Paloittain määritelty funktio

Paloittain määritelty funktio tarkoittaa matematiikassa funktiota, joka on määritelty eri tavoin määrittelyjoukkonsa osajoukoissa.^[1] Funktion määritteleminen paloittain on tarpeen silloin, kun yksi tietty funktio ei riitä kuvaamaan tarkasteltavaa tilannetta tai kun halutaan laajentaa funktion määrittelyjoukkoa sellaisiin joukkoihin, joissa se ei muutoin olisi mahdollista.

Olkoon ${\textstyle A}$ ja ${\textstyle B}$ joukkoja ja joukolla ${\textstyle A}$ ${\textstyle n}$ kappaletta erillisiä osajoukkoja, ${\textstyle A_{1},A_{2},\dotsc ,A_{n}}$, jotka osittavat joukon ${\textstyle A}$. Ts. ${\textstyle A_{i}\subset A}$ kaikilla ${\textstyle i=1,2,\dotsc ,n}$, ${\textstyle A_{i}\cap A_{j}=\varnothing }$ kaikilla ${\textstyle i\neq j}$ ja ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A}$. Olkoon lisäksi joukoilta ${\textstyle A_{1},A_{2},\dotsc ,A_{n}}$ joukolle ${\textstyle B}$ funktiot

${\displaystyle f_{1}:A_{1}\to B,f_{2}:A_{2}\to B,\dotsc ,f_{n}:A_{n}\to B}$.

Tällöin funktio ${\textstyle f:A\to B}$,

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}f_{1}(x),&{\text{ jos }}x\in A_{1}\\f_{2}(x),&{\text{ jos }}x\in A_{2}\\&\vdots \\f_{n}(x),&{\text{ jos }}x\in A_{n}\end{cases}}}$

on paloittain määritelty funktio. Funktion määrittelemisessä paloittain on ehtoja, joiden tulee toteutua:

1. Osajoukkojen ${\textstyle A_{1},A_{2},\dotsc ,A_{n}}$ tulee olla erillisiä. Näin varmistetaan, että paloittain määritelty funktio on funktio, eli se ei saa kahta tai useampaa eri arvoa samassa pisteessä.
2. Osajoukkojen ${\textstyle A_{1},A_{2},\dotsc ,A_{n}}$ tulee täyttää määrittelyjoukko ${\textstyle A}$. Näin varmistetaan, että funktio on hyvin määritelty (määrittelyjoukkoon ei jää ''aukkoja'').
3. Funktion ${\textstyle f_{i}}$ pitää olla määritelty koko osajoukossa ${\textstyle A_{i}}$. Tämä liittyy edelliseen kohtaan.

Esimerkiksi, jos määrittelyjoukosta ${\textstyle A=[0,5]}$ otetaan osajoukot ${\textstyle A_{1}=[0,1[}$, ${\textstyle A_{2}=[1,3]}$ ja ${\textstyle A_{3}=[3,5[}$, niin funktiota ${\textstyle f:A\to B}$ ei voi määritellä paloittain joukkojen ${\textstyle A_{1}}$, ${\textstyle A_{2}}$ ja ${\textstyle A_{3}}$ avulla, sillä ehdot 1. ja 2. eivät toteudu (${\textstyle A_{2}}$ ja ${\textstyle A_{3}}$ eivät ole erillisiä joukkoja ja luku 5 ei kuulu yhteenkään osajoukoista). Osajoukkoja voi olla myös äärettömän monta.

• 

  Yksinkertaisimpia paloittain määriteltyjä funktioita edustaa Heavisiden funktio ${\displaystyle H:\mathbb {R} \to \left\{0,{\frac {1}{2}},1\right\},}$

${\displaystyle H(x)={\begin{cases}0,&{\text{ jos }}x<0\\{\frac {1}{2}},&{\text{ jos }}x=0\\1,&{\text{ jos }}x>0.\end{cases}}}$

Sen määrittelyjoukko on koko reaaliakseli.

• 

  Signum-funktio ${\displaystyle \mathrm {sgn} :\mathbb {R} \to \{-1,0,1\},}$

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1,&{\text{ jos }}x<0\\0,&{\text{ jos }}x=0\\1,&{\text{ jos }}x>0.\end{cases}}}$

Sen määrittelyjoukko on koko reaaliakseli.

• Yleisesti ottaen kaikki porrasfunktiot ovat paloittain määriteltyjä funktioita.
• Indikaattorifunktio on paloittain määritelty funktio.
• Reaaliluvun ${\textstyle x}$ itseisarvo on paloittain määritelty funktio:

${\displaystyle |x|={\begin{cases}x,&{\text{ jos }}x\geq 0\\-x,&{\text{ jos }}x<0\end{cases}}}$

Funktio ${\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$,

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}(x+1)^{2},&{\text{ jos }}x<-1\\-x,&{\text{ jos }}-1\leq x<1\\{\sqrt {x-1}},&{\text{ jos }}x\geq 1\end{cases}}}$

on paloittain määritelty koko reaaliakselilla ja se koostuu kolmesta eri funktiosta, jotka on määritelty omilla osaväleillään ${\textstyle ]-\infty ,-1[}$, ${\textstyle [-1,1[}$ ja ${\textstyle [1,\infty [}$. Osa funktion graafista on esitetty viereisessä kuvassa.

• Jos funktion määrittelevät osafunktiot ovat jatkuvia, niin paloittain määritelty funktio on paloittain jatkuva.

• Paloittain määritelty funktio on jatkuva, jos se on paloittain jatkuva ja lisäksi jokaisessa määrittelyvälin reunapisteessä ${\textstyle a}$ pätee jatkuvuusehto

${\displaystyle \lim _{x\to a-}f(x)=f(a)=\lim _{x\to a+}f(x)}$.