn ees barycentriques dun point
{x} de coordonn ees cart esiennes x et y sont donc :
1
= 1 x y,
2
= x,
3
= y. Par d enition, on a
3
i=1
i
= 1 et
i
0 (car le triangle K est lenveloppe convexe de lensemble de ses sommets). On peut alors
d eterminer les fonctions de base en fonction des coordonn ees barycentriques des six noeuds de
K exprim es par
leurs coordonn ees barycentriques : a
1
= (1, 0, 0), a
2
= (0, 1, 0), a
3
= (0, 0, 1), a
4
= (0,
1
2
,
1
2
), a
5
= (
1
2
, 0,
1
2
),
a
6
= (
1
2
,
1
2
, 0). Les fonctions de base sont telles que
i
P
2
, et
i
(a
j
) =
ij
, i = 1, . . . , 6, forallj = 1, . . . , 6.
Commencons par
1
; on veut
1
(a
1
) = 1, et
i
(a
i
) = 0, i = 2, . . . , 6. La fonction
1
d enie par
1
(x, y) = 2
1
(
1
1
2
)
convient, et comme le couple (
, P2) est unisolvant, cest la seule fonction qui convient. Par sym etrie, on d enit
2
(x, y) = 2
2
(
2
1
2
),
et
3
(x, y) = 2
3
(
3
1
2
).
Les fonctions de base associ ees aux noeuds a
4
, a
5
, a
6
sont alors
4
(x, y) = 4
2
3
,
Analyse num erique des EDP, M1 144 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.2. EXEMPLES CHAPITRE 4. EL
EM
5
(x, y) = 4
1
3
,
et
6
(x, y) = 4
1
2
.
Il est facile de voir que ces fonctions forment une famille libre d el ements de P2 et comme card
= card P2, le
couple (
La bijection F
a d ej` a et e
vue dans le cas de l el ement ni P
1
cest la fonction afne d enie par :
F
(x, y) =
_
x
1
+ (x
2
x
1
)x + (x
3
x
1
)y
y
1
+ (y
2
y
1
)x + (y
3
y
1
)y
_
o` u (x
i
, y
i
), i = 1, 2, 3 sont les coordonn ees respectives des trois sommets du triangle K
H
1 est contr ol ee, en el ements nis P
1
et P
2
par les in egalit es suivantes :
P1 : si u H
2
(), on a u u
N
H
1
()
Chu
H
2
()
P2 : si u H
3
(), on a u u
N
H
1
()
Ch
2
u
H
3
()
.
On peut g en eraliser les el ements nis P
1
et P
2
aux el ements nis P
k
sur triangles, pour k 1. On prend toujours
le m eme el ement de r ef erence, dont on divise chaque c ot e en k intervalles. Les extr emit es de ces intervalles sont
les noeuds du mailage. On a donc 3k noeuds, quon peut rep erer par leurs coordonn es barycentriques, qui prennent
les valeurs 0,
1
k
,
2
k
, . . . , 1. On peut montrer que si u H
k+1
, alors
u
N
u
H
1
()
Ch
k
u
H
k+1
()
4.2.3 El ements nis sur quadrangles
Le cas rectangulaire
On prend comme el ement ni de r ef erence le carr e
K = [1, 1] [1, 1], et comme noeuds les coins de ce carr e :
a
1
= (1, 1), a
2
= (1, 1), a
3
= (1, 1), et a
4
= (1, 1).
On prend comme espace de polyn omes
P = {f :
K IR; f Q
1
}
o` u Q
1
= {f : IR
2
IR; f(x, y) = a + bx + cy + dxy, (a, b, c, d) IR
4
} Le couple (, P) est unisolvant. Les
fonctions de base locales sont les fonctions :
1
(x, y) =
1
4
(x + 1)(y 1)
2
(x, y) =
1
4
(x + 1)(y + 1)
3
(x, y) =
1
4
(x 1)(y + 1)
4
(x, y) =
1
4
(x 1)(y 1).
La transformation F
, la bijection F
s ecrit :
F
(x, y) =
1
2
_
(x
2
x
1
)x +x
2
+x
1
(y
2
y
1
)y +y
2
+y
1
_
.
Consid erons maintenant le cas dun maillage quadrangulaire quelconque. Dans ce cas, on choisit toujours comme
el ement de r ef erence le carr e unit e. La transformation F
Q
1
. Les fonctions de base
seront donc des polyn omes Q
1
sur l el ement de r ef erence
K, mais pas sur les el ements courants K
.
Analyse num erique des EDP, M1 145 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.3. CONSTRUCTION DU SYST
`
EME LIN
EAIRE CHAPITRE 4. EL
EM
k
= {(x, y)
K, (x, y) {1, 1 +
1
k
, 1 +
1
k
, . . . , 1}
2
. On
peut montrer facilement que (
k
Q
k
) est unisolvant. L` a encore, si la solution exacte de probl` eme continu est
sufsamment r eguli` ere, on peut d emontrer lestimation derreur suivante (voir [3]) :
u u
N
()
Cu
H
k+1
()
h
k
.
Exprimons par exemple lespace des polyn omes Q
2
. On a :
Q
2
= {f : IR IR; f(x) = a
1
+a
2
x+a
3
y+a
4
xy+a
5
x
2
+a
6
y
2
+a
7
xy
2
+a
8
x
2
y+a
9
x
2
y
2
, a
i
IR, i = 1, . . . , 9}
Lespace Q
2
comporte donc neuf degr es de libert e. On a donc besoin de neuf noeuds dans
pour que le couple
(
, Q
2
) soit unisolvant (voir exercice 59 page 165). On peut alors utiliser comme noeuds sur le carr e de r ef erence
[1, 1] [1, 1] :
= {(1, 1), (1, 0), (1, 1), (0, 1), (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0), (1, 1)}
En g en eral, on pr ef` ere pourtant supprimer le noeud central (0,0)et choisir :
=
\ {(0, 0)}.
Il faut donc un degr e de libert e en moins pour lespace des polyn omes. On d enit alors :
Q
2
= {f : IR IR; f(x) = a
1
+a
2
x +a
3
y +a
4
xy +a
5
x
2
+a
6
y
2
+a
7
xy
2
+a
8
x
2
y, a
i
IR, i = 1, . . . , 8}
Le couple (
, Q
2
) est unisolvant (voir exercice 60 page 165), et on peut montrer que l el ement Q
2
est aussi pr ecis
(et plus facile ` a mettre en oeuvre que l el ement Q
2
).
4.3 Construction du syst` eme lin eaire
On construit ici le syst` eme lin eaire pour un probl` eme ` a conditions aux limites mixtes de mani` ere a envisager
plusieurs types de conditions aux limites. Soit un ouvert polygonal
1
, on suppose que :
0
1
avec
mes(
0
) = 0. On va imposer des conditions de Dirichlet sur
0
et des conditions de Fourier sur
1
; cest ce quon
appelle des conditions mixtes. On se donne donc des fonctions p : IR, g
0
:
0
IR et g
1
:
1
IR, et on
cherche ` a approcher u solution de :
_
_
div(p(x)u(x)) +q(x)u(x) = f(x), x ,
u = g
0
sur
0
,
p(x)u(x).n(x) + u(x) = g
1
(x), x
1
,
(4.11)
o` u n d esigne le vecteur unitaire normal ` a ext erieure ` a . Pour assurer lexistence et unicit e du probl` eme (4.11),
(voir exercice 42), on se place sous les hypoth` eses suivantes :
_
_
p(x) > 0, p.p. x
q 0
0
mes(
0
) > 0.
(4.12)
Pour obtenir une formulation variationnelle, on introduit lespace
H
1
0,g0
= {u H
1
(); u = g
0
sur
0
}
et lespace vectoriel associ e :
H = H
1
0,0
= {u H
1
(); u = 0 sur
0
}
1. Dans le cas o` u la fronti` ere de nest pas polyg onale mais courbe, il faut consid erer des el ements nis dits isoparam etriques que
nous verrons plus loin
Analyse num erique des EDP, M1 146 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.3. CONSTRUCTION DU SYST
`
EME CHAPITRE 4. EL
EM
div(p(x)u(x))v(x)dx +
_
q(x)u(x)v(x)dx =
_
f(x)v(x)dx, v H.
En appliquant la formule de Green, il vient alors :
_
p(x)u(x)v(x)dx
_
p(x)u(x)nv(x)d(x) +
_
qu(x)v(x)dx =
_
f(x)v(x)dx, v H.
Comme v = 0 sur
0
on a :
_
p(x)u(x)nv(x)d(x) =
_
1
pu(x)nv(x)d(x).
Mais sur
1
, la condition de Fourier s ecrit : u.n = u +g
1
, et on a donc
_
p(x)u(x)v(x)dx+
_
1
p(x)u(x)v(x)d(x)+
_
qu(x)v(x)dx =
_
f(x)v(x)dx+
_
1
g
1
(x)v(x)d(x).
On peut ecrire cette egalit e sous la forme : a(u, v) =
T(v), avec a(u, v) = a
(u, v) +a
1
(u, v), o` u :
_
_
a
(u, v) =
_
p(x)u(x)v(x)dx +
_
q(x)u(x)v(x)dx,
a
(u, v) =
_
1
p(x)(x)u(x)v(x)d(x),
et
T(v) = T
(v) +T
1
(v), avec
T
(v) =
_
f(x)v(x)dx et T
1
=
_
1
g
1
(x)v(x)d(x).
On en d eduit une formulation faible associ ee ` a (4.11) :
_
chercher u H
a(u
0
+ u, v) =
T(v), v H,
(4.13)
o` u u
0
H
1
() est un r ev` element de g
0
, cest ` a dire une fonction de H
1
() telle que u
0
= g
0
sur . Le probl` eme
(4.13) peut aussi s ecrire sous la forme :
_
u H
a( u, v) = T(v), v H.
(4.14)
o` u T(v) =
T(v) a(u
0
, v). Sous les hypoth` eses (4.12), on peut alors appliquer le th eor` eme de Lax Milgram (voir
th eor` eme 3.6 page 100) au probl` eme (4.14) pour d eduire lexistence et lunicit e de la solution de (4.13) ; notons
que, comme la forme bilin eaire a est sym etrique, ce probl` eme admet aussi une formulation variationnelle :
_
_
J(u) = min
vH
1
0
,g
0
J(v),
J(v) =
1
2
a(v, v) +T(v), v H
1
0,g0
.
(4.15)
Dans ce cas, les m ethodes de Ritz et Galerkin sont equivalentes. Remarquons que lon peut choisir u
0
de mani` ere
abstraite, tant que u
0
v erie u
0
= g
0
sur
0
et u
0
H
1
. Int eressons nous maintenant ` a la m ethode dapproximation
variationnelle. On approche lespace H par H
N
= V ect{
1
, . . . ,
N
} et on remplace (4.14) par :
_
u
N
H
N
a( u
N
,
i
) = T(
i
) a(u
0
,
i
), i = 1, . . . , N.
(4.16)
Analyse num erique des EDP, M1 147 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.3. CONSTRUCTION DU SYST
`
EME CHAPITRE 4. EL
EM
j=1
u
j
j
. Le probl` eme (4.16) est alors equivalent au syst` eme lin eaire :
K
U = G,
avec
_
_
K
ij
= a(
j
,
i
), i, j = 1, . . . , N,
U = ( u
1
, . . . , u
N
),
G
i
= T(
i
) a(u
0
,
i
), i = 1, . . . , N.
Limplantation num erique de la m ethode dapproximation n ecessite donc de :
1. construire K et G
2. r esoudre K
U = G.
Commencons par la construction de lespace H
N
et des fonctions de base pour une discr etisation par el ements
nis de Lagrange du probl` eme (4.14).
4.3.1 Construction de H
N
et
i
On consid` ere une discr etisation ` a laide d el ements nis de Lagrange, quon note : (K
, P
) = 1, . . . , L, o` u
L est le nombre d el ements. On note S
i
, i = 1, . . . , M, les noeuds du maillage, et
1
, . . . ,
N
, les fonctions de
base, avec N M. On peut avoir deux types de noeuds :
les noeuds libres : S
i
0
. On a N noeuds libres
les noeuds li es : S
i
0
. On a M N noeuds li es.
Notons quon a int er et ` a mettre des noeuds ` a lintersection de
0
et
1
(ce seront des noeuds li es). Gr ace ` a ceci, et
` a la coh erence globale et locale des el ements nis de Lagrange, on a H
N
H. On a donc bien des el ements nis
conformes. R ecapitulons alors les notations :
M : nombre de noeuds total
N : nombre de noeuds libres
M
0
= M N : nombre de noeuds li es
J
0
= { indices des noeuds li es} {1, . . . , M}. On a cardJ
0
= M
0
J = { indices des noeuds libres } = {1 . . . M} J
0
. On a cardJ = N.
Pour la programmation des el ements nis, on a besoin de connatre, pour chaque noeud (local) de chaque el ement,
son num ero dans la num erotation globale. Pour cela on introduit un tableau ng(L, N
), o` u L est le nombre
d el ements et N
est le nombre de noeuds par el ement. (on le suppose constant par souci de simplicit e, N
peut en
fait d ependre de L. Exemple : triangle - quadrangle). Pour tout {1, . . . , L} et tout r {1, . . . , N
}, ng(, r) est
alors le num ero global du r-i` eme noeud du -i` eme el ement. On a egalement besoin de connatre les coordonn ees
de chaque noeud. On a donc deux tableaux x et y de dimension M, o` u x(i), y(i) repr esentent les coordonn ees
du i-` eme noeud. Notons que les tableaux ng, x et y sont des donn ees du mailleur (qui est un module externe par
rapport au calcul el ements nis proprement dit). Pour les conditions aux limites, on se donne deux tableaux :
CF : conditions de Fourier
CD : conditions de Dirichlet
(on verra plus tard le format de ces deux tableaux)
4.3.2 Construction de K et G
On cherche ` a construire la matrice K dordre (N N), d enie par :
K
ij
= a(
j
,
i
) i, j J
Ainsi que le vecteur G, d eni par :
G
i
= T(
i
) a(u
0
,
i
) i J cardJ = N
La premi` ere question ` a r esoudre est le choix de u
0
. En effet, contrairement au cas unidimensionnel (voir exercice
38 page 119), il nest pas toujours evident de trouver u
0
H
1
0,g0
. Pour se faciliter la t ache, on commet un crime
variationnel, en remplacant u
0
par
u
0,N
=
N
jJ0
u
0
(S
j
)
j
.
Analyse num erique des EDP, M1 148 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.3. CONSTRUCTION DU SYST
`
EME CHAPITRE 4. EL
EM
jJ0
g
0
(S
j
)a(
j
,
i
).
Calculons maintenant a(
j
,
i
) pour j = 1, . . . , M, et i = 1, . . . , M. On se sert donc pour limplatation pratique
de la m ethode, des fonctions de forme associ ees aux noeuds li es, m eme si dans l ecriture du probl` eme discret
th eorique, on nen avait pas besoin.
Calcul de K et G
1. Calcul des contributions int erieures : on initialise les coefcients de la matrice K et les composantes par les
contributions provenant de a
et T
.
K
ij
= a
(
j
,
i
)
G
i
= T
(
i
)
_
i = 1, . . . , N,
j = 1, . . . , N.
2. Calcul des termes de bord de Fourier. On ajoute maintenant ` a la matrice K les contributions de bord :
K
ij
K
ij
+a
i
(
j
,
i
), i = 1, . . . , N, j = 1, . . . , N.
G
i
G
i
+T
i
(
i
) i = 1 . . . M.
3. Calcul des termes de bord de Dirichlet. On doit tenir compte ici du rel` evement de la condition de bord :
G
i
G
i
jJ0
g
0
(N
i
)K
ij
i J
Apr` es cette affectation, les egalit es suivantes sont v eri ees :
K
ij
= a(
j
,
i
) i, j J(J
0
)
G
i
= T(
i
) a(u
0,N
,
i
).
Il ne reste plus qu` a r esoudre le syst` eme lin eaire
jJ
K
ij
j
= G
i
, i J. (4.17)
4. Prise en compte des noeuds li es. Pour des questions de structure de donn ees, on inclut en g en eral les noeuds
li es dans la r esolution du syst` eme, et on r esout donc le syst` eme lin eaire dordre M N suivant :
j=1,...,N
K
ij
j
= G
i
. i = 1, . . . , N. (4.18)
avec
K
ij
= K
ij
pour i, j J,
K
ij
= 0 si (i, j) J
2
, et i = j, et
K
ii
= 1 si i J. Ces deux syst` emes sont
equivalents, puisque les valeurs aux noeuds li ees sont x ees.
Si par chance on a num erot e les noeuds de mani` ere ` a ce que tous les noeuds li es soient en n de num erotation,
c.` a.d. si J = {1, . . . , N} et J
0
= {N + 1, . . . , M}, le syst` eme (4.18) est de la forme :
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
|
K | 0
|
|
|
0 | Id
M
|
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
, U =
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
1
.
.
.
u
N
N+1
.
.
.
M
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
, et G =
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
G
1
.
.
.
G
N
G
N+1
.
.
.
G
M
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
Dans le cas o` u la num erotation est quelconque, les noeuds li es ne sont pas forc ement ` a la n, et pour obtenir
le syst` eme lin eaire dordre M (4.18) (donc incluant les inconnues
i
, i J
0
, qui nen sont pas vraiment) on
peut adopter deux m ethodes :
Analyse num erique des EDP, M1 149 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.3. CONSTRUCTION DU SYST
`
EME CHAPITRE 4. EL
EM
i=1
i
,
=
iJ
i
+
iJ0
i
u
N
= u
N
+u
0
Remarque 4.15 (Num erotation des noeuds) Si on utilise une m ethode it erative sans pr econditionnement, la num erotation
des noeuds nest pas cruciale. Elle lest par contre dans le cas dune m ethode directe et si on utilise une m ethode
it erative avec pr econditionnement. Le choix de la num erotation seffectue pour essayer de minimiser la largeur
de bande. On pourra ` a ce sujet etudier linuence de la num erotation sur deux cas simples sur la structure de la
matrice.
4.3.3 Calcul de a
et T
, matrices el ementaires.
D etaillons maintenant le calcul des contributions int erieures, cest ` a dire a
(
i
,
j
) i = 1, . . . M, j = 1, . . . , M
et T
(
i
) i = 1, . . . , M. Par d enition,
a
(
i
,
j
) =
_
p(x)
i
(x)
j
(x)dx +
_
q(x)
i
(x)
j
(x)dx.
D ecomposons ` a laide du maillage el ements nis.
=
L
_
=1
K
.
En notant (
i
,
j
)(x) = p(x)
i
(x)
j
(x) +q(x)
i
(x)
j
(x),
On a donc :
a
(
i
,
j
) =
L
=1
_
K
(
i
,
j
)dx.
Pour r et s num eros locaux de l el ement K
, on pose :
k
r,s
=
_
(
s
,
r
)dx.
On va calculer k
r,s
puis on calcule a
(
i
,
j
), en effectuant un parcours sur les el ements, ce qui sexprime par
lalgorithme suivant :
Initialisation : K
ij
0, i = 1, . . . M, j i.
Boucle sur les el ements
Pour = 1 ` a L faire
Pour r = 1 ` a N
faire
Analyse num erique des EDP, M1 150 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.3. CONSTRUCTION DU SYST
`
EME CHAPITRE 4. EL
EM
r,s
j = ng(, s)
si i j
K
ij
K
ij
+k
r,s
sinon
K
ji
K
ji
+k
rs
Fin pour
Fin pour
On a ainsi construit compl` etement la matrice de rigidit e K. Il reste ` a savoir comment calculer
k
r,s
=
_
e
(
s
,
r
)(x)dx.
Ce calcul seffectue sur l el ement de r ef erence, et non sur les el ements K
r,s
par
des changements de variable ` a laide de la transformation F
( x, y) = (x, y) = (a
0
+a
1
x +a
2
y, b
0
+b
1
x +b
2
y) (4.19)
Notons que les coefcients a
i
et b
i
sont d etermin es ` a partir des la connaissances des coordonn ees (x(i), y(i)) o` u
i = ng(, r). En effet, on peut d eduire les coordonn ees locales x(r), y(r), r = 1, N
, le
terme el ementaire k
r,s
s ecrit donc
k
r,s
=
_
(
s
(x, y),
r
(x, y))dxdy.
Or, (x, y) = F
r,s
=
_
e
(
s
F
( x, y),
r
F
( x, y)) Jac
x, y
(F
) d xd y
ou Jac
x, y
(F
) d esigne le Jacobien de F
en ( x, y). Or,
s
F
s
, et, puisque F
) = Det(DF
) =
1
b
1
a
2
b
1
b
2
a
2
b
donc k
r,s
= Jac(F
k
r,s
, o` u
k
r,s
=
_
e
(
s
( x, y),
r
( x, y))d xd y
Etudions maintenant ce quon obtient pour
k
r,s
dans le cas du probl` eme mod` ele (4.11), on a :
k
r,s
=
_
_
p( x, y)
s
( x, y)
r
( x, y) +q( x, y)
s
( x, y)
r
( x, y)
d xd y.
Les fonctions de base
s
et
r
sont connues ; on peut donc calculer
k
r,s
explicitement si p et q sont faciles ` a
int egrer. Si les fonctions p et q ou les fonctions de base
, sont plus compliqu ees, on calcule
k
r,s
en effectuant une
int egration num erique. Rappelons que le principe dune int egration num erique est dapprocher lint egrale d une
fonction continue donn ee ,
I =
_
( x, y)d xd y, par
I =
NPI
i=1
i
(P
i
)(P
i
),
o` u NP
I
est le nombre de points dint egration, not es P
i
, quon appelle souvent points dint egration de Gauss, et les
coefcients
i
sont les poids associ es. Notons que les points P
i
et les poids
i
sont ind ependants de . Prenons
par exemple, dans le cas unidimensionnel,
K = [0, 1], p
1
= 0, p
2
= 1, et
1
=
2
=
1
2
. On approche alors
I =
_
1
0
(x)dx par
I =
1
2
((0) + (1)).
Cest la formule (bien connue) des trap` ezes. Notons que dans le cadre dune m ethode, il est n ecessaire de sassurer
que la m ethode dint egration num erique choisie soit sufsamment pr ecise pour que :
Analyse num erique des EDP, M1 151 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.3. CONSTRUCTION DU SYST
`
EME CHAPITRE 4. EL
EM
( x)d x par (p
1
).
On v eriera que cette int egration num erique est exacte pour les polyn omes dordre 1 (exercice 58 page 165).
2. P
2
sur triangles. On prend maintenant NP
I
= 3, et on choisit comme points de Gauss :
p
1
=
_
1
2
, 0
_
, p
2
=
_
1
2
,
1
2
_
, p
3
=
_
0,
1
2
_
et les poids dint egration
1
=
2
=
3
=
1
6
. On peut montrer que cette int egration num erique est exacte
pour les polyn omes dordre 2 (voir exercice 58 page 165).
Remarquons que, lors de lint egration num erique du terme el ementaire
k
r,s
=
_
_
p( x, y)(F
( x, y))
r
( x, y)
s
( x, y) +q( x, y)(F
( x, y))
r
( x, y)
d xd y,
on approche k
r,s
par
k
r,s
NPI
i=1
i
_
p(F
(P
i
))
r
(P
i
)
s
(P
i
) +q(F
(P
i
))
r
(P
i
)
s
(P
i
)
.
Les valeurs
r
(P
i
),
s
(P
i
),
r
(P
i
) et
s
(P
i
) sont calcul ees une fois pour toutes, et dans la boucle sur , il ne
reste donc plus qu` a evaluer les fonctions p et q aux points F
(P
i
). Donnons maintenant un r esum e de la mise en
oeuvre de la proc edure dint egration num erique (ind ependante de ). Les donn ees de la proc edure sont :
les coefcients
i
, i = 1, . . . , NP
I
,
les coordonn ees (xpg(i), ypg(i)), i = 1, . . . , NP
I
des points de Gauss,
les valeurs de
r
,
x
et
r
y
aux points de Gauss, not ees (r, i),
x
(r, i) et
y
(r, i), r = 1 . . . N
, i = 1, . . . , NP
I
.
Pour donn e, on cherche ` a calculer :
I =
_
K
p(F
( x, y))
r
x
( x, y)
s
y
( x, y)d xd y +
_
e
q(F
( x, y))
r
( x, y)d xd y
s
( x, y).
On propose lalgorithme suivant :
Initialisation : I 0
Pour i = 1 ` a NP
I
, faire :
p
i
= p(F
e
(P
i
))
q
i
= q(F
e
(P
i
))
I I +
i
(p
i
x
(r, i)
y
(s, i) +q
i
(r, i)(s, i))
Fin pour
On proc` ede de m eme pour le calcul du second membre
T
(
i
) =
_
f(x, y)
i
x, y)dxdy =
L
=1
g
, o` u g
=
_
e
f(x, y)
i
(x, y)dxdy.
Lalgorithme s ecrit :
Initialisation de G ` a 0 : G
i
0 i = 1 ` a M
Pour = 1 ` a L
Pour r = 1 ` a N
Calcul de g
r
=
_
e
f(x, y)
r
(x, y)dxdy
i = ng(, r)
G
i
G
i
+g
r
Analyse num erique des EDP, M1 152 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.3. CONSTRUCTION DU SYST
`
EME CHAPITRE 4. EL
EM
=
_
K
f(x, y)
r
(x, y)dxdy =
_
K
f F
( x, y)
r
( x, y)Jac
x, y
(F
)d xd y.
Lint egration num erique est identique ` a celle effectu ee pour
k
r,s
.
4.3.4 Calcul de a
1
et T
1
(contributions des ar etes de bord Fourier.
D etaillons maintenant le calcul des contributions des bords o` u sapplique la condition de Fourier, cest ` a dire
a
1
(
i
,
j
) i = 1, . . . M, j = 1, . . . , M et T
1
(
i
) i = 1, . . . , M. Par d enition,
a
1
(
i
,
j
) =
_
1
p(x)
i
(x)
j
(x)dx +
_
1
q(x)
i
(x)
j
(x)dx.
Notons que a
1
(
i
,
j
) = 0 si
i
et
j
sont associ ees ` a des noeuds S
i
, S
j
de dun el ement sans ar ete commune avec
les ar etes de la fronti` ere. Soit L1 le nombre dar etes
k
, k = 1, . . . , L1 du maillage incluses dans
1
. Rappelons
que les noeuds soumis aux conditions de Fourier sont repertori es dans un tableau CF, de dimensions (L1, 2), qui
donne les informations suivantes
1. CF(k, 1) contient le num ero de l el ement K
. On suppose que la
num erotation des noeuds locaux a et e effectu ee de mani` ere adroite, par exemple dans le sens trigo-
nom etrique. Dans ce cas, CF(k, 2) d etermine tous les noeuds de lar ete
k
dans lordre, puisquon connait
le nombre de noeuds par ar ete et le sens de num erotation des noeuds. Donnons des exemples pour trois cas
diff erents, repr esent es sur la gure 4.7.
(a) Dans le premier cas (` a droite sur la gure), qui repr esente un el ement ni P1, on a CF(k, 2) = 3 et le
noeud suivant sur lar ete est 1.
(b) Dans le second cas (au centre sur la gure), qui repr esente un el ement ni P2, on a CF(k, 2) = 3 et
les noeuds suivants sur lar ete sont 4 et 5.
(c) Enn dans l el ement P1 de coin repr esent e ` a gauche sur la gure, on a CF(k, 1) = , CF(k
, 1) =
, CF(k, 2) = 1, CF(k
, 2) = 2.
K
k
1
2
2
3
P1
P1
P1 en coin
k
1 2
1
3
5
6
4
3
FIGURE 4.7 Exemples de num erotation dar ete du bord
Pour k = 1, . . . , L1, on note
S
k
lensemble des noeuds locaux de
k
, donn es par CF(k, 2) en appliquant la r` egle
ad hoc (par exemple le sens trigonom
S
k
)
2
/r < s}
Lalgorithme de prise en compte des conditions de Fourier s ecrit alors :
Pour k = 1 . . . L1
Analyse num erique des EDP, M1 153 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.3. CONSTRUCTION DU SYST
`
EME CHAPITRE 4. EL
EM
rs
=
_
C
k
p(x)(x)
r
(x)
s
(x)dx ( eventuellement avec int egration num erique)
i = ng(, r)
j = ng(, s)
si j i
Kij Kij +I
rs
sinon
Kij Kji +I
rs
Fin si
Fin pour
Fin pour
Le calcul de I
rs
seffectue sur l el ement de r ef erence (avec eventuellement int egration num erique). De m eme, on
a une proc edure similaire pour le calcul de T
1
=
_
1
p(x)g
1
(x)v(x)d(x).
G
i
G
i
+
_
2
p(x)g
1
(x)
i
(x)d(x)
4.3.5 Prise en compte des noeuds li es dans le second membre
Apr es les calculs pr ec edents, on a maintenant dans G
i
:
G
i
=
_
f(x)
i
(x)dx +
_
1
p(x)g
1
(x)
i
(x)d(x)
Il faut maintenant retirer du second membre, les combinaisons venant des noeuds li es :
G
i
G
i
jJ0
g
0
(S
j
)a(
j
,
i
)
o` u J
0
est lensemble des indices des noeuds li es. On utilise pour cela le tableau CD qui donne les conditions, de
Dirichlet, de dimension M
0
o` u M
0
= cardJ
0
. Pour i
0
= 1, . . . , M
0
, CD(i
0
) = j
0
J
0
est le num ero du noeud
li e dans la num erotation globale. La proc edure est donc la suivante.
Pour i
0
= 1, . . . , M
0
, faire
j = CD(i
0
)
a = g
0
(S
j
)
si (i j) G
i
G
i
aK
ij
sinon G
i
G
i
aK
ji
sinon Fin si Fin pour
4.3.6 Stockage de la matrice K
Remarquons que la matrice K est creuse (et m eme tr` es creuse), en effet a(
j
,
i
) = 0 d` es que
supp(
i
) supp(
j
) =
Examinons une possibilit e de stockage de la matrice K. Soit NK le nombre d el ements non nuls de la matrice K On
peut stocker la matrice dans un seul tableau KMAT en mettant bout ` a bout les coefcients non nuls de la premi` ere
ligne, puis ceux de la deuxi` eme ligne, etc... jusqu` a ceux de la dernie` ere ligne. Pour rep erer les el ements de K dans
le tableau KMAT, on a alors besoin de pointeurs. Le premier pointeur, nomm e, IC est de dimension NK. La
valeur de IC(k) est le num ero de la colonne de K(k). On introduit alors le pointeur IL(), = 1, . . . , NL, o` u
NL est le nombre de lignes, o` u IL() est lindice dans KMAT du d ebut de la -i` eme ligne. Lidentication entre
KMAT et K se fait alors par la proc edure suivante :
Pour k = 1 . . . NK
si IL(m) k < IL(m + 1) alors
KMAT(k) = K
m,IC(k)
Fin si
Fin pour
Analyse num erique des EDP, M1 154 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.4. EL
ETRIQUES CHAPITRE 4. EL
EM
K
K
: K K
( x, y) (x, y)
` a partir des fonctions de base de l el ement ni de r ef erence :
x =
N
r=1
x
r
r
( x, y), y =
N
r=1
y
r
r
( x, y),
o` u N
. Remarquons
que la transformation F
isoparam etrique P
1
est identique ` a celle des el ements nis classiques. Par contre, la
transformation isoparam etrique P
2
nest plus afne, alors quelle lest en el ements nis classiques. Notons que les
fonctions de base locales v erient toujours
r
F
=
r
, = 1, . . . , L, r = 1, . . . , N
.
On peut alors se poser le probl` eme de linversibilit e de F
est inversible dans tous les cas, toutefois, cela sav` ere etre le cas dans la plupart des cas pratiques. Lint er et de
la transformation isoparam etrique est de pouvoir traiter les bords courbes, ainsi que les el ements nis Q1 sur
quadrilat` eres. Notons que le calcul de
r
est toujours inutile, car on se ram` ene encore ` a l el ement de r ef erence.
4.5 Analyse derreur
4.5.1 Erreurs de discr etisation et dinterpolation
On consid` ere toujours le probl` eme mod` ele (4.11) page 146 sur lequel on a etudi e la mise en oeuvre de la m ethode
des el ements nis. On rappelle que la formulation faible de ce probl` eme est donn ee en (4.14) page 147, et que
Analyse num erique des EDP, M1 155 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.5. ANALYSE DERREUR CHAPITRE 4. EL
EM
H
1
_
M
d( u, H
N
),
o` u M(resp.) est la constante de continuit e (resp. de coercivit e) de a. Comme u = u
0
+ u, on a, en posant
c =
_
M
,
u u
N
Cu ww H
N
, (4.20)
o` u u
N
= u
N
+ u
0
. Notons que dans limplantation pratique de la m ethode d el ements nis, lorsquon calcule
T(v) = T(v) a(u
0
, v), on remplace u
0
par u
0,N
H
N
, donc on commet une l eg` ere erreur sur T. De plus,
on calcule a(
i
,
j
) ` a laide dint egrations num eriques : lin egalit e (4.20) nest donc v eri ee en pratique que
de mani` ere approch ee. On supposera cependant, dans la suite de ce paragraphe, que les erreurs commises sont
n egligeables et que lin egalit e (4.20) est bien v eri ee. De la m eme mani` ere quon a d eni linterpol ee sur un
el ement K, (voir d enition 4.3 page 137, on va maintenant d enir linterpol ee sur H
1
() tout entier, de mani` ere
` a etablir une majoration de lerreur de discr etisation gr ace ` a (4.20).
D enition 4.16 (Interpol ee dans H
N
) . Soit u H
1
() et H
N
= V ect{
1
, . . . ,
N
} o` u les fonctions
1
. . .
N
sont des fonctions de base el ements nis associ ees aux noeuds S
1
. . . S
N
dun maillage el ements nis de . Alors
on d enit linterpol ee de u dans H
N
, u
I
H
N
par :
u
I
=
N
i=1
u(S
i
)
i
.
Comme u
I
H
N
, on peut prendre W = u
I
dans (4.20), ce qui fournit un majorant de lerreur de discr etisation :
u u
N
H
1 Cu u
I
H
1
On appelle erreur dinterpolation le terme u u
I
H
1
4.5.2 Erreur dinterpolation en dimension 1
Soit =]0, 1[, on consid` ere un maillage classique, d eni par les N + 2 points (x
i
)
i=0...N+1
, avec x
0
= 0 et
x
N+1
= 1, et on note
h
i
= x
i+1
x
i
, i = 0, . . . , N + 1, et h = max{|h
i
|, i = 0, . . . , N + 1}
On va montrer que si u H
2
(]0, 1[), alors on peut obtenir une majoration de lerreur dinterpolation u u
I
H
1 .
On rappelle (voir exercice 34 page 119) que si Si u H
1
(]0, 1[) alors u est continue.
En particulier, on a donc H
2
(]0, 1[) C
1
([0, 1]). Remarquons que ce r esultat est li e ` a la dimension 1, voir injection
de Sobolev, cours danalyse fonctionnelle ou [1]. On va d emontrer le r esultat suivant sur lerreur dinterpolation.
Th eor` eme 4.17 (majoration de lerreur dinterpolation, dimension 1) Soit u H
2
(]0, 1[), et soit u
I
son in-
terpol ee sur H
N
= V ect{
i
, i = 1, . . . , N}, o` u
i
d esigne la i-` eme fonction de base el ement ni P1 associ ee au
noeud x
i
dun maillage el ement ni de ]0, 1[. Alors il existe C IR ne d ependant que de u, tel que
u u
I
H
1 Ch. (4.21)
D emonstration : On veut estimer
u u
I
2
H
1 = |u u
I
|
2
0
+ |u u
I
|
2
1
o` u |v|
0
= v
L
2 et |v|
1
= Dv
L
2. Calculons |u u
I
|
2
1
:
|u u
I
|
2
1
=
_
1
0
|u
I
|
2
dx =
N
i=0
_
xi+1
xi
|u
(x) u
I
(x)|
2
dx.
Analyse num erique des EDP, M1 156 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.5. ANALYSE DERREUR CHAPITRE 4. EL
EM
I
=
u(x
i+1
) u(x
i
)
h
i
= u
(
i
),
pour un certain
i
]x
i
, x
i+1
[. On a donc :
_
xi+1
xi
|u
(x) u
I
(x)|
2
dx =
_
xi+1
xi
|u
(x) u
(
i
)|
2
dx.
On en d eduit que :
_
xi+1
xi
|u
(x) u
I
(x)|
2
dx =
_
xi+1
xi
|
_
x
i
u
(t)dt|
2
dx,
et donc, par lin egalit e de Cauchy-Schwarz,
_
xi+1
xi
|u
(x) u
I
(x)|
2
dx
_
xi+1
xi
_
x
i
|u
(t)|
2
dt|x
i
|dx
h
i
_
xi+1
xi
__
x
i
|u
(t)|
2
dt
_
dx,
car |x
i
| h
i
. En r eappliquant lin egalit e de Cauchy-Schwarz, on obtient :
_
xi+1
xi
|u
(x) u
I
(x)|
2
dx h
2
i
_
xi+1
xi
|u
(t)|
2
dt
En sommant sur i, ceci entraine :
|u u
I
|
2
1
h
2
_
1
0
|u
(t)|
2
dt. (4.22)
Il reste maintenant ` a majorer |u u
I
|
2
0
=
_
1
0
|u u
I
|
2
dx. Pour x [x
i
, x
i+1
]
|u(x) u
I
(x)|
2
=
__
x
xi
(u
(t) u
I
(t))dt
_
2
.
Par lin egalit e de Cauchy-Schwarz, on a donc :
|u(x) u
I
(x)|
2
_
x
xi
(u
(t) u
I
(t))
2
dt |x x
i
|
. .
hi
Par des calculs similaires aux pr ec edents, on obtient donc :
|u(x) u
I
(x)|
2
_
x
xi
h
i
__
xi+1
xi
|u
(t)|
2
dt
_
dxh
i
h
3
i
_
xi+1
xi
|u
(t)|
2
dt.
En int egrant sur [x
i
, x
i+1
], il vient :
_
xi+1
xi
|u(x) u
I
(x)|
2
dx h
4
i
_
xi+1
xi
(u
(t))
2
dt,
et en sommant sur i = 1, . . . , N :
_
1
0
(u(x) u
I
(x))
2
dx h
4
_
1
0
(u
(t))
2
dt.
On a donc :
|u u
I
|
0
h
2
|u|
2
ce qui entraine, avec (4.22) :
u u
I
2
h
4
|u|
2
2
+h
2
|u|
2
2
(1 +h
2
)h
2
|u|
2
2
On en d eduit le r esultat annonc e.
On en d eduit le r esultat destimation derreur suivant :
Analyse num erique des EDP, M1 157 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.5. ANALYSE DERREUR CHAPITRE 4. EL
EM
_
u H
1
0
()
a(u, v) =
_
u(x)v(x)dx =
_
f(x)v(x)dx,
,
et u
T
Lapproximation el ements nis P1 obtenue sur un maillage admissible T de pas h
T
= max
i=1,...,N
{|h
i
|}. Alors
il existe C IR ne d ependant que de et f tel que u u
T
< Ch.
Ce r esultat se g en eralise au cas de plusieurs dimensions despace (voir Ciarlet) ; si un ouvert polygonal convexe
de IR
d
, d 1, le r esultat des conditions g eom etriques sur le maillage, n ecessaires pour obtenir le r esultat dinterpo-
lation. Par exemple pour un maillage triangulaire en deux dimensions despace, intervient une condition dangle :
on demande que la famille de maillages consid er ee soit telle quil existe > 0 tel que pour tout
angle du maillage.
Remarque 4.19 (Sur les techniques destimation derreur) Lorsquon a voulu montrer des estimations der-
reur pour la m ethode des diff erences nies, on a utilis e le principe de positivit e, la consistance et la stabilit e
en norme L
. En volumes nis et el ements nis, on nutilise pas le principe de positivit e. En volumes nis, la
stabilit e en norme L
2
est obtenue gr ace ` a lin egalit e de Poincar e discr` ete, et la consistance est en fait la consis-
tance des ux. Notons quen volumes nis on se sert aussi de la conservativit e des ux num eriques pour la preuve
de convergence. Enn, en el ements nis, la stabilit e est obtenue gr ace ` a la coercivit e de la forme bilin eaire, et la
consistance provient du contr ole de lerreur dinterpolation.
M eme si le principe de positivit e nest pas explicitement utilis e pour les preuves de convergence des el ements nis
et volumes nis, il est toutefois int eressant de voir ` a quelles conditions ce principe est respect e, car il est parfois
tr` es important en pratique.
Reprenons dabord le cas du sch ema volumes nis sur un maillage T admissible pour la discr etisation de l equation
(3.1).
_
u = f dans
u = 0 sur .
Rappelons que le sch ema volumes nis s ecrit :
KC
_
_
Kint
K,L
(u
K
u
L
) +
Kext
K,
u
K
_
_
= |K|f
K
, (4.23)
avec
K,L
=
|K|L|
d(x
K
, x
L
)
et
K,
=
||
d(x
K
, )
,
o` u |K|, (resp. ||) d esigne la mesure de Lebesque en dimension d (resp. d 1) de K (resp. ).
Notons que les coefcients
K,L
et
K,
sont positifs, gr ace au fait que le maillage est admissible (et donc
X
K
X
L
= d(X
K
, X
L
) n
KL
, o` u
X
K
X
L
d esigne le vecteur dextr emit es X
K
et X
L
et n
KL
la normale unitaire
` a K|L sortante de K.
Notons que le sch ema (4.23) s ecrit comme une somme de termes d echange entre les mailles K et L, avec des
coefcients
KL
positifs. Cest gr ace ` a cette propri et e que lon montre facilement que le principe de positivit e
est v eri e. Consid erons maintenant la m ethode des el ements nis P1, pour la r esolution du probl` eme (3.1) sur
maillage triangulaire. On sait (voir par exemple Ciarlet) que si le maillage satisfait la condition faible de Delau-
nay (qui stipule que la somme de deux angles oppos es ` a une m eme ar ete doit etre inf erieure ` a ), alors le principe
du maximum est v eri e. Ce r esultat peut se retrouver en ecrivant le sch ema el ements nis sous la forme dun
sch ema volumes nis.
4.5.3 Super convergence
On consid` ere ici un ouvert polygonal convexe de IR
d
, d 1, et on suppose que f L
2
(). On sint eresse ` a
lapproximation par el ements nis P1 de la solution u H
1
0
() du probl` eme (3.5). On a vu dans le paragraphe
pr ec edent (corollaire 4.18) quon peut estimer lerreur en norme L
2
entre la solution exacte u et la solution ap-
proch ee par el ements nis P1 ; en effet, comme lerreur dinterpolation est dordre h, on d eduit une estimation
Analyse num erique des EDP, M1 158 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.5. ANALYSE DERREUR CHAPITRE 4. EL
EM
H
1
()
Ch et u u
T
L
2
()
Ch
2
.
D emonstration : Par le th eor` eme de r egularit e 3.9 page 102, il existe C
1
IR
+
ne d ependant que de tel que
u
H
2
()
C
1
f
L
2
()
.
Gr ace ` a ce r esultat, on a obtenu (voir le th eor` eme 4.18) quil existe C
2
ne d ependant que de , et tel que
u u
T
H
1
()
C
2
f
L
2h
Soit maintenant e
T
= u u
T
et H
1
0
() v eriant
_
(x).(x)dx =
_
e
T
(x)(x)dx, H
1
0
(). (4.24)
On peut aussi dire que est la solution faible du probl` eme
_
= e
T
dans
= 0 sur .
Comme e L
2
(), par le th eor` eme 3.9, il existe C
3
IR
+
ne d ependant que tel que
H
2
()
C
3
e
T
L
2
()
.
Or e
T
2
L
2
()
=
_
e
T
(x)e
T
(x)dx =
_
(x).e(x)dx, en prenant = e
T
dans (4.24).
Soit
T
la solution approch ee par el ements nis P1 du probl` eme (4.24), c.` a.d solution de :
_
T
V
T ,0
= {v C(
); v|
K
P
1
, K T , v|
= 0}
_
T
(x)v(x)dx =
_
e(x)v(x)dx, v V
T ,0
(4.25)
On sait que u
T
v erie :
_
T
(x).(u u
T
)(x)dx = 0;
on peut donc ecrire que :
e
T
2
L
2
(
=
_
(
T
)(x).(u u
T
)(x)dx
T
H
1
()
u u
T
H
1
()
Dapr` es le th eor` eme 4.18, on a :
T
H
1
()
C
2
e
L
2
()
h
T
et u u
T
H
1
()
C
2
f
L
2
()
h
T
.
On en d eduit que :
e
T
L
2
()
C
2
2
f
L
2
()
h
2
T
.
Ce qui d emontre le th eor` eme.
Analyse num erique des EDP, M1 159 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.6. EXERCICES CHAPITRE 4. EL
EM
H
1
M
u w
H
1
()
, w V
T
.
On a donc egalement :
u u
T
H
1
M
u w
H
1
()
, w V
T
.
puisque +w V
T
. Or, u = u H
2
().
Donc u u
T
H
1
M
u w
H
1
()
, w V
T
.
Et gr ace aux r esultats dinterpolation quon a admis, si on note u
I
linterpol ee de u dans V
T
, on a :
u u
T
H
1
()
M
u u
I
H
1
()
M
C
2
u
H
2
()
h.
On obtient donc encore une estimation derreur en h.
Examinons maintenant le syst` eme lin eaire obtenu avec cette nouvelle approximation. On effectue un d eveloppement
de Galerkin sur la base de V
T
. On pose
u
T
=
i=1,NT
u
i
i
+ .
Le probl` eme discr etis e revient donc ` a chercher
_
_
(u
s
)
i=1,NT
IR
N
et IR t.q.
j=1,NT
u
j
_
j
(x)
i
(x)dx +
_
(x)
i
(x)dx =
_
f(x)
i
(x)dx, i = 1, N
T
j=1,NT
u
j
_
i
(x) (x)dx +
_
(x) (x)dx =
_
f(x)(x)dx.
On obtient donc un syst` eme lin eaire de N
T
+ 1 equations ` a N
T
+ 1 inconnues.
4.6 Exercices
Exercice 48 (El ements nis P1 pour le probl` eme de Dirichlet) Corrig e en page 165
Soit f L
2
(]0, 1[). On sint eresse au probl` eme suivant :
u
EM
i
(x) =
_
_
_
1
|x x
i
|
h
si x K
i
K
i1
,
0 sinon.
Montrer que
i
H
N
pour tout i = 1, . . . , N et que H
N
est engendr e par la famille {
1
, . . . ,
N
}.
3. Donner le syst` eme lin eaire obtenu en remplacant H par H
N
dans la formulation faible. Comparer avec le sch ema
obtenu par diff erences nies.
Exercice 49 (Conditions aux limites de Fourier et Neumann) Corrig e en page 167
Soit f L
2
(]0, 1[). On sint eresse au probl` eme :
u
(0) u(0) = 0, u
(1) = 1.
(4.26)
Lexistence et lunicit e dune solution faible ont et e d emontr ees ` a lexercice 49 page 161. On sint eresse maintenant
` a la discr etisation de (4.26).
1. Ecrire une discr etisation d par diff erences nies pour un maillage non uniforme. Ecrire le syst` eme lin eaire
obtenu.
2. Ecrire une discr etisation de (4.26) par volumes nis pour un maillage non uniforme. Ecrire le syst` eme lin eaire
obtenu.
3. Ecrire une discr etisation par el ements nis conformes de type Lagrange P
1
de (4.26) pour un maillage non
uniforme. Ecrire le syst` eme lin eaire obtenu.
Exercice 50 (Conditions aux limites de Fourier et Neumann, bis)
Soit f L
2
(]0, 1[). On sint eresse au probl` eme : :
_
u
(x) u
(0) = 0, u(1) = 1
1. Ecrire une discr etisation par el ements nis conformes de type Lagrange P
1
pour un maillage uniforme. Ecrire
le syst` eme lin eaire obtenu.
2. Ecrire une discr etisation par volumes nis centr es pour un maillage uniforme. Ecrire le syst` eme lin eaire obtenu.
3. Ecrire une discr etisation par diff erences nies centr es de pour un maillage uniforme. Ecrire le syst` eme lin eaire
obtenu.
4. Quel est lordre de convergence de chacune des m ethodes etudi ees aux questions pr ec edentes ?
Exercice 51 (El ements nis pour un probl` eme p eriodique)
Soit =]0, 1[. On cherche ` a d eterminer u H
2
() tel que
u
(1) = u
(0) +p (4.27c)
avec f L
2
() et p un r eel donn e.
1. Montrer quil existe C IR tel que pour tout v H
1
(), sup
x[0,1]
|v(x)| Cv
H
1
()
. [On pourra com-
mencer par montrer que |v(x)| |v(y)| +
_
1
0
|v
EM
. Pour i = 0, . . . , n on pose x
i
= ih. Soit V
h
= {u
V : u|
[xi,xi+1]
P
1
, i = 0, . . . , n 1, }, o` u P
1
d esigne lensemble des polyn omes de degr e inf erieur ou egal ` a 1.
Soit la fonction d enie de IR dans IR par :
(x) =
_
_
1 x si x [0, 1],
1 +x si x [1, 0],
0 sinon.
On d enit les fonctions
i
, i = 1, . . . , n, de [0, 1] dans IR, par
_
i
(x) = (
x x
i
h
) pour i = 1, . . . , n 1,
n
(x) = max
_
(
x
h
), (
x 1
h
)
_
(a) Repr esenter graphiquement les fonctions
i
, i = 1, . . . , n et montrer que (
1
, . . . ,
n
) forme une base de
lespace V
h
.
(b) V erier que la m ethode d el ements nis ainsi choisie est une m ethode conforme..
(c) Montrer que le probl` eme faible approch e qui consiste ` a trouver u
h
solution de
u
h
V
h
; a(u
h
, v
h
) = T(v
h
) pour tout v
h
V
h
(4.29)
est equivalent ` a d eterminer U
h
IR
n
tel que
A
h
U
h
= b
h
,
o` u A
h
est une matrice n n et b
h
IR
n
; donner lexpression de b
h
et des coefcients de A
h
en fonction de f et
p.
4. Montrer quil existe C > 0 ind ependant de u et u
h
tel que
u u
h
H
1
()
C inf
v
h
V
h
u v
h
H
1
()
. (4.30)
5. On d enit lop erateur dinterpolation r
h
: V V
h
qui ` a tout v V associe l el ement r
h
(v) V
h
d eni par
r
h
(v)(x
i
) = v(x
i
) pour tout i {0, . . . , n 1}.
(a) V erier que r
h
est d eni de mani` ere unique, et montrer quil existe
C IR
+
ne d ependant ni de v ni de h
tel que pour tout v V H
2
(),
v r
h
(v)
H
1
()
Chv
H
2
()
.
(b) En d eduire que u
h
converge vers u lorsque h tend vers 0.
Exercice 52 (El ements nis pour un probl` eme avec conditions mixtes)
Soit f L
2
(]0, 1[. On sint eresse ici au probl` eme
u
(1) = 0,
(4.31)
Analyse num erique des EDP, M1 162 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.6. EXERCICES CHAPITRE 4. EL
EM
h
(1) = 0 ?
Exercice 53 (El ements nis pour un probl` eme de r eaction-diffusion) Corrig e en page 169
Soit un r eel positif ou nul, et f une fonction continue. On consid` ere le probl` eme suivant
u
(0) = u(0),
u
(1) = 0.
(4.32)
o` u u
(x)v
(x) dx +
_
1
0
u(x)v(x) dx +u(0)v(0) =
_
1
0
f(x)v(x) dx, v H
1
(]0, 1[).
(4.33)
1.2.a D eterminer le probl` eme aux limites dont la formulation faible est (4.33).
1.2.b. Montrer que si > 0, (4.33) admet une unique solution.
D emontrer que ceci est encore vrai pour = 0 en appliquant lin egalit e de Poincar e ` a la fonction v v(0)..
2. Discr etisation par el ements nis.
Soit V
h
lensemble des fonctions continues sur [0, 1] dont la restriction ` a chaque intervalle [x
i
, x
i+1
] est afne pour
0 i N 1.
2.1 Quelle est la dimension de V
h
?
2.2. Donner la discr etisation el ements nis de (4.33).
2.3 Montrer que le probl` eme discret ainsi obtenu admet une solution unique.
2.4 Ecrire le probl` eme discret sous la forme dun syst` eme lin eaire AU = b en explicitant les dimensions des
vecteurs et matrice et en donnant leur expression.
2.5 Donner une borne sup erieure de lerreur u
h
u
H
1
(0,1)
.
Exercice 54 (El ements nis Q1) Corrig e en page 171
On consid` ere le rectangle de sommets (1, 0), (2, 0), (1, 1), (2, 1). On sint eresse ` a la discr etisation par
el ements nis de lespace fonctionnel H
1
().
I. On choisit de d ecouper en deux el ements e
1
et e
2
d enis par les quadrilat` eres de sommets respectifs M
1
(1, 1),
M
2
(0, 1), M
5
(1, 0), M
4
(1, 0) et M
2
(0, 1), M
3
(2, 1), M
6
(2, 0), M
5
(1, 0).
On prend comme noeuds les points M
1
, . . . , M
6
et comme espace par el ement lensemble des polyn omes Q
1
. On
note
1
= {M
4
, M
5
, M
2
, M
1
} et
2
= {M
5
, M
6
, M
3
, M
2
}.
On a donc construit la discr etisation {(e
1
,
1
, Q
1
), (e
2
,
2
, Q
1
)}.
Analyse num erique des EDP, M1 163 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.6. EXERCICES CHAPITRE 4. EL
EM
_
u
(x) +u(x) = x
2
, 0 < x < 1
u(0) = 0,
u
(1) = 1.
(4.34)
1. Donner une formulation faible du probl` eme (4.34)
2. D emontrer que le probl` eme (4.34) admet une unique solution.
3. On partage lintervalle ]0, 1[ en N intervalles egaux et on approche la solution par une m ethode d el ements nis
de degr e 2. Ecrire le syst` eme quil faut r esoudre.
Exercice 57 (El ements nis P1 sur maillage triangulaire) Corrig e en page 175
On veut r esoudre num eriquement le probl` eme
u(x, y) = f(x, y), (x, y) D = (0, a) (0, b),
u(x, y) = 0, (x, y) D,
o` u f est une fonction donn ee, appartenant ` a L
2
(D). Soient M, N deux entiers. On d enit
x =
a
M + 1
, y =
b
N + 1
et on pose
x
k
= kx, 0 k M + 1, y
l
ly, 0 l N + 1
On note
T
0
k+1/2,l+1/2
le triangle de sommets (x
k
, y
l
), (x
k+1
, y
l
), (x
k+1
, y
l+1
),
T
1
k+1/2,l+1/2
le triangle de sommets (x
k
, y
l
), (x
k
, y
l+1
), (x
k+1
, y
l+1
).
Ecrire la matrice obtenue en discr etisant le probl` eme avec les el ements nis triangulaires lin eaires (utilisant le
maillage pr ec edent).
Analyse num erique des EDP, M1 164 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.7. CORRIG
EM
i=1
p(a
i
) 2
8
i=5
p(a
i
) + 4p(a
9
) = 0.
2. En d eduire une forme lin eaire telle que si p P = {p Q
2
, (p) = 0} et p(a
i
) = 0 pour i = 1, . . . 8, alors
p = 0. 3. Calculer les fonctions de base de l el ement ni (C, P, ), avec = {a
1
, . . . , a
8
}.
Exercice 60 (El ements nis Q
2
)
Soit C = [1, 1] [1, 1]. On note a
1
, . . . , a
8
les noeuds de C, d enis par
a
1
= (1, 1), a
2
= (1, 1), a
3
= (1, 1), a
4
= (1, 1),
a
5
= (0, 1), a
6
= (1, 0), a
7
= (0, 1), a
8
= (1, 0).
On rappelle que Q
2
= V ect{1, x, y, xy, x
2
, y
2
, x
2
y, xy
2
, x
2
y
2
} et que dim Q
2
= 9. On note Q
2
lespace de
polyn ome engendr e par les fonctions {1, x, y, xy, x
2
, y
2
, x
2
y, xy
2
}.
a) Construire (
i
)
i=1,...,8
Q
2
tel que
j
(a
i
) =
ij
i, j = 1, . . . , 8.
b) Montrer que est Q
2
-unisolvant, avec = {a
1
, . . . , a
8
}.
c) Soit S = [1, 1] {1},
S
= S, et soit P lensemble des restrictions ` a S des fonctions de Q
2
, i.e.
P = {f|
S
; f Q
2
}. Montrer que
S
est P-unisolvant. La propri et e est elle vraie pour les autres ar etes de C ?
4.7 Corrig es des exercices
Exercice 48 page 160
1.Soit v H
N
, comme H
N
C([0, 1]), on a v L
2
(]0, 1[). Dautre part, comme v|
Ki
P
1
, on a v|
Ki
(x) =
i
x +
i
, avec
i
,
i
IR. Donc v admet une d eriv ee faible dans L
2
(]0, 1[), et Dv|
Ki
=
i
on a donc :
Dv
L
2 max
i=1,...,N
|
i
| < +.
De plus v(0) = v(1) = 0, donc v H
1
0
(]0, 1[).
On en d eduit que H
N
H
1
0
(]0, 1[).
Analyse num erique des EDP, M1 165 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.7. CORRIG
ES CHAPITRE 4. EL
EM
i
(x) =
_
_
1
x x
i
h
si x K
i
1 +
x x
i
h
si x K
i1
0 si x ]0, 1[ K
i
K
i1
On en d eduit que
i
|
Kj
P
1
pour tout j = 0, . . . , N.
De plus, les fonctions
i
sont clairement continues. Pour montrer que
i
H
N
, il reste ` a montrer que
i
(0) =
i
(1) = 0. Ceci est imm ediat pour i = 2, . . . , N 1, car dans ce cas
i
|
K0
=
i
|
KN+1
= 0. On v erie alors
facilement que
1
(0) = 1
h
h
= 0 et
N
(1) = 0.
Pour montrer que H
N
= V ect{
1
, . . . ,
N
}, il suft de montrer que {
1
, . . . ,
N
} est une famille libre de H
N
.
En effet, si
N
i=1
a
i
i
= 0, alors en particulier
N
i=1
a
i
i
(x
k
) = 0, pour k = 1, . . . , N, et donc a
k
= 0 pour
k = 1, . . . , N.
3. Soit u =
N
j=1
u
j
j
solution de
a(u,
i
) = T(
i
) i = 1, . . . , N.
La famille (u
j
)
j=1,...,N
est donc solution du syst` eme lin eaire
N
j=1
K
i,j
u
j
= G
i
i = 1, . . . , N
o` u K
i,j
= a(
j
,
i
) et G
i
= T(
i
). Calculons K
i,j
et G
i
; on a :
K
i,j
=
_
1
0
j
(x)
i
(x)dx; or
i
(x) =
_
_
1
h
si x ]x
i1
x
i
[
1
h
si x ]x
i
, x
i+1
[,
0 ailleurs
On en d eduit que :
K
i,i
=
_
1
0
(
i
(x))
2
dx = 2h
1
h
2
=
2
h
pour i = 1, . . . , N,
K
i,i+1
_
1
0
i
(x)
i+1
(x)dx = h
1
h
2
=
1
h
, pour i = 1, . . . , N 1,
K
i,i1
=
_
1
0
i
(x)
i1
(x)dx =
1
h
pour i = 2, . . . , N,
K
i,j
= 0 pour |i j| > 1.
Calculons maintenant G
i
:
G
i
=
_
xi+1
xi1
f(x)
i
(x)dx
Si f est constante, on a alors G
i
= f
_
xi+1
xi1
i
(x)dx = hf. Si f nest pas constante, on proc` ede ` a une int egration
num erique. On peut, par exemple, utiliser la formule des trap` ezes pour le calcul des int egrales
_
xi
xi1
f(x)
i
(x)dx
et
_
xi+1
xi
f(x)
i
(x)dx. On obtient alors :
G
i
= hf(x
i
).
Le sch ema obtenu est donc :
_
2u
i
u
i1
u
i+1
= h
2
f(x
i
) i = 1, . . . , N
u
0
= u
N+1
= 0
Cest exactement le sch ema diff erences nis avec un pas constant h.
Analyse num erique des EDP, M1 166 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.7. CORRIG
ES CHAPITRE 4. EL
EM
(x
i
) +u(x
i
) = f(x)
On ecrit les d eveloppements de Taylor de u(x
i+1
) et u(x
i1
) :
u(x
i+1
) = u(x
i
) +h
i+
1
2
u
(x
i
) +
1
2
h
2
i+
1
2
u
(x
i
) +
1
6
h
3
i+
1
2
u
(
i
), avec
i
[x
i
, x
i+1
],
u(x
i1
) = u(x
i
) h
i
1
2
u
(x
i
) +
1
2
h
2
i
1
2
u
(x
i
)
1
6
h
3
i
1
2
u
(
i
), avec
i
[x
i1
, x
i
],
En multipliant la premi` ere egalit e par h
i
1
2
, la deuxi` eme par h
i+
1
2
et en additionnant :
u
(x
i
) =
2
h
i+
1
2
h
i
1
2
(h
i+
1
2
+h
i
1
2
)
_
h
i
1
2
u(x
i+1
) +h
i+
1
2
u(x
i1
) + (h
i+
1
2
+h
i
1
2
)u(x
i
)
_
1
6
h
2
i+
1
2
h
i+
1
2
+h
i
1
2
u
(
i
) +
1
6
h
2
i
1
2
h
i+
1
2
+h
i
1
2
u
(
i
).
En posant
i
=
2
h
i+
1
2
h
i
1
2
(h
i+
1
2
+h
i
1
2
)
, on d eduit donc lapproximation aux diff erences nies suivante pour tous
les noeuds internes :
i
_
h
i
1
2
u
i+1
+h
i+
1
2
u
i1
+ (h
i+
1
2
+h
i
1
2
)u
i
_
+u
i
= f(x
i
), i = 1, . . . , N.
La condition de Fourier en 0 se discr etise par
u
1
u
0
h1
2
u
0
= 0,
et la condition de Neumann en 1 par :
u
N+1
u
N
h
N+
1
2
= 1.
On obtient ainsi un syst` eme lin eaire carr e dordre N + 1.
2. On prend maintenant une discr etisation volumes nis non uniforme ; on se donne N IN
et h
1
, . . . , h
N
> 0 t.q.
N
i=1
h
i
= 1. On pose x1
2
= 0, x
i+
1
2
= x
i
1
2
+h
i
, pour i = 1, . . . , N (de sorte que x
N+
1
2
= 1), h
i+
1
2
=
hi+1+hi
2
,
pour i = 1, . . . , N 1, et f
i
=
1
hi
_
x
i+
1
2
x
i
1
2
f(x)dx, pour i = 1, . . . , N.
En int egrant la premi` ere equation de (4.26), et en approchant les ux u
(x
i+
1
2
) par le ux num erique F
i+
1
2
, on
obtient le sch ema suivant :
F
i+
1
2
F
i
1
2
+h
i
u
i
= h
i
f
i
, i {1, . . . , N}, (4.35)
o` u (F
i+
1
2
)
i{0,...,N}
donn e en fonction des inconnues discr` etes (u
1
, . . . , u
N
) par les expressions suivantes, tenant
compte des conditions aux limites :
F
i+
1
2
=
u
i+1
u
i
h
i+
1
2
, = i {1, . . . , N 1}, (4.36)
F1
2
=
u
1
u
0
x1
2
, (4.37)
F1
2
u
0
= 0 (4.38)
F
N+
1
2
= 1. (4.39)
Notons que u
0
peut etre elimin e des equations (4.37) et(4.38). On obtient ainsi un syst` eme lin eaire de N equations
` a N inconnues :
Analyse num erique des EDP, M1 167 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.7. CORRIG
ES CHAPITRE 4. EL
EM
u
2
u
1
h3
2
+
u
1
1
x1
2
+h
1
u
1
= h
1
f
1
, (4.40)
u
i+1
u
i
h
i+
1
2
+
u
i
u
i1
h
i
1
2
+h
i
u
i
= h
i
f
i
, i {2, . . . , N 1}, (4.41)
1 +
u
N
u
N1
h
N
1
2
+h
N
u
N
= h
N
f
N
, (4.42)
3. Comme pour les diff erences nies, on se donne (x
i
)
i=1,...,N+1
une discr etisation de lintervalle [0, 1], avec
0 = x
0
< x
1
< x
i
< x
i+1
< x
N
< x
N+1
= 1. Pour i = 1, . . . , N, on pose h
i+
1
2
= x
i+1
x
i
et
K
i+
1
2
= [x
i
, x
i+1
], pour i = 0, . . . , N. On d enit lespace dapproximation H
N
= {v C([0, 1], IR) t.q.
v|
K
i+
1
2
P
1
, i = 0, . . . , N}, o` u P
1
d esigne lensemble des polyn omes de degr e inf erieur ou egal ` a 1. Remarquons
que lon a bien H
N
H.
Pour i = 1, . . . , N, on pose :
i
(x) =
1
hi
1
2
(x x
i1
) si x K
i
1
2
,
i
(x) =
1
hi+
1
2
(x
i+1
x) si x K
i+
1
2
,
i
(x) = 0 sinon,
(4.43)
et on pose egalement
N+1
(x) =
1
hN+
1
2
(x x
N
) si x K
N+
1
2
,
N+1
(x) = 0 sinon,
(4.44)
0
(x) =
1
h
1
2
(x
1
x) si x K1
2
,
0
(x) = 0 sinon,
(4.45)
On v erie facilement que
i
H
N
pour tout 0 = 1, . . . , N + 1 et que H
N
= V ect{
0
, . . . ,
N+1
}.
La formulation el ements nis s ecrit alors :
u
(N)
H
N
,
a(u
(N)
, v) = T(v), v H
N
,
(4.46)
Pour construire le syst` eme lin eaire ` a r esoudre, on prend successivement v =
i
, i = 0, . . . , N + 1 dans (4.46).
Soit u
(N)
=
N+1
j=0
u
j
j
solution de
a(u
(N)
,
i
) = T(
i
) i = 0, . . . , N + 1.
La famille (u
j
)
j=0,...,N+1
est donc solution du syst` eme lin eaire
N
j=0
K
i,j
u
j
= G
i
i = 0, . . . , N + 1,
o` u K
i,j
= a(
j
,
i
) et G
i
= T(
i
). Calculons K
i,j
et G
i
; on a : K
ij
=
_
1
0
j
(x)
i
(x)dx +
_
1
0
j
(x)
i
(x)dx.
Or
i
(x) =
_
_
1
h
i
1
2
si x ]x
i1
x
i
[
1
h
i+
1
2
si x ]x
i
, x
i+1
[
0 ailleurs.
Donc si 1 i = j N, on a
K
i,i
=
_
1
0
(
i
(x))
2
dx +
_
1
0
(
i
(x))
2
dx =
1
h
i
1
2
+
1
h
i+
1
2
+
h
i
1
2
3
+
h
i+
1
2
3
.
Analyse num erique des EDP, M1 168 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.7. CORRIG
ES CHAPITRE 4. EL
EM
N+1
(x))
2
dx +
_
1
0
(
N+1
(x))
2
dx =
1
h
N+
1
2
+
h
N+
1
2
3
.
Si i = j = 0, alors
K
0,0
=
_
1
0
(
0
(x))
2
dx +
_
1
0
(
0
(x))
2
dx +
2
0
=
1
h1
2
+
h1
2
3
+ 1.
Si 0 i N et j = i + 1, on a :
K
i,i+1
=
_
1
0
i
(x)
i+1
(x)dx +
_
1
0
i
(x)
i+1
(x)dx = h
i+
1
2
1
h
2
i+
1
2
+
h
i+
1
2
2
h
i+
1
2
3
=
1
h
i+
1
2
+
h
i+
1
2
6
.
La matrice etant sym etrique, si 2 i N + 1 et j = i 1, on a :
K
i,i1
= K
i1,i
=
1
h
i
1
2
+
h
i
1
2
6
.
Calculons maintenant G
i
.
G
i
=
_
xi+1
xi1
f(x)
i
(x)dx +
i
(1).
Si f est constante, on a alors G
i
= f
_
xi+1
xi1
i
(x)dx +
i
(1) =
1
2
(h
i
1
2
+h
i+
1
2
)f +
i
(1).
Si f nest pas constante, on proc` ede ` a une int egration num erique. On peut, par exemple, utiliser la formule des
trap` ezes pour le calcul des int egrales
_
xi
xi1
f(x)
i
(x)dx et
_
xi+1
xi
f(x)
i
(x)dx. On obtient alors :
G
i
=
1
2
(h
i
1
2
+h
i+
1
2
)f(x
i
) +
i
(1).
Le sch ema obtenu est donc :
_
_
(
1
h
i
1
2
+
1
h
i+
1
2
+
h
i
1
2
3
+
h
i+
1
2
3
)u
i
+ (
h
i
1
2
6
1
h
i
1
2
)u
i1
+ (
h
i+
1
2
6
1
h
i+
1
2
)u
i+1
=
1
2
(h
i
1
2
+h
i+
1
2
)f(x
i
) i = 1, . . . , N
(
1
h1
2
+
h1
2
3
+ 1)u
0
+ (
1
h
i+
1
2
+
h
i+
1
2
6
)u
1
=
1
2
h1
2
f(x
0
)
(
1
h
N+
1
2
+
h
N+
1
2
3
)u
N+1
(
h
N+
1
2
6
1
h
N+
1
2
=
1
2
h
N+
1
2
f(x
N+1
) + 1.
Exercice 53 page 163 : El ements nis pour un probl` eme de r eaction-diffusion
1.1 Soit v une fonction sufsamment r eguli` ere, on multiplie la premi` ere equation de (4.32) par v et on int` egre sur
]0, 1[. En effectuant des int egrations par parties et en tenant compte des conditions aux limites, on obtient :
_
1
0
u
(x)v
(x) dx +
_
1
0
u(x)v(x) dx +u(0)v(0) =
_
1
0
f(x)v(x) dx.
Pour que les int egrales aient un sens, il suft de prendre u, v H
1
(]0, 1[), auquel cas les fonctions sont continues
et donc les valeurs u(0) et v(0) ont aussi un sens. On en d eduit quune formulation faible est
u H
1
(]0, 1[)
_
1
0
u
(x)v
(x) dx +
_
1
0
u(x)v(x) dx +u(0)v(0) =
_
1
0
f(x)v(x) dx, v H
1
(]0, 1[).
Analyse num erique des EDP, M1 169 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.7. CORRIG
ES CHAPITRE 4. EL
EM
(x)v
(x) dx+
_
1
0
u(x)v(x) dx+
u(0)v(0) et T la forme lin eaire continue d enie par T(v) =
_
1
0
f(x)v(x) dx.
-
1.2.a Supposons u r eguli` ere, et prenons dabord v C
1
c
(]0, 1[). On a alors
_
1
0
u
(x)v
(x) dx +
_
1
0
u(x)v(x) dx +u(0)v(0) =
_
1
0
f(x)v(x) dx
et donc en int egrant par parties :
_
1
0
(u
(0) +u(0))v(0) +u
(1)v(1) = 0.
Comme ceci est vrai pout toute fonction v H
1
(]0, 1[), on en d eduit que u v erie (4.32).
1.2.b. On peut appliquer le lemme de Lax Milgram; en effet,
la forme lin eaire T est continue car |T(v)| = |
_
1
0
f(x)v(x)| dx f
L
2v
L
2 par lin egalit e de Cauchy
Schwarz, et donc |T(v)| Cv
L
2 avec C = f
L
2.
la forme bilin eaire a (qui est evidemment sym etrique, ce qui nest dailleurs pas n ecessaire pour appliquer
Lax-Milgram) est continue ; en effet :
|a(u, v)| u
L
2v
L
2 + u
L
2v
L
2 + |u(0)||v(0)|;
or pour tout x ]0, 1[ v(0) = v(x) +
_
x
0
v
L
2. En int egrant cette in egalit e entre 0 et 1, on obtient
|v(0)| v
L
1 +v
L
2 v
L
2 +v
L
2 2v
H
1 .
La meme in egalit e est evidemment vraie pour u(0). On en d eduit que :
a(u, v) u
L
2v
L
2 + u
L
2v
L
2 + 4u
H
1v
H
1
u
H
1v
H
1 + u
H
1 v
H
1 + 4u
H
1v
H
1
(5 + )u
H
1v
H
1 ,
ce qui prouve que a est continue.
Montrons maintenant que a est coercive. Dans le cas o` u > 0, ceci est facile ` a v erier, car on a
a(u, u) =
_
1
0
u
(x)
2
dx +
_
1
0
u(x)
2
dx +u(0)
2
min(, 1)u
2
H
1.
Par le lemme de Lax -Milgram, on peut donc conclure ` a lexistence et lunicit e de la solution de (4.33).
Dans le cas o` u = 0, on applique lin egalit e de Poincar e ` a la fonction w = uu(0), ce qui est licite car w(0) = 0 ;
on a donc : w
L
2 w
L
2, et donc u
L
2 uu(0)
L
2. On en d eduit que a(u, u) uu(0)
2
L
2
+u(0)
2
1
2
u
2
L
2
.
On ecrit alors que
a(u, u) =
1
2
a(u, u) +
1
2
a(u, u)
1
2
u
2
L
2 +
1
4
u
2
L
2
1
4
u
2
H
1,
ce qui montre que la forme bilin eaire a est encore coercive.
Analyse num erique des EDP, M1 170 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.7. CORRIG
ES CHAPITRE 4. EL
EM
i
(x) = min
_
1
h
(x x
i1
)
+
, (
1
h
(x
i+1
x)
+
_
pour i = 1, . . . , N 1,
1
(x) =
1
h
(x
1
x)
+
,
N
(x) =
1
h
(x x
N+1
)
+
.
On en d eduit que lespace V
h
est de dimension N + 1.
2.2. Le probl` eme discr etis e par el ements nis s ecrit :
u
h
V
h
_
1
0
u
h
(x)v
h
(x) dx +
_
1
0
u
h
(x)v
h
(x) dx +u
h
(0)v
h
(0) =
_
1
0
f(x)v
h
(x) dx, v
h
V
h
.
(4.47)
2.3 Comme on a effectu e une discr etisation par el ements nis conformes, le lemme de Lax Milgram sapplique ` a
nouveau.
2.4 Commencons par le second membre : B = (b
i
)
0iN
, avec b
i
=
_
1
0
f(x)
i
(x)dx.
Calculons A
i,j
= A
j,i
= a(
i
,
j
) =
_
1
0
i
(x)
j
(x) dx +
_
1
0
i
(x)
j
(x) dx +
i
(0)
j
(0), pour i = 1, . . . , N.
En raison de la forme des fonctions de base (
i
)
i=0,N
les seuls termes non nuls sont les termes A
i1,i
, A
i,i
et
A
i,i+1
. Apr` es calculs, on obtient :
A =
_
_
1
h
+
h
3
+ 1
1
h
+
h
6
0 0 . . . 0
1
h
+
h
6
2
h
+
2h
3
1
h
+
h
6
.
.
. 0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 0
0 . . . 0
1
h
+
h
6
2
h
+
2h
3
1
h
+
h
6
0 . . . 0
1
h
+
h
6
1
h
+
h
3
_
_
2.5 Soit u H
1
(]0, 1[) une solution de (4.33). Alors u
L
2
(0,1)
Cuu
I
L
2
(0,1)
o` u C est la racine
carr ee du rapport de la constante de continuit e sur la constante de coercivit e, c.` a.d. C =
_
5+
min(,1)
. De plus, on a
aussi vu que si u H
2
(]0, 1[), lerreur dinterpolation est dordre h; plus pr ecis ement, on a :
u u
I
2
L
2
(0,1)
(1 +h
2
)h
2
u
2
L
2
(0,1)
On en d eduit que
u
h
u
H
1
(0,1)
5 +
min(, 1)
_
1 +h
2
u
L
2
(0,1)
h.
Correction de lexercice 54 page 163
I.1. On note x, y les deux variables de IR
2
. Lespace Q
1
est lensemble des polyn omes de la forme a+bx+cy+dxy
avec a, b, c, d IR. On a donc dim Q
1
= 4 = Card
1
= Card
2
pour montrer que (e
1
,
1
, Q
1
) est un el ement
ni de Lagrange, il suft de montrer que f Q
1
et f|
1
= 0 implique f = 0. Soient donc a, b, c, d, IR. On pose
f(x, y) = a +bx +cy +dxy pour (x, y) e
1
et on suppose que f|
1
= 0, cest ` a dire : f(1, 1) = 0, f(0, 1) =
0, f(1, 0) = 0 et f(1, 0) = 0. On a donc :
_
_
a b + c d = 0
a +c = 0
a +b = 0
a b = 0
Analyse num erique des EDP, M1 171 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.7. CORRIG
ES CHAPITRE 4. EL
EM
_
a +c = 0
a + 2b + c + 2d = 0
a + 2b = 0
a +b = 0
Les deux derni` eres equations donnent a = b = 0, la premi` ere donne alors c = 0 et, nalement, la quatri` eme donne
d = 0. On a donc montr e que f = 0. On en d eduit que (e
2
,
2
, Q
1
) est un el ement ni de Lagrange.
I.2. Lespace (de dimension nie) associ e ` a cette discr etisation est engendr e par les six fonctions de base globales.
On va montrer que la fonction de base associ ee ` a M
1
(par exemple) nest pas dans H
1
(). On note
1
cette
fonction de base. On doit avoir
1|e1
Q
1
,
1|e2
Q
1
et
1
(M
1
) = 1,
1
(M
i
) = 0 si i = 1. On en d eduit que
1
= 0 sur e
2
et
1
(x, y) = xy si (x, y) e
1
. On a bien
1
L
2
() mais on va montrer maintenant que
1
na
pas de d eriv ee faible dans L
2
() (et donc que
1
H
1
()). On va sint eresser ` a la d eriv ee faible par rapport ` a x
(mais on pourrait faire un raisonnement similaire pour la d eriv ee faible par rapport ` a y). On suppose que
1
a une
d eriv ee faible par rapport ` a x dans L
2
() (et on va montrer que ceci m` ene ` a une contradiction). Supposons donc
quil existe une fonction L
2
() telle que
I =
_
2
1
_
1
0
1
(x, y)
x
(x, y)dxdy =
_
2
1
_
1
0
(x, y)(x, y)dxdy, pour tout C
c
(). (4.48)
Soit C
c
(), comme
1
est nulle sur e
2
, on a I =
_ _
e1
1
(x, y)
x
(x, y)dxdy et donc :
I =
_
1
0
__
1y
1
(xy)
x
(x, y)dx
_
dy.
Par int egration par parties, en tenant compte du fait que est ` a support compact sur , on obtient :
I =
_
1
0
__
1y
1
y (x, y)dx (1 y)y(1 y, y)
_
dy
=
_
1
0
_
2
1
y1
e1
(x, y)(x, y)dx
_
1
0
(1 y)y(1 y, y)dy.
En posant
(x, y) = (x, y) +y1
e1
(x, y) , on a
L
2
() et :
_
1
0
(1 y)y(1 y, y)dy =
_
2
1
_
1
0
c
(). On remarque tout
dabord quil existe C
c
() t.q.
_
1
0
(1 y)(y)(1 y, y)dy > 0.
(Il suft de choisir C
c
() t.q. 0 et (1y, y) > 0 pour y =
1
2
, par exemple.) On se donne maintenant
une fonction C
c
(IR) t.q. (0) = 1 et = 0 sur [1, 1]
c
et on ecrit (4.49) avec
n
au lieu de , o` u
n
est
d enie par :
n
(x, y) = (x, y)(n(x +y 1))
(noter que lon a bien
n
C
c
() car C
(IR) et C
c
()) On a donc
_
1
0
(1 y)y
n
(1 y, y)dy =
_
2
1
_
1
0
(x, y)
n
(x, y) dxdy.
Analyse num erique des EDP, M1 172 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.7. CORRIG
ES CHAPITRE 4. EL
EM
n
0 p.p., et |
n
|
| || L
1
().
Ceci donne la contradiction d esir ee et donc que
1
H
1
(). Lhypoth` ese non v eri ee (pour avoir la coh erence
globale) est lhypoth` ese (4.7). En posant S = e
1
e
2
, on a
1
S =
2
S = {M
2
, M
5
},
et on a, bien s ur,
1
|
S
=
1
|
S
mais on remarque que ({M
2
, M
5
}, Q
1
|
S
) nest pas unisolvant car Card({M
2
, M
5
}) =
2 et dim(Q
1
|
S
) = 3.
II.1. Les quatre fonctions de base de (e, , P) sont :
1
(x, y) =
1
4
(x + 1)(y + 1)
2
(x, y) =
1
4
(x + 1)(y 1)
3
(x, y) =
1
4
(x 1)(y + 1)
4
(x, y) =
1
4
(x 1)(y 1).
II.2.
Construction de F
1
Pour (x, y) e, on pose
F
1
(x, y) = M
1
3
(x, y) +M
2
1
(x, y) +M
5
2
(x, y) + M
4
4
(x, y),
ce qui donne
4F
1
(x, y) =
_
1
1
_
(1 x)(1 +y) +
_
0
1
_
(1 +x)(1 +y) +
_
1
0
_
(1 +x)(1 y) +
_
1
0
_
(1 x)(1 y)
et donc
4F
1
(x, y) =
_
1 + 3x y xy
2(1 +y)
_
.
Pour y [1, 1] x e, la premi` ere composante de F
1
(x, y) est lin eaire par rapport ` a x et F
1
(, y) est une bijection
de [1, 1] {y} dans [1,
1y
2
] {
1+y
2
}. On en d eduit que F
1
est une bijection de e dans e
1
.
Construction de F
2
Pour (x, y) e, on pose
F
2
(x, y) = M
2
3
(x, y) +M
3
1
(x, y) +M
6
2
(x, y) + M
5
4
(x, y),
ce qui donne
4F
2
(x, y) =
_
0
1
_
(1 x)(1 +y) +
_
2
1
_
(1 +x)(1 +y) +
_
2
0
_
(1 +x)(1 y) +
_
1
0
_
(1 x)(1 y)
et donc 4F
2
(x, y) =
_
5 + 3x y +xy
2 + 2y
_
Pour y [1, 1] x e, la premi` ere composante de F
2
(x, y) est lin eaire
par rapport ` a x et F
2
(., y) est une bijection de [1, 1] {y} dans
_
1y
2
, 2
_
1+y
2
_
On en d eduit que F
2
est une
bijection de e dans e
2
. Les fonctions F
1
et F
2
ne sont pas afnes.
II.3. Les el ements (e
1
,
1
, P
e1
) et (e
2
,
2
, P
e2
) sont les el ements nis de Lagrange construits ` a partir de l el ement
ni de Lagrange (e, , P) et des bijections F
1
et F
2
(de e dans e
1
et de e dans e
2
), voir la proposition 4.10 page
140. Pour montrer que lespace vectoriel construit avec (e
1
,
1
, P
e1
) et (e
2
,
2
, P
e2
) est inclus dans H
1
(), il
suft de v erier la propri et e de coh erence globale donn ee dans la proposition 4.11 page 141. On pose
S = e
1
e
2
= {(x, y)
, x +y = 1}
= {(1 y, y), y [0, 1]}
Analyse num erique des EDP, M1 173 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.7. CORRIG
ES CHAPITRE 4. EL
EM
P = {
f :
K IR, x = ( x
1
, x
2
) f( x) = a
1
x
1
+a
2
x
2
+b}.
Comme (
K,
,
P) et ((K, , P) sont afnes equivalents, on a par d enition :
P = {f : K IR; f =
f F
1
,
f
P},
o` u F est une fonction afne de
K dans K la fonction F
1
est donc aussi afne et s ecrit donc sous la forme :
F
1
(x) = F
1
((x
1
, x
2
)) = (
1
x
1
+
1
x
2
+ +,
1
x
1
+
2
x
2
+ )
Donc si f =
f F
1
P, on a
f(x) =
f F
1
((x
1
, x
2
))
=
f[(
1
x
1
+
2
x
2
+ ,
1
x
1
+
2
x
2
+ )]
= A
1
x
1
+A
2
x
2
+B
o` u A
1
, A
2
et B IR
2
. On en d eduit que f est bien afne. Lespace P est donc constitu e de fonctions afnes. Pour
montrer que les fonctions de base locales sont afnes, il suft de montrer que lespace P est constitu e de toutes les
fonctions afnes. En effet, si f est afne, i.e. f(x
1
, x
2
) = A
1
x
1
+ A
2
x
2
+ B, avec A
1
, A
2
, B IR
2
, on montre
facilement que
f : f F
P, ce qui montre que f P.
Analyse num erique des EDP, M1 174 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.7. CORRIG
ES CHAPITRE 4. EL
EM
_
_
D
u(x)v(x)dx =
_
D
f(x)v(x)dx, v H
1
0
()
u H
1
0
()
On note I = {(k, ), 1 k M, 1 N} noter que Card I = MN). Lespace vectoriel de dimension
nie dans lequel on cherche la solution approch ee (en utilisant les el ements nis sugg er es par l enonc e) est donc
H = V ect {
i
, i I}, o` u
i
est la fonction de base globale associ ee au noeud i. Cette solution approch ee s ecrit
u =
jI
u
j
j
o` u la famille {u
j
, j I} est solution du syst` eme lin eaire :
jI
a
ij
u
j
= b
i
, i I (4.50)
avec b
i
=
_
D
f(x, y)
i
(x, y)dxdy, pour tout i I et a
ij
=
_
D
i
(x, y)
j
(x, y)dxdy, pour tout i.j I.
La matrice de ce syst` eme lin eaire est donc donn ee par le calcul de a
ij
pour i, j I et un ordre de num erotation
des inconnues, plus pr ecis ement, soit : I {1, . . . , MN} bijective. On note la fonction r eciproque de . Le
syst` eme (4.50) peut alors s ecrire :
MN
n=1
a
i,(n)
u
(n)
= b
i
, i I
ou encore :
MN
n=1
a
(m),(n)
u
(n)
= b
(m)
, m {1, . . . , MN},
{u
j
, j I} est donc solution de (4.50) si et seulement si u
(n)
=
n
pour tout n {1, . . . , MN} o` u =
(
1
, . . . ,
MN
) IR
MN
est solution du syst` eme lin eaire :
A = C
avec C = (C
1
, . . . , C
MN
), C
m
= b
(m)
pour tout m {1, . . . , MN} et A = (A
m,n
)
MN
m,n=1
IR
MN
avec
A
m,n
= a
(m),(n)
pour tout m, n {1, . . . , MN}. Il reste donc ` a calculer a
ij
pour i, j I. Un examen de
support des fonctions
i
et
j
et le fait que le maillage soit ` a pas constant nous montrent que seuls 4 nombres
diff erents peuvent apparaitrent dans la matrice :
1. i = j. On pose alors a
ii
= .
2. i = (k, ), j = (k 1, ). On pose alors a
ij
= .
3. i = (k, ), j = (k, 1). On pose alors a
ij
= .
4. i = (k, ), j = (k + 1, + 1) ou (k 1, 1). On pose alors a
ij
= .
En dehors des quatre cas d ecrits ci-dessus, on a n ecessairement a
ij
= 0 (car les supports de
i
et
j
sont disjoints).
Calculons maintenant , , et .
Calcul de On prend ici i = (k, ) et j = (k + 1, ) On calcule tout dabord
_
T
0
i
j
dx avec T
0
=
T
0
k+
1
2
,j+
1
2
. Un argument dinvariance par translation permet de supposer que x
k
= y
= 0. On a alors
i
(x, y) =
x x
x
et
j
(x, y)
x y y x
x y
,
de sorte que
i
(x, y)
j
(x, y) =
_
1
x
_
2
.
On a donc
_
T
0
j
dx =
_
1
x
_
2
x y
2
=
y
2x
Analyse num erique des EDP, M1 175 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.7. CORRIG
ES CHAPITRE 4. EL
EM
i
(x, y) = 1
x y y x
x y
et
j
(x, y) =
x
x
,
de sorte que
i
(x, y)
j
(x, y) =
_
1
x
_
2
et
_
T
2
i
(x, y)
j
(x, y) dxdy =
_
1
x
_
2
x y
2
=
y
2x
.
On a donc, nalement,
=
_
D
i
(x, y)
j
(x, y) dxdy =
y
x
.
Calcul de Le calcul de est le m eme que celui de en changeant les r oles de x et y, on obtient donc
=
x
y
Calcul de On prend ici i = (k, ) et j = (k+1, +1). On a donc, en notant T
0
= T
0
k+
1
2
,+
1
2
et T
1
= T
1
k+
1
2
,+
1
2
,
=
_
T
0
i
(x, y)
j
(x, y) dxdy +
_
T
1
i
(x, y)
j
(x, y) dxdy.
On peut supposer (par translation) que x
k
= 0 = y
. Sur T
1
, on a alors
i
(x, y) =
y y
y
et
j
(x, y) =
x
x
de
sorte que
_
T
1
i
(x, y)
j
(x, y) dxdy = 0 (car
i
j
= 0). En changeant les r oles de x et y, on a aussi
_
T
0
i
(x, y)
j
(x, y) dxdy = 0. On a donc = 0.
Calcul de On prend ici i = j = (k, ). On peut toujours supposer que x
k
= y
i
dx = 2
_
T
0
|
i
|
2
(x, y) dxdy + 2
_
T
1
|
i
|
2
(x, y) dxdy + 2
_
T
2
|
i
|
2
(x, y) dxdy.
Sur T
0
, on a
i
(x, y) =
x x
x
et donc
_
T
0
|
i
|
2
(x, y) dxdy =
_
1
x
_
2
xy
2
=
1
2
y
x
Sur T
1
, on a
1
(x, y) =
y y
y
et donc
_
T
2
|
i
|
2
(x, y) dxdy =
_
_
1
x
_
2
+
_
1
y
_
2
_
x y
2
=
1
2
y
x
+
1
2
x
y
On en d eduit
= 2
x
y
+ 2
y
x
.
Analyse num erique des EDP, M1 176 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.7. CORRIG
ES CHAPITRE 4. EL
EM
(1 x)
2
2
dx =
1
2
_
1
0
(x 2x
2
+x
3
)dx =
1
24
,
et si p(x, y) = xy, on a bien : L(p) =
1
6
1
4
. Donc (4.52) est bien v eri ee. Il reste ` a v erier que (4.52) est v eri ee
pour p(x, y) = x
2
(ou p(x, y) = y
2
, par sym etrie). Or, J =
_ _
K
x
2
dxdy =
_
1
0
x
2
_
1x
0
dydx =
_
1
0
(x
2
x
3
)dx.
Donc J =
1
3
1
4
=
1
12
. Et pour p(x, y) = x
2
, on a bien : L(p) =
1
6
_
1
4
+
1
4
_
=
1
12
.
Exercice 59 page 165
I. Comme p P
2
, p est de la forme : p(x, y) = a + bx + cy + dxy + x
2
+ y
2
, on a par d eveloppement de
Taylor (exact car p
= 0) :
2p(a
9
) p(a
6
) p(a
8
) = p
xx
(a
9
) =
2p(a
9
) p(a
5
) p(a
7
) = p
yy
(a
9
) =
do` u on d eduit que
4p(a
9
)
8
i=5
p(a
i
) = + . (4.53)
De m eme, on a :
2p(a
5
) p(a
1
) p(a
2
) =
2p(a
7
) p(a
3
) p(a
4
) =
2p(a
6
) p(a
2
) p(a
3
) =
2p(a
8
) p(a
1
) p(a
4
) = .
Ces quatre derni` eres egalit es entranent :
8
i=5
p(a
i
)
4
i=1
p(a
i
) = + (4.54)
Analyse num erique des EDP, M1 177 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012
4.7. CORRIG
ES CHAPITRE 4. EL
EM
i=1
p(a
i
) 2
8
i=5
p(a
i
) + 4p(a
9
) = 0.
2. La question pr ec edente nous sugg` ere de choisir : Q
2
IR d enie par
(p) =
4
i=1
p(a
i
) 2
8
i=5
p(a
i
) + 4p(a
9
).
Soit p P tel que p(a
i
) = 0, i = 1, . . . , 8. Comme p Q
2
, p est une combinaison lin eaire des fonctions
de base
1
, . . . ,
9
, associ ees aux noeuds a
1
, . . . , a
9
, et comme p(a
i
) = 0, i = 1, . . . , 8, on en d eduit que
p =
9
, IR. On a donc (p) = (
9
) = 4 = 0, ce qui entrane = 0. On a donc p = 0.
3. Calculons les fonctions de base
1
, . . . ,
8
associ ees aux noeuds a
1
, . . . , a
8
qui d enissent . On veut que
i
P et
i
(a
j
) =
ij
pour i, j = 1, . . . , 8. Or
9
(a
j
) = 0 i = 1, . . . , 8, et (
9
) = 4. Remarquons alors
que pour i = 1, ` a 4 on a
p(
i
) = 1, et donc si
i
=
i
1
4
9
,
on a p(
i
) = 0 et
i
(a
j
) =
ij
pour j = 1, . . . , 8. De m eme, pour i = 5 ` a 8, on a p(
i
) = 2, et donc si
i
=
i
+
1
2
9
, on a p(
i
= 0 et
i
(a
j
) =
ij
, pour j = 1, . . . , 8. On a ainsi trouv e les fonctions de base de
l el ement ni (C, P, ). Notons que cet el ement ni nest autre que l el ement ni (C, Q
2
, ) vu en cours (voir
paragraphe 4.2.3 page 146 et que Ker = P = Q
2
.
Analyse num erique des EDP, M1 178 Universit e Aix-Marseille 1, R. Herbin, 2 f evrier 2012