Series de Fourier

Repblica Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Defensa Universidad Nacional Experimental de las Fuerzas Armadas
(U.NE.F.A.) Guacara Edo. Carabobo
Series de Fourier Transformadas de Fourier Transformadas de Laplace
Integrantes: Arnias Leonel 16.154.608 Borjas Juan 15.606.482 Escorcha Karry 18.435.494 Lotero Marvin 15.979.718 Salom Roxany 14.753.527 Seccin 005-N
Serie de Fourier
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una funcin continua y peridica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemtica bsica del anlisis de Fourier empleado para analizar funciones peridicas a travs de la descomposicin de dicha funcin en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho ms simples (como combinacin de senos y cosenos con frecuencias enteras)
Las series de Fourier tienen la siguiente forma:
Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la funcin f(x)
Si es una funcin (o seal) peridica y su perodo es 2T, la serie de Fourier asociada a es:
Donde valores:
son los coeficientes de Fourier que toman los
Por la identidad de Euler, las frmulas de arriba pueden expresarse tambin en su forma compleja:
Los coeficientes ahora seran:
Aplicaciones de la serie de Fourier

Generacin de formas de onda de corriente o tensin elctrica por medio de la superposicin de senoides generados por osciladores elctrnicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya estn determinadas. Anlisis en el comportamiento armnico de una seal
Reforzamiento de seales.
Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital elctrica donde la seal de entrada no es senoidal o cosenoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o Solucin en rgimen permanente senoidal en el dominio de la frecuencia.
Formulacin general
Las propiedades tiles de las series de Fourier se deben principalmente a la ortogonalidad y a la propiedad de homomorfismo de las funciones ei n x. Otras sucesiones de funciones ortogonales tienen propiedades similares, aunque algunas identidades tiles, concerniendo por ejemplo a las convoluciones, no seguirn cumplindose si se pierde la "propiedad de homomorfismo". Algunos ejemplos son las secuencias de funciones de Bessel y los polinomios ortogonales. Tales sucesiones se obtienen normalmente como soluciones de una ecuacin diferencial; una gran clase de tales sucesiones tiles son soluciones de los llamados problemas de Sturm-Liouville.
Transformada de Fourier
En matemtica, la transformada de Fourier es una aplicacin que hace corresponder a una funcin f con valores complejos y definida en la recta, otra funcin g definida de la manera siguiente:
Donde f es L1, o sea f tiene que ser una funcin integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaa la integral en definicin facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la ms comnmente adoptada, no es universal.
Propiedades Bsicas de la transformada de Fourier

La transformada de Fourier es una aplicacin lineal: Valen las siguientes propiedades para una funcin absolutamente integrable f: Cambio de escala: Traslacin: Traslacin en la variable transformada:
Transformada de la derivada: Si f y su derivada son integrables,
Derivada de la transformada: Si f y t f(t) son integrables, la transformada de Fourier F(f) es diferenciable:
Estas identidades se demuestran por una mudanza de variables o integracin por partes. En lo que sigue, definimos la convolucin de dos funciones f, g en la recta se define da la manera siguiente:
Nuevamente la presencia del factor delante de la integral simplifica el enunciado de los resultados como el que sigue: Si f y g son funciones absolutamente integrables, la convolucin tambin es integrable, y vale la igualdad: Tambin puede enunciarse un teorema anlogo para la convolucin en la variable transformada:
Teorema de inversin
La idea del teorema de inversin es que dada una funcin f, la transformada de Fourier inversa aplicada a la transformada de Fourier de f resulta en la funcin original, en smbolos:
Sin embargo, el resultado formulado de esta forma no es vlido, porque el dominio de la transformada de Fourier como lo hemos definido en el primer prrafo de este artculo no es invariante, o sea que la transformada de Fourier de una funcin integrable no es necesariamente integrable.
Para formular el teorema de inversin necesitamos encontrar espacios de funciones que sean invariantes bajo la transformada de Fourier. De hecho, hay numerosas posibilidades, la ms natural del punto de vista tcnico siendo el espacio de Schwartz de funciones rpidamente decrecientes.
Series de Fourier de senos y cosenos

Dada una funcin en el intervalo (0, pi), se pueden definir muchas funciones en (pi, pi) que coincidan con ella en (0, pi); cada una de las extensiones tendr una serie de Fourier propia. Pero algunas extensiones tienen especial inters. Teniendo en cuenta la propiedad 4 de la seccin 1.3, se puede elegir la extensin de manera que tengamos una funcin par y, en ese caso, la serie de Fourier slo tiene cosenos. Se llama serie de Fourier de cosenos de la funcin original y sus coeficientes se calculan por la frmula (1.6) (en la que slo interviene la funcin dada en el intervalo original). Del mismo modo, si elegimos una extensin impar, la serie que resulta es la serie de Fourier de senos de la funcin dada y sus coeficientes vienen determinados por (1.7). Se pueden hacer construcciones semejantes a partir de cualquier intervalo.
Uso en la ingenieria
La transformada de Fourier se utiliza para pasar al dominio frecuencial una seal para as obtener informacin que no es evidente en el dominio temporal. Se demuestra matemticamente que una seal peridica se puede descomponer en una suma de senos y cosenos formando una base ortogonal, de esta forma, seales como la voz o las ondas se pueden descomponer en un sumatorio de seales trigonomtricas. El conjunto de constantes que multiplican a cada frecuencia forman el espectro de frecuencias. De esta forma se pueden llegar a diversos experimentos muy interesantes:
La voz humana recorre el espectro de los 100Hz a los 5.000Hz y la oda humana se encuentra entre los 20 Hz y los 20.000 Hz. Si conocemos la densidad espectral de un sistema y la entrada podemos conocer la densidad espectral de la salida. Esto es muy til para el diseo de filtros de radiotransmisores. La transformada de Fourier tambin es utilizada en el mbito del tratamiento digital de imgenes, como por ejemplo para mejorar o definir ms ciertas zonas de una imagen fotogrfica o tomada con una computadora.
Transformada de Laplace
La Transformada de Laplace de una funcin f(t) definida (en matemticas y, en particular, en anlisis funcional) para todos los nmeros reales t 0, es la funcin F(s), definida por:
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versin unilateral. Tambin existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue: La transformada de Laplace F(s) tpicamente existe para todos los nmeros reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
Propiedades de la Transformada de Laplace

Linealidad:
Potencia ensima:
Seno:
Coseno:
Seno hiperbolico:
Propiedades de la Transformada de Laplace

Coseno hiperbolico:
Logaritmo natural:
Raz ensima:
Funcin de Bessel de primera especie:
Funcin modificada de Bessel de primera especie:

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Series de Fourier Transformadas de Fourier Transformadas de Laplace

Las series de Fourier tienen la siguiente forma:

Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la funcin f(x)

son los coeficientes de Fourier que toman los

Los coeficientes ahora seran:

Aplicaciones de la serie de Fourier

Propiedades Bsicas de la transformada de Fourier

Transformada de la derivada: Si f y su derivada son integrables,

Derivada de la transformada: Si f y t f(t) son integrables, la transformada de Fourier F(f) es diferenciable:

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Propiedades de la Transformada de Laplace

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Funcin de Bessel de primera especie:

Funcin modificada de Bessel de primera especie:

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